संख्यात्मक और बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ. अभिव्यक्तियाँ परिवर्तित करना।

गणित में अभिव्यक्ति क्या है? हमें अभिव्यक्ति रूपांतरणों की आवश्यकता क्यों है?

प्रश्न, जैसा कि वे कहते हैं, दिलचस्प है... तथ्य यह है कि ये अवधारणाएँ सभी गणित का आधार हैं। संपूर्ण गणित में अभिव्यक्तियाँ और उनके परिवर्तन शामिल हैं। बहुत स्पष्ट नहीं? मुझे समझाने दीजिए.

मान लीजिए कि आपके सामने एक बुरा उदाहरण है। बहुत बड़ा और बहुत जटिल. मान लीजिए कि आप गणित में अच्छे हैं और किसी भी चीज़ से डरते नहीं हैं! क्या आप तुरंत उत्तर दे सकते हैं?

तुम्हारे पास होना पड़ेगा तय करनायह उदाहरण. लगातार, चरण दर चरण, यह उदाहरण आसान बनाने में. निःसंदेह, कुछ नियमों के अनुसार। वे। करना अभिव्यक्ति रूपांतरण. आप इन परिवर्तनों को जितना अधिक सफलतापूर्वक करेंगे, आप गणित में उतने ही मजबूत होंगे। यदि आप नहीं जानते कि सही परिवर्तन कैसे करें, तो आप उन्हें गणित में नहीं कर पाएंगे। कुछ नहीं...

ऐसे असुविधाजनक भविष्य (या वर्तमान...) से बचने के लिए, इस विषय को समझने में कोई हर्ज नहीं है।)

सबसे पहले, आइए जानें गणित में अभिव्यक्ति क्या है. क्या हुआ? संख्यात्मक अभिव्यक्तिऔर क्या है बीजगणितीय अभिव्यक्ति.

गणित में अभिव्यक्ति क्या है?

गणित में अभिव्यक्ति- ये बहुत व्यापक अवधारणा. गणित में हम जिन लगभग सभी चीज़ों से निपटते हैं वे गणितीय अभिव्यक्तियों का एक समूह है। कोई भी उदाहरण, सूत्र, भिन्न, समीकरण इत्यादि - इसमें सभी शामिल हैं गणितीय अभिव्यक्तियाँ.

3+2 एक गणितीय अभिव्यक्ति है. सी 2 - डी 2- यह भी एक गणितीय अभिव्यक्ति है. एक स्वस्थ भिन्न और सम एक संख्या दोनों ही गणितीय अभिव्यक्तियाँ हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण है:

5x + 2 = 12

इसमें एक समान चिह्न से जुड़े दो गणितीय अभिव्यक्तियाँ शामिल हैं। एक अभिव्यक्ति बाईं ओर है, दूसरी दाईं ओर।

में सामान्य रूप से देखेंअवधि " गणितीय अभिव्यक्ति"मूइंग से बचने के लिए, अक्सर इसका उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, वे आपसे पूछेंगे कि एक साधारण भिन्न क्या है? और उत्तर कैसे दें?!

पहला उत्तर: "यह है... ममममम... ऐसी चीज़... जिसमें... क्या मैं भिन्न को बेहतर लिख सकता हूँ? आप कौन सा चाहते है?"

दूसरा उत्तर: " सामान्य अंश- यह (प्रसन्नतापूर्वक और आनंदपूर्वक!) गणितीय अभिव्यक्ति , जिसमें एक अंश और एक हर होता है!"

दूसरा विकल्प किसी तरह अधिक प्रभावशाली होगा, है ना?)

यह वाक्यांश का उद्देश्य है " गणितीय अभिव्यक्ति "बहुत अच्छा। सही और ठोस दोनों। लेकिन के लिए।" व्यावहारिक अनुप्रयोगमें पारंगत होने की जरूरत है गणित में विशिष्ट प्रकार के भाव .

विशिष्ट प्रकार एक और मामला है. यह यह बिल्कुल अलग मामला है!प्रत्येक प्रकार की गणितीय अभिव्यक्ति होती है मेरानियमों और तकनीकों का एक सेट जिसका उपयोग निर्णय लेते समय किया जाना चाहिए। भिन्नों के साथ काम करने के लिए - एक सेट। त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों के साथ काम करने के लिए - दूसरा। लघुगणक के साथ काम करने के लिए - तीसरा। और इसी तरह। कहीं ये नियम मेल खाते हैं तो कहीं इनमें एकदम अंतर है। लेकिन इनसे डरो मत डरावने शब्द. हम उपयुक्त अनुभागों में लघुगणक, त्रिकोणमिति और अन्य रहस्यमय चीजों में महारत हासिल करेंगे।

यहां हम दो मुख्य प्रकार के गणितीय अभिव्यक्तियों में महारत हासिल करेंगे (या - दोहराएंगे, यह इस पर निर्भर करता है कि कौन...)। संख्यात्मक व्यंजक और बीजगणितीय व्यंजक।

संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ.

क्या हुआ? संख्यात्मक अभिव्यक्ति? यह एक बहुत ही सरल अवधारणा है. नाम से ही संकेत मिलता है कि यह संख्याओं वाला एक अभिव्यक्ति है। हाँ, ऐसा ही है. संख्याओं, कोष्ठकों और अंकगणितीय प्रतीकों से बनी गणितीय अभिव्यक्ति को संख्यात्मक अभिव्यक्ति कहा जाता है।

7-3 एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति है.

(8+3.2) 5.4 भी एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति है।

और यह राक्षस:

यह भी एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति है, हाँ...

एक साधारण संख्या, एक भिन्न, X और अन्य अक्षरों के बिना गणना का कोई उदाहरण - ये सभी संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ हैं।

मुख्य लक्षण न्यूमेरिकलभाव - इसमें कोई अक्षर नहीं. कोई नहीं। केवल संख्याएँ और गणितीय प्रतीक (यदि आवश्यक हो)। यह आसान है, है ना?

और आप संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के साथ क्या कर सकते हैं? संख्यात्मक भावों को आमतौर पर गिना जा सकता है। ऐसा करने के लिए, ऐसा होता है कि आपको कोष्ठक खोलना होगा, चिह्न बदलना होगा, संक्षिप्त करना होगा, शब्दों की अदला-बदली करनी होगी - यानी। करना अभिव्यक्ति रूपांतरण. लेकिन उस पर और अधिक जानकारी नीचे दी गई है।

यहां हम ऐसे ही एक मजेदार मामले से निपटेंगे जब एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति के साथ तुम्हें कुछ भी करने की जरूरत नहीं है.ख़ैर, कुछ भी नहीं! यह सुखद ऑपरेशन - कुछ भी नहीं है)- जब अभिव्यक्ति निष्पादित होती है कोई मतलब नहीं.

संख्यात्मक अभिव्यक्ति का कब कोई मतलब नहीं रह जाता?

यह स्पष्ट है कि यदि हम अपने सामने किसी प्रकार का अब्रकदबरा देखते हैं, जैसे

तो हम कुछ नहीं करेंगे. क्योंकि यह स्पष्ट नहीं है कि इसके बारे में क्या करना है। किसी प्रकार की बकवास। शायद प्लसस की संख्या गिनें...

लेकिन बाह्य रूप से काफी सभ्य अभिव्यक्तियाँ हैं। उदाहरण के लिए यह:

(2+3) : (16 - 2 8)

हालाँकि, यह अभिव्यक्ति भी कोई मतलब नहीं! साधारण कारण से कि दूसरे कोष्ठक में - यदि आप गिनते हैं - तो आपको शून्य मिलता है। लेकिन आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते! यह गणित में एक निषिद्ध क्रिया है। अतः इस अभिव्यक्ति के साथ कुछ भी करने की आवश्यकता भी नहीं है। ऐसी अभिव्यक्ति वाले किसी भी कार्य के लिए, उत्तर हमेशा एक ही होगा: "अभिव्यक्ति का कोई अर्थ नहीं है!"

ऐसा उत्तर देने के लिए, निस्संदेह, मुझे गणना करनी होगी कि कोष्ठक में क्या होगा। और कभी-कभी कोष्ठक में बहुत सारी चीज़ें होती हैं... ख़ैर, आप इसके बारे में कुछ नहीं कर सकते।

गणित में इतनी अधिक निषिद्ध संक्रियाएँ नहीं हैं। इस विषय में केवल एक ही है. शून्य से विभाजन। जड़ों और लघुगणक में उत्पन्न होने वाले अतिरिक्त प्रतिबंधों पर संबंधित विषयों में चर्चा की गई है।

तो, यह क्या है इसका एक विचार संख्यात्मक अभिव्यक्ति- प्राप्त हुआ। अवधारणा संख्यात्मक अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है- समझना। पर चलते हैं।

बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ.

यदि संख्यात्मक अभिव्यक्ति में अक्षर आते हैं, तो यह अभिव्यक्ति बन जाती है... अभिव्यक्ति बन जाती है... हाँ! बन जाता है बीजगणितीय अभिव्यक्ति. उदाहरण के लिए:

5ए 2; 3x-2y; 3(z-2); 3.4 मी/एन; एक्स 2 +4एक्स-4; (ए+बी)2; ...

ऐसे भाव भी कहलाते हैं शाब्दिक अभिव्यक्तियाँ.या चर के साथ अभिव्यक्तियाँ.यह व्यावहारिक रूप से एक ही बात है. अभिव्यक्ति 5ए +सी, उदाहरण के लिए - शाब्दिक और बीजगणितीय दोनों, और चर के साथ एक अभिव्यक्ति।

अवधारणा बीजगणितीय अभिव्यक्ति -संख्यात्मक से अधिक व्यापक. यह शामिलऔर सभी संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ. वे। एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति भी एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है, केवल अक्षरों के बिना। प्रत्येक हेरिंग एक मछली है, लेकिन हर मछली एक हेरिंग नहीं है...)

क्यों वर्णानुक्रमक- यह स्पष्ट है। खैर, चूंकि पत्र हैं... वाक्यांश चर के साथ अभिव्यक्तियह बहुत हैरान करने वाला भी नहीं है. यदि आप समझते हैं कि अक्षरों के नीचे अंक छिपे होते हैं। अक्षरों के नीचे सभी प्रकार की संख्याएँ छिपाई जा सकती हैं... और 5, और -18, और कुछ भी। यानी एक पत्र हो सकता है प्रतिस्थापित करेंपर अलग-अलग नंबर. इसीलिए तो अक्षर कहलाते हैं चर.

अभिव्यक्ति में y+5, उदाहरण के लिए, पर- परिवर्तनशील मान. या वे बस कहते हैं " चर", "परिमाण" शब्द के बिना। पाँच के विपरीत, जो एक स्थिर मान है। या केवल - स्थिर.

अवधि बीजगणितीय अभिव्यक्तिइसका मतलब है कि इस अभिव्यक्ति के साथ काम करने के लिए आपको कानूनों और नियमों का उपयोग करने की आवश्यकता है बीजगणित. अगर अंकगणितफिर, विशिष्ट संख्याओं के साथ काम करता है बीजगणित- सभी नंबरों के साथ एक साथ. स्पष्टीकरण के लिए एक सरल उदाहरण.

अंकगणित में हम उसे लिख सकते हैं

लेकिन यदि हम ऐसी समानता को बीजीय व्यंजकों के माध्यम से लिखें:

ए + बी = बी + ए

हम तुरंत निर्णय लेंगे सभीप्रश्न. के लिए सभी नंबरएक झटके में. हर अनंत चीज़ के लिए. क्योंकि अक्षरों के नीचे एऔर बीगर्भित सभीनंबर. और न केवल संख्याएँ, बल्कि अन्य गणितीय अभिव्यक्तियाँ भी। बीजगणित इसी प्रकार काम करता है.

बीजगणितीय अभिव्यक्ति का अर्थ कब नहीं होता?

संख्यात्मक अभिव्यक्ति के बारे में सब कुछ स्पष्ट है. आप वहां शून्य से भाग नहीं दे सकते. और अक्षरों से, क्या यह पता लगाना संभव है कि हम किससे विभाजित कर रहे हैं?!

आइए उदाहरण के लिए इस अभिव्यक्ति को चर के साथ लें:

2: (ए - 5)

क्या इसका अर्थ बनता है? कौन जानता है? ए- कोई भी संख्या...

कोई भी, कोई भी... लेकिन एक अर्थ है ए, जिसके लिए यह अभिव्यक्ति बिल्कुलकोई मतलब नहीं! और यह संख्या क्या है? हाँ! यह 5 है! यदि चर ए(वे कहते हैं "स्थानापन्न") को संख्या 5 से बदलें, कोष्ठक में आपको शून्य मिलता है। जिसे विभाजित नहीं किया जा सकता. तो यह पता चलता है कि हमारी अभिव्यक्ति कोई मतलब नहीं, अगर ए = 5. लेकिन अन्य मूल्यों के लिए एक्या इसका अर्थ बनता है? क्या आप अन्य संख्याएँ प्रतिस्थापित कर सकते हैं?

निश्चित रूप से। ऐसे में वे बस यही कहते हैं कि अभिव्यक्ति

2: (ए - 5)

किसी भी मूल्य के लिए समझ में आता है ए, ए = 5 को छोड़कर .

संख्याओं का पूरा सेट कर सकनाकिसी दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करना कहलाता है स्वीकार्य मूल्यों की सीमायह अभिव्यक्ति.

जैसा कि आप देख सकते हैं, इसमें कुछ भी मुश्किल नहीं है। आइए चर के साथ अभिव्यक्ति को देखें और पता लगाएं: चर के किस मूल्य पर निषिद्ध ऑपरेशन (शून्य से विभाजन) प्राप्त होता है?

और फिर कार्य प्रश्न को अवश्य देखें। वे क्या पूछ रहे हैं?

कोई मतलब नहीं, हमारा निषिद्ध अर्थ उत्तर होगा।

यदि आप पूछें कि किसी चर के किस मान पर अभिव्यक्ति है समझ में आता है(अंतर महसूस करें!), उत्तर होगा अन्य सभी नंबरनिषिद्ध को छोड़कर.

हमें अभिव्यक्ति के अर्थ की आवश्यकता क्यों है? वह वहाँ है, वह नहीं है... क्या अंतर है?! मुद्दा यह है कि हाई स्कूल में यह अवधारणा बहुत महत्वपूर्ण हो जाती है। अत्यंत महत्वपूर्ण! यह स्वीकार्य मूल्यों के डोमेन या किसी फ़ंक्शन के डोमेन जैसी ठोस अवधारणाओं का आधार है। इसके बिना आप गंभीर समीकरणों या असमानताओं को बिल्कुल भी हल नहीं कर पाएंगे। इस कदर।

अभिव्यक्तियाँ परिवर्तित करना। पहचान परिवर्तन.

हमें संख्यात्मक और बीजगणितीय अभिव्यक्तियों से परिचित कराया गया। हम समझ गए कि वाक्यांश "अभिव्यक्ति का कोई अर्थ नहीं है" का क्या अर्थ है। अब हमें यह पता लगाना होगा कि यह क्या है अभिव्यक्ति रूपांतरण.उत्तर सरल है, अपमान की हद तक।) यह अभिव्यक्ति के साथ कोई भी क्रिया है। बस इतना ही। आप ये परिवर्तन पहली कक्षा से कर रहे हैं।

आइए शानदार संख्यात्मक अभिव्यक्ति 3+5 लें। इसे कैसे परिवर्तित किया जा सकता है? हाँ, बहुत सरल! गणना करें:

यह गणना अभिव्यक्ति का रूपांतरण होगी. आप एक ही अभिव्यक्ति को अलग-अलग तरीके से लिख सकते हैं:

यहां हमने कुछ भी नहीं गिना। बस अभिव्यक्ति लिख दी एक अलग रूप में.यह भी अभिव्यक्ति का रूपांतरण होगा. आप इसे इस तरह लिख सकते हैं:

और यह भी एक अभिव्यक्ति का रूपांतरण है. आप जितने चाहें ऐसे परिवर्तन कर सकते हैं।

कोईअभिव्यक्ति पर कार्रवाई कोईउसे दूसरे रूप में लिखना अभिव्यक्ति को रूपान्तरित करना कहलाता है। और यह सबकुछ है। यह बहुत सरल है. लेकिन यहां एक बात है बहुत महत्वपूर्ण नियम.इतना महत्वपूर्ण कि इसे सुरक्षित रूप से कहा जा सकता है मुख्य नियमसारा गणित. इस नियम को तोड़ना अनिवार्य रूप सेत्रुटियों की ओर ले जाता है। क्या हम इसमें शामिल हो रहे हैं?)

मान लीजिए कि हमने अपनी अभिव्यक्ति को इस तरह बेतरतीब ढंग से बदल दिया:

रूपांतरण? निश्चित रूप से। हमने अभिव्यक्ति को एक अलग रूप में लिखा, इसमें क्या गलत है?

ऐसा नहीं है।) मुद्दा यह है कि परिवर्तन "बिना सोचे समझे"गणित में बिल्कुल भी रुचि नहीं है।) सारा गणित किन परिवर्तनों पर बना है उपस्थिति, लेकिन अभिव्यक्ति का सार नहीं बदलता.तीन और पांच को किसी भी रूप में लिखा जा सकता है, लेकिन आठ ही होना चाहिए।

परिवर्तन, अभिव्यक्तियाँ जो सार नहीं बदलतींकहा जाता है समान।

बिल्कुल पहचान परिवर्तनऔर हमें, कदम दर कदम, बदलने की अनुमति दें जटिल उदाहरणएक सरल अभिव्यक्ति में, रखते हुए उदाहरण का सार.यदि हम परिवर्तनों की श्रृंखला में कोई गलती करते हैं, हम एक समान परिवर्तन नहीं करते हैं, तो हम निर्णय लेंगे एक औरउदाहरण। अन्य उत्तरों के साथ जो सही उत्तरों से संबंधित नहीं हैं।)

किसी भी कार्य को हल करने का यह मुख्य नियम है: परिवर्तनों की पहचान बनाए रखना।

मैंने स्पष्टता के लिए संख्यात्मक अभिव्यक्ति 3+5 के साथ एक उदाहरण दिया। में बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँसमान परिवर्तन सूत्रों और नियमों द्वारा दिए जाते हैं। मान लीजिए बीजगणित में एक सूत्र है:

ए(बी+सी) = एबी + एसी

इसका मतलब यह है कि किसी भी उदाहरण में हम अभिव्यक्ति के स्थान पर कर सकते हैं ए(बी+सी)एक अभिव्यक्ति लिखने के लिए स्वतंत्र महसूस करें एबी + एसी. और इसके विपरीत। यह समान परिवर्तन.गणित हमें इन दो अभिव्यक्तियों के बीच एक विकल्प देता है। और कौन सा लिखना है - से ठोस उदाहरणनिर्भर करता है.

एक और उदाहरण. सबसे महत्वपूर्ण और आवश्यक परिवर्तनों में से एक भिन्न का मूल गुण है। आप अधिक विवरण के लिए लिंक देख सकते हैं, लेकिन यहां मैं आपको केवल नियम की याद दिलाऊंगा: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाए, या कोई ऐसा व्यंजक जो शून्य के बराबर न हो, तो भिन्न नहीं बदलेगा।इस संपत्ति का उपयोग करके पहचान परिवर्तनों का एक उदाहरण यहां दिया गया है:

जैसा कि आपने शायद अनुमान लगाया, यह श्रृंखला अनिश्चित काल तक जारी रह सकती है...) एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति। यह वह है जो आपको सभी प्रकार के उदाहरण राक्षसों को सफेद और रोएंदार में बदलने की अनुमति देता है।)

समान परिवर्तनों को परिभाषित करने वाले कई सूत्र हैं। लेकिन सबसे महत्वपूर्ण काफी उचित संख्या है। बुनियादी परिवर्तनों में से एक गुणनखंडन है। इसका उपयोग सभी गणित में किया जाता है - प्रारंभिक से लेकर उन्नत तक। चलिए उससे शुरू करते हैं. अगले पाठ में.)

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भाव गणित का आधार हैं। यह अवधारणा काफी व्यापक है. गणित में आप जिन चीज़ों से निपटते हैं उनमें से अधिकांश - उदाहरण, समीकरण, यहाँ तक कि भिन्न - अभिव्यक्तियाँ हैं। अभिव्यक्ति की एक विशिष्ट विशेषता गणितीय संक्रियाओं की उपस्थिति है। इसे कुछ चिन्हों (गुणा, भाग, घटाव या जोड़) द्वारा दर्शाया जाता है। यदि आवश्यक हो तो गणितीय संक्रियाओं को निष्पादित करने के क्रम को कोष्ठक से ठीक किया जाता है। गणित करने का अर्थ है किसी अभिव्यक्ति का अर्थ खोजना।

जो अभिव्यक्ति नहीं है

प्रत्येक गणितीय अंकन को अभिव्यक्ति के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है। गणितीय संक्रियाएं समानता में मौजूद हैं या नहीं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। उदाहरण के लिए, a=5 एक समानता है, अभिव्यक्ति नहीं, लेकिन 8+6*2=20 को भी अभिव्यक्ति नहीं माना जा सकता, हालांकि इसमें गुणा और जोड़ शामिल है। यह उदाहरण भी समानता की श्रेणी से संबंधित है। अभिव्यक्ति और समानता की अवधारणाएँ परस्पर अनन्य नहीं हैं, पहला दूसरे का हिस्सा है। समान चिन्ह दो भावों को जोड़ता है:
5+7=24:2आप इस समानता को सरल बना सकते हैं:
5+7=12एक अभिव्यक्ति हमेशा यह मानती है कि जिन गणितीय संक्रियाओं का वह प्रतिनिधित्व करता है उन्हें निष्पादित किया जा सकता है। 9+:-7 कोई अभिव्यक्ति नहीं है, हालाँकि यहाँ गणितीय संक्रियाओं के संकेत हैं, क्योंकि इन क्रियाओं को करना असंभव है। ऐसे गणितीय उदाहरण भी हैं जो औपचारिक रूप से अभिव्यक्ति हैं, लेकिन उनका कोई अर्थ नहीं है। ऐसी अभिव्यक्ति का एक उदाहरण:
46:(5-2-3) संख्या 46 को कोष्ठक में क्रियाओं के परिणाम से विभाजित किया जाना चाहिए, और यह शून्य के बराबर है। आप शून्य से भाग नहीं दे सकते; ऐसी क्रिया गणित में निषिद्ध मानी जाती है।

संख्यात्मक और बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ

गणितीय अभिव्यक्तियाँ दो प्रकार की होती हैं। यदि किसी अभिव्यक्ति में केवल संख्याएँ और गणितीय संक्रियाओं के प्रतीक हों, तो ऐसी अभिव्यक्ति को संख्यात्मक अभिव्यक्ति कहा जाता है। यदि, संख्याओं के साथ, अभिव्यक्ति में अक्षरों द्वारा दर्शाए गए चर शामिल हैं, या कोई संख्या नहीं है, तो अभिव्यक्ति में केवल गणितीय संचालन के चर और प्रतीक शामिल हैं, इसे बीजगणितीय कहा जाता है यह है कि एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का केवल एक ही मान होता है। उदाहरण के लिए, संख्यात्मक अभिव्यक्ति 56-2*3 का मान हमेशा 50 के बराबर होगा, इसमें कुछ भी बदलाव नहीं किया जा सकता है। एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति के कई अर्थ हो सकते हैं, क्योंकि किसी अक्षर के स्थान पर कोई भी संख्या प्रतिस्थापित की जा सकती है। इसलिए, यदि व्यंजक b-7 में हम b के स्थान पर 9 प्रतिस्थापित करते हैं, तो व्यंजक का मान 2 होगा, और यदि 200 है, तो यह 193 होगा।

इस पाठ में आप "संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ" विषय पर गौर करेंगे। संख्यात्मक अभिव्यक्तियों की तुलना।" यह पाठ आपको संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को परिभाषित करने से परिचित कराएगा। आप सीखेंगे कि संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ पढ़ी जा सकती हैं। आप उनका अर्थ ढूंढना और तुलना करना भी सीखेंगे। कई व्यावहारिक उदाहरण आपको जो सीखा है उसे सुदृढ़ करने में मदद करेंगे।

पाठ: संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ. संख्यात्मक अभिव्यक्तियों की तुलना करना

इन अभिव्यक्तियों को देखें और उनमें से बेजोड़ को खोजने का प्रयास करें।

20 + ए
एस + 7
6 + 8
15 - (10 + 2)
18 > 9

निरर्थक प्रविष्टि 18 > 9 है (18, 9 से बड़ा है)। आपको क्या लगता है?

सही उत्तर: क्योंकि यह केवल तुलना चिह्न का उपयोग करता है। अन्य सभी क्रिया चिन्हों का उपयोग करते हैं।

लिखित अभिव्यक्तियों को दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

शाब्दिक अभिव्यक्ति संख्यात्मक अभिव्यक्ति
20 + ए 6 + 8
सी + 7 15 - (10 + 2)

शाब्दिक अभिव्यक्तियाँवे अभिव्यक्तियाँ हैं जो लैटिन वर्णमाला के अक्षरों का उपयोग करती हैं।

संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ- क्रिया चिन्हों से जुड़े नंबर। संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ पढ़ी जा सकती हैं।

6 + 8…(6 और 8 का योग)

15 - (10 + 2)…(15 में से 10 और 2 का योग घटाएं)

आइए भावों के अर्थ खोजें:

15 - (10 + 2) = …
सबसे पहले हम कोष्ठक में लिखी क्रिया को निष्पादित करते हैं। 2 को 10 में जोड़ें.
10 + 2 = 12
अब आपको 15 में से 12 घटाना है.
15 - 12 = 3
15 - (10 + 2) = 3

आइए अब कार्य पूरा करें:

हमने समीक्षा की कि किसी संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करने का क्या अर्थ है।

अब हमें संख्यात्मक व्यंजकों की तुलना करना सीखना चाहिए। एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति की तुलना करें - प्रत्येक अभिव्यक्ति का मान ढूंढें और उनकी तुलना करें।

आइए दोनों अभिव्यक्तियों के अर्थों की तुलना करें। ऐसा करने के लिए, हम उनमें से प्रत्येक का मान ज्ञात करेंगे।

15 - 7 < 6 + 3

आइए अब दो और अभिव्यक्तियों के मूल्यों की तुलना करें:

3. शैक्षणिक विचारों का उत्सव " खुला पाठ» (). इसे घर पर बनायें संख्यात्मक व्यंजकों को हल करें: ए) 20 +14 बी) 56 - 22 सी) 47 - 22 भावों की तुलना करें: ए) 33 - 12 और 25 + 7 बी) 45 - 5 और 19 + 21 सी) 23 + 5 और 12 + 6

FORMULA

जोड़, घटाव, गुणा, भाग - अंकगणितीय संक्रियाएँ (या अंकगणितीय परिचालन). ये अंकगणितीय संक्रियाएँ अंकगणितीय संक्रियाओं के संकेतों के अनुरूप हैं:

+ (पढ़ना " प्लस") - अतिरिक्त ऑपरेशन का संकेत,

- (पढ़ना " ऋण") घटाव संक्रिया का चिन्ह है,

∙ (पढ़ना " गुणा") गुणन संक्रिया का चिन्ह है,

: (पढ़ना " विभाजित करना") विभाजन संक्रिया का चिन्ह है।

अंकगणित चिह्नों द्वारा परस्पर जुड़े हुए अंकों से युक्त अभिलेख कहलाता है संख्यात्मक अभिव्यक्ति.एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति में कोष्ठक भी हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रविष्टि 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) एक संख्यात्मक व्यंजक है।

संख्यात्मक अभिव्यक्ति में संख्याओं पर क्रिया करने के परिणाम को कहा जाता है एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मूल्य. इन क्रियाओं को करने को संख्यात्मक अभिव्यक्ति के मान की गणना करना कहा जाता है। किसी संख्यात्मक व्यंजक का मान लिखने से पहले लगाएं बराबर का चिह्न"="। तालिका 1 संख्यात्मक अभिव्यक्तियों और उनके अर्थों के उदाहरण दिखाती है।

अंकगणितीय संक्रियाओं के चिह्नों द्वारा परस्पर जुड़े हुए लैटिन वर्णमाला के अंकों और छोटे अक्षरों से बने अभिलेख को कहा जाता है शाब्दिक अभिव्यक्ति. इस प्रविष्टि में कोष्ठक हो सकते हैं. उदाहरण के लिए, रिकार्ड ए+बी - 3 ∙सीएक शाब्दिक अभिव्यक्ति है. अक्षरों के स्थान पर आप स्थानापन्न कर सकते हैं अलग-अलग नंबर. ऐसी स्थिति में अक्षरों के अर्थ बदल सकते हैं, इसलिए अक्षर अभिव्यक्ति में अक्षरों को भी कहा जाता है चर.

शाब्दिक अभिव्यक्ति में अक्षरों के स्थान पर संख्याओं को प्रतिस्थापित करके और परिणामी संख्यात्मक अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करके, वे पाते हैं दिए गए अक्षर मानों के लिए शाब्दिक अभिव्यक्ति का अर्थ(चर के दिए गए मानों के लिए)। तालिका 2 अक्षर अभिव्यक्तियों के उदाहरण दिखाती है।

एक शाब्दिक अभिव्यक्ति का कोई अर्थ नहीं हो सकता है, यदि अक्षरों के मानों को प्रतिस्थापित करते समय, एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त की जाती है, जिसका मान प्राकृतिक संख्यानहीं मिलना। इस संख्यात्मक अभिव्यक्ति को कहा जाता है गलतप्राकृतिक संख्याओं के लिए. यह भी कहा जाता है कि ऐसी अभिव्यक्ति का अर्थ है " परिभाषित नहीं"प्राकृतिक संख्याओं और स्वयं अभिव्यक्ति के लिए "कोई मतलब नहीं". उदाहरण के लिए, शाब्दिक अभिव्यक्ति ए-बीइससे कोई फर्क नहीं पड़ता जब a = 10 और b = 17 हो। वास्तव में, प्राकृतिक संख्याओं के लिए, मीनूएंड सबट्रेंड से कम नहीं हो सकता। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास केवल 10 सेब हैं (ए = 10), तो आप उनमें से 17 (बी = 17) नहीं दे सकते!

तालिका 2 (स्तंभ 2) शाब्दिक अभिव्यक्ति का एक उदाहरण दिखाती है। सादृश्य से, तालिका को पूरी तरह भरें।

प्राकृत संख्याओं के लिए व्यंजक 10 -17 है ग़लत (कोई मतलब नहीं), यानी अंतर 10 -17 को प्राकृतिक संख्या के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। एक अन्य उदाहरण: आप शून्य से भाग नहीं दे सकते, इसलिए किसी भी प्राकृत संख्या b के लिए, भागफल बी: 0 परिभाषित नहीं.

गणितीय नियम, गुण, कुछ नियम और रिश्ते अक्सर शाब्दिक रूप में (अर्थात् शाब्दिक अभिव्यक्ति के रूप में) लिखे जाते हैं। इन मामलों में, शाब्दिक अभिव्यक्ति कहा जाता है FORMULA. उदाहरण के लिए, यदि एक सप्तभुज की भुजाएँ बराबर हैं ए,बी,सी,डी,ई,एफ,जी, फिर इसकी परिधि की गणना के लिए सूत्र (शाब्दिक अभिव्यक्ति)। पीइसका रूप है:

पी =ए+बी+सी+डी+ई+एफ+जी

a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9 के साथ, सप्तभुज का परिमाप p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18 के साथ, दूसरे सप्तभुज का परिमाप p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

खंड 1. शब्दावली

पैराग्राफ से नए शब्दों और परिभाषाओं का शब्दकोश बनाएं। ऐसा करने के लिए, खाली कक्षों में नीचे दी गई शब्दों की सूची से शब्द लिखें। तालिका में (ब्लॉक के अंत में), फ़्रेम की संख्या के अनुसार शब्दों की संख्या इंगित करें। यह अनुशंसा की जाती है कि आप शब्दकोश की कोशिकाओं को भरने से पहले पैराग्राफ की दोबारा सावधानीपूर्वक समीक्षा करें।

1. संचालन: जोड़, घटाव, गुणा, भाग।

2. चिह्न "+" (प्लस), "-" (माइनस), "∙" (गुणा, " : " (विभाजित करना)।

3. एक रिकॉर्ड जिसमें संख्याएँ होती हैं जो अंकगणितीय संक्रियाओं के संकेतों द्वारा परस्पर जुड़ी होती हैं और जिनमें कोष्ठक भी हो सकते हैं।

4. संख्यात्मक अभिव्यक्ति में संख्याओं पर क्रिया करने का परिणाम।

5. संख्यात्मक अभिव्यक्ति के मान से पहले का चिह्न।

6. लैटिन वर्णमाला की संख्याओं और छोटे अक्षरों से युक्त एक रिकॉर्ड, जो अंकगणितीय परिचालनों के संकेतों से जुड़ा हुआ है (कोष्ठक भी मौजूद हो सकते हैं)।

7. साधारण नामशाब्दिक अभिव्यक्ति में अक्षर.

8. एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान, जो चर को शाब्दिक अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है।

9.एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति जिसका प्राकृतिक संख्याओं के लिए मान नहीं पाया जा सकता है।

10. एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति जिसका प्राकृतिक संख्याओं के लिए मान ज्ञात किया जा सकता है।

11. गणितीय नियम, गुण, कुछ नियम और संबंध, अक्षर रूप में लिखे गए।

12. एक वर्णमाला जिसके छोटे अक्षरों का प्रयोग वर्णानुक्रमिक अभिव्यक्तियाँ लिखने के लिए किया जाता है।

खंड 2. मिलान

बाएँ कॉलम में दिए गए कार्य को दाएँ कॉलम में दिए गए समाधान से मिलाएँ। अपना उत्तर इस रूप में लिखें: 1ए, 2डी, 3बी...

ब्लॉक 3. पहलू परीक्षण. संख्यात्मक और वर्णमाला अभिव्यक्तियाँ

पहलू परीक्षण गणित में समस्याओं के संग्रह को प्रतिस्थापित करते हैं, लेकिन उनसे इस मामले में अनुकूल रूप से भिन्न होते हैं कि उन्हें कंप्यूटर पर हल किया जा सकता है, समाधानों की जांच की जा सकती है, और कार्य का परिणाम तुरंत पता लगाया जा सकता है। इस परीक्षण में 70 समस्याएं हैं। लेकिन आप अपनी पसंद से समस्याओं का समाधान कर सकते हैं; इसके लिए एक मूल्यांकन तालिका है, जो इंगित करती है सरल कार्यऔर अधिक कठिन. नीचे परीक्षण है.

1. भुजाओं वाला एक त्रिभुज दिया गया है सी,डी,एम,सेमी में व्यक्त किया गया
2. भुजाओं वाला एक चतुर्भुज दिया गया है बी,सी,डी,एम, एम में व्यक्त किया गया
3. कार की गति किमी/घंटा में है बी,यात्रा का समय घंटों में है डी
4. पर्यटक द्वारा तय की गई दूरी एमघंटे है साथकिमी
5. पर्यटक द्वारा गति से चलते हुए तय की गई दूरी एमकिमी/घंटा है बीकिमी
6. दो संख्याओं का योग दूसरी संख्या से 15 अधिक है
7. यह अंतर 7 कम होने से कम है
8. एक यात्री लाइनर में समान संख्या में यात्री सीटों वाले दो डेक होते हैं। डेक की प्रत्येक पंक्ति में एमडेक पर सीटें, पंक्तियाँ एनएक पंक्ति में सीटों से अधिक
9. पेट्या m वर्ष की है, माशा n वर्ष की है, और कात्या, पेट्या और माशा से k वर्ष छोटी है
10. एम = 8, एन = 10, के = 5
11. एम = 6, एन = 8, के = 15
12. टी = 121, एक्स = 1458

1. इस अभिव्यक्ति का अर्थ
2. परिधि के लिए शाब्दिक अभिव्यक्ति है
3. परिधि को सेंटीमीटर में व्यक्त किया गया है
4. एक कार द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र
5. स्पीड वी, पर्यटक आंदोलन के लिए सूत्र
6. समय टी, पर्यटक आंदोलन के लिए सूत्र
7. कार द्वारा तय की गई दूरी किलोमीटर में
8. पर्यटक गति किलोमीटर प्रति घंटा में
9. पर्यटक यात्रा का समय घंटों में
10. पहला नंबर है...
11. सबट्रेंड बराबर है...
12. के लिए अभिव्यक्ति सबसे बड़ी संख्यायात्रियों के लिए, जो लाइनर का परिवहन कर सकते हैं केउड़ानें
13. एक विमान द्वारा ले जा सकने वाले यात्रियों की सबसे बड़ी संख्या केउड़ानें
14. कात्या की उम्र के लिए पत्र अभिव्यक्ति
15. कात्या की उम्र
16. बिंदु B का निर्देशांक, यदि बिंदु C का निर्देशांक है टी
17. बिंदु D का निर्देशांक, यदि बिंदु C का निर्देशांक है टी
18. बिंदु A का निर्देशांक, यदि बिंदु C का निर्देशांक है टी
19. संख्या रेखा पर खंड BD की लंबाई
20. संख्या रेखा पर खंड CA की लंबाई
21. संख्या रेखा पर खंड DA की लंबाई

प्राथमिक विद्यालय में पढ़ाई जाने वाली गणितीय अभिव्यक्ति (या सिर्फ एक अभिव्यक्ति) की अवधारणा महत्वपूर्ण है। इस प्रकार, यह अवधारणा छात्रों को कम्प्यूटेशनल कौशल में महारत हासिल करने में मदद करती है। दरअसल, कम्प्यूटेशनल त्रुटियां अक्सर अभिव्यक्तियों की संरचना की समझ की कमी और अभिव्यक्तियों में क्रियाएं किए जाने के क्रम के अनिश्चित ज्ञान से जुड़ी होती हैं। अभिव्यक्ति की अवधारणा में महारत हासिल करना समानता, असमानता, समीकरण जैसी महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणाओं के गठन को निर्धारित करता है। किसी समस्या के लिए व्यंजक बनाने की क्षमता बीजगणितीय रूप से समस्याओं को हल करने की क्षमता में महारत हासिल करने के लिए आवश्यक है, अर्थात। समीकरण लिखकर.

"दस" एकाग्रता में जोड़ और घटाव का अध्ययन करते समय बच्चे पहले भाव - योग और अंतर - से परिचित हो जाते हैं। विशेष शब्दों का उपयोग किए बिना, प्रथम-ग्रेडर दृश्य प्रतिनिधित्व के आधार पर गणना करते हैं, भाव लिखते हैं, उन्हें पढ़ते हैं, किसी संख्या को योग से बदलते हैं। इस मामले में, वे अभिव्यक्ति 4+3 को इस प्रकार पढ़ते हैं: "तीन में चार जोड़ें" या "4 को 3 से बढ़ाएं।" जोड़ और घटाव चिह्न से जुड़े तीन संख्याओं से युक्त अभिव्यक्तियों के मूल्यों को ढूंढकर, छात्र वास्तव में अंतर्निहित रूप में क्रियाओं के क्रम के लिए नियम का उपयोग करते हैं और अभिव्यक्तियों के पहले समान परिवर्तन करते हैं।

जैसे भावों से परिचित होना ए+सी, प्रथम-ग्रेडर पहले "योग" शब्द का उपयोग जोड़ से उत्पन्न संख्या को निर्दिष्ट करने के लिए करते हैं, अर्थात। राशि को अभिव्यक्ति के मूल्य के रूप में माना जाता है। फिर, अधिक जटिल अभिव्यक्तियों के आगमन के साथ, जैसे कि (ए+सी)-सी, "राशि" शब्द की एक अलग समझ की आवश्यकता है। अभिव्यक्ति ए+सीको योग कहा जाता है, और इसके घटकों को पद कहा जाता है। जैसे भावों का परिचय देते समय ए-सी, ए·सी, ए:सीइसी तरह करें। सबसे पहले, अंतर (उत्पाद, भागफल) अभिव्यक्ति का अर्थ है, और फिर अभिव्यक्ति स्वयं। साथ ही, छात्रों को इसके घटकों के नाम बताए जाते हैं: मीनुएंड, सबट्रेंड, कारक, लाभांश और विभाजक। उदाहरण के लिए, समानता 9-4=5 में 9 लघुअंत है, 4 उपअंत है, 5 अंतर है। प्रविष्टि 9-4 को अंतर भी कहा जाता है। आप इन शब्दों को एक अलग क्रम में प्रस्तुत कर सकते हैं: छात्रों से उदाहरण 9-4 लिखने को कहें, बताएं कि क्या अंतर लिखा है, और गणना करें कि लिखित अंतर क्या है। शिक्षक परिणामी संख्या का नाम दर्ज करता है: 5 भी एक अंतर है। घटाने पर अन्य संख्याएँ कहलाती हैं: 9 - मीनूएंड, 4 - सबट्रेंड।

जैसे पोस्टरों द्वारा नए शब्दों को याद रखने में सुविधा होती है

घटाव घटाव अंतर अंतर (अंतर मान)

इन शब्दों को समेकित करने के लिए, जैसे अभ्यास: “संख्याओं के योग की गणना करें; संख्याओं का योग लिखिए; संख्याओं के योग की तुलना करें (सम्मिलित करें > चिह्न,< или = вместо · в запись 4 + 3 · 5 + 1 и прочтите полученную запись); замените число суммой одинаковых (разных) чисел; заполните таблицу; составьте по таблице примеры и решите их». Важно, чтобы дети поняли, что при вычислении суммы производится указанное действие (сложение), а при записи суммы получаем два числа, соединенных знаком плюс.

10 के भीतर जोड़ और घटाव का अध्ययन करते समय, फॉर्म के समान या विभिन्न क्रिया संकेतों से जुड़े तीन या अधिक संख्याओं से युक्त अभिव्यक्तियां शामिल की जाती हैं: 3+1+1, 4-1-1, 2+2+2+2, 7 -4+2, 6+3-7. ऐसे भावों का अर्थ प्रकट करते हुए, शिक्षक दिखाता है कि उन्हें कैसे पढ़ा जाए (उदाहरण के लिए, तीन में एक जोड़ें और परिणामी संख्या में एक और जोड़ें)। इन अभिव्यक्तियों के अर्थों की गणना करके, बच्चे व्यावहारिक रूप से कोष्ठक के बिना अभिव्यक्तियों में क्रियाओं के क्रम के नियम में महारत हासिल कर लेते हैं, हालांकि वे इसे तैयार नहीं करते हैं। कुछ समय बाद, बच्चों को गणना की प्रक्रिया में अभिव्यक्तियाँ बनाना सिखाया जाता है, उदाहरण के लिए: 10-7+5=3+5=8। ऐसी प्रविष्टियाँ पहचान परिवर्तन करने में पहला कदम हैं। प्रथम कक्षा के विद्यार्थियों को 10- (6+2), (7-4)+5, आदि जैसे भावों से परिचित कराना। उन्हें योग में एक संख्या जोड़ने, योग में से एक संख्या घटाने आदि के नियमों का अध्ययन करने, यौगिक समस्याओं के समाधान लिखने के लिए तैयार करता है, और अभिव्यक्ति की अवधारणा की गहरी समझ में भी योगदान देता है।

अभिव्यक्ति की अवधारणा में महारत हासिल करने के अगले चरण में, छात्र उन अभिव्यक्तियों से परिचित हो जाते हैं जो कोष्ठक का उपयोग करते हैं: (10-3)+4, (6-2)+5। उन्हें शब्द समस्याओं के माध्यम से दर्ज किया जा सकता है। शिक्षक उन कार्डों का उपयोग करके टाइपसेटिंग कैनवास पर संख्या 10 और 3 के योग और अंतर बनाने का सुझाव देते हैं, जिन पर ये संख्याएँ और क्रिया चिह्न लिखे होते हैं। फिर शिक्षक छात्रों द्वारा संकलित अंतर 10-3 को इस अंतर के साथ पहले से तैयार किए गए कार्ड से बदल देता है। अगला कार्य: अंतर, संख्या 4 और + चिह्न का उपयोग करके एक अभिव्यक्ति बनाएं (इस स्तर पर छात्र इसके बारे में एक उदाहरण के रूप में बात करते हैं)। परिणामी अभिव्यक्ति को पढ़ते समय, इस तथ्य पर ध्यान आकर्षित किया जाता है कि इसके घटक एक अंतर और एक संख्या हैं। "यह स्पष्ट करने के लिए," शिक्षक कहते हैं, "कि अंतर एक शब्द है, यह कोष्ठक में संलग्न है।"

स्वतंत्र रूप से अभिव्यक्तियों का निर्माण करके, बच्चे उनकी संरचना के बारे में जागरूक हो जाते हैं, पढ़ने, लिखने और उनके अर्थों की गणना करने की क्षमता में महारत हासिल कर लेते हैं।

शब्द "गणितीय अभिव्यक्ति" (या बस "अभिव्यक्ति") और "अभिव्यक्ति का अर्थ" पेश किए गए हैं। ये शर्तें परिभाषित नहीं हैं. कई सरल अभिव्यक्तियाँ लिखने के बाद: योग, अंतर, शिक्षक उन्हें गणितीय अभिव्यक्ति कहते हैं। इन उदाहरणों का मूल्यांकन करने की पेशकश करने के बाद, उन्होंने घोषणा की कि गणना से उत्पन्न संख्याओं को अभिव्यक्ति का मूल्य कहा जाता है। संख्यात्मक अभिव्यक्तियों पर आगे के काम में बच्चों को पढ़ने का अभ्यास करना, श्रुतलेख लेना, अभिव्यक्तियाँ लिखना, तालिकाएँ भरना, नए शब्दों का व्यापक उपयोग करना शामिल है।

कार्यों के क्रम के नियम .

	peculiarities संख्यात्मक अभिव्यक्ति	कार्यान्वयन कार्रवाई
	ही शामिल है + और – या बस एक्सऔर :	क्रम में (बाएँ से दाएँ)	65 - 20 + 5 - 8 = 42 24:4 · 2:3 = 4
	न केवल शामिल है + और - , लेकिन एक्सऔर :	पहले क्रम में प्रदर्शन करें (बाएं से दाएं) एक्सऔर : , और तब + और – (बाएं से दाएं)	120 – 20: 4 6 = 90 460 + 40 – 50 4 = 300 1 3 4 2 360: 4 + 10 – 8 5 = 60 180: 2 - 90: 3 = 60
	कोष्ठक के एक या अधिक जोड़े शामिल हैं	सबसे पहले, कोष्ठकों में भावों का मान ज्ञात करें, और फिर नियम 1 और 2 के अनुसार क्रियाएँ करें	1000- (100 9 + 10) =90 5 (76 – 6 + 10) = 400 80+ (360 - 300) 5 = 380 3 1 4 2 99·(24-23)-(12-4)=91

किसी अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए, आपको अक्सर इसे परिवर्तित करना होगा, खासकर यदि अभिव्यक्ति में बड़ी संख्या में संचालन और कोष्ठक हों।

एक अभिव्यक्ति परिवर्तित करनाकिसी दिए गए अभिव्यक्ति का दूसरे के साथ प्रतिस्थापन है जिसका मूल्य दिए गए अभिव्यक्ति के मूल्य के बराबर है। भावों का रूपांतरण अंकगणितीय संक्रियाओं के गुणों और उनसे उत्पन्न होने वाले परिणामों के आधार पर किया जाता है (नियम: किसी संख्या में योग कैसे जोड़ें, योग से किसी संख्या को कैसे घटाएं, किसी संख्या को उत्पाद से कैसे गुणा करें, आदि) .). प्रत्येक नियम का अध्ययन करते समय, छात्र आश्वस्त हो जाते हैं कि एक निश्चित प्रकार की अभिव्यक्ति में वे विभिन्न तरीकों से कार्य कर सकते हैं, लेकिन अभिव्यक्ति का अर्थ नहीं बदलता है।

और गणित शिक्षण में संख्याओं के पारंपरिक अंकन का उपयोग।

बंडल - दो अंकों की संख्याओं के गठन और दशमलव संरचना को प्रदर्शित करने के लिए दसियों छड़ियों और व्यक्तिगत छड़ियों का उपयोग किया जाता है। इसी उद्देश्य के लिए, आप दहाई (10 आकृतियों की 10 पट्टियाँ) और इकाई (1, 2, ..., 9 आकृतियों वाली पट्टियाँ) को चित्रित करने के लिए वृत्त या त्रिकोण वाली पट्टियों का उपयोग कर सकते हैं। कभी-कभी, धारियों के बजाय, संख्यात्मक आकृतियों (बिंदुओं) को दर्शाने वाले आयताकार कार्डों का उपयोग इकाइयों को दर्शाने के लिए और त्रिकोण कार्डों में दहाई को दर्शाने के लिए किया जाता है।

दहाई और इकाई की गिनती से प्राप्त संख्याओं पर विचार किया जाता है। सबसे पहले, आप अपनी जीवन स्थिति की ओर मुड़ सकते हैं। आप दहाई और इकाई मॉडल को त्रिकोण और व्यक्तिगत बिंदुओं के रूप में पेश कर सकते हैं। फिर वे उसी "नियम" के अनुसार बिंदुओं (वृत्तों) से भरा एक त्रिकोण दिखाते हैं, जो दस को दर्शाता है। पर यह सबकइस मैनुअल को एक प्रदर्शन के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है: बच्चे संख्या का नाम देते हैं, जो त्रिकोण और व्यक्तिगत बिंदुओं द्वारा इंगित किया जाता है, या वे स्वयं इस मैनुअल का उपयोग करके संख्या निर्दिष्ट करते हैं। भविष्य में, जब छड़ियों के समूह के साथ व्यावहारिक रूप से काम करना मुश्किल हो जाएगा, तो त्रिकोण और अलग-अलग बिंदुओं के चित्र बच्चों को संख्याओं की दशमलव संरचना को अच्छी तरह से समझने में मदद करेंगे, जबकि त्रिकोण अब बिंदुओं से भरे नहीं होंगे, इस बात से सहमत होकर कि त्रिकोण बनाए गए हैं एक सेल में दसियों को इंगित करें, और दाईं ओर के बिंदु उनमें से केवल कुछ ही हैं। इस विधि से बच्चों के लिए नोटबुक में चित्र बनाना आसान है:

अंकन के अध्ययन के लिए समर्पित प्रत्येक पाठ में समस्याओं पर कार्य किया जाता है। साधारण समस्याओं को पहले हल किया जाता है। ये योग और शेषफल ज्ञात करने, किसी संख्या को कई इकाइयों तक बढ़ाने और घटाने, अंतर तुलना के लिए समस्याएं हैं।

ग्रेड 1-3 के पाठों में एक महत्वपूर्ण स्थान कार्डबोर्ड, प्लाईवुड और कपड़े से बने विभिन्न डिज़ाइनों के टाइपसेटिंग कैनवस का है। चित्र 4 एक डेमो टाइपसेटिंग कैनवास दिखाता है, और चित्र 5 एक व्यक्तिगत कैनवास दिखाता है।