समान आधार उदाहरणों के साथ लघुगणक का घटाव। प्राकृतिक लघुगणक, फलन ln x

13.10.2019

(ग्रीक λόγος से - "शब्द", "संबंध" और ἀριθμός - "संख्या") संख्याएं बीपर आधारित ए(लॉग α बी) ऐसी संख्या कहलाती है सी, और बी= एक सी, यानी, रिकॉर्ड लॉग α बी=सीऔर बी=एसीसमतुल्य हैं. यदि a > 0, a ≠ 1, b > 0 हो तो लघुगणक समझ में आता है।

दूसरे शब्दों में लोगारित्मनंबर बीपर आधारित एएक प्रतिपादक के रूप में तैयार किया गया है जिसके लिए एक संख्या बढ़ाई जानी चाहिए एनंबर पाने के लिए बी(लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए मौजूद है)।

इस सूत्रीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणना x= log α बी, समीकरण a x =b को हल करने के बराबर है।

उदाहरण के लिए:

लॉग 2 8 = 3 क्योंकि 8 = 2 3।

आइए हम इस बात पर जोर दें कि लघुगणक का संकेतित सूत्रीकरण तुरंत निर्धारित करना संभव बनाता है लघुगणक मान, जब लघुगणक चिह्न के नीचे की संख्या आधार की एक निश्चित शक्ति के रूप में कार्य करती है। वास्तव में, लघुगणक का निरूपण इसे उचित ठहराना संभव बनाता है यदि बी=ए सी, फिर संख्या का लघुगणक बीपर आधारित एके बराबर होती है साथ. यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक का विषय विषय से निकटता से संबंधित है किसी संख्या की शक्तियां.

लघुगणक की गणना करना कहलाता है लोगारित्म. लघुगणक लघुगणक लेने की गणितीय संक्रिया है। लघुगणक लेते समय, कारकों के उत्पाद पदों के योग में बदल जाते हैं।

पोटेंशिएशनलघुगणक की व्युत्क्रम गणितीय संक्रिया है। पोटेंशिएशन के दौरान, किसी दिए गए आधार को अभिव्यक्ति की डिग्री तक बढ़ाया जाता है जिस पर पोटेंशिएशन किया जाता है। इस स्थिति में, पदों का योग कारकों के उत्पाद में बदल जाता है।

अक्सर, वास्तविक लघुगणक का उपयोग आधार 2 (बाइनरी), यूलर संख्या ई ≈ 2.718 (प्राकृतिक लघुगणक) और 10 (दशमलव) के साथ किया जाता है।

इस स्तर पर इस पर विचार करना उचित है लघुगणक नमूनेलॉग 7 2 , एल.एन √ 5, एलजी0.0001.

और प्रविष्टियाँ lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि उनमें से पहले में लघुगणक के चिह्न के नीचे एक ऋणात्मक संख्या रखी गई है, दूसरे में एक ऋणात्मक संख्या है आधार में, और तीसरे में लघुगणक चिह्न और आधार पर इकाई के नीचे एक ऋणात्मक संख्या है।

लघुगणक निर्धारित करने की शर्तें.

शर्तों a > 0, a ≠ 1, b > 0 पर अलग से विचार करना उचित है, जिसके तहत हमें मिलता है लघुगणक की परिभाषा.आइये विचार करें कि ये प्रतिबंध क्यों लिये गये। x = log α के रूप की समानता इसमें हमारी सहायता करेगी बी, जिसे मूल लघुगणकीय पहचान कहा जाता है, जो सीधे ऊपर दी गई लघुगणक की परिभाषा का अनुसरण करती है।

आइए शर्त लेते हैं a≠1. चूँकि एक से किसी भी घात का मान एक के बराबर होता है, तो समानता x=log α बीतभी अस्तित्व में रह सकता है जब बी=1, लेकिन लॉग 1 1 कोई वास्तविक संख्या होगी। इस अस्पष्टता को खत्म करने के लिए, हम लेते हैं a≠1.

आइए हम शर्त की आवश्यकता सिद्ध करें ए>0. पर ए=0लघुगणक के निरूपण के अनुसार तभी अस्तित्व में रह सकता है बी=0. और तदनुसार फिर लॉग 0 0कोई भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या हो सकती है, क्योंकि शून्य से किसी भी गैर-शून्य घात शून्य होता है। इस अस्पष्टता को शर्त द्वारा समाप्त किया जा सकता है a≠0. और जब ए<0 हमें लघुगणक के तर्कसंगत और अपरिमेय मूल्यों के विश्लेषण को अस्वीकार करना होगा, क्योंकि तर्कसंगत और अपरिमेय घातांक वाली डिग्री केवल गैर-नकारात्मक आधारों के लिए परिभाषित की जाती है। इसी कारण से यह शर्त निर्धारित की गई है ए>0.

और आखिरी शर्त बी>0असमानता से अनुसरण करता है ए>0, चूँकि x=log α बी, और सकारात्मक आधार के साथ डिग्री का मूल्य एहमेशा ही सकारात्मक।

लघुगणक की विशेषताएँ.

लघुगणकविशिष्ट द्वारा विशेषता विशेषताएँ, जिसके कारण श्रमसाध्य गणनाओं को सुविधाजनक बनाने के लिए उनका व्यापक उपयोग हुआ। "लघुगणक की दुनिया में" जाने पर, गुणन को बहुत आसान जोड़ में बदल दिया जाता है, विभाजन को घटाव में बदल दिया जाता है, और घातांक और मूल निष्कर्षण को क्रमशः घातांक द्वारा गुणन और विभाजन में बदल दिया जाता है।

लघुगणक का निरूपण और उनके मानों की तालिका (के लिए)। त्रिकोणमितीय कार्य) पहली बार 1614 में स्कॉटिश गणितज्ञ जॉन नेपियर द्वारा प्रकाशित किया गया था। अन्य वैज्ञानिकों द्वारा विस्तारित और विस्तृत लॉगरिदमिक तालिकाओं का वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग गणनाओं में व्यापक रूप से उपयोग किया गया था, और इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर और कंप्यूटर के उपयोग तक प्रासंगिक बने रहे।

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\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

आइए इसे और अधिक सरलता से समझाएं। उदाहरण के लिए, \(\log_(2)(8)\) उस शक्ति के बराबर है जिससे \(8\) प्राप्त करने के लिए \(2\) को बढ़ाया जाना चाहिए। इससे यह स्पष्ट है कि \(\log_(2)(8)=3\).

उदाहरण:	\(\log_(5)(25)=2\)	क्योंकि \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	क्योंकि \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	क्योंकि \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

लघुगणक का तर्क और आधार

किसी भी लघुगणक में निम्नलिखित "शरीर रचना" होती है:

लघुगणक का तर्क आमतौर पर उसके स्तर पर लिखा जाता है, और आधार लघुगणक चिह्न के करीब सबस्क्रिप्ट में लिखा जाता है। और यह प्रविष्टि इस प्रकार है: "पच्चीस से आधार पाँच का लघुगणक।"

लघुगणक की गणना कैसे करें?

लघुगणक की गणना करने के लिए, आपको इस प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: तर्क प्राप्त करने के लिए आधार को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए?

उदाहरण के लिए, लघुगणक की गणना करें: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) प्राप्त करने के लिए \(4\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? जाहिर है दूसरा. इसीलिए:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

ग) \(1\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(5)\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? कौन सी शक्ति किसी भी नंबर को एक बनाती है? बिल्कुल शून्य!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(7)\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? सबसे पहले, पहली घात वाली कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है।

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\) प्राप्त करने के लिए \(3\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? इससे हम जानते हैं कि यह एक भिन्नात्मक घात है, जिसका अर्थ है वर्गमूल\(\frac(1)(2)\) की शक्ति है।

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

उदाहरण : लघुगणक की गणना करें \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

समाधान :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		हमें लघुगणक का मान ज्ञात करना होगा, आइए इसे x के रूप में निरूपित करें। आइए अब लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		\(4\sqrt(2)\) और \(8\) को क्या जोड़ता है? दो, क्योंकि दोनों संख्याओं को दो द्वारा दर्शाया जा सकता है: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		बाईं ओर हम डिग्री के गुणों का उपयोग करते हैं: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) और \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		आधार समान हैं, हम संकेतकों की समानता की ओर बढ़ते हैं
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		समीकरण के दोनों पक्षों को \(\frac(2)(5)\) से गुणा करें
		परिणामी मूल लघुगणक का मान है

उत्तर : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

लघुगणक का आविष्कार क्यों किया गया?

इसे समझने के लिए, आइए समीकरण को हल करें: \(3^(x)=9\). समीकरण को कार्यान्वित करने के लिए बस \(x\) का मिलान करें। बेशक, \(x=2\).

अब समीकरण हल करें: \(3^(x)=8\).x किसके बराबर है? यही तो बात है।

सबसे चतुर लोग कहेंगे: "X दो से थोड़ा कम है।" इस संख्या को वास्तव में कैसे लिखें? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए लघुगणक का आविष्कार किया गया। उनके लिए धन्यवाद, यहां उत्तर को \(x=\log_(3)(8)\) के रूप में लिखा जा सकता है।

मैं इस बात पर जोर देना चाहता हूं कि \(\log_(3)(8)\), जैसे कोई भी लघुगणक सिर्फ एक संख्या है. हाँ, यह असामान्य दिखता है, लेकिन यह संक्षिप्त है। क्योंकि अगर हम इसे फॉर्म में लिखना चाहते हैं दशमलव, तो यह इस तरह दिखेगा: \(1.892789260714...\)

उदाहरण : समीकरण को हल करें \(4^(5x-4)=10\)

समाधान :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) और \(10\) को एक ही आधार पर नहीं लाया जा सकता। इसका मतलब है कि आप लघुगणक के बिना काम नहीं कर सकते। आइए लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		आइए समीकरण को पलटें ताकि X बाईं ओर हो
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		हमसे पहले. आइए \(4\) को दाईं ओर ले जाएं। और लघुगणक से डरो मत, इसे एक सामान्य संख्या की तरह समझो।
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		समीकरण को 5 से विभाजित करें
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		यह हमारी जड़ है. हाँ, यह असामान्य लगता है, लेकिन वे इसका उत्तर नहीं चुनते हैं।

उत्तर : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक

जैसा कि लघुगणक की परिभाषा में बताया गया है, इसका आधार एक \((a>0, a\neq1)\) को छोड़कर कोई भी धनात्मक संख्या हो सकता है। और सभी संभावित आधारों में से, दो ऐसे हैं जो इतनी बार घटित होते हैं कि उनके साथ लघुगणक के लिए एक विशेष लघु अंकन का आविष्कार किया गया था:

प्राकृतिक लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार यूलर की संख्या \(e\) है (लगभग \(2.7182818…\) के बराबर), और लघुगणक को \(\ln(a)\) के रूप में लिखा जाता है।

वह है, \(\ln(a)\) \(\log_(e)(a)\) के समान है

दशमलव लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार 10 है उसे \(\lg(a)\) लिखा जाता है।

वह है, \(\lg(a)\) \(\log_(10)(a)\) के समान है, जहां \(a\) कोई संख्या है।

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

लघुगणक में कई गुण होते हैं। उनमें से एक को "बेसिक लॉगरिदमिक आइडेंटिटी" कहा जाता है और यह इस तरह दिखता है:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

यह गुण सीधे परिभाषा से अनुसरण करता है। आइए देखें कि वास्तव में यह फार्मूला कैसे आया।

आइए हम लघुगणक की परिभाषा का एक संक्षिप्त विवरण याद करें:

यदि \(a^(b)=c\), तो \(\log_(a)(c)=b\)

अर्थात्, \(b\) \(\log_(a)(c)\) के समान है। फिर हम सूत्र \(a^(b)=c\) में \(b\) के बजाय \(\log_(a)(c)\) लिख सकते हैं। यह \(a^(\log_(a)(c))=c\) निकला - मुख्य लघुगणकीय पहचान।

आप लघुगणक के अन्य गुण पा सकते हैं। उनकी मदद से, आप लघुगणक के साथ अभिव्यक्तियों के मूल्यों को सरल और गणना कर सकते हैं, जिनकी सीधे गणना करना मुश्किल है।

उदाहरण : अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए \(36^(\log_(6)(5))\)

समाधान :

उत्तर : \(25\)

किसी संख्या को लघुगणक के रूप में कैसे लिखें?

जैसा कि ऊपर बताया गया है, कोई भी लघुगणक सिर्फ एक संख्या है। इसका विपरीत भी सत्य है: किसी भी संख्या को लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि \(\log_(2)(4)\) दो के बराबर है। फिर आप दो की जगह \(\log_(2)(4)\) लिख सकते हैं.

लेकिन \(\log_(3)(9)\) भी \(2\) के बराबर है, जिसका अर्थ है कि हम \(2=\log_(3)(9)\) भी लिख सकते हैं। इसी तरह \(\log_(5)(25)\), और \(\log_(9)(81)\), आदि के साथ। यानी यह पता चला है

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ लॉग_(7)(49)...\)

इस प्रकार, यदि हमें आवश्यकता हो, तो हम कहीं भी किसी भी आधार के साथ लघुगणक के रूप में दो लिख सकते हैं (एक समीकरण में भी, एक अभिव्यक्ति में भी, एक असमानता में भी) - हम बस वर्ग आधार को एक तर्क के रूप में लिखते हैं।

यह ट्रिपल के साथ भी ऐसा ही है - इसे \(\log_(2)(8)\), या \(\log_(3)(27)\), या \(\log_(4)( के रूप में लिखा जा सकता है) 64)\)... यहां हम आधार को घन में तर्क के रूप में लिखते हैं:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ लॉग_(7)(343)...\)

और चार के साथ:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ लॉग_(7)(2401)...\)

और शून्य से एक के साथ:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

और एक तिहाई के साथ:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

किसी भी संख्या \(a\) को आधार \(b\) के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

उदाहरण : अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

समाधान :

उत्तर : \(1\)

मुख्य गुण.

लॉगैक्स + लॉगे = लॉगा(x y);
logax − logay = loga (x: y).

समान आधार

लॉग6 4 + लॉग6 9.

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं।

लघुगणक हल करने के उदाहरण

क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

निःसंदेह, यदि लघुगणक का ODZ देखा जाए तो ये सभी नियम समझ में आते हैं: a > 0, a ≠ 1, x >

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

एक नई नींव में परिवर्तन

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

यह भी देखें:

लघुगणक के मूल गुण

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प्रतिपादक 2.718281828 है... प्रतिपादक को याद रखने के लिए, आप नियम का अध्ययन कर सकते हैं: प्रतिपादक 2.7 के बराबर है और लियो निकोलाइविच टॉल्स्टॉय के जन्म के वर्ष का दोगुना है।

लघुगणक के मूल गुण

इस नियम को जानकर आप जान जायेंगे और सही मूल्यप्रदर्शक, और लियो टॉल्स्टॉय की जन्म तिथि।

लघुगणक के उदाहरण

लघुगणक अभिव्यक्तियाँ

उदाहरण 1.
ए)। x=10ac^2 (a>0,c>0).

गुण 3.5 का उपयोग करके हम गणना करते हैं

4. कहाँ .

उदाहरण 2. यदि x ज्ञात करें

उदाहरण 3. मान लीजिए लघुगणक का मान दिया गया है

यदि लॉग(x) की गणना करें

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएं नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.

आपको निश्चित रूप से इन नियमों को जानने की आवश्यकता है - इनके बिना, एक भी गंभीर लघुगणकीय समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - आप एक दिन में सब कुछ सीख सकते हैं। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणक जोड़ना और घटाना

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लॉगैक्स और लॉगे। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

लॉगैक्स + लॉगे = लॉगा(x y);
logax − logay = loga (x: y).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल के लघुगणक के बराबर है। कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बिंदु यह है समान आधार. यदि कारण भिन्न हों तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र आपको गणना करने में मदद करेंगे लघुगणकीय अभिव्यक्तितब भी जब इसके अलग-अलग हिस्सों की गिनती नहीं की जाती है (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

चूँकि लघुगणक का आधार समान होता है, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग6 4 + लॉग6 9 = लॉग6 (4 9) = लॉग6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log2 48 − log2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग2 48 - लॉग2 3 = लॉग2 (48:3) = लॉग2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log3 135 − log3 5.

फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग3 135 - लॉग3 5 = लॉग3 (135:5) = लॉग3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई लोग इस तथ्य पर आधारित हैं परीक्षण. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का पालन करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम तब समझ में आते हैं जब लघुगणक का ODZ देखा जाता है: a > 0, a ≠ 1, x > 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें , यानी आप लघुगणक पर हस्ताक्षर करने से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log7 496।

आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग7 496 = 6 लॉग7 49 = 6 2 = 12

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि हर में एक लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 24; 49 = 72. हमारे पास है:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण के लिए कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? बहुत तक अंतिम क्षणहम केवल हर के साथ काम करते हैं।

लघुगणक सूत्र. लघुगणक उदाहरण समाधान.

हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर में समान संख्या होती है: log2 7. चूँकि log2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो कि किया गया था। परिणाम यह उत्तर था: 2.

एक नई नींव में परिवर्तन

लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि कारण भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?

नई नींव में परिवर्तन के सूत्र बचाव में आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

विशेष रूप से, यदि हम c = x सेट करते हैं, तो हमें मिलता है:

दूसरे सूत्र से यह पता चलता है कि लघुगणक के आधार और तर्क की अदला-बदली की जा सकती है, लेकिन इस मामले में संपूर्ण अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है।

ये सूत्र पारंपरिक रूप में बहुत कम पाए जाते हैं संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ. वे कितने सुविधाजनक हैं इसका मूल्यांकन केवल निर्णय लेने से ही संभव है लघुगणकीय समीकरणऔर असमानताएँ.

हालाँकि, ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर नजर डालें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log5 16 log2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक शक्तियाँ होती हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग5 16 = लॉग5 24 = 4लॉग5 2; लॉग2 25 = लॉग2 52 = 2लॉग2 5;

अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

चूंकि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक से निपटा।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log9 100 lg 3.

प्रथम लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर समाधान प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, निम्नलिखित सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में प्रतिपादक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल एक लघुगणक मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहते हैं: .

वास्तव में, यदि संख्या b को इतनी घात तक बढ़ा दिया जाए कि इस घात की संख्या b, संख्या a दे दे तो क्या होगा? यह सही है: परिणाम वही संख्या है। इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर अटक जाते हैं।

नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि लॉग25 64 = लॉग5 8 - बस लघुगणक के आधार और तर्क से वर्ग लिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में दिखाई देते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

लोगा = 1 है. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक स्वयं एक के बराबर होता है।
लॉगा 1 = 0 है. आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकि a0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

यह भी देखें:

आधार a के लिए b का लघुगणक अभिव्यक्ति को दर्शाता है। लघुगणक की गणना करने का अर्थ है एक घात x() ज्ञात करना जिस पर समानता संतुष्ट होती है

लघुगणक के मूल गुण

उपरोक्त गुणों को जानना आवश्यक है, क्योंकि लघुगणक से संबंधित लगभग सभी समस्याओं एवं उदाहरणों का समाधान इन्हीं के आधार पर किया जाता है। शेष विदेशी गुण इन सूत्रों के साथ गणितीय हेरफेर के माध्यम से प्राप्त किए जा सकते हैं

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लघुगणक (3.4) के योग और अंतर के सूत्र की गणना करते समय आपका सामना अक्सर होता है। बाकी कुछ हद तक जटिल हैं, लेकिन कई कार्यों में वे जटिल अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और उनके मूल्यों की गणना करने के लिए अपरिहार्य हैं।

लघुगणक के सामान्य मामले

कुछ सामान्य लघुगणक वे हैं जिनका आधार सम दस, घातांकीय या दो है।
आधार दस के लघुगणक को आमतौर पर दशमलव लघुगणक कहा जाता है और इसे केवल lg(x) द्वारा दर्शाया जाता है।

रिकॉर्डिंग से साफ है कि रिकॉर्डिंग में मूल बातें नहीं लिखी गई हैं. उदाहरण के लिए

प्राकृतिकएक लघुगणक है जिसका आधार एक घातांक है (जिसे ln(x) द्वारा दर्शाया गया है)।

प्रतिपादक 2.718281828 है... प्रतिपादक को याद रखने के लिए, आप नियम का अध्ययन कर सकते हैं: प्रतिपादक 2.7 के बराबर है और लियो निकोलाइविच टॉल्स्टॉय के जन्म के वर्ष का दोगुना है। इस नियम को जानने से आपको प्रतिपादक का सही मान और लियो टॉल्स्टॉय की जन्म तिथि दोनों पता चल जाएगी।

और आधार दो को एक और महत्वपूर्ण लघुगणक द्वारा दर्शाया गया है

किसी फ़ंक्शन के लघुगणक का व्युत्पन्न चर द्वारा विभाजित एक के बराबर होता है

अभिन्न या प्रतिअवकलन लघुगणक संबंध द्वारा निर्धारित होता है

दी गई सामग्री आपके लिए लघुगणक और लघुगणक से संबंधित विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त है। सामग्री को समझने में आपकी सहायता के लिए, मैं केवल कुछ सामान्य उदाहरण दूंगा स्कूल के पाठ्यक्रमऔर विश्वविद्यालय.

लघुगणक के उदाहरण

लघुगणक अभिव्यक्तियाँ

उदाहरण 1.
ए)। x=10ac^2 (a>0,c>0).

गुण 3.5 का उपयोग करके हम गणना करते हैं

2.
हमारे पास लघुगणक के अंतर के गुण के आधार पर

3.
गुण 3.5 का उपयोग करके हम पाते हैं

4. कहाँ .

एक प्रतीत होने वाली जटिल अभिव्यक्ति को कई नियमों का उपयोग करके सरल बनाया जाता है

लघुगणक मान ढूँढना

उदाहरण 2. यदि x ज्ञात करें

समाधान। गणना के लिए, हम अंतिम पद 5 और 13 गुणों पर लागू होते हैं

हम इसे रिकॉर्ड पर रखते हैं और शोक मनाते हैं

चूँकि आधार बराबर हैं, हम व्यंजकों को बराबर करते हैं

लघुगणक. प्रवेश के स्तर पर।

मान लीजिए लघुगणक का मान दिया गया है

यदि लॉग(x) की गणना करें

समाधान: आइए चर के पदों के योग के माध्यम से लघुगणक लिखने के लिए चर का एक लघुगणक लें

यह लघुगणक और उनके गुणों से हमारे परिचय की शुरुआत मात्र है। गणनाओं का अभ्यास करें, अपने व्यावहारिक कौशल को समृद्ध करें - लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए आपको जल्द ही ज्ञान की आवश्यकता होगी। ऐसे समीकरणों को हल करने की बुनियादी विधियों का अध्ययन करने के बाद, हम आपके ज्ञान को एक और समान रूप से महत्वपूर्ण विषय - लघुगणकीय असमानताओं तक विस्तारित करेंगे...

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक जोड़ना और घटाना

लॉगैक्स + लॉगे = लॉगा(x y);
logax − logay = loga (x: y).

ये सूत्र आपको एक लघुगणकीय अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log6 4 + log6 9।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log2 48 − log2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग2 48 - लॉग2 3 = लॉग2 (48:3) = लॉग2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log3 135 − log3 5.

फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग3 135 - लॉग3 5 = लॉग3 (135:5) = लॉग3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई परीक्षण इसी तथ्य पर आधारित होते हैं. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

लघुगणक कैसे हल करें

इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log7 496।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण के लिए कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक हम केवल हर के साथ काम करते हैं। हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।

एक नई नींव में परिवर्तन

विशेष रूप से, यदि हम c = x सेट करते हैं, तो हमें मिलता है:

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log5 16 log2 25.

अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log9 100 lg 3.

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहते हैं: .

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

लोगा = 1 है. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक स्वयं एक के बराबर होता है।
लॉगा 1 = 0 है. आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकि a0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

प्राकृतिक लघुगणक के मूल गुण, ग्राफ़, परिभाषा का क्षेत्र, मानों का सेट, मूल सूत्र, व्युत्पन्न, अभिन्न, विस्तार बिजली की श्रृंखलाऔर जटिल संख्याओं का उपयोग करके फ़ंक्शन ln x का प्रतिनिधित्व।

परिभाषा

प्राकृतिकफलन y = है एलएन एक्स, घातांक का व्युत्क्रम, x = e y, और संख्या e के आधार का लघुगणक है: एलएन एक्स = लॉग ई एक्स.

गणित में प्राकृतिक लघुगणक का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है क्योंकि इसके व्युत्पन्न का रूप सबसे सरल है: (एलएन एक्स)′ = 1/ एक्स.

पर आधारित परिभाषाएं, प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या है ई:
ई ≅ 2.718281828459045...;
.

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = एलएन एक्स.

प्राकृतिक लघुगणक का ग्राफ़ (फ़ंक्शन y = एलएन एक्स) घातीय ग्राफ से प्राप्त किया जाता है दर्पण छविसीधी रेखा y = x के सापेक्ष।

प्राकृतिक लघुगणक को चर x के सकारात्मक मानों के लिए परिभाषित किया गया है।

यह अपनी परिभाषा के क्षेत्र में नीरस रूप से बढ़ता है। 0 x → पर

प्राकृतिक लघुगणक की सीमा शून्य से अनंत (-∞) है। जैसे x → + ∞, प्राकृतिक लघुगणक की सीमा प्लस इनफिनिटी (+ ∞) है। बड़े x के लिए, लघुगणक काफी धीरे-धीरे बढ़ता है। कोईशक्ति समारोह

x a एक सकारात्मक घातांक के साथ लघुगणक की तुलना में तेजी से बढ़ता है।

प्राकृतिक लघुगणक के गुण

परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का समुच्चय, चरम सीमा, वृद्धि, कमी

प्राकृतिक लघुगणक एक नीरस रूप से बढ़ने वाला कार्य है, इसलिए इसका कोई चरम नहीं है। प्राकृतिक लघुगणक के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

एलएन एक्स मान

एलएन 1 = 0

प्राकृतिक लघुगणक के लिए मूल सूत्र

व्युत्क्रम फलन की परिभाषा से निम्नलिखित सूत्र:

लघुगणक का मुख्य गुण और उसके परिणाम

आधार प्रतिस्थापन सूत्र

किसी भी लघुगणक को आधार प्रतिस्थापन सूत्र का उपयोग करके प्राकृतिक लघुगणक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

इन सूत्रों के प्रमाण "लघुगणक" खंड में प्रस्तुत किए गए हैं।

उलटा कार्य

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्क्रम घातांक है।

यदि , तो

यदि, तो.

व्युत्पन्न एलएन एक्स
.
प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
मापांक x के प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
सूत्र व्युत्पन्न करना > > >

अभिन्न

अभिन्न की गणना भागों द्वारा एकीकरण द्वारा की जाती है:
.
इसलिए,

सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए व्यंजक

जटिल चर z के फ़ंक्शन पर विचार करें:
.
आइए जटिल चर को व्यक्त करें जेडमॉड्यूल के माध्यम से आरऔर तर्क φ :
.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
.
या
.
तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। यदि आप डालते हैं
, जहां n एक पूर्णांक है,
यह अलग-अलग n के लिए समान संख्या होगी।

इसलिए, प्राकृतिक लघुगणक, एक जटिल चर के एक फ़ंक्शन के रूप में, एक एकल-मूल्य वाला फ़ंक्शन नहीं है।

शक्ति शृंखला विस्तार

जब विस्तार होता है:

प्रयुक्त साहित्य:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।