utt. ir vispārizglītojošs raksturs un ir liela nozīme apgūt VISU augstākās matemātikas kursu. Šodien mēs atkārtosim “skolas” vienādojumus, bet ne tikai “skolas” vienādojumus, bet arī tos, kas visur atrodami dažādās vyshmat problēmās. Kā ierasts, stāsts tiks izstāstīts lietišķā veidā, t.i. Es nekoncentrēšos uz definīcijām un klasifikācijām, bet precīzi dalīšos ar jums Personīgā pieredze risinājumus. Informācija galvenokārt paredzēta iesācējiem, taču daudz ko atradīs arī pieredzējušāki lasītāji. interesanti mirkļi. Un, protams, būs jauns materiāls, kas pārsniedz vidusskola.
Tātad vienādojums…. Daudzi šo vārdu atceras ar nodrebēm. Ko vērti ir “sarežģītie” vienādojumi ar saknēm... ...aizmirstiet par tiem! Jo tad jūs satiksit visnekaitīgākos šīs sugas “pārstāvjus”. Vai garlaicīgi trigonometriskie vienādojumi ar desmitiem risināšanas metožu. Godīgi sakot, man pašai tie īsti nepatika... Neļauties panikai! – tad pārsvarā jūs sagaida “pienenes” ar acīmredzamu risinājumu 1-2 soļos. Lai gan “dadzis” noteikti pieķeras, šeit jābūt objektīvam.
Savādi, bet augstākajā matemātikā daudz biežāk tiek risināti ļoti primitīvi vienādojumi, piemēram, lineārs vienādojumi
Ko nozīmē atrisināt šo vienādojumu? Tas nozīmē atrast TĀDU “x” (saknes) vērtību, kas to pārvērš par patiesu vienlīdzību. Izmetīsim “trīs” pa labi ar zīmes maiņu:
un nometiet "divus" labajā pusē (vai, tas pats - reiziniet abas puses ar)
:
Lai pārbaudītu, aizstāsim iegūto trofeju sākotnējā vienādojumā: 
Tiek iegūta pareizā vienādība, kas nozīmē, ka atrastā vērtība patiešām ir sakne dots vienādojums. Vai arī, kā viņi saka, apmierina šo vienādojumu.
Lūdzu, ņemiet vērā, ka sakni var ierakstīt arī formā decimālzīme:
Un mēģiniet nepieturēties pie šī sliktā stila! Iemeslu atkārtoju vairāk nekā vienu reizi, jo īpaši pašā pirmajā nodarbībā augstākā algebra.
Starp citu, vienādojumu var atrisināt arī “arābu valodā”:
Un pats interesantākais ir tas, ka šis ieraksts ir pilnīgi likumīgs! Bet, ja jūs neesat skolotājs, tad labāk to nedarīt, jo oriģinalitāte šeit ir sodāma =)
Un tagad nedaudz par
grafiskā risinājuma metode
Vienādojumam ir forma un tā sakne ir "X" koordināte krustojuma punkti lineāro funkciju grafiks ar lineāras funkcijas grafiku (x ass):
Šķiet, ka piemērs ir tik elementārs, ka šeit vairs nav ko analizēt, taču no tā var “izspiest” vēl vienu negaidītu niansi: uzrādīsim vienu un to pašu vienādojumu formā un izveidosim funkciju grafikus: 
kurā, lūdzu, nejauciet abus jēdzienus: vienādojums ir vienādojums, un funkcija– tā ir funkcija! Funkcijas tikai palīdzēt atrodiet vienādojuma saknes. No kuriem var būt divi, trīs, četri vai pat bezgalīgi daudz. Tuvākais piemērs šajā ziņā ir labi zināmais kvadrātvienādojums, risinājuma algoritms saņēma atsevišķu rindkopu "karstās" skolas formulas. Un tā nav nejaušība! Ja jūs varat atrisināt kvadrātvienādojumu un zināt Pitagora teorēma, tad, varētu teikt, “puse augstākās matemātikas jau kabatā” =) Pārspīlēti, protams, bet ne tik tālu no patiesības!
Tāpēc nebūsim slinki un atrisināsim kādu kvadrātvienādojumu, izmantojot standarta algoritms:
, kas nozīmē, ka vienādojumam ir divi dažādi derīgs sakne: 
Ir viegli pārbaudīt, vai abas atrastās vērtības faktiski atbilst šim vienādojumam: 
Ko darīt, ja pēkšņi aizmirsāt risinājuma algoritmu un pa rokai nav līdzekļu/palīdzīgu roku? Šāda situācija var rasties, piemēram, ieskaites vai eksāmena laikā. Mēs izmantojam grafisko metodi! Un ir divi veidi: jūs varat veidot punktu pa punktam parabola 
, tādējādi noskaidrojot, kur tas krustojas ar asi (ja tas vispār šķērso). Bet labāk ir darīt kaut ko viltīgāku: iedomājieties vienādojumu formā, uzzīmējiet vienkāršāku funkciju grafikus - un "X" koordinātas to krustošanās punkti ir skaidri redzami! 
Ja izrādās, ka taisne pieskaras parabolai, tad vienādojumam ir divas atbilstošas (vairākas) saknes. Ja izrādās, ka taisne nekrusto parabolu, tad īstu sakņu nav.
Lai to izdarītu, protams, ir jāprot būvēt elementāru funkciju grafiki, bet, no otras puses, ar šīm prasmēm var nodarboties pat skolēns.
Un atkal - vienādojums ir vienādojums, un funkcijas ir funkcijas, kas tikai palīdzēja atrisiniet vienādojumu!
Un šeit, starp citu, derētu atcerēties vēl vienu lietu: ja visus vienādojuma koeficientus reizina ar skaitli, kas nav nulle, tad tā saknes nemainīsies.
Tā, piemēram, vienādojums 
ir tādas pašas saknes. Kā vienkāršu "pierādījumu" es izņemšu konstanti no iekavām: 
un es to nesāpīgi noņemšu (Es sadalīšu abas daļas ar "mīnus divi"):
BET! Ja ņemam vērā funkciju 
, tad jūs nevarat atbrīvoties no konstantes šeit! Ir atļauts tikai izņemt reizinātāju no iekavām: 
.
Daudzi cilvēki par zemu novērtē grafiskā risinājuma metodi, uzskatot to par kaut ko “necienīgu”, un daži pat pilnībā aizmirst par šo iespēju. Un tas ir principā nepareizi, jo grafiku zīmēšana dažreiz tikai ietaupa situāciju!
Vēl viens piemērs: pieņemsim, ka neatceraties vienkāršākā trigonometriskā vienādojuma saknes: . Vispārīgā formula ir skolas mācību grāmatās, visās pamatmatemātikas uzziņu grāmatās, taču tās jums nav pieejamas. Tomēr vienādojuma atrisināšana ir kritiska (aka “divi”). Ir izeja! - veidojiet funkciju grafikus: 
pēc tam mierīgi pierakstām to krustošanās punktu “X” koordinātas: 
Ir bezgalīgi daudz sakņu, un algebrā tiek pieņemts to saīsinātais apzīmējums:
, Kur ( – veselu skaitļu kopa)
.
Un, “neejot prom”, daži vārdi par grafisko metodi nevienādību risināšanai ar vienu mainīgo. Princips tas pats. Tā, piemēram, nevienlīdzības risinājums ir jebkurš “x”, jo Sinusoīds gandrīz pilnībā atrodas zem taisnās līnijas. Nevienlīdzības risinājums ir intervālu kopa, kurā sinusoīda gabali atrodas stingri virs taisnes (x ass):
jeb īsumā:
Bet šeit ir daudzi nevienlīdzības risinājumi: tukšs, jo neviens sinusoīda punkts neatrodas virs taisnes.
Vai ir kaut kas, ko jūs nesaprotat? Steidzami izpētiet nodarbības par komplekti Un funkciju grafiki!
Iesildīsimies:
1. vingrinājums
Grafiski atrisiniet šādus trigonometriskos vienādojumus:
Atbildes nodarbības beigās
Kā redzat, lai studētu eksaktās zinātnes, nemaz nav nepieciešams piebāzt formulas un uzziņu grāmatas! Turklāt šī ir fundamentāli kļūdaina pieeja.
Kā jau es jūs mierināju pašā nodarbības sākumā, sarežģīti trigonometriskie vienādojumi augstākās matemātikas standarta kursā ir jāatrisina ārkārtīgi reti. Visa sarežģītība, kā likums, beidzas ar vienādojumiem, piemēram, , kuru risinājums ir divas sakņu grupas, kas izriet no vienkāršākajiem vienādojumiem un 
. Neuztraucieties pārāk daudz par pēdējās atrisināšanu - meklējiet grāmatā vai atrodiet to internetā =)
Grafiskā risinājuma metode var palīdzēt arī mazāk triviālos gadījumos. Apsveriet, piemēram, šādu "lupatu" vienādojumu:
Tā risinājuma izredzes izskatās... neizskatās pēc nekā, bet jums vienkārši jāiedomājas vienādojums formā , būvēt funkciju grafiki un viss izrādīsies neticami vienkārši. Raksta vidū ir zīmējums par bezgalīgi mazas funkcijas (tiks atvērts nākamajā cilnē).
Izmantojot to pašu grafisko metodi, jūs varat uzzināt, ka vienādojumam jau ir divas saknes, un viena no tām ir vienāda ar nulli, bet otra, šķiet, neracionāli un pieder segmentam . Šo sakni var aprēķināt aptuveni, piemēram, tangentes metode. Starp citu, dažās problēmās gadās, ka jums nav jāatrod saknes, bet gan jānoskaidro vai viņi vispār eksistē?. Un arī šeit var palīdzēt zīmējums - ja grafiki nekrustojas, tad nav arī sakņu.
Polinomu racionālās saknes ar veseliem skaitļiem.
Hornera shēma
Un tagad aicinu vērst skatienu uz viduslaikiem un sajust unikālo klasiskās algebras atmosfēru. Priekš labāka izpratne Iesaku izlasīt vismaz nedaudz no materiāla kompleksie skaitļi.
Viņi ir vislabākie. Polinomi.
Mūsu intereses objekts būs visizplatītākie formas polinomi ar vesels koeficienti Dabiskais skaitlis sauca polinoma pakāpe, skaitlis – augstākās pakāpes koeficients (vai tikai augstākais koeficients), un koeficients ir bezmaksas dalībnieks.
Es īsumā apzīmēšu šo polinomu ar .
Polinoma saknes izsauciet vienādojuma saknes
Man patīk dzelzs loģika =)
Lai iegūtu piemērus, dodieties uz pašu raksta sākumu: 
Ar 1. un 2. pakāpes polinomu sakņu atrašanu nav problēmu, taču, palielinoties, šis uzdevums kļūst arvien grūtāks. Lai gan no otras puses, viss ir interesantāk! Un tieši tam būs veltīta nodarbības otrā daļa.
Pirmkārt, burtiski puse no teorijas ekrāna:
1) Saskaņā ar secinājumu algebras pamatteorēma, pakāpes polinomam ir precīzi komplekss saknes Dažas saknes (vai pat visas) var būt īpaši derīgs. Turklāt starp īstajām saknēm var būt identiskas (vairākas) saknes (vismaz divi, maksimāli gabali).
Ja kāds kompleksais skaitlis ir polinoma sakne, tad konjugāts tā skaitlis noteikti ir arī šī polinoma sakne (konjugētām kompleksajām saknēm ir forma ).
Vienkāršākais piemērs ir kvadrātvienādojums, kas pirmo reizi parādījās 8 (patīk) klasei, un ko beidzot “pabeidzām” tēmā kompleksie skaitļi. Ļaujiet man jums atgādināt: kvadrātvienādojumam ir vai nu divas dažādas reālās saknes, vai vairākas saknes, vai konjugētas sarežģītas saknes.
2) No Bezout teorēma no tā izriet, ka, ja skaitlis ir vienādojuma sakne, tad atbilstošo polinomu var faktorizēt:
, kur ir pakāpes polinoms .
Un atkal mūsu vecais piemērs: tā kā ir vienādojuma sakne, tad . Pēc tam nav grūti iegūt labi zināmo “skolas” paplašināšanos.
Bezout teorēmas secinājumam ir liela praktiska vērtība: ja mēs zinām 3. pakāpes vienādojuma sakni, tad varam to attēlot formā 
un no kvadrātvienādojuma ir viegli noskaidrot atlikušās saknes. Ja zinām 4.pakāpes vienādojuma sakni, tad kreiso pusi iespējams izvērst reizinājumā utt.
Un šeit ir divi jautājumi:
Pirmais jautājums. Kā atrast šo sakni? Pirmkārt, definēsim tā būtību: daudzās augstākās matemātikas problēmās tas ir jāatrod racionāls, it īpaši vesels polinomu saknes, un šajā sakarā tālāk mūs galvenokārt interesēs tie.... ...tie ir tik labi, tik pūkaini, ka tā vien gribas tos atrast! =)
Pirmā lieta, kas nāk prātā, ir atlases metode. Apsveriet, piemēram, vienādojumu . Nozveja šeit ir brīvajā termiņā - ja tas būtu vienāds ar nulli, tad viss būtu kārtībā - mēs izņemam “x” no iekavām, un pašas saknes “izkrīt” uz virsmu: 
Bet mūsu brīvais termins ir vienāds ar “trīs”, un tāpēc mēs sākam aizstāt vienādojumu dažādi skaitļi, kas apgalvo, ka ir “sakne”. Pirmkārt, par sevi liecina atsevišķu vērtību aizstāšana. Aizstāsim: 
Saņemts nepareizi vienlīdzība, līdz ar to vienība “neatbilst”. Labi, aizstāsim: 
Saņemts taisnība vienlīdzība! Tas nozīmē, ka vērtība ir šī vienādojuma sakne.
Lai atrastu 3. pakāpes polinoma saknes, ir analītiskā metode (tā sauktās Cardano formulas), bet tagad mūs interesē nedaudz cits uzdevums.
Tā kā - ir mūsu polinoma sakne, polinomu var attēlot formā un tas rodas Otrais jautājums: kā atrast "jaunāko brāli"?
Vienkāršākie algebriskie apsvērumi liecina, ka, lai to izdarītu, mums ir jādala ar . Kā sadalīt polinomu ar polinomu? Tas pats skolas metode, ko izmanto parasto skaitļu dalīšanai - “kolonnā”! Šī metode es sīkāk apspriests nodarbības pirmajos piemēros Sarežģīti ierobežojumi, un tagad mēs aplūkosim citu metodi, ko sauc Hornera shēma.
Vispirms rakstām “augstāko” polinomu ar visiem
, ieskaitot nulles koeficientus:
, pēc kura mēs ievadām šos koeficientus (stingri secībā) tabulas augšējā rindā:
Kreisajā pusē rakstām sakni:
Uzreiz izdarīšu atrunu, ka Hornera shēma darbojas arī tad, ja ir “sarkanais” cipars Nav ir polinoma sakne. Tomēr nesasteigsim lietas.
Mēs noņemam vadošo koeficientu no augšas:
Apakšējo šūnu aizpildīšanas process nedaudz atgādina izšuvumu, kur “mīnus viens” ir sava veida “adata”, kas caurvij turpmākās darbības. Mēs reizinām “pārnesto” skaitli ar (–1) un pievienojam produktam skaitli no augšējās šūnas:
Mēs reizinām atrasto vērtību ar “sarkano adatu” un pievienojam produktam šādu vienādojuma koeficientu:
Un visbeidzot, iegūtā vērtība atkal tiek “apstrādāta” ar “adatu” un augšējo koeficientu:
Nulle pēdējā šūnā norāda, ka polinoms ir sadalīts bez pēdām (kā tam jābūt), savukārt izplešanās koeficienti tiek “noņemti” tieši no tabulas apakšējās rindas:
Tādējādi mēs pārgājām no vienādojuma uz līdzvērtīgu vienādojumu, un ar divām atlikušajām saknēm viss ir skaidrs (V šajā gadījumā mēs iegūstam konjugētas sarežģītas saknes).
Vienādojumu, starp citu, var atrisināt arī grafiski: plot "zibens" 
un redzēt, ka grafiks šķērso x asi ()
punktā. Vai arī tas pats “viltīgais” triks - mēs pārrakstām vienādojumu formā , uzzīmējam elementārus grafikus un atklājam to krustošanās punkta “X” koordinātu.
Starp citu, jebkuras 3. pakāpes funkcijas-polinoma grafiks vismaz vienu reizi krustojas ar asi, kas nozīmē, ka atbilstošajam vienādojumam ir vismaz viens derīgs sakne. Šis fakts derīga jebkurai nepāra pakāpes polinoma funkcijai.
Un šeit es arī gribētu pakavēties svarīgs punkts kas attiecas uz terminoloģiju: polinoms Un polinoma funkcija – tas nav viens un tas pats! Bet praksē viņi bieži runā, piemēram, par “polinoma grafiku”, kas, protams, ir nolaidība.
Tomēr atgriezīsimies pie Hornera shēmas. Kā jau nesen minēju, šī shēma darbojas citiem numuriem, bet, ja numurs Nav ir vienādojuma sakne, tad mūsu formulā parādās papildinājums, kas nav nulle (atlikums):
“Palaidīsim” “neveiksmīgo” vērtību saskaņā ar Hornera shēmu. Šajā gadījumā ir ērti izmantot to pašu tabulu - kreisajā pusē ierakstiet jaunu “adatu”, pārvietojiet vadošo koeficientu no augšas (kreisā zaļā bultiņa), un dodamies ceļā: 
Lai pārbaudītu, atvērsim iekavas un parādīsim līdzīgus terminus:
, LABI.
Ir viegli pamanīt, ka atlikums (“seši”) ir tieši polinoma vērtība pie . Un patiesībā - kā tas ir: 
, un vēl jaukāk - piemēram:
No iepriekšminētajiem aprēķiniem ir viegli saprast, ka Hornera shēma ļauj ne tikai faktorēt polinomu, bet arī veikt “civilizētu” saknes atlasi. Es iesaku pašam konsolidēt aprēķina algoritmu ar nelielu uzdevumu:
2. uzdevums
Izmantojot Hornera shēmu, atrodiet vienādojuma veselo skaitļu sakni un faktorējiet atbilstošo polinomu
Citiem vārdiem sakot, šeit jums ir nepieciešams secīgi pārbaudīt skaitļus 1, –1, 2, –2, ... – līdz pēdējā kolonnā tiek “nozīmēta” nulle. Tas nozīmēs, ka šīs rindas “adata” ir polinoma sakne
Aprēķinus ir ērti sakārtot vienā tabulā. Detalizēts risinājums un atbilde nodarbības beigās.
Sakņu atlases metode ir laba salīdzinoši vienkārši gadījumi, bet, ja polinoma koeficienti un/vai pakāpe ir lieli, process var aizņemt ilgāku laiku. Vai varbūt ir kādas vērtības no tā paša saraksta 1, –1, 2, –2, un nav jēgas apsvērt? Un turklāt saknes var izrādīties daļēja, kas novedīs pie pilnīgi nezinātniskas bakstīšanas.
Par laimi, ir divas spēcīgas teorēmas, kas var ievērojami samazināt "kandidātu" vērtību meklēšanu racionālām saknēm:
1. teorēma Apsvērsim nesamazināms frakcija , kur . Ja skaitlis ir vienādojuma sakne, tad brīvo terminu dala ar un vadošo koeficientu dala ar.
It īpaši, ja vadošais koeficients ir , tad šī racionālā sakne ir vesels skaitlis:
Un mēs sākam izmantot teorēmu tikai ar šo garšīgo detaļu:
Atgriezīsimies pie vienādojuma. Tā kā tā vadošais koeficients ir , tad hipotētiskās racionālās saknes var būt tikai veseli skaitļi, un brīvais termins noteikti jāsadala šajās saknēs bez atlikuma. Un “trīs” var iedalīt tikai 1, –1, 3 un –3. Tas ir, mums ir tikai 4 “saknes kandidāti”. Un, saskaņā ar 1. teorēma, citi racionālie skaitļi PRINCIPĀ nevar būt šī vienādojuma saknes.
Vienādojumā ir nedaudz vairāk “pretendentu”: brīvais termins ir sadalīts 1, –1, 2, – 2, 4 un –4.
Lūdzu, ņemiet vērā, ka skaitļi 1, –1 ir iespējamo sakņu saraksta “regulārie”. (teorēmas acīmredzamas sekas) un lielākā daļa labākā izvēle prioritātes pārbaudei.
Pāriesim pie jēgpilnākiem piemēriem:
3. problēma
Risinājums: tā kā vadošais koeficients ir , tad hipotētiskās racionālās saknes var būt tikai veseli skaitļi, un tām obligāti jābūt brīvā termina dalītājiem. “Mīnus četrdesmit” ir sadalīts šādos skaitļu pāros:
– kopā 16 “kandidāti”.
Un te uzreiz parādās kārdinoša doma: vai ir iespējams atsijāt visas negatīvās vai visas pozitīvās saknes? Dažos gadījumos tas ir iespējams! Es formulēšu divas zīmes:
1) Ja Visi Ja polinoma koeficienti nav negatīvi, tad tam nevar būt pozitīvas saknes. Diemžēl tas nav mūsu gadījums (tagad, ja mums būtu dots vienādojums - tad jā, aizstājot jebkuru polinoma vērtību, polinoma vērtība ir stingri pozitīva, kas nozīmē, ka visi pozitīvie skaitļi (un arī neracionālas) nevar būt vienādojuma saknes.
2) Ja nepāra pakāpju koeficienti nav negatīvi un visiem pāra pakāpēm (ieskaitot bezmaksas dalībnieku) ir negatīvi, tad polinomam nevar būt negatīvas saknes. Šis ir mūsu gadījums! Paskatoties nedaudz tuvāk, jūs varat redzēt, ka, aizstājot vienādojumā jebkuru negatīvu “X”, kreisā puse būs stingri negatīva, kas nozīmē, ka negatīvās saknes pazūd.
Tādējādi pētījumiem ir atlikuši 8 skaitļi:
Mēs tos “uzlādējam” secīgi saskaņā ar Hornera shēmu. Es ceru, ka jūs jau esat apguvis garīgos aprēķinus: 
Pārbaudot “divus”, mūs gaidīja veiksme. Tādējādi ir aplūkojamā vienādojuma sakne un
Atliek izpētīt vienādojumu 
. To ir viegli izdarīt, izmantojot diskriminantu, bet es veiksim indikatīvu pārbaudi, izmantojot to pašu shēmu. Pirmkārt, ņemiet vērā, ka brīvais termiņš ir vienāds ar 20, kas nozīmē 1. teorēma skaitļi 8 un 40 izkrīt no iespējamo sakņu saraksta, atstājot vērtības izpētei (viens tika izslēgts pēc Hornera shēmas).
Mēs ierakstām trinoma koeficientus jaunās tabulas augšējā rindā un Mēs sākam pārbaudīt ar tiem pašiem "diviem". Kāpēc? Un tā kā saknes var būt daudzkārtējas, lūdzu: - šajā vienādojumā ir 10 identiskas saknes. Bet nenovērsīsim uzmanību: 
Un šeit es, protams, mazliet meloju, zinot, ka saknes ir racionālas. Galu galā, ja tie būtu neracionāli vai sarežģīti, tad es saskartos ar neveiksmīgu visu atlikušo skaitļu pārbaudi. Tāpēc praksē vadieties pēc diskriminējošās personas.
Atbilde: racionālas saknes: 2, 4, 5
Mums paveicās analizētajā problēmā, jo: a) tās uzreiz nokrita negatīvas vērtības, un b) mēs ļoti ātri atradām sakni (un teorētiski mēs varētu pārbaudīt visu sarakstu).
Bet patiesībā situācija ir daudz sliktāka. Aicinu noskatīties aizraujoša spēle ar nosaukumu " Pēdējais varonis»:
4. problēma
Atrodiet vienādojuma racionālās saknes
Risinājums: Autors 1. teorēma hipotētisko skaitītāji racionālās saknes jāapmierina nosacījums (mēs lasām “divpadsmit dala ar el”), un saucēji atbilst nosacījumam . Pamatojoties uz to, mēs iegūstam divus sarakstus:
"saraksts el":
un "list um": (par laimi, skaitļi šeit ir dabiski).
Tagad izveidosim visu iespējamo sakņu sarakstu. Pirmkārt, mēs sadalām “el sarakstu” ar . Ir pilnīgi skaidrs, ka tiks iegūti tie paši skaitļi. Ērtības labad ievietosim tos tabulā:
Daudzas frakcijas ir samazinātas, kā rezultātā tiek iegūtas vērtības, kas jau ir “varoņu sarakstā”. Mēs pievienojam tikai "iesācējus": 
Līdzīgi mēs to pašu “sarakstu” sadalām ar: 
un beidzot tālāk
Tādējādi mūsu spēles dalībnieku komanda ir nokomplektēta: 
Diemžēl polinoms šajā uzdevumā neatbilst "pozitīvā" vai "negatīvā" kritērijam, un tāpēc mēs nevaram atmest augšējo vai apakšējo rindu. Jums būs jāstrādā ar visiem cipariem.
Kā tu jūties? Nāc, pacel galvu - ir vēl viena teorēma, kuru tēlaini var saukt par “slepkavas teorēmu”…. ...“kandidāti”, protams =)
Bet vispirms jums ir jāritina Hornera diagramma vismaz vienam viss cipariem. Tradicionāli ņemsim vienu. Augšējā rindā ierakstām polinoma koeficientus un viss ir kā parasti:
Tā kā četri noteikti nav nulle, vērtība nav attiecīgā polinoma sakne. Bet viņa mums ļoti palīdzēs.
2. teorēma Ja dažiem vispār polinoma vērtība nav nulle: , tad tā racionālās saknes (ja tie ir) apmierināt nosacījumu
Mūsu gadījumā un tāpēc visām iespējamām saknēm ir jāatbilst nosacījumam (sauksim to par nosacījumu Nr. 1). Šis četrinieks būs daudzu "kandidātu" "slepkava". Demonstrācijai es apskatīšu dažas pārbaudes:
Pārbaudīsim "kandidātu". Lai to izdarītu, mākslīgi attēlosim to daļskaitļa veidā, no kura skaidri redzams, ka . Aprēķināsim testa starpību: . Četri tiek dalīti ar “mīnus divi”: , kas nozīmē, ka iespējamā sakne ir izturējusi pārbaudi.
Pārbaudīsim vērtību. Šeit testa atšķirība ir: 
. Protams, un tāpēc sarakstā paliek arī otrs “priekšmets”.
Risinot vienādojumus un nevienādības, bieži vien ir nepieciešams faktorēt polinomu, kura pakāpe ir trīs vai augstāka. Šajā rakstā mēs apskatīsim vienkāršāko veidu, kā to izdarīt.
Kā parasti, pēc palīdzības vērsīsimies pie teorijas.
Bezout teorēma norāda, ka atlikums, dalot polinomu ar binomiālu, ir .
Bet mums ir svarīga nevis pati teorēma, bet gan no tā izriet:
Ja skaitlis ir polinoma sakne, tad polinoms dalās ar binoma bez atlikuma.
Mēs saskaramies ar uzdevumu kaut kādā veidā atrast vismaz vienu polinoma sakni, pēc tam dalīt polinomu ar , kur ir polinoma sakne. Rezultātā mēs iegūstam polinomu, kura pakāpe ir par vienu mazāka par sākotnējās pakāpes pakāpi. Un tad, ja nepieciešams, procesu var atkārtot.
Šis uzdevums ir sadalīts divās daļās: kā atrast polinoma sakni un kā polinomu dalīt ar binoma.
Apskatīsim šos punktus tuvāk.
1. Kā atrast polinoma sakni.
Vispirms pārbaudām, vai skaitļi 1 un -1 ir polinoma saknes.
Šeit mums palīdzēs šādi fakti:
Ja visu polinoma koeficientu summa ir nulle, tad skaitlis ir polinoma sakne.
Piemēram, polinomā koeficientu summa ir nulle: . Ir viegli pārbaudīt, kas ir polinoma sakne.
Ja polinoma koeficientu summa pie pāra pakāpēm ir vienāda ar koeficientu summu nepāra pakāpēm, tad skaitlis ir polinoma sakne. Brīvais termins tiek uzskatīts par pāra pakāpes koeficientu, jo , a ir pāra skaitlis.
Piemēram, polinomā pāra pakāpju koeficientu summa ir: , un nepāra pakāpju koeficientu summa ir: . Ir viegli pārbaudīt, kas ir polinoma sakne.
Ja ne 1, ne -1 nav polinoma saknes, mēs virzāmies tālāk.
Samazinātam pakāpes polinomam (tas ir, polinomam, kurā vadošais koeficients - koeficients pie - ir vienāds ar vienotību), ir derīga Vieta formula:
Kur ir polinoma saknes.
Ir arī Vieta formulas, kas attiecas uz atlikušajiem polinoma koeficientiem, bet mūs interesē šī.
No šīs Vietas formulas izriet, ka ja polinoma saknes ir veseli skaitļi, tad tie ir tā brīvā termina dalītāji, kas arī ir vesels skaitlis.
Pamatojoties uz to, mums ir jāfaktorē polinoma brīvais termins un secīgi, no mazākā līdz lielākajam, jāpārbauda, kurš no faktoriem ir polinoma sakne.
Apsveriet, piemēram, polinomu
Brīvā termiņa dalītāji: ; ; ;
Visu polinoma koeficientu summa ir vienāda ar , tāpēc skaitlis 1 nav polinoma sakne.
Pāra pakāpju koeficientu summa:
Nepāra pakāpju koeficientu summa:
Tāpēc arī skaitlis -1 nav polinoma sakne.
Pārbaudīsim, vai skaitlis 2 ir polinoma sakne: tāpēc skaitlis 2 ir polinoma sakne. Tas nozīmē, ka saskaņā ar Bezout teorēmu polinoms dalās ar binomu bez atlikuma.
2. Kā sadalīt polinomu binomālā.
Polinomu var sadalīt binomā ar kolonnu.
Sadaliet polinomu ar binomu, izmantojot kolonnu:
Ir vēl viens veids, kā dalīt polinomu ar binomiālu - Hornera shēma.
Noskatieties šo video, lai saprastu kā sadalīt polinomu ar binomiju, izmantojot kolonnu un izmantojot Hornera shēmu.
Es atzīmēju, ka, ja, dalot ar kolonnu, sākotnējā polinomā trūkst zināmas nezināmā pakāpes, tā vietā rakstām 0 - tāpat kā sastādot tabulu Hornera shēmai.
Tātad, ja mums ir nepieciešams dalīt polinomu ar binomālu un dalīšanas rezultātā mēs iegūstam polinomu, tad mēs varam atrast polinoma koeficientus, izmantojot Hornera shēmu:
Varam arī izmantot Hornera shēma lai pārbaudītu, vai tā ir dotais numurs polinoma sakne: ja skaitlis ir polinoma sakne, tad atlikums, dalot polinomu ar, ir vienāds ar nulli, tas ir, Hornera diagrammas otrās rindas pēdējā kolonnā mēs iegūstam 0.
Izmantojot Hornera shēmu, mēs "nogalinām divus putnus ar vienu akmeni": vienlaikus pārbaudām, vai skaitlis ir polinoma sakne, un dalām šo polinomu ar binomālu.
Piemērs. Atrisiniet vienādojumu:
1. Pierakstīsim brīvā vārda dalītājus un sameklēsim polinoma saknes starp brīvā termina dalītājiem.
Dalītāji no 24:
2. Pārbaudīsim, vai skaitlis 1 ir polinoma sakne.
Polinoma koeficientu summa, tāpēc skaitlis 1 ir polinoma sakne.
3. Sadaliet sākotnējo polinomu binomālā, izmantojot Hornera shēmu.
A) Tabulas pirmajā rindā pierakstīsim sākotnējā polinoma koeficientus.
Tā kā trūkst saturošā termina, tabulas ailē, kurā jāraksta koeficients, ierakstām 0. Kreisajā pusē ierakstām atrasto sakni: skaitli 1.
B) Aizpildiet tabulas pirmo rindu.
Pēdējā kolonnā, kā paredzēts, mēs saņēmām nulli, mēs sadalījām sākotnējo polinomu ar binomiālu bez atlikuma. Dalīšanas rezultātā iegūtā polinoma koeficienti ir parādīti zilā krāsā tabulas otrajā rindā:
Ir viegli pārbaudīt, vai skaitļi 1 un -1 nav polinoma saknes
B) Turpināsim tabulu. Pārbaudīsim, vai skaitlis 2 ir polinoma sakne:
Tātad polinoma pakāpe, kas iegūta dalīšanas ar vienu rezultātā, ir mazāka par sākotnējā polinoma pakāpi, tāpēc koeficientu skaits un kolonnu skaits ir par vienu mazāks.
Pēdējā kolonnā mēs saņēmām -40 - skaitli, kas nav vienāds ar nulli, tāpēc polinoms dalās ar binomiālu ar atlikumu, un skaitlis 2 nav polinoma sakne.
C) Pārbaudīsim, vai skaitlis -2 ir polinoma sakne. Tā kā iepriekšējais mēģinājums neizdevās, lai izvairītos no neskaidrībām ar koeficientiem, es izdzēsīšu šim mēģinājumam atbilstošo rindu:
Lieliski! Mēs saņēmām nulli kā atlikumu, tāpēc polinoms tika sadalīts binomā bez atlikuma, tāpēc skaitlis -2 ir polinoma sakne. Polinoma koeficienti, kas iegūti, dalot polinomu ar binomu, tabulā ir parādīti zaļā krāsā.
Sadalīšanas rezultātā mēs saņēmām kvadrātveida trinomāls 
, kuras saknes var viegli atrast, izmantojot Vietas teorēmu:
Tātad sākotnējā vienādojuma saknes ir:
{
}
Atbilde:( 
}
Šim polinomam ir veselu skaitļu koeficienti. Ja vesels skaitlis ir šī polinoma sakne, tad tas ir skaitļa 16 dalītājs. Tātad, ja dotajam polinomam ir vesela skaitļa saknes, tad tie var būt tikai skaitļi ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Veicot tiešu pārbaudi, mēs esam pārliecināti, ka skaitlis 2 ir šī polinoma sakne, tas ir, x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x), kur Q (x) ir polinoms otrā pakāpe. Līdz ar to polinoms tiek sadalīts faktoros, no kuriem viens ir (x – 2). Lai atrastu polinoma Q (x) veidu, mēs izmantojam tā saukto Hornera shēmu. Šīs metodes galvenā priekšrocība ir apzīmējuma kompaktums un iespēja ātri sadalīt polinomu binomālā. Patiesībā Hornera shēma ir vēl viens grupēšanas metodes ierakstīšanas veids, lai gan atšķirībā no pēdējās tā ir pilnīgi nevizuāla. Atbilde (faktorizācija) šeit tiek iegūta pati par sevi, un mēs neredzam tās iegūšanas procesu. Mēs neiesaistīsimies stingrā Hornera shēmas pamatojumā, bet tikai parādīsim, kā tā darbojas.
| 1 | −5 | −2 | 16 | |
| 2 | 1 | −3 | −8 | 0 |
Skaitlis no šūnas virs tā tiek “pārvietots” uz apakšējās rindas otro šūnu, tas ir, 1. Tad viņi to dara. Vienādojuma sakne (skaitlis 2) tiek reizināts ar pēdējo ierakstīto skaitli (1) un rezultāts tiek pievienots ar skaitli, kas atrodas augšējā rindā virs nākamās brīvās šūnas, mūsu piemērā mums ir:
Dalīšanas rezultātā iegūtā polinoma pakāpe vienmēr ir par 1 mazāka nekā sākotnējā pakāpe. Tātad:
Ir pierādīts, ka, lai faktorētu polinomu, ir jāatrod tā saknes. Kvadrātveida polinoma sakņu formulas. Veselu sakņu atrašanas metode. Bikvadrātiskā polinoma faktorinācijas metode un reducēšana uz kvadrātisko. Atkārtoti polinomi.
Metodes pamats
Ļaujiet
- polinoms ar pakāpi n ≥ 1
reāla vai kompleksa mainīgā z ar reāliem vai kompleksiem koeficientiem a i. Pieņemsim šādu teorēmu bez pierādījumiem.
1. teorēma
Vienādojums Pn (z) = 0 ir vismaz viena sakne.
Pierādīsim šādu lemmu.
Lemma 1
Ļaujiet P n (z)- n, z pakāpes polinoms 1
- vienādojuma sakne:
P n (z 1) = 0.
Tad P n (z) var attēlot vienīgajā veidā šādā formā:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
kur Pn- 1(z)- n pakāpes polinoms - 1
.
Pierādījums
Lai to pierādītu, pielietojam teorēmu (skat. Polinoma dalīšana un reizināšana ar polinomu ar stūri un kolonnu), saskaņā ar kuru jebkuriem diviem polinomiem P n (z) un Qk (z), grādi n un k, ja n ≥ k, ir unikāls attēlojums šādā formā:
P n (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
kur Pn-k (z)- polinoms ar pakāpi n-k, U k- 1(z)- polinoms, kura pakāpe nav augstāka par k- 1
.
Liksim k = 1
, Q k (z) = z - z 1, Tad
P n (z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) + c,
kur c ir konstante. Aizstāsim šeit z = z 1
un ņem vērā, ka P n (z 1) = 0:
P n (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c;
0 = 0 + c.
Tādējādi c = 0
. Tad
Pn,
Q.E.D.
Tātad, pamatojoties uz 1. teorēmu, polinoms P n (z) ir vismaz viena sakne. Apzīmēsim to kā z 1
,Pn (z 1) = 0. Pēc tam, pamatojoties uz 1. lemmu:
P n (z) = (z - z 1 ) P n-1 (z).
Turklāt, ja n > 1
, tad polinoms P n- 1(z) arī ir vismaz viena sakne, ko mēs apzīmējam kā z 2
,Pn- 1 (z 2) = 0. Tad
Pn- 1 (z) = (z - z 2 ) P n-2 (z);
P n (z) = (z - z 1 ) (z - z 2 ) P n-2 (z).
Turpinot šo procesu, mēs nonākam pie secinājuma, ka ir n skaitļi z 1 , z 2 , ... , z n tāds, ka
P n (z) = (z - z 1 ) (z - z 2 ) ... (z - z n ) P 0 (z).
Bet P 0(z)- tā ir konstante. Pielīdzinot koeficientus z n, mēs atklājam, ka tas ir vienāds ar n. Rezultātā mēs iegūstam formulu polinoma faktorinēšanai:
(1)
P n (z) = a n (z - z 1 ) (z - z 2 ) ... (z - z n ).
Skaitļi z i ir polinoma P n saknes (z).
Kopumā ne visi z i iekļauti (1)
, ir dažādi. Starp tiem var būt tādas pašas vērtības. Pēc tam aprēķina polinomu (1)
var rakstīt šādi:
(2)
P n (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Šeit z i ≠ z j i ≠ j. Ja n i = 1
, Tas sakne z i sauc par vienkāršu. Tas stājas faktorizācijā formā (z-z i). Ja n i > 1
, Tas sakne z i sauc par daudzkārtības sakni n i. Tas nonāk faktorizācijā produkta n i formā galvenie faktori: (z-z i )(z-z i ) ... (z-z i ) = (z-z i ) n i.
Polinomi ar reāliem koeficientiem
Lemma 2
Ja ir polinoma ar reāliem koeficientiem kompleksa sakne, tad kompleksais konjugātais skaitlis ir arī polinoma sakne, .
Pierādījums
Patiešām, ja , Un polinoma koeficienti ir reāli skaitļi, tad .
Tādējādi sarežģītas saknes ieiet faktorizācijā pa pāriem ar to sarežģītajām konjugātajām vērtībām:
,
kur , ir reāli skaitļi.
Pēc tam sadalīšanās (2)
polinomu ar reāliem koeficientiem faktoros var attēlot formā, kurā ir tikai reālas konstantes:
(3)
;
.
Polinoma faktoringa metodes
Ņemot vērā iepriekš minēto, lai faktorizētu polinomu, jāatrod visas vienādojuma saknes P n (z) = 0 un noteikt to daudzveidību. Faktori ar sarežģītām saknēm ir jāgrupē ar sarežģītiem konjugātiem. Tad izplešanos nosaka pēc formulas (3) .
Tādējādi polinoma faktorinēšanas metode ir šāda:
1.
Saknes z atrašana 1
vienādojumi P n (z 1) = 0.
2.1.
Ja sakne z 1
reāls, tad mēs pievienojam koeficientu izvērsumam (z - z 1) (z - z 1) 1
:
.
1(z), sākot no punkta (1)
līdz atrodam visas saknes.
2.2.
Ja sakne ir kompleksa, tad kompleksais konjugātais skaitlis ir arī polinoma sakne. Tad izplešanās ietver faktoru
,
kur b 1 = - 2 x 1, c 1 = x 1 2 + y 1 2.
Šajā gadījumā mēs pievienojam koeficientu paplašināšanai (z 2 + b 1 z + c 1) un polinomu P n (z) dala ar (z 2 + b 1 z + c 1). Rezultātā mēs iegūstam n pakāpes polinomu - 2
:
.
Tālāk mēs atkārtojam procesu polinomam P n- 2(z), sākot no punkta (1)
līdz atrodam visas saknes.
Polinoma sakņu atrašana
Galvenais uzdevums, faktorējot polinomu, ir atrast tā saknes. Diemžēl to ne vienmēr var izdarīt analītiski. Šeit mēs apskatīsim vairākus gadījumus, kad analītiski var atrast polinoma saknes.
Pirmās pakāpes polinoma saknes
Pirmās pakāpes polinoms ir lineāra funkcija. Tam ir viena sakne. Izvērsumam ir tikai viens faktors, kas satur mainīgo z:
.
Otrās pakāpes polinoma saknes
Lai atrastu otrās pakāpes polinoma saknes, jāatrisina kvadrātvienādojums:
P 2 (z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0.
Ja diskriminants ir , tad vienādojumam ir divas reālas saknes:
, .
Tad faktorizācijai ir šāda forma:
.
Ja diskriminējošais D = 0
, tad vienādojumam ir viena dubultsakne:
;
.
Ja diskriminē D< 0
, tad vienādojuma saknes ir sarežģītas,
.
Polinomi, kuru pakāpe ir augstāka par diviem
Ir formulas 3. un 4. pakāpes polinomu sakņu atrašanai. Tomēr tos izmanto reti, jo tie ir apjomīgi. Nav formulu, lai atrastu saknes polinomiem, kuru pakāpe ir augstāka par 4. Neskatoties uz to, dažos gadījumos ir iespējams faktorēt polinomu.
Veselu sakņu atrašana
Ja ir zināms, ka polinomam, kura koeficienti ir veseli skaitļi, ir vesela skaitļa sakne, tad to var atrast, pārmeklējot visas iespējamās vērtības.
3. Lemma
Ļaujiet polinomam
,
koeficientiem a i, no kuriem ir veseli skaitļi, ir vesela skaitļa sakne z 1
. Tad šī sakne ir skaitļa a dalītājs 0
.
Pierādījums
Pārrakstīsim vienādojumu P n (z 1) = 0 kā:
.
Tad viss
M z 1 = - a 0.
Sadaliet ar z 1
:
.
Tā kā M ir vesels skaitlis, tad M ir vesels skaitlis. Q.E.D.
Tāpēc, ja polinoma koeficienti ir veseli skaitļi, tad varat mēģināt atrast veselo skaitļu saknes. Lai to izdarītu, jāatrod visi brīvā termina dalītāji a 0
un, aizvietojot vienādojumā P n (z) = 0, pārbaudiet, vai tās ir šī vienādojuma saknes.
Piezīme. Ja polinoma koeficienti ir racionāli skaitļi, tad reizinot vienādojumu P n (z) = 0 ieslēgts kopsaucējs skaitļus a i , iegūstam vienādojumu polinomam ar veseliem skaitļu koeficientiem.
Racionālu sakņu atrašana
Ja polinoma koeficienti ir veseli skaitļi un nav veselu skaitļu sakņu, tad n ≠ 1
, varat mēģināt atrast racionālas saknes. Lai to izdarītu, jums ir jāveic aizstāšana
z = y/a n
un reizināt vienādojumu ar a n n- 1
. Rezultātā iegūstam vienādojumu polinomam mainīgajā y ar veseliem skaitļiem. Tālāk mēs meklējam šī polinoma veselās saknes starp brīvā vārda dalītājiem. Ja esam atraduši šādu sakni y i, tad pārejot uz mainīgo x, iegūstam racionālu sakni
z i = y i /a n .
Noderīgas formulas
Mēs piedāvājam formulas, kuras var izmantot, lai faktorētu polinomu.
Vispārīgāk, lai paplašinātu polinomu
P n (z) = z n - a 0,
kur 0
- sarežģīts, jums jāatrod visas tā saknes, tas ir, jāatrisina vienādojums:
z n = a 0
.
Šo vienādojumu var viegli atrisināt, izsakot a 0
caur moduli r un argumentu φ:
.
Kopš a 0
nemainīsies, ja papildināsim argumentu 2π, tad iedomājieties a 0
kā:
,
kur k ir vesels skaitlis. Tad
;
.
K vērtību piešķiršana k = 0, 1, 2, ... n-1, mēs iegūstam polinoma n saknes. Tad tā faktorizācijai ir šāda forma:
.
Bikvadrātiskais polinoms
Apsveriet bikvadrātisko polinomu:
.
Bikvadrātisku polinomu var faktorizēt, neatrodot saknes.
Kad mums ir:
,
Kur.
Bikubiskie un kvadrātveida polinomi
Apsveriet polinomu:
.
Tās saknes nosaka pēc vienādojuma:
.
Tas noved pie kvadrātvienādojums aizstāšana t = z n :
a 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Atrisinot šo vienādojumu, mēs atrodam tā saknes, t 1
,t 2
. Tad mēs atrodam paplašinājumu formā:
.
Tālāk, izmantojot iepriekš norādīto metodi, mēs faktorizējam z n - t 1
un z n - t 2
. Visbeidzot, mēs sagrupējam faktorus, kas satur sarežģītas konjugātas saknes.
Atkārtoti polinomi
Polinomu sauc atgriežams, ja tā koeficienti ir simetriski:
Refleksīvā polinoma piemērs:
.
Ja atkārtota polinoma n pakāpe ir nepāra, tad šādam polinomam ir sakne z = -1
. Dalot šādu polinomu ar z + 1
, mēs iegūstam n pakāpes atkārtotu polinomu - 1
.
Ja atkārtota polinoma n pakāpe ir pāra, tad ar aizstāšanu to samazina līdz polinomam ar pakāpi n/ 2
. Cm.
Jautājums par polinoma racionālo sakņu atrašanu f(x)J[x] (ar racionāliem koeficientiem) reducējas uz jautājumu par polinomu racionālo sakņu atrašanu k
∙
f(x)
Z[x] (ar veselu skaitļu koeficientiem). Šeit ir numurs k ir dotā polinoma koeficientu saucēju mazākais kopīgais daudzkārtnis.
Nepieciešamos, bet nepietiekamos nosacījumus polinoma racionālu sakņu pastāvēšanai ar veseliem skaitļiem ir dota sekojošā teorēma.
6.1. teorēma (par polinoma racionālām saknēm ar veseliem skaitļiem).
Ja
–
polinoma racionālā saknef(x)
=
a n
x n +
+
…+
a 1
x
+
a 0
Ar
vesels
koeficienti, un(lpp,
q)
= 1, tad daļskaitļa skaitītājslppir brīvā termina dalītājs a 0
, un saucējsqir vadošā koeficienta a dalītājs 0
.
Teorēma 6.2.Ja
J
(
Kur
(lpp,
q)
=
1)
ir polinoma racionālā sakne
f(x)
ar veselu skaitļu koeficientiem, tad
–veseli skaitļi.
Piemērs. Atrodiet visas polinoma racionālās saknes
f(x) = 6 x 4 + x 3 + 2 x 2 – 4 x+ 1.
1. Pēc 6.1. teorēmas: ja
–
polinoma racionālā sakne f(x),
( Kur( lpp,
q)
= 1),
Tas a 0
= 1
lpp,
a n
= 6
q. Tāpēc lpp 
{
1}, q 
(1, 2, 3, 6), kas nozīmē
.
2. Ir zināms, ka (5.3. secinājums) skaitlis A ir polinoma sakne f(x) tad un tikai tad f(x) dalīts ar ( x – a).
Tāpēc, lai pārbaudītu, vai skaitļi 1 un –1 ir polinoma saknes f(x) varat izmantot Hornera shēmu:
f(1)
= 6
0,f(–1)
= 12
0, tātad 1 un –1 nav polinoma saknes f(x).
3. Lai atsijātu dažus atlikušos numurus 
, izmantosim teorēmu 6.2. Ja izteicieni 
vai 
pieņem veselu skaitļu vērtības atbilstošajām skaitītāja vērtībām lpp un saucējs q, tad tabulas attiecīgajās šūnās (skatīt zemāk) rakstīsim burtu “ts”, pretējā gadījumā - “dr”.
|
|
|
|
|
|||
|
| ||||||
|
|
=
=
4. Izmantojot Hornera shēmu, mēs pārbaudām, vai pēc izsijāšanas palikušie skaitļi būs 
saknes f(x). Vispirms sadalīsim f(x) uz ( X
–
).
Rezultātā mums ir: f(x) = (X – )(6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - 2) un – sakne f(x). Privāts q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - dalīt 2 ar ( X + ).
Jo q
(–)
= 3
0, tad (–) nav polinoma sakne q(x), un līdz ar to polinoms f(x).
Visbeidzot sadalīsim polinomu q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + + 4 X - 2 uz ( X – ).
Ieguva: q () = 0, t.i. – sakne q(x), un tāpēc tā ir sakne f (x). Tātad polinoms f (x) ir divas racionālas saknes: un.
Atbrīvošanās no algebriskās iracionalitātes daļskaitļa saucējā
Skolas kursā, risinot noteikta veida uzdevumus, lai atbrīvotos no iracionalitātes daļskaitļa saucējā, pietiek ar daļskaitļa skaitītāju un saucēju reizināt ar skaitli, kas konjugēts ar saucēju.
Piemēri. 1.t
=
.
Šeit saucējā darbojas saīsinātā reizināšanas formula (kvadrātu starpība), kas ļauj atbrīvot sevi no iracionalitātes saucējā.
2. Atbrīvojieties no iracionalitātes daļskaitļa saucējā
t
=
. Izteiksme – nepilns skaitļu starpības kvadrāts A=
Un b= 1. Izmantojot saīsināto reizināšanas formulu A 3
–
b 3
=
(a +b)
· ( a 2
–
ab
+
b 2
), mēs varam noteikt reizinātāju m
= (a +b)
=
+ 1, ar kuru jāreizina daļskaitļa skaitītājs un saucējs t lai atbrīvotos no iracionalitātes daļskaitļa saucējā t. Tādējādi
Situācijās, kad saīsinātās reizināšanas formulas nedarbojas, var izmantot citus paņēmienus. Tālāk formulēsim teorēmu, kuras pierādīšana jo īpaši ļauj atrast algoritmu, kā sarežģītākās situācijās atbrīvoties no iracionalitātes daļskaitļa saucējā.
Definīcija 6.1. Numurs z sauca algebriskā virs lauka
F, ja ir polinoms f(x)
F[x], kuras sakne ir z, pretējā gadījumā numurs z sauca pārpasaulīgs pār laukuF.
Definīcija 6.2.Algebriskā pakāpe virs lauka
F
cipariem
z sauc par nereducējamības pakāpi virs lauka F polinoms lpp(x)
F[x], kuras sakne ir skaitlis z.
Piemērs. Parādīsim, ka skaitlis z = 
ir algebrisks virs lauka J un atrodiet tā pakāpi.
Atradīsim neredukējamo virs lauka J polinoms lpp(X), kuras sakne ir x
=
. Pacelsim abas vienlīdzības puses x
=
uz ceturto spēku, mēs iegūstam X 4
= 2 vai X 4
–
2
= 0. Tātad, lpp(X)
= X 4
–
2, un skaitļa jauda z vienāds ar gr
lpp(X)
= 4.
Teorēma 6.3
(par atbrīvošanos no algebriskās iracionalitātes daļskaitļa saucējā).Ļaujietz– algebriskais skaitlis virs laukaFgrādiemn. Formas izteiksmet
=
,Kur
f(x),
(x)
F[x],
(z) 
0
var attēlot tikai šādā formā:
t
= Ar n -1
z n -1
+
c n -2
z n -2
+ … +
c 1
z
+
c 0
,
c i
F.
Mēs demonstrēsim algoritmu, kā atbrīvoties no iracionalitātes daļskaitļa saucējā, izmantojot konkrētu piemēru.
Piemērs. Atbrīvojieties no iracionalitātes daļskaitļa saucējā:
t
=
1. Daļas saucējs ir polinoma vērtība 
(X)
= X 2
– X+1 kad X
=
. Iepriekšējais piemērs parāda to 
– algebriskais skaitlis virs lauka J 4. pakāpe, jo tā ir nesamazināmā pāra sakne J polinoms lpp(X)
= X 4
–
2.
2. Atradīsim GCD lineāro izplešanos ( 
(X),
lpp(x)), izmantojot Eiklīda algoritmu.
_x 4 – 2 | x 2 –x + 1
x 4 – x 3 +x 2 x 2 + x = q 1 (x)
_ x 3 – x 2 – 2
x 3 – x 2 +x
x 2 –x + 1 | – x –2 = r 1 (x )
x 2 + 2 x – x + 3 = q 2 (x)
_–3x+ 1
–3 x – 6
_ – x –2 |7 = r 2
– x –2 -x - =q 3 (x)
Tātad, GCD ( 
(X),
lpp(x))
= r 2
=
7. Atradīsim tā lineāro izplešanos.
Pierakstīsim Eiklīda secību, izmantojot polinoma apzīmējumu.
lpp(x)
=
(x)
· q 1
(x)
+ r 1
(x)
r 1
(x)
=lpp(x)
–
(x)
· q 1
(x)