Vai ir iespējams pievienot identiskas saknes? Kvadrātsakne. Visaptverošais ceļvedis (2019)

28.09.2019

Sakņu saskaitīšana un atņemšana- viens no visizplatītākajiem “klupšanas akmeņiem” tiem, kuri vidusskolā apgūst matemātikas (algebras) kursus. Taču iemācīties tos pareizi saskaitīt un atņemt ir ļoti svarīgi, jo piemēri par sakņu summu vai starpību iekļauti Vienotā valsts eksāmena pamatpārbaudījuma programmā disciplīnā “matemātika”.

Lai apgūtu šādu piemēru risināšanu, ir vajadzīgas divas lietas - jāsaprot noteikumi un arī jāiegūst prakse. Atrisinājis vienu vai divus desmitus tipisku piemēru, students šo prasmi ieviesīs automātismā, un tad viņam vairs nebūs no kā baidīties vienotajā valsts eksāmenā. Aritmētiskās darbības ieteicams sākt apgūt ar saskaitīšanu, jo to saskaitīšana ir nedaudz vienkāršāka nekā atņemšana.

Kas ir sakne

Vienkāršākais veids, kā to izskaidrot, ir ar piemēru kvadrātsakne. Matemātikā ir vispāratzīts termins “kvadrātēšana”. “Kvadrātēšana” nozīmē noteikta skaitļa vienreizēju reizināšanu ar sevi.. Piemēram, ja jūs kvadrātā 2, jūs saņemsiet 4. Ja jūs kvadrātā 7, jūs saņemsiet 49. Kvadrāts no 9 ir 81. Tātad kvadrātsakne no 4 ir 2, no 49 ir 7 un no 81 ir 9.

Parasti šīs tēmas mācīšana matemātikā sākas ar kvadrātsaknēm. Lai to nekavējoties noteiktu, students vidusskola reizināšanas tabula jāzina no galvas. Tiem, kas stingri nezina šo tabulu, ir jāizmanto padomi. Parasti skaitļa saknes kvadrāta iegūšanas process ir norādīts tabulas veidā uz daudzu skolas matemātikas piezīmju grāmatiņu vākiem.

Saknes ir šāda veida:

kvadrāts;
kubiskais (vai tā sauktā trešā pakāpe);
ceturtā pakāpe;
piektā pakāpe.

Papildināšanas noteikumi

Lai veiksmīgi atrisinātu tipisku piemēru, jāpatur prātā, ka ne visi saknes skaitļi var sakraut vienu ar otru. Lai tos varētu salikt kopā, tiem jābūt vienotiem. Ja tas nav iespējams, problēmai nav risinājuma. Šādas problēmas bieži sastopamas arī matemātikas mācību grāmatās kā sava veida lamatas skolēniem.

Papildinājums nav atļauts uzdevumos, ja radikālās izteiksmes atšķiras viena no otras. To var ilustrēt ar skaidru piemēru:

Skolēns saskaras ar uzdevumu: pievienojiet kvadrātsakni no 4 un 9;
nepieredzējis students zina noteikumus, parasti raksta: "4 sakne + 9 sakne = 13 sakne."
Ir ļoti viegli pierādīt, ka šis risinājums ir nepareizs. Lai to izdarītu, jāatrod kvadrātsakne no 13 un jāpārbauda, vai piemērs ir pareizi atrisināts;
izmantojot mikrokalkulatoru, var noteikt, ka tas ir aptuveni 3,6. Tagad atliek tikai pārbaudīt risinājumu;
sakne no 4=2 un sakne no 9=3;
Skaitļu “divi” un “trīs” summa ir pieci. Tādējādi šo risinājuma algoritmu var uzskatīt par nepareizu.

Ja saknēm ir vienāda pakāpe, bet atšķirīga skaitliskās izteiksmes, tas tiek izņemts no iekavām un ievietots iekavās divu radikālu izteiksmju summa. Tādējādi tas jau ir iegūts no šīs summas.

Papildināšanas algoritms

Lai pareizi izlemtu vienkāršākais uzdevums, nepieciešams:

Nosakiet, kam tieši nepieciešams papildinājums.
Uzziniet, vai ir iespējams pievienot vērtības viena otrai, vadoties pēc esošajiem matemātikas noteikumiem.
Ja tie nav salokāmi, tie ir jāpārveido, lai tos varētu salocīt.
Pēc visu nepieciešamo pārveidojumu veikšanas jums ir jāveic pievienošana un jāpieraksta gatavā atbilde. Atkarībā no piemēra sarežģītības varat veikt saskaitīšanu galvā vai izmantojot mikrokalkulatoru.

Kādas ir līdzīgas saknes

Lai pareizi atrisinātu papildinājuma piemēru, vispirms jādomā, kā to var vienkāršot. Lai to izdarītu, jums ir jābūt pamatzināšanām par to, kas ir līdzība.

Spēja identificēt līdzīgus palīdz ātri atrisināt līdzīgus pievienošanas piemērus, apvienojot tos vienkāršotā formā. Lai vienkāršotu tipisku pievienošanas piemēru, jums ir nepieciešams:

Atrodiet līdzīgus un sadaliet tos vienā grupā (vai vairākās grupās).
Pārrakstiet esošo piemēru tā, lai saknes, kurām ir viens un tas pats rādītājs, skaidri sekotu viena otrai (to sauc par “grupēšanu”).
Tālāk vēlreiz jāraksta izteiksme, šoreiz tā, lai līdzīgi (kuriem ir vienāds rādītājs un tāds pats radikālais skaitlis) sekotu viens otram.

Kad tas ir izdarīts, vienkāršoto piemēru parasti ir viegli atrisināt.

Lai pareizi atrisinātu jebkuru pievienošanas piemēru, jums ir skaidri jāsaprot pievienošanas pamatnoteikumi, kā arī jāzina, kas ir sakne un kāda tā var būt.

Dažkārt šādas problēmas no pirmā acu uzmetiena šķiet ļoti sarežģītas, taču parasti tās viegli atrisina, sagrupējot līdzīgas. Vissvarīgākais ir prakse, un tad skolēns sāks "šķelt problēmas kā riekstus". Sakņu pievienošana ir viena no visvairāk svarīgas sadaļas matemātiku, tāpēc skolotājiem vajadzētu atvēlēt pietiekami daudz laika tās apguvei.

Tagad plkst skolas mācību programma notiek kaut kas, kas nav līdz galam skaidrs. Viena laba lieta ir tā, ka matemātikā viss paliek nemainīgs. Darbs ar saknēm, proti, saskaitīšana un atņemšana, nav īpaši sarežģīta darbība. Bet daži studenti saskaras ar zināmām grūtībām.

Un šajā rakstā mēs aplūkosim kvadrātsakņu pievienošanas un atņemšanas noteikumus.

Varat atņemt un pievienot kvadrātsaknes, ja ir izpildīts nosacījums, ka šīm saknēm ir vienādas radikālas izteiksmes. Citiem vārdiem sakot, mēs varam veikt darbības ar 2√3 un 4√3, bet ne ar 2√3 un 2√7. Bet jūs varat veikt darbības, lai vienkāršotu radikālo izteiksmi, lai pēc tam novestu pie saknēm, kurām būs tādas pašas radikālas izteiksmes. Un tikai pēc tam sāciet pievienot vai atņemt.

Kvadrātsakņu saskaitīšanas un atņemšanas teorija

Pats princips ir ļoti vienkāršs. Un tas sastāvēs no trim darbībām. Mums ir jāvienkāršo radikālais izteiciens. Atrodiet iegūtās identiskās radikālas izteiksmes un pievienojiet vai atņemiet saknes.

Kā vienkāršot radikālu izteiksmi

Lai to izdarītu, jums ir jāpaplašina radikālais skaitlis, lai tas sastāvētu no diviem faktoriem. Galvenais nosacījums. Vienam no šiem skaitļiem ir jābūt kvadrātveida skaitlim (piemēram, 25 vai 9). Pēc šīs darbības mēs izņemam dotā sakni kvadrāta skaitlis. Un mēs rakstām šo skaitli savas saknes priekšā, un zem saknes mums paliek otrs faktors.

Piemēram, 6√50 – 2√8 + 5√12

6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Šeit mēs sadalām 50 divos faktoros 25 un 2. Tad ņemam kvadrātsakni no 25 (iegūstam skaitli 5) un izņemam to no saknes apakšas. Tālāk mēs reizinām 5 ar 6 un iegūstam 30√2

2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. IN dotos piemērus Mēs sadalām 8 divos skaitļos 4 un 2. Mēs ņemam sakni no 4 un ņemam iegūto skaitli kā sakni un reizinim ar skaitli, kas jau bija aiz saknes.

5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Šeit, tāpat kā iepriekš, mēs sadalām skaitli zem saknes divos skaitļos 4 un 3. Mēs izņemam sakni no 4. Mēs ņemam iegūto skaitli kā sakni un reizinim ar skaitli, kas atradās aiz saknes.

Rezultātā mēs pārveidojām vienādojumu 6√50 - 2√8 + 5√12 šādā formā 30√2 - 4√2 + 10√3

Mēs uzsveram saknes, kurām ir tādas pašas radikālas izpausmes

Mūsu piemērā 30√2 - 4√2 + 10√3 mēs izceļam 30√2 un 4√2, jo šiem skaitļiem ir viens un tas pats radikālais skaitlis 2.
Ja jūsu piemērā ir vairākas identiskas radikālas izteiksmes. Pasvītrojiet tos pašus ar dažādām līnijām.

Pievienojiet vai atņemiet mūsu saknes

Tagad mēs pievienojam vai atņemam skaitļus, kuriem ir vienādas radikālas izteiksmes. Un tas, ko atstājam saknē, paliek nemainīgs. Mērķis ir parādīt, cik sakņu ar noteiktām radikālām izteiksmēm ir dotajā vienādojumā.

Mūsu piemērā 30√2 - 4√2 + 10√3 mēs atņemam 4 no 30 un iegūstam 26√2

Mūsu piemērā atbilde būs šāda. 26√2 + 10√3

Sabibons - interesantākās lietas internetā

Kas ir matemātiskā sakne?

Šī darbība radās pretstatā paaugstināšanai. Matemātika ierosina divas pretējas darbības. Saskaitīšanai ir atņemšana. Reizināšana ir pretrunā ar dalīšanu. Pakāpes apgrieztā darbība ir atbilstošās saknes iegūšana.

Ja pakāpe ir divi, tad sakne būs kvadrātveida. Tas ir visizplatītākais skolas matemātikā. Tam pat nav norādes, ka tas ir kvadrāts, tas ir, blakus nav piešķirts skaitlis 2. Šī operatora (radikāļa) matemātiskais apzīmējums ir parādīts attēlā.

Tās definīcija vienmērīgi izriet no aprakstītās darbības. Lai iegūtu skaitļa kvadrātsakni, jums ir jānoskaidro, ko radikālā izteiksme dos, reizinot ar sevi. Šis skaitlis būs kvadrātsakne. Ja mēs to pierakstām matemātiski, mēs iegūstam sekojošo: x*x=x 2 =y, kas nozīmē √y=x.

Kādas darbības jūs varat veikt ar viņiem?

Sakne būtībā ir daļskaitlis ar vienu skaitītājā. Un saucējs var būt jebkas. Piemēram, kvadrātsaknei ir divi. Tāpēc visas darbības, kuras var veikt ar pilnvarām, būs derīgas arī saknēm.

Un prasības šīm darbībām ir vienādas. Ja reizināšana, dalīšana un kāpināšana skolēniem nesagādā grūtības, tad sakņu pievienošana, tāpat kā atņemšana, dažkārt rada neskaidrības. Un viss tāpēc, ka es vēlos veikt šīs darbības, neņemot vērā saknes zīmi. Un šeit sākas kļūdas.

Kādi ir saskaitīšanas un atņemšanas noteikumi?

Vispirms jums jāatceras divi kategoriski “nedrīkst”:

jūs nevarat veikt sakņu saskaitīšanu un atņemšanu, piemēram, pirmskaitļi, tas ir, nav iespējams zem vienas zīmes uzrakstīt radikālas summas izteiksmes un veikt ar tām matemātiskas darbības;
Jūs nevarat pievienot un atņemt saknes no dažādi rādītāji, piemēram, kvadrātveida un kubiskā.

Spilgts pirmā aizlieguma piemērs: √6 + √10 ≠ √16, bet √(6 + 10) = √16.

Otrajā gadījumā labāk ir aprobežoties ar pašu sakņu vienkāršošanu. Un atstājiet to summu atbildē.

Tagad pie noteikumiem

Atrodiet un grupējiet līdzīgas saknes. Tas ir, tiem, kuriem zem radikāļa ir ne tikai vienādi skaitļi, bet arī viņiem pašiem ir tāds pats rādītājs.
Pirmajā darbībā veiciet vienā grupā apvienoto sakņu pievienošanu. To ir viegli ieviest, jo jums ir jāpievieno tikai vērtības, kas parādās radikāļu priekšā.
Izvelciet to terminu saknes, kuros radikālā izteiksme veido veselu kvadrātu. Citiem vārdiem sakot, neatstājiet neko zem radikāļa zīmes.
Vienkāršojiet radikālas izteiksmes. Lai to izdarītu, tie ir jāsadala galvenie faktori un pārbaudiet, vai tie dod kāda skaitļa kvadrātu. Ir skaidrs, ka tā ir taisnība, ja mēs runājam par kvadrātsakni. Ja eksponents ir trīs vai četri, tad pirmfaktoriem ir jādod kubs vai skaitļa ceturtā pakāpe.
Izņemiet no zem radikāļa zīmes faktoru, kas dod visu spēku.
Skatiet, vai līdzīgi vienumi atkal parādās. Ja jā, atkārtojiet otro darbību vēlreiz.

Situācijā, kad uzdevums neprasa precīza vērtība sakne, to var aprēķināt uz kalkulatora. Noapaļojiet bezgalīgo decimāldaļu, kas parādās tās logā. Visbiežāk tas tiek darīts līdz simtdaļām. Un pēc tam veiciet visas darbības ar decimāldaļskaitļiem.

Šī ir visa informācija par to, kā pievienot saknes. Tālāk sniegtie piemēri ilustrē iepriekš minēto.

Pirmais uzdevums

Aprēķiniet izteiksmju vērtību:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 – 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) 275 √ √11 + 2√99 + 396.

a) Ja sekojat iepriekš minētajam algoritmam, jūs varat redzēt, ka šajā piemērā pirmajām divām darbībām nav nekā. Bet jūs varat vienkāršot dažus radikālus izteicienus.

Piemēram, sadaliet 32 divos faktoros 2 un 16; 18 būs vienāds ar 9 un 2 reizinājumu; 128 ir 2 pret 64. Ņemot to vērā, izteiksme tiks rakstīta šādi:

√2 + 3√ (2 * 16) + ½ √ (2 * 64) - 6 √ (2 * 9).

Tagad no zem radikālas zīmes ir jānoņem tie faktori, kas dod skaitļa kvadrātu. Tas ir 16 = 4 2, 9 = 3 2, 64 = 8 2. Izteiksmei būs šāda forma:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 – 6 * 3√2.

Mums ir nedaudz jāvienkāršo ieraksts. Lai to izdarītu, reiziniet koeficientus pirms saknes zīmēm:

√2 + 12√2 + 4 √2 — 12√2.

Šajā izteiksmē visi termini izrādījās līdzīgi. Tāpēc jums tie vienkārši jāsaloka. Atbilde būs: 5√2.

b) Līdzīgi kā iepriekšējā piemērā, sakņu pievienošana sākas ar to vienkāršošanu. Radikālās izteiksmes 75, 147, 48 un 300 tiks attēlotas šādos pāros: 5 un 25, 3 un 49, 3 un 16, 3 un 100. Katrs no tiem satur skaitli, ko var izņemt no saknes zīmes. :

5√5 — 7√3 + 4√3 — 1/5 * 10√3.

Pēc vienkāršošanas atbilde ir: 5√5 - 5√3. To var atstāt šādā formā, bet labāk ir izņemt kopējo koeficientu 5 no iekavām: 5 (√5 - √3).

c) Un atkal faktorizācija: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Pēc faktoru noņemšanas zem saknes zīmes mēs iegūstam:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Pēc līdzīgu nosacījumu ienesšanas iegūstam rezultātu: 7√11.

Piemērs ar daļskaitļu izteiksmēm

√(45/4) — √20 — 5√(1/18) — 1/6 √245 + √(49/2).

Jums būs jāaprēķina šādi skaitļi: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Līdzīgi tiem, kas jau tika apspriesti, jums ir jānoņem faktori no saknes zīmes. un vienkāršojiet izteicienu:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7) ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Šis izteiciens prasa atbrīvoties no iracionalitātes saucējā. Lai to izdarītu, jums jāreizina otrais termins ar √2/√2:

— 5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = — 5/3 √5 + 8/3 √2.

Lai pabeigtu darbības, jums ir jāatlasa visa faktoru daļa sakņu priekšā. Pirmajam tas ir 1, otrajam tas ir 2.

Sveicināti, kaķi! Iepriekšējā reizē mēs detalizēti apspriedām, kas ir saknes (ja neatceraties, iesaku izlasīt). Galvenais secinājumsšī mācība: ir tikai viena universāla sakņu definīcija, kas jums jāzina. Pārējais ir muļķības un laika izšķiešana.

Šodien mēs ejam tālāk. Mācīsimies reizināt saknes, pētīsim dažas problēmas, kas saistītas ar reizināšanu (ja šīs problēmas netiks atrisinātas, tās var kļūt liktenīgas eksāmenā) un pareizi praktizēsimies. Uzkrāj popkornu, iekārtojies ērti un sāksim :)

Arī tu to vēl neesi smēķējis, vai ne?

Nodarbība izvērtās diezgan gara, tāpēc sadalīju to divās daļās:

Vispirms apskatīsim reizināšanas noteikumus. Šķiet, ka vāciņš dod mājienu: tas ir tad, kad ir divas saknes, starp tām ir zīme “reizināt” - un mēs vēlamies ar to kaut ko darīt.
Tad paskatīsimies uz pretējo situāciju: ir viena liela sakne, bet mēs gribējām to pasniegt vienkāršāka divu sakņu produkta veidā. Kāpēc tas ir nepieciešams, ir atsevišķs jautājums. Mēs analizēsim tikai algoritmu.

Tie, kas nevar sagaidīt, lai nekavējoties pārietu uz otro daļu, laipni lūdzam. Sāksim ar pārējo secībā.

Reizināšanas pamatnoteikums

Sāksim ar vienkāršāko lietu – klasiskajām kvadrātsaknēm. Tie paši, kas apzīmēti ar $\sqrt(a)$ un $\sqrt(b)$. Viņiem viss ir skaidrs:

Reizināšanas noteikums. Lai reizinātu vienu kvadrātsakni ar citu, jums vienkārši jāreizina to radikālās izteiksmes un jāieraksta rezultāts zem kopējā radikāļa:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Labajā vai kreisajā pusē esošajiem skaitļiem netiek noteikti nekādi papildu ierobežojumi: ja pastāv saknes faktori, tad pastāv arī produkts.

Piemēri. Apskatīsim uzreiz četrus piemērus ar skaitļiem:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(līdzināt)\]

Kā redzat, šī noteikuma galvenā nozīme ir iracionālu izteicienu vienkāršošana. Un, ja pirmajā piemērā mēs paši būtu izvilkuši 25 un 4 saknes bez jauniem noteikumiem, tad lietas kļūst sarežģītas: $\sqrt(32)$ un $\sqrt(2)$ netiek uzskatīti par sevi, bet to reizinājums izrādās ideāls kvadrāts, tāpēc tā sakne ir vienāda ar racionālu skaitli.

Īpaši vēlos izcelt pēdējo rindiņu. Tur abas radikālas izteiksmes ir daļskaitļi. Pateicoties produktam, daudzi faktori tiek atcelti, un visa izteiksme pārvēršas par atbilstošu skaitli.

Protams, ne vienmēr viss būs tik skaisti. Reizēm zem saknēm būs pilnīgs bardaks – nav skaidrs, ko ar to darīt un kā pārveidot pēc pavairošanas. Nedaudz vēlāk, kad sāksi pētīt iracionālos vienādojumus un nevienādības, būs visādi mainīgie un funkcijas. Un ļoti bieži problēmu rakstītāji paļaujas uz to, ka jūs atklāsiet dažus atcelšanas nosacījumus vai faktorus, pēc kuriem problēma tiks daudzkārt vienkāršota.

Turklāt nepavisam nav nepieciešams pavairot tieši divas saknes. Jūs varat reizināt trīs, četrus vai pat desmit uzreiz! Tas nemainīs noteikumu. Paskaties:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(līdzināt)\]

Un atkal neliela piezīme par otro piemēru. Kā redzat, trešajā faktorā zem saknes ir decimāldaļdaļa - aprēķinu procesā mēs to aizstājam ar parasto, pēc kura viss tiek viegli samazināts. Tātad: es ļoti iesaku atbrīvoties no decimāldaļskaitļiem jebkurā neracionālas izpausmes(t.i., kas satur vismaz vienu radikālu simbolu). Tas nākotnē ietaupīs daudz laika un nervu.

Bet tā bija atkāpe. Tagad aplūkosim vispārīgāku gadījumu - kad saknes eksponents satur patvaļīgu skaitli $n$, nevis tikai “klasiskos” divus.

Patvaļīga rādītāja gadījums

Tātad, mēs esam sakārtojuši kvadrātsaknes. Ko darīt ar kubiskajiem? Vai pat ar patvaļīgas pakāpes saknēm $n$? Jā, viss ir vienāds. Noteikums paliek nemainīgs:

Lai reizinātu divas saknes ar pakāpi $n$, pietiek reizināt to radikālas izteiksmes un pēc tam rezultātu ierakstīt zem viena radikāļa.

Kopumā nekas sarežģīts. Izņemot to, ka aprēķinu apjoms var būt lielāks. Apskatīsim pāris piemērus:

Piemēri. Aprēķināt produktus:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3)) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(līdzināt)\]

Un atkal uzmanība otrajam izteicienam. Mēs vairojam kubu saknes, atbrīvoties no decimālzīme un rezultātā mēs iegūstam skaitļu 625 un 25 reizinājumu saucējā Tas ir diezgan liels skaits- Personīgi es nevaru uzreiz aprēķināt, ar ko tas ir vienāds.

Tāpēc mēs vienkārši izolējām precīzu kubu skaitītājā un saucējā un pēc tam izmantojām vienu no $n$th saknes galvenajām īpašībām (vai, ja vēlaties, definīciju):

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\right|. \\ \end(līdzināt)\]

Šādas “mahinācijas” var ietaupīt daudz laika eksāmenā vai pārbaudes darbs, tāpēc atcerieties:

Nesteidzieties reizināt skaitļus, izmantojot radikālas izteiksmes. Vispirms pārbaudiet: ja nu tur ir “šifrēta” precīza jebkuras izteiksmes pakāpe?

Neskatoties uz šīs piezīmes acīmredzamību, man jāatzīst, ka lielākā daļa nesagatavotu studentu neredz precīzus grādus tukšajā diapazonā. Tā vietā viņi visu reizina un tad brīnās: kāpēc viņi ieguva tik brutālus skaitļus?

Tomēr tas viss ir mazuļu runāšana, salīdzinot ar to, ko mēs tagad pētīsim.

Sakņu reizināšana ar dažādiem eksponentiem

Labi, tagad mēs varam reizināt saknes ar tiem pašiem rādītājiem. Ko darīt, ja rādītāji atšķiras? Teiksim, kā reizināt parastu $\sqrt(2)$ ar tādu muļķību kā $\sqrt(23)$? Vai to vispār ir iespējams izdarīt?

Jā protams var. Viss tiek darīts pēc šādas formulas:

Noteikums par sakņu pavairošanu. Lai reizinātu $\sqrt[n](a)$ ar $\sqrt[p](b)$, pietiek ar šādu pārveidošanu:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Tomēr šī formula darbojas tikai tad, ja radikālas izteiksmes nav negatīvas. Šī ir ļoti svarīga piezīme, pie kuras mēs atgriezīsimies nedaudz vēlāk.

Pagaidām apskatīsim pāris piemērus:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(līdzināt)\]

Kā redzat, nekas sarežģīts. Tagad izdomāsim, no kurienes radusies nenegatīvisma prasība un kas notiks, ja to pārkāpsim :)

Sakņu pavairošana ir vienkārša

Kāpēc radikālām izteiksmēm jābūt nenegatīvām?

Protams, tu vari būt līdzīgs skolas skolotāji un ar gudru izskatu citējiet mācību grāmatu:

Nenegatīvisma prasība ir saistīta ar dažādām pāra un nepāra pakāpes sakņu definīcijām (attiecīgi arī to definīcijas jomas ir atšķirīgas).

Nu ir kļuvis skaidrāks? Personīgi, lasot šīs muļķības 8. klasē, es sapratu apmēram tā: "Nenegatīvisma prasība ir saistīta ar *#&^@(*#@^#)~%" - īsi sakot, es sapratu. Es tajā laikā neko nesapratu. :)

Tāpēc tagad es visu izskaidrošu normālā veidā.

Vispirms noskaidrosim, no kurienes nāk iepriekš minētā reizināšanas formula. Lai to izdarītu, ļaujiet man atgādināt vienu svarīgu saknes īpašību:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Citiem vārdiem sakot, mēs varam viegli paaugstināt radikālo izteiksmi līdz jebkurai dabiskajai pakāpei $k$ - šajā gadījumā saknes eksponents būs jāreizina ar tādu pašu pakāpju. Tāpēc mēs varam viegli reducēt jebkuras saknes līdz kopējam eksponentam un pēc tam tās reizināt. Šeit nāk reizināšanas formula:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Bet ir viena problēma, kas krasi ierobežo visu šo formulu izmantošanu. Apsveriet šo skaitli:

Saskaņā ar tikko doto formulu mēs varam pievienot jebkuru grādu. Mēģināsim pievienot $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Mīnusu noņēmām tieši tāpēc, ka kvadrāts sadedzina mīnusu (tāpat kā jebkurš pāra grāds). Tagad veiksim apgriezto transformāciju: “samaziniet” abus eksponentā un jaudā. Galu galā jebkuru vienlīdzību var lasīt gan no kreisās uz labo, gan no labās uz kreiso:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\bultiņa pa labi \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(līdzināt)\]

Bet tad izrādās, ka tās ir kaut kādas muļķības:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Tas nevar notikt, jo $\sqrt(-5) \lt 0$ un $\sqrt(5) \gt 0$. Tas nozīmē, ka pāra pakāpēm un negatīviem skaitļiem mūsu formula vairs nedarbojas. Pēc tam mums ir divas iespējas:

Sit sienu un apgalvot, ka matemātika ir stulba zinātne, kur “ir daži noteikumi, bet tie ir neprecīzi”;
Ieviest papildu ierobežojumus, saskaņā ar kuriem formula darbosies 100% apmērā.

Pirmajā variantā mums būs pastāvīgi jāķer “nestrādājoši” gadījumi - tas ir sarežģīti, laikietilpīgi un parasti ir slikti. Tāpēc matemātiķi deva priekšroku otrajam variantam :)

Bet neuztraucieties! Praksē šis ierobežojums nekādi neietekmē aprēķinus, jo visas aprakstītās problēmas attiecas tikai uz nepāra pakāpes saknēm, un no tām var ņemt mīnusus.

Tāpēc formulēsim vēl vienu noteikumu, kas parasti attiecas uz visām darbībām ar saknēm:

Pirms sakņu pavairošanas pārliecinieties, ka radikālās izteiksmes nav negatīvas.

Piemērs. Skaitlī $\sqrt(-5)$ varat noņemt mīnusu zem saknes zīmes - tad viss būs normāli:

\[\begin(salīdzināt) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\bultiņa pa labi \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(līdzināt)\]

Vai jūtat atšķirību? Ja atstājat mīnusu zem saknes, tad, kad radikālā izteiksme ir kvadrātā, tā pazudīs, un sāksies blēņas. Un, ja vispirms izņemat mīnusu, tad varat kvadrātā/noņemt, līdz kļūstat zils - skaitlis paliks negatīvs :)

Tādējādi vispareizākais un visvairāk uzticams veids sakņu reizināšana ir šāda:

Noņemiet visus negatīvos no radikāļiem. Mīnusi pastāv tikai nepāra daudzveidības saknēs - tos var novietot saknes priekšā un, ja nepieciešams, samazināt (piemēram, ja ir divi no šiem mīnusiem).
Veiciet reizināšanu saskaņā ar noteikumiem, kas tika apspriesti iepriekš šodienas nodarbībā. Ja sakņu rādītāji ir vienādi, mēs vienkārši reizinām radikālas izteiksmes. Un, ja tie atšķiras, mēs izmantojam ļaunuma formulu \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3.Izbaudi rezultātu un labas atzīmes. :)

Nu? Praktizēsimies?

1. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(līdzināt)\]

Šis ir vienkāršākais variants: saknes ir vienādas un nepāra, vienīgā problēma ir tā, ka otrais faktors ir negatīvs. Mēs izņemam šo mīnusu no attēla, pēc kura viss ir viegli aprēķināts.

2. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( līdzināt)\]

Šeit daudzus mulsinātu fakts, ka iznākums izrādījās neracionāls skaitlis. Jā, tas notiek: mēs nevarējām pilnībā atbrīvoties no saknes, bet vismaz mēs ievērojami vienkāršojām izteiksmi.

3. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left(((() a)^(4)) \labais))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(līdzināt)\]

Es vēlos pievērst jūsu uzmanību šim uzdevumam. Šeit ir divi punkti:

Sakne nav konkrēts skaitlis vai pakāpe, bet gan mainīgais $a$. No pirmā acu uzmetiena tas ir nedaudz neparasti, bet patiesībā, risinot matemātiskas problēmas Visbiežāk jums būs jārisina mainīgie.
Galu galā mums izdevās “samazināt” radikālo rādītāju un radikālas izteiksmes pakāpi. Tas notiek diezgan bieži. Un tas nozīmē, ka bija iespējams ievērojami vienkāršot aprēķinus, ja neizmantojāt pamatformulu.

Piemēram, varat rīkoties šādi:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^() 4)) \labais))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\beigt(līdzināt)\]

Faktiski visas transformācijas tika veiktas tikai ar otro radikāli. Un, ja jūs detalizēti neaprakstīsit visus starpposmus, tad galu galā aprēķinu apjoms tiks ievērojami samazināts.

Faktiski mēs jau esam saskārušies ar līdzīgu uzdevumu iepriekš, kad atrisinājām $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ piemēru. Tagad to var uzrakstīt daudz vienkāršāk:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(līdzināt)\]

Nu, mēs esam sakārtojuši sakņu pavairošanu. Tagad apsveriet apgriezto darbību: ko darīt, ja zem saknes ir produkts?

Vienkāršākais veids, kā to izskaidrot, ir izmantot kvadrātsakni kā piemēru. Matemātikā ir vispāratzīts termins “kvadrātēšana”. “Kvadrātēšana” nozīmē noteikta skaitļa vienreizēju reizināšanu ar sevi.. Piemēram, ja jūs kvadrātā 2, jūs saņemsiet 4. Ja jūs kvadrātā 7, jūs saņemsiet 49. Kvadrāts no 9 ir 81. Tātad kvadrātsakne no 4 ir 2, no 49 ir 7 un no 81 ir 9.

Parasti šīs tēmas mācīšana matemātikā sākas ar kvadrātsaknēm. Lai to uzreiz noteiktu, vidusskolniekam no galvas jāzina reizināšanas tabula. Tiem, kas stingri nezina šo tabulu, ir jāizmanto padomi. Parasti skaitļa saknes kvadrāta iegūšanas process ir norādīts tabulas veidā uz daudzu skolas matemātikas piezīmju grāmatiņu vākiem.

Saknes ir šāda veida:

kvadrāts;
kubiskais (vai tā sauktā trešā pakāpe);
ceturtā pakāpe;
piektā pakāpe.

Papildināšanas noteikumi

Papildinājums nav atļauts uzdevumos, ja radikālās izteiksmes atšķiras viena no otras. To var ilustrēt ar skaidru piemēru:

Skolēns saskaras ar uzdevumu: pievienojiet kvadrātsakni no 4 un 9;
nepieredzējis students, kurš nezina noteikumu, parasti raksta: "4 sakne + 9 sakne = 13 sakne."
Ir ļoti viegli pierādīt, ka šis risinājums ir nepareizs. Lai to izdarītu, jāatrod kvadrātsakne no 13 un jāpārbauda, vai piemērs ir pareizi atrisināts;
izmantojot mikrokalkulatoru, var noteikt, ka tas ir aptuveni 3,6. Tagad atliek tikai pārbaudīt risinājumu;
sakne no 4=2 un sakne no 9=3;
Skaitļu “divi” un “trīs” summa ir pieci. Tādējādi šo risinājuma algoritmu var uzskatīt par nepareizu.

Ja saknēm ir vienāda pakāpe, bet dažādas skaitliskās izteiksmes, tas tiek izņemts no iekavām un ievietots iekavās divu radikālu izteiksmju summa. Tādējādi tas jau ir iegūts no šīs summas.

Papildināšanas algoritms

Lai pareizi atrisinātu visvienkāršāko problēmu, jums ir nepieciešams:

Nosakiet, kam tieši nepieciešams papildinājums.
Uzziniet, vai ir iespējams pievienot vērtības viena otrai, vadoties pēc esošajiem matemātikas noteikumiem.
Ja tie nav salokāmi, tie ir jāpārveido, lai tos varētu salocīt.
Pēc visu nepieciešamo pārveidojumu veikšanas jums ir jāveic pievienošana un jāpieraksta gatavā atbilde. Atkarībā no piemēra sarežģītības varat veikt saskaitīšanu galvā vai izmantojot mikrokalkulatoru.

Kādas ir līdzīgas saknes

Lai pareizi atrisinātu papildinājuma piemēru, vispirms jādomā, kā to var vienkāršot. Lai to izdarītu, jums ir jābūt pamatzināšanām par to, kas ir līdzība.

Atrodiet līdzīgus un sadaliet tos vienā grupā (vai vairākās grupās).
Pārrakstiet esošo piemēru tā, lai saknes, kurām ir viens un tas pats rādītājs, skaidri sekotu viena otrai (to sauc par “grupēšanu”).
Tālāk vēlreiz jāraksta izteiksme, šoreiz tā, lai līdzīgi (kuriem ir vienāds rādītājs un tāds pats radikālais skaitlis) sekotu viens otram.

Kad tas ir izdarīts, vienkāršoto piemēru parasti ir viegli atrisināt.

Lai pareizi atrisinātu jebkuru pievienošanas piemēru, jums ir skaidri jāsaprot pievienošanas pamatnoteikumi, kā arī jāzina, kas ir sakne un kāda tā var būt.

Dažkārt šādas problēmas no pirmā acu uzmetiena šķiet ļoti sarežģītas, taču parasti tās viegli atrisina, sagrupējot līdzīgas. Vissvarīgākais ir prakse, un tad skolēns sāks "šķelt problēmas kā riekstus". Sakņu pievienošana ir viena no svarīgākajām matemātikas daļām, tāpēc skolotājiem vajadzētu veltīt pietiekami daudz laika tās apguvei.

Video

Šis video palīdzēs jums saprast vienādojumus ar kvadrātsaknēm.

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

Ja nepieciešams, saskaņā ar likumu, tiesas process, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai pieprasījumiem no valdības aģentūrām Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.

1. fakts.
$\bullet$ Ņemsim kādu nenegatīvu skaitli $a$ (tas ir, $a\geqslant 0$ ). Tad (aritmētika) kvadrātsakne no skaitļa $a$ sauc šādu nenegatīvu skaitli $b$ , kad kvadrātā mēs iegūstam skaitli $a$ : \[\sqrt a=b\quad \text(tas pats kā )\quad a=b^2\] No definīcijas izriet, ka $a\geqslant 0, b\geqslant 0$. Šie ierobežojumi ir svarīgs nosacījums kvadrātsaknes esamību un tos vajadzētu atcerēties!
Atcerieties, ka jebkurš skaitlis kvadrātā dod nenegatīvu rezultātu. Tas ir, $100^2=10000\geqslant 0$ un $(-100)^2=10000\geqslant 0$ .
$\bullet$ Ar ko $\sqrt(25)$ ir vienāds? Mēs zinām, ka $5^2=25$ un $(-5)^2=25$ . Tā kā pēc definīcijas ir jāatrod nenegatīvs skaitlis, tad $-5$ nav piemērots, tāpēc $\sqrt(25)=5$ (jo $25=5^2$ ).
$\sqrt a$ vērtības atrašanu sauc par skaitļa $a$ kvadrātsakni, bet skaitli $a$ sauc par radikālu izteiksmi.
$\bullet$ Pamatojoties uz definīciju, izteiksme $\sqrt(-25)$, $\sqrt(-4)$ utt. nav jēgas.

2. fakts.
Ātriem aprēķiniem būs noderīgi apgūt kvadrātu tabulu naturālie skaitļi no $1$ līdz $20$ : \[\begin(masīvs)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(masīvs)\]

3. fakts.
Kādas darbības var veikt ar kvadrātsaknēm?
$\bullet$ Kvadrātsakņu summa vai starpība NAV VIENĀDA ar summas vai starpības kvadrātsakni, tas ir \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Tādējādi, ja nepieciešams aprēķināt, piemēram, $\sqrt(25)+\sqrt(49)$ , tad sākotnēji jāatrod vērtības $\sqrt(25)$ un $\ sqrt(49)$ un pēc tam salieciet tos. Tāpēc \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ja vērtības $\sqrt a$ vai $\sqrt b$ nevar atrast, pievienojot $\sqrt a+\sqrt b$, tad šāda izteiksme netiek tālāk pārveidota un paliek tāda, kāda tā ir. Piemēram, summā $\sqrt 2+ \sqrt (49)$ mēs varam atrast $\sqrt(49)$ ir $7$ , bet $\sqrt 2$ nevar pārveidot jebkurā gadījumā, tāpēc $\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7$. Diemžēl šo izteicienu nevar vēl vairāk vienkāršot$\bullet$ Kvadrātsakņu reizinājums/dalījums ir vienāds ar reizinājuma/dalījuma kvadrātsakni, tas ir \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (ar nosacījumu, ka abām vienlīdzības pusēm ir jēga)
Piemērs: $\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8$; $\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16$; $\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40$. $\bullet$ Izmantojot šos rekvizītus, ir ērti atrast kvadrātsaknes no lieli skaitļi
Apskatīsim piemēru. Atradīsim $\sqrt(44100)$ . Kopš $44100:100=441$ , tad $44100=100\cdot 441$ . Saskaņā ar dalāmības kritēriju skaitlis $441$ dalās ar $9$ (jo tā ciparu summa ir 9 un dalās ar 9), tāpēc $441:9=49$, tas ir, $441=9\ cdot 49$ .
Tā mēs saņēmām: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Apskatīsim citu piemēru: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
$\bullet$ Parādīsim, kā ievadīt skaitļus zem kvadrātsaknes zīmes, izmantojot izteiksmes $5\sqrt2$ piemēru (izteiksmes $5\cdot \sqrt2$ īss apzīmējums). Kopš $5=\sqrt(25)$ , tad \ Ņemiet vērā arī to, ka, piemēram,
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$ ,
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
3) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$ .

Kāpēc tas tā ir? Paskaidrosim, izmantojot 1. piemēru). Kā jūs jau saprotat, mēs nevaram kaut kā pārveidot skaitli $\sqrt2$. Iedomāsimies, ka $\sqrt2$ ir kāds skaitlis $a$ . Attiecīgi izteiksme $\sqrt2+3\sqrt2$ nav nekas cits kā $a+3a$ (viens cipars $a$ plus vēl trīs tādi paši skaitļi $a$). Un mēs zinām, ka tas ir vienāds ar četriem šādiem skaitļiem $a$ , tas ir, $4\sqrt2$ .

4. fakts.
$\bullet$ Viņi bieži saka "jūs nevarat izvilkt sakni", ja, atrodot skaitļa vērtību, nevarat atbrīvoties no saknes zīmes $\sqrt () \ $ . Piemēram, varat izmantot skaitļa $16$ sakni, jo $16=4^2$ , tāpēc $\sqrt(16)=4$ . Bet nav iespējams izvilkt skaitļa $3$ sakni, tas ir, atrast $\sqrt3$, jo nav skaitļa, kas kvadrātā dotu $3$ .
Šādi skaitļi (vai izteiksmes ar šādiem skaitļiem) ir neracionāli. Piemēram, skaitļi $\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)$ utt. ir neracionāli.
Iracionāli ir arī skaitļi $\pi$ (skaitlis "pi", aptuveni vienāds ar $3,14$), $e$ (šo skaitli sauc par Eilera skaitli, tas ir aptuveni vienāds ar $2,7) $) utt.
$\bullet$ Lūdzu, ņemiet vērā, ka jebkurš skaitlis būs racionāls vai neracionāls. Un kopā visi racionālie un visi iracionālie skaitļi veido kopu, ko sauc reālu skaitļu kopa.Šo kopu apzīmē ar burtu $\mathbb(R)$ .
Tas nozīmē, ka visi numuri, kas ir ieslēgti šobrīd mēs zinām, ka tos sauc par reāliem skaitļiem.

5. fakts.
$\bullet$ Reālā skaitļa modulis $a$ ir nenegatīvs skaitlis $|a|$, kas vienāds ar attālumu no punkta $a$ līdz $0$ uz īsta līnija. Piemēram, $|3|$ un $|-3|$ ir vienādi ar 3, jo attālumi no punktiem $3$ un $-3$ līdz $0$ ir vienāds un vienāds ar $3 $ .
$\bullet$ Ja $a$ ir nenegatīvs skaitlis, tad $|a|=a$ .
Piemērs: $|5|=5$ ; $\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$ .
$\bullet$ Ja $a$ ir negatīvs skaitlis, tad $|a|=-a$ . Piemērs: $|-5|=-(-5)=5$ ;.
$\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$
Viņi saka, ka negatīviem skaitļiem modulis “apēd” mīnusu, savukārt pozitīvos skaitļus, kā arī skaitli $0$ modulis atstāj nemainīgus. BET Šis noteikums attiecas tikai uz cipariem. Ja zem jūsu moduļa zīmes ir nezināms $x$ (vai kāds cits nezināms), piemēram, $|x|$ , par kuru mēs nezinām, vai tas ir pozitīvs, nulle vai negatīvs, tad atbrīvojieties no moduļa mēs nevaram. Šajā gadījumā šī izteiksme paliek nemainīga: $|x|$ .$\bullet$ Ir spēkā šādas formulas: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\]
\[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( nodrošināts ) a\geqslant 0\]Ļoti bieži tiek pieļauta šāda kļūda: viņi saka, ka $\sqrt(a^2)$ un $(\sqrt a)^2$ ir viens un tas pats. Tas ir taisnība tikai tad, ja $a$ ir pozitīvs skaitlis vai nulle. Bet, ja $a$ ir negatīvs skaitlis, tas ir nepatiess. Pietiek apsvērt šo piemēru. $a$ vietā ņemsim skaitli $-1$ . Tad $\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1$ , bet izteiksme $(\sqrt (-1))^2$ vispār nepastāv (galu galā, nav iespējams izmantot saknes zīmi likt negatīvus skaitļus!). Tāpēc mēs vēršam jūsu uzmanību uz to, ka $\sqrt(a^2)$ nav vienāds ar $(\sqrt a)^2$ ! Piemērs: 1)<0\) ;

$\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2$ , jo $-\sqrt2
\(\phantom(00000)$ 2) $(\sqrt(2))^2=2$ .
$\bullet$ Kopš $\sqrt(a^2)=|a|$ , tad \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
(izteiksme $2n$ apzīmē pāra skaitli)
Tas ir, iegūstot skaitļa sakni, kas ir zināmā mērā, šī pakāpe tiek samazināta uz pusi.
Piemērs:

1) $\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64$
2) $\sqrt((-25)^2)=|-25|=25$ (ņemiet vērā: ja modulis netiek piegādāts, izrādās, ka skaitļa sakne ir vienāda ar $-25$ ) bet atceramies, ka pēc saknes definīcijas tas nevar notikt: izvelkot sakni, vienmēr jāiegūst pozitīvs skaitlis vai nulle)
3) $\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8$ (jo jebkurš skaitlis līdz pāra pakāpei nav negatīvs)<\sqrt b\) , то $a\(\bullet$ Kopš $\sqrt(a^2)=|a|$ , tad \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
1) salīdziniet $\sqrt(50)$ un $6\sqrt2$ . Pirmkārt, pārveidosim otro izteiksmi par $\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)$. Tādējādi kopš $50<72$ , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
2) Starp kādiem veseliem skaitļiem atrodas $\sqrt(50)$?
Kopš $\sqrt(49)=7$ , $\sqrt(64)=8$ un $49<50<64$ , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
3) Salīdzināsim $\sqrt 2-1$ un $0,5$ . Pieņemsim, ka $\sqrt2-1>0,5$ : \[\begin(līdzināts) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((pievienot vienu abām pusēm))\\ &\sqrt2>0,5+1 \\big| \ ^2 \quad\text((abas puses kvadrātā))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(līdzināts)\] Mēs redzam, ka esam ieguvuši nepareizu nevienlīdzību. Tāpēc mūsu pieņēmums bija nepareizs un $\sqrt 2-1<0,5$ .
Ņemiet vērā, ka noteikta skaitļa pievienošana abām nevienlīdzības pusēm neietekmē tās zīmi. Abu nevienādības pušu reizināšana/dalīšana ar pozitīvu skaitli arī neietekmē tās zīmi, bet reizināšana/dalīšana ar negatīvu skaitli apvērš nevienādības zīmi!
Vienādojuma/nevienādības abas malas var izlikt kvadrātā TIKAI TAD, JA abas puses nav negatīvas. Piemēram, nevienādībā no iepriekšējā piemēra var kvadrātā abas puses, nevienādībā $-3<\sqrt2$ нельзя (убедитесь в этом сами)! $\bullet$ Jāatceras, ka \[\begin(līdzināts) &\sqrt 2\apmēram 1,4\\ &\sqrt 3\apmēram 1,7 \end(līdzināts)\]Šo skaitļu aptuvenās nozīmes pārzināšana palīdzēs skaitļu salīdzināšanā!
$\bullet$ Lai izvilktu sakni (ja to var izvilkt) no kāda liela skaitļa, kas nav kvadrātu tabulā, vispirms jānosaka, starp kuriem “simtiem” tas atrodas, tad – starp kuriem “ desmiti”, un pēc tam nosakiet šī skaitļa pēdējo ciparu. Parādīsim, kā tas darbojas ar piemēru.
Ņemsim $\sqrt(28224)$ . Mēs zinām, ka $100^2=10\,000$, $200^2=40\,000$ utt. Ņemiet vērā, ka $28224$ ir starp $10\,000$ un $40\,000$ . Tāpēc $\sqrt(28224)$ ir starp $100$ un $200$ .
Mēģināsim noteikt pēdējo ciparu. Atcerēsimies, kādi viencipara skaitļi, kad tie tiek likti kvadrātā, beigās dod $4$? Tie ir $2^2$ un $8^2$ . Tāpēc $\sqrt(28224)$ beigsies ar 2 vai 8. Pārbaudīsim to. Atradīsim $162^2$ un $168^2$ :
$162^2=162\cdot 162=26224$
$168^2=168\cdot 168=28224$ .
Tāpēc $\sqrt(28224)=168$ . Voila!

Lai adekvāti atrisinātu vienoto valsts eksāmenu matemātikā, vispirms ir jāapgūst teorētiskais materiāls, kas iepazīstina ar daudzām teorēmām, formulām, algoritmiem utt. No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka tas ir pavisam vienkārši. Taču atrast avotu, kurā matemātikas vienotā valsts eksāmena teorija tiek pasniegta viegli un saprotami skolēniem ar jebkura līmeņa sagatavotību, patiesībā ir diezgan grūts uzdevums. Skolas mācību grāmatas ne vienmēr var turēt pa rokai. Un matemātikas vienotā valsts eksāmena pamatformulu atrašana var būt sarežģīta pat internetā.

Kāpēc teoriju matemātikā ir tik svarīgi apgūt ne tikai vienotā valsts eksāmena kārtotājiem?

Jo tas paplašina redzesloku. Teorētiskā materiāla apgūšana matemātikā ir noderīga ikvienam, kurš vēlas saņemt atbildes uz visdažādākajiem jautājumiem, kas saistīti ar zināšanām par apkārtējo pasauli. Dabā viss ir sakārtots un tam ir skaidra loģika. Tas ir tieši tas, kas atspoguļojas zinātnē, caur kuru ir iespējams izprast pasauli.
Jo tas attīsta intelektu. Studējot uzziņas materiālus vienotajam valsts eksāmenam matemātikā, kā arī risinot dažādas problēmas, cilvēks mācās domāt un loģiski spriest, formulēt domas prasmīgi un skaidri. Viņš attīsta spēju analizēt, vispārināt un izdarīt secinājumus.

Aicinām personīgi izvērtēt visas priekšrocības, ko sniedz mūsu pieeja mācību materiālu sistematizēšanai un prezentācijai.