Sākotnēji es gribēju iekļaut liešanas metodes kopsaucējs sadaļā "Daļskaitļu pievienošana un atņemšana". Bet informācijas izrādījās tik daudz, un tās nozīme ir tik liela (galu galā ne tikai skaitliskām daļām ir kopsaucēji), ka labāk šo jautājumu pētīt atsevišķi.
Tātad pieņemsim, ka mums ir divas daļas ar dažādi saucēji. Un mēs vēlamies pārliecināties, ka saucēji kļūst vienādi. Palīdz daļskaitļa pamatīpašība, kas, atgādināšu, izklausās šādi:
Daļskaitlis nemainīsies, ja tā skaitītājs un saucējs tiek reizināts ar to pašu skaitli, kas nav nulle.
Tādējādi, pareizi izvēloties faktorus, frakciju saucēji kļūs vienādi - šo procesu sauc par samazināšanu līdz kopsaucējam. Un nepieciešamos skaitļus, “izlīdzinot” saucējus, sauc par papildu faktoriem.
Kāpēc mums ir jāsamazina daļskaitļi līdz kopsaucējam? Šeit ir tikai daži iemesli.
- Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana ar dažādiem saucējiem. Nav cita veida, kā veikt šo operāciju;
- Daļskaitļu salīdzināšana. Dažreiz reducēšana līdz kopsaucējam ievērojami vienkāršo šo uzdevumu;
- Problēmu risināšana, kas saistītas ar daļskaitļiem un procentiem. Procenti patiesībā ir parastie izteicieni, kas satur daļskaitļus.
Ir daudzi veidi, kā atrast skaitļus, kurus reizinot ar tiem, daļskaitļu saucēji būs vienādi. Mēs apsvērsim tikai trīs no tiem - sarežģītības un savā ziņā efektivitātes pieauguma secībā.
Krusteniskā reizināšana
Vienkāršākais un uzticams veids, kas garantēti izlīdzinās saucējus. Mēs rīkosimies “pagalvīgi”: pirmo daļskaitli reizinim ar otrās daļskaitļa saucēju, bet otro ar pirmās daļas saucēju. Rezultātā abu daļu saucēji kļūs vienādi ar sākotnējo saucēju reizinājumu. Paskaties:
Kā papildu faktorus apsveriet blakus esošo frakciju saucējus. Mēs iegūstam:
Jā, tas ir tik vienkārši. Ja jūs tikko sākat pētīt daļskaitļus, labāk ir strādāt ar šo metodi - tā jūs apdrošināsit sevi pret daudzām kļūdām un garantēsit rezultātu.
Vienīgais šīs metodes trūkums ir tas, ka jums ir daudz jāskaita, jo saucēji tiek reizināti “vēl un vēl”, un rezultāts var būt ļoti lieli skaitļi. Tā ir cena, kas jāmaksā par uzticamību.
Kopējā dalīšanas metode
Šis paņēmiens palīdz ievērojami samazināt aprēķinus, taču diemžēl to izmanto diezgan reti. Metode ir šāda:
- Pirms dodaties tieši uz priekšu (t.i., izmantojot krustenisko metodi), apskatiet saucējus. Varbūt viens no tiem (lielāks) ir sadalīts otrā.
- Skaitlis, kas iegūts no šī dalījuma, būs papildu faktors daļai ar mazāku saucēju.
- Šajā gadījumā daļskaitlis ar lielu saucēju vispār nav jāreizina ar neko – lūk, kur slēpjas ietaupījumi. Tajā pašā laikā kļūdas iespējamība ir strauji samazināta.
Uzdevums. Atrodiet izteicienu nozīmi:
Ņemiet vērā, ka 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Tā kā abos gadījumos viens saucējs bez atlikuma tiek dalīts ar otru, mēs izmantojam kopējo faktoru metodi. Mums ir:
Ņemiet vērā, ka otrā daļa netika reizināta ar neko. Faktiski mēs samazinājām aprēķinu apjomu uz pusi!
Starp citu, es šajā piemērā daļskaitļus neuzņēmu nejauši. Ja jūs interesē, mēģiniet tos saskaitīt, izmantojot krustenisko metodi. Pēc samazināšanas atbildes būs tādas pašas, bet darba būs daudz vairāk.
Šis ir kopējo dalītāju metodes spēks, taču atkal to var izmantot tikai tad, ja viens no saucējiem dalās ar otru bez atlikuma. Kas notiek diezgan reti.
Daļskaitļu samazināšana līdz mazākajam kopsaucējam, noteikumi, piemēri, risinājumi.
Šajā rakstā ir paskaidrots kā atrast mazāko kopsaucēju Un kā samazināt daļskaitļus līdz kopsaucējam.
Pirmkārt, ir dotas daļskaitļu kopsaucēja un mazākā kopsaucēja definīcijas, kā arī parādīts, kā atrast daļu kopsaucēju. Tālāk ir sniegts noteikums daļskaitļu samazināšanai līdz kopsaucējam, un ir aplūkoti šī noteikuma piemērošanas piemēri. Noslēgumā tiek apspriesti piemēri, kā apvienot trīs vai vairāk daļskaitļus līdz kopsaucējam.
Ko sauc par daļskaitļu samazināšanu līdz kopsaucējam?
Ja parastās frakcijas ir vienādi saucēji, tad šīs daļas tiek uzskatītas par tādām samazināts līdz kopsaucējam.
Tādējādi daļskaitļi 45/76 un 143/76 tiek samazināti līdz kopsaucējam 76, bet daļskaitļi 1/3, 3/3, 17/3 un 1000/3 tiek samazināti līdz kopsaucējam 3.
Ja daļskaitļu saucēji nav vienādi, tad šādas daļas vienmēr var reducēt līdz kopsaucējam, reizinot to skaitītāju un saucēju ar noteiktiem papildu faktoriem.
Piemēram, parastās daļdaļas 2/5 un 7/4 ar attiecīgi papildu koeficientu 4 un 5 palīdzību tiek reducētas līdz kopsaucējam 20. Patiesi, reizinot daļskaitļa 2/5 skaitītāju un saucēju ar 4, mēs iegūstam daļskaitli 8/20 un reizinot skaitītāja un saucēja daļas 7/4 ar 5, mēs iegūstam daļskaitli 35/20 (skatiet daļskaitļu pārnešanu uz jaunu saucēju).
Tagad mēs varam pateikt, ko nozīmē daļskaitļu samazināšana līdz kopsaucējam. Daļskaitļu samazināšana līdz kopsaucējam- Šī ir doto daļu skaitītāju un saucēju reizināšana ar tādiem papildu faktoriem, ka rezultātā tiek iegūtas daļas ar vienādiem saucējiem.
Lapas augšdaļa
Kopsaucējs, definīcija, piemēri
Tagad ir pienācis laiks definēt daļskaitļu kopsaucēju.
Citiem vārdiem sakot, noteiktas parasto daļskaitļu kopas kopsaucējs ir jebkurš dabiskais skaitlis, kas dalās ar visiem šo daļu saucējiem.
No norādītās definīcijas izriet, ka noteiktai daļskaitļu kopai ir bezgalīgi daudz kopsaucēju, jo ir bezgalīgi daudz kopīgu daudzkārtņu visiem sākotnējās daļu kopas saucējiem.
Daļskaitļu kopsaucēja noteikšana ļauj atrast doto daļskaitļu kopsaucējus. Pieņemsim, piemēram, ņemot vērā daļskaitļus 1/4 un 5/6, to saucēji ir attiecīgi 4 un 6.
Pozitīvie kopējie skaitļu 4 un 6 daudzkārtņi ir 12, 24, 36, 48, ... Jebkurš no šiem skaitļiem ir kopsaucējs daļdaļām 1/4 un 5/6.
Lai konsolidētu materiālu, apsveriet šāda piemēra risinājumu.
Vai daļskaitļus 2/3, 23/6 un 7/12 var samazināt līdz kopsaucējam 150?
Lai atbildētu uz uzdoto jautājumu, jānoskaidro, vai skaitlis 150 ir kopīgs saucēju 3, 6 un 12 daudzkārtnis. Lai to izdarītu, pārbaudīsim, vai 150 dalās ar katru no šiem skaitļiem (ja nepieciešams, skatiet naturālu skaitļu dalīšanas noteikumi un piemēri, kā arī naturālu skaitļu dalīšanas noteikumi un piemēri ar atlikumu: 150:3=50, 150:6=25, 150:12=12 (pārējie.
Tātad 150 nedalās vienmērīgi ar 12, tāpēc 150 nav skaitļu 3, 6 un 12 kopīgs daudzkārtnis. Tāpēc skaitlis 150 nevar būt sākotnējo daļu kopsaucējs.
Lapas augšdaļa
Mazākais kopsaucējs, kā to atrast?
Skaitļu kopā, kas ir doto daļu kopsaucēji, ir mazākais dabiskais skaitlis, ko sauc par mazāko kopsaucēju.
Formulēsim šo daļskaitļu mazākā kopsaucēja definīciju.
Atliek risināt jautājumu par to, kā atrast vismazāko dalītāju.
Tā kā mazākais kopīgais daudzkārtnis ir mazākais pozitīvais kopīgs dalītājs no dotās skaitļu kopas, tad doto daļskaitļu saucēju LCM ir doto daļu mazākais kopsaucējs.
Tādējādi, lai atrastu mazāko daļu kopsaucēju, ir jāatrod šo daļu saucēju LCM.
Apskatīsim piemēra risinājumu.
Atrodiet daļskaitļu 3/10 un 277/28 mazāko kopsaucēju.
Šo daļskaitļu saucēji ir 10 un 28. Vēlamais mazākais kopsaucējs tiek atrasts kā skaitļu 10 un 28 LCM. Mūsu gadījumā LCM ir viegli atrast, sadalot skaitļus galvenie faktori: tā kā 10=2·5 un 28=2·2·7, tad LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.
Lapas augšdaļa
Kā samazināt daļskaitļus līdz kopsaucējam? Noteikums, piemēri, risinājumi
Kopējās daļskaitļi parasti rada mazāko kopsaucēju.
Tagad mēs pierakstīsim noteikumu, kas izskaidro, kā samazināt daļskaitļus līdz to zemākajam kopsaucējam.
Noteikums daļskaitļu samazināšanai līdz mazākajam kopsaucējam sastāv no trim soļiem:
- Vispirms atrodiet daļskaitļu mazāko kopsaucēju.
- Otrkārt, katrai frakcijai tiek aprēķināts papildu koeficients, dalot mazāko kopsaucēju ar katras frakcijas saucēju.
- Treškārt, katras daļas skaitītājs un saucējs tiek reizināts ar tā papildu koeficientu.
Izmantosim norādīto noteikumu, lai atrisinātu šādu piemēru.
Samaziniet daļskaitļus 5/14 un 7/18 līdz to zemākajam kopsaucējam.
Izpildīsim visas algoritma darbības daļskaitļu samazināšanai līdz mazākajam kopsaucējam.
Vispirms atrodam mazāko kopsaucēju, kas ir vienāds ar skaitļu 14 un 18 mazāko kopējo daudzkārtni. Tā kā 14=2·7 un 18=2·3·3, tad LCM(14, 18)=2·3 ·3·7=126.
Tagad mēs aprēķinām papildu koeficientus, ar kuru palīdzību daļskaitļi 5/14 un 7/18 tiks samazināti līdz saucējam 126. Daļai 5/14 papildu koeficients ir 126:14=9, bet daļskaitlim 7/ 18 papildu koeficients ir 126:18=7 .
Atliek daļskaitļu 5/14 un 7/18 skaitītājus un saucējus reizināt ar papildu koeficientiem attiecīgi 9 un 7.
Mums ir 
Un 
.
Tātad daļskaitļu 5/14 un 7/18 samazināšana līdz mazākajam kopsaucējam ir pabeigta.
Iegūtās frakcijas bija 45/126 un 49/126.
Lapas augšdaļa
Trīs vai vairāk daļskaitļu samazināšana līdz mazākajam kopsaucējam
Noteikums no iepriekšējās rindkopas ļauj samazināt ne tikai divas daļdaļas, bet arī trīs daļskaitļus un vairāk no tiem līdz mazākajam kopsaucējam.
Apskatīsim risinājuma piemēru.
Samaziniet četras kopējās daļskaitļus 3/2, 5/6, 3/8 un 17/18 līdz to mazākajam kopsaucējam.
Šo daļskaitļu mazākais kopsaucējs ir vienāds ar skaitļu 2, 6, 8 un 18 mazāko kopējo daudzkārtni. Lai atrastu LCM(2, 6, 8, 18), mēs izmantojam informāciju no sadaļas Trīs LCM atrašana. vai vairāk skaitļu.
Mēs iegūstam LCM(2, 6)=6, LCM(6,8)=24, visbeidzot LCM(24,18)=72, tāpēc LCM(2,6,8,18)=72. Tātad mazākais kopsaucējs ir 72.
Tagad mēs aprēķinām papildu faktorus. Daļai 3/2 papildu koeficients ir 72:2=36, frakcijai 5/6 tas ir 72:6=12, daļdaļai 3/8 papildu koeficients ir 72:8=9, bet frakcijai 17/18 tas ir 72 :18=4.
Daļskaitļu samazināšana līdz kopsaucējam
Atlicis vēl viens pēdējais solis, lai samazinātu sākotnējās daļskaitļus līdz mazākajam kopsaucējam: .
Lapas augšdaļa
Kopsaucējs ir jebkurš šo daļskaitļu visu saucēju pozitīvs kopīgs daudzkārtnis.
Mazākais kopsaucējs-Šo mazākais skaitlis, no visiem šo daļskaitļu kopsaucējiem.
- Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātika: mācību grāmata 5. klasei. izglītības iestādēm.
- Viļenkins N.Ya. un citi. 6. klase: mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm.
Kopējo daļskaitļu kopsaucējs
Ja parastajām daļām ir vienādi saucēji, tad šīm daļām ir kopsaucējs. Piemēram,
tiem ir kopsaucējs.
KopsaucējsŠis ir skaitlis, kas ir divu vai vairāku regulāru daļskaitļu saucējs.
Daļskaitļus ar dažādiem saucējiem var reducēt līdz kopsaucējam.
Daļskaitļu nodrošināšana ar kopsaucēju
Daļskaitļu nodrošināšana ar kopsaucēju Vai šo daļskaitļu aizstāšana ar dažādiem saucējiem ir vienas un tās pašas daļas ar vienādiem saucējiem?
Daļskaitļus var vienkārši samazināt līdz kopsaucējam vai zemākajam kopsaucējam.
Mazākais kopsaucējs Tas ir šo daļskaitļu mazākais kopsaucējs.
Frakciju kopsaucējs internetā
Lai frakcijām piešķirtu mazāko kopsaucēju, jums ir nepieciešams:
- Ja iespējams, veiciet frakciju samazināšanu.
- Atrodiet mazākos kopējos šo frakciju katalogus. NOC būs to zemākais kopsaucējs.
- Sadaliet LCM ar šo daļu saucējiem. Šis pasākums atrod papildu faktoru katrai no šīm frakcijām. Papildu koeficients Vai tas ir skaitlis, kas prasa daļskaitļa locekļu reizināšanu, lai tas nonāktu pie kopsaucēja?
- Reiziniet katras daļas skaitītāju un saucēju ar papildu faktors.
Piemērs.
1) Atrodiet šo frakciju NOC nosaukumus:
NOC(8, 12) = 24
2) Tika atrasti papildu faktori:
24: 8 = 3 (par ) un 24: 12 = 2 (par )
3) Reiziniet katras frakcijas locekļus ar papildu koeficientu:
Kopsaucēja samazināšanu var uzrakstīt īsākā formā, papildus katras frakcijas skaitītājam norādot papildu koeficientu (augšējā labajā vai augšējā kreisajā pusē), nevis pierakstot starpaprēķinus:
Kopsaucēju var vienkāršāk samazināt, reizinot pirmās daļdaļas locekļus ar otro imanento daļu un otrās frakcijas locekļus ar pirmās daļas saucēju.
Piemērs. Iegūstiet daļskaitļu kopsaucēju un:
To saucēju reizinājumu var uzskatīt par daļskaitļu kopsaucēju.
Daļskaitļu samazināšana līdz kopsaucējam tiek izmantota, lai saskaitītu, atņemtu un salīdzinātu daļas ar dažādiem saucējiem.
Samazinājums līdz kopsaucēja kalkulators
Šis kalkulators palīdzēs samazināt kopējās daļskaitļus līdz mazākajam kopsaucējam.
Vienkārši ievadiet divas daļas un noklikšķiniet.
5.4.5. Piemēri daļskaitļu pārvēršanai zemākajā kopsaucējā
Turpināto daļskaitļu zemākais kopsaucējs ir mazākais kopsaucējs šīm daļām. ( skatīt sadaļu "Vismazākā kopīgā daudzkārtņa atrašana": 5.3.5. Atrodiet doto skaitļu mazāko reizinājumu skaitu (NOC).
Lai samazinātu daļu par mazāko kopsaucēju, jums: 1) jāatrod šo daļu saucēju mazākais kopsaucējs, un tas būs mazākais kopsaucējs.
2) katram no daļskaitļiem atrod papildu koeficientu, kuram tiek izdalīts jauns saucējs ar katras frakcijas nosaukumu. 3) reiziniet katras daļas skaitītāju un saucēju ar papildu koeficientu.
Piemēri. Lai samazinātu šādas daļskaitļus līdz mazākajam kopsaucējam.
Mēs atrodam vismazāko daudzciparu saucēju: LCM (5; 4) = 20, jo 20 ir mazākais skaitlis, kas dalīts ar 5 un 4.
Pirmajai daļai papildu koeficients 4 (20 : 5 = 4). Otrajai frakcijai ir papildu koeficients 5 (20 : 4 = 5). Pirmās daļdaļas skaitli un saucēju reiziniet ar 4, bet otrās daļas skaitītāju un saucēju - ar 5.
20 ).
Šo daļskaitļu mazākais kopsaucējs ir skaitlis 8, jo tas dalās ar 4 un iekšēji.
Pirmajai daļai nav papildu faktora (vai mēs varam teikt, ka tas ir vienāds ar vienu), otrais faktors ir papildu faktors 2 (8 : 4 = 2). Reiziniet otrās daļas skaitītāju un saucēju ar 2.
Tiešsaistes kalkulators. Daļskaitļu nodrošināšana ar kopsaucēju
Mēs esam samazinājuši šīs daļas līdz mazākajam kopsaucējam ( 8. vieta).
Šīs frakcijas nav neciešamas.
Pirmā frakcija tika samazināta par 4, bet otrā frakcija tika samazināta par 2. (Skatiet piemērus parasto frakciju samazināšanai: Vietnes karte → 5.4.2.
Parasto frakciju samazināšanas piemēri). Atrod NOC (16 ; 20) = 24· 5 = 16· 5 = 80. Papildu koeficients pirmajai daļai ir 5 (80 : 16 = 5). Papildu koeficients otrajai daļai ir 4 (80 : 20 = 4).
Mēs reizinām pirmās daļas skaitītāju un saucēju ar 5, bet otrās daļas skaitītāju un saucēju - ar 4. Daļēja informācija tika dota mazākajam kopsaucējam ( 80 ).
Atrodiet zemāko NOx kopsaucēju (5 ; 6 un 15) = NOK (5 ; 6 un 15) = 30. Papildu koeficients pirmajai daļai ir 6 (30 : 5 = 6), ir papildu faktors 5 otrajā daļā (30 : 6 = 5), ir papildu koeficients trešajai daļai 2 (30 : 15 = 2).
Pirmās daļdaļas skaits un saucējs tiek reizināts ar 6, otrās daļas skaits un saucējs tiek reizināts ar 5, bet trešās daļdaļas skaits un saucējs tiek reizināts ar 2. Daļējiem datiem tika dots mazākais kopsaucējs 30 ).
1. lapa no 11
Mazākais kopsaucējs.
Kāds ir mazākais kopsaucējs?
Definīcija:
Mazākais kopsaucējs ir mazākais pozitīvais skaitlis, kas ir šo daļu saucēju reizinājums.
Kā samazināt līdz mazākajam kopsaucējam? Lai atbildētu uz šo jautājumu, apsveriet piemēru:
Samaziniet daļskaitļus ar atšķirīgiem saucējiem līdz to zemākajam kopsaucējam.
Risinājums:
Lai atrastu mazāko kopsaucēju, jums jāatrod šo daļskaitļu saucēju mazākais kopsaucējs (LCM).
Pirmās daļdaļas saucējs ir 20; ieskaitīsim to galvenajos faktoros.
20=2⋅5⋅2
Arī 14. daļas otro saucēju sadalīsim pirmfaktoros.
14=7⋅2
NOC(14,20)= 2⋅5⋅2⋅7=140
Atbilde: Mazākais kopsaucējs būtu 140.
Kā samazināt daļu līdz kopsaucējam?
Lai iegūtu saucēju 140, pirmā daļa \(\frac(1)(20)\) jāreizina ar 7.
\(\frac(1)(20)=\frac(1 \times 7)(20 \times 7)=\frac(7)(140)\)
Un reiziniet otro daļu ar 10.
\(\frac(3)(14)=\frac(3 \times 10)(14 \times 10)=\frac(30)(140)\)
Noteikumi vai algoritms daļskaitļu samazināšanai līdz kopsaucējam.
Algoritms daļskaitļu samazināšanai līdz mazākajam kopsaucējam:
- Jums ir jāieskaita daļskaitļu saucēji galvenajos faktoros.
- Mums ir jāatrod mazākais kopīgais reizinājums (LCM) šo daļskaitļu saucējiem.
- Samaziniet daļas līdz kopsaucējam, tas ir, reiziniet gan skaitītāju, gan saucēju ar koeficientu.
Kopsaucējs vairākām daļām.
Kā atrast kopsaucēju vairākām daļām?
Apskatīsim piemēru:
Atrodiet mazāko kopsaucēju daļskaitļiem \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\)
Risinājums:
Ieskaitīsim saucējus 11, 15 un 22 pirmfaktoros.
Skaitlis 11 jau pats par sevi ir vienkāršs skaitlis, tāpēc nav vajadzības to aprakstīt.
Paplašināsim skaitli 15=5⋅3
Izvērsīsim skaitli 22=11⋅2
Atradīsim saucēju 11, 15 un 22 mazāko kopējo daudzkārtni (LCM).
LCM(11, 15, 22)=11⋅2⋅5⋅3=330
Mēs esam atraduši šīm frakcijām mazāko kopsaucēju. Tagad izveidosim šīs daļskaitļus \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\) līdz kopsaucējam, kas vienāds ar 330.
\(\begin(līdzināt)
\frac(2)(11)=\frac(2 \times 30)(11 \times 30)=\frac(60)(330) \\\\
\frac(1)(15)=\frac(1 \times 22)(15 \times 22)=\frac(22) (330) \\\\
\frac(3)(22)=\frac(3 \times 15)(22 \times 15)=\frac(60)(330) \\\\
\end(līdzināt)\)
Sākotnēji es gribēju iekļaut kopsaucēja paņēmienus sadaļā Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana. Bet informācijas izrādījās tik daudz, un tās nozīme ir tik liela (galu galā ne tikai skaitliskām daļām ir kopsaucēji), ka labāk šo jautājumu pētīt atsevišķi.
Tātad, pieņemsim, ka mums ir divas daļas ar dažādiem saucējiem. Un mēs vēlamies pārliecināties, ka saucēji kļūst vienādi. Palīdz daļskaitļa pamatīpašība, kas, atgādināšu, izklausās šādi:
Daļskaitlis nemainīsies, ja tā skaitītājs un saucējs tiek reizināts ar to pašu skaitli, kas nav nulle.
Tādējādi, pareizi izvēloties faktorus, frakciju saucēji kļūs vienādi - šo procesu sauc par samazināšanu līdz kopsaucējam. Un nepieciešamos skaitļus, “izlīdzinot” saucējus, sauc par papildu faktoriem.
Kāpēc mums ir jāsamazina daļskaitļi līdz kopsaucējam? Šeit ir tikai daži iemesli.
- Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana ar dažādiem saucējiem. Nav cita veida, kā veikt šo operāciju;
- Daļskaitļu salīdzināšana. Dažreiz reducēšana līdz kopsaucējam ievērojami vienkāršo šo uzdevumu;
- Problēmu risināšana, kas saistītas ar daļskaitļiem un procentiem. Procenti būtībā ir parastas izteiksmes, kas satur daļskaitļus.
Ir daudzi veidi, kā atrast skaitļus, kurus reizinot ar tiem, daļskaitļu saucēji būs vienādi. Mēs apsvērsim tikai trīs no tiem - sarežģītības un savā ziņā efektivitātes pieauguma secībā.
Krusteniskā reizināšana
Vienkāršākā un uzticamākā metode, kas garantē saucēju izlīdzināšanu. Mēs rīkosimies “pagalvīgi”: pirmo daļskaitli reizinim ar otrās daļskaitļa saucēju, bet otro ar pirmās daļas saucēju. Rezultātā abu daļu saucēji kļūs vienādi ar sākotnējo saucēju reizinājumu. Paskaties:
Kā papildu faktorus apsveriet blakus esošo frakciju saucējus. Mēs iegūstam:
Jā, tas ir tik vienkārši. Ja jūs tikko sākat pētīt daļskaitļus, labāk ir strādāt ar šo metodi - tā jūs apdrošināsit sevi pret daudzām kļūdām un garantēsit rezultātu.
Vienīgais šīs metodes trūkums ir tas, ka jums ir jāskaita daudz, jo saucēji tiek reizināti “līdz galam”, un rezultāts var būt ļoti liels skaitļi. Tā ir cena, kas jāmaksā par uzticamību.
Kopējā dalīšanas metode
Šis paņēmiens palīdz ievērojami samazināt aprēķinus, taču diemžēl to izmanto diezgan reti. Metode ir šāda:
- Pirms dodaties tieši uz priekšu (t.i., izmantojot krustenisko metodi), apskatiet saucējus. Varbūt viens no tiem (lielāks) ir sadalīts otrā.
- Skaitlis, kas iegūts no šī dalījuma, būs papildu faktors daļai ar mazāku saucēju.
- Šajā gadījumā daļskaitlis ar lielu saucēju vispār nav jāreizina ar neko – lūk, kur slēpjas ietaupījumi. Tajā pašā laikā kļūdas iespējamība ir strauji samazināta.
Uzdevums. Atrodiet izteicienu nozīmi:
Ņemiet vērā, ka 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Tā kā abos gadījumos viens saucējs bez atlikuma tiek dalīts ar otru, mēs izmantojam kopējo faktoru metodi. Mums ir:
Ņemiet vērā, ka otrā daļa netika reizināta ar neko. Faktiski mēs samazinājām aprēķinu apjomu uz pusi!
Starp citu, es šajā piemērā daļskaitļus neuzņēmu nejauši. Ja jūs interesē, mēģiniet tos saskaitīt, izmantojot krustenisko metodi. Pēc samazināšanas atbildes būs tādas pašas, bet darba būs daudz vairāk.
Šis ir kopējo dalītāju metodes spēks, taču atkal to var izmantot tikai tad, ja viens no saucējiem dalās ar otru bez atlikuma. Kas notiek diezgan reti.
Vismazāk izplatītā daudzkārtēja metode
Kad mēs samazinām daļas līdz kopsaucējam, mēs būtībā cenšamies atrast skaitli, kas dalās ar katru saucēju. Tad mēs pievedam abu daļu saucējus uz šo skaitli.
Šādu skaitļu ir daudz, un mazākais no tiem ne vienmēr būs vienāds ar sākotnējo daļskaitļu saucēju tiešo reizinājumu, kā tiek pieņemts “krustu krustojuma” metodē.
Piemēram, saucējiem 8 un 12 skaitlis 24 ir diezgan piemērots, jo 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Šis skaitlis ir daudz mazāk produktu 8 12 = 96.
Mazāko skaitli, kas dalās ar katru no saucējiem, sauc par to mazāko kopējo reizni (LCM).
Apzīmējums: a un b mazāko kopējo daudzkārtni apzīmē ar LCM(a ; b) . Piemēram, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .
Ja jums izdosies atrast šādu skaitli, kopējais aprēķinu apjoms būs minimāls. Apskatiet piemērus:
Uzdevums. Atrodiet izteicienu nozīmi:
Ņemiet vērā, ka 234 = 117 2; 351 = 117 3. 2. un 3. faktors ir kopīgs (nav citu kopīgu faktoru kā 1), un faktors 117 ir kopīgs. Tāpēc LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Tāpat 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3. un 4. faktors ir kopīgs, un faktors 5 ir izplatīts. Tāpēc LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Tagad apvienosim daļskaitļus līdz kopsaucējiem:
Ievērojiet, cik lietderīgi bija sākotnējos saucējus faktorizēt:
- Atklājot identiskus faktorus, mēs uzreiz nonācām pie mazākā kopskaitlījuma, kas, vispārīgi runājot, ir netriviāla problēma;
- No iegūtā paplašināšanas jūs varat uzzināt, kuri faktori “trūkst” katrā frakcijā. Piemēram, 234 · 3 = 702, tāpēc pirmajai daļai papildu koeficients ir 3.
Lai novērtētu, cik lielu atšķirību rada vismazāk izplatītā vairāku metodi, mēģiniet aprēķināt šos pašus piemērus, izmantojot krustenisko metodi. Protams, bez kalkulatora. Es domāju, ka pēc šī komentāri būs lieki.
Nedomājiet, ka reālajos piemēros nebūs tik sarežģītu daļskaitļu. Viņi tiekas visu laiku, un iepriekš minētie uzdevumi nav ierobežojums!
Vienīgā problēma ir, kā atrast šo pašu NOC. Dažreiz visu var atrast dažu sekunžu laikā, burtiski “ar aci”, bet kopumā tas ir sarežģīts skaitļošanas uzdevums, kas prasa atsevišķu apsvērumu. Mēs to šeit nepieskarsim.
Šajā rakstā ir paskaidrots kā atrast mazāko kopsaucēju Un kā samazināt daļskaitļus līdz kopsaucējam. Pirmkārt, ir dotas daļskaitļu kopsaucēja un mazākā kopsaucēja definīcijas, kā arī parādīts, kā atrast daļu kopsaucēju. Tālāk ir sniegts noteikums daļskaitļu samazināšanai līdz kopsaucējam, un ir aplūkoti šī noteikuma piemērošanas piemēri. Noslēgumā tiek apspriesti piemēri, kā apvienot trīs vai vairāk daļskaitļus līdz kopsaucējam.
Lapas navigācija.
Ko sauc par daļskaitļu samazināšanu līdz kopsaucējam?
Tagad mēs varam pateikt, ko nozīmē daļskaitļu samazināšana līdz kopsaucējam. Daļskaitļu samazināšana līdz kopsaucējam- Šī ir doto daļu skaitītāju un saucēju reizināšana ar tādiem papildu faktoriem, ka rezultātā tiek iegūtas daļas ar vienādiem saucējiem.
Kopsaucējs, definīcija, piemēri
Tagad ir pienācis laiks definēt daļskaitļu kopsaucēju.
Citiem vārdiem sakot, noteiktas parasto daļskaitļu kopas kopsaucējs ir jebkurš naturāls skaitlis, kas dalās ar visiem šo daļu saucējiem.
No norādītās definīcijas izriet, ka noteiktai daļskaitļu kopai ir bezgalīgi daudz kopsaucēju, jo ir bezgalīgi daudz kopīgu daudzkārtņu visiem sākotnējās daļu kopas saucējiem.
Daļskaitļu kopsaucēja noteikšana ļauj atrast doto daļskaitļu kopsaucējus. Pieņemsim, piemēram, ņemot vērā daļskaitļus 1/4 un 5/6, to saucēji ir attiecīgi 4 un 6. Pozitīvi kopējie skaitļu 4 un 6 daudzkārtņi ir skaitļi 12, 24, 36, 48, ... Jebkurš no šiem skaitļiem ir kopsaucējs daļdaļām 1/4 un 5/6.
Lai konsolidētu materiālu, apsveriet šāda piemēra risinājumu.
Piemērs.
Vai daļskaitļus 2/3, 23/6 un 7/12 var samazināt līdz kopsaucējam 150?
Risinājums.
Lai atbildētu uz jautājumu, jānoskaidro, vai skaitlis 150 ir kopīgs saucēju 3, 6 un 12 daudzkārtnis. Lai to izdarītu, pārbaudīsim, vai 150 dalās ar katru no šiem skaitļiem (ja nepieciešams, sk naturālu skaitļu dalīšanas noteikumi un piemēri, un arī noteikumi un piemēri naturālu skaitļu dalīšanai ar atlikumu): 150:3=50, 150:6=25, 150:12=12 (atlikušais 6).
Tātad, 150 nav vienmērīgi dalāms ar 12, tāpēc 150 nav skaitļu 3, 6 un 12 kopīgs daudzkārtnis. Tāpēc skaitlis 150 nevar būt sākotnējo daļskaitļu kopsaucējs.
Atbilde:
Tas ir aizliegts.
Mazākais kopsaucējs, kā to atrast?
Skaitļu kopā, kas ir doto daļskaitļu kopsaucēji, ir mazākais naturālais skaitlis, ko sauc par mazāko kopsaucēju. Formulēsim šo daļskaitļu mazākā kopsaucēja definīciju.
Definīcija.
Mazākais kopsaucējs ir mazākais visu šo daļu kopsaucēju skaits.
Atliek risināt jautājumu par to, kā atrast vismazāko dalītāju.
Tā kā ir vismazāk pozitīvais noteiktas skaitļu kopas kopīgais dalītājs, doto daļskaitļu saucēju LCM ir doto daļskaitļu mazākais kopsaucējs.
Tādējādi, lai atrastu daļskaitļu mazāko kopsaucēju, tiek izmantoti šo daļskaitļu saucēji. Apskatīsim piemēra risinājumu.
Piemērs.
Atrodiet daļskaitļu 3/10 un 277/28 mazāko kopsaucēju.
Risinājums.
Šo daļskaitļu saucēji ir 10 un 28. Vēlamais mazākais kopsaucējs tiek atrasts kā skaitļu 10 un 28 LCM. Mūsu gadījumā tas ir vienkārši: tā kā 10=2·5 un 28=2·2·7, tad LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.
Atbilde:
140 .
Kā samazināt daļskaitļus līdz kopsaucējam? Noteikums, piemēri, risinājumi
Kopējās daļskaitļi parasti rada mazāko kopsaucēju. Tagad mēs pierakstīsim noteikumu, kas izskaidro, kā samazināt daļskaitļus līdz to zemākajam kopsaucējam.
Noteikums daļskaitļu samazināšanai līdz mazākajam kopsaucējam sastāv no trim soļiem:
- Vispirms atrodiet daļskaitļu mazāko kopsaucēju.
- Otrkārt, katrai frakcijai tiek aprēķināts papildu koeficients, dalot mazāko kopsaucēju ar katras frakcijas saucēju.
- Treškārt, katras daļas skaitītājs un saucējs tiek reizināts ar tā papildu koeficientu.
Izmantosim norādīto noteikumu, lai atrisinātu šādu piemēru.
Piemērs.
Samaziniet daļskaitļus 5/14 un 7/18 līdz to zemākajam kopsaucējam.
Risinājums.
Izpildīsim visas algoritma darbības daļskaitļu samazināšanai līdz mazākajam kopsaucējam.
Vispirms atrodam mazāko kopsaucēju, kas ir vienāds ar skaitļu 14 un 18 mazāko kopējo daudzkārtni. Tā kā 14=2·7 un 18=2·3·3, tad LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.
Tagad mēs aprēķinām papildu koeficientus, ar kuru palīdzību daļskaitļi 5/14 un 7/18 tiks samazināti līdz saucējam 126. Daļai 5/14 papildu koeficients ir 126:14=9, bet frakcijai 7/18 papildu koeficients ir 126:18=7.
Atliek daļskaitļu 5/14 un 7/18 skaitītājus un saucējus reizināt ar papildu koeficientiem attiecīgi 9 un 7. Mums ir un 
.
Tātad daļskaitļu 5/14 un 7/18 samazināšana līdz mazākajam kopsaucējam ir pabeigta. Iegūtās frakcijas bija 45/126 un 49/126.
Šai metodei ir jēga, ja polinoma pakāpe nav zemāka par diviem. Šajā gadījumā kopējais faktors var būt ne tikai pirmās pakāpes, bet arī augstāku pakāpju binomiāls.
Lai atrastu kopīgu faktors polinoma terminos ir nepieciešams veikt vairākas transformācijas. Vienkāršākais binoms vai monomāls, ko var izņemt no iekavām, būs viena no polinoma saknēm. Acīmredzot gadījumā, ja polinomam nav brīva vārda, pirmajā pakāpē būs nezināmais - polinoms, kas vienāds ar 0.
Grūtāk ir atrast kopīgu faktoru, ja brīvais termiņš nav vienāds ar nulli. Tad ir piemērojamas vienkāršas atlases vai grupēšanas metodes. Piemēram, lai visas polinoma saknes būtu racionālas, un visi polinoma koeficienti ir veseli skaitļi: y^4 + 3 y³ – y² – 9 y – 18.
Pierakstiet visus brīvā termiņa veselus skaitļu dalītājus. Ja polinomā ir racionālās saknes, tad viņi ir starp tiem. Atlases rezultātā tiek iegūtas saknes 2 un -3. Tas nozīmē, ka šī polinoma kopīgie faktori būs binomi (y - 2) un (y + 3).
Kopējā faktoringa metode ir viena no faktorizēšanas sastāvdaļām. Iepriekš aprakstītā metode ir piemērojama, ja augstākās pakāpes koeficients ir 1. Ja tas tā nav, tad vispirms ir jāveic virkne transformāciju. Piemēram: 2 g³ + 19 g² + 41 g + 15.
Veikt aizstāšanu formā t = 2³·y³. Lai to izdarītu, visus polinoma koeficientus reiziniet ar 4: 2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. Pēc aizstāšanas: t³ + 19·t² + 82·t + 60. lai atrastu kopējo faktoru, mēs izmantojam iepriekš minēto metodi.
Turklāt efektīva metode Kopīga faktora atrašana ir polinoma elementi. Tas ir īpaši noderīgi, ja pirmā metode nav, t.i. polinomā nav racionālās saknes. Tomēr grupējumi ne vienmēr ir acīmredzami. Piemēram: polinomam y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 nav veselu skaitļu sakņu.
Izmantojiet grupēšanu: y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 = y^4 + 4 y³ – 2 y² + y² – 8 y – 2 = (y^4 – 2 y²) + ( 4 y³ – 8 g) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4 y + 1) Šī polinoma elementu kopējais koeficients ir (y² - 2).
Reizināšana un dalīšana, tāpat kā saskaitīšana un atņemšana, ir aritmētiskās pamatoperācijas. Nemācoties risināt reizināšanas un dalīšanas piemērus, cilvēks saskarsies ar daudzām grūtībām ne tikai apgūstot sarežģītākas matemātikas nozares, bet pat visparastākajās ikdienas lietās. Reizināšana un dalīšana ir cieši saistītas, un piemēru un problēmu nezināmie komponenti, kas saistīti ar vienu no šīm darbībām, tiek aprēķināti, izmantojot otru darbību. Tajā pašā laikā ir skaidri jāsaprot, ka, risinot piemērus, nav absolūti nekādas atšķirības, kurus objektus jūs dalāt vai pavairojat.
Jums būs nepieciešams
- - reizināšanas tabula;
- - kalkulators vai papīra lapa un zīmulis.
Norādījumi
Pierakstiet vajadzīgo piemēru. Iezīmē nezināmo faktors kā x. Piemērs varētu izskatīties šādi: a*x=b. Piemērā faktora a un reizinājuma b vietā var būt jebkurš vai skaitļi. Atcerieties reizināšanas pamatprincipu: faktoru vietu maiņa nemaina reizinājumu. Tik nezināms faktors x var novietot absolūti jebkur.
Lai atrastu nezināmo faktors piemērā, kur ir tikai divi faktori, jums vienkārši jāsadala produkts ar zināmo faktors. Tas ir, tas tiek darīts šādi: x=b/a. Ja jums ir grūti darboties ar abstraktiem lielumiem, mēģiniet iedomāties šo problēmu konkrētu objektu veidā. Tev, tev ir tikai āboli un cik no tiem apēdīsi, bet tu nezini, cik ābolu visi dabūs. Piemēram, jums ir 5 ģimenes locekļi, un ir 15 āboli. Norādiet katram paredzēto ābolu skaitu kā x. Tad vienādojums izskatīsies šādi: 5(āboli)*x=15(āboli). Nezināms faktors tiek atrasts tāpat kā vienādojumā ar burtiem, tas ir, sadaliet 15 ābolus pieciem ģimenes locekļiem, galu galā izrādās, ka katrs no viņiem ēda 3 ābolus.
Tādā pašā veidā tiek atrasts nezināmais faktors ar faktoru skaitu. Piemēram, piemērs izskatās šādi: a*b*c*x*=d. Teorētiski atrast ar faktors tas ir iespējams tāpat kā vēlākā piemērā: x=d/a*b*c. Bet vienādojumu var samazināt līdz vairāk vienkāršs skats, apzīmējot zināmo faktoru reizinājumu ar citu burtu - piemēram, m. Atrodiet, ko m vienāds, reizinot cipari a,b un c: m=a*b*c. Tad visu piemēru var attēlot kā m*x=d, un nezināmais lielums būs vienāds ar x=d/m.
Ja zināms faktors un reizinājums ir daļskaitļi, piemērs tiek atrisināts tieši tāpat kā ar . Bet šajā gadījumā jums ir jāatceras darbības. Reizinot daļskaitļus, tiek reizināti to skaitītāji un saucēji. Dalot daļskaitļus, dividendes skaitītāju reizina ar dalītāja saucēju, bet dividendes saucēju reizina ar dalītāja skaitītāju. Tas ir, šajā gadījumā piemērs izskatīsies šādi: a/b*x=c/d. Lai atrastu nezināmu daudzumu, produkts ir jāsadala ar zināmo faktors. Tas ir, x=a/b:c/d =a*d/b*c.
Video par tēmu
Lūdzu, ņemiet vērā
Risinot piemērus ar daļskaitļiem, zināmā faktora daļu var vienkārši apgriezt un darbību veikt kā daļskaitļu reizinājumu.
Polinoms ir monomu summa. Monomāls ir vairāku faktoru rezultāts, kas ir cipars vai burts. Grāds nezināmais ir reižu skaits, kad tas tiek reizināts ar sevi.
Norādījumi
Lūdzu, sniedziet to, ja tas vēl nav izdarīts. Līdzīgi monomi ir viena veida monomi, tas ir, monomi ar vienādiem tādas pašas pakāpes nezināmajiem.
Ņemiet, piemēram, polinomu 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². Šim polinomam ir divi nezināmie — x un y.
Savienojiet līdzīgus monomus. Monomi ar y otro pakāpju un x trešo pakāpju iegūs formu y²*x³, un monomi ar y ceturto pakāpju tiks atcelti. Izrādās y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.
Ņemiet y kā galveno nezināmo burtu. Atrodiet maksimālo pakāpi nezināmajam y. Tas ir monomāls y²*x³ un attiecīgi 2. pakāpe.
Izdariet secinājumu. Grāds polinoms 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² ir vienāds ar trīs, un y ir vienāds ar divi.
Atrodi grādu polinoms√x+5*y ar y. Tas ir vienāds ar maksimālo y pakāpi, tas ir, vienu.
Atrodi grādu polinoms√x+5*y x. Nezināmais x atrodas, kas nozīmē, ka tā pakāpe būs daļa. Tā kā sakne ir kvadrātsakne, x jauda ir 1/2.
Izdariet secinājumu. Par polinoms√x+5*y x jauda ir 1/2 un y jauda ir 1.
Video par tēmu
Vienkāršošana algebriskās izteiksmes nepieciešams daudzās matemātikas jomās, tostarp vienādojumu risināšanā augstākas pakāpes, diferenciācija un integrācija. Tiek izmantotas vairākas metodes, tostarp faktorizēšana. Lai izmantotu šo metodi, jums ir jāatrod un jāizveido vispārīgs faktors priekš iekavās.
