Pozitīva skaitļa b logaritms bāzei a (a>0, a nav vienāds ar 1) ir tāds skaitlis c, ka a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Ņemiet vērā, ka nepozitīva skaitļa logaritms nav definēts. Turklāt logaritma bāzei jābūt pozitīvam skaitlim, kas nav vienāds ar 1. Piemēram, ja mēs kvadrātā -2, mēs iegūstam skaitli 4, bet tas nenozīmē, ka logaritms uz bāzi -2 no 4 ir vienāds ar 2.
Pamatlogaritmiskā identitāte
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Ir svarīgi, lai šīs formulas labās un kreisās puses definīcijas apjoms būtu atšķirīgs. Kreisā puse ir definēta tikai b>0, a>0 un a ≠ 1. Labā puse ir definēta jebkuram b, un tā vispār nav atkarīga no a. Tādējādi pamata logaritmiskās “identitātes” pielietošana, risinot vienādojumus un nevienādības, var izraisīt OD izmaiņas.
Divas acīmredzamas logaritma definīcijas sekas
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Patiešām, paaugstinot skaitli a līdz pirmajai pakāpei, mēs iegūstam to pašu skaitli, un, palielinot to līdz nulles pakāpei, mēs iegūstam vienu.
Produkta logaritms un koeficienta logaritms
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Vēlos brīdināt skolēnus no nepārdomātas šo formulu pielietošanas, risinot logaritmiskie vienādojumi un nevienlīdzības. Izmantojot tos “no kreisās uz labo”, ODZ sašaurinās, un, pārejot no logaritmu summas vai starpības uz reizinājuma vai koeficienta logaritmu, ODZ paplašinās.
Patiešām, izteiksme log a (f (x) g (x)) ir definēta divos gadījumos: kad abas funkcijas ir stingri pozitīvas vai f (x) un g (x) ir mazākas par nulli.
Pārveidojot šo izteiksmi summā log a f (x) + log a g (x), esam spiesti aprobežoties tikai ar gadījumu, kad f(x)>0 un g(x)>0. Pieņemamo vērtību diapazons ir sašaurināts, un tas ir kategoriski nepieņemami, jo tas var novest pie risinājumu zaudēšanas. Līdzīga problēma pastāv formulai (6).
Pakāpi var izņemt no logaritma zīmes
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Un vēlreiz es vēlos aicināt būt piesardzīgiem. Apsveriet šādu piemēru:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Vienādības kreisā puse acīmredzami ir noteikta visām f(x) vērtībām, izņemot nulli. Labā puse ir paredzēta tikai f(x)>0! Izņemot grādu no logaritma, mēs atkal sašaurinām ODZ. Apgrieztā procedūra noved pie pieņemamo vērtību diapazona paplašināšanas. Visas šīs piezīmes attiecas ne tikai uz 2. jaudu, bet arī uz jebkuru vienmērīgu jaudu.
Formula pārejai uz jaunu pamatu
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Retais gadījums, kad ODZ transformācijas laikā nemainās. Ja esat gudri izvēlējies bāzi c (pozitīvs un nav vienāds ar 1), formula pārejai uz jaunu bāzi ir pilnīgi droša.
Ja par jauno bāzi c izvēlamies skaitli b, iegūstam svarīgu (8) formulas īpašo gadījumu:
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Daži vienkārši piemēri ar logaritmiem
Piemērs 1. Aprēķināt: log2 + log50.
Risinājums. log2 + log50 = log100 = 2. Mēs izmantojām logaritmu formulas (5) summu un decimāllogaritma definīciju.
Piemērs 2. Aprēķināt: lg125/lg5.
Risinājums. log125/log5 = log 5 125 = 3. Mēs izmantojām formulu pārejai uz jaunu bāzi (8).
Ar logaritmiem saistīto formulu tabula
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.
Personiskās informācijas vākšana un izmantošana
Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.
Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.
Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.
Kādu personas informāciju mēs apkopojam:
- Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.
Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:
- Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
- Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
- Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
- Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.
Informācijas izpaušana trešajām personām
Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.
Izņēmumi:
- Ja nepieciešams, saskaņā ar likumu, tiesas process, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai pieprasījumiem no valsts aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
- Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.
Personiskās informācijas aizsardzība
Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.
Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī
Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.
Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.
Personiskās informācijas vākšana un izmantošana
Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.
Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.
Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.
Kādu personas informāciju mēs apkopojam:
- Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.
Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:
- Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
- Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
- Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
- Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.
Informācijas izpaušana trešajām personām
Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.
Izņēmumi:
- Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas procedūru, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valdības iestāžu lūgumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
- Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.
Personiskās informācijas aizsardzība
Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.
Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī
Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.
Skaitļa b (b > 0) logaritms uz bāzi a (a > 0, a ≠ 1)– eksponents, līdz kuram skaitlis a jāpalielina, lai iegūtu b.
B bāzes 10 logaritmu var uzrakstīt kā žurnāls(b), un logaritms uz bāzes e (dabiskais logaritms) ir ln(b).
Bieži izmanto, risinot uzdevumus ar logaritmiem:
Logaritmu īpašības
Ir četri galvenie logaritmu īpašības.
Lai a > 0, a ≠ 1, x > 0 un y > 0.
Īpašība 1. Produkta logaritms
Produkta logaritms vienāds ar summu logaritmi:
log a (x ⋅ y) = log a x + log a y
Īpašība 2. Koeficienta logaritms
Koeficienta logaritms vienāds ar logaritmu starpību:
log a (x / y) = log a x – log a y
Īpašība 3. Jaudas logaritms
Pakāpju logaritms vienāds ar jaudas un logaritma reizinājumu:
Ja logaritma bāze ir pakāpē, tad tiek piemērota cita formula:
Īpašība 4. Saknes logaritms
Šo īpašību var iegūt no pakāpes logaritma īpašības, jo jaudas n-tā sakne ir vienāda ar pakāpju 1/n:
Formula konvertēšanai no logaritma vienā bāzē uz logaritmu citā bāzē
Šo formulu bieži izmanto arī risināšanai dažādi uzdevumi uz logaritmiem:
Īpašs gadījums:
Logaritmu (nevienādību) salīdzināšana
Pieņemsim, ka logaritmos ar vienādām bāzēm ir 2 funkcijas f(x) un g(x), un starp tām ir nevienlīdzības zīme:
Lai tos salīdzinātu, vispirms ir jāaplūko logaritmu a bāze:
- Ja a > 0, tad f(x) > g(x) > 0
- Ja 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
Kā atrisināt uzdevumus ar logaritmiem: piemēri
Problēmas ar logaritmiem iekļauts Vienotajā valsts eksāmenā matemātikā 11. klasei 5. uzdevumā un 7. uzdevumā, uzdevumus ar risinājumiem varat atrast mūsu mājaslapas attiecīgajās sadaļās. Arī uzdevumi ar logaritmiem ir atrodami matemātikas uzdevumu bankā. Visus piemērus varat atrast, meklējot vietnē.
Kas ir logaritms
Logaritmi vienmēr ir uzskatīti par sarežģītu tēmu skolas kurss matemātika. Ir daudz dažādu logaritma definīciju, taču nez kāpēc lielākajā daļā mācību grāmatu tiek izmantotas vissarežģītākās un neveiksmīgākās no tām.
Mēs definēsim logaritmu vienkārši un skaidri. Lai to izdarītu, izveidosim tabulu:
Tātad, mums ir divas pilnvaras.
Logaritmi - īpašības, formulas, kā atrisināt
Ja ņemat skaitli no apakšējās rindas, varat viegli atrast jaudu, līdz kurai jums būs jāpalielina divi, lai iegūtu šo skaitli. Piemēram, lai iegūtu 16, jums jāpaaugstina divi līdz ceturtajai pakāpei. Un, lai iegūtu 64, jums jāpaaugstina divi līdz sestajai pakāpei. To var redzēt no tabulas.
Un tagad - faktiski logaritma definīcija:
argumenta x bāze a ir pakāpe, līdz kurai jāpalielina skaitlis a, lai iegūtu skaitli x.
Apzīmējums: log a x = b, kur a ir bāze, x ir arguments, b ir tas, ar ko faktiski ir vienāds ar logaritmu.
Piemēram, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (2. bāzes logaritms no 8 ir trīs, jo 2 3 = 8). Ar tādiem pašiem panākumiem log 2 64 = 6, jo 2 6 = 64.
Tiek izsaukta skaitļa logaritma atrašana noteiktai bāzei. Tātad, pievienosim mūsu tabulai jaunu rindu:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | žurnāls 2 8 = 3 | žurnāls 2 16 = 4 | žurnāls 2 32 = 5 | žurnāls 2 64 = 6 |
Diemžēl ne visus logaritmus var aprēķināt tik vienkārši. Piemēram, mēģiniet atrast log 2 5. Skaitlis 5 nav tabulā, bet loģika nosaka, ka logaritms atradīsies kaut kur intervālā. Tā kā 22< 5 < 2 3 , а чем vairāk grādu divi, jo lielāks skaitlis.
Šādus skaitļus sauc par iracionāliem: skaitļus aiz komata var rakstīt bezgalīgi, un tie nekad neatkārtojas. Ja logaritms izrādās neracionāls, labāk to atstāt šādi: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Ir svarīgi saprast, ka logaritms ir izteiksme ar diviem mainīgajiem (bāze un arguments). Sākumā daudzi jauc, kur ir pamats un kur arguments. Lai izvairītos no kaitinošiem pārpratumiem, vienkārši apskatiet attēlu:
Mūsu priekšā ir nekas vairāk kā logaritma definīcija. Atcerieties: logaritms ir spēks, kurā jāiebūvē bāze, lai iegūtu argumentu. Tā ir bāze, kas tiek pacelta līdz jaudai - attēlā tā ir izcelta sarkanā krāsā. Izrādās, ka pamatne vienmēr ir apakšā! Es saviem skolēniem pastāstu šo brīnišķīgo likumu jau pirmajā stundā – un nerodas apjukums.
Kā skaitīt logaritmus
Esam izdomājuši definīciju – atliek vien iemācīties skaitīt logaritmus, t.i. atbrīvoties no "baļķa" zīmes. Vispirms mēs atzīmējam, ka no definīcijas izriet divi svarīgi fakti:
- Argumentam un bāzei vienmēr jābūt lielākam par nulli. Tas izriet no pakāpes definīcijas ar racionālu eksponentu, līdz kuram tiek reducēta logaritma definīcija.
- Pamatnei ir jāatšķiras no vienas, jo viena jebkurā pakāpē joprojām paliek viena. Šī iemesla dēļ jautājums “uz kādu spēku jāpaceļ viens, lai iegūtu divus” ir bezjēdzīgs. Tāda grāda nav!
Tādus ierobežojumus sauc pieļaujamo vērtību diapazons(ODZ). Izrādās, ka logaritma ODZ izskatās šādi: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Ņemiet vērā, ka skaitlim b (logaritma vērtība) nav ierobežojumu. Piemēram, logaritms var būt negatīvs: log 2 0,5 = −1, jo 0,5 = 2–1.
Taču tagad tiek aplūkotas tikai skaitliskās izteiksmes, kur nav nepieciešams zināt logaritma VA. Visus ierobežojumus problēmu autori jau ir ņēmuši vērā. Bet, kad stājas spēkā logaritmiskie vienādojumi un nevienādības, DL prasības kļūs obligātas. Galu galā pamats un arguments var saturēt ļoti spēcīgas konstrukcijas, kas ne vienmēr atbilst iepriekš minētajiem ierobežojumiem.
Tagad apskatīsim vispārējo logaritmu aprēķināšanas shēmu. Tas sastāv no trim soļiem:
- Izsakiet bāzi a un argumentu x kā pakāpju ar minimālo iespējamo bāzi, kas lielāka par vienu. Pa ceļam labāk ir atbrīvoties no decimāldaļām;
- Atrisiniet mainīgā b vienādojumu: x = a b ;
- Iegūtais skaitlis b būs atbilde.
Tas arī viss! Ja logaritms izrādīsies neracionāls, tas būs redzams jau pirmajā solī. Prasība, ka bāzei jābūt lielākai par vienu, ir ļoti svarīga: tas samazina kļūdu iespējamību un ievērojami vienkāršo aprēķinus. Tas pats ar decimāldaļas: ja jūs nekavējoties tos pārveidosit par parastajiem, kļūdu būs daudz mazāk.
Apskatīsim, kā šī shēma darbojas, izmantojot konkrētus piemērus:
Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 5 25
- Iedomāsimies bāzi un argumentu kā pieci pakāpju: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;
- Mēs saņēmām atbildi: 2.
Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu:
Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 4 64
- Iedomāsimies bāzi un argumentu kā divu pakāpju: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
- Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3; - Mēs saņēmām atbildi: 3.
Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 16 1
- Iedomāsimies bāzi un argumentu kā divu pakāpju: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
- Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0; - Mēs saņēmām atbildi: 0.
Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 7 14
- Iedomāsimies bāzi un argumentu kā septiņu pakāpju: 7 = 7 1 ; 14 nevar attēlot kā septiņu pakāpju, jo 7 1< 14 < 7 2 ;
- No iepriekšējās rindkopas izriet, ka logaritms netiek skaitīts;
- Atbilde ir bez izmaiņām: žurnāls 7 14.
Neliela piezīme par pēdējo piemēru. Kā jūs varat būt pārliecināts, ka skaitlis nav precīzs cita skaitļa pakāpe? Tas ir ļoti vienkārši - vienkārši sadaliet to galvenie faktori. Ja paplašināšanai ir vismaz divi dažādi faktori, skaitlis nav precīza jauda.
Uzdevums. Uzziniet, vai skaitļi ir precīzas pilnvaras: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - precīza pakāpe, jo ir tikai viens reizinātājs;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nav precīza jauda, jo ir divi faktori: 3 un 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - precīza pakāpe;
35 = 7 · 5 - atkal nav precīza jauda;
14 = 7 · 2 - atkal nav precīza pakāpe;
Mēs arī atzīmējam, ka mēs paši pirmskaitļi vienmēr ir precīzas savas pakāpes.
Decimālais logaritms
Daži logaritmi ir tik izplatīti, ka tiem ir īpašs nosaukums un simbols.
argumenta x ir logaritms līdz 10. bāzei, t.i. Jauda, līdz kurai jāpalielina skaitlis 10, lai iegūtu skaitli x. Apzīmējums: lg x.
Piemēram, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - utt.
No šī brīža, kad mācību grāmatā parādās tāda frāze kā “Atrast lg 0.01”, ziniet: tā nav drukas kļūda. Šis ir decimālais logaritms. Tomēr, ja neesat pazīstams ar šo apzīmējumu, vienmēr varat to pārrakstīt:
log x = log 10 x
Viss, kas attiecas uz parastajiem logaritmiem, attiecas arī uz decimāllogaritmiem.
Dabiskais logaritms
Ir vēl viens logaritms, kam ir savs apzīmējums. Dažos veidos tas ir pat svarīgāks par decimāldaļu. Mēs runājam par naturālo logaritmu.
argumenta x ir logaritms uz bāzes e, t.i. jauda, līdz kurai jāpalielina skaitlis e, lai iegūtu skaitli x. Apzīmējums: ln x.
Daudzi cilvēki jautās: kāds ir skaitlis e? Tas ir neracionāls skaitlis, tā precīza vērtība nav iespējams atrast un ierakstīt. Es sniegšu tikai pirmos skaitļus:
e = 2,718281828459…
Mēs neiedziļināsimies sīkāk par to, kas ir šis numurs un kāpēc tas ir vajadzīgs. Vienkārši atcerieties, ka e ir dabiskā logaritma bāze:
ln x = log e x
Tādējādi ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - utt. No otras puses, ln 2 ir iracionāls skaitlis. Kopumā jebkura racionāla skaitļa naturālais logaritms ir iracionāls. Protams, izņemot vienu: ln 1 = 0.
Priekš naturālie logaritmi visi noteikumi, kas ir spēkā parastajiem logaritmiem, ir spēkā.
Skatīt arī:
Logaritms. Logaritma īpašības (logaritma jauda).
Kā attēlot skaitli kā logaritmu?
Mēs izmantojam logaritma definīciju.
Logaritms ir eksponents, līdz kuram jāpaaugstina bāze, lai iegūtu skaitli zem logaritma zīmes.
Tādējādi, lai noteiktu skaitli c attēlotu kā logaritmu bāzei a, zem logaritma zīmes jāievieto pakāpe ar tādu pašu bāzi kā logaritma bāze un šis skaitlis c jāuzraksta kā eksponents:
Absolūti jebkuru skaitli var attēlot kā logaritmu - pozitīvu, negatīvu, veselu skaitli, daļskaitli, racionālu, iracionālu:
Lai nesajauktu a un c saspringtos testa vai eksāmena apstākļos, varat izmantot šādu iegaumēšanas noteikumu:
tas, kas ir apakšā, iet uz leju, kas ir augšā, iet uz augšu.
Piemēram, skaitlis 2 ir jāattēlo kā logaritms 3. bāzei.
Mums ir divi skaitļi - 2 un 3. Šie skaitļi ir bāze un eksponents, ko mēs rakstīsim zem logaritma zīmes. Atliek noteikt, kurš no šiem skaitļiem ir pierakstāms līdz pakāpes bāzei un kurš – uz augšu, līdz eksponentam.
Bāze 3 logaritma apzīmējumā atrodas apakšā, kas nozīmē, ka, attēlojot divus kā logaritmu 3. bāzei, mēs arī ierakstīsim 3 uz bāzi.
2 ir lielāks par trīs. Un otrās pakāpes apzīmējumā mēs rakstām virs trim, tas ir, kā eksponentu:
Logaritmi. Ieejas līmenis.
Logaritmi
Logaritms pozitīvs skaitlis b pamatojoties uz a, Kur a > 0, a ≠ 1, sauc par eksponentu, līdz kuram skaitlis jāpaaugstina a lai iegūtu b.
Logaritma definīcijaīsumā var uzrakstīt šādi:
Šī vienlīdzība ir spēkā b > 0, a > 0, a ≠ 1. To parasti sauc logaritmiskā identitāte.
Tiek izsaukta skaitļa logaritma atrašanas darbība pēc logaritma.
Logaritmu īpašības:
Produkta logaritms:
Koeficienta logaritms:
Logaritma bāzes aizstāšana:
Pakāpju logaritms:
Saknes logaritms:
Logaritms ar jaudas bāzi:
Decimāllogaritmi un naturālie logaritmi.
Decimālais logaritms skaitļi izsauc šī skaitļa logaritmu līdz 10 un raksta lg b
Dabiskais logaritms skaitļus sauc par šī skaitļa logaritmu pret bāzi e, Kur e- iracionāls skaitlis, kas aptuveni vienāds ar 2,7. Tajā pašā laikā viņi raksta ln b.
Citas piezīmes par algebru un ģeometriju
Logaritmu pamatīpašības
Logaritmu pamatīpašības
Logaritmus, tāpat kā jebkurus skaitļus, var saskaitīt, atņemt un visādi pārveidot. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc galvenās īpašības.
Šie noteikumi noteikti ir jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku uzdevumu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienas dienas laikā. Tātad sāksim.
Logaritmu saskaitīšana un atņemšana
Apsveriet divus logaritmus ar vienādām bāzēm: log a x un log a y. Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:
- log a x + log a y = log a (x y);
- log a x − log a y = log a (x: y).
Tātad logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un starpība ir vienāda ar koeficienta logaritmu. Lūdzu, ņemiet vērā: šeit galvenais ir identisks pamatojums. Ja iemesli ir atšķirīgi, šie noteikumi nedarbojas!
Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmiskā izteiksme pat tad, ja tā atsevišķās daļas netiek skaitītas (skat. nodarbību “Kas ir logaritms”). Apskatiet piemērus un skatiet:
Baļķis 6 4 + baļķis 6 9.
Tā kā logaritmiem ir vienādas bāzes, mēs izmantojam summas formulu:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 2 48 − log 2 3.
Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 3 135 − log 3 5.
Atkal bāzes ir tās pašas, tāpēc mums ir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no “sliktiem” logaritmiem, kas netiek aprēķināti atsevišķi. Bet pēc pārvērtībām tiek iegūti pilnīgi normāli skaitļi. Daudzi ir balstīti uz šo faktu testiem. Jā, vienotajā valsts eksāmenā testiem līdzīgi izteicieni tiek piedāvāti visā nopietnībā (dažkārt praktiski bez izmaiņām).
Eksponenta izvilkšana no logaritma
Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu. Ko darīt, ja logaritma bāze vai arguments ir pakāpe? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:
Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums seko pirmajiem diviem. Bet tomēr labāk to atcerēties - dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.
Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots logaritma ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Un vēl viena lieta: iemācieties pielietot visas formulas ne tikai no kreisās uz labo, bet arī otrādi. , t.i. Jūs varat ievadīt skaitļus pirms logaritma zīmes pašā logaritmā.
Kā atrisināt logaritmus
Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 7 49 6 .
Atbrīvosimies no argumenta pakāpes, izmantojot pirmo formulu:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Ņemiet vērā, ka saucējs satur logaritmu, kura bāze un arguments ir precīzās pakāpes: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mums ir:
Es domāju, ka pēdējais piemērs prasa zināmu precizējumu. Kur ir pazuduši logaritmi? Līdz pašam pēdējais brīdis mēs strādājam tikai ar saucēju. Mēs uzrādījām tur stāvošā logaritma bāzi un argumentu pakāpju veidā un izņēmām eksponentus - saņēmām “trīsstāvu” daļu.
Tagad apskatīsim galveno frakciju. Skaitītājā un saucējā ir viens un tas pats skaitlis: log 2 7. Tā kā log 2 7 ≠ 0, mēs varam samazināt daļskaitli - 2/4 paliks saucējā. Saskaņā ar aritmētikas noteikumiem četriniekus var pārsūtīt uz skaitītāju, kas arī tika darīts. Rezultāts bija atbilde: 2.
Pāreja uz jaunu pamatu
Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar vienādām bāzēm. Ko darīt, ja iemesli ir atšķirīgi? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras?
Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu pamatu. Formulēsim tos teorēmas veidā:
Dots logaritms log a x. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:
Jo īpaši, ja mēs iestatām c = x, mēs iegūstam:
No otrās formulas izriet, ka logaritma bāzi un argumentu var samainīt, taču šajā gadījumā tiek “apgriezta” visa izteiksme, t.i. saucējā parādās logaritms.
Šīs formulas ir reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmes. Novērtēt, cik tie ir ērti, var tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības.
Tomēr ir problēmas, kuras nevar atrisināt vispār, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apskatīsim pāris no šiem:
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 5 16 log 2 25.
Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti satur precīzas pilnvaras. Izņemsim rādītājus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;
Tagad "apgriezīsim" otro logaritmu:
Tā kā, pārkārtojot faktorus, reizinājums nemainās, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un tad tikām galā ar logaritmiem.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 9 100 lg 3.
Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzas pilnvaras. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no indikatoriem:
Tagad atbrīvosimies no decimālā logaritma, pārejot uz jaunu bāzi:
Pamatlogaritmiskā identitāte
Bieži risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei.
Šajā gadījumā mums palīdzēs šādas formulas:
Pirmajā gadījumā skaitlis n kļūst par eksponentu argumentā. Skaitlis n var būt pilnīgi jebkas, jo tas ir tikai logaritma vērtība.
Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. Tā to sauc: .
Patiesībā, kas notiek, ja skaitlis b palielina tādā pakāpē, ka skaitlis b šajā pakāpē dod skaitli a? Tieši tā: rezultāts ir tāds pats skaitlis a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu – daudzi cilvēki tajā iestrēgst.
Tāpat kā formulas pārejai uz jaunu bāzi, arī logaritmiskā pamata identitāte dažkārt ir vienīgais iespējamais risinājums.
Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Ņemiet vērā, ka log 25 64 = log 5 8 - vienkārši paņēma kvadrātu no logaritma bāzes un argumenta. Ņemot vērā noteikumus pilnvaru reizināšanai ar tas pats pamats, mēs iegūstam:
Ja kāds nezina, tas bija īsts uzdevums no vienotā valsts eksāmena :)
Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle
Nobeigumā došu divas identitātes, kuras diez vai var saukt par īpašībām – drīzāk tās ir logaritma definīcijas sekas. Viņi pastāvīgi parādās problēmās un pārsteidzoši rada problēmas pat “progresīviem” studentiem.
- log a a = 1 ir. Atcerieties vienreiz par visām reizēm: logaritms jebkurai šīs bāzes bāzei a ir vienāds ar vienu.
- log a 1 = 0 ir. Bāze a var būt jebkas, bet, ja argumentā ir viens, logaritms ir vienāds ar nulli! Tā kā a 0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.
Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.
Šodien mēs runāsim par logaritmiskās formulas un mēs sniegsim orientējošus risinājumu piemēri.
Tie paši ietver risinājumu modeļus atbilstoši logaritmu pamatīpašībām. Pirms logaritmisko formulu izmantošanas risināšanai atgādināsim par visām īpašībām:
Tagad, pamatojoties uz šīm formulām (īpašībām), mēs parādīsim logaritmu risināšanas piemēri.
Piemēri logaritmu risināšanai, pamatojoties uz formulām.
Logaritms pozitīvs skaitlis b bāzei a (apzīmēts ar log a b) ir eksponents, līdz kuram a jāpalielina, lai iegūtu b, ar b > 0, a > 0 un 1.
Saskaņā ar definīciju log a b = x, kas ir ekvivalents a x = b, tāpēc log a a x = x.
Logaritmi, piemēri:
log 2 8 = 3, jo 2 3 = 8
log 7 49 = 2, jo 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, jo 5-1 = 1/5
Decimālais logaritms- tas ir parasts logaritms, kura bāze ir 10. To apzīmē kā lg.
log 10 100 = 2, jo 10 2 = 100
Dabiskais logaritms- arī parasts logaritms, logaritms, bet ar bāzi e (e = 2,71828... - iracionāls skaitlis). Apzīmēts kā ln.
Logaritmu formulas vai īpašības vēlams iegaumēt, jo tās mums būs vajadzīgas vēlāk, risinot logaritmus, logaritmiskos vienādojumus un nevienādības. Apskatīsim katru formulu vēlreiz ar piemēriem.
- Pamatlogaritmiskā identitāte
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Produkta logaritms ir vienāds ar logaritmu summu
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Koeficienta logaritms ir vienāds ar logaritmu starpību
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 / 9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Logaritmiskā skaitļa jaudas un logaritma bāzes īpašības
Logaritmiskā skaitļa eksponents log a b m = mlog a b
Logaritma bāzes eksponents log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
ja m = n, iegūstam log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Pāreja uz jaunu pamatu
log a b = log c b/log c a,ja c = b, iegūstam log b b = 1
tad log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Kā redzat, logaritmu formulas nav tik sarežģītas, kā šķiet. Tagad, apskatot logaritmu risināšanas piemērus, mēs varam pāriet uz logaritmiskiem vienādojumiem. Sīkāk aplūkosim logaritmisko vienādojumu risināšanas piemērus rakstā: "". Nepalaidiet to garām!
Ja jums joprojām ir jautājumi par risinājumu, rakstiet tos raksta komentāros.
Piezīme: mēs nolēmām iegūt citu izglītības klasi un mācīties ārzemēs kā iespēju.