आइए हम समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली चुनें और भुज अक्ष पर तर्क के मानों को आलेखित करें एक्स, और कोर्डिनेट पर - फ़ंक्शन के मान वाई = एफ(एक्स).
फ़ंक्शन ग्राफ़ वाई = एफ(एक्स)उन सभी बिंदुओं का समूह है जिनके भुज फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित हैं, और निर्देशांक फ़ंक्शन के संबंधित मानों के बराबर हैं।
दूसरे शब्दों में, फ़ंक्शन y = f (x) का ग्राफ़ समतल के सभी बिंदुओं, निर्देशांकों का समुच्चय है एक्स, परजो रिश्ते को संतुष्ट करता है वाई = एफ(एक्स).
चित्र में. 45 और 46 फ़ंक्शंस के ग्राफ़ दिखाते हैं y = 2x + 1और y = x 2 - 2x.
कड़ाई से बोलते हुए, किसी को किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ (जिसकी सटीक गणितीय परिभाषा ऊपर दी गई थी) और खींचे गए वक्र के बीच अंतर करना चाहिए, जो हमेशा ग्राफ़ का केवल अधिक या कम सटीक स्केच देता है (और फिर भी, एक नियम के रूप में, संपूर्ण ग्राफ़ नहीं, बल्कि केवल उसका भाग जो समतल के अंतिम भागों में स्थित है)। हालाँकि, आगे हम आम तौर पर "ग्राफ़ स्केच" के बजाय "ग्राफ़" कहेंगे।
ग्राफ़ का उपयोग करके, आप किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात कर सकते हैं। अर्थात्, यदि बात एक्स = एफ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित है वाई = एफ(एक्स), फिर संख्या ज्ञात करने के लिए एफ(ए)(अर्थात बिंदु पर फ़ंक्शन मान एक्स = ए) तुम्हें यह करना चाहिए। यह भुज बिंदु के माध्यम से आवश्यक है एक्स = एकोटि अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचिए; यह रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्रतिच्छेद करेगी वाई = एफ(एक्स)एक बिंदु पर; इस बिंदु की कोटि, ग्राफ़ की परिभाषा के आधार पर, के बराबर होगी एफ(ए)(चित्र 47)।
उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स) = एक्स 2 - 2एक्सग्राफ़ (चित्र 46) का उपयोग करके हम f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, आदि पाते हैं।
एक फ़ंक्शन ग्राफ़ किसी फ़ंक्शन के व्यवहार और गुणों को स्पष्ट रूप से दर्शाता है। उदाहरण के लिए, चित्र के विचार से। 46 यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन y = x 2 - 2xजब सकारात्मक मान लेता है एक्स< 0 और कम से एक्स > 2, नकारात्मक - 0 पर< x < 2; सबसे छोटा मूल्यसमारोह y = x 2 - 2xपर स्वीकार करता है एक्स = 1.
किसी फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने के लिए एफ(एक्स)आपको समतल के सभी बिंदु, निर्देशांक खोजने होंगे एक्स,परजो समीकरण को संतुष्ट करता है वाई = एफ(एक्स). अधिकांश मामलों में ऐसा करना असंभव है, क्योंकि ऐसे बिंदुओं की संख्या अनंत है। इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ़ लगभग - अधिक या कम सटीकता के साथ दर्शाया गया है। कई बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ़ बनाने की विधि सबसे सरल है। यह इस तथ्य में निहित है कि तर्क एक्समानों की एक सीमित संख्या दें - मान लें, x 1, x 2, x 3,..., x k और एक तालिका बनाएं जिसमें चयनित फ़ंक्शन मान शामिल हों।
तालिका इस प्रकार दिखती है:
ऐसी तालिका संकलित करके, हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर कई बिंदुओं को रेखांकित कर सकते हैं वाई = एफ(एक्स). फिर, इन बिंदुओं को एक चिकनी रेखा से जोड़कर, हमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक अनुमानित दृश्य मिलता है वाई = एफ(एक्स).
हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि बहु-बिंदु आलेखन विधि बहुत अविश्वसनीय है। वास्तव में, इच्छित बिंदुओं के बीच ग्राफ का व्यवहार और लिए गए चरम बिंदुओं के बीच के खंड के बाहर उसका व्यवहार अज्ञात रहता है।
उदाहरण 1. किसी फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने के लिए वाई = एफ(एक्स)किसी ने तर्क और फ़ंक्शन मानों की एक तालिका संकलित की:
संबंधित पाँच बिंदु चित्र में दिखाए गए हैं। 48.
इन बिंदुओं के स्थान के आधार पर, उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है (चित्र 48 में एक बिंदीदार रेखा के साथ दिखाया गया है)। क्या इस निष्कर्ष को विश्वसनीय माना जा सकता है? जब तक इस निष्कर्ष का समर्थन करने के लिए अतिरिक्त विचार न हों, इसे शायद ही विश्वसनीय माना जा सकता है। भरोसेमंद।
हमारे कथन को प्रमाणित करने के लिए, फ़ंक्शन पर विचार करें
.
गणना से पता चलता है कि बिंदु -2, -1, 0, 1, 2 पर इस फ़ंक्शन के मान उपरोक्त तालिका द्वारा सटीक रूप से वर्णित हैं। हालाँकि, इस फ़ंक्शन का ग्राफ बिल्कुल भी सीधी रेखा नहीं है (यह चित्र 49 में दिखाया गया है)। एक अन्य उदाहरण फ़ंक्शन होगा y = x + l + synπx;इसके अर्थ भी उपरोक्त तालिका में वर्णित हैं।
ये उदाहरण दिखाते हैं कि अपने "शुद्ध" रूप में कई बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ़ बनाने की विधि अविश्वसनीय है। इसलिए, किसी दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए, आमतौर पर निम्नानुसार आगे बढ़ना होता है। सबसे पहले, हम इस फ़ंक्शन के गुणों का अध्ययन करते हैं, जिसकी सहायता से हम ग्राफ़ का एक स्केच बना सकते हैं। फिर, कई बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करके (जिनकी पसंद फ़ंक्शन के स्थापित गुणों पर निर्भर करती है), ग्राफ़ के संबंधित बिंदु पाए जाते हैं। और अंत में, इस फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करके निर्मित बिंदुओं के माध्यम से एक वक्र खींचा जाता है।
हम बाद में ग्राफ़ स्केच खोजने के लिए उपयोग किए जाने वाले फ़ंक्शन के कुछ (सबसे सरल और सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले) गुणों को देखेंगे, लेकिन अब हम ग्राफ़ बनाने के लिए कुछ सामान्य रूप से उपयोग की जाने वाली विधियों को देखेंगे।
फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = |f(x)|
किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करना अक्सर आवश्यक होता है वाई = |एफ(एक्स)|, कहाँ एफ(एक्स) -दिया गया कार्य. आइए हम आपको याद दिलाएं कि यह कैसे किया जाता है। किसी संख्या का निरपेक्ष मान परिभाषित करके हम लिख सकते हैं
इसका मतलब है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ y =|f(x)|ग्राफ़, फ़ंक्शन से प्राप्त किया जा सकता है वाई = एफ(एक्स)इस प्रकार: फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर सभी बिंदु वाई = एफ(एक्स), जिनके निर्देशांक गैर-नकारात्मक हैं, उन्हें अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए; आगे, फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बिंदुओं के बजाय वाई = एफ(एक्स)नकारात्मक निर्देशांक होने पर, आपको फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर संबंधित बिंदुओं का निर्माण करना चाहिए y = -f(x)(अर्थात् फ़ंक्शन के ग्राफ़ का भाग
वाई = एफ(एक्स), जो अक्ष के नीचे स्थित है एक्स,अक्ष के चारों ओर सममित रूप से प्रतिबिंबित होना चाहिए एक्स).
उदाहरण 2.फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं y = |x|
आइए फ़ंक्शन का ग्राफ़ लें वाई = एक्स(चित्र 50, ए) और इस ग्राफ का भाग एक्स< 0 (धुरी के नीचे लेटा हुआ एक्स) अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से परिलक्षित होता है एक्स. परिणामस्वरूप, हमें फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ मिलता है y = |x|(चित्र 50, बी)।
उदाहरण 3. फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं y = |x 2 - 2x|
सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें y = x 2 - 2x.इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है, जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, परवलय के शीर्ष पर निर्देशांक (1; -1) होते हैं, इसका ग्राफ़ x-अक्ष को बिंदु 0 और 2 पर काटता है। अंतराल में (0; 2) फ़ंक्शन नकारात्मक मान लेता है, इसलिए ग्राफ़ का यह भाग एब्सिस्सा अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से प्रतिबिंबित होता है। चित्र 51 फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है y = |x 2 -2x|, फ़ंक्शन के ग्राफ़ के आधार पर y = x 2 - 2x
फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = f(x) + g(x)
किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने की समस्या पर विचार करें y = f(x) + g(x).यदि फ़ंक्शन ग्राफ़ दिए गए हैं वाई = एफ(एक्स)और वाई = जी(एक्स).
ध्यान दें कि फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र y = |f(x) + g(x)| x के उन सभी मानों का समुच्चय है जिसके लिए दोनों फ़ंक्शन y = f(x) और y = g(x) परिभाषित हैं, यानी परिभाषा का यह डोमेन परिभाषा के डोमेन, फ़ंक्शन f(x) का प्रतिच्छेदन है और जी(एक्स).
चलो अंक (x 0 , y 1) और (एक्स 0, वाई 2) क्रमशः फ़ंक्शंस के ग्राफ़ से संबंधित हैं वाई = एफ(एक्स)और वाई = जी(एक्स), यानी y 1 = एफ(एक्स 0), वाई 2 = जी(एक्स 0)।फिर बिंदु (x0;. y1 + y2) फ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित है वाई = एफ(एक्स) + जी(एक्स)(के लिए एफ(एक्स 0) + जी(एक्स 0) = य 1 +y2),. और फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर कोई भी बिंदु वाई = एफ(एक्स) + जी(एक्स)इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है. इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ़ वाई = एफ(एक्स) + जी(एक्स)फ़ंक्शन ग्राफ़ से प्राप्त किया जा सकता है वाई = एफ(एक्स). और वाई = जी(एक्स)प्रत्येक बिंदु को प्रतिस्थापित करना ( एक्स एन, वाई 1) फ़ंक्शन ग्राफ़िक्स वाई = एफ(एक्स)डॉट (एक्स एन, वाई 1 + वाई 2),कहाँ आप 2 = जी(एक्स एन), यानी प्रत्येक बिंदु को स्थानांतरित करके ( एक्स एन, वाई 1) फ़ंक्शन ग्राफ़ वाई = एफ(एक्स)अक्ष के अनुदिश परराशि से वाई 1 = जी(एक्स एन). इस मामले में केवल ऐसे बिंदुओं पर ही विचार किया जाता है एक्स n जिसके लिए दोनों फ़ंक्शन परिभाषित हैं वाई = एफ(एक्स)और वाई = जी(एक्स).
किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करने की यह विधि y = f(x) + g(x) को फ़ंक्शन ग्राफ़ का जोड़ कहा जाता है वाई = एफ(एक्स)और वाई = जी(एक्स)
उदाहरण 4. चित्र में, ग्राफ़ जोड़ने की विधि का उपयोग करके फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाया गया था
y = x + synx.
किसी फ़ंक्शन की योजना बनाते समय y = x + synxहमने ऐसा सोचा एफ(एक्स) = एक्स,ए जी(एक्स) = सिनएक्स.फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाने के लिए, हम भुज -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2 वाले बिंदुओं का चयन करते हैं। एफ(एक्स) = एक्स, जी(एक्स) = सिनएक्स, वाई = एक्स + सिनएक्सआइए चयनित बिंदुओं पर गणना करें और परिणामों को तालिका में रखें।
पहले, हमने अन्य कार्यों का अध्ययन किया, उदाहरण के लिए रैखिक, आइए हम इसके मानक रूप को याद करें:
इसलिए स्पष्ट मूलभूत अंतर - रैखिक कार्य में एक्सपहली डिग्री में खड़ा है, और नए फ़ंक्शन में हम अध्ययन करना शुरू कर रहे हैं, एक्सदूसरी शक्ति के लिए खड़ा है.
याद रखें कि एक रैखिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है, और फ़ंक्शन का ग्राफ़, जैसा कि हम देखेंगे, एक वक्र है जिसे परवलय कहा जाता है।
आइए यह पता लगाकर शुरू करें कि सूत्र कहां से आया। स्पष्टीकरण यह है: यदि हमें भुजा वाला एक वर्ग दिया गया है ए, तो हम इसके क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:
यदि हम किसी वर्ग की भुजा की लंबाई बदल दें तो उसका क्षेत्रफल बदल जाएगा।
तो, यह एक कारण है कि फ़ंक्शन का अध्ययन क्यों किया जाता है
याद रखें कि वेरिएबल एक्स- यह एक स्वतंत्र चर, या भौतिक व्याख्या में तर्क है, उदाहरण के लिए, समय हो सकता है; इसके विपरीत, दूरी एक आश्रित चर है; यह समय पर निर्भर करता है। आश्रित चर या फलन एक चर है पर.
यह पत्राचार का नियम है, जिसके अनुसार प्रत्येक मान एक्सएक एकल मान निर्दिष्ट किया गया है पर.
किसी भी पत्राचार कानून को तर्क से कार्य तक विशिष्टता की आवश्यकता को पूरा करना चाहिए। भौतिक व्याख्या में, समय पर दूरी की निर्भरता के उदाहरण के आधार पर यह बिल्कुल स्पष्ट दिखता है: समय के प्रत्येक क्षण में हम शुरुआती बिंदु से एक निश्चित दूरी पर होते हैं, और समय टी पर एक ही समय में होना असंभव है यात्रा की शुरुआत से 10 और 20 किलोमीटर दोनों।
साथ ही, प्रत्येक फ़ंक्शन मान को कई तर्क मानों के साथ प्राप्त किया जा सकता है।
तो, हमें फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाने की आवश्यकता है, इसके लिए हमें एक तालिका बनाने की आवश्यकता है। फिर ग्राफ़ का उपयोग करके फ़ंक्शन और उसके गुणों का अध्ययन करें। लेकिन फ़ंक्शन के प्रकार के आधार पर ग्राफ़ बनाने से पहले भी, हम इसके गुणों के बारे में कुछ कह सकते हैं: यह स्पष्ट है परनहीं स्वीकार सकता नकारात्मक मान, क्योंकि
तो, आइए एक तालिका बनाएं:
चावल। 1
ग्राफ़ से निम्नलिखित गुणों को नोट करना आसान है:
धुरी पर- यह ग्राफ की समरूपता का अक्ष है;
परवलय का शीर्ष बिंदु (0; 0) है;
हम देखते हैं कि फ़ंक्शन केवल गैर-नकारात्मक मान स्वीकार करता है;
अंतराल में जहां 
फलन घटता है, और अंतराल पर जहां फलन बढ़ता है;
फ़ंक्शन शीर्ष पर अपना सबसे छोटा मान प्राप्त करता है, 
;
किसी फ़ंक्शन का कोई सबसे बड़ा मूल्य नहीं है;
उदाहरण 1
स्थिति:
समाधान:
क्योंकि एक्सएक विशिष्ट अंतराल पर स्थिति में परिवर्तन से, हम फ़ंक्शन के बारे में कह सकते हैं कि यह बढ़ता है और अंतराल पर बदलता है। इस अंतराल पर फ़ंक्शन का न्यूनतम मान और अधिकतम मान होता है
चावल। 2. फलन का ग्राफ़ y = x 2 , x ∈
उदाहरण 2
स्थिति:किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें:
समाधान:
एक्सअंतराल पर परिवर्तन, जिसका अर्थ है परसमय अंतराल पर घटता है और समय अंतराल पर बढ़ता है।
तो, परिवर्तन की सीमाएँ एक्स, और परिवर्तन की सीमाएँ पर, और, इसलिए, किसी दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन का न्यूनतम मान और अधिकतम दोनों होते हैं
चावल। 3. फलन का ग्राफ y = x 2 , x ∈ [-3; 2]
आइए हम इस तथ्य को स्पष्ट करें कि एक ही फ़ंक्शन मान को कई तर्क मानों के साथ प्राप्त किया जा सकता है।
"प्राकृतिक लघुगणक" - 0.1. प्राकृतिक लघुगणक. 4. लॉगरिदमिक डार्ट्स। 0.04. 7.121.
"पावर फंक्शन ग्रेड 9" - यू. क्यूबिक परवलय। वाई = x3. 9वीं कक्षा की शिक्षिका लाडोशकिना आई.ए. वाई = एक्स2. अतिपरवलय. 0. Y = xn, y = x-n जहां n दिया गया है प्राकृतिक संख्या. X. घातांक एक सम प्राकृत संख्या (2n) है।
"द्विघात फलन" - 1 परिभाषा द्विघात कार्य 2 किसी फ़ंक्शन के गुण 3 किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ 4 द्विघात असमानताएँ 5 निष्कर्ष। गुण: असमानताएँ: 8ए कक्षा के छात्र एंड्रे गेर्लिट्ज़ द्वारा तैयार किया गया। योजना: ग्राफ़: -ए के लिए एकरसता का अंतराल > 0 के लिए< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
"द्विघात फलन और उसका ग्राफ" - समाधान.y=4x A(0.5:1) 1=1 A-संबंधित है। जब a=1, सूत्र y=ax का रूप लेता है।
"8वीं कक्षा का द्विघात फलन" - 1) एक परवलय के शीर्ष की रचना करें। एक द्विघात फलन का ग्राफ आलेखित करना। एक्स। -7. फ़ंक्शन का ग्राफ बनाएं. बीजगणित 8वीं कक्षा शिक्षक 496 बोविना स्कूल टी.वी.-1. निर्माण योजना। 2) सममिति अक्ष x=-1 की रचना करें। वाई