Kas ir dabiski un nedabiski? veseli skaitļi? Kā bērnam, vai varbūt ne bērnam, izskaidrot, kādas ir viņu atšķirības? Izdomāsim. Cik zināms, 5. klasē mācās nedabiskos un naturālos skaitļus, un mūsu mērķis ir izskaidrot skolēniem, lai viņi tiešām saprastu un uzzinātu, kas un kā.
Stāsts
Dabiskie skaitļi ir viens no vecākajiem jēdzieniem. Sen, kad cilvēki vēl nemācēja skaitīt un nebija ne jausmas par skaitļiem, kad vajadzēja kaut ko saskaitīt, piemēram, zivis, dzīvniekus, viņi izsita punktus vai svītras uz dažādiem priekšmetiem, kā vēlāk noskaidroja arheologi. . Dzīve viņiem tajā laikā bija ļoti grūta, taču civilizācija vispirms attīstījās pēc romiešu skaitļu sistēmas un pēc tam uz decimālo skaitļu sistēmu. Mūsdienās gandrīz visi lieto arābu ciparus
Viss par naturālajiem skaitļiem
Dabiskie skaitļi ir pirmskaitļi, kurus mēs ikdienā lietojam, lai skaitītu objektus, lai noteiktu daudzumu un secību. Pašlaik skaitļu rakstīšanai izmantojam decimālo skaitļu sistēmu. Lai pierakstītu jebkuru skaitli, mēs izmantojam desmit ciparus - no nulles līdz deviņiem.
Dabiskie skaitļi ir tie skaitļi, kurus mēs izmantojam, skaitot objektus vai norādot kaut kā sērijas numuru. Piemērs: 5, 368, 99, 3684.
Skaitļu sērija attiecas uz naturāliem skaitļiem, kas ir sakārtoti augošā secībā, t.i. no viena līdz bezgalībai. Šāda sērija sākas ar mazāko skaitli - 1, un nav lielākā dabiskā skaitļa, jo skaitļu sērija ir vienkārši bezgalīga.
Kopumā nulle netiek uzskatīta par naturālu skaitli, jo tas nozīmē, ka kaut kā nav, un arī objekti netiek skaitīti
Arābu skaitļu sistēma ir moderna sistēma, ko lietojam katru dienu. Tas ir indiešu valodas (decimāldaļas) variants.
Šī skaitļu sistēma kļuva moderna skaitļa 0 dēļ, kuru izgudroja arābi. Pirms šī iekšā Indijas sistēma viņa nebija klāt.
Nedabiski skaitļi. Kas tas ir?
Dabiskie skaitļi neietver negatīvus skaitļus vai neveselus skaitļus. Tas nozīmē, ka tie ir - nedabiski skaitļi
Zemāk ir piemēri.
Nedabiski skaitļi ir:
- Negatīvie skaitļi, piemēram: -1, -5, -36.. un tā tālāk.
- Racionālie skaitļi, kas izteikti decimāldaļās: 4,5, -67, 44,6.
- Vienkāršas daļas veidā: 1/2, 40 2/7 utt.
Iracionāli skaitļi, piemēram, e = 2,71828, √2 = 1,41421 un tamlīdzīgi.
Mēs ceram, ka esam ļoti palīdzējuši jums izprast nedabiskus un naturālus skaitļus. Tagad jums būs vieglāk izskaidrot šo tēmu savam mazulim, un viņš to apgūs tāpat kā lieliskie matemātiķi!
Dabiskie skaitļi cilvēkiem ir pazīstami un intuitīvi, jo tie mūs ieskauj kopš bērnības. Zemāk esošajā rakstā sniegsim pamata izpratni par naturālo skaitļu nozīmi un aprakstīsim to rakstīšanas un lasīšanas pamatprasmes. Visa teorētiskā daļa tiks papildināta ar piemēriem.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Vispārīga izpratne par naturālajiem skaitļiem
Noteiktā cilvēces attīstības posmā radās uzdevums saskaitīt noteiktus objektus un noteikt to daudzumu, kas, savukārt, prasīja atrast instrumentu šīs problēmas risināšanai. Dabiskie skaitļi kļuva par šādu rīku. Ir arī skaidrs, ka naturālo skaitļu galvenais mērķis ir sniegt priekšstatu par objektu skaitu vai konkrēta objekta sērijas numuru, ja mēs runājam par kopu.
Loģiski, ka, lai cilvēks lietotu naturālos skaitļus, ir nepieciešams veids, kā tos uztvert un reproducēt. Tādējādi naturālu skaitli var izrunāt vai attēlot, kas ir dabiski informācijas pārraides veidi.
Apskatīsim naturālu skaitļu izrunāšanas (lasīšanas) un attēlošanas (rakstīšanas) pamatprasmes.
Naturāla skaitļa decimālais apzīmējums
Atcerēsimies, kā tiek attēlotas šādas rakstzīmes (norādīsim tās atdalot ar komatiem): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Mēs saucam šīs zīmes par cipariem.
Tagad pieņemsim, ka, attēlojot (ierakstot) jebkuru naturālu skaitli, tiek izmantoti tikai norādītie skaitļi bez citu simbolu līdzdalības. Lai cipariem, rakstot naturālu skaitli, ir vienāds augstums, tie tiek ierakstīti rindā viens pēc otra un pa kreisi vienmēr ir kāds cipars, kas nav nulle.
Norādīsim naturālu skaitļu pareizas pierakstīšanas piemērus: 703, 881, 13, 333, 1 023, 7, 500 001. Atstarpes starp skaitļiem ne vienmēr ir vienādas, tas tiks sīkāk apspriests tālāk, pētot skaitļu klases. Dotie piemēri parāda, ka, rakstot naturālu skaitli, visiem cipariem no iepriekšminētās sērijas nav obligāti jābūt. Dažus vai visus no tiem var atkārtot.
1. definīcija
Formas ieraksti: 065, 0, 003, 0791 nav naturālu skaitļu ieraksti, jo Kreisajā pusē ir skaitlis 0.
Tiek izsaukts pareizs naturālā skaitļa ieraksts, kas veikts, ņemot vērā visas aprakstītās prasības naturāla skaitļa decimālzīme.
Naturālo skaitļu kvantitatīvā nozīme
Kā jau minēts, naturāliem skaitļiem cita starpā sākotnēji ir kvantitatīva nozīme. Naturālie skaitļi kā numerācijas rīks ir apskatīti tēmā par naturālo skaitļu salīdzināšanu.
Pārejam pie naturāliem skaitļiem, kuru ieraksti sakrīt ar ciparu ierakstiem, t.i.: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Iedomāsimies noteiktu objektu, piemēram, šādi: Ψ. Mēs varam pierakstīt to, ko mēs redzam 1 lieta. Dabiskais skaitlis 1 tiek lasīts kā "viens" vai "viens". Jēdzienam "vienība" ir arī cita nozīme: kaut kas tāds, ko var uzskatīt par vienotu veselumu. Ja ir komplekts, tad jebkuru tā elementu var apzīmēt kā vienu. Piemēram, no peles kopas jebkura pele ir viena; jebkurš zieds no ziedu kopas ir viens.
Tagad iedomājieties: Ψ Ψ . Mēs redzam vienu objektu un otru objektu, t.i. ierakstā tas būs 2 priekšmeti. Dabiskais skaitlis 2 tiek lasīts kā "divi".
Turklāt pēc analoģijas: Ψ Ψ Ψ – 3 vienības (“trīs”), Ψ Ψ Ψ Ψ – 4 (“četri”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 5 (“pieci”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 6 (“seši”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 7 (“septiņi”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 8 (“astoņi”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ (“Ψ – 9”) deviņi").
No norādītās pozīcijas naturāla skaitļa funkcija ir norādīt daudzumus preces.
1. definīcija
Ja skaitļa ieraksts sakrīt ar skaitļa 0 ierakstu, tad šāds skaitlis tiek izsaukts "nulle". Nulle nav naturāls skaitlis, bet tiek uzskatīts kopā ar citiem naturāliem skaitļiem. Nulle apzīmē prombūtni, t.i. nulle vienumu nozīmē, ka nav.
Viencipara naturālie skaitļi
Ir acīmredzams fakts, ka, rakstot katru no iepriekš apskatītajiem naturālajiem skaitļiem (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), mēs izmantojam vienu zīmi - vienu ciparu.
2. definīcija
Viencipara naturāls skaitlis– naturāls skaitlis, ko raksta ar vienu zīmi – vienu ciparu.
Ir deviņi viencipara naturālie skaitļi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Divciparu un trīsciparu naturālie skaitļi
3. definīcijaDivciparu naturālie skaitļi- naturālie skaitļi, rakstot, kuras tiek izmantotas divas zīmes - divi cipari. Šajā gadījumā izmantotie skaitļi var būt vienādi vai atšķirīgi.
Piemēram, naturālie skaitļi 71, 64, 11 ir divciparu.
Apsvērsim, kāda nozīme ir ietverta divciparu skaitļos. Mēs paļausimies uz mums jau zināmo viencipara naturālo skaitļu kvantitatīvo nozīmi.
Ieviesīsim tādu jēdzienu kā “desmit”.
Iedomāsimies objektu kopu, kas sastāv no deviņiem un vēl viena. Šajā gadījumā mēs varam runāt par 1 desmit (“viens ducis”) objektiem. Ja jūs iedomājaties vienu desmitnieku un vēl vienu, tad mēs runājam par 2 desmitiem (“divi desmiti”). Diviem desmitiem pievienojot vēl vienu, iegūstam trīs desmitniekus. Un tā tālāk: turpinot pieskaitīt pa vienam desmitniekam, mēs iegūsim četrus desmitniekus, piecus desmitniekus, sešus desmitniekus, septiņus desmitniekus, astoņus desmitniekus un, visbeidzot, deviņus desmitniekus.
Apskatīsim divciparu skaitlis, kā vienciparu skaitļu kopa, no kuriem viens ir rakstīts labajā, otrs kreisajā pusē. Cipars kreisajā pusē norādīs desmitnieku skaitu naturālā skaitļā, bet labajā pusē - vienību skaitu. Gadījumā, ja skaitlis 0 atrodas labajā pusē, mēs runājam par vienību neesamību. Iepriekš minētais ir divciparu naturālu skaitļu kvantitatīva nozīme. Kopā to ir 90.
4. definīcija
Trīsciparu naturālie skaitļi- naturālie skaitļi, rakstot, kuras trīs zīmes tiek izmantotas - trīs cipari. Cipari var būt dažādi vai atkārtoties jebkurā kombinācijā.
Piemēram, 413, 222, 818, 750 ir trīsciparu naturāli skaitļi.
Lai saprastu trīsciparu naturālu skaitļu kvantitatīvo nozīmi, mēs ieviešam jēdzienu "simts".
5. definīcija
Simts (1 simts) ir komplekts, kas sastāv no desmit desmitiem. Simts un vēl simts veido 2 simtus. Pievienojiet vēl vienu simtu un iegūstiet 3 simtus. Pakāpeniski pieskaitot pa simtam, iegūstam: četrsimt, piecsimt, sešsimt, septiņsimt, astoņsimt, deviņsimt.
Apskatīsim pašu trīsciparu skaitļa apzīmējumu: tajā iekļautie viencipara naturālie skaitļi tiek rakstīti viens pēc otra no kreisās uz labo pusi. Labākais viencipara skaitlis norāda vienību skaitu; nākamais viencipara skaitlis pa kreisi ir ar desmitiem; galējais kreisais viencipara skaitlis ir simtos. Ja ierakstā ir skaitlis 0, tas norāda uz vienību un/vai desmitnieku neesamību.
Tādējādi trīsciparu naturālais skaitlis 402 nozīmē: 2 vienības, 0 desmitniekus (nav desmitu, kas nav apvienoti simtos) un 4 simtus.
Pēc analoģijas ir dota četrciparu, piecciparu un tā tālāk naturālo skaitļu definīcija.
Daudzciparu naturālie skaitļi
No visa iepriekš minētā tagad ir iespējams pāriet uz daudzvērtīgu naturālu skaitļu definīciju.
6. definīcija
Daudzciparu naturālie skaitļi– naturālie skaitļi, rakstot, kuras ir izmantotas divas vai vairākas rakstzīmes. Daudzciparu naturālie skaitļi ir divciparu, trīsciparu un tā tālāk skaitļi.
Viens tūkstotis ir komplekts, kurā ietilpst desmit simti; viens miljons sastāv no tūkstoš tūkstošiem; viens miljards – tūkstotis miljoni; viens triljons – tūkstotis miljards. Arī lielākiem komplektiem ir nosaukumi, taču to lietošana ir reta.
Līdzīgi iepriekšminētajam principam, jebkuru daudzciparu naturālu skaitli varam uzskatīt par viencipara naturālu skaitļu kopu, no kuriem katrs, atrodoties noteiktā vietā, norāda uz vienību esamību un skaitu, desmitiem, simtiem, tūkstošiem, desmitiem. no tūkstošiem, simtiem tūkstošu, miljoniem, desmitiem miljonu, simtiem miljonu, miljardu un tā tālāk (attiecīgi no labās uz kreiso).
Piemēram, daudzciparu skaitlis 4 912 305 satur: 5 vienības, 0 desmiti, trīs simti, 2 tūkstoši, 1 desmit tūkstoši, 9 simti tūkstoši un 4 miljoni.
Rezumējot, mēs apskatījām prasmi grupēt vienības dažādās kopās (desmitos, simtos utt.) un redzējām, ka skaitļi daudzciparu naturāla skaitļa apzīmējumā norāda vienību skaitu katrā no šādām kopām.
Lasīt naturālus skaitļus, klases
Iepriekš minētajā teorijā mēs norādījām naturālo skaitļu nosaukumus. 1. tabulā mēs norādām, kā pareizi lietot viencipara naturālo skaitļu nosaukumus runā un burtu rakstīšanā:
| Numurs | Vīrišķīgs | Sievišķīgs | Neitrs dzimums |
|
1 |
Viens |
Viens |
Viens |
| Numurs | Nominatīvais gadījums | Ģenitīvs | Datīvs | Akuzatīvs | Instrumentālais futrālis | Priekšnosacījums |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
Viens Divas Trīs Četri Pieci Seši Septiņi Astoņi Deviņi |
Viens Divas Trīs Četri Pieci Seši Semi Astoņi Deviņi |
Vienatnē Divas Trīs Četri Pieci Seši Semi Astoņi Deviņi |
Viens Divas Trīs Četri Pieci Seši Septiņi Astoņi Deviņi |
Viens Divas Trīs Četri Pieci Seši Ģimene Astoņi Deviņi |
Par vienu lietu Par diviem Apmēram trīs Apmēram četras Atkal Apmēram seši Apmēram septiņi Apmēram astoņi Apmēram deviņi |
Lai pareizi nolasītu un rakstītu divciparu skaitļus, jums jāiegaumē 2. tabulas dati:
| Numurs |
Vīrišķais, sievišķais un neitrālais dzimums |
| 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 |
Desmit Vienpadsmit Divpadsmit Trīspadsmit Četrpadsmit Piecpadsmit Sešpadsmit Septiņpadsmit Astoņpadsmit Deviņpadsmit Divdesmit Trīsdesmit Četrdesmit Piecdesmit Sešdesmit Septiņdesmit Astoņdesmit Deviņdesmit |
| Numurs | Nominatīvais gadījums | Ģenitīvs | Datīvs | Akuzatīvs | Instrumentālais futrālis | Priekšnosacījums |
| 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 |
Desmit Vienpadsmit Divpadsmit Trīspadsmit Četrpadsmit Piecpadsmit Sešpadsmit Septiņpadsmit Astoņpadsmit Deviņpadsmit Divdesmit Trīsdesmit Četrdesmit Piecdesmit Sešdesmit Septiņdesmit Astoņdesmit Deviņdesmit |
Desmit |
Desmit Vienpadsmit Divpadsmit Trīspadsmit Četrpadsmit Piecpadsmit Sešpadsmit Septiņpadsmit Astoņpadsmit Deviņpadsmit Divdesmit Trīsdesmit Magpie Piecdesmit Sešdesmit Septiņdesmit Astoņdesmit Deviņdesmit |
Desmit Vienpadsmit Divpadsmit Trīspadsmit Četrpadsmit Piecpadsmit Sešpadsmit Septiņpadsmit Astoņpadsmit Deviņpadsmit Divdesmit Trīsdesmit Četrdesmit Piecdesmit Sešdesmit Septiņdesmit Astoņdesmit Deviņdesmit |
Desmit Vienpadsmit divpadsmit Trīspadsmit Četrpadsmit Piecpadsmit Sešpadsmit Septiņpadsmit Astoņpadsmit Deviņpadsmit Divdesmit Trīsdesmit Magpie Piecdesmit sešdesmit Septiņdesmit Astoņdesmit deviņpadsmit |
Apmēram desmit Apmēram vienpadsmit Apmēram divpadsmit Apmēram trīspadsmit Apmēram četrpadsmit Apmēram piecpadsmit Apmēram sešpadsmit Apmēram septiņpadsmit Apmēram astoņpadsmit Apmēram deviņpadsmit Apmēram divdesmit Apmēram trīsdesmit Ak varene Apmēram piecdesmit Apmēram sešdesmit Apmēram septiņdesmit Apmēram astoņdesmit Ak, deviņdesmit |
Lai nolasītu citus divciparu naturālus skaitļus, mēs izmantosim datus no abām tabulām, mēs to aplūkosim ar piemēru. Pieņemsim, ka mums ir jānolasa divciparu naturālais skaitlis 21. Šis skaitlis satur 1 vienību un 2 desmitus, t.i. 20 un 1. Pievēršoties tabulām, norādīto skaitli lasām kā “divdesmit viens”, savukārt savienojums “un” starp vārdiem nav jāizrunā. Pieņemsim, ka mums ir jāizmanto norādītais skaitlis 21 noteiktā teikumā, norādot objektu skaitu ģenitīvs gadījums: "nav 21 ābola." skaņa iekšā šajā gadījumā izruna būs šāda: "nav divdesmit viens ābols."
Skaidrības labad sniegsim vēl vienu piemēru: skaitli 76, kas tiek lasīts kā “septiņdesmit sešas” un, piemēram, “septiņdesmit sešas tonnas”.
| Numurs | Nominatīvs | Ģenitīvs | Datīvs | Akuzatīvs | Instrumentālais futrālis | Priekšnosacījums |
| 100 200 300 400 500 600 700 800 900 |
Simts Divi simti Trīs simti Četri simti Pieci simti Seši simti Septiņi simti Astoņi simti Deviņi simti |
simts Divi simti Trīs simti Četri simti Pieci simti Seši simti Septiņi simti Astoņi simti Deviņi simti |
simts Divi simti Trīs simti Četri simti Pieci simti Seši simti Semistam Astoņi simti Deviņi simti |
Simts Divi simti Trīs simti Četri simti Pieci simti Seši simti Septiņi simti Astoņi simti Deviņi simti |
simts Divi simti Trīs simti Četri simti Pieci simti Seši simti Septiņi simti Astoņi simti Deviņi simti |
Ak simts Apmēram divi simti Apmēram trīs simti Apmēram četri simti Apmēram pieci simti Apmēram seši simti Apmēram septiņi simti Apmēram astoņi simti Apmēram deviņi simti |
Lai pilnībā nolasītu trīsciparu skaitli, mēs izmantojam arī datus no visām norādītajām tabulām. Piemēram, ņemot vērā naturālo skaitli 305. Šis numurs atbilst 5 vienībām, 0 desmitiem un 3 simtiem: 300 un 5. Par pamatu ņemot tabulu, mēs lasām: “trīs simti pieci” vai deklinācijā pa gadījumam, piemēram, šādi: “trīs simti pieci metri”.
Izlasīsim vēl vienu skaitli: 543. Saskaņā ar tabulu noteikumiem norādītais skaitlis skanēs šādi: “pieci simti četrdesmit trīs” vai deklinācijā atkarībā no gadījumiem, piemēram: “nav pieci simti četrdesmit trīs rubļu”.
Pāriesim pie vispārējs princips daudzciparu naturālu skaitļu lasīšana: lai nolasītu daudzciparu skaitli, tas jāsadala no labās puses uz kreiso trīs ciparu grupās, un galējā kreisajā grupā var būt 1, 2 vai 3 cipari. Šādas grupas sauc par klasēm.
Vislabākā klase ir vienību klase; tad nākamā klase, pa kreisi - tūkstošu klase; tālāk – miljonu šķira; tad nāk miljardu klase, kam seko triljonu klase. Turpmākajām klasēm ir arī nosaukums, bet naturālie skaitļi, kas sastāv no liela skaita rakstzīmju (16, 17 un vairāk), lasīšanā tiek izmantoti reti, un tos ir diezgan grūti uztvert no auss.
Lai ieraksts būtu vieglāk lasāms, klases viena no otras ir atdalītas ar nelielu atkāpi. Piemēram, 31 013 736, 134 678, 23 476 009 434, 2 533 467 001 222.
| Klase triljoni |
Klase miljardiem |
Klase miljoniem |
Tūkstošu klase | Vienības klase |
| 134 | 678 | |||
| 31 | 013 | 736 | ||
| 23 | 476 | 009 | 434 | |
| 2 | 533 | 467 | 001 | 222 |
Lai nolasītu daudzciparu skaitli, mēs saucam tos skaitļus pa vienam (no kreisās uz labo pa klasēm, pievienojot klases nosaukumu). Vienību klases nosaukums netiek izrunāts, un netiek izrunātas arī tās klases, kas veido trīs ciparus 0. Ja vienā klasē kreisajā pusē ir viens vai divi cipari 0, tad lasot tos nekādā veidā neizmanto. Piemēram, 054 tiks lasīts kā "piecdesmit četri" vai 001 kā "viens".
1. piemērs
Apskatīsim sīkāk skaitļa 2 533 467 001 222 nolasījumu:
Mēs lasām skaitli 2 kā triljonu klases sastāvdaļu - “divi”;
Pievienojot klases nosaukumu, iegūstam: “divi triljoni”;
Mēs lasām nākamo skaitli, pievienojot atbilstošās klases nosaukumu: “pieci simti trīsdesmit trīs miljardi”;
Mēs turpinām pēc analoģijas, lasot nākamo klasi pa labi: “četri simti sešdesmit septiņi miljoni”;
Nākamajā klasē mēs redzam divus ciparus 0, kas atrodas kreisajā pusē. Saskaņā ar iepriekš minētajiem nolasīšanas noteikumiem cipari 0 tiek izmesti un nepiedalās ieraksta nolasīšanā. Tad mēs iegūstam: “viens tūkstotis”;
Mēs lasījām pēdējo vienību klasi, nepievienojot tās nosaukumu - “divi simti divdesmit divi”.
Tādējādi skaitlis 2 533 467 001 222 skanēs šādi: divi triljoni pieci simti trīsdesmit trīs miljardi četri simti sešdesmit septiņi miljoni viens tūkstotis divi simti divdesmit divi. Izmantojot šo principu, mēs nolasīsim citus dotos skaitļus:
31 013 736 – trīsdesmit viens miljons trīspadsmit tūkstoši septiņi simti trīsdesmit seši;
134 678 – simts trīsdesmit četri tūkstoši seši simti septiņdesmit astoņi;
23 476 009 434 – divdesmit trīs miljardi četri simti septiņdesmit seši miljoni deviņi tūkstoši četri simti trīsdesmit četri.
Tādējādi pamats pareizai lasīšanai daudzciparu skaitļi ir prasme sadalīt daudzciparu skaitli klasēs, atbilstošo nosaukumu zināšanas un izpratne par divciparu un trīsciparu skaitļu lasīšanas principu.
Kā jau ir skaidrs no visa iepriekš minētā, tā vērtība ir atkarīga no pozīcijas, kurā cipars parādās skaitļa apzīmējumā. Tas ir, piemēram, skaitlis 3 dabiskajā skaitlī 314 norāda simtu skaitu, proti, 3 simtus. Skaitlis 2 ir desmitu skaits (1 desmit), un skaitlis 4 ir vienību skaits (4 vienības). Šajā gadījumā mēs teiksim, ka cipars 4 atrodas vieninieku vietā un ir vieninieku vērtība dotajā ciparā. Skaitlis 1 atrodas desmitnieku vietā un kalpo kā desmitnieku vietas vērtība. Skaitlis 3 atrodas simtu vietā un ir simtu vietas vērtība.
7. definīcija
Izlāde- šī ir cipara pozīcija naturāla skaitļa apzīmējumā, kā arī šī cipara vērtība, ko nosaka tā atrašanās vieta dotajā skaitlī.
Kategorijām ir savi nosaukumi, mēs tos jau izmantojām iepriekš. No labās puses uz kreiso ir cipari: vienības, desmiti, simti, tūkstoši, desmiti tūkstoši utt.
Lai atvieglotu atcerēšanos, varat izmantot šo tabulu (norādām 15 ciparus):
Precizēsim šo detaļu: ciparu skaits dotajā daudzciparu skaitļā ir tāds pats kā rakstzīmju skaits skaitļa apzīmējumā. Piemēram, šajā tabulā ir norādīti skaitļa ar 15 cipariem visu ciparu nosaukumi. Arī turpmākajām izlādēm ir nosaukumi, taču tās tiek izmantotas ārkārtīgi reti un ir ļoti neērti dzirdamas.
Ar šādas tabulas palīdzību ir iespējams attīstīt prasmi noteikt ciparu, ierakstot tabulā doto naturālo skaitli tā, lai vienību ciparā un pēc tam katrā ciparā tiktu ierakstīts galējais labējais cipars. Piemēram, ierakstīsim daudzciparu naturālo skaitli 56 402 513 674 šādi:
Pievērsiet uzmanību skaitlim 0, kas atrodas desmitiem miljonu ciparā - tas nozīmē, ka šī cipara vienību nav.
Ieviesīsim arī daudzciparu skaitļa zemāko un augstāko ciparu jēdzienus.
8. definīcija
Zemākais (junioru) rangs jebkura daudzciparu naturālā skaitļa – vienību cipars.
Augstākā (vecākā) kategorija jebkura daudzciparu naturāla skaitļa – cipars, kas atbilst galējam kreisajam ciparam dotā skaitļa apzīmējumā.
Tā, piemēram, skaitlī 41 781: zemākais cipars ir vieninieks; Augstākais rangs ir desmitiem tūkstošu rangs.
Loģiski izriet, ka var runāt par ciparu stāžu attiecībā pret otru. Katrs nākamais cipars, pārvietojoties no kreisās puses uz labo, ir zemāks (jaunāks) nekā iepriekšējais. Un otrādi: pārejot no labās puses uz kreiso, katrs nākamais cipars ir augstāks (vecāks) par iepriekšējo. Piemēram, tūkstošu vieta ir vecāka par simtu vietu, bet jaunāka par miljonu vietu.
Precizēsim, ka, risinot dažus praktiskus piemērus, tiek izmantots nevis pats naturālais skaitlis, bet gan dotā skaitļa ciparu vārdu summa.
Īsumā par decimālo skaitļu sistēmu
9. definīcijaApzīmējums– skaitļu rakstīšanas metode, izmantojot zīmes.
Pozīciju skaitļu sistēmas– tie, kuros cipara nozīme skaitļā ir atkarīga no tā atrašanās vietas skaitļa ierakstā.
Saskaņā ar šī definīcija, mēs varam teikt, ka, pētot naturālos skaitļus un to rakstīšanas veidu, mēs izmantojām pozicionālo skaitļu sistēmu. Skaitlis 10 šeit ieņem īpašu vietu. Skaitām desmitos: desmit vienības veido desmit, desmit desmiti apvienosies simtā utt. Skaitlis 10 kalpo par šīs skaitļu sistēmas pamatu, un pati sistēma tiek saukta arī par decimālo.
Papildus tam ir arī citas skaitļu sistēmas. Piemēram, datorzinātnēs tiek izmantota binārā sistēma. Kad mēs sekojam līdzi laikam, mēs izmantojam sešsimtālo skaitļu sistēmu.
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Definīcija
Dabiskie skaitļi ir skaitļi, kas paredzēti objektu skaitīšanai. Lai ierakstītu naturālus skaitļus, tiek izmantoti 10 arābu cipari (0–9), kas veido pamatu matemātiskos aprēķinos vispārpieņemtajai decimālskaitļu sistēmai.
Naturālo skaitļu secība
Dabiskie skaitļi veido virkni, kas sākas ar 1 un aptver visu pozitīvo veselo skaitļu kopu. Šī secība sastāv no skaitļiem 1,2,3,... Tas nozīmē, ka dabiskajā sērijā:
- Ēst mazākais skaitlis un nav lielākais.
- Katrs nākamais skaitlis ir par 1 lielāks par iepriekšējo (izņemot pašu vienību).
- Tā kā skaitļiem ir tendence sasniegt bezgalību, tie aug bez ierobežojumiem.
Dažreiz 0 tiek ievadīts naturālu skaitļu sērijā. Tas ir pieņemams, un tad viņi runā par to paplašināts dabiska sērija.
Naturālo skaitļu klases
Katrs naturāla skaitļa cipars izsaka noteiktu ciparu. Pēdējā vienmēr ir skaitļa vienību skaits, iepriekšējā pirms tā ir desmitnieku skaits, trešā no beigām ir simtu skaits, ceturtā ir tūkstošu skaits utt.
- 276. skaitā: 2 simti, 7 desmiti, 6 vieninieki
- skaitlī 1098: 1 tūkstotis, 9 desmitnieki, 8 vieninieki; Šeit trūkst simtu vietas, jo tā ir izteikta kā nulle.
Lieliem un ļoti lieliem skaitļiem var redzēt stabilu tendenci (ja pārbaudāt skaitli no labās puses uz kreiso, tas ir, no pēdējā cipara līdz pirmajam):
- skaitļa pēdējie trīs cipari ir vienības, desmiti un simti;
- iepriekšējās trīs ir vienības, desmiti un simti tūkstoši;
- trīs priekšā (t.i., skaitļa 7., 8. un 9. cipars, skaitot no beigām) ir vienības, desmiti un simti miljoni utt.
Tas ir, katru reizi, kad mums ir darīšana ar trīs cipariem, kas nozīmē vienības, desmitiem un simtiem lielāku nosaukumu. Šādas grupas veido klases. Un ja ar pirmajām trīs klasēm iekšā Ikdiena jāsastopas biežāk vai retāk, tad jāuzskaita citi, jo ne visi atceras savus vārdus no galvas.
- 4. klasi, kas seko miljonu klasei un apzīmē 10-12 ciparu skaitļus, sauc par miljardu (vai miljardu);
- 5. klase – triljons;
- 6. klase – kvadriljons;
- 7. klase – kvintiljons;
- 8. klase – sekstiljons;
- 9. klase – septiljons.
Naturālo skaitļu saskaitīšana
Dabisku skaitļu saskaitīšana ir aritmētiska darbība, kas ļauj iegūt skaitli, kas satur tādu pašu vienību skaitu, kāds ir kopā saskaitāmajos skaitļos.
Papildinājuma zīme ir “+” zīme. Saskaitītos skaitļus sauc par saskaitījumiem, un iegūto rezultātu sauc par summu.
Nelielus skaitļus saskaita (sumē) rakstiski, šādas darbības pieraksta uz rindas.
Daudzciparu skaitļi, kurus ir grūti pievienot galvā, parasti tiek pievienoti kolonnā. Lai to izdarītu, skaitļi tiek rakstīti viens zem otra, izlīdzināti pēc pēdējā cipara, tas ir, tie raksta vieniniekus zem vienību vietas, simtus vietu zem simtiem un tā tālāk. Tālāk jums jāpievieno cipari pa pāriem. Ja ciparu pievienošana notiek ar pāreju caur desmitnieku, tad šis desmitnieks tiek fiksēts kā vienība virs cipara kreisajā pusē (tas ir, nākamā) un tiek summēts kopā ar šī cipara cipariem.
Ja kolonna saskaita nevis 2, bet vairāk skaitļu, tad, summējot vietas ciparus, lieki var būt nevis 1 desmit, bet vairāki. Šajā gadījumā šādu desmitnieku skaits tiek pārsūtīts uz nākamo ciparu.
Dabisko skaitļu atņemšana
Atņemšana ir aritmētiska darbība, saskaitīšanas apgrieztā vērtība, kas izpaužas kā fakts, ka no pieejamās summas un viena no terminiem ir jāatrod cits - nezināms termins. Skaitli, no kura tas tiek atņemts, sauc par minuend; skaitlis, kas tiek atņemts, ir atņemams. Atņemšanas rezultātu sauc par starpību. Zīme, ko izmanto, lai apzīmētu atņemšanas darbību, ir “–”.
Pārejot uz saskaitīšanu, apakšdaļa un atšķirība pārvēršas par saskaitījumiem, bet minuend pārvēršas par summu. Saskaitīšanu parasti izmanto, lai pārbaudītu atņemšanas pareizību, un otrādi.
Šeit 74 ir mazā daļa, 18 ir apakšrinda, 56 ir atšķirība.
Priekšnoteikums naturālu skaitļu atņemšanai ir šāds: minuend ir jābūt lielākam par atņemšanas daļu. Tikai šajā gadījumā iegūtā starpība arī būs naturāls skaitlis. Ja atņemšanas darbība tiek veikta paplašinātajam dabiska sērija, tad ir atļauts, ka minuend ir vienāds ar apakšrindu. Un atņemšanas rezultāts šajā gadījumā būs 0.
Piezīme: ja atņemšanas daļa ir vienāda ar nulli, tad atņemšanas darbība nemaina minuend vērtību.
Daudzciparu skaitļu atņemšana parasti tiek veikta kolonnā. Cipari tiek rakstīti tāpat kā saskaitīšanai. Atbilstošajiem cipariem tiek veikta atņemšana. Ja izrādās, ka minuend ir mazāks par apakšrindu, tad no iepriekšējā (atrodas kreisajā pusē) cipara ņem vienu, kas pēc pārsūtīšanas dabiski pārvēršas par 10. Šo desmitnieku summē ar dotā cipara skaitli. tiek iegūta un pēc tam tiek veikta atņemšana. Pēc tam, atņemot nākamo ciparu, noteikti ņemiet vērā, ka samazināmais ir kļuvis par 1 mazāks.
Naturālo skaitļu reizinājums
Naturālo skaitļu reizinājums (vai reizinājums) ir aritmētiska darbība, kas attēlo patvaļīga identisku vārdu skaita atrašanu. Lai uzrakstītu reizināšanas darbību, izmantojiet zīmi “·” (dažreiz “×” vai “*”). Piemēram: 3·5=15.
Reizināšanas darbība ir obligāta, ja ir nepieciešama saskaitīšana. liels skaits noteikumiem. Piemēram, ja skaitlis 4 jāsaskaita 7 reizes, reizināt 4 ar 7 ir vienkāršāk nekā veikt šādu saskaitīšanu: 4+4+4+4+4+4+4.
Skaitļus, kas tiek reizināti, sauc par faktoriem, reizināšanas rezultātu sauc par reizinājumu. Attiecīgi termins “produkts” atkarībā no konteksta var izteikt gan reizināšanas procesu, gan tā rezultātu.
Daudzciparu skaitļi tiek reizināti kolonnā. Šim nolūkam skaitļus raksta tāpat kā saskaitīšanai un atņemšanai. Vispirms ir ieteicams pierakstīt garāko no 2 cipariem (iepriekš). Šajā gadījumā reizināšanas process būs vienkāršāks un līdz ar to racionālāks.
Reizinot kolonnā, katra otrā skaitļa cipara ciparus secīgi reizina ar 1. skaitļa cipariem, sākot no tā beigām. Kad esat atradis pirmo šādu produktu, pierakstiet vienību ciparu un paturiet prātā desmitciparu ciparu. Reizinot 2. skaitļa ciparu ar nākamo 1. skaitļa ciparu, precei tiek pievienots cipars, kas tiek paturēts prātā. Un atkal pierakstiet iegūtā rezultāta vienību numuru un atcerieties desmitnieku skaitli. Reizinot ar 1. skaitļa pēdējo ciparu, šādi iegūtais skaitlis tiek pierakstīts pilnībā.
Otrā skaitļa 2. cipara reizināšanas rezultāti tiek ierakstīti otrajā rindā, pārvietojot to par 1 šūnu pa labi. Un tā tālāk. Rezultātā tiks iegūtas “kāpnes”. Visas iegūtās skaitļu rindas jāpievieno (saskaņā ar kolonnu pievienošanas noteikumu). Tukšās šūnas jāuzskata par aizpildītām ar nullēm. Iegūtā summa ir gala produkts.
Piezīme
- Jebkura naturāla skaitļa reizinājums ar 1 (vai 1 ar skaitli) ir vienāds ar pašu skaitli. Piemēram: 376·1=376; 1·86=86.
- Ja viens no faktoriem vai abi faktori ir vienādi ar 0, tad reizinājums ir vienāds ar 0. Piemēram: 32·0=0; 0·845=845; 0·0=0.
Naturālo skaitļu dalījums
Dalīšana ir aritmētiska darbība, kas tiek izmantota slavens darbs un viens no faktoriem var atrast citu – nezināmu – faktoru. Dalīšana ir reizināšanas apgrieztā vērtība, un to izmanto, lai pārbaudītu, vai reizināšana ir veikta pareizi (un otrādi).
Skaitli, kas tiek dalīts, sauc par dividendi; skaitlis, kas dalīts ar, ir dalītājs; dalīšanas rezultātu sauc par koeficientu. Dalījuma zīme ir “:” (dažreiz, retāk, “÷”).
Šeit 48 ir dividende, 6 ir dalītājs, 8 ir koeficients.
Ne visus naturālos skaitļus var sadalīt savā starpā. Šajā gadījumā sadaliet ar atlikumu. Tas sastāv no tā, ka dalītājam tiek izvēlēts faktors, lai tā reizinājums ar dalītāju būtu skaitlis, kas pēc iespējas tuvāks dividendei, bet mazāks par to. Dalītāju reizina ar šo koeficientu un atņem no dividendes. Atšķirība būs atlikušā sadalījuma daļa. Dalītāja un faktora reizinājumu sauc par nepilno koeficientu. Uzmanību: atlikumam jābūt mazākam par izvēlēto reizinātāju! Ja atlikums ir lielāks, tas nozīmē, ka reizinātājs ir izvēlēts nepareizi un ir jāpalielina.
Mēs izvēlamies koeficientu 7. Šajā gadījumā tas ir skaitlis 5. Mēs atrodam nepilno koeficientu: 7·5=35. Mēs aprēķinām atlikumu: 38-35=3. Kopš 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).
Daudzciparu skaitļi tiek sadalīti kolonnā. Lai to izdarītu, dividende un dalītājs tiek ierakstīti blakus, atdalot dalītāju ar vertikālu un horizontālu līniju. Dividendē pirmais cipars vai daži pirmie cipari (labajā pusē) ir izolēti, kam jāatspoguļo skaitlis, kas ir minimāli pietiekams, lai dalītu ar dalītāju (tas ir, šim skaitlim ir jābūt lielākam par dalītāju). Šim skaitlim tiek izvēlēts nepilnīgs koeficients, kā aprakstīts noteikumā par dalīšanu ar atlikumu. Reizinātāja cipars, ko izmanto, lai atrastu daļējo koeficientu, ir rakstīts zem dalītāja. Nepilnīgo koeficientu raksta zem dalītā skaitļa, līdzinot to pa labi. Atrodiet to atšķirību. Noņemiet nākamo dividendes ciparu, ierakstot to blakus šai starpībai. Iegūtajam skaitlim atkal tiek atrasts daļējais koeficients, zem dalītāja ierakstot izvēlētā reizinātāja ciparu blakus iepriekšējam. Un tā tālāk. Šādas darbības tiek veiktas, līdz beidzas dividendes cipari. Pēc tam sadalīšana tiek uzskatīta par pabeigtu. Ja dividendi un dalītāju dala ar veselu (bez atlikuma), tad pēdējā starpība dos nulli. Pretējā gadījumā tiks iegūts atlikušais numurs.
Paaugstināšana
Eksponentēšana ir matemātiska darbība, kas ietver patvaļīga identisku skaitļu skaita reizināšanu. Piemēram: 2·2·2·2.
Šādi izteicieni ir rakstīti šādā formā: a x,
Kur a- skaitlis, kas reizināts ar sevi, x– šādu faktoru skaits.
Pirmskaitļi un saliktie naturālie skaitļi
Katru naturālo skaitli, izņemot 1, var iedalīt vismaz 2 skaitļos – vienā un sevī. Pamatojoties uz šo kritēriju, naturālos skaitļus iedala pirmskaitļos un saliktos.
Pirmskaitļi ir skaitļi, kas dalās tikai ar 1 un paši sevi. Skaitļus, kas dalās ar vairāk nekā šiem 2 skaitļiem, sauc par saliktiem skaitļiem. Vienība, kas dalās tikai pati par sevi, nav ne vienkārša, ne salikta.
Pirmskaitļi ir: 2,3,5,7,11,13,17,19 utt. Salikto skaitļu piemēri: 4 (dalās ar 1,2,4), 6 (dalās ar 1,2,3,6), 20 (dalās ar 1,2,4,5,10,20).
Katru salikto skaitli var faktorizēt pirmajos faktoros. Ar pirmfaktoriem mēs saprotam tā dalītājus, kas ir pirmskaitļi.
Galvenās faktorizācijas piemērs:
Naturālo skaitļu dalītāji
Dalītājs ir skaitlis, ar kuru doto skaitli var dalīt bez atlikuma.
Saskaņā ar šo definīciju pirmskaitļiem ir 2 dalītāji, saliktajiem skaitļiem ir vairāk nekā 2 dalītāji.
Daudziem skaitļiem ir kopīgi faktori. Kopējais dalītājs ir skaitlis, ar kuru dotie skaitļi tiek dalīti bez atlikuma.
- Skaitļiem 12 un 15 ir kopīgs dalītājs 3
- Skaitļiem 20 un 30 ir kopīgi dalītāji 2,5,10
Īpaši svarīgs ir lielākais kopīgais dalītājs (GCD). Šis skaitlis ir īpaši noderīgs, lai varētu atrast frakciju samazināšanai. Lai to atrastu, jums ir jāsadala dotie skaitļi primārajos faktoros un jāatspoguļo kā to kopējo primāro faktoru reizinājums, kas ņemts to mazākajās pakāpēs.
Jums jāatrod skaitļu 36 un 48 gcd.
Naturālo skaitļu dalāmība
Ne vienmēr ar aci var noteikt, vai viens skaitlis dalās ar citu bez atlikuma. Šādos gadījumos noderīgs izrādās attiecīgais dalāmības tests, tas ir, noteikums, pēc kura dažu sekunžu laikā var noteikt, vai skaitļus var dalīt bez atlikuma. Zīme “” tiek izmantota, lai norādītu dalāmību.
Vismazāk sastopamais daudzkārtnis
Šis lielums (apzīmēts ar LOC) ir mazākais skaitlis, kas dalās ar katru no dotajiem. LCM var atrast patvaļīgai naturālu skaitļu kopai.
NOC, tāpat kā GCD, ir nozīmīga praktiska nozīme. Tātad, tas ir LCM, kas ir jāatrod, apvienojot parastās daļskaitļus līdz kopsaucējam.
LCM tiek noteikts, faktorējot dotos skaitļus primārajos faktoros. Lai to izveidotu, ņem reizinājumu, kas sastāv no katra sastopamā (vismaz 1 skaitlim) pirmfaktora, kas attēlots maksimāli.
Jums jāatrod skaitļu 14 un 24 LCM.
Vidēji
Patvaļīga (bet ierobežota) naturālu skaitļu skaita vidējais aritmētiskais ir visu šo skaitļu summa, kas dalīta ar terminu skaitu:
Vidējais aritmētiskais ir kāda skaitliskās kopas vidējā vērtība.
Dotie skaitļi ir 2,84,53,176,17,28. Jums jāatrod to vidējais aritmētiskais.
Veseli skaitļi Viņi mums ir ļoti pazīstami un dabiski. Un tas nav pārsteidzoši, jo iepazīšanās ar viņiem sākas no mūsu pirmajiem dzīves gadiem intuitīvā līmenī.
Šajā rakstā sniegtā informācija veido pamata izpratni par naturāliem skaitļiem, atklāj to mērķi un ieaudzina naturālo skaitļu rakstīšanas un lasīšanas prasmes. Lai labāk izprastu materiālu, tiek sniegti nepieciešamie piemēri un ilustrācijas.
Lapas navigācija.
Naturālie skaitļi – vispārīgs attēlojums.
Sekojošais viedoklis nav bez loģikas: objektu skaitīšanas uzdevuma (pirmais, otrais, trešais objekts utt.) rašanās un objektu skaita norādīšanas uzdevums (viens, divi, trīs objekti utt.) noveda pie rīka izveide tās risināšanai, tas bija instruments veseli skaitļi.
No šī teikuma ir skaidrs naturālo skaitļu galvenais mērķis– aplūkojamo vienību komplektā nēsāt līdzi informāciju par jebkuru vienību skaitu vai konkrētās preces sērijas numuru.
Lai cilvēks varētu lietot naturālos skaitļus, tiem kaut kādā veidā jābūt pieejamiem gan uztverei, gan reproducēšanai. Ja jūs izrunājat katru naturālo skaitli, tad tas kļūs uztverams ar ausi, un, ja attēlosiet naturālu skaitli, tad to varēs redzēt. Šie ir dabiskākie veidi, kā nodot un uztvert naturālos skaitļus.
Tātad, sāksim apgūt naturālu skaitļu attēlošanas (ierakstīšanas) un izrunāšanas (lasīšanas) prasmes, vienlaikus apgūstot to nozīmi.
Naturāla skaitļa decimālais apzīmējums.
Vispirms mums jāizlemj, no kā mēs sāksim, rakstot naturālus skaitļus.
Atcerēsimies šādu rakstzīmju attēlus (rādīsim tos atdalot ar komatiem): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Parādītie attēli ir ieraksts t.s cipariem. Uzreiz vienosimies, ka ierakstīšanas laikā skaitļus neapgāzt, negāzt un kā citādi nesagrozīt.
Tagad vienosimies, ka jebkura naturālā skaitļa apzīmējumā var būt tikai norādītie cipari un nevar būt citi simboli. Vienosimies arī, ka cipariem naturālā skaitļa apzīmējumā ir vienāds augstums, tie ir sakārtoti rindā viens pēc otra (gandrīz bez atkāpēm) un kreisajā pusē ir cipars, kas nav cipars 0 .
Šeit ir daži piemēri pareizai naturālu skaitļu rakstīšanai: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (lūdzu, ņemiet vērā: ievilkumi starp skaitļiem ne vienmēr ir vienādi, vairāk par to tiks apspriests pārskatīšanas laikā). No iepriekš minētajiem piemēriem ir skaidrs, ka naturāla skaitļa apzīmējums ne vienmēr satur visus ciparus 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; daži vai visi naturālā skaitļa rakstīšanā iesaistītie cipari var tikt atkārtoti.
Ziņas 014 , 0005 , 0 , 0209 nav naturālu skaitļu ieraksti, jo kreisajā pusē ir cipars 0 .
Tiek izsaukta naturāla skaitļa rakstīšana, kas veikta, ņemot vērā visas šajā punktā aprakstītās prasības naturāla skaitļa decimālzīme.
Tālāk mēs nenošķirsim naturālos skaitļus un to rakstību. Paskaidrosim: turpmāk tekstā izmantosim tādas frāzes kā “dots naturāls skaitlis 582 ", kas nozīmēs, ka ir dots naturāls skaitlis, kura apzīmējumam ir forma 582 .
Naturālie skaitļi objektu skaita izpratnē.
Ir pienācis laiks saprast uzrakstītā naturālā skaitļa kvantitatīvo nozīmi. Naturālo skaitļu nozīme objektu numerācijas ziņā aplūkota rakstā naturālo skaitļu salīdzinājums.
Sāksim ar naturāliem skaitļiem, kuru ieraksti sakrīt ar ciparu ierakstiem, tas ir, ar skaitļiem 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 Un 9 .
Iedomāsimies, ka mēs atvērām acis un ieraudzījām kādu objektu, piemēram, šādu. Šajā gadījumā mēs varam pierakstīt to, ko mēs redzam 1 lieta. Dabiskais skaitlis 1 tiek lasīts kā " viens"(cipara "viens" deklinācija, kā arī citi skaitļi, mēs dosim rindkopā), skaitlim 1 ir pieņemts cits nosaukums - " vienība».
Tomēr terminam “vienība” papildus dabiskajam skaitlim ir vairākas vērtības 1 , zvaniet kaut ko uzskata par veselu. Piemēram, jebkuru vienumu no daudzajiem var saukt par vienību. Piemēram, jebkurš ābols no ābolu kopas ir vienība, jebkurš putnu bars no putnu ganāmpulku kopas arī ir vienība utt.
Tagad mēs atveram acis un redzam: . Tas ir, mēs redzam vienu objektu un otru objektu. Šajā gadījumā mēs varam pierakstīt to, ko mēs redzam 2 priekšmets. Dabiskais skaitlis 2 , skan " divi».
Tāpat, - 3
priekšmets (lasīt " trīs» priekšmets), - 4
(« četri") no tēmas, - 5
(« pieci»), 
- 6
(« seši»), 
- 7
(« septiņi»), - 8
(« astoņi»), - 9
(« deviņi") vienumus.
Tātad no aplūkotās pozīcijas naturālie skaitļi 1 , 2 , 3 , …, 9 norādīt daudzums preces.
Skaitlis, kura apzīmējums sakrīt ar cipara apzīmējumu 0 , sauc par " nulle" Skaitlis nulle NAV naturāls skaitlis, tomēr to parasti uzskata kopā ar naturāliem skaitļiem. Atcerieties: nulle nozīmē kaut kā neesamību. Piemēram, nulle vienumu nav viens vienums.
Nākamajās raksta rindkopās turpināsim atklāt naturālo skaitļu nozīmi lielumu norādīšanas ziņā.
Viencipara naturālie skaitļi.
Acīmredzot katra naturālā skaitļa ierakstīšana 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 sastāv no vienas rakstzīmes - viena cipara.
Definīcija.
Viencipara naturālie skaitļi– tie ir naturāli skaitļi, kuru rakstīšana sastāv no vienas zīmes – viena cipara.
Uzskaitīsim visus viencipara naturālos skaitļus: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Kopumā ir deviņi viencipara naturālie skaitļi.
Divciparu un trīsciparu naturālie skaitļi.
Pirmkārt, definēsim divciparu naturālus skaitļus.
Definīcija.
Divciparu naturālie skaitļi– tie ir naturāli skaitļi, kuru ieraksts sastāv no divām zīmēm - diviem cipariem (atšķirīgiem vai vienādiem).
Piemēram, naturāls skaitlis 45 – divciparu skaitļi 10 , 77 , 82 arī divciparu, un 5 490 , 832 , 90 037 – ne divciparu.
Izdomāsim, kāda nozīme ir divciparu skaitļiem, savukārt mēs balstīsimies uz mums jau zināmo viencipara naturālo skaitļu kvantitatīvo nozīmi.
Sākumā iepazīstināsim ar jēdzienu desmit.
Iedomāsimies šo situāciju – mēs atvērām acis un ieraudzījām komplektu, kas sastāv no deviņiem priekšmetiem un vēl viena objekta. Šajā gadījumā viņi runā par 1 desmit (viens ducis) priekšmetu. Ja vienu desmit un otru desmit uzskata kopā, tad viņi runā par 2 desmitiem (divi desmiti). Ja mēs pievienosim vēl desmit līdz diviem desmitiem, mums būs trīs desmiti. Šo procesu turpinot, iegūsim četrus desmitniekus, piecus desmitniekus, sešus desmitniekus, septiņus desmitniekus, astoņus desmitniekus un visbeidzot deviņus desmitniekus.
Tagad mēs varam pāriet uz divciparu naturālo skaitļu būtību.
Lai to izdarītu, aplūkosim divciparu skaitli kā divus viencipara skaitļus - viens ir pa kreisi divciparu skaitļa apzīmējumā, otrs ir labajā pusē. Cipars kreisajā pusē norāda desmitnieku skaitu, bet labajā pusē - vieninieku skaitu. Turklāt, ja divciparu skaitļa labajā pusē ir cipars 0 , tad tas nozīmē, ka nav vienību. Šī ir visa divciparu naturālo skaitļu būtība lielumu norādīšanas ziņā.
Piemēram, divciparu naturāls skaitlis 72 atbilst 7 desmitiem un 2 vienības (tas ir, 72 āboli ir septiņi desmiti ābolu un vēl divi āboli), un numurs 30 atbildes 3 desmitiem un 0 nav vienību, tas ir, vienības, kas nav apvienotas desmitos.
Atbildēsim uz jautājumu: "Cik ir divciparu naturālu skaitļu?" Atbilde: viņi 90 .
Pāriesim pie trīsciparu naturālo skaitļu definīcijas.
Definīcija.
Dabiski skaitļi, kuru apzīmējums sastāv no 3 zīmes - 3 tiek izsaukti cipari (atšķirīgi vai atkārtoti). trīsciparu.
Dabisku trīsciparu skaitļu piemēri ir 372 , 990 , 717 , 222 . Veseli skaitļi 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 nav trīsciparu.
Lai saprastu trīsciparu naturālo skaitļu nozīmi, mums ir nepieciešams jēdziens simtiem.
Desmit desmitnieku komplekts ir 1 simts (simts). Simts un simts ir 2 simtiem. Divi simti un vēl simts ir trīs simti. Un tā tālāk, mums ir četri simti, pieci simti, sešsimt, septiņsimt, astoņsimt un visbeidzot deviņi simti.
Tagad aplūkosim trīsciparu naturālu skaitli kā trīs viencipara naturālus skaitļus, kas seko viens otram no labās uz kreiso trīsciparu naturāla skaitļa apzīmējumā. Labajā pusē esošais cipars norāda vienību skaitu, nākamais skaitlis norāda desmitu skaitu, bet nākamais skaitlis norāda simtu skaitu. Skaitļi 0 rakstiski trīsciparu skaitlis nozīmē desmitu un (vai) vienību neesamību.
Tādējādi trīsciparu naturāls skaitlis 812 atbilst 8 simtiem, 1 desmit un 2 vienības; numuru 305 - trīs simti ( 0 desmiti, tas ir, nav desmiti, kas nav apvienoti simtos) un 5 vienības; numuru 470 – četri simti septiņi desmiti (nav vienību, kas nebūtu apvienotas desmitos); numuru 500 – pieci simti (nav desmiti, kas nav apvienoti simtos, un nav vienību, kas nav apvienoti desmitos).
Līdzīgi var definēt četrciparu, piecciparu, sešciparu utt. naturālie skaitļi.
Daudzciparu naturālie skaitļi.
Tātad, pāriesim pie daudzvērtīgu naturālu skaitļu definīcijas.
Definīcija.
Daudzciparu naturālie skaitļi- tie ir naturāli skaitļi, kuru apzīmējums sastāv no diviem vai trim vai četriem utt. zīmes. Citiem vārdiem sakot, daudzciparu naturālie skaitļi ir divciparu, trīsciparu, četrciparu utt. cipariem.
Teiksim uzreiz, ka komplekts, kas sastāv no desmit simtiem, ir viens tūkstotis, tūkstoš tūkstoši ir viens miljons, tūkstoš miljoni ir viens biljons, tūkstoš miljardu ir viens triljons. Tūkstoš triljoniem, tūkstoš triljoniem un tā tālāk var dot arī savus vārdus, taču tas nav īpaši nepieciešams.
Tātad, kāda ir daudzciparu naturālo skaitļu nozīme?
Apskatīsim daudzciparu naturālu skaitli kā viencipara naturālus skaitļus, kas seko viens pēc otra no labās uz kreiso pusi. Labajā pusē esošais skaitlis norāda vienību skaitu, nākamais skaitlis ir desmitu skaits, nākamais ir simtu skaits, tad tūkstošu skaits, tad desmitu tūkstošu skaits, tad simti tūkstošu, tad skaitlis no miljoniem, tad desmitiem miljonu, tad simtiem miljonu, tad – miljardu skaits, tad – desmitiem miljardu skaits, tad – simtiem miljardu, tad – triljonu, tad – desmitiem triljonu, tad – simtiem triljonu un tā tālāk.
Piemēram, daudzciparu naturāls skaitlis 7 580 521 atbilst 1 vienība, 2 desmitiem, 5 simtiem, 0 tūkstošiem, 8 desmitiem tūkstošu, 5 simtiem tūkstošu un 7 miljoniem.
Tā mēs iemācījāmies grupēt vienības desmitos, desmitos simtos, simtus tūkstošos, tūkstošus desmitos tūkstošu un tā tālāk, un noskaidrojām, ka skaitļi daudzciparu naturāla skaitļa apzīmējumā norāda atbilstošo skaitli augstāk minētajām grupām.
Lasīt naturālus skaitļus, klases.
Mēs jau esam minējuši, kā tiek lasīti viencipara naturālie skaitļi. Mācīsimies turpmāko tabulu saturu no galvas.
Kā tiek nolasīti atlikušie divciparu skaitļi?
Paskaidrosim ar piemēru. Lasīsim naturālo skaitli 74 . Kā mēs noskaidrojām iepriekš, šis skaitlis atbilst 7 desmitiem un 4 vienības, tas ir, 70 Un 4 . Mēs pievēršamies tabulām, kuras tikko ierakstījām, un numuru 74 mēs to lasām šādi: "Septiņdesmit četri" (mēs neizrunājam saikli "un"). Ja jums ir nepieciešams lasīt numuru 74 teikumā: "Nē 74 āboli" (ģenitīvais burts), tad tas skanēs šādi: "Nav septiņdesmit četru ābolu." Vēl viens piemērs. Numurs 88 -Šo 80 Un 8 , tāpēc mēs lasām: "Astoņdesmit astoņi." Un šeit ir teikuma piemērs: "Viņš domā par astoņdesmit astoņiem rubļiem."
Pāriesim pie trīsciparu naturālu skaitļu lasīšanas.
Lai to izdarītu, mums būs jāiemācās vēl daži jauni vārdi.
Atliek parādīt, kā tiek nolasīti atlikušie trīsciparu naturālie skaitļi. Šajā gadījumā mēs izmantosim jau iegūtās prasmes viencipara un divciparu skaitļu lasīšanā.
Apskatīsim piemēru. Lasīsim numuru 107 . Šis skaitlis atbilst 1 simts un 7 vienības, tas ir, 100 Un 7 . Pievēršoties galdiem, mēs lasām: "Simts septiņi." Tagad teiksim skaitli 217 . Šis skaitlis ir 200 Un 17 , tāpēc mēs lasām: "Divi simti septiņpadsmit." Tāpat 888 -Šo 800 (astoņi simti) un 88 (astoņdesmit astoņi), mēs lasām: "Astoņi simti astoņdesmit astoņi."
Pāriesim pie daudzciparu skaitļu lasīšanas.
Lai nolasītu, daudzciparu naturāla skaitļa ieraksts tiek sadalīts, sākot no labās puses, trīs ciparu grupās, un galējā kreisajā grupā var būt vai nu 1 , vai 2 , vai 3 cipariem. Šīs grupas sauc klases. Labajā pusē esošā klase tiek saukta vienību klase. Tiek izsaukta klase, kas tai seko (no labās uz kreiso pusi). tūkstošu klase, nākamā klase - miljonu klase, Nākamais - miljardu klase, nāk nākamais triljonu klase. Var dot šādu klašu nosaukumus, bet naturālus skaitļus, kuru apzīmējums sastāv no 16 , 17 , 18 utt. zīmes parasti nelasa, jo tās ir ļoti grūti uztvert ar ausi.
Apskatiet piemērus daudzciparu skaitļu sadalīšanai klasēs (skaidrības labad klases ir atdalītas viena no otras ar nelielu atkāpi): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .
Saliksim pierakstītos naturālos skaitļus tabulā, lai būtu viegli iemācīties tos lasīt.
Lai nolasītu naturālu skaitli, mēs izsaucam to veidojošos skaitļus pa klasēm no kreisās puses uz labo un pievienojam klases nosaukumu. Tajā pašā laikā mēs neizrunājam vienību klases nosaukumu, kā arī izlaižam tās klases, kas veido trīs ciparus 0 . Ja klases ierakstam ir numurs kreisajā pusē 0 vai divi cipari 0 , tad mēs ignorējam šos skaitļus 0 un nolasiet skaitli, kas iegūts, atmetot šos skaitļus 0 . Piemēram, 002 lasīt kā "divi" un 025 - kā "divdesmit piecos".
Lasīsim numuru 489 002 saskaņā ar dotajiem noteikumiem.
Mēs lasām no kreisās uz labo pusi,
- izlasi numuru 489 , kas pārstāv tūkstošu klasi, ir “četri simti astoņdesmit deviņi”;
- pievieno klases nosaukumu, iegūstam “četri simti astoņdesmit deviņi tūkstoši”;
- tālāk mūsu redzamajā vienību klasē 002 , kreisajā pusē ir nulles, tāpēc mēs tās ignorējam 002 lasīt kā "divi";
- nav nepieciešams pievienot vienības klases nosaukumu;
- galu galā mums ir 489 002 - "četri simti astoņdesmit deviņi tūkstoši divi."
Sāksim lasīt numuru 10 000 501 .
- Kreisajā pusē miljonu klasē mēs redzam skaitli 10 , lasiet "desmit";
- pievienojiet klases nosaukumu, mums ir "desmit miljoni";
- tad mēs redzam ierakstu 000 tūkstoš klasē, jo visi trīs cipari ir cipari 0 , tad mēs izlaižam šo nodarbību un pārejam uz nākamo;
- vienību klase apzīmē skaitli 501 , ko mēs lasām "pieci simti un viens";
- Tādējādi 10 000 501 - desmit miljoni pieci simti viens.
Darīsim to bez detalizēta paskaidrojuma: 1 789 090 221 214 - "viens triljons septiņi simti astoņdesmit deviņi miljardi deviņdesmit miljoni divi simti divdesmit viens tūkstotis divi simti četrpadsmit."
Tātad daudzciparu naturālu skaitļu lasīšanas prasmes pamatā ir spēja sadalīt daudzciparu skaitļus klasēs, klašu nosaukumu zināšanas un spēja lasīt trīsciparu skaitļus.
Dabiska skaitļa cipari, cipara vērtība.
Rakstot naturālu skaitli, katra cipara nozīme ir atkarīga no tā atrašanās vietas. Piemēram, naturāls skaitlis 539 atbilst 5 simtiem, 3 desmitiem un 9 vienības, tāpēc skaitlis 5 rakstot numuru 539 nosaka simtu skaitu, cipars 3 – desmitnieku skaits un cipars 9 - vienību skaits. Tajā pašā laikā viņi saka, ka skaitlis 9 maksā iekšā vienību cipars un numurs 9 ir vienības ciparu vērtība, numurs 3 maksā iekšā desmitnieku vieta un numurs 3 ir desmitiem vietas vērtība, un skaitlis 5 - V simtiem vietu un numurs 5 ir simtiem vietas vērtība.
Tādējādi izlāde- no vienas puses, šī ir cipara pozīcija naturāla skaitļa apzīmējumā un, no otras puses, šī cipara vērtība, ko nosaka tā atrašanās vieta.
Kategorijām ir doti nosaukumi. Ja paskatās uz skaitļiem naturālā skaitļa apzīmējumā no labās uz kreiso pusi, tad tie atbildīs šādiem cipariem: vienības, desmiti, simti, tūkstoši, desmiti tūkstoši, simti tūkstošu, miljoni, desmitiem miljonu un tā tālāk.
Ir ērti atcerēties kategoriju nosaukumus, kad tie tiek parādīti tabulas veidā. Pierakstīsim tabulu, kurā būs 15 kategoriju nosaukumi.
Ņemiet vērā, ka dotā naturālā skaitļa ciparu skaits ir vienāds ar šī skaitļa rakstīšanā iesaistīto rakstzīmju skaitu. Tādējādi ierakstītajā tabulā ir visu naturālo skaitļu ciparu nosaukumi, kuru ierakstā ir līdz 15 rakstzīmēm. Arī turpmākajām rindām ir savi nosaukumi, taču tie tiek lietoti ļoti reti, tāpēc nav jēgas tos minēt.
Izmantojot ciparu tabulu, ir ērti noteikt dotā naturālā skaitļa ciparus. Lai to izdarītu, jums jāieraksta šis dabiskais skaitlis šajā tabulā tā, lai katrā ciparā būtu viens cipars, bet galējais labais cipars ir vienību cipars.
Sniegsim piemēru. Pierakstīsim naturālu skaitli 67 922 003 942 tabulā, un šo ciparu cipari un nozīme kļūs skaidri redzama.
Numurs šajā numurā ir 2 stāv mērvienībās vieta, cipars 4 – desmitnieku vietā, cipars 9 – simtnieku vietā utt. Jums vajadzētu pievērst uzmanību skaitļiem 0 , kas atrodas desmitiem tūkstošu un simtu tūkstošu kategorijās. Skaitļi 0 ar šiem cipariem nozīmē šo ciparu vienību neesamību.
Ir vērts pieminēt arī daudzciparu naturālā skaitļa tā saukto zemāko (jaunāko) un augstāko (nozīmīgāko) ciparu. Zemākais (junioru) rangs no jebkura daudzciparu naturālā skaitļa ir vienības cipars. Augstākais (nozīmīgākais) naturālā skaitļa cipars ir cipars, kas atbilst galējam labajam ciparam šī numura ierakstā. Piemēram, naturālā skaitļa 23 004 zemās kārtas cipars ir vienību cipars, bet augstākais cipars ir desmitiem tūkstošu cipars. Ja naturālā skaitļa apzīmējumā virzāmies pa cipariem no kreisās uz labo, tad katrs nākamais cipars zemāks (jaunāks) iepriekšējā. Piemēram, tūkstošu rangs ir zemāks par desmitiem tūkstošu rangu, un vēl jo vairāk tūkstošu rangs ir zemāks par simtiem tūkstošu, miljonu, desmitiem miljonu utt. Ja naturālā skaitļa apzīmējumā virzāmies pa cipariem no labās uz kreiso, tad katrs nākamais cipars garāks (vecāks) iepriekšējā. Piemēram, simtu cipars ir vecāks par desmitiem un vēl jo vairāk — par vienību ciparu.
Dažos gadījumos (piemēram, veicot saskaitīšanu vai atņemšanu) tiek izmantots nevis pats naturālais skaitlis, bet gan šī naturālā skaitļa ciparu vārdu summa.
Īsumā par decimālo skaitļu sistēmu.
Tātad, mēs iepazināmies ar naturāliem skaitļiem, tiem piemītošo nozīmi un veidu, kā rakstīt naturālus skaitļus, izmantojot desmit ciparus.
Kopumā tiek izsaukta skaitļu rakstīšanas metode, izmantojot zīmes numuru sistēma. Cipara nozīme skaitļa apzīmējumā var būt vai nebūt atkarīga no tā atrašanās vietas. Tiek izsauktas skaitļu sistēmas, kurās cipara vērtība ir atkarīga no tā atrašanās vietas pozicionāls.
Tādējādi mūsu pārbaudītie naturālie skaitļi un to rakstīšanas metode norāda, ka mēs izmantojam pozicionālo skaitļu sistēmu. Jāpiebilst, ka numuram šajā skaitļu sistēmā ir īpaša vieta 10 . Patiešām, skaitīšana notiek desmitos: desmit vieninieki tiek apvienoti desmit, desmiti desmiti tiek apvienoti simtā, desmiti simti tūkstotī un tā tālāk. Numurs 10 sauca pamats dotā skaitļu sistēma, un pati skaitļu sistēma tiek izsaukta decimālzīme.
Papildus decimālo skaitļu sistēmai ir arī citas, piemēram, datorzinātnēs tiek izmantota binārā pozicionālā skaitļu sistēma, un mēs sastopamies ar seksagesimālo sistēmu, kad runa ir par laika mērīšanu.
Bibliogrāfija.
- Matemātika. Jebkuras mācību grāmatas vispārējās izglītības iestāžu 5. klasei.
Veseli skaitļi
Dabisko skaitļu definīcija ir pozitīvi veseli skaitļi. Dabiskie skaitļi tiek izmantoti objektu skaitīšanai un daudziem citiem mērķiem. Šie ir skaitļi:
Šī ir dabiska skaitļu sērija.
Vai nulle ir naturāls skaitlis? Nē, nulle nav naturāls skaitlis.
Cik naturālu skaitļu ir? Ir bezgalīgi daudz naturālu skaitļu.
Kāds ir mazākais naturālais skaitlis? Viens ir mazākais naturālais skaitlis.
Kāds ir lielākais naturālais skaitlis? To precizēt nav iespējams, jo naturālu skaitļu ir bezgalīgi daudz.
Naturālo skaitļu summa ir naturāls skaitlis. Tātad, saskaitot naturālos skaitļus a un b:
Naturālo skaitļu reizinājums ir naturāls skaitlis. Tātad naturālo skaitļu a un b reizinājums:
c vienmēr ir naturāls skaitlis.
Naturālo skaitļu atšķirība Ne vienmēr ir naturāls skaitlis. Ja minuend ir lielāks par apakšrindu, tad naturālo skaitļu starpība ir naturāls skaitlis, pretējā gadījumā tā nav.
Dabisko skaitļu koeficients ne vienmēr ir naturāls skaitlis. Ja naturāliem skaitļiem a un b
kur c ir naturāls skaitlis, tas nozīmē, ka a dalās ar b. Šajā piemērā a ir dividende, b ir dalītājs, c ir koeficients.
Naturāla skaitļa dalītājs ir naturāls skaitlis, ar kuru pirmais skaitlis dalās ar veselo.
Katrs naturālais skaitlis dalās ar vienu un pats sevi.
Pirmie naturālie skaitļi dalās tikai ar vienu un paši par sevi. Šeit mēs domājam pilnībā sadalītu. Piemērs, cipari 2; 3; 5; 7 dalās tikai ar vienu un sevi. Tie ir vienkārši naturāli skaitļi.
Viens netiek uzskatīts par pirmskaitli.
Skaitļus, kas ir lielāki par vienu un kas nav pirmskaitļi, sauc par saliktiem skaitļiem. Salikto skaitļu piemēri:
Viens netiek uzskatīts par saliktu skaitli.
Dabisko skaitļu kopa ir viens, pirmskaitļi un saliktie skaitļi.
Dabisko skaitļu kopu apzīmē ar latīņu burtu N.
Naturālo skaitļu saskaitīšanas un reizināšanas īpašības:
saskaitīšanas komutatīva īpašība
pievienošanas asociatīvā īpašība
(a + b) + c = a + (b + c);
reizināšanas komutatīva īpašība
reizināšanas asociatīvā īpašība
(ab) c = a (bc);
reizināšanas sadales īpašība
A (b + c) = ab + ac;
Veseli skaitļi
Veselie skaitļi ir naturālie skaitļi, nulle un naturālo skaitļu pretstati.
Pretēji naturālajiem skaitļiem ir negatīvi veseli skaitļi, piemēram:
1; -2; -3; -4;...
Veselo skaitļu kopa tiek apzīmēta ar latīņu burtu Z.
Racionālie skaitļi
Racionālie skaitļi ir veseli skaitļi un daļskaitļi.
Jebkuru racionālu skaitli var attēlot kā periodisku daļskaitli. Piemēri:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
No piemēriem ir skaidrs, ka jebkurš vesels skaitlis ir periodiska daļa ar nulles punktu.
Jebkuru racionālu skaitli var attēlot kā daļu m/n, kur m ir vesels skaitlis un n ir naturāls skaitlis. Iedomāsimies skaitli 3,(6) no iepriekšējā piemēra kā šādu daļskaitli.