शीर्ष निर्देशांक का द्विघात फलन। परवलय के शीर्ष के निर्देशांक कैसे ज्ञात करें

परवलय एक ग्राफ है द्विघात कार्य. इस रेखा का विशेष भौतिक महत्व है। परवलय के शीर्ष को ढूंढना आसान बनाने के लिए, आपको इसे खींचने की आवश्यकता है। फिर आप चार्ट पर इसका शीर्ष आसानी से देख सकते हैं। लेकिन एक परवलय का निर्माण करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि परवलय के बिंदु कैसे ज्ञात करें और परवलय के निर्देशांक कैसे ज्ञात करें।

परवलय के बिंदु और शीर्ष ज्ञात करना

में सामान्य विचारद्विघात फलन का निम्न रूप है: y = ax 2 + bx + c. अनुसूची दिया गया समीकरणएक परवलय है. जब मान › 0 होता है, तो इसकी शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, और जब मान ‹ 0 होता है, तो वे नीचे की ओर निर्देशित होती हैं। किसी ग्राफ़ पर परवलय का निर्माण करने के लिए, यदि यह कोटि अक्ष के अनुदिश चलता है, तो आपको तीन बिंदुओं को जानने की आवश्यकता है। अन्यथा, चार निर्माण बिंदु ज्ञात होने चाहिए।

भुज (x) ज्ञात करते समय, आपको दिए गए बहुपद सूत्र से (x) का गुणांक लेना होगा, और फिर (x 2) के दोहरे गुणांक से विभाजित करना होगा, और फिर संख्या - 1 से गुणा करना होगा।

कोटि ज्ञात करने के लिए, आपको विवेचक ज्ञात करना होगा, फिर इसे -1 से गुणा करना होगा, और फिर इसे 4 से गुणा करने के बाद (x 2) पर गुणांक से विभाजित करना होगा।

इसके बाद, संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करके, परवलय के शीर्ष की गणना की जाती है। सभी गणनाओं के लिए, एक इंजीनियरिंग कैलकुलेटर का उपयोग करने की सलाह दी जाती है, और ग्राफ और परवलय बनाते समय, एक रूलर और एक ल्यूमोग्राफ का उपयोग करें, इससे आपकी गणना की सटीकता में काफी वृद्धि होगी।

आइए विचार करें अगला उदाहरण, जो हमें यह समझने में मदद करेगा कि परवलय का शीर्ष कैसे खोजा जाए।

एक्स 2 -9=0. में इस मामले मेंशीर्ष निर्देशांक की गणना इस प्रकार की जाती है: बिंदु 1 (-0/(2*1); बिंदु 2 -(0^2-4*1*(-9))/(4*1))। इस प्रकार, शीर्ष के निर्देशांक मान (0; 9) हैं।

शीर्ष के भुज का पता लगाना

एक बार जब आप जान जाते हैं कि परवलय को कैसे खोजना है और निर्देशांक (x) अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदुओं की गणना कर सकते हैं, तो आप आसानी से शीर्ष के भुज की गणना कर सकते हैं।

मान लीजिए (x 1) और (x 2) परवलय की जड़ें हैं। एक परवलय की जड़ें x-अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। ये मान शून्य पर सेट हैं द्विघात समीकरणनिम्नलिखित रूप का: ax 2 + bx + c.

इसके अलावा |x 2 | > |x 1 |, जिसका अर्थ है कि परवलय का शीर्ष उनके बीच में स्थित है। इस प्रकार, इसे निम्नलिखित अभिव्यक्ति का उपयोग करके पाया जा सकता है: x 0 = ½(|x 2 | - |x 1 |)।

आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना

किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना विमान का समन्वयआपको अभिन्न को जानना होगा. और इसे लागू करने के लिए, कुछ एल्गोरिदम को जानना पर्याप्त है। परवलयों से घिरे क्षेत्र को खोजने के लिए, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में इसकी छवि बनाना आवश्यक है।

ऊपर वर्णित विधि के अनुसार सबसे पहले (x) अक्ष के शीर्ष का निर्देशांक निर्धारित किया जाता है, फिर अक्ष (y) का, जिसके बाद परवलय का शीर्ष पाया जाता है। अब हमें एकीकरण की सीमाएँ निर्धारित करने की आवश्यकता है। एक नियम के रूप में, उन्हें चर (ए) और (बी) का उपयोग करके समस्या विवरण में दर्शाया गया है। इन मानों को क्रमशः अभिन्न के ऊपरी और निचले हिस्सों में रखा जाना चाहिए। इसके बाद आपको प्रवेश करना चाहिए सामान्य रूप से देखेंफ़ंक्शन मान और इसे (dx) से गुणा करें। परवलय के मामले में: (x 2)dx.

फिर आपको सामान्य रूप में फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव मान की गणना करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आपको मानों की एक विशेष तालिका का उपयोग करना चाहिए। वहाँ एकीकरण की सीमाएँ प्रतिस्थापित करने पर अन्तर पाया जाता है। यह अंतर क्षेत्रफल होगा.

उदाहरण के तौर पर, समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें: y = x 2 +1 और x + y = 3.

प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज पाए जाते हैं: x 1 = -2 और x 2 = 1।

हम मानते हैं कि y 2 = 3, और y 1 = x 2 + 1, उपरोक्त सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें और 4.5 के बराबर मान प्राप्त करें।

अब हमने सीख लिया है कि परवलय को कैसे खोजा जाता है, और साथ ही, इस डेटा के आधार पर, उस आकृति के क्षेत्र की गणना की जाती है जिसे यह सीमित करता है।

परवलय दूसरे क्रम के वक्रों में से एक है; इसके बिंदु द्विघात समीकरण के अनुसार निर्मित होते हैं। इस वक्र के निर्माण में मुख्य बात खोजना है शीर्ष परवलय. यह कई मायनों में किया जा सकता है।

निर्देश

किसी शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करना परवलय, निम्न सूत्र का उपयोग करें: x=-b/2a, जहां a, x वर्ग का गुणांक है, और b, x का गुणांक है। अपने मूल्यों को प्लग इन करें और उसके मूल्य की गणना करें। फिर समीकरण में x के परिणामी मान को प्रतिस्थापित करें और शीर्ष की कोटि की गणना करें। उदाहरण के लिए, यदि आपको समीकरण y=2x^2-4x+5 दिया गया है, तो भुज इस प्रकार ज्ञात करें: x=-(-4)/2*2=1. समीकरण में x=1 प्रतिस्थापित करते हुए, शीर्ष के लिए y-मान की गणना करें परवलय: y=2*1^2-4*1+5=3. तो सबसे ऊपर परवलयनिर्देशांक (1-3) हैं।

कोटि का मान परवलयपहले भुज की गणना किए बिना पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, सूत्र y=-b^2/4ac+c का उपयोग करें।

यदि आप व्युत्पन्न की अवधारणा से परिचित हैं, तो खोजें शीर्ष परवलयडेरिवेटिव का उपयोग करते हुए, किसी भी फ़ंक्शन की निम्नलिखित संपत्ति का लाभ उठाते हुए: किसी फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न, शून्य के बराबर, चरम बिंदुओं को इंगित करता है। ऊपर से परवलय, भले ही इसकी शाखाएँ ऊपर या नीचे निर्देशित हों, एक चरम बिंदु है, अपने फ़ंक्शन के लिए व्युत्पन्न की गणना करें। सामान्य तौर पर, यह f(x)=2ax+b जैसा दिखेगा। इसे शून्य के बराबर करें और शीर्ष के निर्देशांक प्राप्त करें परवलय, आपके कार्य के अनुरूप।

ढूंढने की कोशिश करो शीर्ष परवलय, समरूपता जैसी इसकी संपत्ति का लाभ उठाते हुए। ऐसा करने के लिए, प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें परवलय x अक्ष के साथ, फ़ंक्शन को शून्य के बराबर करना (y = 0 प्रतिस्थापित करना)। द्विघात समीकरण को हल करने पर आपको x1 और x2 मिलेंगे। चूँकि परवलय गुजरने वाली नियता के संबंध में सममित है शीर्ष, ये बिंदु शीर्ष के भुज से समान दूरी पर होंगे। इसे खोजने के लिए, बिंदुओं के बीच की दूरी को आधे में विभाजित करें: x=(Ix1-x2I)/2.

यदि कोई भी गुणांक शून्य है (ए को छोड़कर), शीर्ष के निर्देशांक की गणना करें परवलयसरलीकृत सूत्रों का उपयोग करना। उदाहरण के लिए, यदि b=0, अर्थात, समीकरण का रूप y=ax^2+c है, तो शीर्ष oy अक्ष पर स्थित होगा और इसके निर्देशांक (0-c) के बराबर होंगे। यदि न केवल गुणांक b=0, बल्कि c=0 भी है, तो शीर्ष परवलयमूल बिंदु (0-0) पर स्थित है।

कई तकनीकी, आर्थिक और सामाजिक मुद्देवक्रों का उपयोग करके भविष्यवाणी की जाती है। उनमें से सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला प्रकार परवलय है, या अधिक सटीक रूप से, इसका आधा हिस्सा है। किसी भी परवलयिक वक्र का एक महत्वपूर्ण घटक उसका शीर्ष होता है, जिसके सटीक निर्देशांक का निर्धारण कभी-कभी न केवल प्रक्रिया के प्रदर्शन में, बल्कि बाद के निष्कर्षों के लिए भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इसके सटीक निर्देशांक कैसे खोजें इस लेख में चर्चा की जाएगी।

खोज प्रारंभ करें

परवलय के शीर्ष के निर्देशांक खोजने के लिए आगे बढ़ने से पहले, आइए इसकी परिभाषा और इसके गुणों से परिचित हों। शास्त्रीय अर्थ में परवलय बिन्दुओं की एक ऐसी व्यवस्था है एक विशिष्ट बिंदु से समान दूरी पर हटा दिया गया(फोकस, बिंदु एफ), साथ ही उस रेखा से जो बिंदु एफ से नहीं गुजरती है। विचार करें यह परिभाषाचित्र 1 में अधिक विस्तृत।

चित्र 1. परवलय का क्लासिक दृश्य

चित्र क्लासिक रूप दिखाता है. फोकस बिंदु F है। इस मामले में डायरेक्ट्रिक्स को Y अक्ष (लाल रंग में हाइलाइट) की सीधी रेखा माना जाएगा। परिभाषा से, आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि वक्र पर बिल्कुल कोई भी बिंदु, फोकस की गिनती न करते हुए, दूसरी तरफ भी एक समान है, जो समरूपता के अक्ष से स्वयं के समान दूरी पर स्थित है। इसके अलावा, परवलय पर किसी भी बिंदु से दूरी निर्देशक से दूरी के बराबर. आगे देखते हुए, मान लें कि फ़ंक्शन का केंद्र मूल स्थान पर होना ज़रूरी नहीं है, और शाखाओं को विभिन्न दिशाओं में निर्देशित किया जा सकता है।

किसी भी अन्य फ़ंक्शन की तरह, एक परवलय की सूत्र के रूप में अपनी प्रविष्टि होती है:

संकेतित सूत्र में, अक्षर "s" परवलय के पैरामीटर को दर्शाता है, जो फोकस से डायरेक्ट्रिक्स की दूरी के बराबर है। जीएमटी द्वारा इंगित रिकॉर्डिंग का एक अन्य रूप भी है, जिसका रूप इस प्रकार है:

इस सूत्र का उपयोग गणितीय विश्लेषण के क्षेत्र में समस्याओं को हल करते समय किया जाता है और इसे पारंपरिक (सुविधा के कारण) की तुलना में अधिक बार उपयोग किया जाता है। भविष्य में हम दूसरी प्रविष्टि पर ध्यान केंद्रित करेंगे।

यह दिलचस्प है!: सबूत

परवलय के गुणांकों और मुख्य बिंदुओं की गणना

मुख्य मापदंडों में आमतौर पर एब्सिस्सा अक्ष पर शीर्ष का स्थान, कोटि अक्ष पर शीर्ष के निर्देशांक और डायरेक्ट्रिक्स पैरामीटर शामिल होते हैं।

x-अक्ष पर शीर्ष निर्देशांक का संख्यात्मक मान

यदि परवलय का समीकरण शास्त्रीय रूप (1) में दिया गया है, तो वांछित बिंदु पर भुज का मान पैरामीटर s के आधे मान के बराबर होगा(दिशा और फोकस के बीच की आधी दूरी)। यदि फ़ंक्शन फॉर्म (2) में प्रस्तुत किया गया है, तो x शून्य की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

अर्थात्, इस सूत्र को देखते हुए, हम कह सकते हैं कि शीर्ष y-अक्ष के सापेक्ष दाहिने आधे भाग में होगा यदि पैरामीटर a या b में से एक शून्य से कम है।

डायरेक्ट्रिक्स समीकरण को निम्नलिखित समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:

कोटि अक्ष पर शीर्ष मान

कोटि अक्ष पर सूत्र (2) के लिए शीर्ष के स्थान का संख्यात्मक मान निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यदि ए<0, то वक्र का शीर्ष ऊपरी आधे तल में होगा, अन्यथा - सबसे नीचे। इस मामले में, परवलय के बिंदुओं में वही गुण होंगे जैसा कि पहले बताया गया है।

यदि अंकन का शास्त्रीय रूप दिया गया है, तो भुज अक्ष पर शीर्ष के स्थान के मूल्य की गणना करना और इसके माध्यम से कोटि के बाद के मूल्य की गणना करना अधिक तर्कसंगत होगा। ध्यान दें कि संकेतन (2) के रूप में, शास्त्रीय प्रतिनिधित्व में परवलय की समरूपता अक्ष, कोटि अक्ष के साथ मेल खाएगी।

महत्वपूर्ण!परवलय समीकरण का उपयोग करके समस्याओं को हल करते समय, सबसे पहले, उन मुख्य मूल्यों पर प्रकाश डालें जो पहले से ज्ञात हैं। इसके अलावा, यदि लापता पैरामीटर निर्धारित किए जाते हैं तो यह उपयोगी होगा। यह दृष्टिकोण पहले से अधिक "पैंतरेबाज़ी के लिए जगह" और अधिक तर्कसंगत समाधान प्रदान करेगा। व्यवहार में, संकेतन (2) का उपयोग करने का प्रयास करें। इसे समझना आसान है (आपको "डेसकार्टेस के निर्देशांक को उल्टा करने की ज़रूरत नहीं है"), और अधिकांश कार्य विशेष रूप से नोटेशन के इस रूप के लिए अनुकूलित होते हैं।

एक परवलयिक वक्र का निर्माण

संकेतन के सामान्य रूप का उपयोग करते हुए, परवलय का निर्माण करने से पहले, आपको उसका शीर्ष ज्ञात करना होगा। सीधे शब्दों में कहें, तो आपको निम्नलिखित एल्गोरिदम निष्पादित करने की आवश्यकता है:

1. X अक्ष पर शीर्ष का निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
2. Y अक्ष पर शीर्ष स्थान का निर्देशांक ज्ञात करें।
3. आश्रित चर X के विभिन्न मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, Y के संगत मान ज्ञात करें और एक वक्र का निर्माण करें।

वे। एल्गोरिथ्म जटिल नहीं है, मुख्य जोर इस बात पर है कि परवलय का शीर्ष कैसे खोजा जाए। आगे की निर्माण प्रक्रिया को यांत्रिक माना जा सकता है।

बशर्ते कि तीन बिंदु दिए गए हों, जिनके निर्देशांक ज्ञात हों, सबसे पहले परवलय के लिए एक समीकरण बनाना आवश्यक है, और फिर पहले वर्णित प्रक्रिया को दोहराएँ। क्योंकि समीकरण (2) में 3 गुणांक हैं, फिर, बिंदुओं के निर्देशांक का उपयोग करके, हम उनमें से प्रत्येक की गणना करते हैं:

(5.1).

(5.2).

(5.3).

सूत्र (5.1), (5.2), (5.3) में, क्रमशः उन बिंदुओं का उपयोग किया जाता है जो ज्ञात हैं (उदाहरण के लिए, ए (, बी (, सी ()। इस प्रकार हम 3 बिंदुओं का उपयोग करके एक परवलय का समीकरण पाते हैं) व्यावहारिक पक्ष से, यह दृष्टिकोण सबसे "सुखद" नहीं है, लेकिन यह एक स्पष्ट परिणाम देता है, जिसके आधार पर बाद में वक्र का निर्माण किया जाता है।

परवलय का निर्माण करते समय, सदैव सममिति का एक अक्ष अवश्य होना चाहिए।सममिति अक्ष (2) लिखने का सूत्र इस प्रकार दिखेगा:

वे। समरूपता की धुरी ढूँढना, जिस पर वक्र के सभी बिंदु सममित हैं, मुश्किल नहीं है। अधिक सटीक रूप से, यह शीर्ष के पहले निर्देशांक के बराबर है।

उदाहरणात्मक उदाहरण

उदाहरण 1. मान लीजिए कि हमारे पास एक परवलय का समीकरण है:

आपको परवलय के शीर्ष के निर्देशांक खोजने होंगे, और यह भी जांचना होगा कि बिंदु D (10; 5) दिए गए वक्र से संबंधित है या नहीं।

समाधान: सबसे पहले, आइए जाँच करें कि उल्लिखित बिंदु वक्र का ही है

जिससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि निर्दिष्ट बिंदु दिए गए वक्र से संबंधित नहीं है। आइए परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करें। सूत्र (4) और (5) से हमें निम्नलिखित क्रम प्राप्त होता है:

यह पता चला है कि शीर्ष पर, बिंदु O पर निर्देशांक इस प्रकार हैं (-1.25; -7.625)। इससे पता चलता है कि हमारा परवलय की उत्पत्ति कार्टेशियन प्रणाली की तीसरी तिमाही में होती है COORDINATES

उदाहरण 2. एक परवलय का शीर्ष ज्ञात कीजिए, इससे संबंधित तीन बिंदुओं को जानते हुए: ए (2;3), बी (3;5), सी (6;2)। सूत्र (5.1), (5.2), (5.3) का प्रयोग करके हम परवलय समीकरण के गुणांक ज्ञात करते हैं। हमें निम्नलिखित मिलता है:

प्राप्त मूल्यों का उपयोग करके, हम निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करते हैं:

चित्र में, निर्दिष्ट फ़ंक्शन इस तरह दिखेगा (चित्र 2):

चित्र 2. 3 बिंदुओं से गुजरने वाले परवलय का ग्राफ़

वे। एक परवलय का ग्राफ जो तीन दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरता है, उसका पहली तिमाही में एक शीर्ष होगा। हालाँकि, इस वक्र की शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित हैं, अर्थात। मूल बिंदु से परवलय का विस्थापन होता है। इस निर्माण की भविष्यवाणी गुणांक a, b, c पर ध्यान देकर की जा सकती थी।

विशेष रूप से, यदि ए<0, то ветки» будут направлены вниз. При a>1 वक्र खिंच जाएगा, और यदि 1 से कम है, तो यह संकुचित हो जाएगा।

स्थिरांक c कोटि अक्ष के अनुदिश वक्र की "गति" के लिए जिम्मेदार है। यदि c>0, तो परवलय ऊपर की ओर "रेंगता" है, अन्यथा - नीचे। गुणांक बी के संबंध में, प्रभाव की डिग्री केवल समीकरण लिखने के रूप को बदलकर, इसे निम्नलिखित रूप में लाकर निर्धारित की जा सकती है:

यदि गुणांक b>0 है, तो परवलय के शीर्ष के निर्देशांक b इकाइयों द्वारा दाईं ओर स्थानांतरित कर दिए जाएंगे, यदि कम है, तो b इकाइयों द्वारा बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाएगा।

महत्वपूर्ण!समन्वय तल पर परवलय के विस्थापन को निर्धारित करने के लिए तकनीकों का उपयोग करने से कभी-कभी समस्याओं को हल करते समय समय बचाने या निर्माण से पहले किसी अन्य वक्र के साथ परवलय के संभावित प्रतिच्छेदन के बारे में पता लगाने में मदद मिलती है। आमतौर पर वे केवल गुणांक a को देखते हैं, क्योंकि यही वह है जो पूछे गए प्रश्न का स्पष्ट उत्तर देता है।

उपयोगी वीडियो: परवलय का शीर्ष कैसे ज्ञात करें

उपयोगी वीडियो: ग्राफ़ से आसानी से परवलय समीकरण कैसे बनाएं

निष्कर्ष

एक बीजगणितीय प्रक्रिया जैसे कि परवलय के शीर्षों को निर्धारित करना कठिन नहीं है, लेकिन यह काफी श्रम-गहन है। व्यवहार में, वे ग्राफ़िकल समाधान और समग्र रूप से समाधान की समझ को सुविधाजनक बनाने के लिए नोटेशन के दूसरे रूप का उपयोग करने का प्रयास करते हैं। इसलिए, हम दृढ़तापूर्वक इस दृष्टिकोण का उपयोग करने की अनुशंसा करते हैं, और यदि आपको शीर्ष समन्वय सूत्र याद नहीं है, तो कम से कम एक चीट शीट रखें।

किसी द्विघात फलन के ग्राफ़ को परवलय कहा जाता है। इस रेखा का विशेष भौतिक महत्व है। कुछ परवलय के साथ चलते हैं आकाशीय पिंड. एक परवलय के आकार का एंटीना परवलय की समरूपता के अक्ष के समानांतर चलने वाली किरणों पर ध्यान केंद्रित करता है। एक कोण पर ऊपर की ओर फेंके गए पिंड शीर्ष बिंदु तक पहुंचते हैं और नीचे गिर जाते हैं, जो एक परवलय का भी वर्णन करता है। जाहिर है, इस आंदोलन के शीर्ष के निर्देशांक जानना हमेशा उपयोगी होता है।

निर्देश

1. द्विघात फलन को उसके सामान्य रूप में समीकरण द्वारा लिखा जाता है: y = ax? + बीएक्स + सी. इस समीकरण का ग्राफ़ एक परवलय है, जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर (a > 0 के लिए) या नीचे की ओर (a > 0 के लिए) निर्देशित होती हैं< 0). Школьникам предлагается легко запомнить формулу вычисления координат вершины параболы. Вершина параболы лежит в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное уравнение, получите y0: y0 = a(-b/2a)? – b?/2a + c = – b?/4a + c.

2. व्युत्पन्न निरूपण से परिचित लोग परवलय के शीर्ष का आसानी से पता लगा सकते हैं। परवलय की शाखाओं के स्थान के बावजूद, इसका शीर्ष चरम का बिंदु है (न्यूनतम यदि शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित हैं, या अधिकतम जब शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित हैं)। किसी भी फ़ंक्शन के अनुमानित चरम बिंदु को खोजने के लिए, आपको इसके पहले व्युत्पन्न की गणना करने और इसे शून्य के बराबर करने की आवश्यकता है। सामान्य तौर पर, एक द्विघात फलन का व्युत्पन्न f"(x) = (ax? + bx + c)' = 2ax + b के बराबर होता है। शून्य के बराबर, आपको 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/ मिलता है 2ए.

3. परवलय एक सममित रेखा है। सममिति का अक्ष परवलय के शीर्ष से होकर गुजरता है। X निर्देशांक अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जानकर, आप शीर्ष x0 का भुज आसानी से पा सकते हैं। मान लें कि x1 और x2 परवलय की जड़ें हैं (भुजा अक्ष के साथ परवलय के तथाकथित प्रतिच्छेदन बिंदु, क्योंकि ये मान द्विघात समीकरण ax? + bx + c को शून्य में बदल देते हैं)। साथ ही, मान लीजिए |x2| > |x1|, तो परवलय का शीर्ष उनके बीच में स्थित है और इसे आगे की अभिव्यक्ति से पाया जा सकता है: x0 = ?(|x2| – |x1|)।

परवलय एक द्विघात फलन का ग्राफ होता है; सामान्यतः, परवलय का समीकरण y=aх^2+bх+с लिखा जाता है, जहाँ a?0 होता है। यह एक सार्वभौमिक दूसरे क्रम का वक्र है जो जीवन में कई घटनाओं का वर्णन करता है, जैसे, फेंके गए और फिर गिरते हुए शरीर की गति, इंद्रधनुष का आकार, और इसलिए पता लगाने का ज्ञान परवलययह वास्तविक जीवन में काम आ सकता है।

आपको चाहिये होगा

• - द्विघात समीकरण सूत्र;
• - एक समन्वय ग्रिड के साथ कागज की एक शीट;
• - पेंसिल, इरेज़र;
• – कंप्यूटर और एक्सेल प्रोग्राम.

निर्देश

1. सबसे पहले, परवलय के शीर्ष का पता लगाएं। इस बिंदु का भुज खोजने के लिए, x से पहले घातांक लें, इसे x^2 से पहले घातांक से दोगुने से विभाजित करें और -1 से गुणा करें (सूत्र x=-b/2a)। परिणामी मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करके या सूत्र y=(b^2-4ac)/4a का उपयोग करके कोटि ज्ञात करें। आपने परवलय के शीर्ष बिंदु के निर्देशांक प्राप्त कर लिए हैं।

2. किसी अन्य विधि का उपयोग करके परवलय के शीर्ष का भी पता लगाया जा सकता है। क्योंकि शीर्ष फ़ंक्शन का चरम है, इसकी गणना करने के लिए, पहले व्युत्पन्न की गणना करें और इसे शून्य के बराबर करें। सामान्य रूप में आपको सूत्र f(x)' = (ax? + bx + c)' = 2ax + b मिलेगा। और इसे शून्य के बराबर करने पर आप उसी सूत्र पर आ जायेंगे - x=-b/2a.

3. पता लगाएँ कि परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित हैं या नीचे की ओर। ऐसा करने के लिए, x^2, यानी a के सामने संकेतक को देखें। यदि a>0, तो शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, यदि a

4. परवलय की समरूपता की धुरी का निर्माण करें; यह परवलय के शीर्ष को काटता है और y अक्ष के समानांतर है। परवलय के सभी बिंदु इससे समान दूरी पर होंगे, इसलिए केवल एक भाग का निर्माण करना संभव है, और फिर इसे परवलय की धुरी के सापेक्ष सममित रूप से प्रदर्शित करना संभव है।

5. परवलय की एक रेखा खींचिए. ऐसा करने के लिए, प्रतिस्थापित करके कई बिंदु खोजें विभिन्न अर्थ x को समीकरणों में डालें और समानता को हल करें। अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन का पता लगाना सुविधाजनक है; ऐसा करने के लिए, समानता में x=0 और y=0 को प्रतिस्थापित करें। एक तरफ को ऊपर उठाकर, इसे अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रतिबिंबित करें।

6. निर्माण की अनुमति दी गई परवलयएक्सेल का उपयोग करना। ऐसा करने के लिए, नया दस्तावेज़ खोलें और उसमें दो कॉलम x और y=f(x) चुनें। पहले कॉलम में, चयनित खंड पर x का मान लिखें, और दूसरे कॉलम में, सूत्र लिखें, मान लें, =2B3*B3-4B3+1 या =2B3^2-4B3+1। इस सूत्र को हर बार न लिखने के लिए, निचले दाएं कोने में छोटे क्रॉस पर क्लिक करके और इसे नीचे खींचकर इसे प्रत्येक कॉलम तक "खींचें"।

7. एक बार जब आपके पास तालिका हो, तो मेनू "सम्मिलित करें" - "चार्ट" पर क्लिक करें। स्कैटर प्लॉट का चयन करें, अगला क्लिक करें। दिखाई देने वाली विंडो में, "जोड़ें" बटन पर क्लिक करके एक पंक्ति जोड़ें। आवश्यक कक्षों का चयन करने के लिए, नीचे लाल अंडाकार में घेरे गए बटनों पर एक-एक करके क्लिक करें, फिर मानों के साथ अपने कॉलम चुनें। "संपन्न" बटन पर क्लिक करके, परिणाम का मूल्यांकन करें - समाप्त परवलय .

विषय पर वीडियो

एक द्विघात फ़ंक्शन की खोज करते समय जिसका ग्राफ़ एक परवलय है, आपको किसी एक बिंदु पर खोजने की आवश्यकता है COORDINATES चोटियोंपरवलय. परवलय के लिए दिए गए समीकरण का उपयोग करके इसे विश्लेषणात्मक रूप से कैसे करें?

निर्देश

1. एक द्विघात फलन y=ax^2+bx+c रूप का एक फलन है, जहां a अग्रणी घातांक है (यह सख्ती से गैर-शून्य होना चाहिए), b सबसे कम घातांक है, c एक स्वतंत्र पद है। यह फ़ंक्शनअपने ग्राफ़ को एक परवलय देता है, जिसकी शाखाएँ या तो ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं (यदि a>0) या नीचे की ओर (यदि a<0). При a=0 квадратичная функция вырождается в линейную функцию.

2. आइए निर्देशांक x0 ज्ञात करें चोटियोंपरवलय. यह सूत्रx0=-b/a द्वारा पाया जाता है।

3. y0=y(x0).निर्देशांक y0 का पता लगाने के लिए चोटियोंपरवलय, आपको फ़ंक्शन में x के स्थान पर ज्ञात मान x0 को प्रतिस्थापित करना होगा। गणना करें कि y0 किसके बराबर है।

4. COORDINATES चोटियोंपरवलयों की खोज की गई है। उन्हें एक बिंदु (x0,y0) के निर्देशांक के रूप में लिखें।

5. परवलय का निर्माण करते समय, याद रखें कि यह परवलय की समरूपता के अक्ष के बारे में सममित है, जो परवलय के शीर्ष से लंबवत गुजरता है, क्योंकि द्विघात फलन सम है. नतीजतन, बिंदुओं से परवलय की केवल एक शाखा का निर्माण करना और दूसरे को सममित रूप से पूरा करना पर्याप्त है।

विषय पर वीडियो

फ़ंक्शंस (या बल्कि उनके ग्राफ़) के लिए, प्रतिनिधित्व का उपयोग किया जाता है उच्चतम मूल्य, स्थानीय अधिकतम सहित। "शीर्ष" का विचार अधिक संभावित रूप से जुड़ा हुआ है ज्यामितीय आकार. सुचारू कार्यों (व्युत्पन्न वाले) के अधिकतम बिंदु पहले व्युत्पन्न के शून्य का उपयोग करके निर्धारित करना आसान है।

निर्देश

1. उन बिंदुओं के लिए जहां फ़ंक्शन भिन्न नहीं है लेकिन स्थिर है, अंतराल पर सबसे बड़ा मान एक टिप के रूप में हो सकता है (उदाहरण के लिए, y=-|x|)। ग्राफ़ के ऐसे बिंदुओं पर कार्यजितनी चाहें उतनी स्पर्शरेखाएँ खींचना संभव है, और इसके लिए कोई व्युत्पन्न आसानी से मौजूद नहीं है। सामी कार्यइस प्रकार के आमतौर पर खंडों पर निर्दिष्ट होते हैं। जिन बिंदुओं पर व्युत्पन्न कार्यशून्य के बराबर या अस्तित्व में नहीं होने को संशयवादी कहा जाता है।

2. यह पता चला है कि अधिकतम अंक खोजने के लिए कार्य y=f(x) यह आवश्यक है: - संदेहपूर्ण बिंदुओं का पता लगाने के लिए; - अधिकतम बिंदु को प्राथमिकता देने के लिए, संदेहपूर्ण बिंदु के आसपास व्युत्पन्न के संकेत का पता लगाना आवश्यक है। यदि, किसी बिंदु से गुजरते समय, चिह्न "+" से "-" तक बदल जाता है, तो अधिकतम होता है।

3. उदाहरण। सबसे बड़े मान खोजें कार्य(चित्र 1 देखें).x?-1 के लिए y=x+3 और x>-1 के लिए y=((x^2)^(1/3)) –x।

4. रियानिंग. x?-1 के लिए y=x+3 और x>-1 के लिए y=((x^2)^(1/3)) –x। फ़ंक्शन को जानबूझकर खंडों पर निर्दिष्ट किया गया है, क्योंकि इस मामले में लक्ष्य सब कुछ एक उदाहरण में प्रदर्शित करना है। यह जांचना आसान है कि x=-1 पर फ़ंक्शन y'=1 पर x?-1 और y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2- पर स्थिर रहता है। 3(x ^(1/3))/(x^(1/3)) x>-1 के लिए। y'=0 for x=8/27' x=-1 और x= के लिए मौजूद नहीं है 0. इस मामले में y'>0 यदि x

विषय पर वीडियो

परवलय दूसरे क्रम के वक्रों में से एक है; इसके बिंदु द्विघात समीकरण के अनुसार उठाए गए हैं। इस तिरछे निर्माण में मुख्य बात पता लगाना है शीर्ष परवलय. यह कई मायनों में किया जा सकता है।

निर्देश

1. शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए परवलय, निम्न सूत्र का उपयोग करें: x = -b/2a, जहां a, x वर्ग से पहले का सूचक है, और b, x से पहले का सूचक है। अपने मूल्यों को प्लग इन करें और उसके मूल्य की गणना करें। इसके बाद, समीकरण में x के लिए परिणामी मान को प्रतिस्थापित करें और शीर्ष की कोटि की गणना करें। मान लीजिए, यदि आपको समीकरण y=2x^2-4x+5 दिया गया है, तो भुज को निम्नलिखित तरीके से खोजें: x=-(-4)/2*2=1. समीकरण में x=1 प्रतिस्थापित करते हुए, शीर्ष के लिए y-मान की गणना करें परवलय: y=2*1^2-4*1+5=3. तो सबसे ऊपर परवलयनिर्देशांक (1;3) हैं।

2. कोटि का मान परवलयएब्सिस्सा की पहले से गणना किए बिना पता लगाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, सूत्र y=-b^2/4ac+c का उपयोग करें।

3. यदि आप व्युत्पन्न निरूपण से परिचित हैं, तो खोजें शीर्ष परवलयडेरिवेटिव का उपयोग करते हुए, प्रत्येक फ़ंक्शन की आगे की संपत्ति का लाभ उठाते हुए: किसी फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न, शून्य के बराबर, चरम बिंदुओं को इंगित करता है। क्योंकि शीर्ष परवलय, भले ही इसकी शाखाएँ ऊपर या नीचे निर्देशित हों, एक चरम बिंदु है, अपने फ़ंक्शन के लिए व्युत्पन्न की गणना करें। सामान्य रूप में यह f(x)=2ax+b जैसा दिखेगा। इसे शून्य के बराबर करें और शीर्ष के निर्देशांक प्राप्त करें परवलय, आपके कार्य के अनुरूप।

4. खोजने का प्रयास करें शीर्ष परवलय, समरूपता जैसी इसकी संपत्ति का लाभ उठाते हुए। ऐसा करने के लिए, प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें परवलय x अक्ष के साथ, फ़ंक्शन को शून्य के बराबर करना (y = 0 प्रतिस्थापित करना)। जब आप द्विघात समीकरण हल करते हैं, तो आपको x1 और x2 मिलेंगे। क्योंकि परवलय गुजरने वाली नियता के प्रति सममित है शीर्ष, ये बिंदु शीर्ष के भुज से समान दूरी पर होंगे। इसका पता लगाने के लिए, हम बिंदुओं के बीच की दूरी को आधे में विभाजित करते हैं: x = (Ix1-x2I)/2।

5. यदि कोई भी घातांक शून्य है (ए के अलावा), शीर्ष के निर्देशांक की गणना करें परवलयसरलीकृत सूत्रों का उपयोग करना। मान लीजिए, यदि b = 0, अर्थात, समीकरण का रूप y = ax^2 + c है, तो शीर्ष oy अक्ष पर स्थित होगा और इसके निर्देशांक (0; c) के बराबर होंगे। यदि न केवल घातांक b=0, बल्कि c=0 भी है, तो शीर्ष परवलयमूल बिंदु (0;0) पर स्थित है।

विषय पर वीडियो

एक बिंदु से शुरू होकर, सीधी रेखाएँ एक कोण बनाती हैं जहाँ उनका उभयनिष्ठ बिंदु शीर्ष होता है। सैद्धांतिक बीजगणित के अनुभाग में, अक्सर समस्याएं आती हैं जब आपको इसके निर्देशांक खोजने की आवश्यकता होती है चोटियों, ताकि शीर्ष से गुजरने वाली रेखा का समीकरण निर्धारित किया जा सके।

निर्देश

1. इससे पहले कि आप निर्देशांक खोजने की प्रक्रिया शुरू करें चोटियों, प्रारंभिक डेटा पर निर्णय लें। स्वीकार करें कि वांछित शीर्ष त्रिभुज ABC से संबंधित है, जिसमें अन्य 2 शीर्षों के निर्देशांक, साथ ही संख्यात्मक मान ज्ञात हैं कोने, भुजा AB पर "e" और "k" के बराबर।

2. मिलाना नई प्रणालीत्रिभुज AB की एक भुजा पर इस प्रकार निर्देशांक करता है कि निर्देशांक प्रणाली की प्रस्तावना बिंदु A से मेल खाती है, जिसके निर्देशांक आपको ज्ञात हैं। दूसरा शीर्ष B, OX अक्ष पर स्थित होगा, और इसके निर्देशांक भी आपको ज्ञात हैं। निर्देशांक के अनुसार OX अक्ष के अनुदिश भुजा AB की लंबाई निर्धारित करें और इसे "m" के बराबर लें।

3. अपरिचित से लम्ब को नीचे करें चोटियों C, क्रमशः OX अक्ष और त्रिभुज AB की भुजा की ओर। परिणामी ऊँचाई "y" किसी एक निर्देशांक का मान निर्धारित करती है चोटियों C ओए अक्ष के अनुदिश। मान लें कि ऊंचाई "y" भुजा AB को "x" और "m - x" के बराबर दो खंडों में विभाजित करती है।

4. क्योंकि तुम सबका अर्थ जानते हो कोनेत्रिभुज, जिसका अर्थ है कि उनकी स्पर्श रेखाओं का मान भी ज्ञात होता है। के लिए स्पर्शरेखा मान लें कोने, त्रिभुज AB की भुजा के निकट, tan(e) और tan(k) के बराबर।

5. क्रमशः AC और BC भुजाओं से गुजरने वाली 2 रेखाओं के लिए समीकरण दर्ज करें: y = tan(e) * x और y = tan(k) * (m – x)। फिर परिवर्तित रेखा समीकरणों को लागू करके इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें: tan(e) = y/x और tan(k) = y/(m – x)।

6. यदि हम मान लें कि tan(e)/tan(k) बराबर है (y/x) /(y/ (m – x)) या बाद में संक्षिप्त करें “y” – (m – x) / x, तो आप समाप्त हो जायेंगे वांछित मान निर्देशांक x = m / (tan(e)/tan(k) + e) ​​​​और y = x * tan(e) के बराबर हैं।

7. स्थानापन्न मान कोने(ई) और (के), साथ ही समीकरण x = m / (tan(e)/tan(k) + e) ​​​​और y = x * tan(e) में पक्ष AB = m का पता लगाया गया मान ).

8. नई समन्वय प्रणाली को इसमें परिवर्तित करें प्रारंभिक प्रणालीनिर्देशांक, इस तथ्य से कि उनके बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया गया है, और आपको वांछित निर्देशांक मिलेंगे चोटियोंत्रिकोण एबीसी.

विषय पर वीडियो

विषय पर वीडियो

निर्देश

सामान्य रूप में एक द्विघात फलन समीकरण द्वारा लिखा जाता है: y = ax² + bx + c. इस समीकरण का ग्राफ़ है, जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर (a > 0 के लिए) या नीचे की ओर (a > 0 के लिए) निर्देशित हैं< 0). Школьникам предлагается просто запомнить формулу вычисления координат вершины . Вершина параболы в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное , получите y0: y0 = a(-b/2a)² - b²/2a + c = - b²/4a + c.

व्युत्पन्न की अवधारणा से परिचित लोगों के लिए, परवलय का शीर्ष खोजना आसान है। परवलय की शाखाओं की स्थिति के बावजूद, इसका शीर्ष एक बिंदु होता है (न्यूनतम यदि शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित हों, या जब शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित हों)। किसी के अनुमानित चरम बिंदु को खोजने के लिए, आपको इसके पहले व्युत्पन्न की गणना करने और इसे शून्य के बराबर करने की आवश्यकता है। सामान्य तौर पर, व्युत्पन्न f"(x) = (ax² + bx + c)" = 2ax + b के बराबर होता है। शून्य के बराबर, आपको 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/2a मिलता है।

परवलय एक सममित रेखा है। अक्ष परवलय के शीर्ष से होकर गुजरता है। X निर्देशांक अक्ष के साथ परवलय के बिंदुओं को जानकर, आप शीर्ष x0 का भुज आसानी से पा सकते हैं। मान लीजिए x1 और x2 परवलय के मूल हैं (x-अक्ष के साथ परवलय के तथाकथित प्रतिच्छेदन बिंदु, क्योंकि ये मान द्विघात समीकरण ax² + bx + c को लुप्त कर देते हैं)। इसके अलावा, चलो |x2| > |x1|, तो परवलय का शीर्ष उनके बीच आधा होता है और इसे निम्नलिखित अभिव्यक्ति से पाया जा सकता है: x0 = ½(|x2| - |x1|)।

विषय पर वीडियो

स्रोत:

• द्विघात फलन
• परवलय का शीर्ष ज्ञात करने का सूत्र

एक परवलय एक द्विघात फलन का एक ग्राफ होता है; सामान्य तौर पर, एक परवलय का समीकरण y=ax^2+bx+c लिखा जाता है, जहाँ a≠0 होता है। यह एक सार्वभौमिक दूसरे क्रम का वक्र है जो जीवन में कई घटनाओं का वर्णन करता है, उदाहरण के लिए, एक उछाले गए और फिर गिरते हुए शरीर की गति, इंद्रधनुष का आकार, इसलिए खोजने की क्षमता परवलयजीवन में बहुत उपयोगी हो सकता है.

आपको चाहिये होगा

• - द्विघात समीकरण सूत्र;
• - एक समन्वय ग्रिड के साथ कागज की एक शीट;
• - पेंसिल, इरेज़र;
• - कंप्यूटर और एक्सेल प्रोग्राम.

निर्देश

सबसे पहले, परवलय का शीर्ष ज्ञात कीजिए। इस बिंदु का भुज खोजने के लिए, x का गुणांक लें, इसे x^2 के गुणांक के दोगुने से विभाजित करें और -1 (x=-b/2a) से गुणा करें। परिणामी मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करके या सूत्र y=(b^2-4ac)/4a का उपयोग करके कोटि ज्ञात करें। आपने परवलय के शीर्ष बिंदु के निर्देशांक प्राप्त कर लिए हैं।

परवलय का शीर्ष दूसरे तरीके से पाया जा सकता है। चूँकि यह फ़ंक्शन का चरम है, इसकी गणना करने के लिए, पहले व्युत्पन्न की गणना करें और इसे शून्य के बराबर करें। सामान्य तौर पर, आपको सूत्र f(x)" = (ax? + bx + c)" = 2ax + b मिलेगा। और इसे शून्य के बराबर करने पर आप उसी सूत्र पर आ जायेंगे - x=-b/2a.

पता लगाएँ कि परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर इंगित करती हैं या नीचे की ओर। ऐसा करने के लिए, x^2, यानी a के सामने गुणांक को देखें। यदि a>0, तो शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, यदि a

COORDINATES चोटियोंपरवलय पाए गए हैं। उन्हें एक बिंदु (x0,y0) के निर्देशांक के रूप में लिखें।

विषय पर वीडियो

फ़ंक्शंस (अधिक सटीक रूप से, उनके ग्राफ़) के लिए, स्थानीय अधिकतम सहित सबसे बड़े मूल्य की अवधारणा का उपयोग किया जाता है। "वर्टेक्स" की अवधारणा ज्यामितीय आकृतियों से जुड़ी है। सुचारू कार्यों (व्युत्पन्न वाले) के अधिकतम बिंदु पहले व्युत्पन्न के शून्य का उपयोग करके निर्धारित करना आसान है।

निर्देश

उन बिंदुओं के लिए जहां फ़ंक्शन भिन्न नहीं है लेकिन निरंतर है, अंतराल पर सबसे बड़ा मान एक टिप के रूप में हो सकता है (y=-|x| पर)। ऐसे बिंदुओं पर कार्यआप जितनी चाहें उतनी स्पर्शरेखाएँ खींच सकते हैं; इसके लिए स्पर्शरेखाएँ मौजूद ही नहीं हैं। सामी कार्ययह प्रकार आमतौर पर खंडों पर निर्दिष्ट होता है। जिन बिंदुओं पर व्युत्पन्न कार्यशून्य के बराबर या अस्तित्व में नहीं होने को क्रिटिकल कहा जाता है।

रियानिंग. x≤-1 के लिए y=x+3 और x>-1 के लिए y=((x^2)^(1/3)) –x। फ़ंक्शन जानबूझकर खंडों पर निर्दिष्ट किया गया है, क्योंकि इस मामले में लक्ष्य सब कुछ एक उदाहरण में प्रदर्शित करना है। यह आसान है कि x=-1 के लिए फ़ंक्शन निरंतर रहता है। x≤-1 के लिए y'=1 और y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-3( x^ (1/3))/(x^(1/3)) x>-1 के लिए। y'=0 for x=8/27' x=-1 और x=0 के लिए मौजूद नहीं है। इस मामले में, y '>0 यदि x

विषय पर वीडियो

परवलय दूसरे क्रम के वक्रों में से एक है; इसके बिंदु द्विघात समीकरण के अनुसार निर्मित होते हैं। इस वक्र के निर्माण में मुख्य बात खोजना है शीर्ष परवलय. यह कई मायनों में किया जा सकता है।

निर्देश

किसी शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करना परवलय, निम्न सूत्र का उपयोग करें: x=-b/2a, जहां a, x in से पहले का गुणांक है, और b, x से पहले का गुणांक है। अपने मूल्यों को प्लग इन करें और इसकी गणना करें। फिर समीकरण में x के परिणामी मान को प्रतिस्थापित करें और शीर्ष की कोटि की गणना करें। उदाहरण के लिए, यदि आपको समीकरण y=2x^2-4x+5 दिया गया है, तो भुज इस प्रकार ज्ञात करें: x=-(-4)/2*2=1. समीकरण में x=1 प्रतिस्थापित करते हुए, शीर्ष के लिए y-मान की गणना करें परवलय: y=2*1^2-4*1+5=3. तो सबसे ऊपर परवलयनिर्देशांक (1;3) हैं।

कोटि का मान परवलयपहले भुज की गणना किए बिना पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, सूत्र y=-b^2/4ac+c का उपयोग करें।

यदि आप व्युत्पन्न की अवधारणा से परिचित हैं, तो खोजें शीर्ष परवलयडेरिवेटिव का उपयोग करते हुए, किसी की निम्नलिखित संपत्ति का उपयोग करते हुए: किसी फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न, शून्य के बराबर, इंगित करता है। ऊपर से परवलय, भले ही इसकी शाखाएँ ऊपर या नीचे निर्देशित हों, बिंदु, अपने फ़ंक्शन के लिए व्युत्पन्न की गणना करें। सामान्य तौर पर, यह f(x)=2ax+b जैसा दिखेगा। इसे शून्य के बराबर करें और शीर्ष के निर्देशांक प्राप्त करें परवलय, आपके कार्य के अनुरूप।

ढूंढने की कोशिश करो शीर्ष परवलय, समरूपता जैसी इसकी संपत्ति का लाभ उठाते हुए। ऐसा करने के लिए, प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें परवलय x अक्ष के साथ, फ़ंक्शन को शून्य के बराबर करना (y = 0 प्रतिस्थापित करना)। द्विघात समीकरण को हल करने पर आपको x1 और x2 मिलेंगे। चूँकि परवलय गुजरने वाली नियता के संबंध में सममित है शीर्ष, ये बिंदु शीर्ष के भुज से समान दूरी पर होंगे। इसे खोजने के लिए, हम विभाजित करते हैं