Polinoms mainīgajā x ir formas izteiksme: anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, kur n ir naturāls skaitlis; an, an-1, . . . , a 1, a 0 - jebkuri skaitļi, ko sauc par šī polinoma koeficientiem. Izteiksmes anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 sauc par polinoma terminiem, un 0 ir brīvais termins. an ir xn koeficients, an-1 ir koeficients xn-1 utt. Polinomu, kurā visi koeficienti ir vienādi ar nulli, sauc par nulli. piemēram, polinoms 0 x2+0 x+0 ir nulle. No polinoma apzīmējuma ir skaidrs, ka tas sastāv no vairākiem locekļiem. No šejienes nāk termins ‹‹polinoms›› (daudzi termini). Dažreiz polinomu sauc par polinomu. Šis termins cēlies no grieķu vārdiem πολι — daudzi un νομχ — loceklis.
Polinomu vienā mainīgajā x apzīmē: . f (x), g (x), h (x) utt. piemēram, ja pirmais no iepriekš minētajiem polinomiem ir apzīmēts ar f (x), tad varam rakstīt: f (x) =x 4+2 x 3 + (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. Polinomu h(x) sauc par polinomu f(x) un g(x) lielāko kopīgo dalītāju, ja tas dala f(x), g (x) un katrs no tiem kopīgs dalītājs. 2. Polinoms f(x) ar koeficientiem no lauka P, kura pakāpe ir n, ir reducējams virs lauka P, ja eksistē polinomi h(x), g(x) О P[x], kuru pakāpe ir mazāka par n. ka f(x) = h( x)g(x).
Ja ir polinoms f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 un an≠ 0, tad skaitli n sauc par polinoma f (x) pakāpi (vai viņi saka: f (x) - n-tā pakāpe) un uzrakstiet Art. f(x)=n. Šajā gadījumā an sauc par vadošo koeficientu, un anxn ir šī polinoma vadošais termins. Piemēram, ja f (x) =5 x 4 -2 x+3, tad art. f (x) =4, vadošais koeficients - 5, vadošais termins - 5 x4. Polinoma pakāpe ir lielākais tā koeficientu skaits, kas atšķiras no nulles. Nulles pakāpes polinomi ir skaitļi, kas nav nulle. , nulles polinomam nav pakāpes; polinoms f (x) =a, kur a ir skaitlis, kas nav nulle, un tā pakāpe ir 0; jebkura cita polinoma pakāpe ir vienāda ar mainīgā x lielāko eksponentu, kura koeficients ir vienāds ar nulli.
Polinomu vienādība. Divus polinomus f (x) un g (x) uzskata par vienādiem, ja to koeficienti vienādiem mainīgā x un brīvo terminu pakāpēm ir vienādi (to atbilstošie koeficienti ir vienādi). f (x) = g (x). Piemēram, polinomi f (x) =x 3+2 x 2 -3 x+1 un g(x) =2 x 23 x+1 nav vienādi, pirmā no tiem koeficients x3 ir vienāds ar 1, un otrajam ir nulle ( saskaņā ar pieņemtajām konvencijām mēs varam rakstīt: g (x) =0 x 3+2 x 2 -3 x+1. Šajā gadījumā: f (x) ≠g (x) un polinomi nav vienādi: h (x) =2 x 2 -3 x+5, s (x) =2 x 2+3 x+5, jo to koeficienti x ir atšķirīgi.
Bet polinomi f 1 (x) =2 x 5+3 x 3+bx+3 un g 1 (x) =2 x 5+ax 3 -2 x+3 ir vienādi tad un tikai tad, ja a = 3, a b = -2. Dots polinoms f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 un kāds cipars. Skaitlis f (c) = ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 sauc par polinoma f (x) vērtību pie x=c. Tādējādi, lai atrastu f (c), polinomā x ir jāaizstāj c un jāveic nepieciešamie aprēķini. Piemēram, ja f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5, tad f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3. Var būt polinoms dažādām mainīgā x vērtībām dažādas nozīmes. Skaitli c sauc par polinoma f (x) sakni, ja f (c) =0.
Pievērsīsim uzmanību atšķirībai starp diviem apgalvojumiem: "polinoms f (x) ir vienāds ar nulli (vai, kas ir tas pats, polinoms f (x) ir nulle)" un "polinoma f (x) vērtība ) pie x = c ir vienāds ar nulli. Piemēram, polinoms f (x) =x 2 -1 nav vienāds ar nulli, tam ir koeficienti, kas nav nulle, un tā vērtība pie x=1 ir vienāda ar nulli. f (x) ≠ 0 un f (1) = 0. Pastāv cieša saikne starp polinomu vienādības jēdzieniem un polinoma vērtību. Ja ir doti divi vienādi polinomi f (x) un g (x), tad tiem atbilstošie koeficienti ir vienādi, kas nozīmē f (c) = g (c) katram skaitlim c.
Darbības ar polinomiem Polinomus var pievienot, atņemt un reizināt, izmantojot parastos noteikumus iekavas atvēršanai un līdzīgu terminu iegūšanai. Rezultāts atkal ir polinoms. Šīm operācijām ir zināmas īpašības: f (x) +g (x) =g (x) +f (x), f (x) + (g (x) +h (x)) = (f (x) +g (x)) +h (x), f (x) g (x) =g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g ( x)) h (x), f (x) (g (x) +h (x)) =f (x) g (x) + f (x) h (x).
Doti divi polinomi f(x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0 un g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Ir skaidrs, ka Art. f(x)=n un st. g(x)=m. Sareizinot šos divus polinomus, iegūstam polinomu formā f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Tā kā an≠ 0 un bn≠ 0, tad anbm≠ 0, kas nozīmē st. (f(x)g(x))=m+n. No tā izriet svarīgs paziņojums.
Divu nulles polinomu reizinājuma pakāpe ir vienāda ar faktoru pakāpju summu, art. (f (x) g (x)) = st. f (x) +st. g(x). Divu nulles polinomu reizinājuma vadošais termins (koeficients) ir vienāds ar faktoru vadošo terminu (koeficientu) reizinājumu. Divu polinomu reizinājuma brīvais loceklis ir vienāds ar faktoru brīvo terminu reizinājumu. Polinomu f (x), g (x) un f (x) ±g (x) pakāpes ir saistītas ar šādu sakarību: art. (f (x) ±g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).
Tiek izsaukta polinomu f (x) un g (x) superpozīcija. polinoms, kas apzīmēts ar f (g (x)), ko iegūst, ja polinomā f (x) aizstājam polinomu g (x), nevis x. Piemēram, ja f(x)=x 2+2 x-1 un g(x) =2 x+3, tad f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x2+2 x-1)=2(x2+2 x-1) + 3=2 x 2+4 x+1. Var redzēt, ka f (g (x)) ≠g (f (x)), t.i., polinomu superpozīcija f (x), g (x) un polinomu superpozīcija g (x), f ( x) ir atšķirīgi. Tādējādi superpozīcijas darbībai nav komutatīvas īpašības.
, Dalīšanas algoritms ar atlikumu Jebkuram f(x), g(x) eksistē q(x) (daļņa) un r(x) (atlikums), lai f(x)=g(x)q(x)+ r(x) un pakāpe r(x)
Polinoma dalītāji Polinoma f(x) dalītājs ir polinoms g(x), tā ka f(x)=g(x)q(x). Divu polinomu lielākais kopīgais dalītājs Polinomu f(x) un g(x) lielākais kopīgais dalītājs ir to kopīgais dalītājs d(x), kas dalās ar jebkuru citu kopīgo dalītāju.
Eiklīda algoritms (secīgās dalīšanas algoritms) polinomu f(x) un g(x) lielākā kopīgā dalītāja atrašanai Tad ir lielākais f(x) un g(x) kopīgais dalītājs.
Samaziniet daļu Risinājums: Atrodiet šo polinomu gcd, izmantojot Eiklīda algoritmu 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 – x2 – 3 x – 2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x – x2 – 3 x – 2 –x– 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Tāpēc polinoms (– x2 – 3 x – 2) ir skaitītāja gcd un dotās daļdaļas saucējs. Ir zināms rezultāts, dalot saucēju ar šo polinomu.
Atradīsim skaitītāja dalīšanas rezultātu. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 – x2 – 3 x – 2 x3 + 3 x2 + 2 x –x– 3 3 x2 + 9 x + 6 0 Tātad, atbilde:
Hornera shēma Polinoma f(x) dalīšana ar atlikumu ar nulles polinomu g(x) nozīmē f(x) attēlošanu formā f(x)=g(x) s(x)+r(x), kur s (x ) un r(x) ir polinomi un vai nu r(x)=0 vai st. r(x)
Polinomi šīs attiecības kreisajā un labajā pusē ir vienādi, kas nozīmē, ka to atbilstošie koeficienti ir vienādi. Pielīdzināsim tos, vispirms atverot iekavas un ievietojot līdzīgus terminus šīs vienlīdzības labajā pusē. Mēs iegūstam: a= bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1 , a 0 = r - cb 0. Atgādinām, ka jāatrod nepilnais koeficients, t.i., tā koeficienti un atlikums. Izteiksim tos no iegūtajām vienādībām: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2 , b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0. Esam atraduši formulas, ar kurām var aprēķināt daļējā koeficienta s (x) un atlikuma r koeficientus. Šajā gadījumā aprēķini ir parādīti šādas tabulas veidā; to sauc par Hornera shēmu.
1. tabula. Koeficienti f (x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Koeficienti s (x) atlikums Šīs tabulas pirmajā rindā ierakstiet visus polinoma f (x) koeficientus pēc kārtas, atstājot pirmo šūnu brīvu. Otrajā rindā pirmajā šūnā ierakstiet skaitli c. Atlikušās šīs rindas šūnas aizpilda, pa vienam aprēķinot nepilnā koeficienta s (x) un atlikušās r koeficientus. Otrajā šūnā ierakstiet koeficientu bn-1, kas, kā mēs noskaidrojām, ir vienāds ar an.
Koeficientus katrā nākamajā šūnā aprēķina saskaņā ar šādu noteikumu: skaitli c reizina ar skaitli iepriekšējā šūnā, un skaitli, kas atrodas virs aizpildāmās šūnas, pievieno rezultātam. Lai atcerētos, teiksim, piekto šūnu, tas ir, lai tajā atrastu koeficientu, jums ir jāreizina c ar skaitli ceturtajā šūnā un jāpievieno skaitlis virs piektās šūnas. Sadalīsim, piemēram, polinomu f (x) =3 x 4 -5 x 2+3 x-1 ar x-2 ar atlikumu, izmantojot Hornera shēmu. Aizpildot šīs diagrammas pirmo rindiņu, mēs nedrīkstam aizmirst par polinoma nulles koeficientiem. Tātad, koeficienti f (x) ir skaitļi 3, 0, - 5, 3, - 1. Un arī jāatceras, ka nepilna koeficienta pakāpe ir par vienu mazāka nekā polinoma f (x) pakāpe.
Tātad sadalīšanu veicam pēc Hornera shēmas: 2. tabula. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Iegūstam parciālo koeficientu s (x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 un atlikums r=33. Ņemiet vērā, ka tajā pašā laikā mēs aprēķinājām polinoma vērtību f (2) =33. Tagad sadalīsim to pašu polinomu f (x) ar x+2 ar atlikumu. Šajā gadījumā c=-2. iegūstam: 3. tabulu. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Rezultātā mums ir f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x- 11) +21 .
Polinomu saknes Lai c1, c2, …, cm ir dažādas polinoma f (x) saknes. Tad f (x) dala ar x-c1, t.i., f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Ieliksim šajā vienādībā x=c2. Iegūstam f (c 2) = (c 2 -c 1) s 1 (c 2) un tātad f (c 2) =0, tad (c2 -c1) s 1 (c 2) =0. Bet с2≠с1, t.i., с2 -с1≠ 0, kas nozīmē s 1 (c 2) =0. Tādējādi c2 ir polinoma s 1 (x) sakne. No tā izriet, ka s 1 (x) dalās ar x-c2, t.i., s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x). Aizstāsim iegūto izteiksmi s 1 (x) vienādībā f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Mums ir f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x). Ieliekot x=c3 pēdējā vienādībā, ņemot vērā to, ka f (c 3) =0, c3≠c1, c3≠c2, iegūstam, ka c3 ir polinoma s 2 (x) sakne. Tas nozīmē s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x), un tad f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) utt. Turpinot šo argumentāciju atlikušās saknes c4, c5, ..., cm, beidzot iegūstam f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x), t.i., zemāk formulētais apgalvojums ir pierādīts.
Ja с1, с2, …, сm ir dažādas polinoma f (x) saknes, tad f (x) var attēlot kā f(x)=(x-c 1) (x-c 2)…(x-cm) sm(x) ). No tā izriet svarīgs secinājums. Ja c1, c2, ..., cm ir dažādas polinoma f(x) saknes, tad f(x) dala ar polinomu (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Nenulles polinoma f (x) dažādu sakņu skaits nav lielāks par tā pakāpi. Patiešām, ja f(x) nav sakņu, tad ir skaidrs, ka teorēma ir patiesa, jo art. f(x) ≥ 0. Tagad lai f(x) ir m saknes с1, с2, …, сm, un tās visas ir atšķirīgas. Tad ar tikko pierādīto f (x) tiek sadalīts (x-c1) (x -c2)…(x-cm). Šajā gadījumā Art. f(x)≥st. ((x-c1) (x-c2)…(x-cm)) = st. (x-c1)+st. (x-s2)+…+st. (x-cm)=m, t.i., art. f(x)≥m, un m ir attiecīgā polinoma sakņu skaits. Bet nulles polinomam ir bezgalīgi daudz sakņu, jo tā vērtība jebkuram x ir vienāda ar 0. Konkrēti, šī iemesla dēļ tam nav noteikta noteikta pakāpe. No tikko pierādītās teorēmas izriet šāds apgalvojums.
Ja polinoms f(x) nav polinoms, kura pakāpe ir lielāka par n, un tam ir vairāk nekā n saknes, tad f(x) ir nulles polinoms. Faktiski no šī apgalvojuma nosacījumiem izriet, ka vai nu f (x) ir nulles polinoms, vai arī art. f (x) ≤n. Ja pieņemam, ka polinoms f (x) nav nulle, tad Art. f (x) ≤n, un tad f (x) ir ne vairāk kā n saknes. Mēs nonākam pie pretrunas. Tas nozīmē, ka f(x) ir polinoms, kas nav nulle. Pieņemsim, ka f (x) un g (x) ir polinomi, kas atšķiras no nulles pakāpes, ne vairāk kā n. Ja šie polinomi ņem vienādas vērtības mainīgā x n+1 vērtībām, tad f (x) =g (x).
Lai to pierādītu, apsveriet polinomu h (x) =f (x) - g (x). Ir skaidrs, ka vai nu h (x) =0 vai st. h (x) ≤n, t.i., h (x) nav polinoms, kura pakāpe ir lielāka par n. Tagad lai skaitlis c būtu tāds, ka f (c) = g (c). Tad h (c) = f (c) - g (c) = 0, t.i., c ir polinoma h (x) sakne. Tāpēc polinomam h (x) ir n+1 saknes, un kad, kā tikko pierādīts, h (x) =0, t.i., f (x) =g (x). Ja f (x) un g (x) visām mainīgā x vērtībām ir vienādas vērtības, tad šie polinomi ir vienādi
Vairākas polinoma saknes Ja skaitlis c ir polinoma f (x) sakne, zināms, ka šis polinoms dalās ar x-c. Var gadīties, ka f(x) dalās ar kādu pakāpju polinoms x-c, t.i., uz (x-c) k, k>1. Šajā gadījumā c tiek saukts par vairākkārtēju sakni. Formulēsim definīciju skaidrāk. Skaitli c sauc par polinoma f (x) reizinājuma k sakni (k-kārtīga sakne), ja polinoms dalās ar (x - c) k, k>1 (k ir naturāls skaitlis), bet nedalās. ar (x - c) k+ 1. Ja k=1, tad c sauc par vienkāršu sakni, un, ja k>1, tad to sauc par polinoma f (x) daudzkārtēju sakni.
Ja polinoms f(x) ir attēlots kā f(x)=(x-c)mg(x), m ir naturāls skaitlis, tad tas dalās ar (x-c) m+1 tad un tikai tad, ja g(x) dalās uz x-s. Faktiski, ja g(x) dalās ar x-c, t.i., g(x)=(x-c)s(x), tad f(x)=(x-c) m+1 s(x), un tas nozīmē f(x) ) dalās ar (x-c) m+1. Un otrādi, ja f(x) dalās ar (x-c) m+1, tad f(x)=(x-c) m+1 s(x). Tad (x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) un pēc samazināšanas par (x-c)m iegūstam g(x)=(x-c)s(x). No tā izriet, ka g(x) dalās ar x-c.
Noskaidrosim, piemēram, vai skaitlis 2 ir polinoma f (x) =x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24 sakne, un, ja tā, tad atradīsim tā daudzkārtību. Lai atbildētu uz pirmo jautājumu, pārbaudīsim, vai f (x) dalās ar x-2, izmantojot Hornera shēmu. mums ir: 4. tabula. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Kā redzat, atlikums, dalot f(x) ar x-2, ir vienāds ar 0, t.i., tas ir dalīts ar x-2. Tas nozīmē, ka 2 ir šī polinoma sakne. Turklāt mēs saņēmām, ka f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Tagad noskaidrosim, vai f(x) ir uz (x-2) 2. Tas, kā mēs tikko pierādījām, ir atkarīgs no polinoma dalāmības g (x) =x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x -12 ar x-2.
Atkal izmantosim Hornera shēmu: 5. tabula. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 Mēs atklājām, ka g(x) dalās ar x-2 un g(x)=(x-2)( x 3 -x 2 -5 x+6). Tad f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). Tātad f(x) dalās ar (x-2)2, tagad mums ir jānoskaidro, vai f(x) dalās ar (x-2)3. Lai to izdarītu, pārbaudīsim, vai h (x) =x 3 -x 2 -5 x+6 dalās ar x-2: 6. tabula. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 Mēs atklājam, ka h(x) ) dalās ar x-2, kas nozīmē, ka f(x) dala ar (x-2) 3, un f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).
Tālāk mēs līdzīgi pārbaudām, vai f(x) dalās ar (x-2)4, t.i., vai s(x)=x 2+x-3 dalās ar x-2: 7. tabula. 2 1 1 1 3 -3 3 Mēs atklājam, ka atlikums, dalot s(x) ar x-2, ir vienāds ar 3, t.i., s(x) nedalās ar x-2. Tas nozīmē, ka f(x) nedalās ar (x-2)4. Tādējādi f(x) dalās ar (x-2)3, bet nedalās ar (x-2)4. Tāpēc skaitlis 2 ir polinoma f(x) reizinājuma 3 sakne.
Parasti saknes daudzkārtības pārbaude tiek veikta vienā tabulā. Par šis piemērsšī tabula izskatās šādi: 8. tabula. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Citiem vārdiem sakot, saskaņā ar Hornera shēmu , dalot polinomu f (x) ar x-2, otrajā rindā iegūstam polinoma g (x) koeficientus. Tad mēs šo otro rindu uzskatām par pirmo rindu jauna sistēma Horner un dala g (x) ar x-2 utt. Mēs turpinām aprēķinus, līdz iegūstam atlikumu, kas atšķiras no nulles. Šajā gadījumā saknes daudzveidība ir vienāda ar iegūto nulles atlikumu skaitu. Rindā, kurā ir pēdējais atlikums, kas nav nulle, ir arī koeficienta koeficienti, dalot f (x) ar (x-2) 3.
Tagad, izmantojot tikko piedāvāto shēmu, lai pārbaudītu saknes daudzveidību, mēs atrisināsim šādu problēmu. Kādam a un b polinomam f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 ir skaitlis - 2 kā daudzkārtēja 2 sakne? Tātad saknes reizinājumam - 2 jābūt vienādam ar 2, tad, dalot ar x+2 saskaņā ar piedāvāto shēmu, divreiz jāsaņem atlikums 0, bet trešajā reizē - atlikums, kas atšķiras no nulles. Mums ir: 9. tabula. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 a a a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2
Tādējādi skaitlis 2 ir sākotnējā polinoma reizinājuma 2 sakne tad un tikai tad
Polinoma racionālās saknes Ja nereducējamā daļa l/m (l, m ir veseli skaitļi) ir polinoma f (x) sakne ar veselu skaitļu koeficientiem, tad šī polinoma vadošo koeficientu dala ar m, un brīvais ir dalīts ar 1. Patiešām, ja f (x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, kur an, an-1, . . . , a 1, a 0 ir veseli skaitļi, tad f(l/m) =0, t.i., аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Reizināsim abas šīs vienādības puses ar mn. Mēs iegūstam anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Tas nozīmē anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).
Mēs redzam, ka vesels skaitlis anln dalās ar m. Bet l/m ir nereducējama daļa, tas ir, skaitļi l un m ir pirmskaitļi, un tad, kā zināms no veselu skaitļu dalāmības teorijas, arī skaitļi ln un m ir pirmskaitļi. Tātad anln dalās ar m, un m ir ln, kas nozīmē, ka an dalās ar m. Atradīsim polinoma f (x) =6 x 4+13 x 2 -24 x 2 -8 x+8 racionālās saknes. Saskaņā ar teorēmu šī polinoma racionālās saknes ir starp formas l/m nereducējamajām daļām, kur l ir brīvā vārda dalītājs a 0=8, bet m ir vadošā koeficienta dalītājs a 4=6 . Turklāt, ja daļa l/m ir negatīva, tad skaitītājam tiks piešķirta zīme “-”. Piemēram, - (1/3) = (-1) /3. Tātad mēs varam teikt, ka l ir skaitļa 8 dalītājs, un m ir skaitļa 6 pozitīvs dalītājs.
Tā kā skaitļa 8 dalītāji ir ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 un skaitļa 6 pozitīvie dalītāji ir 1, 2, 3, 6, tad attiecīgā polinoma racionālās saknes ir starp skaitļiem ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3. Atgādināsim, ka pierakstījām tikai nereducējamās daļskaitļus. Tādējādi mums ir divdesmit skaitļi - sakņu “kandidāti”. Atliek tikai pārbaudīt katru no tiem un atlasīt tos, kas patiešām ir saknes. sekojošā teorēma vienkāršo šo darbu. Ja nereducējamā daļa l/m ir polinoma f (x) sakne ar veselu skaitļu koeficientiem, tad f (k) jebkuram veselam skaitlim k dalās ar l-km, ja l-km≠ 0.
Lai pierādītu šo teorēmu, sadaliet f(x) ar x-k ar atlikumu. Iegūstam f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Tā kā f(x) ir polinoms ar veselu skaitļu koeficientiem, tāds ir arī polinoms s(x), un f(k) ir vesels skaitlis. Lai s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Tad f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b 1 x+b 0). Ieliksim šajā vienādībā 1 x=l/m. Ņemot vērā, ka f(l/m)=0, iegūstam f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+…+b 1(l/m)+b 0). Reiziniet abas pēdējās vienādības puses ar mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1). No tā izriet, ka vesels skaitlis mnf (k) dalās ar l-km. Bet, tā kā l un m ir pirmskaitļi, tad mn un l-km arī ir pirmskaitļi, kas nozīmē, ka f(k) dalās ar l-km. Teorēma ir pierādīta.
Atgriezīsimies pie sava piemēra un, izmantojot pārbaudīto teorēmu, vēl vairāk sašaurināsim meklējumu loku racionālās saknes. Pielietosim šo teorēmu k=1 un k=-1, t.i., ja nereducējamā daļa l/m ir polinoma f(x) sakne, tad f(1)/(l-m) un f(-1) /(l +m). Mēs viegli atklājam, ka mūsu gadījumā f(1)=-5 un f(-1)=-15. Ņemiet vērā, ka tajā pašā laikā mēs izslēdzām ± 1, tāpēc mūsu polinoma racionālās saknes ir jāmeklē starp skaitļiem ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4/3, ± 8 /3. Apsveriet l/m=1/2. Tad l-m=-1 un f (1) =-5 dala ar šo skaitli. Turklāt l+m=3 un f (1) =-15 arī dalās ar 3. Tas nozīmē, ka daļa 1/2 paliek starp sakņu “kandidātiem”.
Tagad pieņemsim, ka lm=-(1/2)=(-1)/2. Šajā gadījumā l-m=-3 un f (1) =-5 nedalās ar -3. Tas nozīmē, ka daļa -1/2 nevar būt šī polinoma sakne, un mēs to izslēdzam no turpmākās izskatīšanas. Pārbaudīsim katru iepriekš uzrakstīto daļskaitli un konstatēsim, ka vajadzīgās saknes ir starp skaitļiem 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Tādējādi, izmantojot diezgan vienkāršu paņēmienu, esam ievērojami sašaurinājuši racionālā meklēšanas apgabalu. attiecīgā polinoma saknes. Lai pārbaudītu atlikušos skaitļus, mēs izmantosim Hornera shēmu: 10. tabula. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0
Mēs redzam, ka 1/2 ir polinoma sakne f(x) un f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). Skaidrs, ka visas pārējās polinoma f (x) saknes sakrīt ar polinoma g (x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8 saknēm, kas nozīmē, ka tālāka sakņu “kandidātu” pārbaude. var veikt šim polinomam. Mēs atrodam: 11. tabulu. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Mēs atklājām, ka atlikums, dalot g(x) ar x-2/3, ir vienāds ar - 80/9, t.i., 2/3 nav polinoma g(x) sakne, un tāpēc arī f(x) nav. Tālāk mēs atklājam, ka - 2/3 ir polinoma sakne g(x) un g (x) = (3 x+2) (x 2+2 x-4).
Tad f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x 2+2 x-4). Papildu pārbaudi var veikt polinomam x 2+2 x-4, kas, protams, ir vienkāršāks nekā g (x) vai, vēl jo vairāk, f (x). Rezultātā mēs atklājam, ka skaitļi 2 un - 4 nav saknes. Tātad polinomam f (x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 ir divas racionālas saknes: 1/2 un - 2/3. Šī metode ļauj atrast tikai racionālas polinoma saknes ar veseliem skaitļiem. Tikmēr polinomam var būt arī iracionālas saknes. Tā, piemēram, piemērā aplūkotajam polinomam ir vēl divas saknes: - 1±√ 5 (tās ir polinoma x2+2 x-4 saknes). polinomam var nebūt racionālu sakņu.
Pārbaudot polinoma f(x) “kandidāta” saknes, izmantojot otro no iepriekš pierādītajām teorēmām, pēdējo parasti izmanto gadījumiem k = ± 1. Citiem vārdiem sakot, ja l/m ir “kandidāta” sakne, tad pārbaudiet, vai f(1) un f (-1) attiecīgi ar l-m un l+m. Bet var gadīties, ka, piemēram, f(1) =0, t.i., 1 ir sakne, un tad f(1) dalās ar jebkuru skaitli, un mūsu pārbaude kļūst bezjēdzīga. Šajā gadījumā jums vajadzētu dalīt f(x) ar x-1, t.i., iegūt f(x)=(x-1)s(x) un pārbaudīt polinomu s(x). Tajā pašā laikā nevajadzētu aizmirst, ka mēs jau esam atraduši vienu polinoma sakni f(x)-x 1=1. Ja pārbaudām “kandidātus” uz saknēm, kas paliek pēc otrās teorēmas izmantošanas par racionālajām saknēm, izmantojot Hornera shēmu, mēs atklājam, ka, piemēram, l/m ir sakne, tad jāatrod tās daudzkārtība. Ja tas ir vienāds ar, teiksim, k, tad f(x)=(x-l/m) ks(x), un var veikt turpmāku testēšanu uz s(x), kas samazina aprēķinus.
Risinājums. Aizvietojot mainīgo y=2 x, mēs pārejam uz polinomu, kura koeficients ir vienāds ar vienu augstākajā pakāpē. Lai to izdarītu, vispirms reiziniet izteiksmi ar 4. Ja iegūtajai funkcijai ir vesela skaitļa saknes, tad tās ir starp brīvā vārda dalītājiem. Pierakstīsim tos: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15 ±, ± 20, ± 30, ± 60
Šajos punktos secīgi aprēķināsim funkcijas g(y) vērtības, līdz sasniegsim nulli. Tas ir, y=-5 ir sakne un tāpēc ir sākotnējās funkcijas sakne. Sadalīsim polinomu ar binomu, izmantojot kolonnu (stūri)
Nav ieteicams turpināt pārbaudīt atlikušos dalītājus, jo iegūto ir vieglāk faktorizēt kvadrātveida trinomāls Tāpēc
Izmantojot saīsinātās reizināšanas formulas un Ņūtona binomiālu uz faktoru polinomiem Dažreiz izskats polinoma piedāvā veidu, kā to faktorizēt. Piemēram, pēc vienkāršām transformācijām koeficienti tiek sakārtoti rindā no Paskāla trīsstūra Ņūtona binoma koeficientiem. Piemērs. Faktorizēt polinomu.
Risinājums. Pārveidosim izteiksmi formā: Summas koeficientu secība iekavās skaidri norāda, ka tā ir Tāpēc tagad mēs izmantojam kvadrātu atšķirības formulu: Izteiksmei otrajā iekavā nav reālu sakņu, un polinomam no pirmajā iekava mēs vēlreiz piemērojam kvadrātu atšķirības formulu
Vieta formulas, kas izsaka polinoma koeficientus caur tā saknēm. Šīs formulas ir ērti izmantot polinoma sakņu atrašanas pareizības pārbaudei, kā arī polinoma sastādīšanai, pamatojoties uz tā dotajām saknēm. Formulēšana Ja ir polinoma saknes, tad koeficientus izsaka sakņu simetrisko polinomu veidā, proti,
Citiem vārdiem sakot, ak ir vienāds ar visu iespējamo k sakņu produktu summu. Ja vadošais koeficients ir polinoms, tad Vietas formulas pielietošanai vispirms ir nepieciešams visus koeficientus dalīt ar 0. Šajā gadījumā Vietas formulas dod visu koeficientu attiecību pret vadošo. No Vietas pēdējās formulas izriet, ka, ja polinoma saknes ir vesels skaitlis, tad tās ir tā brīvā termina dalītāji, kas arī ir vesels skaitlis. Pierādījums tiek veikts, ņemot vērā vienādību, kas iegūta, izvēršot polinomu saknēs, ņemot vērā, ka a 0 = 1 Pielīdzinot koeficientus vienādās x pakāpēs, iegūstam Vietas formulas.
Atrisiniet vienādojumu x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Risinājums. Apzīmēsim y = x 3, tad sākotnējais vienādojums iegūst formu y 2 – 5 y + 4 = 0, kuru atrisinot iegūstam Y 1 = 1; Y 2 = 4. Tādējādi sākotnējais vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumu kopai: x 3 = 1 vai x 3 = 4, t.i., X 1 = 1 vai X 2 = Atbilde: 1;
Bezout teorēma Definīcija 1. Elementu sauc par polinoma sakni, ja f(c)=0. Bezout teorēma. Atlikušais polinoma Pn(x) dalījums ar binomiālu (x-a) ir vienāds ar šī polinoma vērtību pie x = a. Pierādījums. Saskaņā ar dalīšanas algoritmu f(x)=(xc)q(x)+r(x), kur vai nu r(x)=0, vai, un tāpēc. Tātad f(x)=(x-c)q(x)+r, tātad f(c)=(c-c)q(c)+r=r, un tāpēc f(x)=(xc)q(x) +f (c).
Secinājums 1: polinoma Pn (x) dalīšanas atlikums ar binoma ax+b ir vienāds ar šī polinoma vērtību pie x = -b/a, t.i., R=Pn (-b/a). Secinājums 2: ja skaitlis a ir polinoma P (x) sakne, tad šis polinoms dalās ar (x-a) bez atlikuma. Secinājums 3: ja polinomam P(x) ir pa pāriem atšķirīgas saknes a 1 , a 2 , ... , an, tad to dala ar reizinājumu (x-a 1) ... (x-an) bez atlikuma. Secinājums 4: n pakāpes polinomam ir ne vairāk kā n dažādas saknes. Secinājums 5: jebkuram polinomam P(x) un skaitlim a starpība (P(x)-P(a)) dalās ar binomiju (x-a) bez atlikuma. Secinājums 6: skaitlis a ir polinoma P(x) sakne, kuras pakāpe ir vismaz pirmā tad un tikai tad, ja P(x) dalās ar (x-a) bez atlikuma.
Racionālas daļas sadalīšana vienkāršās daļās Pierādīsim, ka jebkuru pareizu racionālu daļu var sadalīt vienkāršo daļu summā. Dota pareiza racionāla daļa (1).
1. teorēma. Lai x=a ir sakne no īsuma k saucēja, t.i., kur f(a)≠ 0, tad šo īsto daļu var attēlot kā divu citu īsto daļskaitli summu šādi: (2) , kur A ir konstante, kas nav vienāda ar nulli, un F 1(x) ir polinoms, kura pakāpe ir zemāka par saucēja pakāpi
kur ir polinoms, kura pakāpe ir zemāka par saucēja pakāpi. Un līdzīgi kā iepriekšējā formulā, jūs varat iegūt: (5) utt. ir vispārizglītojošs raksturs un ir liela vērtība apgūt VISU augstākās matemātikas kursu. Šodien mēs atkārtosim “skolas” vienādojumus, bet ne tikai “skolas” vienādojumus, bet arī tos, kas visur atrodami dažādās vyshmat problēmās. Kā ierasts, stāsts tiks izstāstīts lietišķā veidā, t.i. Es nekoncentrēšos uz definīcijām un klasifikācijām, bet precīzi dalīšos ar jums personīgā pieredze risinājumus. Informācija galvenokārt paredzēta iesācējiem, taču daudz ko atradīs arī pieredzējušāki lasītāji. interesanti momenti. Un, protams, būs jauns materiāls, kas pārsniedz vidusskola.
Tātad vienādojums…. Daudzi šo vārdu atceras ar nodrebēm. Ko vērti ir “sarežģītie” vienādojumi ar saknēm... ...aizmirstiet par tiem! Jo tad jūs satiksit visnekaitīgākos šīs sugas “pārstāvjus”. Vai garlaicīgi trigonometriskie vienādojumi ar desmitiem risināšanas metožu. Godīgi sakot, man pašai tie īsti nepatika... Neļauties panikai! – tad pārsvarā jūs sagaida “pienenes” ar acīmredzamu risinājumu 1-2 soļos. Lai gan “dadzis” noteikti pieķeras, šeit jābūt objektīvam.
Savādi, bet augstākajā matemātikā daudz biežāk tiek risināti ļoti primitīvi vienādojumi, piemēram, lineārs vienādojumi
Ko nozīmē atrisināt šo vienādojumu? Tas nozīmē, ka jāatrod TĀDA “x” (saknes) vērtība, kas to pārvērš par patiesu vienlīdzību. Izmetīsim “trīs” pa labi ar zīmes maiņu:
un nometiet "divus" labajā pusē (vai, tas pats - reiziniet abas puses ar)
:
Lai pārbaudītu, aizstāsim iegūto trofeju sākotnējā vienādojumā: 
Tiek iegūta pareizā vienādība, kas nozīmē, ka atrastā vērtība patiešām ir sakne dots vienādojums. Vai arī, kā viņi saka, apmierina šo vienādojumu.
Lūdzu, ņemiet vērā, ka sakni var ierakstīt arī formā decimālzīme:
Un mēģiniet nepieturēties pie šī sliktā stila! Iemeslu atkārtoju vairāk nekā vienu reizi, jo īpaši pašā pirmajā nodarbībā augstākā algebra.
Starp citu, vienādojumu var atrisināt arī “arābu valodā”:
Un pats interesantākais ir tas, ka šis ieraksts ir pilnīgi likumīgs! Bet, ja jūs neesat skolotājs, tad labāk to nedarīt, jo oriģinalitāte šeit ir sodāma =)
Un tagad nedaudz par
grafiskā risinājuma metode
Vienādojumam ir forma un tā sakne ir "X" koordināte krustojuma punkti lineāro funkciju grafiks ar lineāras funkcijas grafiku (x ass):
Šķiet, ka piemērs ir tik elementārs, ka šeit vairs nav ko analizēt, taču no tā var “izspiest” vēl vienu negaidītu niansi: uzrādīsim vienu un to pašu vienādojumu formā un izveidosim funkciju grafikus: 
Tajā pašā laikā lūdzu, nejauciet abus jēdzienus: vienādojums ir vienādojums, un funkciju– tā ir funkcija! Funkcijas tikai palīdzēt atrodiet vienādojuma saknes. No kuriem var būt divi, trīs, četri vai pat bezgalīgi daudz. Tuvākais piemērs šajā ziņā ir labi zināmais kvadrātvienādojums, risinājuma algoritms saņēma atsevišķu rindkopu "karstās" skolas formulas. Un tā nav nejaušība! Ja jūs varat atrisināt kvadrātvienādojumu un zināt Pitagora teorēma, tad, varētu teikt, “puse augstākās matemātikas jau kabatā” =) Pārspīlēti, protams, bet ne tik tālu no patiesības!
Tāpēc nebūsim slinki un atrisināsim kādu kvadrātvienādojumu, izmantojot standarta algoritms:
, kas nozīmē, ka vienādojumam ir divi dažādi derīgs sakne: 
Ir viegli pārbaudīt, vai abas atrastās vērtības faktiski atbilst šim vienādojumam: 
Ko darīt, ja pēkšņi aizmirsāt risinājuma algoritmu un pa rokai nav līdzekļu/palīdzīgu roku? Šāda situācija var rasties, piemēram, ieskaites vai eksāmena laikā. Mēs izmantojam grafisko metodi! Un ir divi veidi: jūs varat veidot punktu pa punktam parabola 
, tādējādi noskaidrojot, kur tas krustojas ar asi (ja tas vispār šķērso). Bet labāk ir darīt kaut ko viltīgāku: iedomājieties vienādojumu formā, uzzīmējiet vienkāršāku funkciju grafikus - un "X" koordinātas to krustošanās punkti ir skaidri redzami! 
Ja izrādās, ka taisne pieskaras parabolai, tad vienādojumam ir divas atbilstošas (vairākas) saknes. Ja izrādās, ka taisne nekrusto parabolu, tad īstu sakņu nav.
Lai to izdarītu, protams, ir jāprot būvēt elementāru funkciju grafiki, bet, no otras puses, ar šīm prasmēm var nodarboties pat skolēns.
Un atkal - vienādojums ir vienādojums, un funkcijas ir funkcijas, kuras tikai palīdzēja atrisiniet vienādojumu!
Un šeit, starp citu, derētu atcerēties vēl vienu lietu: ja visus vienādojuma koeficientus reizina ar skaitli, kas nav nulle, tad tā saknes nemainīsies.
Tā, piemēram, vienādojums 
ir tādas pašas saknes. Kā vienkāršu "pierādījumu" es izņemšu konstanti no iekavām: 
un es to nesāpīgi noņemšu (Es sadalīšu abas daļas ar "mīnus divi"):
BET! Ja ņemam vērā funkciju 
, tad jūs nevarat atbrīvoties no konstantes šeit! Ir atļauts tikai izņemt reizinātāju no iekavām: 
.
Daudzi cilvēki par zemu novērtē grafiskā risinājuma metodi, uzskatot to par kaut ko “necienīgu”, un daži pat pilnībā aizmirst par šo iespēju. Un tas ir būtībā nepareizi, jo grafiku zīmēšana dažkārt tikai ietaupa situāciju!
Vēl viens piemērs: pieņemsim, ka neatceraties vienkāršākā trigonometriskā vienādojuma saknes: . Vispārīgā formula ir skolas mācību grāmatās, visās pamatmatemātikas uzziņu grāmatās, taču tās jums nav pieejamas. Tomēr vienādojuma atrisināšana ir kritiska (aka “divi”). Ir izeja! - veidojiet funkciju grafikus: 
pēc tam mierīgi pierakstām to krustošanās punktu “X” koordinātas: 
Ir bezgalīgi daudz sakņu, un algebrā tiek pieņemts to saīsinātais apzīmējums:
, Kur ( – veselu skaitļu kopa)
.
Un, “neejot prom”, daži vārdi par grafisko metodi nevienādību risināšanai ar vienu mainīgo. Princips tas pats. Tā, piemēram, nevienlīdzības risinājums ir jebkurš “x”, jo Sinusoīds gandrīz pilnībā atrodas zem taisnās līnijas. Nevienlīdzības risinājums ir intervālu kopa, kurā sinusoīda gabali atrodas stingri virs taisnes (x ass):
jeb īsumā:
Bet šeit ir daudzi nevienlīdzības risinājumi: tukšs, jo neviens sinusoīda punkts neatrodas virs taisnes.
Vai ir kaut kas, ko tu nesaproti? Steidzami izpētiet nodarbības par komplekti Un funkciju grafiki!
Iesildīsimies:
1. uzdevums
Grafiski atrisiniet šādus trigonometriskos vienādojumus:
Atbildes nodarbības beigās
Kā redzat, lai studētu eksaktās zinātnes, nemaz nav nepieciešams piebāzt formulas un uzziņu grāmatas! Turklāt šī ir fundamentāli kļūdaina pieeja.
Kā jau es jūs pārliecināju pašā nodarbības sākumā, sarežģīti trigonometriskie vienādojumi augstākās matemātikas standarta kursā ir jāatrisina ārkārtīgi reti. Visa sarežģītība, kā likums, beidzas ar vienādojumiem, piemēram, , kuru risinājums ir divas sakņu grupas, kas izriet no vienkāršākajiem vienādojumiem un 
. Neuztraucieties pārāk daudz par pēdējās atrisināšanu - meklējiet grāmatā vai atrodiet to internetā =)
Grafiskā risinājuma metode var palīdzēt arī mazāk triviālos gadījumos. Apsveriet, piemēram, šādu "lupatu" vienādojumu:
Tā risinājuma izredzes izskatās... neizskatās pēc nekā, bet jums vienkārši jāiedomājas vienādojums formā , būvēt funkciju grafiki un viss izrādīsies neticami vienkārši. Raksta vidū ir zīmējums par bezgalīgi mazas funkcijas (tiks atvērts nākamajā cilnē).
Izmantojot to pašu grafisko metodi, jūs varat uzzināt, ka vienādojumam jau ir divas saknes, un viena no tām ir vienāda ar nulli, bet otra, šķiet, neracionāli un pieder segmentam . Šo sakni var aprēķināt aptuveni, piemēram, tangentes metode. Starp citu, dažās problēmās gadās, ka jums nav jāatrod saknes, bet gan jānoskaidro vai viņi vispār eksistē?. Un arī šeit var palīdzēt zīmējums - ja grafiki nekrustojas, tad nav arī sakņu.
Polinomu racionālās saknes ar veseliem skaitļiem.
Hornera shēma
Un tagad aicinu vērst skatienu uz viduslaikiem un sajust unikālo klasiskās algebras atmosfēru. Priekš labāka izpratne Iesaku izlasīt vismaz nedaudz no materiāla kompleksie skaitļi.
Viņi ir vislabākie. Polinomi.
Mūsu intereses objekts būs visizplatītākie formas polinomi ar vesels koeficienti Dabiskais skaitlis sauca polinoma pakāpe, skaitlis – augstākās pakāpes koeficients (vai tikai augstākais koeficients), un koeficients ir bezmaksas dalībnieks.
Es īsi apzīmēšu šo polinomu ar .
Polinoma saknes izsauciet vienādojuma saknes
Man patīk dzelzs loģika =)
Lai iegūtu piemērus, dodieties uz pašu raksta sākumu: 
Ar 1. un 2. pakāpes polinomu sakņu atrašanu nav problēmu, taču, palielinoties, šis uzdevums kļūst arvien grūtāks. Lai gan no otras puses, viss ir interesantāk! Un tieši tam būs veltīta nodarbības otrā daļa.
Pirmkārt, burtiski puse no teorijas ekrāna:
1) Saskaņā ar secinājumu algebras pamatteorēma, pakāpes polinomam ir precīzi komplekss saknes. Dažas saknes (vai pat visas) var būt īpaši derīgs. Turklāt starp īstajām saknēm var būt identiskas (vairākas) saknes (vismaz divi, maksimāli gabali).
Ja kāds kompleksais skaitlis ir polinoma sakne, tad konjugāts tā skaitlis noteikti ir arī šī polinoma sakne (konjugētām kompleksajām saknēm ir forma ).
Vienkāršākais piemērs ir kvadrātvienādojums, kas pirmo reizi parādījās 8 (patīk) klasei, un ko beidzot “pabeidzām” tēmā kompleksie skaitļi. Ļaujiet man jums atgādināt: kvadrātvienādojumam ir vai nu divas dažādas reālās saknes, vai vairākas saknes, vai konjugētas sarežģītas saknes.
2) No Bezout teorēma no tā izriet, ka, ja skaitlis ir vienādojuma sakne, tad atbilstošo polinomu var faktorizēt:
, kur ir pakāpes polinoms .
Un atkal mūsu vecais piemērs: tā kā ir vienādojuma sakne, tad . Pēc tam nav grūti iegūt labi zināmo “skolas” paplašināšanos.
Bezout teorēmas secinājumam ir liela praktiska vērtība: ja mēs zinām 3. pakāpes vienādojuma sakni, tad varam to attēlot formā 
un no kvadrātvienādojuma ir viegli noskaidrot atlikušās saknes. Ja zinām 4.pakāpes vienādojuma sakni, tad kreiso pusi iespējams izvērst produktā utt.
Un šeit ir divi jautājumi:
Pirmais jautājums. Kā atrast šo sakni? Pirmkārt, definēsim tā būtību: daudzās augstākās matemātikas problēmās tas ir jāatrod racionāls, jo īpaši vesels polinomu saknes, un šajā sakarā tālāk mūs galvenokārt interesēs tie.... ...tie ir tik labi, tik pūkaini, ka tā vien gribas tos atrast! =)
Pirmā lieta, kas nāk prātā, ir atlases metode. Apsveriet, piemēram, vienādojumu . Nozveja šeit ir brīvajā termiņā - ja tas būtu vienāds ar nulli, tad viss būtu kārtībā - mēs izņemam “X” no iekavām, un pašas saknes “izkrīt” uz virsmu: 
Bet mūsu brīvais termins ir vienāds ar “trīs”, un tāpēc mēs sākam aizstāt vienādojumu dažādi skaitļi, kas apgalvo, ka ir “sakne”. Pirmkārt, par sevi liecina atsevišķu vērtību aizstāšana. Aizstāsim: 
Saņemts nepareizi vienlīdzība, tādējādi vienība “neatbilst”. Labi, aizstāsim: 
Saņemts taisnība vienlīdzība! Tas nozīmē, ka vērtība ir šī vienādojuma sakne.
Lai atrastu 3. pakāpes polinoma saknes, ir analītiskā metode (tā sauktās Cardano formulas), bet tagad mūs interesē nedaudz cits uzdevums.
Tā kā - ir mūsu polinoma sakne, polinomu var attēlot formā un tas rodas Otrais jautājums: kā atrast "jaunāko brāli"?
Vienkāršākie algebriskie apsvērumi liecina, ka, lai to izdarītu, mums ir jādala ar . Kā sadalīt polinomu ar polinomu? Tas pats skolas metode, ko izmanto parasto skaitļu dalīšanai - “kolonnā”! Šī metode es sīkāk apspriests nodarbības pirmajos piemēros Sarežģīti ierobežojumi, un tagad mēs aplūkosim citu metodi, ko sauc Hornera shēma.
Vispirms rakstām “augstāko” polinomu ar visiem
, ieskaitot nulles koeficientus:
, pēc kura mēs ievadām šos koeficientus (stingri secībā) tabulas augšējā rindā:
Kreisajā pusē rakstām sakni:
Uzreiz izdarīšu atrunu, ka Hornera shēma darbojas arī tad, ja ir “sarkanais” cipars Nav ir polinoma sakne. Tomēr nesasteigsim lietas.
Mēs noņemam vadošo koeficientu no augšas:
Apakšējo šūnu aizpildīšanas process nedaudz atgādina izšuvumu, kur “mīnus viens” ir sava veida “adata”, kas caurvij turpmākās darbības. Mēs reizinām “pārnesto” skaitli ar (–1) un pievienojam produktam skaitli no augšējās šūnas:
Mēs reizinām atrasto vērtību ar “sarkano adatu” un pievienojam produktam šādu vienādojuma koeficientu:
Un visbeidzot, iegūtā vērtība atkal tiek “apstrādāta” ar “adatu” un augšējo koeficientu:
Nulle pēdējā šūnā norāda, ka polinoms ir sadalīts bez pēdām (kā tam jābūt), savukārt izplešanās koeficienti tiek “noņemti” tieši no tabulas apakšējās rindas:
Tādējādi mēs pārgājām no vienādojuma uz līdzvērtīgu vienādojumu, un ar divām atlikušajām saknēm viss ir skaidrs (V šajā gadījumā mēs iegūstam konjugētas sarežģītas saknes).
Vienādojumu, starp citu, var atrisināt arī grafiski: plot "zibens" 
un redzēt, ka grafiks šķērso x asi ()
punktā. Vai arī tas pats “viltīgais” triks - mēs pārrakstām vienādojumu formā , uzzīmējam elementārus grafikus un atklājam to krustošanās punkta “X” koordinātu.
Starp citu, jebkuras 3. pakāpes funkcijas-polinoma grafiks vismaz vienu reizi krustojas ar asi, kas nozīmē, ka atbilstošajam vienādojumam ir vismaz viens derīgs sakne. Šis fakts derīga jebkurai nepāra pakāpes polinoma funkcijai.
Un šeit es arī gribētu pakavēties svarīgs punkts kas attiecas uz terminoloģiju: polinoms Un polinoma funkcija – tas nav viens un tas pats! Bet praksē viņi bieži runā, piemēram, par “polinoma grafiku”, kas, protams, ir nolaidība.
Tomēr atgriezīsimies pie Hornera shēmas. Kā jau nesen minēju, šī shēma darbojas citiem numuriem, bet, ja numurs Nav ir vienādojuma sakne, tad mūsu formulā parādās papildinājums, kas nav nulle (atlikums):
“Palaidīsim” “neveiksmīgo” vērtību saskaņā ar Hornera shēmu. Šajā gadījumā ir ērti izmantot to pašu tabulu - kreisajā pusē ierakstiet jaunu “adatu”, pārvietojiet vadošo koeficientu no augšas (kreisā zaļā bultiņa), un dodamies ceļā: 
Lai pārbaudītu, atveriet iekavas un parādīsim līdzīgus terminus:
, Labi.
Ir viegli pamanīt, ka atlikums (“seši”) ir tieši polinoma vērtība pie . Un patiesībā - kā tas ir: 
, un vēl jaukāk - piemēram:
No iepriekšminētajiem aprēķiniem ir viegli saprast, ka Hornera shēma ļauj ne tikai faktorēt polinomu, bet arī veikt “civilizētu” saknes atlasi. Es iesaku pašam konsolidēt aprēķina algoritmu ar nelielu uzdevumu:
2. uzdevums
Izmantojot Hornera shēmu, atrodiet vienādojuma veselo skaitļu sakni un faktorējiet atbilstošo polinomu
Citiem vārdiem sakot, šeit jums ir nepieciešams secīgi pārbaudīt skaitļus 1, –1, 2, –2, ... – līdz pēdējā kolonnā tiek “nozīmēta” nulle. Tas nozīmēs, ka šīs līnijas “adata” ir polinoma sakne
Aprēķinus ir ērti sakārtot vienā tabulā. Detalizēts risinājums un atbilde nodarbības beigās.
Sakņu atlases metode ir laba salīdzinoši vienkārši gadījumi, bet, ja polinoma koeficienti un/vai pakāpe ir lieli, process var aizņemt ilgāku laiku. Vai varbūt ir kādas vērtības no tā paša saraksta 1, –1, 2, –2, un nav jēgas apsvērt? Un turklāt saknes var izrādīties daļēja, kas novedīs pie pilnīgi nezinātniskas bakstīšanas.
Par laimi, ir divas spēcīgas teorēmas, kas var ievērojami samazināt "kandidātu" vērtību meklēšanu racionālām saknēm:
1. teorēma Apsvērsim nesamazināms frakcija , kur . Ja skaitlis ir vienādojuma sakne, tad brīvo terminu dala ar un vadošo koeficientu dala ar.
Jo īpaši, ja vadošais koeficients ir , tad šī racionālā sakne ir vesels skaitlis:
Un mēs sākam izmantot teorēmu tikai ar šo garšīgo detaļu:
Atgriezīsimies pie vienādojuma. Tā kā tā vadošais koeficients ir , tad hipotētiskās racionālās saknes var būt tikai veseli skaitļi, un brīvais termins noteikti jāsadala šajās saknēs bez atlikuma. Un “trīs” var iedalīt tikai 1, –1, 3 un –3. Tas ir, mums ir tikai 4 “saknes kandidāti”. Un, saskaņā ar 1. teorēma, citi racionālie skaitļi PRINCIPĀ nevar būt šī vienādojuma saknes.
Vienādojumā ir nedaudz vairāk “pretendentu”: brīvais termins ir sadalīts 1, –1, 2, – 2, 4 un –4.
Lūdzu, ņemiet vērā, ka skaitļi 1, –1 ir iespējamo sakņu saraksta “regulārie”. (teorēmas acīmredzamas sekas) un lielākā daļa labākā izvēle prioritātes pārbaudei.
Pāriesim pie jēgpilnākiem piemēriem:
3. problēma
Risinājums: tā kā vadošais koeficients ir , tad hipotētiskās racionālās saknes var būt tikai veseli skaitļi, un tām obligāti jābūt brīvā termina dalītājiem. “Mīnus četrdesmit” ir sadalīts šādos skaitļu pāros:
– kopā 16 “kandidāti”.
Un te uzreiz parādās kārdinoša doma: vai ir iespējams atsijāt visas negatīvās vai visas pozitīvās saknes? Dažos gadījumos tas ir iespējams! Es formulēšu divas zīmes:
1) Ja Visi Ja polinoma koeficienti nav negatīvi, tad tam nevar būt pozitīvas saknes. Diemžēl tas nav mūsu gadījums (tagad, ja mums būtu dots vienādojums - tad jā, aizstājot jebkuru polinoma vērtību, polinoma vērtība ir stingri pozitīva, kas nozīmē, ka visi pozitīvie skaitļi (un arī neracionālas) nevar būt vienādojuma saknes.
2) Ja nepāra pakāpju koeficienti nav negatīvi un visiem pāra pakāpēm (ieskaitot bezmaksas dalībnieku) ir negatīvi, tad polinomam nevar būt negatīvas saknes. Šis ir mūsu gadījums! Paskatoties nedaudz tuvāk, jūs varat redzēt, ka, aizstājot vienādojumā jebkuru negatīvu “X”, kreisā puse būs stingri negatīva, kas nozīmē, ka negatīvās saknes pazūd.
Tādējādi pētījumiem ir atlikuši 8 skaitļi:
Mēs tos pastāvīgi “uzlādējam” saskaņā ar Hornera shēmu. Es ceru, ka jūs jau esat apguvis garīgos aprēķinus: 
Pārbaudot “divus”, mūs gaidīja veiksme. Tādējādi ir aplūkojamā vienādojuma sakne un
Atliek izpētīt vienādojumu 
. To ir viegli izdarīt, izmantojot diskriminantu, bet es veiksim indikatīvu pārbaudi, izmantojot to pašu shēmu. Pirmkārt, ņemiet vērā, ka brīvais termiņš ir vienāds ar 20, kas nozīmē 1. teorēma skaitļi 8 un 40 izkrīt no iespējamo sakņu saraksta, atstājot vērtības izpētei (viens tika izslēgts pēc Hornera shēmas).
Mēs ierakstām trinoma koeficientus jaunās tabulas augšējā rindā un Mēs sākam pārbaudīt ar tiem pašiem "diviem". Kāpēc? Un tā kā saknes var būt daudzkārtējas, lūdzu: - šajā vienādojumā ir 10 identiskas saknes. Bet nenovērsīsim uzmanību: 
Un šeit es, protams, mazliet meloju, zinot, ka saknes ir racionālas. Galu galā, ja tie būtu neracionāli vai sarežģīti, tad es saskartos ar neveiksmīgu visu atlikušo skaitļu pārbaudi. Tāpēc praksē vadieties pēc diskriminējošās personas.
Atbilde: racionālas saknes: 2, 4, 5
Mums paveicās analizētajā problēmā, jo: a) tie uzreiz nokrita negatīvas vērtības, un b) mēs ļoti ātri atradām sakni (un teorētiski mēs varētu pārbaudīt visu sarakstu).
Bet patiesībā situācija ir daudz sliktāka. Aicinu noskatīties aizraujoša spēle sauc par " Pēdējais varonis»:
4. problēma
Atrodiet vienādojuma racionālās saknes
Risinājums: Autors 1. teorēma hipotētisko racionālo sakņu skaitītājiem ir jāapmierina nosacījums (mēs lasām “divpadsmit dala ar el”), un saucēji atbilst nosacījumam . Pamatojoties uz to, mēs iegūstam divus sarakstus:
"saraksts el":
un "list um": (par laimi, skaitļi šeit ir dabiski).
Tagad izveidosim visu iespējamo sakņu sarakstu. Pirmkārt, mēs sadalām “el sarakstu” ar . Ir pilnīgi skaidrs, ka tiks iegūti tie paši skaitļi. Ērtības labad ievietosim tos tabulā:
Daudzas frakcijas ir samazinātas, kā rezultātā tiek iegūtas vērtības, kas jau ir “varoņu sarakstā”. Mēs pievienojam tikai "iesācējus": 
Līdzīgi mēs to pašu “sarakstu” sadalām ar: 
un beidzot tālāk
Tādējādi mūsu spēles dalībnieku komanda ir nokomplektēta: 
Diemžēl polinoms šajā uzdevumā neatbilst "pozitīvā" vai "negatīvā" kritērijam, un tāpēc mēs nevaram atmest augšējo vai apakšējo rindu. Jums būs jāstrādā ar visiem cipariem.
kā tu jūties? Nāc, pacel galvu - ir vēl viena teorēma, kuru tēlaini var saukt par “slepkavas teorēmu”…. ...“kandidāti”, protams =)
Bet vispirms jums ir jāritina Hornera diagramma vismaz vienam visu cipariem. Tradicionāli ņemsim vienu. Augšējā rindā ierakstām polinoma koeficientus un viss ir kā parasti:
Tā kā četri noteikti nav nulle, vērtība nav attiecīgā polinoma sakne. Bet viņa mums ļoti palīdzēs.
2. teorēma Ja dažiem vispār polinoma vērtība nav nulle: , tad tā racionālās saknes (ja tādas pastāv) apmierināt nosacījumu
Mūsu gadījumā un tāpēc visām iespējamām saknēm ir jāatbilst nosacījumam (sauksim to par nosacījumu Nr. 1). Šis četrinieks būs daudzu "kandidātu" "slepkava". Demonstrācijai es apskatīšu dažas pārbaudes:
Pārbaudīsim "kandidātu". Lai to izdarītu, mākslīgi attēlosim to daļskaitļa veidā, no kura skaidri redzams, ka . Aprēķināsim testa starpību: . Četri tiek dalīti ar “mīnus divi”: , kas nozīmē, ka iespējamā sakne ir izturējusi pārbaudi.
Pārbaudīsim vērtību. Šeit testa atšķirība ir: 
. Protams, un tāpēc sarakstā paliek arī otrs “priekšmets”.
Ir pierādīts, ka, lai faktorētu polinomu, ir jāatrod tā saknes. Kvadrātveida polinoma sakņu formulas. Veselu sakņu atrašanas metode. Bikvadrātiskā polinoma faktorinācijas metode un reducēšana uz kvadrātisko. Atkārtoti polinomi.
Metodes pamats
Ļaujiet
- polinoms ar pakāpi n ≥ 1
reāla vai kompleksa mainīgā z ar reāliem vai kompleksiem koeficientiem a i.
Pieņemsim šādu teorēmu bez pierādījumiem.
1. teorēma Vienādojums Pn(z) = 0
ir vismaz viena sakne.
Pierādīsim šādu lemmu.
Lemma 1 Ļaujiet Pn(z) 1
- n, z pakāpes polinoms
- vienādojuma sakne: Pn.
(z 1) = 0 Ļaujiet Pn Tad P n
- vienādojuma sakne: var attēlot vienīgajā veidā šādā formā:,
(z) = (z - z 1) P n-1 (z) kur Pn- 1(z) 1
.
- n pakāpes polinoms -
Pierādījums Ļaujiet Pn Lai to pierādītu, pielietojam teorēmu (skat. Polinoma dalīšana un reizināšana ar polinomu ar stūri un kolonnu), saskaņā ar kuru jebkuriem diviem polinomiem P n Ļaujiet Pn un Qk
- vienādojuma sakne: , grādi n un k, ar n ≥ k, ir unikāls attēlojums šādā formā:,
(z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z) Ļaujiet Pn kur Pn-k kur Pn-- polinoms ar pakāpi n-k, U k- 1
.
- polinoms, kura pakāpe nav augstāka par k- 1
Liksim k = , Q k(z) = z - z 1
- vienādojuma sakne: , Tad,
(z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) + c 1
kur c ir konstante. Aizstāsim šeit z = z Pn:
- vienādojuma sakne: un ņem vērā, ka P n;
(z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c.
0 = 0 + c 0
Tādējādi c =
.
Tad
Pn, Ļaujiet Pn Q.E.D. 1
Tātad, pamatojoties uz 1. teorēmu, polinoms P n Pn ir vismaz viena sakne. Apzīmēsim to kā z
- vienādojuma sakne: ,Pn.
. 1
Pēc tam, pamatojoties uz 1. lemmu: kur Pn-(z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) 2
Turklāt, ja n > , tad polinoms P n- Tādējādi c =
arī ir vismaz viena sakne, ko mēs apzīmējam kā z ,Pn-;
- vienādojuma sakne: 1 (z 2) = 0.
Pn- 1 (z) = (z - z 2 ) P n-2 (z)(z) = (z - z 1 ) (z - z 2 ) P n-2 (z)
- vienādojuma sakne: Turpinot šo procesu, mēs nonākam pie secinājuma, ka ir n skaitļi z.
1 , z 2 , ... , z n tāds tāds(z) = (z - z 1 ) (z - z 2 ) ... (z - z n ) P 0 (z)
(1)
Bet P 0(z).
- tā ir konstante. Pielīdzinot koeficientus z n, mēs atklājam, ka tas ir vienāds ar n. Ļaujiet Pn.
Rezultātā mēs iegūstam formulu polinoma faktorinēšanai: (1)
Pn (1)
(z) = a n (z - z 1 ) (z - z 2 ) ... (z - z n )
(2)
Bet P Skaitļi z i ir polinoma P n saknes;
.
Kopumā ne visi z i iekļauti 1
, ir dažādi. Starp tiem var būt tādas pašas vērtības. Pēc tam aprēķina polinomu var rakstīt šādi:(z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k Šeit z i ≠ z j i ≠ j. Ja n i = , Tas sakne 1
, ir dažādi. Starp tiem var būt tādas pašas vērtības. Pēc tam aprēķina polinomu var rakstīt šādi:(z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k z i sauc par vienkāršu . Tas stājas faktorizācijā formā: (z-z i).
.
Ja n i >
Ja ir polinoma ar reāliem koeficientiem kompleksā sakne, tad kompleksais konjugātais skaitlis ir arī polinoma sakne, .
- n pakāpes polinoms -
Patiešām, ja , Un polinoma koeficienti ir reāli skaitļi, tad .
Tādējādi sarežģītas saknes tiek iekļautas faktorizācijā pa pāriem ar to sarežģītajām konjugātajām vērtībām:
,
kur , ir reāli skaitļi.
Pēc tam sadalīšanās (2)
polinomu ar reāliem koeficientiem faktoros var attēlot formā, kurā ir tikai reālas konstantes:
(3)
;
.
Polinoma faktoringa metodes
Ņemot vērā iepriekš minēto, lai faktorizētu polinomu, jāatrod visas vienādojuma saknes P n (z) = 0 un noteikt to daudzveidību. Faktori ar sarežģītām saknēm ir jāgrupē ar sarežģītiem konjugātiem. Tad izplešanos nosaka pēc formulas (3) .
Tādējādi polinoma faktorinēšanas metode ir šāda:
1.
Saknes z atrašana 1
vienādojumi Pn (z 1) = 0.
2.1.
Ja sakne z 1
reāls, tad mēs pievienojam koeficientu izvērsumam (z - z 1) (z - z 1) 1
:
.
1(z), sākot no punkta (1)
līdz atrodam visas saknes.
2.2.
Ja sakne ir kompleksa, tad kompleksais konjugātais skaitlis ir arī polinoma sakne. Tad izplešanās ietver faktoru
,
kur b 1 = - 2 x 1, c 1 = x 1 2 + y 1 2.
Šajā gadījumā mēs pievienojam koeficientu paplašināšanai (z 2 + b 1 z + c 1) un polinomu P n (z) dala ar (z 2 + b 1 z + c 1). 2
:
.
Rezultātā mēs iegūstam polinomu ar pakāpi n - Tālāk mēs atkārtojam procesu polinomam P n-, sākot no punkta (1)
līdz atrodam visas saknes.
2(z)
Polinoma sakņu atrašana
Galvenais uzdevums, faktorējot polinomu, ir atrast tā saknes. Diemžēl to ne vienmēr var izdarīt analītiski. Šeit mēs apskatīsim vairākus gadījumus, kad analītiski var atrast polinoma saknes.
Pirmās pakāpes polinoma saknes
.
Pirmās pakāpes polinoms ir lineāra funkcija. Tam ir viena sakne. Izvērsumam ir tikai viens faktors, kas satur mainīgo z:
Otrās pakāpes polinoma saknes
Lai atrastu otrās pakāpes polinoma saknes, jāatrisina kvadrātvienādojums: P.
2 (z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0
, .
Ja diskriminants ir , tad vienādojumam ir divas reālas saknes:
.
Tad faktorizācijai ir šāda forma: 0
Ja diskriminējošais D =
;
.
, tad vienādojumam ir viena dubultsakne:< 0
Ja diskriminē D
.
, tad vienādojuma saknes ir sarežģītas,
Ir formulas 3. un 4. pakāpes polinomu sakņu atrašanai. Tomēr tos izmanto reti, jo tie ir apjomīgi. Nav formulu, lai atrastu saknes polinomiem, kuru pakāpe ir augstāka par 4. Neskatoties uz to, dažos gadījumos ir iespējams faktorēt polinomu.
Veselu sakņu atrašana
Ja ir zināms, ka polinomam, kura koeficienti ir veseli skaitļi, ir vesela skaitļa sakne, tad to var atrast, pārmeklējot visas iespējamās vērtības.
3. Lemma
Ļaujiet polinomam
,
koeficientiem a i, no kuriem ir veseli skaitļi, ir vesela skaitļa sakne z 1
. 0
.
- n pakāpes polinoms -
Tad šī sakne ir skaitļa a dalītājs Pn Pārrakstīsim vienādojumu P n
.
formā:
Tad viss Mz.
1 = - a 0 1
:
.
Sadaliet ar z
Tā kā M ir vesels skaitlis, tad M ir vesels skaitlis. Q.E.D. 0
Tāpēc, ja polinoma koeficienti ir veseli skaitļi, tad varat mēģināt atrast veselo skaitļu saknes. Lai to izdarītu, jāatrod visi brīvā termina dalītāji a Vienādojums Pn un, aizvietojot vienādojumā P n
, pārbaudiet, vai tās ir šī vienādojuma saknes. Piezīme Vienādojums Pn. Ja polinoma koeficienti ir racionāli skaitļi, tad reizinot vienādojumu P n
pēc skaitļu kopsaucēja a i iegūstam vienādojumu polinomam ar veseliem skaitļiem.
Racionālu sakņu atrašana 1
Ja polinoma koeficienti ir veseli skaitļi un nav veselu skaitļu sakņu, tad n ≠
, varat mēģināt atrast racionālas saknes. Lai to izdarītu, jums ir jāveic aizstāšana
z = y/a n 1
un reizināt vienādojumu ar a n n-
.
Rezultātā iegūstam vienādojumu polinomam mainīgajā y ar veseliem skaitļiem. Tālāk mēs meklējam šī polinoma veselās saknes starp brīvā vārda dalītājiem. Ja esam atraduši šādu sakni y i, tad pārejot uz mainīgo x, iegūstam racionālu sakni
z i = y i /a n .
Noderīgas formulas
- vienādojuma sakne: Mēs piedāvājam formulas, kuras var izmantot, lai faktorētu polinomu.,
Vispārīgāk, lai paplašinātu polinomu 0
(z) = z n - a 0
kur a 0
.
- sarežģīts, jums jāatrod visas tā saknes, tas ir, jāatrisina vienādojums: 0
z n = a
.
Šo vienādojumu var viegli atrisināt, izsakot a 0
caur moduli r un argumentu φ: Kopš a nemainīsies, ja papildināsim argumentu 0
Pārrakstīsim vienādojumu P n
,
2π
;
.
, tad iedomājieties a kur k ir vesels skaitlis. Tad K vērtību piešķiršana k =
.
0, 1, 2, ... n-1
, mēs iegūstam polinoma n saknes. Tad tā faktorizācijai ir šāda forma:
.
Bikvadrātiskais polinoms
Apsveriet bikvadrātisko polinomu:
,
Bikvadrātisku polinomu var faktorizēt, neatrodot saknes.
Kad mums ir:
Kur .
.
Bikubiskie un kvadrātveida polinomi
.
Apsveriet polinomu: Tās saknes nosaka pēc vienādojuma: aizstāšana t = z n :
a 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Atrisinot šo vienādojumu, mēs atrodam tā saknes, t 1
,t 2
.
.
Tad mēs atrodam paplašinājumu formā: 1
Tālāk, izmantojot iepriekš norādīto metodi, mēs faktorizējam z n - t 2
un z n - t
.
Visbeidzot, mēs sagrupējam faktorus, kas satur sarežģītas konjugātas saknes. Atkārtoti polinomi Polinomu sauc
atgriežams
.
, ja tā koeficienti ir simetriski: -1
Refleksīvā polinoma piemērs: + 1
Ja atkārtota polinoma n pakāpe ir nepāra, tad šādam polinomam ir sakne z = - 1
.
. 2
Dalot šādu polinomu ar z
, mēs iegūstam n pakāpes atkārtotu polinomu Ja atkārtota polinoma n pakāpe ir pāra, tad ar aizstāšanu to samazina līdz polinomam ar pakāpi n/.
Cm.
Kā jau atzīmējām, viens no
svarīgākajiem uzdevumiem
polinomu teorijā uzdevums ir atrast to saknes. Lai atrisinātu šo problēmu, varat izmantot atlases metodi, t.i. izlases veidā paņemiet skaitli un pārbaudiet, vai tas ir dotā polinoma sakne.
Šajā gadījumā jūs varat ātri “uzdurties” saknei, vai arī jūs to nekad neatradīsit. Galu galā nav iespējams pārbaudīt visus skaitļus, jo to ir bezgalīgi daudz.
Cita lieta būtu, ja mēs varētu sašaurināt meklēšanas apgabalu, piemēram, lai zinātu, ka mūsu meklētās saknes ir, teiksim, starp trīsdesmit norādītajiem skaitļiem. Un trīsdesmit numuriem varat veikt pārbaudi. Saistībā ar visu iepriekš teikto šis apgalvojums šķiet svarīgs un interesants.
Ja nereducējamā daļa l/m (l,m ir veseli skaitļi) ir polinoma f (x) sakne ar veselu skaitļu koeficientiem, tad šī polinoma vadošo koeficientu dala ar m, bet brīvo daļu dala ar 1.
Patiešām, ja f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, kur an, an-1,...,a1, a0 ir veseli skaitļi, tad f (l/) m) =0, t.i., аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.
Sareizināsim abas šīs vienādības puses ar mn. Iegūstam anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0. No tā izriet:. Atradīsim polinoma f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8 racionālās saknes. Saskaņā ar teorēmu šī polinoma racionālās saknes atrodas starp formas l/m nereducējamajām daļām, kur l ir brīvā vārda dalītājs a0=8, bet m ir vadošā koeficienta a4=6 dalītājs. Turklāt, ja daļa l/m ir negatīva, tad skaitītājam tiks piešķirta zīme “-”. Piemēram, - (1/3) = (-1) /3. Tātad mēs varam teikt, ka l ir skaitļa 8 dalītājs, un m ir skaitļa 6 pozitīvs dalītājs.
Tā kā skaitļa 8 dalītāji ir ±1, ±2, ±4, ±8, bet skaitļa 6 pozitīvie dalītāji ir 1, 2, 3, 6, tad attiecīgā polinoma racionālās saknes ir starp skaitļiem ±1, ±1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Atcerēsimies, ka mēs izrakstījām tikai nereducējamās daļas.
Tādējādi mums ir divdesmit skaitļi - sakņu “kandidāti”. Atliek tikai pārbaudīt katru no tiem un atlasīt tos, kas patiešām ir saknes. Bet atkal jums būs jāveic diezgan daudz pārbaužu. Bet šī teorēma vienkāršo šo darbu.
Ja nereducējamā daļa l/m ir polinoma f (x) sakne ar veselu skaitļu koeficientiem, tad f (k) jebkuram veselam skaitlim k dalās ar l-km, ja l-km?0.
Lai pierādītu šo teorēmu, sadaliet f (x) ar x-k ar atlikumu. Mēs saņemam f (x) = (x-k) s (x) +f (k). Tā kā f (x) ir polinoms ar veselu skaitļu koeficientiem, tāds ir arī polinoms s (x) un f (k) ir vesels skaitlis. Pieņemsim, ka s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Tad f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). Liksim šajā vienādībā x=l/m. Ņemot vērā, ka f (l/m) =0, mēs iegūstam
f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .
Reizināsim abas pēdējās vienādības puses ar mn:
mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1ln-2+b0mn-1).
No tā izriet, ka vesels skaitlis mnf (k) dalās ar l-km. Bet, tā kā l un m ir pirmskaitļi, tad arī mn un l-km ir pirmskaitļi, kas nozīmē, ka f (k) dalās ar l-km. Teorēma ir pierādīta.
Tagad atgriezīsimies pie sava piemēra un, izmantojot pārbaudīto teorēmu, vēl vairāk sašaurināsim racionālu sakņu meklējumu loku. Pielietosim šo teorēmu k=1 un k=-1, t.i. ja nereducējamā daļa l/m ir polinoma f (x) sakne, tad f (1) / (l-m), un f (-1) / (l+m). Mēs viegli atklājam, ka mūsu gadījumā f (1) = -5 un f (-1) = -15. Ņemiet vērā, ka tajā pašā laikā mēs no izskatīšanas izslēdzām ±1.
Tātad mūsu polinoma racionālās saknes ir jāmeklē starp skaitļiem ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8 /3.
Apsveriet l/m=1/2. Tad l-m=-1 un f (1) =-5 dala ar šo skaitli. Turklāt l+m=3 un f (1) =-15 arī dalās ar 3. Tas nozīmē, ka daļa 1/2 paliek starp sakņu “kandidātiem”.
Tagad pieņemsim, ka lm=- (1/2) = (-1) /2. Šajā gadījumā l-m=-3 un f (1) =-5 nedalās ar - 3. Tas nozīmē, ka daļa - 1/2 nevar būt šī polinoma sakne, un mēs to izslēdzam no turpmākās izskatīšanas. Pārbaudīsim katru no iepriekš uzrakstītajām daļām un noskaidrosim, ka vajadzīgās saknes ir starp skaitļiem 1/2, ±2/3, 2, - 4.
Tādējādi, izmantojot diezgan vienkāršu paņēmienu, mēs esam ievērojami sašaurinājuši aplūkojamā polinoma racionālo sakņu meklēšanas apgabalu. Nu, lai pārbaudītu atlikušos skaitļus, mēs izmantosim Hornera shēmu:
10. tabula
Mēs atklājām, ka atlikums, dalot g (x) ar x-2/3, ir vienāds ar - 80/9, t.i., 2/3 nav polinoma g (x) sakne, un tāpēc arī f (x) nav.
Tālāk mēs viegli atklājam, ka - 2/3 ir polinoma sakne g (x) un g (x) = (3x+2) (x2+2x-4). Tad f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Papildu pārbaudi var veikt polinomam x2+2x-4, kas, protams, ir vienkāršāks nekā g (x) vai, vēl jo vairāk, f (x). Rezultātā mēs atklājam, ka skaitļi 2 un - 4 nav saknes.
Tātad polinomam f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 ir divas racionālas saknes: 1/2 un - 2/3.
Atgādiniet, ka iepriekš aprakstītā metode ļauj atrast tikai racionālas polinoma saknes ar veseliem skaitļiem. Tikmēr polinomam var būt arī iracionālas saknes. Tā, piemēram, piemērā aplūkotajam polinomam ir vēl divas saknes: - 1±v5 (tās ir polinoma x2+2x-4 saknes). Un, vispārīgi runājot, polinomam var nebūt racionālu sakņu.
Tagad sniegsim dažus padomus.
Pārbaudot “kandidātus” polinoma f (x) saknēm, izmantojot otro no iepriekš pierādītajām teorēmām, pēdējo parasti izmanto gadījumiem k=±1. Citiem vārdiem sakot, ja l/m ir “kandidāta” sakne, tad pārbaudiet, vai f (1) un f (-1) dalās attiecīgi ar l-m un l+m. Bet var gadīties, ka, piemēram, f (1) = 0, t.i., 1 ir sakne, un tad f (1) dalās ar jebkuru skaitli, un mūsu pārbaude kļūst bezjēdzīga. Šajā gadījumā jums vajadzētu dalīt f (x) ar x-1, t.i. iegūt f(x) = (x-1)s(x) un pārbaudīt polinomu s(x). Tajā pašā laikā nevajadzētu aizmirst, ka mēs jau esam atraduši vienu polinoma sakni f (x) - x1=1. Ja, pārbaudot “kandidātus” uz saknēm, kas palikušas pēc otrās teorēmas izmantošanas par racionālajām saknēm, izmantojot Hornera shēmu, mēs atklājam, ka, piemēram, l/m ir sakne, tad jāatrod tās daudzkārtība. Ja tas ir vienāds ar, teiksim, k, tad f (x) = (x-l/m) ks (x), un var veikt turpmāku pārbaudi s (x), kas samazina aprēķinus.
Tādējādi mēs esam iemācījušies atrast racionālas saknes polinomam ar veseliem skaitļiem. Izrādās, ka, to darot, mēs esam iemācījušies atrast polinoma iracionālās saknes ar racionāliem koeficientiem. Faktiski, ja mums ir, piemēram, polinoms f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2, tad, pievedot koeficientus uz kopsaucējs un liekot to ārpus iekavām, iegūstam f (x) = 1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Ir skaidrs, ka polinoma f (x) saknes sakrīt ar polinoma saknēm iekavās, un tā koeficienti ir veseli skaitļi. Pierādīsim, piemēram, ka sin100 ir iracionāls skaitlis. Izmantosim labi zināmo formulu sin3?=3sin?-4sin3?. Tādējādi sin300=3sin100-4sin3100. Ņemot vērā, ka sin300=0,5 un veicot vienkāršas transformācijas, iegūstam 8sin3100-6sin100+1=0. Tāpēc sin100 ir polinoma f (x) =8x3-6x+1 sakne. Ja mēs meklēsim šī polinoma racionālās saknes, mēs pārliecināsimies, ka tādu nav. Tas nozīmē, ka sakne sin100 nav racionāls skaitlis, t.i. sin100 ir neracionāls skaitlis.
Šim polinomam ir veselu skaitļu koeficienti. Ja vesels skaitlis ir šī polinoma sakne, tad tas ir skaitļa 16 dalītājs. Tātad, ja dotajam polinomam ir vesela skaitļa saknes, tad tie var būt tikai skaitļi ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Veicot tiešu pārbaudi, mēs esam pārliecināti, ka skaitlis 2 ir šī polinoma sakne, tas ir, x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x), kur Q (x) ir polinoms otrā pakāpe. Līdz ar to polinoms tiek sadalīts faktoros, no kuriem viens ir (x – 2). Lai atrastu polinoma Q (x) veidu, mēs izmantojam tā saukto Hornera shēmu. Šīs metodes galvenā priekšrocība ir pieraksta kompaktums un iespēja ātri sadalīt polinomu binomālā. Patiesībā Hornera shēma ir vēl viens grupēšanas metodes ierakstīšanas veids, lai gan atšķirībā no pēdējās tā ir pilnīgi nevizuāla. Atbilde (faktorizācija) šeit tiek iegūta pati par sevi, un mēs neredzam tās iegūšanas procesu. Mēs neiesaistīsimies stingrā Hornera shēmas pamatojumā, bet tikai parādīsim, kā tā darbojas.
| 1 | −5 | −2 | 16 | |
| 2 | 1 | −3 | −8 | 0 |
Skaitlis no šūnas virs tā tiek “pārvietots” uz apakšējās rindas otro šūnu, tas ir, 1. Tad viņi to dara. Vienādojuma sakne (skaitlis 2) tiek reizināts ar pēdējo ierakstīto skaitli (1) un rezultāts tiek pievienots ar skaitli, kas atrodas augšējā rindā virs nākamās brīvās šūnas, mūsu piemērā mums ir:
Dalīšanas rezultātā iegūtā polinoma pakāpe vienmēr ir par 1 mazāka nekā sākotnējā pakāpe. Tātad: