सुडोकू को हल करने के तरीके स्पष्ट हैं। क्लासिक सुडोकू को हल करने के तरीके

समस्या समाधान की पद्धति में पहली बात जिस पर निर्णय लिया जाना चाहिए वह वास्तव में यह समझने का प्रश्न है कि समस्या समाधान के मामलों में हम क्या हासिल करते हैं और क्या हासिल कर सकते हैं। समझ को आम तौर पर हल्के में लिया जाता है, और हम इस बिंदु को नजरअंदाज कर देते हैं कि समझ का एक निश्चित शुरुआती बिंदु होता है, जिसके संबंध में हम केवल यह कह सकते हैं कि समझ वास्तव में हमारे द्वारा निर्धारित एक विशिष्ट क्षण से होती है। यहां सुडोकू, हमारे विचार में, सुविधाजनक है क्योंकि यह हमें कुछ हद तक समझ और समस्या समाधान के मुद्दों को मॉडल करने की अनुमति देता है। हालाँकि, हम सुडोकू से थोड़े अलग और कम महत्वपूर्ण उदाहरणों से शुरुआत करेंगे।

भौतिक विज्ञानी अध्ययन कर रहा है विशेष सिद्धांतसापेक्षता, आइंस्टीन के "क्रिस्टल स्पष्ट" प्रस्तावों की बात कर सकती है। मुझे यह वाक्यांश इंटरनेट पर एक साइट पर मिला। लेकिन "क्रिस्टल स्पष्टता" की यह समझ कहाँ से शुरू होती है? इसकी शुरुआत अभिधारणाओं के गणितीय संकेतन को आत्मसात करने से होती है, जिससे ज्ञात और समझने योग्य नियमों के अनुसार एसआरटी की सभी बहुमंजिला गणितीय संरचनाएं बनाई जा सकती हैं। लेकिन मेरे जैसे भौतिक विज्ञानी को यह समझ में नहीं आता कि एसआरटी के अभिधारणाएं इस विशेष तरीके से क्यों काम करती हैं, अन्यथा नहीं।

सबसे पहले, इस सिद्धांत पर चर्चा करने वालों में से अधिकांश यह नहीं समझते हैं कि गणितीय अनुप्रयोग से वास्तविकता में अनुवाद करने पर प्रकाश की गति की स्थिरता के सिद्धांत में वास्तव में क्या है। और यह अभिधारणा सभी बोधगम्य और अकल्पनीय इंद्रियों में प्रकाश की गति की स्थिरता को दर्शाती है। एक ही समय में आराम कर रही और गति कर रही किसी भी वस्तु के सापेक्ष प्रकाश की गति स्थिर होती है। अभिधारणा के अनुसार प्रकाश किरण की गति, आने वाली, अनुप्रस्थ और पीछे हटने वाली प्रकाश किरण के संबंध में भी स्थिर रहती है। और, साथ ही, वास्तव में हमारे पास अप्रत्यक्ष रूप से प्रकाश की गति से संबंधित माप ही हैं, जिनकी व्याख्या इसकी स्थिरता के रूप में की जाती है।

न्यूटन के नियम एक भौतिक विज्ञानी और यहाँ तक कि केवल भौतिकी का अध्ययन करने वालों के लिए इतने परिचित हैं कि वे इतने समझने योग्य लगते हैं, जैसे कि कुछ स्वयं-स्पष्ट है और यह अन्यथा नहीं हो सकता है। लेकिन, मान लीजिए, सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम का अनुप्रयोग इसके गणितीय संकेतन से शुरू होता है, जिससे अंतरिक्ष वस्तुओं के प्रक्षेप पथ और कक्षाओं की विशेषताओं की भी गणना की जा सकती है। लेकिन हमें इस बात की समझ नहीं है कि ये कानून इस तरह से क्यों काम करते हैं और अन्यथा नहीं।

सुडोकू के साथ भी ऐसा ही है। इंटरनेट पर आप सुडोकू समस्याओं को हल करने के "बुनियादी" तरीकों का बार-बार वर्णन पा सकते हैं। यदि आप इन नियमों को याद रखते हैं, तो आप समझ सकते हैं कि "बुनियादी" नियमों को लागू करके यह या वह सुडोकू समस्या कैसे हल की जाती है। लेकिन मेरा एक प्रश्न है: क्या हम समझते हैं कि ये "बुनियादी" विधियाँ इस तरह से क्यों काम करती हैं, अन्यथा नहीं।

तो हम अगले की ओर बढ़ते हैं मुख्य स्थितिसमस्या समाधान पद्धति में. समझ किसी प्रकार के मॉडल के आधार पर ही संभव है जो इस समझ के लिए आधार प्रदान करता है और कुछ प्राकृतिक या मानसिक प्रयोग करने का अवसर प्रदान करता है। इसके बिना, हमारे पास केवल याद किए गए शुरुआती बिंदुओं को लागू करने के नियम हो सकते हैं: एसआरटी के सिद्धांत, न्यूटन के नियम या सुडोकू में "बुनियादी" तरीके।

हमारे पास सिद्धांत रूप में ऐसे मॉडल नहीं हैं और हो भी नहीं सकते जो प्रकाश की गति की असीमित स्थिरता के सिद्धांत को पूरा करते हों। हमारे पास नहीं है, लेकिन न्यूटन के नियमों के अनुरूप अप्रमाणित मॉडल का आविष्कार किया जा सकता है। और ऐसे "न्यूटोनियन" मॉडल भी हैं, लेकिन वे पूर्ण पैमाने पर या विचार प्रयोग करने के लिए अपनी उत्पादक क्षमताओं से प्रभावित नहीं करते हैं। लेकिन सुडोकू हमें अवसर प्रदान करता है जिसका उपयोग हम सुडोकू समस्याओं को समझने और समस्या समाधान के लिए एक सामान्य दृष्टिकोण के रूप में मॉडलिंग को चित्रित करने के लिए कर सकते हैं।

सुडोकू समस्याओं के लिए एक संभावित मॉडल एक वर्कशीट है। यह समस्या में निर्दिष्ट तालिका के सभी खाली कक्षों (कोशिकाओं) को संख्या 123456789 से भरकर बनाया गया है। इसके बाद, कार्य को कक्षों से सभी अतिरिक्त अंकों को क्रमिक रूप से हटाने के लिए कम किया जाता है जब तक कि तालिका के सभी कक्ष भर न जाएं एकल (अनन्य) अंक जो समस्या की शर्तों को पूरा करते हैं।

मैं एक्सेल में ऐसी वर्कशीट बनाता हूं। सबसे पहले, मैं तालिका के सभी रिक्त कक्षों (कोशिकाओं) का चयन करता हूँ। मैं F5 दबाता हूं - "चयन करें" - "रिक्त कक्ष" - "ठीक"। अधिक सामान्य विधिआवश्यक कक्षों का चयन करना: इन कक्षों का चयन करने के लिए Ctrl दबाए रखें और माउस पर क्लिक करें। फिर चयनित कोशिकाओं के लिए मैंने सेट किया नीला, आकार 10 (मूल 12) और एरियल नैरो फ़ॉन्ट। यह सब इसलिए है ताकि तालिका में बाद के परिवर्तन स्पष्ट रूप से दिखाई दें। इसके बाद, मैं संख्या 123456789 को खाली कक्षों में दर्ज करता हूं। मैं इसे इस प्रकार करता हूं: मैं इस संख्या को लिखता हूं और एक अलग कक्ष में सहेजता हूं। फिर मैं F2 दबाता हूं, Ctrl+C का उपयोग करके इस नंबर को चुनता हूं और कॉपी करता हूं। इसके बाद, मैं तालिका कोशिकाओं पर जाता हूं और, क्रमिक रूप से सभी खाली कोशिकाओं से गुजरते हुए, Ctrl + V ऑपरेशन का उपयोग करके उनमें संख्या 123456789 दर्ज करता हूं, और कार्य तालिका तैयार है।

मैं अतिरिक्त संख्याएँ हटाता हूँ, जिन पर बाद में निम्नानुसार चर्चा की जाएगी। Ctrl+क्लिक ऑपरेशन का उपयोग करके, मैं अतिरिक्त संख्या वाले कक्षों का चयन करता हूं। फिर मैं Ctrl+H दबाता हूं और खुलने वाली विंडो के ऊपरी क्षेत्र में हटाए जाने वाले नंबर को दर्ज करता हूं, और निचला क्षेत्र पूरी तरह से खाली होना चाहिए। इसके बाद, बस "रिप्लेस ऑल" विकल्प पर क्लिक करें और अतिरिक्त अंक हटा दिया जाएगा।

इस तथ्य के आधार पर कि मैं आमतौर पर ऑनलाइन दिए गए उदाहरणों की तुलना में सामान्य "बुनियादी" तरीकों से अधिक उन्नत टेबल प्रोसेसिंग कर सकता हूं, वर्कशीट सबसे अधिक है सरल उपकरणसुडोकू समस्याओं को हल करने में. इसके अलावा, तथाकथित "बुनियादी" नियमों में से सबसे जटिल के आवेदन से संबंधित कई स्थितियाँ मेरी वर्कशीट में उत्पन्न ही नहीं हुईं।

साथ ही, वर्कशीट एक मॉडल भी है जिस पर आप प्रयोगों से उत्पन्न होने वाले सभी "बुनियादी" नियमों और उनके आवेदन की विभिन्न बारीकियों की बाद की पहचान के साथ प्रयोग कर सकते हैं।

तो, यहां एक वर्कशीट का एक टुकड़ा है जिसमें नौ ब्लॉक हैं, जो बाएं से दाएं और ऊपर से नीचे तक क्रमांकित हैं। में इस मामले मेंहमारे पास 123456789 संख्याओं से भरा चौथा ब्लॉक है। यह हमारा मॉडल है. ब्लॉक के बाहर, हमने "सक्रिय" (अंततः निर्धारित) संख्याओं को लाल रंग में हाइलाइट किया है, इस मामले में चार, जिन्हें हम तैयार की जा रही तालिका में सम्मिलित करना चाहते हैं। ब्लू फ़ाइव वे संख्याएँ हैं जिनकी भविष्य में भूमिका के संबंध में अभी तक निर्धारण नहीं किया गया है, जिसके बारे में हम बाद में बात करेंगे। हमने जो सक्रिय संख्याएँ निर्दिष्ट की हैं, उन्हें काट दिया गया है, धकेल दिया गया है, हटा दिया गया है - सामान्य तौर पर, वे ब्लॉक में एक ही नाम की संख्याओं को विस्थापित करते हैं, इसलिए उन्हें वहाँ हल्के रंग में दर्शाया जाता है, जो इस तथ्य का प्रतीक है कि ये पीली संख्याएँ हटा दी जाती हैं। मैं इस रंग को और भी पीला बनाना चाहता था, लेकिन तब इंटरनेट पर देखने पर वे पूरी तरह से अदृश्य हो सकते थे।

परिणामस्वरूप, सेल E5 में चौथे ब्लॉक में एक था, सक्रिय भी, लेकिन चार छिपे हुए थे। "सक्रिय" क्योंकि यह, बदले में, अनावश्यक अंकों को भी हटा सकता है यदि कोई इसके पथ में दिखाई देता है, और "छिपा हुआ" है क्योंकि यह अन्य अंकों के बीच स्थित है। यदि सेल E5 पर 4 को छोड़कर शेष सक्रिय संख्या 12356789 द्वारा हमला किया जाता है, तो E5 - 4 में एक "नग्न" सिंगलटन दिखाई देगा।

आइए अब एक सक्रिय चार को हटा दें, उदाहरण के लिए F7 से। फिर भरे हुए ब्लॉक में चार संकीर्ण और केवल सेल ई5 या एफ5 में समाप्त हो सकते हैं, जबकि पंक्ति 5 में सक्रिय रहते हैं। यदि सक्रिय पांचों को इस स्थिति में लाया जाता है, बिना एफ7=4 और एफ8=5 के, तो एक नंगे या छिपे हुए सक्रिय जोड़ी 45.

आपके द्वारा पर्याप्त अभ्यास और समझ लेने के बाद विभिन्न विकल्पनग्न और छिपे हुए एकल, युगल, त्रिक आदि के साथ। न केवल ब्लॉकों में, बल्कि पंक्तियों और स्तंभों में भी, हम दूसरे प्रयोग पर आगे बढ़ सकते हैं। आइए एक बेअर जोड़ी 45 बनाएं, जैसा कि पहले किया गया था, और फिर सक्रिय F7=4 और F8=5 को कनेक्ट करें। परिणामस्वरूप E5=45 स्थिति उत्पन्न होगी। वर्कशीट के प्रसंस्करण के दौरान अक्सर इस तरह की स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं। इस स्थिति का अर्थ है कि इनमें से एक अंक, इस मामले में 4 या 5, उस ब्लॉक, पंक्ति और कॉलम में होना चाहिए जिसमें सेल ई5 शामिल है, क्योंकि इन सभी मामलों में केवल एक ही नहीं, बल्कि दो अंक होने चाहिए।

और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि अब हम पहले से ही जानते हैं कि E5=45 जैसी स्थितियाँ कितनी बार उत्पन्न होती हैं। इसी तरह, हम उन स्थितियों को परिभाषित करेंगे जब एक सेल में तीन अंक दिखाई देंगे, आदि। और जब हम इन स्थितियों की समझ और धारणा की डिग्री को आत्म-साक्ष्य और सरलता की स्थिति में लाते हैं, तो अगला कदम, ऐसा कहने के लिए, स्थितियों की वैज्ञानिक समझ है: तब हम एक सांख्यिकीय विश्लेषण करने में सक्षम होंगे सुडोकू तालिकाओं के पैटर्न की पहचान करें और सबसे जटिल समस्याओं को हल करने के लिए संचित सामग्री का उपयोग करें।

इस प्रकार, मॉडल पर प्रयोग करके, हमें छिपे हुए या खुले एकल, जोड़े, त्रिक आदि का एक दृश्य और यहां तक ​​कि "वैज्ञानिक" प्रतिनिधित्व मिलता है। यदि आप अपने आप को केवल वर्णित सरल मॉडल के साथ संचालन तक ही सीमित रखते हैं, तो आपके कुछ विचार गलत या गलत भी हो जाएंगे। हालाँकि, जैसे ही आप विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं, प्रारंभिक विचारों की अशुद्धियाँ जल्दी से स्पष्ट हो जाएंगी, और जिन मॉडलों पर प्रयोग किए गए थे, उन्हें पुनर्विचार और परिष्कृत करना होगा। यह किसी भी समस्या के समाधान में परिकल्पनाओं और स्पष्टीकरणों का अपरिहार्य मार्ग है।

यह कहा जाना चाहिए कि छिपे हुए और खुले एकल, साथ ही खुले जोड़े, ट्रिपल और यहां तक ​​कि चार, सामान्य स्थितियां हैं जो वर्कशीट के साथ सुडोकू समस्याओं को हल करते समय उत्पन्न होती हैं। छिपी हुई जोड़ियां दुर्लभ थीं। लेकिन यहां छिपे हुए तीन, चार आदि हैं। कार्यपत्रकों को संसाधित करते समय मुझे किसी भी तरह से समोच्चों को बाईपास करने के लिए "एक्स-विंग" और "स्वोर्डफ़िश" विधियों का पता नहीं चला, जिन्हें इंटरनेट पर बार-बार वर्णित किया गया था, जिसमें हटाने के लिए "उम्मीदवार" दो विकल्पों में से किसी एक में उत्पन्न होते हैं आकृतियों को दरकिनार करने की विधियाँ। इन विधियों का अर्थ: यदि हम "उम्मीदवार" x1 को नष्ट कर देते हैं, तो अनन्य उम्मीदवार x2 रहता है और साथ ही उम्मीदवार x3 हटा दिया जाता है, और यदि हम x2 को नष्ट कर देते हैं, तो अनन्य उम्मीदवार x1 रहता है, लेकिन इस मामले में उम्मीदवार x3 को भी हटा दिया गया है, इसलिए किसी भी स्थिति में x3 को हटा दिया जाना चाहिए, फिलहाल उम्मीदवारों X1 और x2 को प्रभावित किए बिना। अधिक में सामान्य शब्दों में, यह स्थिति का एक विशेष मामला है: यदि दो वैकल्पिक तरीकेसमान परिणाम की ओर ले जाता है, तो इस परिणाम का उपयोग सुडोकू समस्या को हल करने के लिए किया जा सकता है। मैंने इस अधिक सामान्य अर्थ में स्थितियों का सामना किया है, लेकिन "एक्स-विंग" और "स्वोर्डफ़िश" वेरिएंट में नहीं, और सुडोकू समस्याओं को हल करते समय नहीं, जिसके लिए केवल "बुनियादी" दृष्टिकोण का ज्ञान पर्याप्त है।

वर्कशीट का उपयोग करने की विशेषताएं निम्नलिखित गैर-तुच्छ उदाहरण में दिखाई जा सकती हैं। सुडोकू सॉल्वर्स के एक मंच पर http://zforum.net/index.php?topic=3955.25;wap2 मुझे सबसे कठिन सुडोकू समस्याओं में से एक के रूप में प्रस्तुत एक समस्या मिली, जिसे पारंपरिक तरीकों से हल नहीं किया जा सकता है। कोशिकाओं में डाली गई संख्याओं के संबंध में धारणाओं के साथ क्रूर बल। आइए दिखाते हैं कि एक वर्कशीट से आप इस समस्या को बिना किसी बल प्रयोग के हल कर सकते हैं:

दाईं ओर मूल कार्य है, बाईं ओर "क्रॉस आउट" के बाद कार्यपत्रक है, अर्थात। अतिरिक्त अंकों को हटाने का नियमित संचालन।

सबसे पहले, आइए अंकन पर सहमत हों। ABC4=689 का अर्थ है कि सेल A4, B4 और C4 में संख्याएँ 6, 8 और 9 हैं - प्रति सेल एक या अधिक अंक। स्ट्रिंग्स के साथ भी ऐसा ही है। तो, B56=24 का अर्थ है कि सेल B5 और B6 में संख्याएँ 2 और 4 हैं। ">" चिन्ह एक वातानुकूलित क्रिया का संकेत है। इस प्रकार, D4=5>I4-37 का अर्थ है कि, संदेश D4=5 के कारण, संख्या 37 को सेल I4 में रखा जाना चाहिए। संदेश स्पष्ट हो सकता है - "नग्न" - और छिपा हुआ, जिसे प्रकट किया जाना चाहिए। किसी संदेश का प्रभाव श्रृंखला के साथ अनुक्रमिक (अप्रत्यक्ष रूप से प्रेषित) या समानांतर (अन्य कोशिकाओं पर सीधे प्रभाव) हो सकता है। उदाहरण के लिए:

डी3=2; D8=1>A9-1>A2-2>A3-4,G9-3; (D8=1)+(G9=3)>G8-7>G7-1>G5-5

इस प्रविष्टि का अर्थ है कि D3=2, लेकिन इस तथ्य को उजागर करने की आवश्यकता है। D8=1 श्रृंखला के साथ अपना प्रभाव A3 तक पहुंचाता है और 4 को A3 में लिखा जाना चाहिए; साथ ही D3=2 सीधे G9 पर कार्य करता है, जिसके परिणामस्वरूप परिणाम G9-3 होता है। (D8=1)+(G9=3)>G8-7 - कारकों (D8=1) और (G9=3) के संयुक्त प्रभाव से परिणाम G8-7 प्राप्त होता है। वगैरह।

रिकॉर्ड में H56/68 जैसे संयोजन भी हो सकते हैं। इसका मतलब है कि संख्या 6 और 8 सेल H5 और H6 में निषिद्ध हैं, अर्थात। उन्हें इन कोशिकाओं से हटा दिया जाना चाहिए।

तो, आइए तालिका के साथ काम करना शुरू करें और पहले अच्छी तरह से विकसित, ध्यान देने योग्य स्थिति ABC4=689 लागू करें। इसका मतलब यह है कि ब्लॉक 4 (मध्य, बाएँ) और चौथी पंक्ति की अन्य सभी (A4, B4 और C4 को छोड़कर) कोशिकाओं में संख्या 6, 8 और 9 को हटा दिया जाना चाहिए:

हम उसी तरह B56=24 का उपयोग करते हैं। कुल मिलाकर हमारे पास D4=5 और (D4=5>I4-37 के बाद) HI4=37 है, और (B56=24>C6-1 के बाद) C6=1 भी है। आइए इसे वर्कशीट पर लागू करें:

I89=68hidden>I56/68>H56-68 में: यानी। कोशिकाओं I8 और I9 में अंक 5 और 6 की एक छिपी हुई जोड़ी है, जो I56 में इन अंकों की उपस्थिति को प्रतिबंधित करती है, जिसके परिणामस्वरूप परिणाम H56-68 होता है। हम इस टुकड़े पर अलग ढंग से विचार कर सकते हैं, जैसा कि हमने वर्कशीट मॉडल पर प्रयोगों में किया था: (G23=68)+(AD7=68)>I89-68; (I89=68)+(ABC4=689)>H56-68। अर्थात्, दो-तरफ़ा "हमला" (G23=68) और (AD7=68) इस तथ्य की ओर ले जाता है कि केवल संख्या 6 और 8 ही I8 और I9 में हो सकती हैं। अगला (I89=68) "से जुड़ा है। हमला” H56 पर पिछली स्थितियों के साथ, जो H56-68 की ओर ले जाता है। इसके अलावा "हमला" जुड़ा हुआ है (ABC4=689), जिसमें इस उदाहरण मेंअनावश्यक लगता है, लेकिन यदि हम वर्कशीट के बिना काम कर रहे थे, तो प्रभाव कारक (एबीसी4=689) छिपा होगा, और इस पर विशेष ध्यान देना उचित होगा।

अगली कार्रवाई: I5=2>G1-2,G6-9,B6-4,B5-2.

मुझे आशा है कि टिप्पणियों के बिना यह पहले से ही स्पष्ट है: डैश के बाद दिखाई देने वाली संख्याओं को प्रतिस्थापित करें, आपसे गलती नहीं होगी:

H7=9>I7-4; D6=8>D1-4,H6-6>H5-8:

क्रियाओं की निम्नलिखित श्रृंखला:

डी3=2; D8=1>A9-1>A2-2>A3-4,G9-3;

(D8=1)+(G9=3)>G8-7>G7-1>G5-5;

D5=9>E5-6>F5-4:

I=4>C9-4>C7-2>E9-2>EF7-35>B7-7,F89-89,

अर्थात्, "क्रॉस आउट" के परिणामस्वरूप - अतिरिक्त अंकों को हटाना - एक खुली, "नग्न" जोड़ी 89 कोशिकाओं F8 और F9 में दिखाई देती है, जो प्रविष्टि में संकेतित अन्य परिणामों के साथ, तालिका पर लागू होती है:

H2=4>H3-1>F2-1>F1-6>A1-3>B8-3,C8-5,H1-7>I2-5>I3-3>I4-7>H4-3

उनका परिणाम:

फिर काफी नियमित, स्पष्ट कार्यों का पालन करें:

H1=7>C1-8>E1-5>F3-7>E2-9>E3-8,C3-9>B3-5>B2-6>C2-7>C4-6>A4-9>B4- 8;

B2=6>B9-9>A8-6>I8-8>F8-9>F9-8>I9-6;

E7=3>F7-5,E6-7>F6-3

उनका परिणाम: समस्या का अंतिम समाधान:

एक तरह से या किसी अन्य, हम मान लेंगे कि हमने इसके लिए उपयुक्त मॉडल के आधार पर सुडोकू या बौद्धिक अनुप्रयोग के अन्य क्षेत्रों में "बुनियादी" तरीकों का पता लगा लिया है और यहां तक ​​​​कि उनका उपयोग करना भी सीख लिया है। लेकिन यह समस्या-समाधान पद्धति में हमारी प्रगति का केवल एक हिस्सा है। अगला, मैं दोहराता हूं, हमेशा ध्यान में नहीं रखा जाता है, लेकिन पहले से सीखे गए तरीकों को उपयोग में आसानी की स्थिति में लाने का अपरिहार्य चरण है। उदाहरणों को हल करना, इस समाधान के परिणामों और तरीकों को समझना, अपनाए गए मॉडल के आधार पर इस सामग्री पर पुनर्विचार करना, फिर से सभी विकल्पों पर विचार करना, उनकी समझ की डिग्री को स्वचालितता में लाना, जब "बुनियादी" प्रावधानों का उपयोग करके समाधान नियमित हो जाता है और गायब हो जाता है एक समस्या. यह क्या देता है: हर किसी को इसका अनुभव करना चाहिए। लेकिन मुद्दा यह है कि जब कोई समस्या की स्थिति नियमित हो जाती है, तो बुद्धि का खोज तंत्र हल की जा रही समस्याओं के क्षेत्र में तेजी से जटिल प्रावधानों में महारत हासिल करने की ओर निर्देशित होता है।

"अधिक जटिल प्रावधान" क्या हैं? समस्या को हल करने में ये सिर्फ नए "बुनियादी" प्रावधान हैं, जिनकी समझ, बदले में, सरलता की स्थिति में भी लाई जा सकती है यदि इस उद्देश्य के लिए उपयुक्त मॉडल मिल जाए।

वासिलेंको एस.एल. के लेख में। "नंबर हार्मनी सुडोकू" मुझे 18 सममित कुंजियों के साथ एक उदाहरण समस्या मिली:

इस समस्या के संबंध में, यह तर्क दिया जाता है कि इसे केवल एक निश्चित स्थिति तक "बुनियादी" तकनीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जहां पहुंचने के बाद केवल कुछ कथित विशिष्ट (एकल, एकल) अंकों के परीक्षण प्रतिस्थापन के साथ एक सरल खोज लागू करना शेष रह जाता है। कोशिकाओं में. इस अवस्था (वासिलेंको के उदाहरण से थोड़ा आगे) का रूप इस प्रकार है:

एक ऐसा मॉडल है. यह पहचाने गए और न पहचाने गए विशिष्ट (एकल) नंबरों के लिए एक प्रकार का रोटेशन तंत्र है। सबसे सरल मामले में, विशिष्ट अंकों की एक निश्चित तिकड़ी दाएं या बाएं दिशा में घूमती है, इस समूह को पंक्ति से पंक्ति या स्तंभ से स्तंभ तक ले जाती है। सामान्यतः त्रिगुण संख्याओं के तीन समूह एक दिशा में घूमते हैं। अधिक में कठिन मामले, विशिष्ट संख्याओं के तीन जोड़े एक दिशा में घूमते हैं, और एकल के तीन जोड़े विपरीत दिशा में घूमते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, विचाराधीन समस्या की पहली तीन पंक्तियों में विशिष्ट अंक घुमाए जाते हैं। और यहां सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि इस तरह के रोटेशन को संसाधित वर्कशीट में संख्याओं की व्यवस्था को देखकर देखा जा सकता है। यह जानकारी अभी के लिए पर्याप्त है, और हम समस्या को हल करने की प्रक्रिया में रोटेशन मॉडल की अन्य बारीकियों को समझेंगे।

तो, पहली (शीर्ष) तीन पंक्तियों (1, 2 और 3) में हम जोड़े (3+8) और (7+9) के साथ-साथ (2+x1) को एक अज्ञात x1 और a के साथ घुमाते हुए देख सकते हैं। अज्ञात x2 के साथ एकल का त्रिगुण (x2+4+ 1)। ऐसा करने पर, हम पा सकते हैं कि x1 और x2 में से प्रत्येक 5 या 6 हो सकता है।

पंक्तियाँ 4, 5 और 6 जोड़ियों (2+4) और (1+3) को देखती हैं। एक तीसरी अज्ञात जोड़ी और एकल का एक तिहाई भी होना चाहिए, जिनमें से केवल एक संख्या, 5, ज्ञात है।

इसी प्रकार, हम पंक्तियों 789 को देखते हैं, फिर स्तंभों के त्रिगुण ABC, DEF और GHI को देखते हैं। हम एकत्रित जानकारी को एक प्रतीकात्मक और, मुझे आशा है, काफी समझने योग्य रूप में लिखेंगे:

फिलहाल, सामान्य स्थिति को समझने के लिए हमें केवल इस जानकारी की आवश्यकता है। इस पर ध्यान से सोचें और फिर हम इस उद्देश्य के लिए विशेष रूप से तैयार की गई निम्नलिखित तालिका पर आगे बढ़ सकते हैं:

मैंने रंगों के साथ वैकल्पिक विकल्पों पर प्रकाश डाला है। नीले का अर्थ है "अनुमति" और पीले का अर्थ है "निषिद्ध"। यदि, मान लीजिए, A2=7 में A2=79 की अनुमति है, तो C2=7 निषिद्ध है। या इसके विपरीत - A2=9 की अनुमति है, C2=9 निषिद्ध है। और फिर अनुमतियाँ और निषेध एक तार्किक श्रृंखला के साथ प्रसारित होते हैं। यह रंग विभिन्न वैकल्पिक विकल्पों को देखना आसान बनाने के लिए बनाया गया है। सामान्य तौर पर, तालिकाओं को संसाधित करते समय यह पहले बताए गए "एक्स-विंग" और "स्वोर्डफ़िश" तरीकों का कुछ सादृश्य है।

विकल्प B6=7 और, तदनुसार, B7=9 को देखते हुए, हम तुरंत दो बिंदुओं का पता लगा सकते हैं जो इस विकल्प के साथ असंगत हैं। यदि बी7=9, तो पंक्ति 789 में एक समकालिक रूप से घूमने वाला त्रिक दिखाई देता है, जो अस्वीकार्य है, क्योंकि या तो केवल तीन जोड़े (और उनके साथ तीन एकल अतुल्यकालिक) या तीन त्रिगुण (एकल के बिना) समकालिक रूप से (एक दिशा में) घूम सकते हैं। इसके अलावा, यदि B7=9, तो वर्कशीट को संसाधित करने के कई चरणों के बाद 7वीं पंक्ति में हमें एक असंगतता मिलेगी: B7=D7=9। इसलिए हम दो वैकल्पिक विकल्पों में से केवल स्वीकार्य विकल्प को B6 = 9 से प्रतिस्थापित करते हैं, और फिर समस्या हल हो जाती है सरल तरीकों सेबिना किसी अंधी खोज के सामान्य प्रसंस्करण:

अगला, मेरे पास है तैयार उदाहरणविश्व सुडोकू चैम्पियनशिप से एक समस्या को हल करने के लिए रोटेशन मॉडल का उपयोग करना, लेकिन मैं इस उदाहरण को छोड़ रहा हूं ताकि यह लेख बहुत लंबा न हो जाए। इसके अलावा, जैसा कि यह निकला, इस समस्या के तीन संभावित समाधान हैं, जो अंक रोटेशन मॉडल के प्रारंभिक विकास के लिए उपयुक्त नहीं है। मैंने इंटरनेट से ली गई गैरी मैकगायर की समस्या पर ध्यान देने में भी काफी समय बिताया, जिसमें उसकी पहेली को हल करने के लिए 17 कुंजियाँ थीं, जब तक कि, और भी अधिक जलन के साथ, मुझे पता चला कि इस "पहेली" में 9 हजार से अधिक संभावित समाधान हैं .

तो, बिना सोचे-समझे, हमें आर्टो इंकाला द्वारा विकसित "दुनिया की सबसे कठिन" सुडोकू समस्या की ओर बढ़ना होगा, जैसा कि हम जानते हैं, इसका एक अनूठा समाधान है।

दो बहुत स्पष्ट विशिष्ट संख्याओं को दर्ज करने और वर्कशीट को संसाधित करने के बाद, समस्या इस तरह दिखती है:

मूल कार्य को सौंपी गई कुंजियाँ काले और बड़े फ़ॉन्ट में हाइलाइट की गई हैं। इस समस्या को हल करने में आगे बढ़ने के लिए, हमें फिर से इस उद्देश्य के लिए उपयुक्त पर्याप्त मॉडल पर भरोसा करना चाहिए। यह मॉडल संख्याओं को घुमाने का एक प्रकार का तंत्र है। इस और पिछले लेखों में इस पर पहले ही एक से अधिक बार चर्चा की जा चुकी है, लेकिन लेख की आगे की सामग्री को समझने के लिए, इस तंत्र पर विस्तार से विचार किया जाना चाहिए और काम किया जाना चाहिए। लगभग वैसा ही जैसे आपने दस वर्षों तक ऐसे तंत्र के साथ काम किया हो। लेकिन फिर भी आप इस सामग्री को समझने में सक्षम होंगे, यदि पहले पढ़ने से नहीं, तो दूसरे या तीसरे पढ़ने से, आदि। इसके अलावा, यदि आप दृढ़ता दिखाते हैं, तो आप इस "समझने में कठिन" सामग्री को उसकी दिनचर्या और सरलता की स्थिति में ला देंगे। इस संबंध में कुछ भी नया नहीं है: जो पहले बहुत कठिन था वह धीरे-धीरे उतना कठिन नहीं रह जाता है, और आगे निरंतर विस्तार के साथ, जो कुछ भी सबसे स्पष्ट है और मानसिक प्रयास की आवश्यकता नहीं है वह अपने उचित स्थान पर आ जाता है, जिसके बाद आप अपने आप को मुक्त कर सकते हैं दी गई समस्या के समाधान या अन्य समस्याओं के संबंध में आगे बढ़ने की मानसिक क्षमता।

आर्टो इंकल समस्या की संरचना का सावधानीपूर्वक विश्लेषण करने पर, कोई यह देख सकता है कि यह सब तीन समकालिक रूप से घूमने वाले जोड़े और तीन एकल जोड़े के लिए अतुल्यकालिक रूप से घूमने के सिद्धांत पर बनाया गया है: (x1+x2)+(x3+x4)+(x5) +x6)+(x7+x8+ x9). उदाहरण के लिए, घूर्णन क्रम इस प्रकार हो सकता है: पहली तीन पंक्तियों 123 में, पहली जोड़ी (x1+x2) पहले ब्लॉक की पहली पंक्ति से दूसरे ब्लॉक की दूसरी पंक्ति तक, फिर तीसरी पंक्ति तक चलती है तीसरे ब्लॉक का. दूसरा जोड़ा पहले ब्लॉक की दूसरी पंक्ति से दूसरे ब्लॉक की तीसरी पंक्ति पर कूदता है, फिर, इस घूर्णन में, तीसरे ब्लॉक की पहली पंक्ति पर कूदता है। पहले ब्लॉक की तीसरी पंक्ति से तीसरा जोड़ा दूसरे ब्लॉक की पहली पंक्ति में कूदता है और फिर घूर्णन की उसी दिशा में तीसरे ब्लॉक की दूसरी पंक्ति में चला जाता है। सिंगल्स का ट्रिपल एक समान रोटेशन मोड में चलता है, लेकिन जोड़े के रोटेशन के विपरीत दिशा में। स्तंभों के साथ स्थिति समान दिखती है: यदि तालिका को मानसिक रूप से (या वास्तव में) 90 डिग्री तक घुमाया जाता है, तो पंक्तियाँ स्तंभ बन जाएंगी, जिसमें पंक्तियों के लिए पहले की तरह एकल और जोड़े की गति का पैटर्न समान होगा।

आर्टो इंकला समस्या के संबंध में अपने दिमाग में इन घुमावों को निष्पादित करके, हम धीरे-धीरे पंक्तियों या स्तंभों के चयनित ट्रिपल के लिए इस घुमाव के विकल्पों की पसंद पर स्पष्ट प्रतिबंधों की समझ में आते हैं:

समकालिक रूप से (एक ही दिशा में) घूमने वाले त्रिक और जोड़े नहीं होने चाहिए - ऐसे त्रिक, एकल के त्रिक के विपरीत, भविष्य में त्रिक कहलाएंगे;

कोई अतुल्यकालिक जोड़े या अतुल्यकालिक एकल नहीं होने चाहिए;

कोई भी जोड़ा या एकल एक ही (उदाहरण के लिए, दाएं) दिशा में नहीं घूमना चाहिए - यह पिछले प्रतिबंधों की पुनरावृत्ति है, लेकिन शायद यह अधिक समझने योग्य लगेगा।

इसके अलावा, अन्य प्रतिबंध भी हैं:

9 पंक्तियों में एक भी जोड़ी ऐसी नहीं होनी चाहिए जो किसी भी कॉलम की जोड़ी से मेल खाती हो, और यही बात कॉलम और पंक्तियों पर भी लागू होती है। यह स्पष्ट होना चाहिए: क्योंकि यह तथ्य कि दो संख्याएँ एक ही पंक्ति में स्थित हैं, यह दर्शाता है कि वे अलग-अलग कॉलम में हैं।

हम यह भी कह सकते हैं कि पंक्तियों के विभिन्न त्रिक में युग्मों का संयोग बहुत ही कम होता है या स्तंभों के त्रिक में एक समान संयोग होता है, और पंक्तियों और/या स्तंभों में एकल के त्रिक का संयोग भी बहुत कम होता है, लेकिन ऐसा कहा जा सकता है कि ये संभाव्य हैं। पैटर्न.

ब्लॉक 4,5,6 का अध्ययन।

ब्लॉक में 4-6 जोड़े (3+7) और (3+9) संभव हैं। यदि हम (3+9) स्वीकार करते हैं, तो हमें त्रिक (3+7+9) का अस्वीकार्य तुल्यकालिक घूर्णन मिलता है, इसलिए हमारे पास एक जोड़ी (7+3) है। इस जोड़ी को प्रतिस्थापित करने और पारंपरिक साधनों का उपयोग करके तालिका के बाद के प्रसंस्करण के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

साथ ही, हम कह सकते हैं कि B6=5 में 5 केवल एक एकल, अतुल्यकालिक (7+3) हो सकता है, और I5=6 में 6 पैराजेनरेटिव है, क्योंकि यह छठे में एक ही पंक्ति H5=5 में स्थित है ब्लॉक करें और, इसलिए, वह अकेली नहीं रह सकती है और केवल (7+3) के साथ समकालिक रूप से आगे बढ़ सकती है।

और इस तालिका में इस भूमिका में उपस्थित होने की संख्या के अनुसार एकल उम्मीदवारों को व्यवस्थित किया गया:

यदि हम स्वीकार करते हैं कि सबसे अधिक बार 2, 4 और 5 एकल होते हैं, तो रोटेशन नियमों के अनुसार केवल जोड़े को उनके साथ जोड़ा जा सकता है: (7+3), (9+6) और (1+8) - जोड़ी (1 +9) को खारिज कर दिया गया क्योंकि यह जोड़ी (9+6) को नकार देता है। इसके अलावा, इन जोड़ियों और एकल को प्रतिस्थापित करने और सामान्य तरीकों का उपयोग करके तालिका को आगे संसाधित करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

इस तरह तालिका अनियंत्रित हो गई: यह अंत तक संसाधित नहीं होना चाहती।

आपको खुद पर दबाव डालना होगा और ध्यान देना होगा कि एबीसी कॉलम में एक जोड़ी (7+4) है और इन कॉलमों में 6 7 के साथ समकालिक रूप से चलता है, इसलिए 6 एक पैराजेनरेटर है, इसलिए केवल चौथे ब्लॉक के कॉलम "सी" में संयोजन (6+3) +8 या (6+8)+3 संभव हैं। इनमें से पहला संयोजन काम नहीं करता है, तब से कॉलम "बी" में 7वें ब्लॉक में एक अमान्य सिंक्रोनस ट्रिपल दिखाई देगा - एक ट्रिपलेट (6+3+8)। खैर, फिर, विकल्प (6+8)+3 को प्रतिस्थापित करने और तालिका को सामान्य तरीके से संसाधित करने के बाद, हम कार्य के सफल समापन पर पहुंचते हैं।

दूसरा विकल्प: आइए पंक्तियों 456 में संयोजन (7+3)+5 की पहचान करने के बाद प्राप्त तालिका पर वापस लौटें और एबीसी कॉलम की जांच के लिए आगे बढ़ें।

यहां हम देख सकते हैं कि जोड़ी (2+9) एबीसी में नहीं हो सकती है। अन्य संयोजन (2+4), (2+7), (9+4) और (9+7) A4+A5+A6 और B1+B2+B3 में एक तुल्यकालिक त्रिक देते हैं, जो अस्वीकार्य है। एक स्वीकार्य जोड़ा (7+4) रहता है। इसके अलावा, 6 और 5 समकालिक रूप से 7 चलते हैं, जिसका अर्थ है कि वे पैराजेनरेटिंग हैं, यानी। कुछ जोड़े बनाएं, लेकिन 5+6 नहीं।

आइए संभावित जोड़ियों और एकल के साथ उनके संयोजनों की एक सूची बनाएं:

संयोजन (6+3)+8 काम नहीं करता, क्योंकि अन्यथा, एक कॉलम (6+3+8) में एक अमान्य त्रिक बन जाएगा, जिसकी चर्चा पहले ही की जा चुकी है और जिसे हम सभी विकल्पों की जांच करके एक बार फिर से सत्यापित कर सकते हैं। एकल के लिए उम्मीदवारों में से, नंबर 3 सबसे अधिक अंक प्राप्त करता है, और दिए गए सभी संयोजनों में से सबसे अधिक संभावना है: (6+8)+3, यानी। (C4=6 + C5=8) + C6=3, जो देता है:

इसके बाद, एकल के लिए सबसे संभावित उम्मीदवार या तो 2 या 9 (प्रत्येक 6 अंक) है, हालांकि, इनमें से किसी भी मामले में, उम्मीदवार 1 (4 अंक) वैध रहता है। आइए (5+29)+1 से शुरू करें, जहां 1 5 के साथ अतुल्यकालिक है, यानी। आइए सभी एबीसी कॉलम में B5=1 में से 1 को एसिंक्रोनस सिंगलटन के रूप में रखें:

ब्लॉक 7, कॉलम ए में, एकमात्र संभावित विकल्प (5+9)+3 और (5+2)+3 हैं। लेकिन बेहतर होगा कि हम इस तथ्य पर ध्यान दें कि पंक्तियों 1-3 में अब जोड़े (4+5) और (8+9) दिखाई देते हैं। उनके प्रतिस्थापन से त्वरित परिणाम प्राप्त होता है, अर्थात्। सामान्य साधनों का उपयोग करके तालिका को संसाधित करने के बाद कार्य को पूरा करना।

खैर, अब, पिछले विकल्पों पर अभ्यास करने के बाद, हम सांख्यिकीय अनुमानों का उपयोग किए बिना आर्टो इंकल समस्या को हल करने का प्रयास कर सकते हैं।

हम फिर से प्रारंभिक स्थिति में लौटते हैं:

ब्लॉक में 4-6 जोड़े (3+7) और (3+9) संभव हैं। यदि हम (3+9) स्वीकार करते हैं, तो हमें त्रिक (3+7+9) का अस्वीकार्य तुल्यकालिक घूर्णन मिलता है, इसलिए तालिका में प्रतिस्थापन के लिए हमारे पास केवल विकल्प (7+3) है:

यहाँ 5, जैसा कि हम देखते हैं, एकल है, 6 पैराफॉर्मिंग है। ABC5 में मान्य विकल्प: (2+1)+8, (2+1)+9, (8+1)+9, (8+1)+2, (9+1)+8, (9+1) +2. लेकिन (2+1) अतुल्यकालिक (7+3) है, इसलिए जो बचता है वह (8+1)+9, (8+1)+2, (9+1)+8, (9+1)+2 है। किसी भी स्थिति में, 1 समकालिक (7+3) है और इसलिए, पैराजेनरेटिंग है। आइए तालिका में इस क्षमता में 1 प्रतिस्थापित करें:

यहां संख्या 6 ब्लॉक में एक पैराजेनरेटर है। 4-6, लेकिन सुस्पष्ट युग्म (6+4) वैध युग्मों की सूची में नहीं है। इसलिए, A4=4 में चार अतुल्यकालिक 6 है:

चूँकि D4+E4=(8+1) और घूर्णन विश्लेषण के अनुसार यह जोड़ी बनती है, हमें मिलता है:

यदि कोशिकाएँ C456=(6+3)+8, तो B789=683, अर्थात्। हमें एक तुल्यकालिक त्रिक मिलता है, इसलिए हमारे पास विकल्प (6+8)+3 और इसके प्रतिस्थापन का परिणाम बचता है:

B2=3 यहां एक सिंगलटन है, C1=5 (एसिंक्रोनस 3) एक पैराजेनरेटिंग एक है, A2=8 भी एक पैराजेनरेटिंग एक है। B3=7 सिंक्रोनस और एसिंक्रोनस दोनों हो सकता है। अब हम अधिक जटिल तकनीकों में खुद को साबित कर सकते हैं। प्रशिक्षित आंख से (या कम से कम कंप्यूटर पर जांच करते समय), हम देखते हैं कि किसी भी स्थिति B3=7 - सिंक्रोनस या एसिंक्रोनस के लिए - हमें समान परिणाम A1=1 मिलता है। नतीजतन, हम इस मान को A1 में प्रतिस्थापित कर सकते हैं और फिर, अधिक सामान्य सरल साधनों का उपयोग करके, अपना, या बल्कि आर्टो इंकला का, कार्य पूरा कर सकते हैं:

किसी न किसी तरीके से, हम समस्याओं को हल करने के लिए तीन सामान्य दृष्टिकोणों पर विचार करने और यहां तक ​​कि उनका वर्णन करने में सक्षम थे: समस्या को समझने का बिंदु निर्धारित करें (कोई कल्पित या आँख बंद करके घोषित नहीं, बल्कि एक वास्तविक क्षण, जिससे शुरू करके हम समस्या को समझने के बारे में बात कर सकते हैं) समस्या), एक ऐसा मॉडल चुनें जो हमें एक प्राकृतिक या विचार प्रयोग के माध्यम से समझ को साकार करने की अनुमति देता है और - यह तीसरी बात है - प्राप्त परिणामों की समझ और धारणा की डिग्री को आत्म-साक्ष्य और सरलता की स्थिति में लाना। एक चौथा तरीका भी है, जिसे मैं व्यक्तिगत रूप से उपयोग करता हूं।

प्रत्येक व्यक्ति ऐसी स्थिति का अनुभव करता है जब उसके सामने आने वाले बौद्धिक कार्य और समस्याएं आमतौर पर होने वाली तुलना में अधिक आसानी से हल हो जाती हैं। इन स्थितियों को पूरी तरह से पुन: उत्पन्न किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको विचारों को बंद करने की तकनीक में महारत हासिल करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, कम से कम एक सेकंड के एक अंश के लिए, फिर, इस शटडाउन क्षण को तेजी से खींचना। मैं इस संबंध में और अधिक बात नहीं कर सकता, बल्कि कुछ भी अनुशंसा नहीं कर सकता, क्योंकि इस पद्धति का उपयोग करने की अवधि पूरी तरह से व्यक्तिगत मामला है। लेकिन मैं कभी-कभी लंबे समय तक इस पद्धति का सहारा लेता हूं, जब मेरे सामने ऐसी समस्या आती है कि मुझे इससे निपटने और इसे हल करने के विकल्प नहीं दिखते हैं। परिणामस्वरूप, देर-सबेर एक मॉडल का उपयुक्त प्रोटोटाइप स्मृति के भंडार से निकलता है, जो इस बात का सार स्पष्ट करता है कि क्या हल करने की आवश्यकता है।

मैंने इंकला समस्या को कई तरीकों से हल किया, जिनमें पिछले लेखों में वर्णित तरीके भी शामिल हैं। और मैंने हमेशा, किसी न किसी हद तक, स्विच ऑफ करने और उसके बाद मानसिक प्रयासों की एकाग्रता के साथ इस चौथे दृष्टिकोण का उपयोग किया। मुझे सरल खोज से समस्या का सबसे तेज़ समाधान मिला - जिसे "पोक विधि" कहा जाता है - हालांकि, केवल "लंबे" विकल्पों का उपयोग करके: जो तुरंत सकारात्मक या नकारात्मक परिणाम दे सकते हैं। अन्य विकल्पों में मुझे अधिक समय लगा, क्योंकि अधिकांश समय इन विकल्पों का उपयोग करने के लिए प्रौद्योगिकी के कम से कम मोटे तौर पर विकास पर खर्च किया गया था।

एक अच्छा विकल्प चौथे दृष्टिकोण की भावना में भी है: सुडोकू समस्याओं को हल करने के लिए तैयार रहें, समस्या को हल करने की प्रक्रिया में एक सेल में केवल एक ही संख्या को प्रतिस्थापित करें। अर्थात् अधिकांश कार्य और उसका डेटा दिमाग में "स्क्रॉल" होता है। अधिकांश बौद्धिक समस्या समाधान प्रक्रिया इसी प्रकार होती है, और यह एक ऐसा कौशल है जिसे आपकी समस्या समाधान क्षमताओं को बढ़ाने के लिए प्रशिक्षित किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, मैं पेशेवर सुडोकू सॉल्वर नहीं हूं। मेरे पास अन्य कार्य हैं. लेकिन, फिर भी, मैं अपने लिए निम्नलिखित लक्ष्य निर्धारित करना चाहता हूं: बढ़ी हुई जटिलता की सुडोकू समस्याओं को हल करने की क्षमता हासिल करना, बिना वर्कशीट के और एक खाली सेल में एक से अधिक संख्याओं को प्रतिस्थापित करने का सहारा लिए बिना। इस मामले में, सुडोकू को हल करने की किसी भी विधि की अनुमति है, जिसमें विकल्पों की एक सरल गणना भी शामिल है।

यह कोई संयोग नहीं है कि मुझे यहां विकल्पों की गणना याद आती है। सुडोकू समस्याओं को हल करने के लिए कोई भी दृष्टिकोण अपने शस्त्रागार में एक या दूसरे प्रकार की खोज सहित कुछ निश्चित तरीकों का एक सेट शामिल करता है। इसके अलावा, सुडोकू में विशेष रूप से या किसी अन्य समस्या को हल करते समय उपयोग की जाने वाली किसी भी विधि का प्रभावी अनुप्रयोग का अपना क्षेत्र होता है। तो, के संबंध में निर्णय लेते समय सरल कार्यसुडोकू सरल "बुनियादी" तरीकों के साथ सबसे प्रभावी है, जिसका वर्णन इंटरनेट पर इस विषय पर कई लेखों में किया गया है, और अधिक जटिल "रोटेशन विधि" अक्सर यहां बेकार होती है, क्योंकि यह केवल चाल को जटिल बनाती है सरल उपायऔर साथ ही कुछ नई जानकारी, जो समस्या के समाधान के क्रम में स्वयं प्रकट होता है, प्रदान नहीं करता है। लेकिन सबसे कठिन मामलों में, जैसे आर्टो इंकल की समस्या में, "रोटेशन विधि" एक महत्वपूर्ण भूमिका निभा सकती है।

मेरे लेखों में सुडोकू समस्या समाधान के दृष्टिकोण का एक उदाहरण मात्र है। जिन समस्याओं को मैंने हल किया है, उनमें कुछ ऐसी भी हैं जो सुडोकू की तुलना में अधिक कठिन हैं। उदाहरण के लिए, हमारी वेबसाइट पर स्थित बॉयलर और टर्बाइन के कंप्यूटर मॉडल। मुझे उनके बारे में बात करने में भी कोई आपत्ति नहीं होगी। लेकिन अभी के लिए, मैंने अपने युवा साथी नागरिकों को हल की जा रही समस्याओं के अंतिम लक्ष्य की दिशा में प्रगति के संभावित रास्ते और चरण स्पष्ट रूप से दिखाने के लिए सुडोकू को चुना।

यह सभी आज के लिए है।

सुडोकू एक बहुत ही रोचक पहेली है. 1 से 9 तक की संख्याओं को फ़ील्ड में व्यवस्थित करना आवश्यक है ताकि 3 x 3 कोशिकाओं की प्रत्येक पंक्ति, स्तंभ और ब्लॉक में सभी संख्याएँ शामिल हों, और साथ ही उन्हें दोहराया न जाए। आइए विचार करें चरण दर चरण निर्देशसुडोकू कैसे खेलें, हल करने के बुनियादी तरीके और रणनीति।

समाधान एल्गोरिथ्म: सरल से जटिल तक

सुडोकू माइंड गेम को हल करने के लिए एल्गोरिदम काफी सरल है: आपको समस्या पूरी तरह से हल होने तक निम्नलिखित चरणों को दोहराना होगा। धीरे-धीरे सबसे सरल चरणों से अधिक जटिल चरणों की ओर बढ़ें, जब पहले चरण आपको सेल खोलने या किसी उम्मीदवार को बाहर करने की अनुमति नहीं देते हैं।

एकल उम्मीदवार

सबसे पहले, सुडोकू कैसे खेलें इसकी अधिक स्पष्ट व्याख्या के लिए, हम क्षेत्र के ब्लॉकों और कोशिकाओं की संख्या के लिए एक प्रणाली शुरू करेंगे। सेल और ब्लॉक दोनों को ऊपर से नीचे और बाएं से दाएं क्रमांकित किया गया है।

आइए अपने क्षेत्र को देखना शुरू करें। सबसे पहले, आपको सेल में जगह के लिए एकल उम्मीदवारों को ढूंढना होगा। वे छुपे हुए या स्पष्ट हो सकते हैं. आइए छठे ब्लॉक के लिए संभावित उम्मीदवारों पर विचार करें: हम देखते हैं कि पांच मुक्त कोशिकाओं में से केवल एक में एक अद्वितीय संख्या होती है, इसलिए, चार को चौथे सेल में सुरक्षित रूप से दर्ज किया जा सकता है। इस ब्लॉक पर आगे विचार करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं: दूसरे सेल में संख्या 8 होनी चाहिए, क्योंकि चार को हटाने के बाद, आठ ब्लॉक में कहीं और दिखाई नहीं देता है। इसी तर्क के साथ हमने संख्या 5 रखी है।

हर चीज़ की सावधानीपूर्वक समीक्षा करें संभावित विकल्प. पांचवें ब्लॉक के केंद्रीय कक्ष को देखने पर, हम पाते हैं कि संख्या 9 के अलावा और कोई विकल्प नहीं हो सकता - यह इस कक्ष के लिए एक स्पष्ट एकल उम्मीदवार है। इस ब्लॉक की शेष कोशिकाओं में से नौ को काटा जा सकता है, जिसके बाद शेष संख्याओं को आसानी से दर्ज किया जा सकता है। उसी विधि का उपयोग करके, हम अन्य ब्लॉकों की कोशिकाओं से गुजरते हैं।

छुपे और स्पष्ट "नग्न जोड़े" का पता कैसे लगाएं

चौथे ब्लॉक में आवश्यक संख्याएँ दर्ज करने के बाद, हम छठे ब्लॉक की अधूरी कोशिकाओं पर लौटते हैं: यह स्पष्ट है कि संख्या 6 तीसरी कोशिका में होनी चाहिए, और 9 नौवीं में।

"नग्न जोड़े" की अवधारणा केवल सुडोकू खेल में मौजूद है। उनका पता लगाने के नियम इस प्रकार हैं: यदि एक ही ब्लॉक, पंक्ति या स्तंभ की दो कोशिकाओं में उम्मीदवारों की एक समान जोड़ी होती है (और केवल यह जोड़ी!), तो समूह की शेष कोशिकाओं में वे नहीं हो सकते। आइए आठवें खंड को एक उदाहरण के रूप में उपयोग करके इसे समझाएं। प्रत्येक कक्ष में संभावित उम्मीदवारों को रखने के बाद, हमें एक स्पष्ट "नग्न जोड़ी" मिलती है। इस ब्लॉक के दूसरे और पांचवें सेल में संख्या 1 और 3 मौजूद हैं, और प्रत्येक में केवल 2 उम्मीदवार हैं, इसलिए, उन्हें शेष सेल से सुरक्षित रूप से बाहर रखा जा सकता है।

पहेली को पूरा करना

यदि आपने सुडोकू खेलने का पाठ सीख लिया है और ऊपर दिए गए निर्देशों का चरण दर चरण पालन किया है, तो आपके पास एक चित्र होगा जो कुछ इस तरह दिखता है:

यहां आप एकल उम्मीदवार पा सकते हैं: नौवें ब्लॉक के सातवें सेल में एक और तीसरे ब्लॉक के चौथे सेल में दो। पहेली को अंत तक सुलझाने का प्रयास करें। अब परिणाम की तुलना सही समाधान से करें।

काम किया? बधाई हो, क्योंकि इसका मतलब है कि आपने सुडोकू खेलने का पाठ सफलतापूर्वक सीख लिया है और सरल पहेलियाँ हल करना सीख लिया है। इस खेल की कई किस्में हैं: सुडोकू विभिन्न आकार, अतिरिक्त क्षेत्रों और अतिरिक्त शर्तों के साथ सुडोकू। खेल का मैदान 4 x 4 से 25 x 25 सेल तक भिन्न हो सकता है। आपको एक ऐसी पहेली का सामना करना पड़ सकता है जिसमें संख्याओं को किसी अतिरिक्त क्षेत्र में दोहराया नहीं जा सकता है, उदाहरण के लिए, तिरछे।

के साथ शुरू सरल विकल्पऔर धीरे-धीरे अधिक जटिल की ओर बढ़ें, क्योंकि प्रशिक्षण के साथ अनुभव आता है।

इस लेख में हम विकर्ण सुडोकू के उदाहरण का उपयोग करके जटिल सुडोकू को कैसे हल करें, इसके बारे में विस्तार से देखेंगे।

हमें स्थिति संख्या 437 मिलती है, जो चित्र 1 में दिखाई गई है। और पहला वर्ग तुरंत आपकी नज़र में आ जाता है, यह खुली संख्याओं से सबसे अधिक संतृप्त है। संख्याएँ 1, 3,4,9 गायब हैं।

लेकिन चूँकि क्षैतिज रेखा a में पहले से ही तीन शामिल हैं, संख्या तीन को c1 पर रखा गया है। हम बाकी को सटीक रूप से नहीं बता सकते।

तो आइए देखें कि हमारे पास और क्या है।

उदाहरण के लिए, ऊर्ध्वाधर 4 है और यहां संख्या चार केवल b4 पर हो सकती है, पांचवें वर्ग में और क्षैतिज c पर चार की उपस्थिति के कारण।

बाकी नंबर हम अभी नहीं डालेंगे.

वे सभी तकनीकें और विधियाँ जिनका हम आगे उपयोग करेंगे, सरल और जटिल दोनों सुडोकू को हल करने के लिए लागू होती हैं।

क्षैतिज बी पर हमारे पास क्या है?

यहां तीन पर्याप्त नहीं हैं और यह केवल b8 पर ही खड़ा हो सकता है। (दूसरे वर्ग में यह पहले से ही है और ऊर्ध्वाधर 9 पर है)।

ऊर्ध्वाधर 3 पर ध्यान दें। यहां आपको 1, 6, 7 रखने की आवश्यकता है। इकाई को केवल f3 पर रखा गया है, और इसके आधार पर बाकी को रखा गया है - e3 -7, h3-6।

अगली पंक्ति में हमारे पास वर्टिकल 9 है, क्योंकि इसका प्लेसमेंट बेहद शानदार है। d9-2, g9-6, h9-8.

यदि हम खुले एकल की जाँच करें तो क्या होगा?!

उदाहरण के लिए, संख्या तीन को कोशिकाओं d2 और h5 पर सुरक्षित रूप से रखा गया है।

हालाँकि सिंगलटन के आगे के विश्लेषण से कुछ भी हासिल नहीं होता है। तो आइए शेष विकर्ण की ओर मुड़ें।

उसमें 6, 2, 4 गायब है। संख्या छह केवल c7 पर हो सकती है। बाकी भरना आसान है.

वर्टिकल 4 को अंत पर सेट क्यों नहीं किया गया है? आइए इसे ठीक करें. एस4-8. हमारे शोध का परिणाम चित्र 5 में दिखाया गया है।.

अब क्षैतिज रेखा c भरें। s8-1, s5-9, s6-2. और यह सब अन्य कार्यक्षेत्रों में इन संख्याओं की उपस्थिति पर आधारित है। क्षैतिज c के आधार पर क्षैतिज d को भरना आसान है। d1-6, d7 -4. फिर तीसरा वर्ग काफी सरलता से भर दिया जाता है।लेकिन दूसरा वर्ग अभी तक नहीं भरा गया है, हालांकि वहां भी केवल दो उम्मीदवार हैं - छह और सात।

लेकिन वे ऊर्ध्वाधर पाँच और छह के साथ घटित नहीं होते हैं, और इसलिए हम उन्हें अभी के लिए अलग रख देंगे।

सभी ऊर्ध्वाधरों और क्षैतिजों का विश्लेषण करने के बाद, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि एक भी संख्या को स्पष्ट रूप से रखना असंभव है। इसलिए, आइए वर्गों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें। आइए छठे वर्ग की ओर मुड़ें। यहां 5,6,8,9 गायब हैं।लेकिन हम निश्चित रूप से सेल f7 और f8 पर संख्या 6 और 8 डाल सकते हैं। हमारे विश्लेषण के लिए धन्यवाद, संपूर्ण एफ क्षैतिज रेखा चिह्नित है! एफ1 -9, एफ2 -5.

और हम यहां जो देखते हैं वह यह है कि चौथा वर्ग पूरी तरह से भर गया है! ई1-4, ई2 -2. हमें जो मिला वह चित्र 6 में देखा जा सकता है। अब आइए वर्ग नौ की ओर मुड़ें। यहां हमारे पास एक खुला एकल है - i7 पर नंबर एक।जिसकी बदौलत हम g2 पर सातवें वर्ग में एक डाल सकते हैं। i2 पर आठ.

तो आज मैं तुम्हें सिखाऊंगा सुडोकू हल करेंस्पष्टता के लिए, आइए लेते हैंठोस उदाहरण और बुनियादी नियमों पर विचार करें:सुडोकू को हल करने के नियम: मैंने पंक्ति और स्तंभ को पीले रंग में हाइलाइट किया है।पहला नियम प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ में 1 से 9 तक संख्याएँ हो सकती हैं, और उन्हें दोहराया नहीं जा सकता। संक्षेप में - 9 कोशिकाएँ, 9 संख्याएँ - इसलिए एक ही कॉलम में 2 पाँच, आठ आदि नहीं हो सकते। इसी तरह स्ट्रिंग्स के लिए भी।अब मैंने वर्गों का चयन किया है - यह है

दूसरा नियम

मैंने इकाइयों को हरे रंग में हाइलाइट किया है और वह दिशा दिखाई है जिसे हम देख रहे हैं। अर्थात्, हम अंतिम ऊपरी वर्ग में रुचि रखते हैं। आप देख सकते हैं कि इस वर्ग की दूसरी और तीसरी पंक्ति में इकाइयाँ नहीं हो सकतीं, अन्यथा पुनरावृत्ति होगी। इसका मतलब है कि इकाई शीर्ष पर है:

दो को ढूंढना आसान है:

आइए अब उन दोनों का उपयोग करें जिन्हें हमने अभी पाया है:

मुझे आशा है कि खोज एल्गोरिदम स्पष्ट हो गया है, इसलिए अब से मैं तेजी से चित्र बनाऊंगा।

हम तीसरी पंक्ति के पहले वर्ग को देखते हैं (नीचे):

क्योंकि हमारे पास वहां 2 निःशुल्क सेल बचे हैं, फिर उनमें से प्रत्येक में दो संख्याओं में से एक हो सकती है: (1 या 6):

इसका मतलब यह है कि जिस कॉलम को मैंने हाइलाइट किया है उसमें अब 1 या 6 नहीं हो सकता है - इसलिए हमने 6 को शीर्ष वर्ग में रखा है।

समय की कमी के कारण मैं यहीं रुकूंगा। मैं सचमुच आशा करता हूं कि आप तर्क को समझेंगे। वैसे, मैंने सबसे सरल उदाहरण नहीं लिया, जिसमें सबसे अधिक संभावना है कि सभी समाधान एक ही बार में स्पष्ट रूप से दिखाई नहीं देंगे, और इसलिए पेंसिल का उपयोग करना बेहतर है। हम अभी तक निचले वर्ग में 1 और 6 के बारे में नहीं जानते हैं, इसलिए हम उन्हें पेंसिल से बनाते हैं - इसी तरह, ऊपरी वर्ग में 3 और 4 को पेंसिल से बनाया जाएगा।

यदि हम नियमों का उपयोग करके थोड़ा और सोचें तो हमें इस प्रश्न से छुटकारा मिल जाएगा कि 3 कहां है और 4 कहां है:

हां, वैसे, अगर किसी बिंदु पर आपको यह समझ से बाहर लगे तो लिखें, मैं और विस्तार से समझाऊंगा। सुडोकू को सुलझाने में शुभकामनाएँ।

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उन लोगों के लिए जो सुडोकू पहेलियों को अपने आप और धीरे-धीरे हल करना पसंद करते हैं, एक सूत्र जो आपको उत्तरों की तुरंत गणना करने की अनुमति देता है वह कमजोरी या धोखाधड़ी की स्वीकृति जैसा प्रतीत हो सकता है।

लेकिन जिन लोगों को सुडोकू को हल करने में बहुत अधिक मेहनत लगती है, उनके लिए यह सचमुच सही समाधान हो सकता है।

दो शोधकर्ताओं ने विकसित किया गणितीय एल्गोरिथ्म, जो आपको अनुमान लगाने और पीछे हटने के बिना, सुडोकू को बहुत तेज़ी से हल करने की अनुमति देता है।

नोट्रे डेम विश्वविद्यालय के जटिल नेटवर्क शोधकर्ता ज़ोल्टन टोरोज़्के और मारिया एर्क्सी-रवाज़ भी यह समझाने में सक्षम थे कि कुछ सुडोकू पहेलियाँ दूसरों की तुलना में अधिक कठिन क्यों हैं। एकमात्र नकारात्मक पक्ष यह है कि वे क्या पेशकश करते हैं यह समझने के लिए आपको गणित में पीएचडी की आवश्यकता है।

क्या आप इस पहेली को सुलझा सकते हैं? इसे गणितज्ञ आर्टो इंकाला ने बनाया था और दावा किया जाता है कि यह दुनिया का सबसे कठिन सुडोकू है। फोटो Nature.com से

टोरोज़्के और एर्क्सी-रवाज़ ने अनुकूलन सिद्धांत और कम्प्यूटेशनल जटिलता में अपने शोध के हिस्से के रूप में सुडोकू का विश्लेषण करना शुरू किया। वे कहते हैं कि अधिकांश सुडोकू उत्साही इन समस्याओं को हल करने के लिए अनुमान लगाने की तकनीक पर आधारित "क्रूर बल" दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं। इस प्रकार, सुडोकू प्रशंसक खुद को एक पेंसिल से लैस करते हैं और सही उत्तर मिलने तक संख्याओं के सभी संभावित संयोजनों को आजमाते हैं। यह विधि अनिवार्य रूप से सफलता की ओर ले जाएगी, लेकिन यह श्रम-गहन और समय लेने वाली है।

इसके बजाय, टोरोज़्के और एर्क्सी-रवाज़ ने एक सार्वभौमिक एनालॉग एल्गोरिदम प्रस्तावित किया जो पूरी तरह से नियतात्मक है (अनुमान या क्रूर बल का उपयोग नहीं करता है) और हमेशा पाता है सही निर्णयकार्य, और बहुत जल्दी।

शोधकर्ताओं ने इस सुडोकू पहेली को पूरा करने के लिए "नियतात्मक एनालॉग सॉल्वर" का उपयोग किया। फोटो Nature.com से

शोधकर्ताओं ने यह भी पाया कि उनके एनालॉग एल्गोरिदम का उपयोग करके एक पहेली को हल करने में लगने वाला समय कार्य के कठिनाई स्तर से संबंधित है जैसा कि मनुष्यों द्वारा आंका गया है। इसने उन्हें किसी पहेली या समस्या की कठिनाई के लिए रैंकिंग स्केल विकसित करने के लिए प्रेरित किया।

उन्होंने 1 से 4 तक एक पैमाना बनाया, जहां 1 "आसान", 2 "मध्यम कठिन", 3 "कठिन" और 4 "बहुत कठिन" है। 2 रेटिंग वाली पहेली को हल करने में 1 रेटिंग वाली पहेली की तुलना में औसतन 10 गुना अधिक समय लगता है। इस प्रणाली के अनुसार, अब तक ज्ञात सबसे कठिन पहेली की रेटिंग 3.6 है; अधिक जटिल कार्यसुडोकू अभी भी अज्ञात है.

सिद्धांत प्रत्येक व्यक्तिगत वर्ग के लिए संभावनाओं के मानचित्रण से शुरू होता है। फोटो Nature.com से

"जब तक हमने सुडोकू पर और अधिक काम करना शुरू नहीं किया, तब तक मुझे सुडोकू में कोई दिलचस्पी नहीं थी सामान्य वर्गबूलियन समस्याओं की व्यवहार्यता, तोरोज़के कहते हैं। - चूंकि सुडोकू इस वर्ग का हिस्सा है, इसलिए 9वें क्रम का लैटिन वर्ग हमारे लिए एक अच्छा परीक्षण क्षेत्र बन गया, जिससे मैं उन्हें जान पाया। मैं और कई शोधकर्ता जो ऐसी समस्याओं का अध्ययन करते हैं, इस सवाल से रोमांचित हैं कि हम इंसान सुडोकू को हल करने में कितनी दूर तक जा सकते हैं, बिना किसी क्रूर बल के, जो यादृच्छिक रूप से एक विकल्प है, और यदि अनुमान गलत है, तो हमें जाने की जरूरत है एक कदम पीछे हटें या कई कदम पीछे हटें और फिर से शुरू करें। हमारा एनालॉग निर्णय मॉडल नियतात्मक है: कोई नहीं है यादृच्छिक चयनया लौट आओ।"

अराजकता सिद्धांत: पहेलियों की कठिनाई की डिग्री को यहां अराजक गतिशीलता के रूप में दिखाया गया है। फोटो Nature.com से

टोरोज़्के और एर्क्सी-रवाज़ का मानना ​​है कि उनके एनालॉग एल्गोरिदम में समाधान पर लागू होने की क्षमता है बड़ी मात्राउद्योग, कंप्यूटर विज्ञान और कम्प्यूटेशनल जीवविज्ञान में विभिन्न कार्य और समस्याएं।

शोध के अनुभव ने तोरोज़काई को सुडोकू का बड़ा प्रशंसक भी बना दिया।

वह कहते हैं, "मेरी पत्नी और मेरे आईफ़ोन पर कई सुडोकू ऐप हैं, और हमने उन्हें अब तक हजारों बार खेला होगा, प्रत्येक स्तर पर सबसे तेज़ समय के लिए प्रतिस्पर्धा करते हुए।" "वह अक्सर सहज रूप से पैटर्न के संयोजन देखती है जिन पर मैं ध्यान नहीं देता।" मुझे उन्हें बाहर निकालना होगा. संभावनाओं को पेंसिल में लिखे बिना कई पहेलियों को हल करना मेरे लिए असंभव हो जाता है जिन्हें हमारा पैमाना कठिन या बहुत कठिन के रूप में वर्गीकृत करता है।

टोरोज़काई और एर्क्सी-रवाज़ की पद्धति पहले नेचर फिजिक्स में और बाद में नेचर साइंटिफिक रिपोर्ट्स में प्रकाशित हुई थी।