Kā tiešsaistē atrast vismazāko kopskaitu. Kā atrast skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni

Turpināsim sarunu par vismazāko daudzkārtni, kuru sākām sadaļā “LCM - mazākais kopīgs daudzkārtnis, definīcija, piemēri”. Šajā tēmā mēs apskatīsim veidus, kā atrast LCM trim vai vairākiem skaitļiem, un mēs aplūkosim jautājumu par to, kā atrast negatīva skaitļa LCM.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vismazāko kopskaitu (LCM) aprēķināšana, izmantojot GCD

Mēs jau esam izveidojuši attiecības starp mazāko kopējo daudzkārtni un lielāko kopīgo dalītāju. Tagad uzzināsim, kā noteikt LCM, izmantojot GCD. Vispirms izdomāsim, kā to izdarīt pozitīviem skaitļiem.

1. definīcija

Jūs varat atrast mazāko kopējo daudzkārtni, izmantojot lielāko kopīgo dalītāju, izmantojot formulu LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

1. piemērs

Jums jāatrod skaitļu 126 un 70 LCM.

Risinājums

Ņemsim a = 126, b = 70. Aizstāsim vērtības formulā, lai aprēķinātu mazāko kopējo daudzkārtni caur lielāko kopīgo dalītāju LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Atrod skaitļu 70 un 126 gcd. Šim nolūkam mums ir nepieciešams Eiklīda algoritms: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, tāpēc GCD (126 , 70) = 14 .

Aprēķināsim LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Atbilde: LCM(126, 70) = 630.

2. piemērs

Atrodiet numurus 68 un 34.

Risinājums

GCD iekšā šajā gadījumā Tas nav grūti, jo 68 dalās ar 34. Aprēķināsim mazāko kopējo reizinātāju, izmantojot formulu: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Atbilde: LCM(68, 34) = 68.

Šajā piemērā mēs izmantojām noteikumu, lai atrastu pozitīvo veselo skaitļu a un b mazāko kopīgo daudzkārtni: ja pirmais skaitlis dalās ar otro, šo skaitļu LCM būs vienāds ar pirmo skaitli.

LCM atrašana, iedalot skaitļus primārajos faktoros

Tagad apskatīsim metodi LCM atrašanai, kuras pamatā ir skaitļu iekļaušana primārajos faktoros.

2. definīcija

Lai atrastu vismazāko kopskaitu, mums ir jāveic vairākas vienkāršas darbības:

• mēs veidojam visu to skaitļu pirmfaktoru reizinājumu, kuriem jāatrod LCM;
• mēs izslēdzam visus galvenos faktorus no to iegūtajiem produktiem;
• reizinājums, kas iegūts pēc kopējo pirmkoeficientu likvidēšanas, būs vienāds ar doto skaitļu LCM.

Šī metode mazākā kopīgā reizinājuma atrašanai ir balstīta uz vienādību LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Ja paskatās uz formulu, kļūs skaidrs: skaitļu a un b reizinājums ir vienāds ar visu to faktoru reizinājumu, kas piedalās šo divu skaitļu sadalīšanā. Šajā gadījumā divu skaitļu gcd ir vienāds ar visu primāro faktoru reizinājumu, kas vienlaikus ir doto divu skaitļu faktorizācijās.

3. piemērs

Mums ir divi skaitļi 75 un 210. Mēs varam tos aprēķināt šādi: 75 = 3 5 5 Un 210 = 2 3 5 7. Ja jūs veidojat divu sākotnējo skaitļu visu faktoru reizinājumu, jūs iegūstat: 2 3 3 5 5 5 7.

Ja izslēdzam faktorus, kas ir kopīgi gan skaitļiem 3, gan 5, mēs iegūstam šādas formas reizinājumu: 2 3 5 5 7 = 1050. Šis produkts būs mūsu LCM numuriem 75 un 210.

4. piemērs

Atrodiet skaitļu LCM 441 Un 700 , ieskaitot abus skaitļus primārajos faktoros.

Risinājums

Atradīsim visus nosacījumā doto skaitļu primāros faktorus:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Mēs iegūstam divas skaitļu ķēdes: 441 = 3 3 7 7 un 700 = 2 2 5 5 7.

Visu faktoru reizinājumam, kas piedalījās šo skaitļu sadalīšanā, būs šāda forma: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Atradīsim kopīgus faktorus. Šis ir cipars 7. Izslēgsim viņu no kopējais produkts: 2 2 3 3 5 5 7 7. Izrādās, ka NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Atbilde: LOC(441; 700) = 44 100.

Sniegsim citu LCM atrašanas metodes formulējumu, sadalot skaitļus pirmfaktoros.

3. definīcija

Iepriekš mēs izslēdzām no kopējā faktoru skaita, kas ir kopīgi abiem skaitļiem. Tagad mēs to darīsim savādāk:

• Ieskaitīsim abus skaitļus galvenajos faktoros:
• pieskaita pirmā skaitļa pirmkoeficientu reizinājumam otrā skaitļa trūkstošos faktorus;
• iegūstam reizinājumu, kas būs vēlamais divu skaitļu LCM.

5. piemērs

Atgriezīsimies pie skaitļiem 75 un 210, kuriem LCM jau meklējām vienā no iepriekšējiem piemēriem. Sadalīsim tos vienkāršos faktoros: 75 = 3 5 5 Un 210 = 2 3 5 7. Uz koeficientu 3, 5 un reizinājumu 5 skaitļi 75 pievieno trūkstošos faktorus 2 Un 7 cipari 210. Mēs iegūstam: 2 · 3 · 5 · 5 · 7.Šis ir skaitļu 75 un 210 LCM.

6. piemērs

Ir jāaprēķina skaitļu 84 un 648 LCM.

Risinājums

Aprēķināsim nosacījumu skaitļus vienkāršos faktoros: 84 = 2 2 3 7 Un 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Pievienosim reizinājumam koeficientus 2, 2, 3 un 7 skaitļi 84 trūkst faktoru 2, 3, 3 un
3 numuri 648. Mēs saņemam preci 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.Šis ir 84 un 648 mazākais kopīgais reizinājums.

Atbilde: LCM(84,648) = 4536.

Trīs vai vairāku skaitļu LCM atrašana

Neatkarīgi no tā, ar cik skaitļiem mums ir darīšana, mūsu darbību algoritms vienmēr būs vienāds: mēs secīgi atradīsim divu skaitļu LCM. Šim gadījumam ir teorēma.

1. teorēma

Pieņemsim, ka mums ir veseli skaitļi a 1 , a 2 , … , a k. NOC m kšos skaitļus atrod, secīgi aprēķinot m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Tagad apskatīsim, kā teorēmu var pielietot konkrētu problēmu risināšanai.

7. piemērs

Jums jāaprēķina četru skaitļu 140, 9, 54 un mazākais kopīgais reizinājums 250 .

Risinājums

Ieviesīsim apzīmējumu: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Sāksim, aprēķinot m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Izmantosim Eiklīda algoritmu, lai aprēķinātu skaitļu 140 un 9 GCD: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Mēs iegūstam: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 · 9: GCD (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1260. Tāpēc m 2 = 1,260.

Tagad aprēķināsim, izmantojot to pašu algoritmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Aprēķinu laikā iegūstam m 3 = 3 780.

Viss, kas mums jādara, ir jāaprēķina m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Mēs sekojam tam pašam algoritmam. Mēs iegūstam m 4 = 94 500.

Četru skaitļu LCM no piemēra nosacījuma ir 94500.

Atbilde: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Kā redzat, aprēķini ir vienkārši, taču diezgan darbietilpīgi. Lai ietaupītu laiku, varat izvēlēties citu ceļu.

4. definīcija

Mēs piedāvājam jums šādu darbību algoritmu:

• visus skaitļus sadalām pirmfaktoros;
• pirmā skaitļa faktoru reizinājumam pievienojam trūkstošos faktorus no otrā skaitļa reizinājuma;
• iepriekšējā posmā iegūtajam reizinājumam pievienojam trūkstošos trešā skaitļa faktorus utt.;
• iegūtais reizinājums būs visu nosacījuma skaitļu mazākais kopīgais reizinājums.

8. piemērs

Jums jāatrod piecu skaitļu 84, 6, 48, 7, 143 LCM.

Risinājums

Sarēķināsim visus piecus skaitļus primārajos koeficientos: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Pirmskaitļus, kas ir skaitlis 7, nevar iekļaut pirmskaitļos. Šādi skaitļi sakrīt ar to sadalīšanos pirmfaktoros.

Tagad ņemsim skaitļa 84 pirmkoeficientu 2, 2, 3 un 7 reizinājumu un pievienosim tiem trūkstošos otrā skaitļa koeficientus. Mēs sadalījām skaitli 6 2 un 3. Šie faktori jau ir pirmā skaitļa reizinājumā. Tāpēc mēs tos izlaižam.

Mēs turpinām pievienot trūkstošos reizinātājus. Pārejam pie skaitļa 48, no kura pirmfaktoru reizinājuma ņemam 2 un 2. Tad no ceturtā skaitļa saskaitām primāro koeficientu 7 un piektā skaitļa koeficientus 11 un 13. Mēs iegūstam: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Šis ir sākotnējo piecu skaitļu mazākais kopīgais reizinājums.

Atbilde: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Negatīvo skaitļu mazākā kopīgā reizinājuma atrašana

Lai atrastu negatīvo skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni, šie skaitļi vispirms jāaizstāj ar skaitļiem ar pretēju zīmi un pēc tam jāveic aprēķini, izmantojot iepriekš minētos algoritmus.

9. piemērs

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) un LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Šādas darbības ir pieļaujamas tāpēc, ka, ja mēs to pieņemam a Un − a- pretēji skaitļi,
tad skaitļa reizinātāju kopa a atbilst skaitļa reizinātāju kopai − a.

10. piemērs

Nepieciešams aprēķināt negatīvo skaitļu LCM − 145 Un − 45 .

Risinājums

Aizstāsim skaitļus − 145 Un − 45 to pretējiem skaitļiem 145 Un 45 . Tagad, izmantojot algoritmu, mēs aprēķinām LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, iepriekš nosakot GCD, izmantojot Eiklīda algoritmu.

Mēs iegūstam, ka skaitļu LCM ir − 145 un − 45 vienāds 1 305 .

Atbilde: LCM (− 145, − 45) = 1305.

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Lielākais kopīgais dalītājs un mazākais kopīgais reizinātājs ir galvenie aritmētiskie jēdzieni, kas ļauj darboties bez piepūles parastās frakcijas. LCM un visbiežāk izmanto, lai atrastu vairāku daļskaitļu kopsaucēju.

Pamatjēdzieni

Vesela skaitļa X dalītājs ir cits vesels skaitlis Y, ar kuru X tiek dalīts, neatstājot atlikumu. Piemēram, skaitļa 4 dalītājs ir 2, bet 36 ir 4, 6, 9. Vesela skaitļa X daudzkārtnis ir skaitlis Y, kas dalās ar X bez atlikuma. Piemēram, 3 ir 15 reizinājums, bet 6 ir 12 reizinājums.

Jebkuram skaitļu pārim mēs varam atrast to kopīgos dalītājus un reizinātājus. Piemēram, skaitļiem 6 un 9 kopējais reizinātājs ir 18, bet kopējais dalītājs ir 3. Acīmredzot pāriem var būt vairāki dalītāji un reizinātāji, tāpēc aprēķinos tiek izmantots lielākais dalītājs GCD un mazākais daudzkārtējs LCM.

Mazākajam dalītājam nav nozīmes, jo jebkuram skaitlim tas vienmēr ir viens. Arī lielākais daudzkārtnis ir bezjēdzīgs, jo reizinājumu secība iet līdz bezgalībai.

Gcd atrašana

Ir daudzas metodes, kā atrast lielāko kopīgo dalītāju, no kurām slavenākās ir:

• dalītāju secīga uzskaitīšana, kopīgu atlase pārim un lielākā no tiem meklēšana;
• skaitļu sadalīšana nedalāmos faktoros;
• Eiklīda algoritms;
• binārais algoritms.

Šodien plkst izglītības iestādēm Populārākās ir galvenās faktorizācijas metodes un Eiklīda algoritms. Pēdējais, savukārt, tiek izmantots, risinot Diofantīna vienādojumus: GCD meklēšana ir nepieciešama, lai pārbaudītu vienādojumu par izšķirtspējas iespēju veselos skaitļos.

NOC atrašana

Mazāko kopējo daudzkārtni nosaka arī secīga uzskaitīšana vai faktorizācija nedalāmos faktoros. Turklāt ir viegli atrast LCM, ja lielākais dalītājs jau ir noteikts. Skaitļiem X un Y LCM un GCD ir saistīti ar šādu attiecību:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Piemēram, ja GCM(15,18) = 3, tad LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Acīmredzamākais LCM izmantošanas piemērs ir atrast kopsaucēju, kas ir mazākais kopsaucējs. dotās frakcijas.

Kopirma skaitļi

Ja skaitļu pārim nav kopīgu dalītāju, tad šādu pāri sauc par koprēķinu. Gcd šādiem pāriem vienmēr ir vienāds ar vienu, un, pamatojoties uz savienojumu starp dalītājiem un reizinātājiem, kopsavilkuma pāru gcd ir vienāds ar to reizinājumu. Piemēram, skaitļi 25 un 28 ir salīdzinoši pirmskaitļi, jo tiem nav kopīgu dalītāju, un LCM(25, 28) = 700, kas atbilst to reizinājumam. Jebkuri divi nedalāmi skaitļi vienmēr būs relatīvi pirmskaitļi.

Kopējais dalītājs un vairāku kalkulators

Izmantojot mūsu kalkulatoru, varat aprēķināt GCD un LCM patvaļīgam skaitam skaitļu, no kuriem izvēlēties. Kopīgo dalītāju un reizinātāju aprēķināšanas uzdevumi ir atrodami 5. un 6. klases aritmētikā, bet GCD un LCM ir galvenie jēdzieni matemātikā un tiek izmantoti skaitļu teorijā, planimetrijā un komunikatīvajā algebrā.

Reālās dzīves piemēri

Daļskaitļu kopsaucējs

Lai atrastu vairāku daļu kopsaucēju, tiek izmantots mazākais kopsaucējs. Ielaidiet iekšā aritmētiskā problēma jums jāsaskaita 5 daļdaļas:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Lai pievienotu daļskaitļus, izteiksme jāsamazina līdz kopsaucējs, kas samazina līdz LCM atrašanas problēmai. Lai to izdarītu, kalkulatorā atlasiet 5 skaitļus un attiecīgajās šūnās ievadiet saucēju vērtības. Programma aprēķinās LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Tagad katrai daļai jāaprēķina papildu koeficienti, kas tiek definēti kā LCM attiecība pret saucēju. Tātad papildu reizinātāji izskatītos šādi:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Pēc tam mēs reizinām visas daļas ar atbilstošo papildu koeficientu un iegūstam:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Mēs varam viegli summēt šādas daļas un iegūt rezultātu kā 159/360. Mēs samazinām daļu par 3 un redzam galīgo atbildi - 53/120.

Lineāro diofantīna vienādojumu risināšana

Lineārie diofantīna vienādojumi ir izteiksmes formā ax + by = d. Ja attiecība d / gcd(a, b) ir vesels skaitlis, tad vienādojums ir atrisināms veselos skaitļos. Pārbaudīsim pāris vienādojumus, lai redzētu, vai tiem ir vesels skaitlis. Vispirms pārbaudīsim vienādojumu 150x + 8y = 37. Izmantojot kalkulatoru, atrodam GCD (150,8) = 2. Daliet 37/2 = 18,5. Skaitlis nav vesels skaitlis, tāpēc vienādojumam nav veselu skaitļu sakņu.

Pārbaudīsim vienādojumu 1320x + 1760y = 10120. Ar kalkulatoru atrodiet GCD(1320, 1760) = 440. Daliet 10120/440 = 23. Rezultātā iegūstam veselu skaitli, tātad Diofantīnas koeficienta koeficienta risināmā vērtība. .

Secinājums

GCD un LCM spēlē lielu lomu skaitļu teorijā, un paši jēdzieni tiek plaši izmantoti dažādās matemātikas jomās. Lai aprēķinātu, izmantojiet mūsu kalkulatoru lielākie dalītāji un jebkura skaitļu mazākie reizinātāji.

Tālāk sniegtais materiāls ir loģisks turpinājums teorijai no raksta ar nosaukumu LCM - mazākais kopīgs reizinājums, definīcija, piemēri, saikne starp LCM un GCD. Šeit mēs runāsim par vismazāk kopīgā daudzkārtņa atrašana (LCM), Un īpašu uzmanību Koncentrēsimies uz piemēru risināšanu. Pirmkārt, mēs parādīsim, kā divu skaitļu LCM tiek aprēķināts, izmantojot šo skaitļu GCD. Tālāk mēs aplūkosim mazākā kopskaita atrašanu, skaitļus ierēķinot primārajos faktoros. Pēc tam mēs koncentrēsimies uz trīs vai vairāku skaitļu LCM atrašanu, kā arī pievērsīsim uzmanību negatīvo skaitļu LCM aprēķināšanai.

Lapas navigācija.

Vismazāko kopskaitu (LCM) aprēķināšana, izmantojot GCD

Viens no veidiem, kā atrast vismazāko kopskaitu, ir balstīts uz LCM un GCD saistību. Esošais savienojums starp LCM un GCD ļauj aprēķināt divu pozitīvu veselu skaitļu mazāko kopīgo daudzkārtni, izmantojot zināmo lielāko kopīgo dalītāju. Atbilstošā formula ir LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Apskatīsim piemērus LCM atrašanai, izmantojot doto formulu.

Piemērs.

Atrodiet divu skaitļu 126 un 70 mazāko kopīgo reizinājumu.

Risinājums.

Šajā piemērā a=126 , b=70 . Izmantosim savienojumu starp LCM un GCD, kas izteikts ar formulu LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Tas ir, vispirms ir jāatrod lielākais skaitļu 70 un 126 kopējais dalītājs, pēc kura mēs varam aprēķināt šo skaitļu LCM, izmantojot rakstīto formulu.

Atradīsim GCD(126, 70), izmantojot Eiklīda algoritmu: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, tātad GCD(126, 70)=14.

Tagad mēs atrodam nepieciešamo mazāko kopējo reizni: GCD(126,70)=126·70:GCD(126,70)= 126·70:14=630.

Atbilde:

LCM(126, 70)=630 .

Piemērs.

Ar ko ir vienāds ar LCM(68, 34)?

Risinājums.

Jo 68 dalās ar 34, tad GCD(68, 34)=34. Tagad mēs aprēķinām mazāko kopīgo reizni: GCD(68,34)=68·34:GCD(68,34)= 68·34:34=68.

Atbilde:

LCM(68, 34)=68 .

Ņemiet vērā, ka iepriekšējais piemērs atbilst šādam noteikumam LCM atrašanai pozitīviem veseliem skaitļiem a un b: ja skaitlis a dalās ar b, tad šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir a.

LCM atrašana, iedalot skaitļus primārajos faktoros

Vēl viens veids, kā atrast vismazāko reizinātāju, ir skaitļu iekļaušana primārajos faktoros. Ja sastāda reizinājumu no visiem doto skaitļu pirmfaktoriem un pēc tam no šī reizinājuma izslēdz visus kopīgos pirmkoeficientus, kas atrodas doto skaitļu izvērsumos, tad iegūtais reizinājums būs vienāds ar doto skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni. .

No vienlīdzības izriet noteikums LCM atrašanai LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Patiešām, skaitļu a un b reizinājums ir vienāds ar visu faktoru reizinājumu, kas iesaistīti skaitļu a un b paplašināšanā. Savukārt GCD(a, b) ir vienāds ar visu pirmfaktoru reizinājumu, kas vienlaicīgi atrodas skaitļu a un b izvērsumos (kā aprakstīts sadaļā par GCD atrašanu, izmantojot skaitļu izvēršanu pirmfaktoros).

Sniegsim piemēru. Ļaujiet mums zināt, ka 75=3·5·5 un 210=2·3·5·7. Sastādīsim reizinājumu no visiem šo paplašinājumu faktoriem: 2·3·3·5·5·5·7 . Tagad no šī produkta mēs izslēdzam visus faktorus, kas ir gan skaitļa 75, gan skaitļa 210 paplašināšanā (šie faktori ir 3 un 5), tad reizinājums būs 2·3·5·5·7. . Šī produkta vērtība ir vienāda ar 75 un 210 mazāko kopējo reizinātāju, tas ir, NOC(75,210)= 2·3·5·5·7=1050.

Piemērs.

Sakārtojiet skaitļus 441 un 700 primārajos faktoros un atrodiet šo skaitļu mazāko kopīgo daudzkārtni.

Risinājums.

Ieskaitīsim skaitļus 441 un 700 galvenajos faktoros:

Iegūstam 441=3·3·7·7 un 700=2·2·5·5·7.

Tagad izveidosim visu šo skaitļu paplašināšanā iesaistīto faktoru reizinājumu: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Izslēgsim no šī produkta visus faktorus, kas vienlaikus ir abos paplašinājumos (tāds ir tikai viens faktors - tas ir skaitlis 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Tādējādi LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Atbilde:

NOC(441; 700) = 44 100 .

Noteikumu LCM atrašanai, izmantojot skaitļu faktorizāciju primārajos faktoros, var formulēt nedaudz savādāk. Ja trūkstošos faktorus no skaitļa b izvērsuma pieskaita faktoriem no skaitļa a izvērsuma, tad iegūtā reizinājuma vērtība būs vienāda ar skaitļu a un b mazāko kopējo daudzkārtni..

Piemēram, ņemsim tos pašus skaitļus 75 un 210, to sadalīšanās pirmfaktoros ir šāda: 75=3·5·5 un 210=2·3·5·7. Pie faktoriem 3, 5 un 5 no skaitļa 75 izvērsuma pievienojam trūkstošos faktorus 2 un 7 no skaitļa 210 izvērsuma, iegūstam reizinājumu 2·3·5·5·7, kura vērtība ir vienāds ar LCM(75, 210).

Piemērs.

Atrodiet skaitļu 84 un 648 mazāko kopīgo daudzkārtni.

Risinājums.

Vispirms iegūstam skaitļu 84 un 648 sadalīšanos pirmfaktoros. Tie izskatās šādi: 84=2·2·3·7 un 648=2·2·2·3·3·3·3. Pie faktoriem 2, 2, 3 un 7 no skaitļa 84 izvērsuma pievienojam trūkstošos faktorus 2, 3, 3 un 3 no skaitļa 648 izvērsuma, iegūstam reizinājumu 2 2 2 3 3 3 3 7, kas ir vienāds ar 4 536 . Tādējādi vēlamais 84 un 648 mazākais kopīgais reizinājums ir 4536.

Atbilde:

LCM(84,648)=4536.

Trīs vai vairāku skaitļu LCM atrašana

Trīs vai vairāku skaitļu mazāko kopīgo reizinātāju var atrast, secīgi atrodot divu skaitļu LCM. Atcerēsimies atbilstošo teorēmu, kas dod iespēju atrast trīs vai vairāk skaitļu LCM.

Teorēma.

Ja ir doti pozitīvi veseli skaitļi a 1 , a 2 , …, a k, šo skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni m k atrod, secīgi aprēķinot m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Apskatīsim šīs teorēmas pielietojumu, izmantojot piemēru, kā atrast četru skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni.

Piemērs.

Atrodiet četru skaitļu 140, 9, 54 un 250 LCM.

Risinājums.

Šajā piemērā a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Vispirms atrodam m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). Lai to izdarītu, izmantojot Eiklīda algoritmu, mēs nosakām GCD(140, 9), mums ir 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, tāpēc GCD(140, 9)=1 , no kurienes GCD(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140·9:1=1260. Tas ir, m 2 = 1 260.

Tagad mēs atrodam m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Aprēķināsim to caur GCD(1 260, 54), ko arī nosakām, izmantojot Eiklīda algoritmu: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Tad gcd(1,260, 54)=18, no kura gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Tas ir, m 3 = 3 780.

Atliek tikai atrast m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Lai to izdarītu, mēs atrodam GCD(3,780, 250), izmantojot Eiklīda algoritmu: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Tāpēc GCM(3780,250)=10, no kurienes GCM(3780,250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. Tas ir, m 4 = 94 500.

Tātad sākotnējo četru skaitļu mazākais kopīgais reizinājums ir 94 500.

Atbilde:

LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.

Daudzos gadījumos ir ērti atrast trīs vai vairāk skaitļu mazāko kopīgo reizinātāju, izmantojot doto skaitļu pirmfaktorizācijas. Šajā gadījumā jums jāievēro šāds noteikums. Vairāku skaitļu mazākais kopīgais reizinājums ir vienāds ar reizinājumu, ko veido šādi: trūkstošos faktorus no otrā skaitļa paplašināšanas pieskaita visiem faktoriem no pirmā skaitļa paplašināšanas, trūkstošos faktorus no skaitļa paplašināšanas. iegūtajiem faktoriem tiek pievienots trešais skaitlis utt.

Apskatīsim piemēru, kā atrast vismazāko kopējo reizinātāju, izmantojot primāro faktorizāciju.

Piemērs.

Atrodiet piecu skaitļu 84, 6, 48, 7, 143 mazāko kopīgo reizinātāju.

Risinājums.

Pirmkārt, mēs iegūstam šo skaitļu sadalīšanu pirmfaktoros: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 ir pirmskaitlis, tas sakrīt ar tā sadalīšanos pirmfaktoros) un 143=11·13.

Lai atrastu šo skaitļu LCM, pirmā skaitļa 84 faktoriem (tie ir 2, 2, 3 un 7), jums jāpievieno trūkstošie faktori no otrā skaitļa 6 paplašinājuma. Skaitļa 6 dekompozīcija nesatur trūkstošos faktorus, jo gan 2, gan 3 jau ir klāt pirmā skaitļa 84 sadalīšanā. Tālāk pie faktoriem 2, 2, 3 un 7 pievienojam trūkstošos faktorus 2 un 2 no trešā skaitļa 48 izvērsuma, iegūstam faktoru 2, 2, 2, 2, 3 un 7 kopu. Nākamajā solī šai kopai nebūs jāpievieno reizinātāji, jo tajā jau ir ietverts 7. Visbeidzot, faktoriem 2, 2, 2, 2, 3 un 7 mēs pievienojam trūkstošos faktorus 11 un 13 no skaitļa 143 izvērsuma. Iegūstam reizinājumu 2·2·2·2·3·7·11·13, kas ir vienāds ar 48 048.

Daudzkārtējs ir skaitlis, kas dalās ar dotais numurs bez pēdām. Ciparu grupas mazākais kopīgais daudzkārtnis (LCM) ir mazākais skaitlis, kas dalās ar katru skaitļu grupā, neatstājot atlikumu. Lai atrastu mazāko kopējo reizinājumu, jāatrod doto skaitļu pirmfaktori. LCM var aprēķināt arī, izmantojot vairākas citas metodes, kas attiecas uz divu vai vairāku skaitļu grupām.

Soļi

Vairāku sērija

Apskatiet šos skaitļus.Šeit aprakstīto metodi vislabāk izmantot, ja ir doti divi skaitļi, no kuriem katrs ir mazāks par 10. Ja norādīts lieli cipari, izmantojiet citu metodi.

• Piemēram, atrodiet 5 un 8 mazāko kopējo reizinātāju. Tie ir mazi skaitļi, tāpēc varat izmantot šo metodi.

1. Daudzkārtējs ir skaitlis, kas dalās ar noteiktu skaitli bez atlikuma. Vairākus var atrast reizināšanas tabulā.

   • Piemēram, skaitļi, kas reizināti ar 5, ir: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Pierakstiet skaitļu sēriju, kas ir pirmā skaitļa reizinājums. Dariet to zem pirmā skaitļa reizinātājiem, lai salīdzinātu divas skaitļu kopas.

   • Piemēram, skaitļi, kas reizinās ar 8, ir: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 un 64.

3. Atrodiet mazāko skaitli, kas ir abās daudzkārtņu kopās. Lai atrastu kopējo skaitli, iespējams, būs jāraksta garas reizinātāju sērijas. Mazākais skaitlis, kas atrodas abās reizinātāju kopās, ir mazākais kopīgais daudzkārtnis.

   • Piemēram, mazākais skaitlis, kas parādās 5 un 8 reizinātāju virknē, ir skaitlis 40. Tāpēc 40 ir 5 un 8 mazākais kopīgais daudzkārtnis.

   Galvenā faktorizācija

   1. Apskatiet šos skaitļus.Šeit aprakstīto metodi vislabāk izmantot, ja tiek doti divi skaitļi, no kuriem katrs ir lielāks par 10. Ja norādīti mazāki skaitļi, izmantojiet citu metodi.

      • Piemēram, atrodiet skaitļu 20 un 84 mazāko kopīgo reizinātāju. Katrs no skaitļiem ir lielāks par 10, tāpēc varat izmantot šo metodi.

   2. Sakārtojiet pirmo skaitli galvenajos faktoros. Tas ir, jums ir jāatrod tāds pirmskaitļi, reizinot, tiek iegūts šis skaitlis. Kad esat atradis galvenos faktorus, ierakstiet tos kā vienādības.

      • Piemēram, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Un 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) ) = 10). Tādējādi vienkārši faktori skaitļi 20 ir skaitļi 2, 2 un 5. Uzrakstiet tos kā izteiksmi: .

   3. Otro skaitli veidojiet primārajos faktoros. Dariet to tāpat kā pirmo skaitļu, tas ir, atrodiet tādus pirmskaitļus, kurus reizinot, tiks iegūts dotais skaitlis.

      • Piemēram, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) Un 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) = 6). Tādējādi skaitļa 84 pirmfaktori ir skaitļi 2, 7, 3 un 2. Uzrakstiet tos kā izteiksmi: .

   4. Pierakstiet abus skaitļus kopīgos faktorus. Uzrakstiet tādus faktorus kā reizināšanas darbību. Rakstot katru faktoru, izsvītrojiet to abās izteiksmēs (izteiksmēs, kas apraksta skaitļu faktorizāciju pirmfaktoros).

      • Piemēram, abiem skaitļiem ir kopīgs koeficients 2, tāpēc rakstiet 2 × (\displaystyle 2\times ) un izsvītrojiet 2 abos izteicienos.
      • Abiem skaitļiem kopīgs ir vēl viens koeficients 2, tāpēc rakstiet 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) un izsvītrojiet otros 2 abos izteicienos.

   5. Pievienojiet atlikušos faktorus reizināšanas darbībai. Tie ir faktori, kas nav izsvītroti abās izteiksmēs, tas ir, faktori, kas nav kopīgi abiem skaitļiem.

      • Piemēram, izteiksmē 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\reizes 2\reizes 5) Abi divi (2) ir izsvītroti, jo tie ir kopīgi faktori. Koeficients 5 nav izsvītrots, tāpēc ierakstiet reizināšanas darbību šādi: 2 × 2 × 5 (\displeja stils 2\reizes 2\reizes 5)
      • Izteiksmē 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\reizes 7\reizes 3\reizes 2) abi divi (2) arī ir izsvītroti. Koeficienti 7 un 3 nav izsvītroti, tāpēc ierakstiet reizināšanas darbību šādi: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displeja stils 2\reizes 2\reizes 5\reizes 7\reizes 3).

   6. Aprēķiniet mazāko kopējo reizni. Lai to izdarītu, rakstiskajā reizināšanas darbībā reiziniet skaitļus.

      • Piemēram, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displeja stils 2\reizes 2\reizes 5\reizes 7\reizes 3 = 420). Tātad 20 un 84 mazākais kopīgais reizinājums ir 420.

   Kopīgu faktoru atrašana

   1. Uzzīmējiet režģi, piemēram, tic-tac-toe spēlei.Šāds režģis sastāv no divām paralēlām līnijām, kas krustojas (taisnā leņķī) ar citām divām paralēlām līnijām. Tādējādi jūs iegūsit trīs rindas un trīs kolonnas (režģis ļoti līdzinās ikonai #). Ierakstiet pirmo numuru pirmajā rindā un otrajā kolonnā. Pirmajā rindā un trešajā kolonnā ierakstiet otro numuru.

      • Piemēram, atrodiet skaitļu 18 un 30 mazāko kopējo daudzkārtni. Pirmajā rindā un otrajā kolonnā ierakstiet skaitli 18, bet pirmajā rindā un trešajā kolonnā ierakstiet skaitli 30.

   2. Atrodiet abiem skaitļiem kopīgo dalītāju. Pierakstiet to pirmajā rindā un pirmajā kolonnā. Labāk ir meklēt galvenos faktorus, taču tā nav obligāta prasība.

      • Piemēram, 18 un 30 ir pāra skaitļi, tāpēc to kopējais koeficients būs 2. Tātad pirmajā rindā un pirmajā kolonnā ierakstiet 2.

   3. Sadaliet katru skaitli ar pirmo dalītāju. Pierakstiet katru koeficientu zem atbilstošā skaitļa. Koeficients ir divu skaitļu dalīšanas rezultāts.

      • Piemēram, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), tāpēc rakstiet 9 līdz 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), tāpēc pierakstiet 15 zem 30.

   4. Atrodiet dalītāju, kas kopīgs abiem koeficientiem. Ja šāda dalītāja nav, izlaidiet nākamās divas darbības. Pretējā gadījumā ierakstiet dalītāju otrajā rindā un pirmajā kolonnā.

      • Piemēram, 9 un 15 dalās ar 3, tāpēc otrajā rindā un pirmajā kolonnā ierakstiet 3.

   5. Sadaliet katru koeficientu ar tā otro dalītāju. Ierakstiet katra dalījuma rezultātu zem atbilstošā koeficienta.

      • Piemēram, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), tāpēc zem 9 rakstiet 3.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), tāpēc rakstiet 5 līdz 15.

   6. Ja nepieciešams, pievienojiet režģim papildu šūnas. Atkārtojiet aprakstītās darbības, līdz koeficientiem ir kopīgs dalītājs.

   7. Apvelciet skaitļus režģa pirmajā kolonnā un pēdējā rindā. Pēc tam ierakstiet atlasītos skaitļus kā reizināšanas darbību.

      • Piemēram, skaitļi 2 un 3 atrodas pirmajā kolonnā, bet skaitļi 3 un 5 atrodas pēdējā rindā, tāpēc ierakstiet reizināšanas darbību šādi: 2 × 3 × 3 × 5 (\displeja stils 2\reizes 3\reizes 3\reizes 5).

   8. Atrodiet skaitļu reizināšanas rezultātu. Tādējādi tiks aprēķināts divu norādīto skaitļu mazākais kopējais reizinājums.

      • Piemēram, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displeja stils 2\reizes 3\reizes 3\reizes 5 = 90). Tātad skaitļu 18 un 30 mazākais kopīgais reizinājums ir 90.

   Eiklida algoritms

   1. Atcerieties terminoloģiju, kas saistīta ar sadalīšanas darbību. Dividende ir skaitlis, kas tiek dalīts. Dalītājs ir skaitlis, ar kuru tiek dalīts. Koeficients ir divu skaitļu dalīšanas rezultāts. Atlikums ir skaitlis, kas paliek, sadalot divus skaitļus.

      • Piemēram, izteiksmē 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 ir dividende
        6 ir dalītājs
        2 ir koeficients
        3 ir atlikums.

Otrais numurs: b=

Tūkstoš atdalītājs Bez atstarpes atdalītāja "´

Rezultāts:

Lielākais kopīgais dalītājs gcd( a,b)=6

LCM( a,b)=468

Lieliskākais dabiskais skaitlis, ar kuru skaitļus a un b dala bez atlikuma, sauc lielākais kopīgais dalītājs(GCD) no šiem skaitļiem. Apzīmē ar gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) vai hcf(a,b).

Vismazāk sastopamais daudzkārtnis Divu veselu skaitļu a un b LCM ir mazākais dabiskais skaitlis, kas dalās ar a un b bez atlikuma. Apzīmēts ar LCM(a,b) vai lcm(a,b).

Tiek izsaukti veseli skaitļi a un b savstarpēji galvenais, ja tiem nav citu kopīgu dalītāju, izņemot +1 un –1.

Lielākais kopīgais dalītājs

Doti divi pozitīvi skaitļi a 1 un a 2 1). Nepieciešams atrast šo skaitļu kopējo dalītāju, t.i. atrast šādu numuru λ , kas dala skaitļus a 1 un a 2 vienlaicīgi. Aprakstīsim algoritmu.

1) Šajā rakstā vārds skaitlis tiks saprasts kā vesels skaitlis.

Ļaujiet a 1 ≥ a 2 un ļauj

Kur m 1 , a 3 ir daži veseli skaitļi, a 3 <a 2 (nodaļas atlikums a 1 per a 2 jābūt mazākam a 2).

Pieņemsim, ka λ sadala a 1 un a 2 tad λ sadala m 1 a 2 un λ sadala a 1 −m 1 a 2 =a 3 (raksta “Skaitļu dalāmība. Dalāmības pārbaude” 2. apgalvojums). No tā izriet, ka katrs kopīgais dalītājs a 1 un a 2 ir kopējais dalītājs a 2 un a 3. Ir arī otrādi, ja λ kopīgs dalītājs a 2 un a 3 tad m 1 a 2 un a 1 =m 1 a 2 +a 3 arī dalās ar λ . Tāpēc kopējais dalītājs a 2 un a 3 ir arī kopīgs dalītājs a 1 un a 2. Jo a 3 <a 2 ≤a 1, tad varam teikt, ka skaitļu kopīgā dalītāja atrašanas problēmas risinājums a 1 un a 2 reducēts līdz vienkāršākai problēmai atrast kopējo skaitļu dalītāju a 2 un a 3 .

Ja a 3 ≠0, tad varam dalīt a 2 uz a 3. Tad

,

Kur m 1 un a 4 ir daži veseli skaitļi, ( a 4 atlikumi no divīzijas a 2 uz a 3 (a 4 <a 3)). Ar līdzīgu argumentāciju mēs nonākam pie secinājuma, ka kopīgie skaitļu dalītāji a 3 un a 4 sakrīt ar kopējiem skaitļu dalītājiem a 2 un a 3, un arī ar kopīgiem dalītājiem a 1 un a 2. Jo a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... ir skaitļi, kas pastāvīgi samazinās, un tā kā starp ir ierobežots veselu skaitļu skaits a 2 un 0, tad kādā solī n, nodaļas atlikums a n uz a n+1 būs vienāds ar nulli ( a n+2 =0).

.

Katrs kopīgs dalītājs λ cipariem a 1 un a 2 ir arī skaitļu dalītājs a 2 un a 3 , a 3 un a 4 , .... a n un a n+1. Arī otrādi ir skaitļu kopējie dalītāji a n un a n+1 ir arī skaitļu dalītāji a n-1 un a n , .... , a 2 un a 3 , a 1 un a 2. Bet kopējais skaitļu dalītājs a n un a n+1 ir skaitlis a n+1 , jo a n un a n+1 dalās ar a n+1 (atcerieties to a n+2 =0). Līdz ar to a n+1 ir arī skaitļu dalītājs a 1 un a 2 .

Ņemiet vērā, ka numurs a n+1 ir lielākais skaitļu dalītājs a n un a n+1 , kopš lielākā dalītāja a n+1 ir pati par sevi a n+1. Ja a n+1 var attēlot kā veselu skaitļu reizinājumu, tad šie skaitļi ir arī parastie skaitļu dalītāji a 1 un a 2. Numurs a n+1 sauc lielākais kopīgais dalītājs cipariem a 1 un a 2 .

Skaitļi a 1 un a 2 var būt pozitīvi vai negatīvi skaitļi. Ja viens no skaitļiem ir vienāds ar nulli, tad šo skaitļu lielākais kopīgais dalītājs būs vienāds ar otra skaitļa absolūto vērtību. Nulles skaitļu lielākais kopīgais dalītājs nav definēts.

Iepriekš minētais algoritms tiek saukts Eiklīda algoritms lai atrastu divu veselu skaitļu lielāko kopīgo dalītāju.

Piemērs divu skaitļu lielākā kopīgā dalītāja atrašanai

Atrodiet divu skaitļu 630 un 434 lielāko kopīgo dalītāju.

• 1. solis. Sadaliet skaitli 630 ar 434. Atlikums ir 196.
• 2. solis. Sadaliet skaitli 434 ar 196. Atlikušais ir 42.
• 3. solis. Sadaliet skaitli 196 ar 42. Atlikums ir 28.
• 4. solis. Sadaliet skaitli 42 ar 28. Atlikums ir 14.
• 5. solis. Sadaliet skaitli 28 ar 14. Atlikums ir 0.

5. solī dalījuma atlikums ir 0. Tāpēc skaitļu 630 un 434 lielākais kopīgais dalītājs ir 14. Ņemiet vērā, ka skaitļi 2 un 7 ir arī skaitļu 630 un 434 dalītāji.

Kopirma skaitļi

Definīcija 1. Pieņemsim skaitļu lielāko kopējo dalītāju a 1 un a 2 ir vienāds ar vienu. Tad šie numuri tiek izsaukti pirmskaitļi, kam nav kopīga dalītāja.

Teorēma 1. Ja a 1 un a 2 pirmskaitļi un λ kāds skaitlis, tad jebkurš kopīgs skaitļu dalītājs λa 1 un a 2 ir arī kopīgs skaitļu dalītājs λ Un a 2 .

Pierādījums. Apsveriet Eiklīda algoritmu, lai atrastu lielāko kopējo skaitļu dalītāju a 1 un a 2 (skatīt iepriekš).

.

No teorēmas nosacījumiem izriet, ka lielākais skaitļu kopējais dalītājs a 1 un a 2 un tāpēc a n un a n+1 ir 1. Tas ir a n+1 =1.

Sareizināsim visas šīs vienādības ar λ , Tad

.

Ļaujiet kopējam dalītājam a 1 λ Un a 2 jā δ . Tad δ ir iekļauts kā reizinātājs a 1 λ , m 1 a 2 λ un iekšā a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (sk. "Skaitļu dalāmība", 2. apgalvojums). Tālāk δ ir iekļauts kā reizinātājs a 2 λ Un m 2 a 3 λ , un tāpēc ir iekļauts kā faktors a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Spriežot šādi, mēs esam pārliecināti δ ir iekļauts kā reizinātājs a n-1 λ Un m n-1 a n λ , un tāpēc iekšā a n-1 λ −m n-1 a n λ =a n+1 λ . Jo a n+1 =1, tad δ ir iekļauts kā reizinātājs λ . Tāpēc numurs δ ir kopējais skaitļu dalītājs λ Un a 2 .

Apskatīsim 1. teorēmas īpašos gadījumus.

Sekas 1. Ļaujiet a Un c Pirmskaitļi ir relatīvi b. Tad viņu produkts ac ir pirmskaitlis attiecībā pret b.

Tiešām. No 1. teorēmas ac Un b ir tādi paši kopīgie dalītāji kā c Un b. Bet skaitļi c Un b salīdzinoši vienkārši, t.i. ir viens kopīgs dalītājs 1. Tad ac Un b ir arī viens kopīgs dalītājs 1. Tāpēc ac Un b savstarpēji vienkārši.

Sekas 2. Ļaujiet a Un b kopskaitļi un ļaujiet b sadala ak. Tad b sadala un k.

Tiešām. No apstiprināšanas nosacījuma ak Un b ir kopīgs dalītājs b. Saskaņā ar 1. teorēmu, b jābūt kopējam dalītājam b Un k. Līdz ar to b sadala k.

1. secinājumu var vispārināt.

Sekas 3. 1. Ļaujiet skaitļiem a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m ir pirmskaitļi attiecībā pret skaitli b. Tad a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, šo skaitļu reizinājums ir pirmskaitlis attiecībā pret skaitli b.

2. Pieņemsim divas skaitļu rindas

tā, ka katrs skaitlis pirmajā rindā ir pirmskaitlis attiecībā pret katru skaitli otrajā rindā. Pēc tam produkts

Jums jāatrod skaitļi, kas dalās ar katru no šiem skaitļiem.

Ja skaitlis dalās ar a 1, tad tam ir forma sa 1 kur s kādu numuru. Ja q ir lielākais skaitļu kopējais dalītājs a 1 un a 2, tad

Kur s 1 ir vesels skaitlis. Tad

ir skaitļu vismazākie kopējie reizinātāji a 1 un a 2 .

a 1 un a 2 ir relatīvi pirmskaitļi, tad skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis a 1 un a 2:

Mums jāatrod šo skaitļu mazākais kopīgais reizinājums.

No iepriekš minētā izriet, ka jebkurš skaitļu daudzkārtnis a 1 , a 2 , a 3 ir jābūt skaitļu reizinājumam ε Un a 3 un atpakaļ. Ņemiet vērā skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni ε Un a 3 jā ε 1. Tālāk, skaitļu daudzkārtņi a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ir jābūt skaitļu reizinājumam ε 1 un a 4. Pieņemsim skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni ε 1 un a 4 jā ε 2. Tādējādi mēs noskaidrojām, ka visi skaitļu daudzkārtņi a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sakrīt ar noteikta skaitļa daudzkārtņiem ε n, ko sauc par doto skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni.

Īpašā gadījumā, kad cipari a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ir relatīvi pirmskaitļi, tad skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis a 1 , a 2, kā parādīts iepriekš, ir forma (3). Nākamais, kopš a 3 pirmskaitlis attiecībā pret skaitļiem a 1 , a 2 tad a 3 pirmskaitlis a 1 · a 2 (1. secinājums). Nozīmē skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni a 1 ,a 2 ,a 3 ir skaitlis a 1 · a 2 · a 3. Spriežot līdzīgi, mēs nonākam pie šādiem apgalvojumiem.

Paziņojums 1. Vismazākais kopskaitļu daudzkārtnis a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ir vienāds ar to reizinājumu a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Paziņojums 2. Jebkurš skaitlis, kas dalās ar katru kopskaitli a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m arī dalās ar to reizinājumu a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.