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भिन्नात्मक लघुगणक समाधान. प्राकृतिक लघुगणक, फलन ln x

आदिम स्तर के बीजगणित के तत्वों में से एक लघुगणक है। नाम से आता है ग्रीक भाषाशब्द "संख्या" या "शक्ति" से और इसका अर्थ है वह डिग्री जिस तक अंतिम संख्या खोजने के लिए आधार में संख्या को बढ़ाया जाना चाहिए।

लघुगणक के प्रकार

  • लॉग ए बी - संख्या बी का आधार ए (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0) का लघुगणक;
  • लॉग बी - दशमलव लघुगणक (आधार 10 पर लघुगणक, ए = 10);
  • एलएन बी - प्राकृतिक लघुगणक (आधार ई के लिए लघुगणक, ए = ई)।

लघुगणक कैसे हल करें?

आधार a पर b का लघुगणक एक घातांक है जिसके लिए b को आधार a पर बढ़ाने की आवश्यकता होती है। प्राप्त परिणाम को इस प्रकार उच्चारित किया जाता है: "बी से आधार ए का लघुगणक।" लघुगणकीय समस्याओं का समाधान यह है कि आपको निर्दिष्ट संख्याओं से संख्याओं में दी गई शक्ति निर्धारित करने की आवश्यकता है। लघुगणक को निर्धारित करने या हल करने के साथ-साथ नोटेशन को परिवर्तित करने के लिए कुछ बुनियादी नियम हैं। इनके प्रयोग से घोल तैयार किया जाता है लघुगणकीय समीकरण, डेरिवेटिव पाए जाते हैं, इंटीग्रल हल किए जाते हैं, और कई अन्य ऑपरेशन किए जाते हैं। मूलतः, लघुगणक का समाधान ही इसका सरलीकृत अंकन है। नीचे मूल सूत्र और गुण हैं:

किसी के लिए; ए > 0; a ≠ 1 और किसी भी x के लिए; आप > 0.

  • ए लॉग ए बी = बी - बुनियादी लघुगणकीय पहचान
  • लॉग ए 1 = 0
  • लॉगा ए = 1
  • लॉग ए (एक्स वाई) = लॉग ए एक्स + लॉग ए वाई
  • लॉग ए एक्स/ वाई = लॉग ए एक्स - लॉग ए वाई
  • लॉग ए 1/एक्स = -लॉग ए एक्स
  • लॉग ए एक्स पी = पी लॉग ए एक्स
  • k ≠ 0 के लिए log a k x = 1/k log a x
  • लॉग ए एक्स = लॉग ए सी एक्स सी
  • लॉग ए एक्स = लॉग बी एक्स/ लॉग बी ए - नए आधार पर जाने का सूत्र
  • लॉग ए एक्स = 1/लॉग एक्स ए


लघुगणक कैसे हल करें - हल करने के लिए चरण-दर-चरण निर्देश

  • सबसे पहले, आवश्यक समीकरण लिखिए।

कृपया ध्यान दें: यदि आधार लघुगणक 10 है, तो प्रविष्टि को छोटा कर दिया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप दशमलव लघुगणक प्राप्त होता है। अगर यह लायक है प्राकृतिक संख्याई, फिर हम इसे लिखते हैं, इसे प्राकृतिक लघुगणक में घटाते हैं। इसका मतलब यह है कि सभी लघुगणक का परिणाम वह शक्ति है जिस तक संख्या बी प्राप्त करने के लिए आधार संख्या को बढ़ाया जाता है।


सीधे तौर पर समाधान इस डिग्री की गणना में निहित है। किसी व्यंजक को लघुगणक से हल करने से पहले उसे नियम के अनुसार अर्थात् सूत्रों का प्रयोग करके सरल बनाना आवश्यक है। आप लेख में थोड़ा पीछे जाकर मुख्य पहचान पा सकते हैं।

दो के साथ लघुगणक जोड़ना और घटाना अलग-अलग नंबर, लेकिन समान आधारों के साथ, क्रमशः संख्या बी और सी के उत्पाद या विभाजन के साथ एक लघुगणक के साथ बदलें। इस मामले में, आप दूसरे आधार पर जाने के लिए सूत्र लागू कर सकते हैं (ऊपर देखें)।

यदि आप लघुगणक को सरल बनाने के लिए अभिव्यक्तियों का उपयोग करते हैं, तो विचार करने के लिए कुछ सीमाएँ हैं। और वह यह है: लघुगणक का आधार केवल एक धनात्मक संख्या है, लेकिन एक के बराबर नहीं है। संख्या b, a की तरह, शून्य से बड़ी होनी चाहिए।

ऐसे मामले हैं, जहां किसी अभिव्यक्ति को सरल बनाकर, आप संख्यात्मक रूप से लघुगणक की गणना नहीं कर पाएंगे। ऐसा होता है कि ऐसी अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि कई घात अपरिमेय संख्याएँ हैं। इस शर्त के तहत, संख्या की घात को लघुगणक के रूप में छोड़ दें।



मुख्य गुण.

  1. लॉगैक्स + लॉगे = लॉगा(x y);
  2. logax − logay = loga (x: y).

समान आधार

लॉग6 4 + लॉग6 9.

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं।

लघुगणक हल करने के उदाहरण

क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

निःसंदेह, यदि लघुगणक का ODZ देखा जाए तो ये सभी नियम समझ में आते हैं: a > 0, a ≠ 1, x >

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

एक नई नींव में परिवर्तन

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

यह सभी देखें:


लघुगणक के मूल गुण

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प्रतिपादक 2.718281828 है... प्रतिपादक को याद रखने के लिए, आप नियम का अध्ययन कर सकते हैं: प्रतिपादक 2.7 के बराबर है और लियो निकोलाइविच टॉल्स्टॉय के जन्म के वर्ष का दोगुना है।

लघुगणक के मूल गुण

इस नियम को जानकर आप जान जायेंगे और सही मूल्यप्रदर्शक, और लियो टॉल्स्टॉय की जन्म तिथि।


लघुगणक के उदाहरण

लघुगणक अभिव्यक्तियाँ

उदाहरण 1।
ए)। x=10ac^2 (a>0,c>0).

गुण 3.5 का उपयोग करके हम गणना करते हैं

2.

3.

4. कहाँ .



उदाहरण 2. यदि x ज्ञात करें


उदाहरण 3. मान लीजिए लघुगणक का मान दिया गया है

यदि लॉग(x) की गणना करें




लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएं नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.

आपको निश्चित रूप से इन नियमों को जानने की आवश्यकता है - इनके बिना, एक भी गंभीर लघुगणकीय समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - आप एक दिन में सब कुछ सीख सकते हैं। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणक जोड़ना और घटाना

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लॉगैक्स और लॉगे। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

  1. लॉगैक्स + लॉगे = लॉगा(x y);
  2. logax − logay = loga (x: y).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल के लघुगणक के बराबर है। कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बिंदु यह है समान आधार. यदि कारण भिन्न हों तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र आपको गणना करने में मदद करेंगे लघुगणकीय अभिव्यक्तितब भी जब इसके अलग-अलग हिस्सों की गिनती नहीं की जाती है (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

चूँकि लघुगणक का आधार समान होता है, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग6 4 + लॉग6 9 = लॉग6 (4 9) = लॉग6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log2 48 − log2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग2 48 - लॉग2 3 = लॉग2 (48:3) = लॉग2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log3 135 − log3 5.

फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग3 135 - लॉग3 5 = लॉग3 (135:5) = लॉग3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई लोग इस तथ्य पर आधारित हैं परीक्षण पत्र. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का पालन करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम तब समझ में आते हैं जब लघुगणक का ODZ देखा जाता है: a > 0, a ≠ 1, x > 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें , अर्थात। आप लघुगणक पर हस्ताक्षर करने से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log7 496।

आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग7 496 = 6 लॉग7 49 = 6 2 = 12

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि हर में एक लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 24; 49 = 72. हमारे पास है:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण के लिए कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? बहुत तक अंतिम क्षणहम केवल हर के साथ काम करते हैं।

लघुगणक सूत्र. लघुगणक उदाहरण समाधान.

हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर में समान संख्या होती है: log2 7. चूँकि log2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो कि किया गया था। परिणाम यह उत्तर था: 2.

एक नई नींव में परिवर्तन

लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि कारण भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?

नई नींव में परिवर्तन के सूत्र बचाव में आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

विशेष रूप से, यदि हम c = x सेट करते हैं, तो हमें मिलता है:

दूसरे सूत्र से यह पता चलता है कि लघुगणक के आधार और तर्क की अदला-बदली की जा सकती है, लेकिन इस मामले में संपूर्ण अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है।

ये सूत्र पारंपरिक रूप में बहुत कम पाए जाते हैं संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ. लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालाँकि, ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर नजर डालें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log5 16 log2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक शक्तियाँ होती हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग5 16 = लॉग5 24 = 4लॉग5 2; लॉग2 25 = लॉग2 52 = 2लॉग2 5;

अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

चूंकि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक से निपटा।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log9 100 lg 3.

प्रथम लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर समाधान प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, निम्नलिखित सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में प्रतिपादक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल एक लघुगणक मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहते हैं: .

वास्तव में, यदि संख्या b को इतनी घात तक बढ़ा दिया जाए कि इस घात की संख्या b, संख्या a दे दे तो क्या होगा? यह सही है: परिणाम वही संख्या है। इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर अटक जाते हैं।

नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि लॉग25 64 = लॉग5 8 - बस लघुगणक के आधार और तर्क से वर्ग लिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में दिखाई देते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

  1. लोगा = 1 है. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक स्वयं एक के बराबर होता है।
  2. लॉगा 1 = 0 है. आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकि a0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

यह सभी देखें:

आधार a से b का लघुगणक अभिव्यक्ति को दर्शाता है। लघुगणक की गणना करने का अर्थ है एक घात x() ज्ञात करना जिस पर समानता संतुष्ट होती है

लघुगणक के मूल गुण

उपरोक्त गुणों को जानना आवश्यक है, क्योंकि लघुगणक से संबंधित लगभग सभी समस्याओं एवं उदाहरणों का समाधान इन्हीं के आधार पर किया जाता है। शेष विदेशी गुण इन सूत्रों के साथ गणितीय हेरफेर के माध्यम से प्राप्त किए जा सकते हैं

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लघुगणक (3.4) के योग और अंतर के सूत्र की गणना करते समय आपका सामना अक्सर होता है। बाकी कुछ हद तक जटिल हैं, लेकिन कई कार्यों में जटिल अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और उनके मूल्यों की गणना करने के लिए वे अपरिहार्य हैं।

लघुगणक के सामान्य मामले

कुछ सामान्य लघुगणक वे हैं जिनका आधार सम दस, घातांकीय या दो है।
आधार दस के लघुगणक को आमतौर पर दशमलव लघुगणक कहा जाता है और इसे केवल lg(x) द्वारा दर्शाया जाता है।

रिकॉर्डिंग से साफ है कि रिकॉर्डिंग में मूल बातें नहीं लिखी गई हैं. उदाहरण के लिए

प्राकृतिकएक लघुगणक है जिसका आधार एक घातांक है (जिसे ln(x) द्वारा दर्शाया गया है)।

प्रतिपादक 2.718281828 है... प्रतिपादक को याद रखने के लिए, आप नियम का अध्ययन कर सकते हैं: प्रतिपादक 2.7 के बराबर है और लियो निकोलाइविच टॉल्स्टॉय के जन्म के वर्ष का दोगुना है। इस नियम को जानने से आपको प्रतिपादक का सटीक मान और लियो टॉल्स्टॉय की जन्म तिथि दोनों पता चल जाएगी।

और आधार दो को एक और महत्वपूर्ण लघुगणक द्वारा दर्शाया गया है

किसी फ़ंक्शन के लघुगणक का व्युत्पन्न चर द्वारा विभाजित एक के बराबर होता है

अभिन्न या प्रतिअवकलन लघुगणक संबंध द्वारा निर्धारित होता है

दी गई सामग्री आपके लिए लघुगणक और लघुगणक से संबंधित विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त है। सामग्री को समझने में आपकी सहायता के लिए, मैं केवल कुछ सामान्य उदाहरण दूंगा स्कूल के पाठ्यक्रमऔर विश्वविद्यालय.

लघुगणक के उदाहरण

लघुगणक अभिव्यक्तियाँ

उदाहरण 1।
ए)। x=10ac^2 (a>0,c>0).

गुण 3.5 का उपयोग करके हम गणना करते हैं

2.
हमारे पास लघुगणक के अंतर के गुण के आधार पर

3.
गुण 3.5 का उपयोग करके हम पाते हैं

4. कहाँ .

एक प्रतीत होने वाली जटिल अभिव्यक्ति को कई नियमों का उपयोग करके सरल बनाया जाता है

लघुगणक मान ढूँढना

उदाहरण 2. यदि x ज्ञात करें

समाधान। गणना के लिए, हम अंतिम पद 5 और 13 गुणों पर लागू होते हैं

हम इसे रिकॉर्ड पर रखते हैं और शोक मनाते हैं

चूँकि आधार बराबर हैं, हम व्यंजकों को बराबर करते हैं

लघुगणक. प्रथम स्तर।

मान लीजिए लघुगणक का मान दिया गया है

यदि लॉग(x) की गणना करें

समाधान: आइए चर के पदों के योग के माध्यम से लघुगणक लिखने के लिए चर का एक लघुगणक लें


यह लघुगणक और उनके गुणों से हमारे परिचय की शुरुआत मात्र है। गणनाओं का अभ्यास करें, अपने व्यावहारिक कौशल को समृद्ध करें - लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए आपको जल्द ही ज्ञान की आवश्यकता होगी। ऐसे समीकरणों को हल करने की बुनियादी विधियों का अध्ययन करने के बाद, हम आपके ज्ञान को एक और समान रूप से महत्वपूर्ण विषय - लघुगणकीय असमानताओं तक विस्तारित करेंगे...

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएं नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.

आपको निश्चित रूप से इन नियमों को जानने की आवश्यकता है - इनके बिना, एक भी गंभीर लघुगणकीय समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - आप एक दिन में सब कुछ सीख सकते हैं। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणक जोड़ना और घटाना

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लॉगैक्स और लॉगे। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

  1. लॉगैक्स + लॉगे = लॉगा(x y);
  2. logax − logay = loga (x: y).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल के लघुगणक के बराबर है। कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बिंदु यह है समान आधार. यदि कारण भिन्न हों तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र आपको एक लघुगणकीय अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log6 4 + log6 9।

चूँकि लघुगणक का आधार समान होता है, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग6 4 + लॉग6 9 = लॉग6 (4 9) = लॉग6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log2 48 − log2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग2 48 - लॉग2 3 = लॉग2 (48:3) = लॉग2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log3 135 − log3 5.

फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग3 135 - लॉग3 5 = लॉग3 (135:5) = लॉग3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई परीक्षण इसी तथ्य पर आधारित होते हैं. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का पालन करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम तब समझ में आते हैं जब लघुगणक का ODZ देखा जाता है: a > 0, a ≠ 1, x > 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें , अर्थात। आप लघुगणक पर हस्ताक्षर करने से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं।

लघुगणक कैसे हल करें

इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log7 496।

आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग7 496 = 6 लॉग7 49 = 6 2 = 12

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि हर में एक लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 24; 49 = 72. हमारे पास है:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण में कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक हम केवल हर के साथ काम करते हैं। हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर में समान संख्या होती है: log2 7. चूँकि log2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो कि किया गया था। परिणाम यह उत्तर था: 2.

एक नई नींव में परिवर्तन

लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि कारण भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?

नई नींव में परिवर्तन के सूत्र बचाव में आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

विशेष रूप से, यदि हम c = x सेट करते हैं, तो हमें मिलता है:

दूसरे सूत्र से यह पता चलता है कि लघुगणक के आधार और तर्क की अदला-बदली की जा सकती है, लेकिन इस मामले में संपूर्ण अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालाँकि, ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर नजर डालें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log5 16 log2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक शक्तियाँ होती हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग5 16 = लॉग5 24 = 4लॉग5 2; लॉग2 25 = लॉग2 52 = 2लॉग2 5;

अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

चूंकि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक से निपटा।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log9 100 lg 3.

प्रथम लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर समाधान प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, निम्नलिखित सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में प्रतिपादक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल एक लघुगणक मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहते हैं: .

वास्तव में, यदि संख्या b को इतनी घात तक बढ़ा दिया जाए कि इस घात की संख्या b, संख्या a दे दे तो क्या होगा? यह सही है: परिणाम वही संख्या है। इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर अटक जाते हैं।

नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि लॉग25 64 = लॉग5 8 - बस लघुगणक के आधार और तर्क से वर्ग लिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में दिखाई देते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

  1. लोगा = 1 है. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक स्वयं एक के बराबर होता है।
  2. लॉगा 1 = 0 है. आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकि a0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

प्राकृतिक लघुगणक के मूल गुण, ग्राफ़, परिभाषा का क्षेत्र, मानों का सेट, मूल सूत्र, व्युत्पन्न, अभिन्न, विस्तार बिजली की श्रृंखलाऔर जटिल संख्याओं का उपयोग करके फ़ंक्शन ln x का प्रतिनिधित्व।

परिभाषा

प्राकृतिकफलन y = है एलएन एक्स, घातांक का व्युत्क्रम, x = e y, और संख्या e के आधार का लघुगणक है: एलएन एक्स = लॉग ई एक्स.

गणित में प्राकृतिक लघुगणक का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है क्योंकि इसके व्युत्पन्न का रूप सबसे सरल है: (एलएन एक्स)′ = 1/ एक्स.

आधारित परिभाषाएं, प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या है इ:
ई ≅ 2.718281828459045...;
.

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = एलएन एक्स.

प्राकृतिक लघुगणक का ग्राफ़ (फ़ंक्शन y = एलएन एक्स) घातीय ग्राफ से प्राप्त किया जाता है दर्पण छविसीधी रेखा y = x के सापेक्ष।

प्राकृतिक लघुगणक को चर x के सकारात्मक मानों के लिए परिभाषित किया गया है।

यह अपनी परिभाषा के क्षेत्र में नीरस रूप से बढ़ता है। 0 x → पर

प्राकृतिक लघुगणक की सीमा शून्य से अनंत (-∞) है। जैसे x → + ∞, प्राकृतिक लघुगणक की सीमा प्लस इनफिनिटी (+ ∞) है। बड़े x के लिए, लघुगणक काफी धीरे-धीरे बढ़ता है। कोईऊर्जा समीकरण

x a एक सकारात्मक घातांक के साथ लघुगणक की तुलना में तेजी से बढ़ता है।

प्राकृतिक लघुगणक के गुण

परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का समुच्चय, चरम सीमा, वृद्धि, कमी

प्राकृतिक लघुगणक एक नीरस रूप से बढ़ने वाला कार्य है, इसलिए इसका कोई चरम नहीं है। प्राकृतिक लघुगणक के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

एलएन एक्स मान

एलएन 1 = 0

प्राकृतिक लघुगणक के लिए मूल सूत्र

व्युत्क्रम फलन की परिभाषा से निम्नलिखित सूत्र:

लघुगणक का मुख्य गुण और उसके परिणाम

आधार प्रतिस्थापन सूत्र

किसी भी लघुगणक को आधार प्रतिस्थापन सूत्र का उपयोग करके प्राकृतिक लघुगणक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

इन सूत्रों के प्रमाण "लघुगणक" खंड में प्रस्तुत किए गए हैं।

उलटा काम करना

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्क्रम घातांक है।

तो अगर

तो अगर।

व्युत्पन्न एलएन एक्स
.
प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
मापांक x के प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:

सूत्र व्युत्पन्न करना > > >

अभिन्न
.
अभिन्न की गणना भागों द्वारा एकीकरण द्वारा की जाती है:

इसलिए,

सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए व्यंजक
.
जटिल चर z के फ़ंक्शन पर विचार करें: आइए जटिल चर को व्यक्त करेंजेड मॉड्यूल के माध्यम सेआर φ :
.
और तर्क
.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
.
या
तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। यदि आप डालते हैं
, जहां n एक पूर्णांक है,

यह अलग-अलग n के लिए समान संख्या होगी।

इसलिए, प्राकृतिक लघुगणक, एक जटिल चर के एक फ़ंक्शन के रूप में, एक एकल-मूल्य वाला फ़ंक्शन नहीं है।

शक्ति शृंखला विस्तार

जब विस्तार होता है:
सन्दर्भ:

में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

आइए इसे और अधिक सरलता से समझाएं। उदाहरण के लिए, \(\log_(2)(8)\) उस शक्ति के बराबर है जिससे \(8\) प्राप्त करने के लिए \(2\) को बढ़ाया जाना चाहिए। इससे यह स्पष्ट है कि \(\log_(2)(8)=3\).

उदाहरण:

\(\log_(5)(25)=2\)

क्योंकि \(5^(2)=25\)

\(\log_(3)(81)=4\)

क्योंकि \(3^(4)=81\)

\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)

क्योंकि \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

किसी भी लघुगणक में निम्नलिखित "शरीर रचना" होती है:

लघुगणक का तर्क आमतौर पर उसके स्तर पर लिखा जाता है, और आधार लघुगणक चिह्न के करीब सबस्क्रिप्ट में लिखा जाता है। और यह प्रविष्टि इस प्रकार है: "पच्चीस से आधार पाँच का लघुगणक।"

लघुगणक की गणना कैसे करें?

लघुगणक की गणना करने के लिए, आपको इस प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: तर्क प्राप्त करने के लिए आधार को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए?

उदाहरण के लिए, लघुगणक की गणना करें: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) प्राप्त करने के लिए \(4\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? जाहिर है दूसरा. इसीलिए:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

ग) \(1\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(5)\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? कौन सी शक्ति किसी भी नंबर को एक बनाती है? बिल्कुल शून्य!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(7)\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? सबसे पहले, पहली घात वाली कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है।

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\) प्राप्त करने के लिए \(3\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? इससे हम जानते हैं कि यह एक भिन्नात्मक घात है, जिसका अर्थ है वर्गमूल\(\frac(1)(2)\) की शक्ति है।

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

उदाहरण : लघुगणक की गणना करें \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

समाधान :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)

हमें लघुगणक का मान ज्ञात करना होगा, आइए इसे x के रूप में निरूपित करें। आइए अब लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें:
\(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)

\((4\sqrt(2))^(x)=8\)

\(4\sqrt(2)\) और \(8\) को क्या जोड़ता है? दो, क्योंकि दोनों संख्याओं को दो द्वारा दर्शाया जा सकता है:
\(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)

\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)

बाईं ओर हम डिग्री के गुणों का उपयोग करते हैं: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) और \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)

\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)

आधार समान हैं, हम संकेतकों की समानता की ओर बढ़ते हैं

\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)

समीकरण के दोनों पक्षों को \(\frac(2)(5)\) से गुणा करें

परिणामी मूल लघुगणक का मान है

उत्तर : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

लघुगणक का आविष्कार क्यों किया गया?

इसे समझने के लिए, आइए समीकरण को हल करें: \(3^(x)=9\). समानता को कार्यान्वित करने के लिए बस \(x\) का मिलान करें। बेशक, \(x=2\).

अब समीकरण हल करें: \(3^(x)=8\).x किसके बराबर है? यही तो बात है।

सबसे चतुर लोग कहेंगे: "X दो से थोड़ा कम है।" इस संख्या को वास्तव में कैसे लिखें? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए लघुगणक का आविष्कार किया गया। उनके लिए धन्यवाद, यहां उत्तर \(x=\log_(3)(8)\) के रूप में लिखा जा सकता है।

मैं इस बात पर जोर देना चाहता हूं कि \(\log_(3)(8)\), जैसे कोई भी लघुगणक सिर्फ एक संख्या है. हाँ, यह असामान्य दिखता है, लेकिन यह संक्षिप्त है। क्योंकि अगर हम इसे दशमलव के रूप में लिखना चाहें, तो यह इस तरह दिखेगा: \(1.892789260714...\)

उदाहरण : समीकरण को हल करें \(4^(5x-4)=10\)

समाधान :

\(4^(5x-4)=10\)

\(4^(5x-4)\) और \(10\) को एक ही आधार पर नहीं लाया जा सकता। इसका मतलब है कि आप लघुगणक के बिना काम नहीं कर सकते।

आइए लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें:
\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

\(\log_(4)(10)=5x-4\)

आइए समीकरण को पलटें ताकि X बाईं ओर हो

\(5x-4=\log_(4)(10)\)

हमारे सामने। आइए \(4\) को दाईं ओर ले जाएं।

और लघुगणक से डरो मत, इसे एक सामान्य संख्या की तरह समझो।

\(5x=\log_(4)(10)+4\)

समीकरण को 5 से विभाजित करें

\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

यह हमारी जड़ है. हाँ, यह असामान्य लगता है, लेकिन वे इसका उत्तर नहीं चुनते हैं।

उत्तर : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक

जैसा कि लघुगणक की परिभाषा में बताया गया है, इसका आधार एक \((a>0, a\neq1)\) को छोड़कर कोई भी धनात्मक संख्या हो सकता है। और सभी संभावित आधारों में से, दो ऐसे आधार हैं जो इतनी बार घटित होते हैं कि उनके साथ लघुगणक के लिए एक विशेष लघु अंकन का आविष्कार किया गया था:

प्राकृतिक लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार यूलर की संख्या \(e\) है (लगभग \(2.7182818...\) के बराबर), और लघुगणक को \(\ln(a)\) के रूप में लिखा जाता है।

वह है, \(\ln(a)\) \(\log_(e)(a)\) के समान है

दशमलव लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार 10 है उसे \(\lg(a)\) लिखा जाता है।

वह है, \(\lg(a)\) \(\log_(10)(a)\) के समान है, जहां \(a\) कोई संख्या है।

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

लघुगणक में कई गुण होते हैं। उनमें से एक को "बेसिक लॉगरिदमिक आइडेंटिटी" कहा जाता है और यह इस तरह दिखता है:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

यह गुण सीधे परिभाषा से अनुसरण करता है। आइए देखें कि वास्तव में यह फॉर्मूला कैसे आया।

आइए हम लघुगणक की परिभाषा का एक संक्षिप्त विवरण याद करें:

यदि \(a^(b)=c\), तो \(\log_(a)(c)=b\)

अर्थात्, \(b\) \(\log_(a)(c)\) के समान है। फिर हम सूत्र \(a^(b)=c\) में \(b\) के बजाय \(\log_(a)(c)\) लिख सकते हैं। यह \(a^(\log_(a)(c))=c\) निकला - मुख्य लघुगणकीय पहचान।

आप लघुगणक के अन्य गुण पा सकते हैं। उनकी मदद से, आप लघुगणक के साथ अभिव्यक्तियों के मूल्यों को सरल और गणना कर सकते हैं, जिनकी सीधे गणना करना मुश्किल है।

उदाहरण : व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए \(36^(\log_(6)(5))\)

समाधान :

उत्तर : \(25\)

किसी संख्या को लघुगणक के रूप में कैसे लिखें?

जैसा कि ऊपर बताया गया है, कोई भी लघुगणक सिर्फ एक संख्या है। इसका विपरीत भी सत्य है: किसी भी संख्या को लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि \(\log_(2)(4)\) दो के बराबर है। फिर आप दो की जगह \(\log_(2)(4)\) लिख सकते हैं.

लेकिन \(\log_(3)(9)\) भी \(2\) के बराबर है, जिसका अर्थ है कि हम \(2=\log_(3)(9)\) भी लिख सकते हैं। इसी तरह \(\log_(5)(25)\), और \(\log_(9)(81)\), आदि के साथ। यानी यह पता चला है

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ लॉग_(7)(49)...\)

इस प्रकार, यदि हमें आवश्यकता हो, तो हम कहीं भी किसी भी आधार के साथ दो को लघुगणक के रूप में लिख सकते हैं (चाहे वह किसी समीकरण में हो, किसी अभिव्यक्ति में हो, या किसी असमानता में हो) - हम बस आधार वर्ग को एक तर्क के रूप में लिखते हैं।

यह ट्रिपल के साथ भी ऐसा ही है - इसे \(\log_(2)(8)\), या \(\log_(3)(27)\), या \(\log_(4)( के रूप में लिखा जा सकता है) 64)\)... यहां हम आधार को घन में तर्क के रूप में लिखते हैं:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ लॉग_(7)(343)...\)

और चार के साथ:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ लॉग_(7)(2401)...\)

और शून्य से एक के साथ:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

और एक तिहाई के साथ:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

किसी भी संख्या \(a\) को आधार \(b\) के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

उदाहरण : अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

समाधान :

उत्तर : \(1\)

लघुगणक की परिभाषा

आधार a पर b का लघुगणक वह घातांक है जिस पर b प्राप्त करने के लिए a को बढ़ाया जाना चाहिए।

संख्या ईगणित में यह उस सीमा को दर्शाने की प्रथा है जिस तक कोई अभिव्यक्ति प्रयास करती है

संख्या ईहै अपरिमेय संख्या- एक संख्या जो एक के अनुरूप नहीं है, इसे पूर्णांक या भिन्न के रूप में सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है तर्कसंगतसंख्या।

पत्र इ- लैटिन शब्द का पहला अक्षर प्रतिपादक- दिखावा करना, इसलिए गणित में नाम घातीय- घातांक प्रकार्य।

संख्या इगणित और सभी विज्ञानों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है जो किसी न किसी तरह से अपनी आवश्यकताओं के लिए गणितीय गणनाओं का उपयोग करते हैं।

लघुगणक. लघुगणक के गुण

परिभाषा: किसी धनात्मक संख्या b का उसके आधार से लघुगणक, c का घातांक होता है, जिससे संख्या b प्राप्त करने के लिए संख्या a को बढ़ाया जाना चाहिए।

मूल लघुगणकीय पहचान:

7) नये आधार पर जाने का फार्मूला:

एलएनए = लॉग ई ए, ई ≈ 2.718…

"लघुगणक" विषय पर समस्याएं और परीक्षण। लघुगणक के गुण"

  • लघुगणक - गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की समीक्षा के लिए महत्वपूर्ण विषय

इस विषय पर कार्यों को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, आपको लघुगणक की परिभाषा, लघुगणक के गुण, मूल लघुगणक पहचान, दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक की परिभाषाएँ जाननी चाहिए। इस विषय पर मुख्य प्रकार की समस्याएं लघुगणकीय अभिव्यक्तियों की गणना और परिवर्तन से जुड़ी समस्याएं हैं। आइए निम्नलिखित उदाहरणों का उपयोग करके उनके समाधान पर विचार करें।

समाधान:लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

समाधान:डिग्री के गुणों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

1) (2 2) लघुगणक 2 5 =(2 लघुगणक 2 5) 2 =5 2 =25

लघुगणक के गुण, सूत्रीकरण और प्रमाण।

लघुगणक की संख्या होती है विशिष्ट गुण. इस लेख में हम मुख्य बातों पर गौर करेंगे लघुगणक के गुण. यहां हम उनके सूत्रीकरण देंगे, लघुगणक के गुणों को सूत्रों के रूप में लिखेंगे, उनके अनुप्रयोग के उदाहरण दिखाएंगे, और लघुगणक के गुणों का प्रमाण भी प्रदान करेंगे।

पेज नेविगेशन.

लघुगणक, सूत्रों के मूल गुण

याद रखने और उपयोग में आसानी के लिए, आइए कल्पना करें लघुगणक के मूल गुणसूत्रों की सूची के रूप में. अगले पैराग्राफ में हम उनके सूत्रीकरण, साक्ष्य, उपयोग के उदाहरण और आवश्यक स्पष्टीकरण देंगे।

  • एकता के लघुगणक की संपत्ति: किसी भी a>0, a≠1 के लिए 1=0 लॉग करें।
  • आधार के बराबर संख्या का लघुगणक: a>0, a≠1 के लिए a a=1 लॉग करें।
  • आधार की शक्ति के लघुगणक की संपत्ति: लॉग ए एपी =पी, जहां ए>0, ए≠1 और पी कोई वास्तविक संख्या है।
  • दो धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
    और n धनात्मक संख्याओं के गुणनफल के लघुगणक का गुण: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, x n >0।
  • भागफल के लघुगणक की संपत्ति: , जहां a>0, a≠1, x>0, y>0।
  • किसी संख्या की घात का लघुगणक: log a b p =p·log a |b| , जहां a>0, a≠1, b और p ऐसी संख्याएं हैं कि डिग्री b p समझ में आती है और b p >0।
  • परिणाम: , जहां a>0, a≠1, n एक से बड़ी प्राकृतिक संख्या है, b>0।
  • परिणाम 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .
  • परिणाम 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p और q वास्तविक संख्याएँ हैं, q≠0 , विशेष रूप से b=a के लिए हमारे पास है .

    • गुणों का निरूपण एवं प्रमाण

    हम लघुगणक के लिखित गुणों के निर्माण और प्रमाण के लिए आगे बढ़ते हैं। लघुगणक के सभी गुण लघुगणक की परिभाषा और उससे निकलने वाली मूल लघुगणकीय पहचान के साथ-साथ डिग्री के गुणों के आधार पर सिद्ध होते हैं।

    चलो साथ - साथ शुरू करते हैं एक के लघुगणक के गुण. इसका सूत्रीकरण इस प्रकार है: एकता का लघुगणक शून्य के बराबर है, अर्थात, लॉग ए 1=0किसी भी a>0, a≠1 के लिए। प्रमाण कठिन नहीं है: चूँकि a 0 =1 किसी भी a के लिए उपरोक्त शर्तों a>0 और a≠1 को संतुष्ट करता है, तो साबित करने के लिए समानता लॉग a 1=0 लघुगणक की परिभाषा से तुरंत अनुसरण करता है।

    आइए हम विचारित संपत्ति के अनुप्रयोग के उदाहरण दें: लॉग 3 1=0, लॉग1=0 और।

    आइए अगली संपत्ति पर चलते हैं: आधार के बराबर संख्या का लघुगणक एक के बराबर होता है, वह है, लॉग ए ए=1 a>0, a≠1 के लिए। वास्तव में, चूँकि किसी भी a के लिए a 1 =a है, तो लघुगणक की परिभाषा के अनुसार log a a=1 है।

    लघुगणक के इस गुण के उपयोग के उदाहरण समानताएँ लॉग 5 5=1, लॉग 5.6 5.6 और एलएनई=1 हैं।

    लघुगणक के आधार के बराबर किसी संख्या की घात का लघुगणक घातांक के बराबर होता है. लघुगणक का यह गुण प्रपत्र के एक सूत्र से मेल खाता है लॉग ए एपी =पी, जहां a>0, a≠1 और p - कोई वास्तविक संख्या। यह गुण सीधे लघुगणक की परिभाषा से अनुसरण करता है। ध्यान दें कि यह आपको लघुगणक के मान को तुरंत इंगित करने की अनुमति देता है, यदि आधार की शक्ति के रूप में लघुगणक चिह्न के तहत संख्या का प्रतिनिधित्व करना संभव है तो हम लघुगणक की गणना करने वाले लेख में इसके बारे में अधिक बात करेंगे;

    उदाहरण के लिए, लॉग 2 2 7 =7, लॉग10 -4 =-4 और .

    दो धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के गुणनफल के बराबर है: लॉग ए (एक्स वाई)=लॉग ए एक्स+लॉग ए वाई, a>0 , a≠1 . आइए हम किसी उत्पाद के लघुगणक के गुण को सिद्ध करें। डिग्री के गुणों के कारण a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, और चूँकि मुख्य लघुगणकीय पहचान के अनुसार a log a x =x और a log a y =y, तो a log a x ·a log a y =x·y. इस प्रकार, एक लॉग a x+log a y =x·y, जिसमें से, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, समानता सिद्ध की जा रही है।

    आइए किसी उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के उदाहरण दिखाएं: लॉग 5 (2 3) = लॉग 5 2 + लॉग 5 3 और .

    किसी उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति को सकारात्मक संख्याओं x 1, x 2, …, x n की एक परिमित संख्या n के उत्पाद के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है लॉग ए (एक्स 1 · एक्स 2 ·…·एक्स एन)= लॉग ए एक्स 1 +लॉग ए एक्स 2 +…+लॉग ए एक्स एन. गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके इस समानता को बिना किसी समस्या के सिद्ध किया जा सकता है।

    उदाहरण के लिए, उत्पाद के प्राकृतिक लघुगणक को संख्या 4, ई, और के तीन प्राकृतिक लघुगणक के योग से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

    दो धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर है। भागफल के लघुगणक का गुण प्रपत्र के सूत्र से मेल खाता है , जहां a>0, a≠1, x और y कुछ सकारात्मक संख्याएं हैं। इस सूत्र की वैधता किसी उत्पाद के लघुगणक के सूत्र के साथ-साथ सिद्ध होती है: चूंकि , फिर लघुगणक की परिभाषा के अनुसार .

    यहां लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण दिया गया है: .

    चलिए आगे बढ़ते हैं घात के लघुगणक की संपत्ति. किसी डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और इस डिग्री के आधार के मापांक के लघुगणक के बराबर होता है। आइए किसी घात के लघुगणक के इस गुण को सूत्र के रूप में लिखें: लॉग ए बी पी =पी·लॉग ए |बी|, जहां a>0, a≠1, b और p ऐसी संख्याएं हैं कि डिग्री b p समझ में आती है और b p >0।

    पहले हम इस गुण को सकारात्मक बी के लिए सिद्ध करते हैं। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को log a b के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देती है, फिर b p =(a log a b) p, और परिणामी अभिव्यक्ति, शक्ति के गुण के कारण, a p·log a b के बराबर होती है। तो हम समानता b p = a p·log a b पर आते हैं, जिससे, लघुगणक की परिभाषा से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि log a b p =p·log a b।

    इस गुण को ऋणात्मक b के लिए सिद्ध करना बाकी है। यहां हम ध्यान देते हैं कि नकारात्मक बी के लिए अभिव्यक्ति लॉग ए बी पी केवल सम घातांक पी के लिए समझ में आता है (चूंकि डिग्री बी पी का मान शून्य से अधिक होना चाहिए, अन्यथा लघुगणक का कोई मतलब नहीं होगा), और इस मामले में बी पी =|बी| पी। फिर बी पी =|बी| पी =(ए लॉग ए |बी|) पी =ए पी·लॉग ए |बी| , जहां से लॉग ए बी पी =पी·लॉग ए |बी| .

    उदाहरण के लिए, और ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

    यह पिछली संपत्ति से अनुसरण करता है मूल से लघुगणक की संपत्ति: nवें मूल का लघुगणक मूल अभिव्यक्ति के लघुगणक द्वारा भिन्न 1/n के गुणनफल के बराबर है, अर्थात, जहां a>0, a≠1, n एक से बड़ी प्राकृतिक संख्या है, b>0 .

    प्रमाण समानता पर आधारित है (भिन्नात्मक घातांक के साथ घातांक की परिभाषा देखें), जो किसी भी सकारात्मक बी के लिए मान्य है, और घातांक के लघुगणक की संपत्ति: .

    इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण यहां दिया गया है: .

    अब आइए साबित करें नए लघुगणक आधार पर जाने का सूत्रदयालु . ऐसा करने के लिए, समानता लॉग सी बी=लॉग ए बी·लॉग सी ए की वैधता साबित करना पर्याप्त है। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को log a b के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देती है, फिर log c b=log c a log a b। यह डिग्री के लघुगणक के गुण का उपयोग करना बाकी है: log c a log a b =log a b·log c a . इससे समानता log c b=log a b·log c a सिद्ध होती है, जिसका अर्थ है कि लघुगणक के नए आधार पर संक्रमण का सूत्र भी सिद्ध होता है .

    आइए लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने के कुछ उदाहरण दिखाएं: और .

    नए आधार पर जाने का सूत्र आपको "सुविधाजनक" आधार वाले लघुगणक के साथ काम करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग प्राकृतिक या दशमलव लघुगणक में बदलने के लिए किया जा सकता है ताकि आप लघुगणक की तालिका से लघुगणक के मान की गणना कर सकें। नए लघुगणक आधार पर जाने का सूत्र, कुछ मामलों में, किसी दिए गए लघुगणक का मान ज्ञात करने की भी अनुमति देता है, जब अन्य आधारों वाले कुछ लघुगणक के मान ज्ञात होते हैं।

    प्रपत्र के c=b के लिए नए लघुगणक आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र का एक विशेष मामला अक्सर उपयोग किया जाता है। इससे पता चलता है कि log a b और log b a परस्पर व्युत्क्रम संख्याएँ हैं। जैसे, .

    सूत्र का भी अक्सर उपयोग किया जाता है, जो लघुगणक के मान ज्ञात करने के लिए सुविधाजनक है। अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए, हम दिखाएंगे कि इसका उपयोग फॉर्म के लघुगणक के मूल्य की गणना करने के लिए कैसे किया जा सकता है। हमारे पास है . सूत्र को सिद्ध करने के लिए, लघुगणक a के नए आधार पर जाने के लिए सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है: .

    यह लघुगणक की तुलना के गुणों को सिद्ध करना बाकी है।

    आइए विपरीत विधि का प्रयोग करें। मान लीजिए कि a 1 >1, a 2 >1 और a 1 2 और 0 1 के लिए, log a 1 b≤log a 2 b सत्य है। लघुगणक के गुणों के आधार पर, इन असमानताओं को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है और क्रमशः, और उनसे यह निष्कर्ष निकलता है कि क्रमशः लॉग बी ए 1 ≤लॉग बी ए 2 और लॉग बी ए 1 ≥लॉग बी ए 2। फिर, समान आधारों वाली घातों के गुणों के अनुसार, समानताएँ b log b a 1 ≥b log b a 2 और b log b a 1 ≥b log b a 2 कायम रहनी चाहिए, अर्थात a 1 ≥a 2। तो हम स्थिति ए 1 2 के विरोधाभास पर आ गए। इससे प्रमाण पूर्ण हो जाता है।

    लघुगणक के मूल गुण

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      • लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएं नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.

      आपको निश्चित रूप से इन नियमों को जानने की आवश्यकता है - इनके बिना एक भी गंभीर लघुगणकीय समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - आप एक दिन में सब कुछ सीख सकते हैं। तो चलो शुरू हो जाओ।

      लघुगणक जोड़ना और घटाना

      समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लघुगणक x और लघुगणक y। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

      तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल के लघुगणक के बराबर है। कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बिंदु यह है समान आधार. यदि कारण भिन्न हों तो ये नियम काम नहीं करते!

      ये सूत्र आपको एक लघुगणकीय अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

      काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 6 4 + लॉग 6 9।

      चूँकि लघुगणक का आधार समान होता है, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
      लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

      काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 2 48 − log 2 3.

      आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
      लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48:3) = लॉग 2 16 = 4।

      काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 3 135 − log 3 5.

      फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
      लॉग 3 135 - लॉग 3 5 = लॉग 3 (135:5) = लॉग 3 27 = 3।

      जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई परीक्षण इसी तथ्य पर आधारित होते हैं. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

      लघुगणक से घातांक निकालना

      अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

    • लॉग ए एक्स एन = एन · लॉग ए एक्स ;

      • यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का पालन करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

      बेशक, ये सभी नियम तब समझ में आते हैं जब लघुगणक का ODZ देखा जाता है: a > 0, a ≠ 1, x > 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें , अर्थात। आप लघुगणक पर हस्ताक्षर करने से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

      काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 7 49 6।

      आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
      लॉग 7 49 6 = 6 लॉग 7 49 = 6 2 = 12

      काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

      [तस्वीर के लिए कैप्शन]

      ध्यान दें कि हर में एक लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. हमारे पास है:

      [तस्वीर के लिए कैप्शन]

      मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण के लिए कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक हम केवल हर के साथ काम करते हैं। हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।

      अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर में समान संख्या होती है: लॉग 2 7. चूंकि लॉग 2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो कि किया गया था। परिणाम यह उत्तर था: 2.

      एक नई नींव में परिवर्तन

      लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि कारण भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?

      नई नींव में परिवर्तन के सूत्र बचाव में आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

      मान लीजिए कि लघुगणक लॉग a x दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

      [तस्वीर के लिए कैप्शन]

      विशेष रूप से, यदि हम c = x सेट करते हैं, तो हमें मिलता है:

      [तस्वीर के लिए कैप्शन]

      दूसरे सूत्र से यह पता चलता है कि लघुगणक के आधार और तर्क की अदला-बदली की जा सकती है, लेकिन इस मामले में संपूर्ण अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है।

      ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।

      हालाँकि, ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर नजर डालें:

      काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 5 16 लॉग 2 25।

      ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक शक्तियाँ होती हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लॉग 2 25 = लॉग 2 5 2 = 2 लॉग 2 5;

      अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

      [तस्वीर के लिए कैप्शन]

      चूंकि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक से निपटा।

      काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 9 100 एलजी 3।

      प्रथम लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

      [तस्वीर के लिए कैप्शन]

      आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

      [तस्वीर के लिए कैप्शन]

      बुनियादी लघुगणकीय पहचान

      अक्सर समाधान प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, निम्नलिखित सूत्र हमारी मदद करेंगे:

    1. एन = लॉग ए ए एन

    2. पहले मामले में, संख्या n तर्क में प्रतिपादक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल एक लघुगणक मान है।

      दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहा जाता है: बुनियादी लघुगणकीय पहचान।

      वास्तव में, यदि संख्या b को इतनी घात तक बढ़ा दिया जाए कि इस घात की संख्या b, संख्या a दे दे तो क्या होगा? यह सही है: परिणाम वही संख्या है। इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर अटक जाते हैं।

      नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

      [तस्वीर के लिए कैप्शन]

      ध्यान दें कि लघुगणक 25 64 = लघुगणक 5 8 - हमने केवल लघुगणक के आधार और तर्क से वर्ग लिया है। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

      [तस्वीर के लिए कैप्शन]

      यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

      लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

      अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में दिखाई देते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

      1. log a a = 1 एक लघुगणकीय इकाई है। एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक स्वयं एक के बराबर होता है।
      2. लॉग ए 1 = 0 लघुगणकीय शून्य है। आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकि 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

      बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

      लघुगणक. लघुगणक के गुण (जोड़ और घटाव)।

      लघुगणक के गुणइसकी परिभाषा से अनुसरण करें। और इसलिए संख्या का लघुगणक बीपर आधारित एको उस घातांक के रूप में परिभाषित किया गया है जिस पर किसी संख्या को बढ़ाया जाना चाहिए एनंबर पाने के लिए बी(लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए मौजूद है)।

      इस सूत्रीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणना x=लॉग ए बी, समीकरण को हल करने के बराबर है ए एक्स =बी.उदाहरण के लिए, लॉग 2 8 = 3क्योंकि 8 = 2 3 . लघुगणक का निरूपण इसे उचित ठहराना संभव बनाता है यदि बी=ए सी, फिर संख्या का लघुगणक बीपर आधारित एके बराबर होती है साथ. यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक का विषय घातों के विषय से निकटता से संबंधित है।

      लघुगणक के साथ, किसी भी संख्या की तरह, आप ऐसा कर सकते हैं जोड़, घटाव की क्रियाएँऔर हर संभव तरीके से परिवर्तन करें। लेकिन इस तथ्य के कारण कि लघुगणक पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ नहीं हैं, उनके अपने विशेष नियम यहाँ लागू होते हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.

      लघुगणक जोड़ना और घटाना.

      आइए समान आधार वाले दो लघुगणक लें: एक x लॉग करेंऔर एक y लॉग इन करें. फिर जोड़ और घटाव संचालन करना संभव है:

      जैसा कि हम देखते हैं, लघुगणक का योगउत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर लघुगणक- भागफल का लघुगणक. इसके अलावा, यदि संख्याएँ सच हैं ए, एक्सऔर परसकारात्मक और ए ≠ 1.

      यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि इन सूत्रों में मुख्य पहलू वही आधार हैं। यदि आधार भिन्न हैं तो ये नियम लागू नहीं होते!

      समान आधार वाले लघुगणक को जोड़ने और घटाने के नियम न केवल बाएँ से दाएँ पढ़े जाते हैं, बल्कि इसके विपरीत भी पढ़े जाते हैं। परिणामस्वरूप, हमारे पास उत्पाद के लघुगणक और भागफल के लघुगणक के लिए प्रमेय हैं।

      उत्पाद का लघुगणकदो सकारात्मक संख्याएँ योग के बराबरउनके लघुगणक ; इस प्रमेय की व्याख्या करने पर हमें निम्नलिखित संख्याएँ प्राप्त होती हैं ए, एक्सऔर परसकारात्मक और ए ≠ 1, वह:

      भागफल का लघुगणकदो धनात्मक संख्याएँ लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर होती हैं। इसे दूसरे तरीके से कहें तो, यदि संख्याएँ ए, एक्सऔर परसकारात्मक और ए ≠ 1, वह:

      आइए उपरोक्त प्रमेयों को हल करने के लिए लागू करें उदाहरण:

      यदि संख्याएँ एक्सऔर परतो फिर, नकारात्मक हैं उत्पाद लघुगणक सूत्रअर्थहीन हो जाता है. इस प्रकार, यह लिखना मना है:

      चूँकि व्यंजक लॉग 2 (-8) और लॉग 2 (-4) बिल्कुल भी परिभाषित नहीं हैं (लघुगणकीय फ़ंक्शन पर= लॉग 2 एक्सकेवल सकारात्मक तर्क मानों के लिए परिभाषित एक्स).

      उत्पाद प्रमेययह न केवल दो के लिए, बल्कि असीमित संख्या में कारकों के लिए भी लागू होता है। इसका मतलब यह है कि हर प्राकृतिक के लिए कऔर कोई भी सकारात्मक संख्या एक्स 1 , एक्स 2 , . . . ,एक्स एनएक पहचान है:

      से लघुगणक भागफल प्रमेयलघुगणक का एक और गुण प्राप्त किया जा सकता है। यह सामान्य ज्ञान है कि लॉग करें एइसलिए, 1= 0

      इसका मतलब है कि समानता है:

      दो पारस्परिक संख्याओं के लघुगणकएक ही कारण से केवल संकेत द्वारा एक दूसरे से भिन्न होंगे। इसलिए:

      लघुगणक. लघुगणक के गुण

      लघुगणक. लघुगणक के गुण

      आइए समानता पर विचार करें. हमें और का मान बताएं और हम इसका मान ज्ञात करना चाहते हैं।

      अर्थात्, हम उस प्रतिपादक की तलाश कर रहे हैं जिसके द्वारा हमें इसे प्राप्त करने के लिए कॉक करना होगा।

      होने देना एक चर कोई भी वास्तविक मान ले सकता है, तो चर पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगाए जाते हैं: o" title='a>o'/> , 1″ title='a1″/>, 0″ title='b>0″ />

      यदि हम और का मान जानते हैं, और हमें अज्ञात को खोजने के कार्य का सामना करना पड़ता है, तो इस उद्देश्य के लिए एक गणितीय ऑपरेशन शुरू किया जाता है, जिसे कहा जाता है लोगारित्म.

      हम जो मूल्य लेते हैं उसे खोजने के लिए किसी संख्या का लघुगणकद्वारा आधार :

      किसी संख्या का उसके आधार से लघुगणक वह घातांक होता है जिसे प्राप्त करने के लिए उसे बढ़ाया जाना चाहिए।

      वह है बुनियादी लघुगणकीय पहचान:

      ओ» शीर्षक='ए>ओ'/> , 1″ शीर्षक='ए1″/>, 0″ शीर्षक='बी>0″/>

      मूलतः एक गणितीय संकेतन है लघुगणक की परिभाषा.

      लघुगणक की गणितीय संक्रिया घातांक की संक्रिया का व्युत्क्रम है, इसलिए लघुगणक के गुणडिग्री के गुणों से निकटता से संबंधित हैं।

      आइए मुख्य सूचीबद्ध करें लघुगणक के गुण:

      (o" title='a>o'/>, 1″ title='a1″/>, 0″ title='b>0″/>, 0,

      d>0″/>, 1″ title=”d1″/>

      4.

      5.

      गुणों का निम्नलिखित समूह आपको किसी अभिव्यक्ति के घातांक को लघुगणक के चिह्न के नीचे, या लघुगणक के आधार पर लघुगणक के चिह्न के सामने गुणांक के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देता है:

      6.

      7.

      8.

      9.

      सूत्रों का अगला समूह आपको दिए गए आधार वाले लघुगणक से मनमाना आधार वाले लघुगणक की ओर बढ़ने की अनुमति देता है, और इसे कहा जाता है नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र:

      10.

      12. (संपत्ति 11 से परिणाम)

      निम्नलिखित तीन गुण अच्छी तरह से ज्ञात नहीं हैं, लेकिन उनका उपयोग अक्सर लघुगणक समीकरणों को हल करते समय, या लघुगणक वाले अभिव्यक्तियों को सरल बनाते समय किया जाता है:

      13.

      14.

      15.

      विशेष स्थितियां:

      — दशमलव लघुगणक

      — प्राकृतिक

      लघुगणक वाले व्यंजकों को सरल बनाते समय, एक सामान्य दृष्टिकोण का उपयोग किया जाता है:

      1. परिचय दशमलवसामान्य के रूप में.

      2. मिश्रित संख्याएँअनुचित भिन्नों के रूप में दर्शाया गया है।

      3. हम लघुगणक के आधार पर और लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्याओं को सरल गुणनखंडों में विघटित करते हैं।

      4. हम सभी लघुगणक को एक ही आधार पर लाने का प्रयास करते हैं।

      5. लघुगणक के गुण लागू करें.

      आइए लघुगणक वाले व्यंजकों को सरल बनाने के उदाहरण देखें।

      उदाहरण 1।

      गणना करें:

      आइए सभी घातांकों को सरल बनाएं: हमारा कार्य उन्हें लघुगणक में घटाना है, जिसका आधार घातांक के आधार के समान संख्या है।

      ==(संपत्ति 7 द्वारा)=(संपत्ति 6 ​​द्वारा) =

      आइए उन संकेतकों को प्रतिस्थापित करें जो हमें मूल अभिव्यक्ति में मिले थे। हम पाते हैं:

      उत्तर: 5.25

      उदाहरण 2. गणना करें:

      आइए सभी लघुगणक को आधार 6 तक कम करें (इस मामले में, भिन्न के हर से लघुगणक अंश में "माइग्रेट" हो जाएंगे):

      आइए लघुगणक चिह्न के अंतर्गत संख्याओं को सरल गुणनखंडों में विघटित करें:

      आइए गुण 4 और 6 लागू करें:

      आइए प्रतिस्थापन का परिचय दें

      हम पाते हैं:

      उत्तर 1

      लोगारित्म . बुनियादी लघुगणकीय पहचान.

      लघुगणक के गुण. दशमलव लघुगणक. प्राकृतिक।

      लोगारित्म आधार से धनात्मक संख्या N (बी > 0, बी 1) वह घातांक x है जिससे N प्राप्त करने के लिए b को बढ़ाया जाना चाहिए .

      यह प्रविष्टि निम्नलिखित के बराबर है: बी एक्स = एन .

      उदाहरण: लॉग 3 81 = 4, चूँकि 3 4 = 81;

      लॉग 1/3 27 = – 3, चूँकि (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

      लघुगणक की उपरोक्त परिभाषा को एक पहचान के रूप में लिखा जा सकता है:

      लघुगणक के मूल गुण।

      2) लॉग 1 = 0, चूँकि बी 0 = 1 .

      3) उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर है:

      4) भागफल का लघुगणक लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर है:

      5) किसी घात का लघुगणक घातांक के गुणनफल और उसके आधार के लघुगणक के बराबर होता है:

      इस संपत्ति का परिणाम निम्नलिखित है: जड़ का लघुगणक मूल संख्या के लघुगणक को मूल की घात से विभाजित करने के बराबर:

      6) यदि लघुगणक का आधार एक डिग्री है, तो मान घातांक का व्युत्क्रम लॉग कविता चिह्न से निकाला जा सकता है:

      अंतिम दो संपत्तियों को एक में जोड़ा जा सकता है:

      7) संक्रमण मापांक सूत्र (अर्थात एक लघुगणक आधार से दूसरे आधार पर संक्रमण):

      विशेष मामले में जब एन=एहमारे पास है:

      दशमलव लघुगणक बुलाया आधार लघुगणक 10. इसे एलजी अर्थात् नामित किया गया है। लॉग 10 एन= लॉग एन. संख्याओं 10, 100, 1000, के लघुगणक। p क्रमशः 1, 2, 3, … हैं, अर्थात्। बहुत सारे सकारात्मक हैं

      इकाइयाँ, एक लघुगणकीय संख्या में एक के बाद कितने शून्य होते हैं। संख्याओं के लघुगणक 0.1, 0.01, 0.001, . p क्रमशः -1, -2, -3, ..., अर्थात् हैं। उतने ही ऋणात्मक होते हैं जितने लघुगणकीय संख्या में एक से पहले शून्य होते हैं (शून्य पूर्णांक सहित)। अन्य संख्याओं के लघुगणक का एक भिन्नात्मक भाग कहलाता है अपूर्णांश. लघुगणक का पूर्णांक भाग कहलाता है विशेषता. व्यावहारिक उपयोग के लिए, दशमलव लघुगणक सबसे सुविधाजनक हैं।

      प्राकृतिक बुलाया आधार लघुगणक इ. इसे ln द्वारा निरूपित किया जाता है, अर्थात। लकड़ी का लट्ठा इ एन= लॉग एन. संख्या इअपरिमेय है, इसका अनुमानित मान 2.718281828 है। यह वह सीमा है जिस तक संख्या प्रवृत्त होती है (1 + 1 / एन) एनअसीमित वृद्धि के साथ एन(सेमी। पहली अद्भुत सीमा"सीमाएं" पृष्ठ पर संख्या क्रम»).
      यह अजीब लग सकता है, कार्यों के विश्लेषण से संबंधित विभिन्न प्रकार के संचालन करते समय प्राकृतिक लघुगणक बहुत सुविधाजनक साबित हुए। आधार पर लघुगणक की गणना इकिसी भी अन्य कारण की तुलना में बहुत तेजी से किया गया।