Definīcija. Lieliskākais dabiskais skaitlis, ar kuru skaitļus a un b dala bez atlikuma, sauc lielākais kopīgais dalītājs (GCD)šie skaitļi.
Atradīsim lielāko kopīgs dalītājs numuri 24 un 35.
24 dalītāji ir skaitļi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, bet 35 dalītāji ir skaitļi 1, 5, 7, 35.
Mēs redzam, ka skaitļiem 24 un 35 ir tikai viens kopīgs dalītājs - skaitlis 1. Tādus skaitļus sauc savstarpēji galvenais.
Definīcija. Tiek saukti naturālie skaitļi savstarpēji galvenais, ja to lielākais kopīgais dalītājs (GCD) ir 1.
Lielākais kopīgais dalītājs (GCD) var atrast, neizrakstot visus doto skaitļu dalītājus.
Aprēķināsim skaitļus 48 un 36 un iegūsim:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
No faktoriem, kas iekļauti pirmā no šiem skaitļiem, izsvītrojam tos, kas nav iekļauti otrā skaitļa izvēršanā (t.i., divi divnieki).
Atlikušie faktori ir 2 * 2 * 3. To reizinājums ir vienāds ar 12. Šis skaitlis ir lielākais skaitļu 48 un 36 kopīgais dalītājs. Tiek atrasts arī lielākais trīs vai vairāku skaitļu kopējais dalītājs.
Atrast lielākais kopīgais dalītājs
2) no faktoriem, kas iekļauti viena no šo skaitļu izvēršanā, izsvītro tos, kas nav iekļauti citu skaitļu izvēršanā;
3) atrast atlikušo faktoru reizinājumu.
Ja visi dotie skaitļi dalās ar vienu no tiem, tad šis skaitlis ir lielākais kopīgais dalītājs dotos skaitļus.
Piemēram, skaitļu 15, 45, 75 un 180 lielākais kopīgais dalītājs ir skaitlis 15, jo visi pārējie skaitļi dalās ar to: 45, 75 un 180.
Mazāk izplatītais daudzkārtnis (LCM)
Definīcija. Mazāk izplatītais daudzkārtnis (LCM) naturālie skaitļi a un b ir mazākais naturālais skaitlis, kas ir gan a, gan b reizinājums. Skaitļu 75 un 60 mazāko kopīgo reizinātāju (LCM) var atrast, nepierakstot šo skaitļu daudzkārtņus pēc kārtas. Lai to izdarītu, sadalīsim 75 un 60 galvenie faktori: 75 = 3 * 5 * 5 un 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Pierakstīsim pirmā no šiem skaitļiem izvērsumā iekļautos faktorus un pieskaitīsim tiem trūkstošos faktorus 2 un 2 no otrā skaitļa izvērsuma (t.i., faktorus apvienojam).
Mēs iegūstam piecus faktorus 2 * 2 * 3 * 5 * 5, kuru reizinājums ir 300. Šis skaitlis ir skaitļu 75 un 60 mazākais kopīgais reizinājums.
Viņi arī atrod trīs vai vairāku skaitļu mazāko kopīgo reizinātāju.
Uz atrast vismazāko kopskaitli vairāki naturālie skaitļi, jums ir nepieciešams:
1) faktorēt tos primārajos faktoros;
2) pierakstiet viena no skaitļiem izvērsumā iekļautos faktorus;
3) pievienojiet tiem trūkstošos faktorus no atlikušo skaitļu paplašinājumiem;
4) atrast iegūto faktoru reizinājumu.
Ņemiet vērā: ja viens no šiem skaitļiem dalās ar visiem pārējiem skaitļiem, tad šis skaitlis ir šo skaitļu mazākais kopīgais reizinājums.
Piemēram, skaitļu 12, 15, 20 un 60 mazākais kopīgais reizinājums ir 60, jo tas dalās ar visiem šiem skaitļiem.
Pitagors (VI gs. p.m.ē.) un viņa skolēni pētīja jautājumu par skaitļu dalāmību. numurs, vienāds ar summu Viņi sauca visus tā dalītājus (bez paša skaitļa) par perfektu skaitli. Piemēram, skaitļi 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) ir ideāli. Nākamie ideālie skaitļi ir 496, 8128, 33 550 336. Pitagorieši zināja tikai pirmos trīs perfektos skaitļus. Ceturtais - 8128 - kļuva zināms 1. gadsimtā. n. e. Piektais - 33 550 336 - tika atrasts 15. gadsimtā. 1983. gadā jau bija zināmi 27 ideāli skaitļi. Taču zinātnieki joprojām nezina, vai ir nepāra ideālie skaitļi, vai arī ir lielākais ideālais skaitlis.
Seno matemātiķu interese par pirmskaitļiem izriet no tā, ka jebkurš skaitlis ir vai nu pirmskaitlis, vai arī to var attēlot kā reizinājumu. pirmskaitļi, t.i., pirmskaitļi ir kā ķieģeļi, no kuriem tiek būvēti pārējie naturālie skaitļi.
Droši vien pamanījāt, ka pirmskaitļi naturālo skaitļu rindās rodas nevienmērīgi – dažās sērijas daļās to ir vairāk, citās – mazāk. Bet, jo tālāk virzāmies pa skaitļu sērijām, jo retāk ir pirmskaitļi. Rodas jautājums: vai pastāv pēdējais (lielākais) pirmskaitlis? Sengrieķu matemātiķis Eiklīds (3. gs. p.m.ē.) savā grāmatā “Elementi”, kas divus tūkstošus gadu bija galvenā matemātikas mācību grāmata, pierādīja, ka pirmskaitļu ir bezgalīgi daudz, t.i., aiz katra pirmskaitļa ir vēl lielāks pirmskaitlis. numuru.
Lai atrastu pirmskaitļus, cits tā paša laika grieķu matemātiķis Eratostens nāca klajā ar šo metodi. Viņš pierakstīja visus skaitļus no 1 līdz kādam skaitlim un pēc tam izsvītroja vienu, kas nav ne pirmskaitlis, ne salikts skaitlis, pēc tam caur vienu izsvītroja visus skaitļus, kas nāk aiz 2 (skaitļus, kas ir 2, t.i., 4, reizinātāji, 6, 8 utt.). Pirmais atlikušais skaitlis pēc 2 bija 3. Pēc tam pēc diviem tika izsvītroti visi skaitļi, kas nāk pēc 3 (skaitļi, kas ir 3 reizinātāji, t.i., 6, 9, 12 utt.). beigās nešķērsoti palika tikai pirmskaitļi.
Tālāk sniegtais materiāls ir loģisks turpinājums teorijai no raksta ar nosaukumu LCM - mazākais kopīgs reizinājums, definīcija, piemēri, saikne starp LCM un GCD. Šeit mēs runāsim par vismazāk kopīgā daudzkārtņa atrašana (LCM), Un Īpaša uzmanība Koncentrēsimies uz piemēru risināšanu. Pirmkārt, mēs parādīsim, kā divu skaitļu LCM tiek aprēķināts, izmantojot šo skaitļu GCD. Tālāk mēs aplūkosim vismazākā kopskaita atrašanu, skaitļus ierēķinot primārajos faktoros. Pēc tam mēs koncentrēsimies uz trīs vai vairāku skaitļu LCM atrašanu, kā arī pievērsīsim uzmanību negatīvo skaitļu LCM aprēķināšanai.
Lapas navigācija.
Vismazāko kopsavilkumu (LCM) aprēķināšana, izmantojot GCD
Viens no veidiem, kā atrast vismazāko kopskaitu, ir balstīts uz LCM un GCD saistību. Esošais savienojums starp LCM un GCD ļauj aprēķināt divu pozitīvu veselu skaitļu mazāko kopīgo daudzkārtni, izmantojot zināmo lielāko kopīgo dalītāju. Atbilstošā formula ir LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Apskatīsim piemērus LCM atrašanai, izmantojot doto formulu.
Piemērs.
Atrodiet divu skaitļu 126 un 70 mazāko kopīgo reizinājumu.
Risinājums.
Šajā piemērā a=126 , b=70 . Izmantosim savienojumu starp LCM un GCD, kas izteikts ar formulu LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Tas ir, vispirms ir jāatrod lielākais skaitļu 70 un 126 kopējais dalītājs, pēc kura mēs varam aprēķināt šo skaitļu LCM, izmantojot rakstīto formulu.
Atradīsim GCD(126, 70), izmantojot Eiklīda algoritmu: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, tātad GCD(126, 70)=14.
Tagad mēs atrodam nepieciešamo mazāko kopīgo reizni: GCD(126,70)=126·70:GCD(126,70)= 126·70:14=630.
Atbilde:
LCM(126, 70)=630 .
Piemērs.
Ar ko ir vienāds ar LCM(68, 34)?
Risinājums.
Jo 68 dalās ar 34, tad GCD(68, 34)=34. Tagad mēs aprēķinām mazāko kopīgo reizni: GCD(68,34)=68·34:GCD(68,34)= 68·34:34=68.
Atbilde:
LCM(68, 34)=68 .
Ņemiet vērā, ka iepriekšējais piemērs atbilst šādam noteikumam LCM atrašanai pozitīviem veseliem skaitļiem a un b: ja skaitlis a dalās ar b, tad šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir a.
LCM atrašana, iedalot skaitļus primārajos faktoros
Vēl viens veids, kā atrast vismazāko reizinātāju, ir skaitļu iekļaušana primārajos faktoros. Ja sastāda reizinājumu no visiem doto skaitļu pirmfaktoriem un pēc tam no šī reizinājuma izslēdz visus kopīgos pirmkoeficientus, kas ir doto skaitļu dekompozīcijās, tad iegūtais reizinājums būs vienāds ar doto skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni. .
No vienlīdzības izriet noteikums LCM atrašanai LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Patiešām, skaitļu a un b reizinājums ir vienāds ar visu faktoru reizinājumu, kas iesaistīti skaitļu a un b paplašināšanā. Savukārt GCD(a, b) ir vienāds ar visu pirmfaktoru reizinājumu, kas vienlaicīgi atrodas skaitļu a un b izvērsumos (kā aprakstīts sadaļā par GCD atrašanu, izmantojot skaitļu izvēršanu pirmfaktoros).
Sniegsim piemēru. Ļaujiet mums zināt, ka 75=3·5·5 un 210=2·3·5·7. Sastādīsim reizinājumu no visiem šo paplašinājumu faktoriem: 2·3·3·5·5·5·7 . Tagad no šī produkta mēs izslēdzam visus faktorus, kas ir gan skaitļa 75, gan skaitļa 210 paplašināšanā (šie faktori ir 3 un 5), tad reizinājums būs 2·3·5·5·7. . Šī produkta vērtība ir vienāda ar 75 un 210 mazāko kopīgo reizinātāju, tas ir, NOC(75,210)= 2·3·5·5·7=1050.
Piemērs.
Sakārtojiet skaitļus 441 un 700 primārajos faktoros un atrodiet šo skaitļu mazāko kopīgo daudzkārtni.
Risinājums.
Ieskaitīsim skaitļus 441 un 700 primārajos faktoros:
Iegūstam 441=3·3·7·7 un 700=2·2·5·5·7.
Tagad izveidosim produktu no visiem faktoriem, kas ir iesaistīti šo skaitļu paplašināšanā: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Izslēgsim no šī produkta visus faktorus, kas vienlaikus ir abos paplašinājumos (tāds ir tikai viens faktors - tas ir skaitlis 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Tādējādi LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Atbilde:
NOC(441; 700) = 44 100 .
Noteikumu LCM atrašanai, izmantojot skaitļu faktorizāciju primārajos faktoros, var formulēt nedaudz savādāk. Ja trūkstošos faktorus no skaitļa b izvērsuma pieskaita faktoriem no skaitļa a izvērsuma, tad iegūtā reizinājuma vērtība būs vienāda ar skaitļu a un b mazāko kopējo daudzkārtni..
Piemēram, ņemsim tos pašus skaitļus 75 un 210, to sadalīšanās pirmfaktoros ir šāda: 75=3·5·5 un 210=2·3·5·7. Pie faktoriem 3, 5 un 5 no skaitļa 75 izvērsuma pievienojam trūkstošos faktorus 2 un 7 no skaitļa 210 izvērsuma, iegūstam reizinājumu 2·3·5·5·7, kura vērtība ir vienāds ar LCM(75, 210).
Piemērs.
Atrodiet skaitļu 84 un 648 mazāko kopīgo daudzkārtni.
Risinājums.
Vispirms iegūstam skaitļu 84 un 648 sadalīšanos pirmfaktoros. Tie izskatās šādi: 84=2·2·3·7 un 648=2·2·2·3·3·3·3. Pie faktoriem 2, 2, 3 un 7 no skaitļa 84 izvērsuma pievienojam trūkstošos faktorus 2, 3, 3 un 3 no skaitļa 648 izvērsuma, iegūstam reizinājumu 2 2 2 3 3 3 3 7, kas ir vienāds ar 4 536 . Tādējādi vēlamais 84 un 648 mazākais kopīgais reizinājums ir 4536.
Atbilde:
LCM(84,648)=4536.
Trīs vai vairāku skaitļu LCM atrašana
Trīs vai vairāku skaitļu mazāko kopīgo reizinātāju var atrast, secīgi atrodot divu skaitļu LCM. Atcerēsimies atbilstošo teorēmu, kas dod iespēju atrast trīs vai vairāk skaitļu LCM.
Teorēma.
Ja ir doti pozitīvi veseli skaitļi a 1 , a 2 , …, a k, šo skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni m k atrod, secīgi aprēķinot m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Apskatīsim šīs teorēmas pielietojumu, izmantojot piemēru, kā atrast četru skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni.
Piemērs.
Atrodiet četru skaitļu 140, 9, 54 un 250 LCM.
Risinājums.
Šajā piemērā a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Vispirms atrodam m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Lai to izdarītu, izmantojot Eiklīda algoritmu, mēs nosakām GCD(140, 9), mums ir 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, tāpēc GCD(140, 9)=1 , no kurienes GCD(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140·9:1=1260. Tas ir, m 2 = 1 260.
Tagad mēs atrodam m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Aprēķināsim to caur GCD(1 260, 54), ko arī nosakām, izmantojot Eiklīda algoritmu: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Tad gcd(1,260, 54)=18, no kura gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Tas ir, m 3 = 3 780.
Atliek tikai atrast m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Lai to izdarītu, mēs atrodam GCD(3,780, 250), izmantojot Eiklīda algoritmu: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Tāpēc GCM(3780,250)=10, no kurienes GCM(3780,250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. Tas ir, m 4 = 94 500.
Tātad sākotnējo četru skaitļu mazākais kopīgais reizinājums ir 94 500.
Atbilde:
LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.
Daudzos gadījumos ir ērti atrast trīs vai vairāk skaitļu mazāko kopīgo reizinātāju, izmantojot doto skaitļu pirmfaktorizācijas. Šajā gadījumā jums jāievēro šāds noteikums. Vairāku skaitļu mazākais kopīgais reizinājums ir vienāds ar reizinājumu, ko veido šādi: trūkstošos faktorus no otrā skaitļa paplašināšanas pieskaita visiem faktoriem no pirmā skaitļa paplašināšanas, trūkstošos faktorus no skaitļa paplašināšanas. iegūtajiem faktoriem tiek pievienots trešais skaitlis utt.
Apskatīsim piemēru, kā atrast vismazāko kopējo reizinātāju, izmantojot primāro faktorizāciju.
Piemērs.
Atrodiet piecu skaitļu 84, 6, 48, 7, 143 mazāko kopīgo reizinātāju.
Risinājums.
Pirmkārt, mēs iegūstam šo skaitļu sadalīšanu pirmfaktoros: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 ir pirmskaitlis, tas sakrīt ar tā sadalīšanos pirmfaktoros) un 143=11·13.
Lai atrastu šo skaitļu LCM, pirmā skaitļa 84 faktoriem (tie ir 2, 2, 3 un 7), jums jāpievieno trūkstošie faktori no otrā skaitļa 6 paplašinājuma. Skaitļa 6 dekompozīcija nesatur trūkstošos faktorus, jo gan 2, gan 3 jau ir klāt pirmā skaitļa 84 sadalīšanā. Tālāk pie faktoriem 2, 2, 3 un 7 pievienojam trūkstošos faktorus 2 un 2 no trešā skaitļa 48 izvērsuma, iegūstam faktoru 2, 2, 2, 2, 3 un 7 kopu. Nākamajā solī šai kopai nebūs jāpievieno reizinātāji, jo tajā jau ir ietverts 7. Visbeidzot, faktoriem 2, 2, 2, 2, 3 un 7 mēs pievienojam trūkstošos faktorus 11 un 13 no skaitļa 143 izvērsuma. Iegūstam reizinājumu 2·2·2·2·3·7·11·13, kas ir vienāds ar 48 048.
Turpināsim sarunu par vismazāko daudzkārtni, kuru sākām sadaļā “LCM - mazākais kopīgs daudzkārtnis, definīcija, piemēri”. Šajā tēmā mēs apskatīsim veidus, kā atrast LCM trīs vai vairāk skaitļiem, un mēs aplūkosim jautājumu par to, kā atrast negatīva skaitļa LCM.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Vismazāko kopsavilkumu (LCM) aprēķināšana, izmantojot GCD
Mēs jau esam izveidojuši attiecības starp mazāko kopējo daudzkārtni un lielāko kopīgo dalītāju. Tagad uzzināsim, kā noteikt LCM, izmantojot GCD. Vispirms izdomāsim, kā to izdarīt pozitīviem skaitļiem.
1. definīcija
Jūs varat atrast mazāko kopējo daudzkārtni, izmantojot lielāko kopīgo dalītāju, izmantojot formulu LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).
1. piemērs
Jums jāatrod skaitļu 126 un 70 LCM.
Risinājums
Ņemsim a = 126, b = 70. Aizstāsim vērtības formulā, lai aprēķinātu mazāko kopējo daudzkārtni caur lielāko kopīgo dalītāju LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Atrod skaitļu 70 un 126 gcd. Šim nolūkam mums ir nepieciešams Eiklīda algoritms: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, tāpēc GCD (126 , 70) = 14 .
Aprēķināsim LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Atbilde: LCM(126, 70) = 630.
2. piemērs
Atrodiet numurus 68 un 34.
Risinājums
GCD iekšā šajā gadījumā Tas nav grūti, jo 68 dalās ar 34. Aprēķināsim mazāko kopējo reizinātāju, izmantojot formulu: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Atbilde: LCM(68, 34) = 68.
Šajā piemērā mēs izmantojām noteikumu, lai atrastu pozitīvo veselo skaitļu a un b mazāko kopīgo daudzkārtni: ja pirmais skaitlis dalās ar otro, šo skaitļu LCM būs vienāds ar pirmo skaitli.
LCM atrašana, iedalot skaitļus primārajos faktoros
Tagad apskatīsim metodi LCM atrašanai, kuras pamatā ir faktoringa skaitļu iekļaušana pirmfaktoros.
2. definīcija
Lai atrastu vismazāko kopskaitu, mums ir jāveic vairākas vienkāršas darbības:
- mēs veidojam visu to skaitļu pirmfaktoru reizinājumu, kuriem jāatrod LCM;
- mēs izslēdzam visus galvenos faktorus no to iegūtajiem produktiem;
- reizinājums, kas iegūts pēc kopējo pirmkoeficientu likvidēšanas, būs vienāds ar doto skaitļu LCM.
Šī metode mazākā kopīgā reizinājuma atrašanai ir balstīta uz vienādību LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Ja paskatās uz formulu, kļūs skaidrs: skaitļu a un b reizinājums ir vienāds ar visu to faktoru reizinājumu, kas piedalās šo divu skaitļu sadalīšanā. Šajā gadījumā divu skaitļu gcd ir vienāds ar visu primāro faktoru reizinājumu, kas vienlaikus ir šo divu skaitļu faktorizācijā.
3. piemērs
Mums ir divi skaitļi 75 un 210. Mēs varam tos aprēķināt šādi: 75 = 3 5 5 Un 210 = 2 3 5 7. Ja jūs veidojat divu sākotnējo skaitļu visu faktoru reizinājumu, jūs iegūstat: 2 3 3 5 5 5 7.
Ja izslēdzam faktorus, kas ir kopīgi gan skaitļiem 3, gan 5, mēs iegūstam šādas formas reizinājumu: 2 3 5 5 7 = 1050. Šis produkts būs mūsu LCM numuriem 75 un 210.
4. piemērs
Atrodiet skaitļu LCM 441 Un 700 , ieskaitot abus skaitļus primārajos faktoros.
Risinājums
Atradīsim visus nosacījumā doto skaitļu primāros faktorus:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Mēs iegūstam divas skaitļu ķēdes: 441 = 3 3 7 7 un 700 = 2 2 5 5 7.
Visu faktoru reizinājumam, kas piedalījās šo skaitļu sadalīšanā, būs šāda forma: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Atradīsim kopīgus faktorus. Šis ir cipars 7. Izslēgsim viņu no kopējais produkts: 2 2 3 3 5 5 7 7. Izrādās, ka NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Atbilde: LOC(441; 700) = 44 100.
Sniegsim citu LCM atrašanas metodes formulējumu, sadalot skaitļus pirmfaktoros.
3. definīcija
Iepriekš mēs izslēdzām no kopējā faktoru skaita, kas ir kopīgi abiem skaitļiem. Tagad mēs to darīsim savādāk:
- Ieskaitīsim abus skaitļus galvenajos faktoros:
- pieskaita pirmā skaitļa pirmkoeficientu reizinājumam otrā skaitļa trūkstošos faktorus;
- iegūstam reizinājumu, kas būs vēlamais divu skaitļu LCM.
5. piemērs
Atgriezīsimies pie skaitļiem 75 un 210, kuriem LCM jau meklējām vienā no iepriekšējiem piemēriem. Sadalīsim tos vienkāršos faktoros: 75 = 3 5 5 Un 210 = 2 3 5 7. Uz koeficientu 3, 5 un reizinājumu 5 skaitļi 75 pievieno trūkstošos faktorus 2 Un 7 cipari 210. Mēs iegūstam: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Šis ir skaitļu 75 un 210 LCM.
6. piemērs
Ir jāaprēķina skaitļu 84 un 648 LCM.
Risinājums
Aprēķināsim nosacījumu skaitļus vienkāršos faktoros: 84 = 2 2 3 7 Un 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Pievienosim reizinājumam koeficientus 2, 2, 3 un 7
skaitļi 84 trūkst faktoru 2, 3, 3 un
3
numuri 648. Mēs saņemam preci 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.Šis ir 84 un 648 mazākais kopīgais reizinājums.
Atbilde: LCM(84,648) = 4536.
Trīs vai vairāku skaitļu LCM atrašana
Neatkarīgi no tā, ar cik skaitļiem mums ir darīšana, mūsu darbību algoritms vienmēr būs vienāds: mēs secīgi atradīsim divu skaitļu LCM. Šim gadījumam ir teorēma.
1. teorēma
Pieņemsim, ka mums ir veseli skaitļi a 1 , a 2 , … , a k. NOC m kšos skaitļus atrod, secīgi aprēķinot m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).
Tagad apskatīsim, kā teorēmu var pielietot konkrētu problēmu risināšanai.
7. piemērs
Jums jāaprēķina četru skaitļu 140, 9, 54 un mazākais kopīgais reizinājums 250 .
Risinājums
Ieviesīsim apzīmējumu: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Sāksim, aprēķinot m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Izmantosim Eiklīda algoritmu, lai aprēķinātu skaitļu 140 un 9 GCD: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Mēs iegūstam: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Tāpēc m 2 = 1,260.
Tagad aprēķināsim, izmantojot to pašu algoritmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Aprēķinu laikā iegūstam m 3 = 3 780.
Viss, kas mums jādara, ir jāaprēķina m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Mēs sekojam tam pašam algoritmam. Mēs iegūstam m 4 = 94 500.
Četru skaitļu LCM no piemēra nosacījuma ir 94500.
Atbilde: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Kā redzat, aprēķini ir vienkārši, taču diezgan darbietilpīgi. Lai ietaupītu laiku, varat izvēlēties citu ceļu.
4. definīcija
Mēs piedāvājam jums šādu darbību algoritmu:
- visus skaitļus sadalām pirmfaktoros;
- pirmā skaitļa faktoru reizinājumam pievienojam trūkstošos faktorus no otrā skaitļa reizinājuma;
- iepriekšējā posmā iegūtajam reizinājumam pievienojam trūkstošos trešā skaitļa faktorus utt.;
- iegūtais reizinājums būs visu nosacījuma skaitļu mazākais kopīgais reizinājums.
8. piemērs
Jums jāatrod piecu skaitļu 84, 6, 48, 7, 143 LCM.
Risinājums
Sarēķināsim visus piecus skaitļus primārajos koeficientos: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Pirmskaitļus, kas ir skaitlis 7, nevar iekļaut pirmskaitļos. Šādi skaitļi sakrīt ar to sadalīšanos primārajos faktoros.
Tagad ņemsim skaitļa 84 pirmkoeficientu 2, 2, 3 un 7 reizinājumu un pievienosim tiem trūkstošos otrā skaitļa koeficientus. Mēs sadalījām skaitli 6 2 un 3. Šie faktori jau ir pirmā skaitļa reizinājumā. Tāpēc mēs tos izlaižam.
Mēs turpinām pievienot trūkstošos reizinātājus. Pārejam pie skaitļa 48, no kura pirmfaktoru reizinājuma ņemam 2 un 2. Tad no ceturtā skaitļa saskaitām primāro koeficientu 7 un piektā skaitļa koeficientus 11 un 13. Mēs iegūstam: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Šis ir sākotnējo piecu skaitļu mazākais kopīgais reizinājums.
Atbilde: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.
Negatīvo skaitļu mazākā kopīgā reizinājuma atrašana
Lai atrastu negatīvo skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni, šie skaitļi vispirms jāaizstāj ar skaitļiem ar pretēju zīmi un pēc tam jāveic aprēķini, izmantojot iepriekš minētos algoritmus.
9. piemērs
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) un LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Šādas darbības ir pieļaujamas tāpēc, ka, ja mēs to pieņemam a Un − a- pretēji skaitļi,
tad skaitļa reizinātāju kopa a atbilst skaitļa reizinātāju kopai − a.
10. piemērs
Nepieciešams aprēķināt negatīvo skaitļu LCM − 145 Un − 45 .
Risinājums
Aizstāsim skaitļus − 145 Un − 45 to pretējiem skaitļiem 145 Un 45 . Tagad, izmantojot algoritmu, mēs aprēķinām LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, iepriekš nosakot GCD, izmantojot Eiklīda algoritmu.
Mēs iegūstam, ka skaitļu LCM ir − 145 un − 45 vienāds 1 305 .
Atbilde: LCM (− 145, − 45) = 1305.
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Lai saprastu, kā aprēķināt LCM, vispirms ir jānosaka termina "vairāki" nozīme.
A daudzkārtnis ir naturāls skaitlis, kas dalās ar A bez atlikuma. Tādējādi skaitļus, kas ir 5 reizes, var uzskatīt par 15, 20, 25 utt.
Var būt noteikta skaitļa dalītāji ierobežots daudzums, taču ir bezgalīgi daudz reizinājumu.
Dabisku skaitļu kopīgs daudzkārtnis ir skaitlis, kas dalās ar tiem, neatstājot atlikumu.
Kā atrast skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni
Vismazākais skaitļu daudzkārtnis (LCM) (divi, trīs vai vairāk) ir mazākais dabiskais skaitlis, kas dalās ar visiem šiem skaitļiem.
Lai atrastu LOC, varat izmantot vairākas metodes.
Maziem skaitļiem ir ērti pierakstīt visus šo skaitļu reizinājumus rindā, līdz atrodat kaut ko kopīgu starp tiem. Vairāki tiek apzīmēti ar lielo burtu K.
Piemēram, skaitļa 4 reizinājumus var uzrakstīt šādi:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Tādējādi var redzēt, ka skaitļu 4 un 6 mazākais kopīgais reizinājums ir skaitlis 24. Šo apzīmējumu veic šādi:
LCM(4, 6) = 24
Ja skaitļi ir lieli, atrodiet trīs vai vairāku skaitļu kopējo daudzkārtni, tad labāk ir izmantot citu LCM aprēķināšanas metodi.
Lai izpildītu uzdevumu, dotie skaitļi ir jāiekļauj pirmfaktoros.
Vispirms jums jāpieraksta lielākā skaitļa sadalījums rindā, bet zem tā - pārējais.
Katra skaitļa dekompozīcija var ietvert dažādu faktoru skaitu.
Piemēram, ieskaitīsim skaitļus 50 un 20 primārajos faktoros.
Paplašinot mazāko skaitu, ir jāuzsver faktori, kuru nav, paplašinot pirmo. liels skaits, un pēc tam pievienojiet tos tai. Parādītajā piemērā trūkst divi.
Tagad varat aprēķināt 20 un 50 mazāko kopīgo reizinātāju.
LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Tātad primāro faktoru reizinājums vairāk un otrā skaitļa faktori, kas netika iekļauti lielākā skaitļa izvēršanā, būs mazākais kopskaitlis.
Lai atrastu trīs vai vairāku skaitļu LCM, tie visi jāieskaita primārajos faktoros, tāpat kā iepriekšējā gadījumā.
Piemēram, jūs varat atrast skaitļu 16, 24, 36 mazāko kopējo daudzkārtni.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Tādējādi tikai divi divi no sešpadsmit paplašināšanas netika iekļauti lielāka skaitļa faktorizācijā (viens ir divdesmit četru paplašināšanā).
Tādējādi tie ir jāpievieno lielāka skaita paplašināšanai.
LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Ir īpaši gadījumi, kā noteikt mazāko kopējo daudzkārtni. Tātad, ja vienu no skaitļiem bez atlikuma var dalīt ar citu, tad lielākais no šiem skaitļiem būs mazākais kopskaitlis.
Piemēram, divpadsmit un divdesmit četru LCM ir divdesmit četri.
Ja nepieciešams atrast vismazāko kopskaitli, kam nav identisku dalītāju, tad to LCM būs vienāds ar to reizinājumu.
Piemēram, LCM (10, 11) = 110.
Otrais numurs: b=
Tūkstoš atdalītājs Bez atstarpes atdalītāja "´
Rezultāts:
Lielākais kopīgais dalītājs GCD( a,b)=6
LCM( a,b)=468
Tiek izsaukts lielākais naturālais skaitlis, ar kuru skaitļi a un b tiek dalīti bez atlikuma lielākais kopīgais dalītājs(GCD) no šiem skaitļiem. Apzīmē ar gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) vai hcf(a,b).
Vismazāk sastopamais daudzkārtnis Divu veselu skaitļu a un b LCM ir mazākais dabiskais skaitlis, kas dalās ar a un b bez atlikuma. Apzīmēts ar LCM(a,b) vai lcm(a,b).
Tiek izsaukti veseli skaitļi a un b savstarpēji galvenais, ja tiem nav citu kopīgu dalītāju, izņemot +1 un –1.
Lielākais kopīgais dalītājs
Doti divi pozitīvi skaitļi a 1 un a 2 1). Nepieciešams atrast šo skaitļu kopējo dalītāju, t.i. atrast šādu numuru λ , kas dala skaitļus a 1 un a 2 vienlaicīgi. Aprakstīsim algoritmu.
1) Šajā rakstā vārds skaitlis tiks saprasts kā vesels skaitlis.
Ļaujiet a 1 ≥ a 2 un ļauj
Kur m 1 , a 3 ir daži veseli skaitļi, a 3 <a 2 (nodaļas atlikums a 1 per a 2 jābūt mazākam a 2).
Izliksimies tā λ sadala a 1 un a 2 tad λ sadala m 1 a 2 un λ sadala a 1 −m 1 a 2 =a 3 (raksta “Skaitļu dalāmība. Dalāmības pārbaude” 2. apgalvojums). No tā izriet, ka katrs kopīgais dalītājs a 1 un a 2 ir kopējais dalītājs a 2 un a 3. Ir arī otrādi, ja λ kopīgs dalītājs a 2 un a 3 tad m 1 a 2 un a 1 =m 1 a 2 +a 3 arī dalās ar λ . Tāpēc kopējais dalītājs a 2 un a 3 ir arī kopīgs dalītājs a 1 un a 2. Jo a 3 <a 2 ≤a 1, tad varam teikt, ka skaitļu kopīgā dalītāja atrašanas problēmas risinājums a 1 un a 2 reducēts līdz vienkāršākai problēmai atrast kopējo skaitļu dalītāju a 2 un a 3 .
Ja a 3 ≠0, tad varam dalīt a 2 uz a 3. Tad
,
Kur m 1 un a 4 ir daži veseli skaitļi, ( a 4 atlikumi no divīzijas a 2 uz a 3 (a 4 <a 3)). Ar līdzīgu argumentāciju mēs nonākam pie secinājuma, ka kopīgie skaitļu dalītāji a 3 un a 4 sakrīt ar kopējiem skaitļu dalītājiem a 2 un a 3, un arī ar kopīgiem dalītājiem a 1 un a 2. Jo a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... ir skaitļi, kas pastāvīgi samazinās, un tā kā starp ir ierobežots veselu skaitļu skaits a 2 un 0, tad kādā solī n, nodaļas atlikusī daļa a n uz a n+1 būs vienāds ar nulli ( a n+2 =0).
.
Katrs kopīgs dalītājs λ cipariem a 1 un a 2 ir arī skaitļu dalītājs a 2 un a 3 , a 3 un a 4 , .... a n un a n+1. Arī otrādi ir skaitļu kopējie dalītāji a n un a n+1 ir arī skaitļu dalītāji a n-1 un a n , .... , a 2 un a 3 , a 1 un a 2. Bet kopējais skaitļu dalītājs a n un a n+1 ir skaitlis a n+1 , jo a n un a n+1 dalās ar a n+1 (atcerieties to a n+2 =0). Līdz ar to a n+1 ir arī skaitļu dalītājs a 1 un a 2 .
Ņemiet vērā, ka numurs a n+1 ir lielākais skaitļu dalītājs a n un a n+1 , kopš lielākā dalītāja a n+1 ir pati par sevi a n+1. Ja a n+1 var attēlot kā veselu skaitļu reizinājumu, tad šie skaitļi ir arī kopīgie skaitļu dalītāji a 1 un a 2. Numurs a n+1 sauc lielākais kopīgais dalītājs cipariem a 1 un a 2 .
Skaitļi a 1 un a 2 var būt pozitīvi vai negatīvi skaitļi. Ja viens no skaitļiem ir vienāds ar nulli, tad šo skaitļu lielākais kopīgais dalītājs būs vienāds ar otra skaitļa absolūto vērtību. Nulles skaitļu lielākais kopīgais dalītājs nav definēts.
Iepriekš minētais algoritms tiek saukts Eiklīda algoritms lai atrastu divu veselu skaitļu lielāko kopīgo dalītāju.
Piemērs divu skaitļu lielākā kopīgā dalītāja atrašanai
Atrodiet divu skaitļu 630 un 434 lielāko kopīgo dalītāju.
- 1. solis. Sadaliet skaitli 630 ar 434. Atlikums ir 196.
- 2. solis. Sadaliet skaitli 434 ar 196. Atlikušais ir 42.
- 3. solis. Sadaliet skaitli 196 ar 42. Atlikums ir 28.
- 4. solis. Sadaliet skaitli 42 ar 28. Atlikums ir 14.
- 5. solis. Sadaliet skaitli 28 ar 14. Atlikums ir 0.
5. darbībā dalījuma atlikums ir 0. Tāpēc skaitļu 630 un 434 lielākais kopīgais dalītājs ir 14. Ņemiet vērā, ka skaitļi 2 un 7 ir arī skaitļu 630 un 434 dalītāji.
Kopirma skaitļi
Definīcija 1. Pieņemsim skaitļu lielāko kopējo dalītāju a 1 un a 2 ir vienāds ar vienu. Tad šie numuri tiek izsaukti pirmskaitļi, kam nav kopīga dalītāja.
Teorēma 1. Ja a 1 un a 2 pirmskaitļi un λ kāds skaitlis, tad jebkurš kopīgs skaitļu dalītājs λa 1 un a 2 ir arī kopīgs skaitļu dalītājs λ Un a 2 .
Pierādījums. Apsveriet Eiklīda algoritmu, lai atrastu lielāko kopējo skaitļu dalītāju a 1 un a 2 (skatīt iepriekš).
.
No teorēmas nosacījumiem izriet, ka lielākais skaitļu kopējais dalītājs a 1 un a 2 un tāpēc a n un a n+1 ir 1. Tas ir a n+1 =1.
Sareizināsim visas šīs vienādības ar λ , Tad
.
Ļaujiet kopējam dalītājam a 1 λ Un a 2 jā δ . Tad δ ir iekļauts kā reizinātājs a 1 λ , m 1 a 2 λ un iekšā a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (sk. "Skaitļu dalāmība", 2. apgalvojums). Tālāk δ ir iekļauts kā reizinātājs a 2 λ Un m 2 a 3 λ , un tāpēc tas ir faktors a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .
Spriežot šādi, mēs esam pārliecināti δ ir iekļauts kā reizinātājs a n-1 λ Un m n-1 a n λ , un tāpēc iekšā a n-1 λ −m n-1 a n λ =a n+1 λ . Jo a n+1 =1, tad δ ir iekļauts kā reizinātājs λ . Tāpēc numurs δ ir kopējais skaitļu dalītājs λ Un a 2 .
Apskatīsim 1. teorēmas īpašos gadījumus.
Sekas 1. Ļaujiet a Un c Pirmskaitļi ir relatīvi b. Tad viņu produkts ac ir pirmskaitlis attiecībā pret b.
Tiešām. No 1. teorēmas ac Un b ir tādi paši kopīgie dalītāji kā c Un b. Bet skaitļi c Un b salīdzinoši vienkārši, t.i. ir viens kopīgs dalītājs 1. Tad ac Un b ir arī viens kopīgs dalītājs 1. Tāpēc ac Un b savstarpēji vienkārši.
Sekas 2. Ļaujiet a Un b kopskaitļi un ļaujiet b sadala ak. Tad b sadala un k.
Tiešām. No apstiprināšanas nosacījuma ak Un b ir kopīgs dalītājs b. Saskaņā ar 1. teorēmu, b jābūt kopējam dalītājam b Un k. Līdz ar to b sadala k.
1. secinājumu var vispārināt.
Sekas 3. 1. Ļaujiet skaitļiem a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m ir pirmskaitļi attiecībā pret skaitli b. Tad a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, šo skaitļu reizinājums ir pirmreizējais attiecībā pret skaitli b.
2. Pieņemsim divas skaitļu rindas
tā, ka katrs skaitlis pirmajā rindā ir pirmskaitlis attiecībā pret katru skaitli otrajā rindā. Pēc tam produkts
Jums jāatrod skaitļi, kas dalās ar katru no šiem skaitļiem.
Ja skaitlis dalās ar a 1, tad tam ir forma sa 1 kur s kādu numuru. Ja q ir lielākais skaitļu kopējais dalītājs a 1 un a 2, tad
Kur s 1 ir vesels skaitlis. Tad
ir skaitļu vismazākie kopējie reizinātāji a 1 un a 2 .
a 1 un a 2 ir relatīvi pirmskaitļi, tad skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis a 1 un a 2:
Mums jāatrod šo skaitļu mazākais kopīgais reizinājums.
No iepriekš minētā izriet, ka jebkurš skaitļu daudzkārtnis a 1 , a 2 , a 3 ir jābūt skaitļu reizinājumam ε Un a 3 un atpakaļ. Pieņemsim skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni ε Un a 3 jā ε 1 . Tālāk, skaitļu daudzkārtņi a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ir jābūt skaitļu reizinājumam ε 1 un a 4 . Pieņemsim skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni ε 1 un a 4 jā ε 2. Tādējādi mēs noskaidrojām, ka visi skaitļu daudzkārtņi a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sakrīt ar noteikta skaitļa daudzkārtņiem ε n, ko sauc par doto skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni.
Īpašā gadījumā, kad skaitļi a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ir relatīvi pirmskaitļi, tad skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis a 1 , a 2, kā parādīts iepriekš, ir forma (3). Nākamais, kopš a 3 pirmskaitlis attiecībā pret skaitļiem a 1 , a 2 tad a 3 pirmskaitlis a 1 · a 2 (1. secinājums). Nozīmē mazāko kopējo skaitļu daudzkārtni a 1 ,a 2 ,a 3 ir skaitlis a 1 · a 2 · a 3. Spriežot līdzīgi, mēs nonākam pie šādiem apgalvojumiem.
Paziņojums, apgalvojums 1. Vismazākais kopskaitļu daudzkārtnis a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ir vienāds ar to reizinājumu a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.
Paziņojums, apgalvojums 2. Jebkurš skaitlis, kas dalās ar katru kopskaitli a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m arī dalās ar to reizinājumu a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.