Decimāldaļdaļa sastāv no divām daļām, kuras atdala ar komatiem. Pirmā daļa ir vesela vienība, otrā daļa ir desmiti (ja aiz komata ir viens cipars), simti (divi cipari aiz komata, piemēram, divas nulles simtā), tūkstošdaļas utt. Apskatīsim piemērus decimālzīme: 0, 2; 7, 54; 235,448; 5.1; 6,32; 0.5. Tās visas ir decimāldaļas. Kā pārvērst decimāldaļu par parastu daļskaitli?
Viens piemērs
Mums ir daļa, piemēram, 0,5. Kā minēts iepriekš, tas sastāv no divām daļām. Pirmais cipars 0 parāda, cik veselu vienību ir daļai. Mūsu gadījumā tādu nav. Otrais cipars rāda desmitniekus. Daļa ir pat nulle pieci. Decimālskaitlis pārvērst par daļu Tagad tas nebūs grūti, mēs rakstām 5/10. Ja redzat, ka skaitļiem ir kopīgs dalītājs, jūs varat samazināt daļu. Mums ir šis skaitlis 5, dalot abas daļskaitļa puses ar 5, iegūstam - 1/2.
Otrais piemērs
Ņemsim sarežģītāku daļskaitli - 2,25. Tas skan šādi: divi komata divi un divdesmit piecas simtdaļas. Lūdzu, ņemiet vērā - simtdaļas, jo aiz komata ir divi skaitļi. Tagad jūs varat to pārvērst parastā daļskaitlī. Mēs pierakstām - 2 25/100. Visa daļa ir 2, daļēja daļa ir 25/100. Tāpat kā pirmajā piemērā, šo daļu var saīsināt. Kopējais skaitļu 25 un 100 faktors ir skaitlis 25. Ņemiet vērā, ka mēs vienmēr izvēlamies lielāko kopējo faktoru. Dalot abas frakcijas puses ar GCD, mēs saņēmām 1/4. Tātad 2,25 ir 2 1/4.
Trešais piemērs
Un, lai konsolidētu materiālu, ņemsim decimāldaļskaitli 4,112 - četri komata viens un simts divpadsmit tūkstošdaļas. Kāpēc tūkstošdaļas, manuprāt, ir skaidrs. Tagad mēs pierakstām 4 112/1000. Izmantojot algoritmu, mēs atrodam skaitļu 112 un 1000 gcd. Mūsu gadījumā tas ir skaitlis 6. Mēs iegūstam 4 14/125.
Secinājums
- Mēs sadalām frakciju veselās un daļējās daļās.
- Apskatīsim, cik ciparu ir aiz komata. Ja viens ir desmiti, divi ir simti, trīs ir tūkstošdaļas utt.
- Daļu rakstām parastā formā.
- Samaziniet daļskaitļa skaitītāju un saucēju.
- Mēs pierakstām iegūto daļu.
- Pārbaudām un sadalām augšējā daļa frakcijas līdz apakšai. Ja ir vesela skaitļa daļa, pievienojiet to iegūtajai decimāldaļai. Sākotnējā versija izrādījās lieliska, kas nozīmē, ka jūs visu izdarījāt pareizi.
Izmantojot piemērus, es parādīju, kā jūs varat pārvērst decimāldaļu par parastu daļskaitli. Kā redzat, tas ir ļoti viegli un vienkārši izdarāms.
Šķiet, ka decimāldaļas pārvēršana parastā daļskaitlī ir elementāra tēma, taču daudzi skolēni to nesaprot! Tāpēc šodien mēs detalizēti aplūkosim vairākus algoritmus vienlaikus, ar kuru palīdzību jūs sapratīsit jebkuras daļskaitļus tikai sekundē.
Atgādināšu, ka ir vismaz divas vienas un tās pašas daļskaitļa rakstīšanas formas: kopējā un decimāldaļskaitļa. Decimāldaļas ir visu veidu konstrukcijas, kuru forma ir 0,75; 1,33; un pat −7,41. Šeit ir piemēri parastajām daļskaitļiem, kas izsaka vienādus skaitļus:
Tagad izdomāsim: kā pāriet no decimāldaļas uz parasto apzīmējumu? Un pats galvenais: kā to izdarīt pēc iespējas ātrāk?
Pamatalgoritms
Faktiski ir vismaz divi algoritmi. Un mēs tagad apskatīsim abus. Sāksim ar pirmo – visvienkāršāko un saprotamāko.
Lai decimāldaļu pārvērstu par daļskaitli, jums jāveic trīs darbības:
Svarīga piezīme par negatīviem skaitļiem. Ja sākotnējā piemērā decimāldaļskaitļa priekšā ir mīnusa zīme, tad izvadā arī mīnus zīmei pirms parastās daļdaļas. Šeit ir vēl daži piemēri:
Piemēri pārejai no decimāldaļskaitļu pierakstīšanas uz parastajiem Es vēlētos pievērst īpašu uzmanību pēdējam piemēram. Kā redzat, daļa 0,0025 satur daudzas nulles aiz komata. Šī iemesla dēļ skaitītājs un saucējs ir jāreizina ar 10 pat četras reizes. Vai šajā gadījumā ir iespējams kaut kā vienkāršot algoritmu?
Protams, ka var. Un tagad mēs apskatīsim alternatīvu algoritmu - tas ir nedaudz grūtāk saprotams, bet pēc nelielas prakses tas darbojas daudz ātrāk nekā standarta.
Ātrāks veids
Šim algoritmam ir arī 3 soļi. Lai iegūtu daļu no decimāldaļas, rīkojieties šādi:
- Saskaitiet, cik ciparu ir aiz komata. Piemēram, daļai 1,75 ir divi šādi cipari, bet 0,0025 ir četri. Apzīmēsim šo daudzumu ar burtu $n$.
- Pārrakstiet sākotnējo skaitli kā daļu no formas $\frac(a)(((10)^(n)))$, kur $a$ ir visi sākotnējās daļas cipari (bez “sākuma” nullēm uz pa kreisi, ja tāds ir), un $n$ ir tāds pats ciparu skaits aiz komata, ko mēs aprēķinājām pirmajā darbībā. Citiem vārdiem sakot, sākotnējās daļas cipari ir jāsadala ar vienu, kam seko $n$ nulles.
- Ja iespējams, samaziniet iegūto frakciju.
Tas arī viss! No pirmā acu uzmetiena šī shēma ir sarežģītāka nekā iepriekšējā. Bet patiesībā tas ir gan vienkāršāk, gan ātrāk. Spriediet paši:
Kā redzat, daļā 0,64 aiz komata ir divi cipari - 6 un 4. Tātad $n=2$. Ja noņemat komatu un nulles kreisajā pusē (in šajā gadījumā— tikai viena nulle), tad iegūstam skaitli 64. Pārejam uz otro soli: $((10)^(n))=((10)^(2))=100$, tātad saucējs ir tieši simts. Nu tad atliek tikai samazināt skaitītāju un saucēju :)
Vēl viens piemērs:
Šeit viss ir nedaudz sarežģītāk. Pirmkārt, aiz komata ir jau 3 cipari, t.i. $n=3$, tāpēc jādala ar $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. Otrkārt, ja no decimāldaļas noņemam komatu, iegūstam šādu: 0,004 → 0004. Atcerieties, ka nulles kreisajā pusē ir jānoņem, tāpēc patiesībā mums ir skaitlis 4. Tad viss ir vienkārši: sadaliet, samaziniet un iegūstiet atbilde.
Visbeidzot, pēdējais piemērs:
Šīs frakcijas īpatnība ir veselas daļas klātbūtne. Tāpēc iegūtā izvade ir nepareiza daļa no 47/25. Jūs, protams, varat mēģināt dalīt 47 ar 25 ar atlikumu un tādējādi atkal izolēt visu daļu. Bet kāpēc sarežģīt savu dzīvi, ja to var izdarīt transformācijas stadijā? Nu, izdomāsim.
Ko darīt ar visu daļu
Patiesībā viss ir ļoti vienkārši: ja vēlamies iegūt pareizu daļskaitli, tad pārveidošanas laikā no tās ir jānoņem visa daļa un pēc tam, kad iegūstam rezultātu, atkal jāpievieno pa labi pirms daļskaitļa līnijas. .
Piemēram, apsveriet to pašu skaitli: 1,88. Vērtēsim ar vienu (visu daļu) un paskatīsimies uz daļskaitli 0,88. To var viegli pārveidot:
Tad mēs atceramies par “pazaudēto” vienību un pievienojam to priekšpusē:
\[\frac(22)(25)\uz 1\frac(22)(25)\]
Tas arī viss! Atbilde izrādījās tāda pati kā pēc visas daļas atlasīšanas pagājušajā reizē. Vēl pāris piemēri:
\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13.8\līdz 0.8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\līdz 13\frac(4)(5). \\\beigt(līdzināt)\]
Tas ir matemātikas skaistums: neatkarīgi no tā, uz kuru pusi jūs iet, ja visi aprēķini tiek veikti pareizi, atbilde vienmēr būs viena.
Noslēgumā es vēlētos apsvērt vēl vienu paņēmienu, kas palīdz daudziem.
Pārvērtības "pēc auss"
Padomāsim par to, kas ir pat decimāldaļa. Precīzāk, kā mēs to lasām. Piemēram, skaitlis 0,64 - mēs to lasām kā "nulles punkta 64 simtdaļas", vai ne? Nu, vai tikai "64 simtdaļas". Atslēgas vārds šeit ir “simtdaļas”, t.i. numurs 100.
Kā ar 0,004? Tas ir "nulles punkts 4 tūkstošdaļas" vai vienkārši "četras tūkstošdaļas". Tā vai citādi, atslēgvārds- “tūkstošdaļas”, t.i. 1000.
Tātad, kas ir liels darījums? Un fakts ir tāds, ka tieši šie skaitļi galu galā “uznirst” saucējos algoritma otrajā posmā. Tie. 0,004 ir “četras tūkstošdaļas” vai “4 dalīts ar 1000”:
Mēģiniet praktizēt pats - tas ir ļoti vienkārši. Galvenais ir pareizi nolasīt sākotnējo daļu. Piemēram, 2,5 ir “2 veselas, 5 desmitdaļas”, tātad
Un daži 1,125 ir “1 vesels, 125 tūkstošdaļas”, tātad
Pēdējā piemērā, protams, kāds iebildīs, sakot, ka ne katram skolēnam ir skaidrs, ka 1000 dalās ar 125. Bet šeit jāatceras, ka 1000 = 10 3 un 10 = 2 ∙ 5, tāpēc
\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]
Tādējādi jebkura desmitā pakāpe tiek sadalīta tikai 2. un 5. faktoros - tieši šie faktori ir jāmeklē skaitītājā, lai beigās viss tiktu samazināts.
Ar to nodarbība noslēdzas. Pāriesim uz sarežģītāku apgriezto darbību - skatiet "
Diezgan daudz cilvēku uzdod jautājumus par to, kā pārvērst daļskaitli aiz komata. Ir vairāki veidi. Konkrētas metodes izvēle ir atkarīga no frakcijas veida, kas jāpārvērš citā formā, vai, precīzāk, no skaitļa tā saucējā. Tomēr ticamības labad ir jānorāda, ka parastā daļa ir daļdaļa, kas tiek rakstīta ar skaitītāju un saucēju, piemēram, 1/2. Biežāk robeža starp skaitītāju un saucēju tiek novilkta horizontāli, nevis slīpi. Tiek uzrakstīta decimāldaļdaļa parastais numurs ar komatu: piemēram, 1,25; 0,35 utt.
Tātad, lai pārvērstu daļu decimāldaļā bez kalkulatora, jums ir nepieciešams:
Pievērsiet uzmanību kopīgās daļskaitļa saucējam. Ja saucēju var viegli reizināt līdz 10 ar tādu pašu skaitli kā skaitītājs, tad šī metode ir jāizmanto kā vienkāršākā. Piemēram, parasto daļskaitli 1/2 skaitītājā un saucējā viegli reizina ar 5, iegūstot skaitli 5/10, ko jau var uzrakstīt kā decimāldaļskaitli: 0,5. Šis noteikums ir balstīts uz faktu, ka decimāldaļskaitļa saucējā vienmēr ir apaļš skaitlis: 10, 100, 1000 un tamlīdzīgi. Tāpēc, ja reizina daļskaitļa skaitītāju un saucēju, tad reizināšanas rezultātā ir jāpanāk tieši tāds pats skaitlis saucējā neatkarīgi no skaitītājā iegūtā.
Ir parastās daļas, kuru aprēķināšana pēc reizināšanas rada zināmas grūtības. Piemēram, ir diezgan grūti noteikt, cik daudz jāreizina daļa 5/16, lai saucējā iegūtu kādu no iepriekš minētajiem skaitļiem. Šajā gadījumā jums vajadzētu izmantot parasto sadalījumu, kas tiek veikts kolonnā. Atbildei jābūt decimāldaļai, kas iezīmēs pārsūtīšanas darbības beigas. Iepriekš minētajā piemērā iegūtais skaitlis ir 0,3125. Ja aprēķini kolonnā ir sarežģīti, tad bez kalkulatora palīdzības neiztikt.
Visbeidzot, ir parastas daļskaitļi, kurus nevar pārvērst decimāldaļās. Piemēram, pārvēršot parasto daļskaitli 4/3, rezultāts ir 1,33333, kur trīs atkārtojas bezgalīgi. Arī kalkulators neatbrīvosies no atkārtojošajiem trīs. Šādas frakcijas ir vairākas, tās tikai jāzina. Izeja no iepriekš minētās situācijas var būt noapaļošana, ja piemēra vai risināmās problēmas nosacījumi pieļauj noapaļošanu. Ja apstākļi to neļauj un atbilde ir jāraksta precīzi decimāldaļskaitļa veidā, tas nozīmē, ka piemērs vai problēma tika atrisināta nepareizi, un, lai atrastu kļūdu, ir jāatgriežas vairākas darbības.
Tādējādi daļskaitļa pārvēršana decimāldaļā ir diezgan vienkārša, un ar šo uzdevumu nav grūti tikt galā bez kalkulatora palīdzības. Vēl vienkāršāk ir pārvērst decimāldaļskaitļus parastajās daļās, veicot apgrieztās darbības, kas aprakstītas 1. metodē.
Video: 6. klase. Daļas pārvēršana decimāldaļās.
Daļa ir skaitlis, kas sastāv no vienas vai vairākām vienībām. Matemātikā ir trīs veidu daļskaitļi: parastā, jauktā un decimāldaļskaitļa.
Kopējās frakcijas
Parasta daļa tiek uzrakstīta kā attiecība, kurā skaitītājs atspoguļo to, cik daļas ir ņemtas no skaitļa, un saucējs parāda, cik daļās vienība ir sadalīta. Ja skaitītājs mazāks par saucēju, tad mums ir pareiza daļa, piemēram: ½, 3/5, 8/9.
Ja skaitītājs ir vienāds ar saucēju vai lielāks par to, tad mums ir darīšana ar nepareizu daļskaitli. Piemēram: 5/5, 9/4, 5/2 Dalot skaitītāju, var iegūt galīgu skaitli. Piemēram, 40/8 = 5. Tāpēc jebkuru veselu skaitli var uzrakstīt kā parastu nepareizo daļskaitli vai šādu daļskaitļu virkni. Apskatīsim viena un tā paša skaitļa ierakstus vairāku dažādu veidu veidā.
- Jauktas frakcijas
IN vispārējs skats jauktu daļu var attēlot ar formulu: 
Tādējādi jaukto daļskaitli raksta kā veselu skaitli un parasto daļskaitli, un ar šādu apzīmējumu saprot veseluma un tā daļdaļas summu.
- Decimālzīmes
Decimāldaļa ir īpašs daļskaitļu veids, kurā saucēju var attēlot kā pakāpju 10. Ir bezgalīgi un galīgi decimālskaitļi. Rakstot šāda veida daļskaitli, vispirms tiek norādīta visa daļa, pēc tam ar atdalītāju (punktu vai komatu) tiek ierakstīta daļdaļa.
Daļējas daļas apzīmējumu vienmēr nosaka tās dimensija. Decimāldaļas apzīmējums izskatās šādi: 
Noteikumi konvertēšanai starp dažādiem frakciju veidiem
- Tulkošana jauktā frakcija uz parasto
Jauktu frakciju var pārvērst tikai par nepareizu frakciju. Lai tulkotu, visa daļa ir jāsadala ar tādu pašu saucēju kā daļējai daļai. Kopumā tas izskatīsies šādi: 
Apskatīsim šī noteikuma izmantošanu, izmantojot konkrētus piemērus:
- Parastās frakcijas pārvēršana jauktā frakcijā
Nepareizu daļu var pārvērst par jauktu frakciju, vienkārši dalot, kā rezultātā tiek iegūta visa daļa un atlikusī daļa (daļdaļa).
Piemēram, pārveidosim daļu 439/31 par jauktu: 
- Daļskaitļu konvertēšana
Dažos gadījumos daļskaitļa pārvēršana decimāldaļā ir pavisam vienkārša. Šajā gadījumā tiek izmantota daļskaitļa pamatīpašība: skaitītājs un saucējs tiek reizināts ar vienu un to pašu skaitli, lai dalītāju panāktu pakāpē 10.
Piemēram:
Dažos gadījumos jums var būt nepieciešams atrast koeficientu, dalot ar stūri vai izmantojot kalkulatoru. Un dažas daļskaitļus nevar samazināt līdz pēdējam decimālam. Piemēram, daļa 1/3, ja tā ir sadalīta, nekad nedos gala rezultātu.
Daļas daļas pārvēršana decimāldaļās
Pieņemsim, ka vēlamies daļskaitli 11/4 pārvērst par decimāldaļu. Vienkāršākais veids, kā to izdarīt, ir šāds:
|
2∙2∙5∙5 |
Mums izdevās, jo šajā gadījumā saucēja sadalīšana uz galvenie faktori sastāv tikai no diviem. Mēs papildinājām šo paplašinājumu ar vēl diviem pieciniekiem, izmantojām iespēju, ka 10 = 2∙5, un saņēmām decimāldaļu. Šāda procedūra acīmredzot ir iespējama tad un tikai tad, ja saucēja sadalīšana pirmfaktoros satur tikai divniekus un pieciniekus. Ja saucēja izvērsumā ir kāds cits pirmskaitlis, tad šādu daļskaitli nevar pārvērst decimāldaļā. Neskatoties uz to, mēs mēģināsim to izdarīt, bet tikai citā veidā, ar kuru mēs iepazīsimies, izmantojot tās pašas daļas 11/4 piemēru. Sadalīsim 11 ar 4, izmantojot “stūri”:
Atbildes rindā mēs saņēmām visu daļu (2), un mums ir arī atlikums (3). Iepriekš dalīšanu šeit beidzām, bet tagad zinām, ka pa labi no dividendes (11) varam pievienot komatu un vairākas nulles, ko tagad domās darīsim. Pēc komata nāk desmitā vieta. Rezultātā iegūtajam atlikumam (3) pievienojam nulli, kas parādās dividendei šajā ciparā:
Tagad sadalīšana var turpināties tā, it kā nekas nebūtu noticis. Jums tikai jāatceras atbildes rindā aiz visas daļas likt komatu:
Tagad atlikumam (2), kas atrodas dividendes simtdaļās, pievienojam nulli un pabeidzam dalīšanu:
Rezultātā mēs, tāpat kā iepriekš,
Tagad mēģināsim precīzi tādā pašā veidā aprēķināt, ar ko daļskaitlis 27/11 ir vienāds:
Atbildes rindā saņēmām skaitli 2,45, bet atlikušajā rindā - 5. Bet mēs jau esam sastapušies ar šādu palieku iepriekš. Tāpēc uzreiz varam teikt, ka, ja turpināsim dalījumu ar “stūri”, tad nākamais cipars atbildes rindā būs 4, tad nāks cipars 5, tad atkal 4 un atkal 5, un tā tālāk bezgalīgi. :
27 / 11 = 2,454545454545...
Mēs saņēmām t.s periodiski decimāldaļdaļa ar punktu 45. Šādām daļdaļām izmanto kompaktāku apzīmējumu, kurā punktu raksta tikai vienu reizi, bet to liek iekavās:
2,454545454545... = 2,(45).
Vispārīgi runājot, ja jūs sadalāt vienu lietu "stūrī" dabiskais skaitlis no otras puses, rakstot atbildi decimāldaļskaitļa veidā, tad ir iespējami tikai divi iznākumi: (1) vai nu agri vai vēlu atlikušajā rindā iegūsim nulli, (2) vai arī būs atlikums, ko mēs jau ir sastapušies iepriekš (iespējamo atlikumu kopums ir ierobežots, jo tie visi acīmredzami mazāks par dalītāju). Pirmajā gadījumā dalīšanas rezultāts ir ierobežota decimāldaļdaļa, otrajā gadījumā - periodiska.
Konvertējiet periodisko decimāldaļu par daļskaitli
Piešķirsim pozitīvu periodisku decimālo daļu ar nulles veselu skaitļu daļu, piemēram:
a = 0,2(45).
Kā es varu pārvērst šo daļskaitli atpakaļ parastā daļskaitlī?
Sareizināsim to ar 10 k, Kur k ir ciparu skaits starp decimālzīmi un sākuma iekavām, kas norāda perioda sākumu. Šajā gadījumā k= 1 un 10 k = 10:
a∙ 10 k = 2,(45).
Reiziniet rezultātu ar 10 n, Kur n- perioda “garums”, tas ir, iekavās ievietoto ciparu skaits. Šajā gadījumā n= 2 un 10 n = 100:
a∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).
Tagad aprēķināsim starpību
a∙ 10 k ∙ 10 n − a∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).
Tā kā minuend un apakšdaļas daļdaļas ir vienādas, tad atšķirības daļdaļa ir vienāda ar nulli, un mēs nonākam pie vienkāršs vienādojums relatīvi a:
a∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.
Šis vienādojums tiek atrisināts, izmantojot šādas transformācijas:
a∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.
a∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.
|
245 − 2 |
||
|
10 ∙ 99 |
Mēs apzināti vēl nepabeidzam aprēķinus, lai būtu skaidri redzams, kā šo rezultātu var uzreiz pierakstīt, izlaižot starpargumentus. Skaitītāja minuend (245) ir skaitļa daļēja daļa
a = 0,2(45)
ja izdzēsīsiet iekavas viņas ierakstā. Skaitītājā (2) esošā apakšdaļa ir skaitļa neperiodiskā daļa A, kas atrodas starp komatu un sākuma iekavām. Pirmais faktors saucējā (10) ir mērvienība, kurai tiek piešķirts tik nulles, cik ciparu ir neperiodiskajā daļā ( k). Otrais faktors saucējā (99) ir tik daudz deviņu, cik ciparu ir periodā ( n).
Tagad mūsu aprēķinus var pabeigt:
Šeit skaitītājs satur periodu, un saucējs satur tik daudz deviņu, cik ciparu ir periodā. Pēc samazināšanas par 9 iegūtā daļa ir vienāda ar
Tādā pašā veidā