माध्यमिक के पाठ्यक्रम में और हाई स्कूलछात्रों ने "अंश" विषय का अध्ययन किया। हालाँकि, यह अवधारणा सीखने की प्रक्रिया में दी गई अवधारणा से कहीं अधिक व्यापक है। आज, भिन्न की अवधारणा अक्सर सामने आती है, और हर कोई किसी भी अभिव्यक्ति की गणना नहीं कर सकता है, उदाहरण के लिए, भिन्न को गुणा करना।
भिन्न क्या है?
ऐतिहासिक रूप से, भिन्नात्मक संख्याएँ मापने की आवश्यकता से उत्पन्न हुईं। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, अक्सर एक खंड की लंबाई और एक आयताकार आयत का आयतन निर्धारित करने के उदाहरण होते हैं।
प्रारंभ में, छात्रों को शेयर की अवधारणा से परिचित कराया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक तरबूज को 8 भागों में विभाजित करते हैं, तो प्रत्येक व्यक्ति को तरबूज का आठवां हिस्सा मिलेगा। आठ के इस एक भाग को अंश कहा जाता है।
किसी भी मूल्य के ½ के बराबर शेयर को आधा कहा जाता है; ⅓ - तीसरा; ¼ - एक चौथाई. 5/8, 4/5, 2/4 रूप के अभिलेख साधारण भिन्न कहलाते हैं। एक सामान्य भिन्न को अंश और हर में विभाजित किया जाता है। उनके बीच भिन्न पट्टी, या भिन्न पट्टी है। भिन्नात्मक रेखा क्षैतिज या तिरछी रेखा के रूप में खींची जा सकती है। में इस मामले मेंयह विभाजन चिन्ह का प्रतिनिधित्व करता है।
हर यह दर्शाता है कि मात्रा या वस्तु को कितने बराबर भागों में विभाजित किया गया है; और अंश यह है कि कितने समान शेयर लिए गए हैं। अंश को भिन्न रेखा के ऊपर लिखा जाता है, हर को उसके नीचे लिखा जाता है।
निर्देशांक किरण पर साधारण भिन्नों को दिखाना सबसे सुविधाजनक है। यदि एक एकल खंड को 4 बराबर भागों में विभाजित किया जाए, प्रत्येक भाग को लैटिन अक्षर द्वारा निर्दिष्ट किया जाए, तो परिणाम प्राप्त किया जा सकता है दृश्य सहायता. तो, बिंदु A संपूर्ण इकाई खंड के 1/4 के बराबर हिस्सा दिखाता है, और बिंदु B किसी दिए गए खंड के 2/8 को दर्शाता है।
भिन्नों के प्रकार
भिन्न साधारण, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ हो सकती हैं। इसके अलावा, भिन्नों को उचित और अनुचित में विभाजित किया जा सकता है। यह वर्गीकरण साधारण भिन्नों के लिए अधिक उपयुक्त है।
उचित भिन्न वह संख्या होती है जिसका अंश होता है हर से कम. तदनुसार, अनुचित भिन्न वह संख्या है जिसका अंश उसके हर से बड़ा होता है। दूसरा प्रकार आमतौर पर मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जाता है। इस अभिव्यक्ति में एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है। उदाहरण के लिए, 1½. 1 एक पूर्णांक भाग है, ½ एक भिन्नात्मक भाग है। हालाँकि, यदि आपको अभिव्यक्ति के साथ कुछ हेरफेर करने की आवश्यकता है (अंशों को विभाजित करना या गुणा करना, उन्हें कम करना या परिवर्तित करना), तो मिश्रित संख्या एक अनुचित भिन्न में परिवर्तित हो जाती है।
एक सही भिन्नात्मक अभिव्यक्ति हमेशा एक से कम होती है, और एक गलत भिन्नात्मक अभिव्यक्ति हमेशा 1 से बड़ी या उसके बराबर होती है।
जहां तक इस अभिव्यक्ति का संबंध है, हमारा मतलब एक रिकॉर्ड है जिसमें किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व किया जाता है, जिसके भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के हर को कई शून्य के साथ एक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यदि भिन्न उचित है, तो दशमलव अंकन में पूर्णांक भाग शून्य के बराबर होगा।
दशमलव अंश लिखने के लिए, आपको पहले पूरा भाग लिखना होगा, इसे अल्पविराम का उपयोग करके अंश से अलग करना होगा, और फिर अंश अभिव्यक्ति लिखना होगा। यह याद रखना चाहिए कि दशमलव बिंदु के बाद अंश में डिजिटल वर्णों की संख्या उतनी ही होनी चाहिए जितनी हर में शून्य होती है।
उदाहरण. अंश 7 21/1000 को दशमलव संकेतन में व्यक्त करें।
अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने और इसके विपरीत के लिए एल्गोरिदम
किसी समस्या के उत्तर में अनुचित भिन्न लिखना गलत है, इसलिए इसे मिश्रित संख्या में बदलना होगा:
- अंश को मौजूदा हर से विभाजित करें;
- वी विशिष्ट उदाहरणअपूर्ण भागफल - संपूर्ण;
- और शेष भिन्नात्मक भाग का अंश है, जिसमें हर अपरिवर्तित रहता है।
उदाहरण. अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलें: 47 / 5.
समाधान. 47: 5. आंशिक भागफल 9 है, शेषफल = 2. तो, 47 / 5 = 9 2 / 5.
कभी-कभी आपको मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाने की आवश्यकता होती है। फिर आपको निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग करने की आवश्यकता है:
- पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के हर से गुणा किया जाता है;
- परिणामी उत्पाद को अंश में जोड़ा जाता है;
- परिणाम अंश में लिखा जाता है, हर अपरिवर्तित रहता है।
उदाहरण. मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करें: 9 8/10।
समाधान. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 अंश है।
उत्तर: 98 / 10.
भिन्नों को गुणा करना
साधारण भिन्नों पर विभिन्न बीजगणितीय संक्रियाएँ निष्पादित की जा सकती हैं। दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा। इसके अलावा, विभिन्न हरों से भिन्नों को गुणा करना समान हरों से भिन्नों को गुणा करने से भिन्न नहीं है।
ऐसा होता है कि परिणाम खोजने के बाद आपको भिन्न को कम करने की आवश्यकता होती है। परिणामी अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाना अनिवार्य है। निस्संदेह, कोई यह नहीं कह सकता कि किसी उत्तर में अनुचित भिन्न एक त्रुटि है, लेकिन इसे सही उत्तर कहना भी कठिन है।
उदाहरण. दो साधारण भिन्नों का गुणनफल ज्ञात कीजिए: ½ और 20/18।
जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, उत्पाद खोजने के बाद, एक कम करने योग्य भिन्नात्मक अंकन प्राप्त किया गया था। इस मामले में अंश और हर दोनों को 4 से विभाजित किया जाता है, और परिणाम उत्तर 5/9 होता है।
दशमलव भिन्नों को गुणा करना
दशमलव भिन्नों का गुणनफल अपने सिद्धांत में साधारण भिन्नों के गुणनफल से काफी भिन्न होता है। तो, भिन्नों को गुणा करना इस प्रकार है:
- दो दशमलव भिन्नों को एक के नीचे एक लिखा जाना चाहिए ताकि सबसे दाहिने अंक एक के नीचे एक हों;
- आपको अल्पविरामों के बावजूद, यानी प्राकृतिक संख्याओं के रूप में लिखित संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है;
- प्रत्येक संख्या में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिनें;
- गुणन के बाद प्राप्त परिणाम में, आपको दशमलव बिंदु के बाद दोनों कारकों के योग में निहित उतने डिजिटल प्रतीकों को दाईं ओर से गिनना होगा, और एक अलग चिह्न लगाना होगा;
- यदि उत्पाद में कम संख्याएँ हैं, तो आपको इस संख्या को कवर करने के लिए उनके सामने उतने ही शून्य लिखने होंगे, अल्पविराम लगाना होगा और पूरे भाग को शून्य के बराबर जोड़ना होगा।
उदाहरण. दो दशमलव भिन्नों के गुणनफल की गणना करें: 2.25 और 3.6।
समाधान.
मिश्रित भिन्नों को गुणा करना
दो के उत्पाद की गणना करने के लिए मिश्रित अंश, आपको भिन्नों को गुणा करने के लिए नियम का उपयोग करने की आवश्यकता है:
- मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में परिवर्तित करना;
- अंशों का गुणनफल ज्ञात करें;
- हर का गुणनफल ज्ञात करें;
- परिणाम लिखो;
- अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाएं.
उदाहरण. 4½ और 6 2/5 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
किसी संख्या को भिन्न से गुणा करना (अंश को किसी संख्या से गुणा करना)
दो भिन्नों और मिश्रित संख्याओं का गुणनफल खोजने के अलावा, ऐसे कार्य भी हैं जिनमें आपको भिन्न से गुणा करना होता है।
तो, उत्पाद खोजने के लिए दशमलवऔर एक प्राकृतिक संख्या, आपको चाहिए:
- भिन्न के नीचे संख्या लिखें ताकि सबसे दाहिने अंक एक के ऊपर एक हों;
- अल्पविराम के बावजूद उत्पाद ढूंढें;
- परिणामी परिणाम में, पूर्णांक भाग को अल्पविराम का उपयोग करके भिन्नात्मक भाग से अलग करें, अंश में दशमलव बिंदु के बाद स्थित अंकों की संख्या को दाईं ओर से गिनें।
गुणा करने के लिए सामान्य अंशकिसी संख्या के लिए, आपको अंश और प्राकृतिक कारक का गुणनफल ज्ञात करना चाहिए। यदि उत्तर से कोई अंश निकलता है जिसे कम किया जा सकता है, तो उसे परिवर्तित किया जाना चाहिए।
उदाहरण. 5/8 और 12 के गुणनफल की गणना करें।
समाधान. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
उत्तर: 7 1 / 2.
जैसा कि आप पिछले उदाहरण से देख सकते हैं, परिणामी परिणाम को कम करना और गलत भिन्नात्मक अभिव्यक्ति को मिश्रित संख्या में बदलना आवश्यक था।
भिन्नों का गुणन मिश्रित रूप में किसी संख्या का गुणनफल और एक प्राकृतिक गुणनखंड खोजने से भी संबंधित है। इन दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको मिश्रित कारक के पूरे भाग को संख्या से गुणा करना चाहिए, अंश को उसी मान से गुणा करना चाहिए, और हर को अपरिवर्तित छोड़ देना चाहिए। यदि आवश्यक हो, तो आपको परिणामी परिणाम को यथासंभव सरल बनाने की आवश्यकता है।
उदाहरण. 9 5/6 और 9 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
समाधान. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2।
उत्तर: 88 1 / 2.
10, 100, 1000 या 0.1 के गुणनखंडों से गुणा; 0.01; 0.001
निम्नलिखित नियम पिछले पैराग्राफ से अनुसरण करता है। किसी दशमलव अंश को 10, 100, 1000, 10000 आदि से गुणा करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु को दाईं ओर उतने अंकों तक ले जाना होगा जितने अंकों के बाद गुणनखंड में शून्य हों।
उदाहरण 1. 0.065 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
समाधान. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.
उत्तर: 65.
उदाहरण 2. 3.9 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
समाधान. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.
उत्तर: 3900.
यदि आपको किसी प्राकृत संख्या और 0.1 को गुणा करने की आवश्यकता है; 0.01; 0.001; 0.0001, आदि, आपको परिणामी उत्पाद में अल्पविराम को बायीं ओर उतने अंकों वाले वर्णों द्वारा ले जाना चाहिए जितने एक से पहले शून्य हों। यदि आवश्यक हो तो पहले प्राकृतिक संख्याशून्य की पर्याप्त संख्या दर्ज की गई है।
उदाहरण 1. 56 और 0.01 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
समाधान. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.
उत्तर: 0,56.
उदाहरण 2. 4 और 0.001 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
समाधान. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.
उत्तर: 0,004.
इसलिए, विभिन्न भिन्नों का गुणनफल खोजने में कठिनाई नहीं होनी चाहिए, सिवाय परिणाम की गणना करने के; इस मामले में, आप कैलकुलेटर के बिना बस काम नहीं कर सकते।
भिन्नों को गुणा एवं भाग करना।
ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")
यह क्रिया जोड़-घटाने से कहीं अधिक अच्छी है! क्योंकि यह आसान है. एक अनुस्मारक के रूप में, किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंशों (यह परिणाम का अंश होगा) और हर (यह हर होगा) को गुणा करना होगा। वह है:
उदाहरण के लिए:
सब कुछ बेहद सरल है. और कृपया एक सामान्य विभाजक की तलाश न करें! उसकी यहां कोई जरूरत नहीं...
किसी भिन्न को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको उलटा करना होगा दूसरा(यह महत्वपूर्ण है!) अंश और उन्हें गुणा करें, यानी:
उदाहरण के लिए:
यदि आपको पूर्णांकों और भिन्नों से गुणा या भाग मिलता है, तो यह ठीक है। जोड़ की तरह, हम हर में एक लेकर पूर्ण संख्या से भिन्न बनाते हैं - और आगे बढ़ते हैं! उदाहरण के लिए:
हाई स्कूल में, आपको अक्सर तीन-मंजिला (या यहां तक कि चार-कहानी!) भिन्नों से निपटना पड़ता है। उदाहरण के लिए:
मैं इस अंश को सभ्य कैसे बना सकता हूँ? हाँ, बहुत सरल! दो-बिंदु विभाजन का उपयोग करें:
लेकिन विभाजन के क्रम के बारे में मत भूलना! गुणन के विपरीत, यह यहाँ बहुत महत्वपूर्ण है! निस्संदेह, हम 4:2 या 2:4 को भ्रमित नहीं करेंगे। लेकिन तीन मंजिला हिस्से में गलती करना आसान है। उदाहरण के लिए कृपया ध्यान दें:
पहले मामले में (बाईं ओर अभिव्यक्ति):
दूसरे में (दाईं ओर अभिव्यक्ति):
क्या आपको फर्क महसूस होता है? 4 और 1/9!
विभाजन का क्रम क्या निर्धारित करता है? या तो कोष्ठक के साथ, या (यहाँ के रूप में) क्षैतिज रेखाओं की लंबाई के साथ। अपनी आँख विकसित करें. और यदि कोई कोष्ठक या डैश नहीं है, जैसे:
फिर विभाजित करें और गुणा करें क्रम से, बाएँ से दाएँ!
और एक और बहुत ही सरल और महत्वपूर्ण तकनीक। डिग्री वाले कार्यों में यह आपके बहुत काम आएगा! आइए एक को किसी भिन्न से विभाजित करें, उदाहरण के लिए, 13/15 से:
गोली पलट गई! और ऐसा हमेशा होता है. 1 को किसी भी भिन्न से विभाजित करने पर परिणाम वही भिन्न होता है, केवल उल्टा।
भिन्नों के साथ संचालन के लिए बस इतना ही। बात बिल्कुल सरल है, लेकिन यह पर्याप्त से अधिक त्रुटियां देती है। कृपया ध्यान प्रायोगिक उपकरण, और उनमें (त्रुटियाँ) कम होंगी!
व्यावहारिक सुझाव:
1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है! ये सामान्य शब्द नहीं हैं, शुभकामनाएँ नहीं हैं! यह अत्यंत आवश्यक है! एकीकृत राज्य परीक्षा में सभी गणनाएँ एक पूर्ण, केंद्रित और स्पष्ट कार्य के रूप में करें। मानसिक गणना करते समय गड़बड़ करने की तुलना में ड्राफ्ट में दो अतिरिक्त पंक्तियाँ लिखना बेहतर है।
2. उदाहरणों में अलग - अलग प्रकारभिन्न - साधारण भिन्न पर जाएँ।
3. हम सभी भिन्नों को तब तक कम करते हैं जब तक वे बंद न हो जाएं।
4. बहुमंजिला भिन्नात्मक अभिव्यक्तियाँदो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करके सामान्य को कम करें (विभाजन का क्रम देखें!)।
5. अपने दिमाग में एक इकाई को भिन्न से विभाजित करें, बस भिन्न को पलट दें।
यहां वे कार्य हैं जिन्हें आपको निश्चित रूप से पूरा करना होगा। सभी कार्यों के बाद उत्तर दिए जाते हैं। इस विषय पर सामग्री और व्यावहारिक सुझावों का उपयोग करें। अनुमान लगाएं कि आप कितने उदाहरणों को सही ढंग से हल करने में सक्षम थे। पहली बार ही सही! बिना कैलकुलेटर के! और सही निष्कर्ष निकालें...
याद रखें - सही उत्तर है दूसरे (विशेषकर तीसरे) समय से प्राप्त समय की गिनती नहीं होती!ऐसा ही कठोर जीवन है.
इसलिए, परीक्षा मोड में हल करें ! वैसे, यह पहले से ही एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी है। हम उदाहरण हल करते हैं, जाँचते हैं, अगला हल करते हैं। हमने सब कुछ तय कर लिया - पहले से आखिरी तक फिर से जाँच की। और केवल तबउत्तरों को देखो.
गणना करें:
क्या आपने निर्णय लिया है?
हम ऐसे उत्तर ढूंढ रहे हैं जो आपसे मेल खाते हों। मैंने जानबूझकर, प्रलोभन से दूर, उन्हें अव्यवस्थित तरीके से लिखा, ऐसा कहा जा सकता है... यहां वे उत्तर हैं, अर्धविराम के साथ लिखे गए हैं।
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
अब हम निष्कर्ष निकालते हैं. यदि सब कुछ ठीक रहा, तो मुझे आपके लिए खुशी होगी! भिन्नों के साथ बुनियादी गणनाएँ आपकी समस्या नहीं हैं! आप अधिक गंभीर कार्य कर सकते हैं. यदि नहीं...
तो आपके पास दो समस्याओं में से एक है। या दोनों एक साथ।) ज्ञान की कमी और (या) असावधानी। लेकिन इस व्याख्या करने योग्य समस्याएँ.
यदि आपको यह साइट पसंद है...
वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)
आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। आइए जानें - रुचि के साथ!)
आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।
पिछली बार हमने भिन्नों को जोड़ना और घटाना सीखा था (पाठ देखें " भिन्नों को जोड़ना और घटाना"). उन कार्यों में सबसे कठिन क्षण भिन्नों को कम करना था आम विभाजक.
अब गुणा और भाग से निपटने का समय आ गया है। अच्छी खबर यह है कि ये संक्रियाएँ जोड़ और घटाव से भी अधिक सरल हैं। सबसे पहले, आइए देखें सबसे सरल मामला, जब एक अलग पूर्णांक भाग के बिना दो सकारात्मक भिन्न होते हैं।
दो भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को अलग-अलग गुणा करना होगा। पहली संख्या नए भिन्न का अंश होगी, और दूसरी हर होगी।
दो भिन्नों को विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न को "उल्टे" दूसरे भिन्न से गुणा करना होगा।
पद का नाम:
परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि भिन्नों को विभाजित करने से गुणन कम हो जाता है। किसी भिन्न को "फ़्लिप" करने के लिए, बस अंश और हर की अदला-बदली करें। इसलिए, पूरे पाठ में हम मुख्य रूप से गुणन पर विचार करेंगे।
गुणन के परिणामस्वरूप, एक कम करने योग्य अंश उत्पन्न हो सकता है (और अक्सर उत्पन्न होता है) - निस्संदेह, इसे कम किया जाना चाहिए। यदि सभी कटौती के बाद अंश गलत हो जाता है, तो पूरे भाग को हाइलाइट किया जाना चाहिए। लेकिन गुणन के साथ जो निश्चित रूप से नहीं होगा वह एक सामान्य हर में कमी है: कोई क्रॉस-क्रॉस विधियां नहीं, सबसे बड़ा गुणनखंड और सबसे कम सामान्य गुणज।
परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:
भिन्नों को पूर्ण भागों और ऋणात्मक भिन्नों से गुणा करना
यदि भिन्नों में पूर्णांक भाग होता है, तो उन्हें अनुचित भागों में परिवर्तित किया जाना चाहिए - और उसके बाद ही ऊपर उल्लिखित योजनाओं के अनुसार गुणा किया जाना चाहिए।
यदि किसी भिन्न के अंश में, हर में या उसके सामने ऋण चिह्न हो, तो उसे निम्नलिखित नियमों के अनुसार गुणन से निकाला जा सकता है या पूरी तरह से हटाया जा सकता है:
- प्लस माइनस से माइनस देता है;
- दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं।
अब तक, ये नियम केवल ऋणात्मक भिन्नों को जोड़ने और घटाने पर ही सामने आए हैं, जब पूरे भाग से छुटकारा पाना आवश्यक था। किसी कार्य के लिए, उन्हें एक साथ कई नुकसानों को "जलाने" के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:
- हम नकारात्मकताओं को जोड़े में तब तक काटते हैं जब तक वे पूरी तरह से गायब नहीं हो जातीं। चरम मामलों में, एक ऋण जीवित रह सकता है - वह जिसके लिए कोई साथी नहीं था;
- यदि कोई माइनस नहीं बचा है, तो ऑपरेशन पूरा हो गया है - आप गुणा करना शुरू कर सकते हैं। यदि अंतिम ऋण को पार नहीं किया गया है क्योंकि इसके लिए कोई जोड़ा नहीं था, तो हम इसे गुणन की सीमा से बाहर ले जाते हैं। परिणाम एक ऋणात्मक अंश है.
काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:
हम सभी भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलते हैं, और फिर गुणन से ऋण निकाल देते हैं। जो बचता है उसे हम सामान्य नियमों के अनुसार गुणा करते हैं। हम पाते हैं:
मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं कि हाइलाइट किए गए पूर्ण भाग के साथ भिन्न के सामने दिखाई देने वाला ऋण विशेष रूप से संपूर्ण भिन्न को संदर्भित करता है, न कि केवल उसके पूरे भाग को (यह पिछले दो उदाहरणों पर लागू होता है)।
ऋणात्मक संख्याओं पर भी ध्यान दें: गुणा करते समय, वे कोष्ठक में संलग्न होते हैं। ऐसा गुणन चिह्नों से ऋणों को अलग करने और संपूर्ण अंकन को अधिक सटीक बनाने के लिए किया जाता है।
तुरंत अंशों को कम करना
गुणन एक अत्यंत श्रमसाध्य कार्य है। यहां संख्याएं काफी बड़ी हैं, और समस्या को सरल बनाने के लिए, आप भिन्न को और कम करने का प्रयास कर सकते हैं गुणन से पहले. वास्तव में, संक्षेप में, भिन्नों के अंश और हर सामान्य गुणनखंड हैं, और इसलिए, उन्हें भिन्न के मूल गुण का उपयोग करके कम किया जा सकता है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:
काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:
परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:
सभी उदाहरणों में, जो संख्याएँ कम की गई हैं और जो बची हैं उन्हें लाल रंग में चिह्नित किया गया है।
कृपया ध्यान दें: पहले मामले में, गुणक पूरी तरह से कम हो गए थे। उनके स्थान पर ऐसी इकाइयाँ बनी रहती हैं, जिन्हें सामान्यतः लिखने की आवश्यकता नहीं होती। दूसरे उदाहरण में पूर्ण कमीइसे हासिल करना संभव नहीं था, लेकिन गणना की कुल मात्रा अभी भी कम हो गई।
हालाँकि, भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय कभी भी इस तकनीक का उपयोग न करें! हाँ, कभी-कभी ऐसी ही संख्याएँ होती हैं जिन्हें आप कम करना चाहते हैं। यहाँ, देखो:
आप ऐसा नहीं कर सकते!
त्रुटि इसलिए होती है क्योंकि जोड़ते समय, अंश का अंश योग उत्पन्न करता है, संख्याओं का गुणनफल नहीं। नतीजतन, भिन्न के मूल गुण को लागू करना असंभव है, क्योंकि यह गुण विशेष रूप से संख्याओं के गुणन से संबंधित है।
भिन्नों को कम करने का कोई अन्य कारण नहीं है, इसलिए सही निर्णयपिछला कार्य इस प्रकार दिखता है:
सही समाधान:
जैसा कि आप देख सकते हैं, सही उत्तर उतना सुंदर नहीं निकला। सामान्य तौर पर सावधान रहें.