Tiešsaistes kalkulators.
Binoma kvadrāta izolēšana un kvadrātveida trinoma faktorēšana.

Šī matemātikas programma atšķir kvadrātveida binoma no kvadrātveida trinoma, t.i. veic šādas transformācijas:
\(ax^2+bx+c \labā bultiņa a(x+p)^2+q \) un faktorizē kvadrātveida trinomāls : \(ax^2+bx+c \labā bultiņa a(x+n)(x+m) \)

Tie. problēmas ir saistītas ar skaitļu \(p, q\) un \(n, m\) atrašanu.

Programma ne tikai sniedz atbildi uz problēmu, bet arī parāda risināšanas procesu.

Šī programma var būt noderīga vidusskolēniem vidusskolas gatavojoties testiem un eksāmeni, pārbaudot zināšanas pirms Vienotā valsts eksāmena, vecākiem, lai kontrolētu daudzu matemātikas un algebras uzdevumu risināšanu. Vai varbūt jums ir pārāk dārgi algot pasniedzēju vai iegādāties jaunas mācību grāmatas? Vai arī vēlaties to paveikt pēc iespējas ātrāk? mājasdarbs

matemātikā vai algebrā? Šajā gadījumā varat izmantot arī mūsu programmas ar detalizētiem risinājumiem.

Tādā veidā jūs varat vadīt savu apmācību un/vai jaunāko brāļu vai māsu apmācību, vienlaikus paaugstinot izglītības līmeni problēmu risināšanas jomā.

Ja neesat pazīstams ar kvadrātiskā trinoma ievadīšanas noteikumiem, iesakām iepazīties ar tiem.

Kvadrātiskā polinoma ievadīšanas noteikumi
Jebkurš latīņu burts var darboties kā mainīgais.

Piemēram: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) utt.
Skaitļus var ievadīt kā veselus vai daļskaitļus.

Turklāt daļskaitļus var ievadīt ne tikai decimāldaļas, bet arī parastās daļskaitļa formā.
Decimāldaļskaitļu ievadīšanas noteikumi.
Decimāldaļās daļskaitļu daļu no veselās daļas var atdalīt ar punktu vai komatu. Piemēram, varat ievadīt decimāldaļas

kā šis: 2,5x - 3,5x^2
Parasto daļskaitļu ievadīšanas noteikumi.

Tikai vesels skaitlis var darboties kā frakcijas skaitītājs, saucējs un vesels skaitlis.

Saucējs nevar būt negatīvs. /
Ievadot skaitlisko daļu, skaitītājs tiek atdalīts no saucēja ar dalījuma zīmi: &
Visa daļa ir atdalīta no frakcijas ar & zīmi:
Ievade: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2

Rezultāts: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\) Ievadot izteiksmi varat izmantot iekavas
. Šajā gadījumā, risinot, ieviestā izteiksme vispirms tiek vienkāršota.

Piemēram: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2) Piemērs

Binoma kvadrāta izolēšana.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Atbilde:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizācija.$$ ax^2+bx+c \labā bultiņa a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Atbilde:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Izlemiet

Tika atklāts, ka daži skripti, kas nepieciešami šīs problēmas risināšanai, netika ielādēti un programma var nedarboties.
Iespējams, jums ir iespējots AdBlock.
Šādā gadījumā atspējojiet to un atsvaidziniet lapu.

JavaScript jūsu pārlūkprogrammā ir atspējots.
Lai risinājums tiktu parādīts, jums ir jāiespējo JavaScript.
Šeit ir sniegti norādījumi par to, kā pārlūkprogrammā iespējot JavaScript.

Jo Ir daudz cilvēku, kas vēlas atrisināt problēmu, jūsu pieprasījums ir ievietots rindā.
Pēc dažām sekundēm zemāk parādīsies risinājums.
Lūdzu, uzgaidiet sek...

Ja jūs pamanīja kļūdu risinājumā, tad par to varat rakstīt atsauksmju veidlapā.
Neaizmirsti norādiet, kurš uzdevums tu izlem ko ievadiet laukos.

Mūsu spēles, puzles, emulatori:

Nedaudz teorijas.

Binoma kvadrāta atdalīšana no kvadrātveida trinoma

Ja kvadrātveida trinomu ax 2 +bx+c attēlo kā a(x+p) 2 +q, kur p un q ir reāli skaitļi, tad mēs sakām, ka no plkst. kvadrātveida trinomāls, binoma kvadrāts ir izcelts.

No trinoma 2x 2 +12x+14 izņemam binoma kvadrātu.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Lai to izdarītu, iedomājieties 6x kā reizinājumu no 2*3*x un pēc tam pievienojiet un atņemiet 3 2. Mēs iegūstam:
$2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Tas. Mēs izņemiet kvadrātveida binomiālu no kvadrātveida trinoma, un parādīja, ka:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Kvadrātiskā trinoma faktorēšana

Ja kvadrātveida trīsnoma ax 2 +bx+c ir attēlots formā a(x+n)(x+m), kur n un m ir reāli skaitļi, tad tiek uzskatīts, ka darbība ir veikta kvadrātiskā trinoma faktorizācija.

Parādīsim ar piemēru, kā šī transformācija tiek veikta.

Kvadrātiskā trīsnoma koeficients 2x2 +4x-6.

Izņemsim koeficientu a no iekavām, t.i. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Pārveidosim izteiksmi iekavās.
Lai to izdarītu, iedomājieties 2x kā starpību 3x-1x un -3 kā -1*3. Mēs iegūstam:
$$ = 2(x^2+3\cpunkts x-1 \cpunkts x-1\cpunkts 3) = 2(x(x+3)-1 \cpunkts (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Tas. Mēs aprēķina kvadrātisko trinomu, un parādīja, ka:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Ņemiet vērā, ka kvadrātiskā trinoma faktorēšana ir iespējama tikai tad, ja šim trinomam atbilstošajam kvadrātvienādojumam ir saknes.
Tie. mūsu gadījumā ir iespējams faktorēt trinomu 2x 2 +4x-6, ja kvadrātvienādojumam 2x 2 +4x-6 =0 ir saknes. Faktorizācijas procesā mēs noskaidrojām, ka vienādojumam 2x 2 + 4x-6 = 0 ir divas saknes 1 un -3, jo ar šīm vērtībām vienādojums 2(x-1)(x+3)=0 pārvēršas par patiesu vienādību.

Grāmatas (mācību grāmatas) Vienotā valsts eksāmena un vienotā valsts eksāmena testu tēzes tiešsaistē Spēles, puzles Funkciju grafiku zīmēšana Krievu valodas pareizrakstības vārdnīca Jauniešu slenga vārdnīca Krievu skolu katalogs Krievijas vidējo izglītības iestāžu katalogs Krievijas universitāšu katalogs Saraksts uzdevumiem

Polinomu paplašināšana, lai iegūtu produktu, dažkārt var šķist mulsinoša. Bet tas nav tik grūti, ja jūs saprotat procesu soli pa solim. Rakstā ir sīki aprakstīts, kā faktorēt kvadrātisko trinomu.

Daudzi cilvēki nesaprot, kā aprēķināt kvadrātveida trinomu un kāpēc tas tiek darīts. Sākumā tas var šķist veltīgs vingrinājums. Bet matemātikā nekas netiek darīts par velti. Transformācija ir nepieciešama, lai vienkāršotu izteiksmi un atvieglotu aprēķinu.

Polinoms ar formu – ax²+bx+c, sauc par kvadrātisko trinomu. Terminam "a" jābūt negatīvam vai pozitīvam. Praksē šo izteiksmi sauc par kvadrātvienādojumu. Tāpēc dažreiz viņi to saka savādāk: kā paplašināt kvadrātvienādojumu.

Interesanti! Polinomu sauc par kvadrātu tā paša dēļ lielā mērā- kvadrāts. Un trinomiāls - 3 komponentu dēļ.

Daži citi polinomu veidi:

• lineārais binomiāls (6x+8);
• kubiskais kvadrinoms (x³+4x²-2x+9).

Kvadrātiskā trinoma faktorēšana

Pirmkārt, izteiksme ir vienāda ar nulli, tad jums jāatrod sakņu vērtības x1 un x2. Var nebūt sakņu, var būt viena vai divas saknes. Sakņu klātbūtni nosaka diskriminants. Tā formula ir jāzina no galvas: D=b²-4ac.

Ja rezultāts D ir negatīvs, sakņu nav. Ja tas ir pozitīvs, tad ir divas saknes. Ja rezultāts ir nulle, sakne ir viens. Arī saknes aprēķina, izmantojot formulu.

Ja, aprēķinot diskriminantu, rezultāts ir nulle, varat izmantot jebkuru no formulām. Praksē formula ir vienkārši saīsināta: -b / 2a.

Formulas priekš dažādas nozīmes diskriminanti atšķiras.

Ja D ir pozitīvs:

Ja D ir nulle:

Tiešsaistes kalkulatori

Internetā ir tiešsaistes kalkulators. To var izmantot faktorizēšanas veikšanai. Daži resursi sniedz iespēju soli pa solim apskatīt risinājumu. Šādi pakalpojumi palīdz labāk izprast tēmu, taču jums ir jācenšas to labi izprast.

Noderīgs video: Kvadrātiskā trinoma faktorēšana

Piemēri

Aicinām apskatīt vienkāršus piemērus, kā faktorēt kvadrātvienādojumu.

1. piemērs

Tas skaidri parāda, ka rezultāts ir divi x, jo D ir pozitīvs. Tie ir jāaizstāj formulā. Ja saknes izrādās negatīvas, zīme formulā mainās uz pretējo.

Mēs zinām kvadrātiskā trinoma faktorēšanas formulu: a(x-x1)(x-x2). Mēs ievietojam vērtības iekavās: (x+3)(x+2/3). Pakāpē nav skaitļa pirms vārda. Tas nozīmē, ka tur ir viens, tas nokrīt.

2. piemērs

Šis piemērs skaidri parāda, kā atrisināt vienādojumu, kuram ir viena sakne.

Mēs aizstājam iegūto vērtību:

3. piemērs

Dots: 5x²+3x+7

Vispirms aprēķināsim diskriminantu, tāpat kā iepriekšējos gadījumos.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminants ir negatīvs, kas nozīmē, ka nav sakņu.

Pēc rezultāta saņemšanas jums vajadzētu atvērt iekavas un pārbaudīt rezultātu. Ir jāparādās sākotnējam trinominam.

Alternatīvs risinājums

Daži cilvēki nekad nav spējuši sadraudzēties ar diskriminētāju. Ir vēl viens veids, kā faktorizēt kvadrātisko trinomu. Ērtības labad metode ir parādīta ar piemēru.

Dots: x²+3x-10

Mēs zinām, ka mums vajadzētu iegūt 2 iekavas: (_) (_). Kad izteiksme izskatās šādi: x²+bx+c, katras iekavas sākumā ievietojam x: (x_)(x_). Atlikušie divi skaitļi ir reizinājums, kas dod "c", t.i., šajā gadījumā -10. Vienīgais veids, kā uzzināt, kādi ir šie skaitļi, ir atlase. Aizstātajiem skaitļiem jāatbilst atlikušajam termiņam.

Piemēram, reizinot šādus skaitļus, tiek iegūts -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1) (x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nē.
2. (x-10) (x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nē.
3. (x-5) (x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nē.
4. (x-2) (x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Der.

Tas nozīmē, ka izteiksmes x2+3x-10 transformācija izskatās šādi: (x-2)(x+5).

Svarīgi! Jums vajadzētu būt uzmanīgiem, lai nesajauktu zīmes.

Sarežģīta trinoma paplašināšana

Ja “a” ir lielāks par vienu, sākas grūtības. Bet viss nav tik grūti, kā šķiet.

Lai veiktu faktorizāciju, vispirms ir jānoskaidro, vai kaut ko var izslēgt.

Piemēram, ņemot vērā izteiksmi: 3x²+9x-30. Šeit skaitlis 3 tiek izņemts no iekavām:

3(x²+3x-10). Rezultāts ir jau labi zināmais trinomiāls. Atbilde izskatās šādi: 3(x-2)(x+5)

Kā sadalīt, ja laukā esošais vārds ir negatīvs? IN šajā gadījumā Skaitlis -1 tiek izņemts no iekavām. Piemēram: -x²-10x-8. Pēc tam izteiksme izskatīsies šādi:

Shēma maz atšķiras no iepriekšējās. Ir tikai dažas jaunas lietas. Pieņemsim, ka ir dota izteiksme: 2x²+7x+3. Atbilde ir ierakstīta arī 2 iekavās, kuras jāaizpilda (_)(_). 2. iekavā ir rakstīts x, bet 1. kas ir palicis. Tas izskatās šādi: (2x_) (x_). Pretējā gadījumā tiek atkārtota iepriekšējā shēma.

Skaitlis 3 tiek dots ar skaitļiem:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Mēs atrisinām vienādojumus, aizstājot šos skaitļus. Der pēdējais variants. Tas nozīmē, ka izteiksmes 2x²+7x+3 transformācija izskatās šādi: (2x+1)(x+3).

Citi gadījumi

Ne vienmēr ir iespējams pārvērst izteiksmi. Izmantojot otro metodi, vienādojuma atrisināšana nav nepieciešama. Bet iespēju terminus pārveidot par preci pārbauda tikai ar diskriminantu.

Ir vērts praktizēt kvadrātvienādojumu risināšanu, lai, izmantojot formulas, nerastos grūtības.

Noderīgs video: trinoma faktorēšana

Secinājums

Jūs varat to izmantot jebkurā veidā. Bet labāk ir praktizēt abus, līdz tie kļūst automātiski. Tāpat ir jāiemācās labi atrisināt kvadrātvienādojumus un faktoru polinomus tiem, kuri plāno savu dzīvi saistīt ar matemātiku. Visas turpmākās matemātikas tēmas ir balstītas uz to.

Kvadrātisko trinomu faktorēšana ir viens no skolas uzdevumiem, ar ko agrāk vai vēlāk saskaras ikviens. Kā to izdarīt? Kāda ir kvadrātiskā trinoma faktorēšanas formula? Noskaidrosim to soli pa solim, izmantojot piemērus.

Vispārējā formula

Kvadrātveida trinomu faktorizēšana tiek veikta, risinot kvadrātvienādojums. Šī ir vienkārša problēma, kuru var atrisināt ar vairākām metodēm – atrodot diskriminantu, izmantojot Vietas teorēmu, ir arī grafisks risinājums. Pirmās divas metodes tiek apgūtas vidusskolā.

Vispārējā formula izskatās šādi:lx 2 + kx + n = l (x-x 1) (x-x 2) (1)

Algoritms uzdevuma izpildei

Lai faktorētu kvadrātiskos trinomus, ir jāzina Vitas teorēma, pie rokas jābūt atrisināšanas programmai, jāprot grafiski atrast risinājumu vai meklēt otrās pakāpes vienādojuma saknes, izmantojot diskriminanta formulu. Ja ir dots kvadrātveida trinomāls un tas ir jāfaktorizē, algoritms ir šāds:

1) Pielīdziniet sākotnējo izteiksmi nullei, lai iegūtu vienādojumu.

2) Norādiet līdzīgus terminus (ja nepieciešams).

3) Atrodiet saknes, izmantojot jebkuru zināmu metodi. Grafisko metodi vislabāk izmantot, ja ir iepriekš zināms, ka saknes ir veseli skaitļi un mazi skaitļi. Jāatceras, ka sakņu skaits ir vienāds ar maksimālo vienādojuma pakāpi, tas ir, kvadrātvienādojumam ir divas saknes.

4) Aizstājiet vērtību X izteiksmē (1).

5) Pierakstiet kvadrātisko trinomu faktorizāciju.

Piemēri

Prakse ļauj beidzot saprast, kā šis uzdevums tiek veikts. Šie piemēri ilustrē kvadrātiskā trinoma faktorizāciju:

ir nepieciešams paplašināt izteiksmi:

Izmantosim mūsu algoritmu:

1) x 2 -17x+32=0

2) līdzīgi termini tiek samazināti

3) izmantojot Vietas formulu, šim piemēram ir grūti atrast saknes, tāpēc labāk ir izmantot izteiksmi diskriminantam:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Aizstāsim atrastās saknes sadalīšanās pamatformulā:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Tad atbilde būs:

x 2 -17x+32=(x-2,155) (x-14,845)

Pārbaudīsim, vai diskriminanta atrastie risinājumi atbilst Vietas formulām:

14,845 . 2,155=32

Šīm saknēm tiek piemērota Vietas teorēma, tās tika atrastas pareizi, kas nozīmē, ka arī iegūtā faktorizācija ir pareiza.

Līdzīgi izvērsim 12x2 + 7x-6.

x 1 = -7+(337) 1/2

x 2 = -7-(337)1/2

Iepriekšējā gadījumā risinājumi bija nevis veseli skaitļi, bet gan reāli skaitļi, kurus ir viegli atrast, ja tev priekšā ir kalkulators. Tagad apskatīsim vairāk sarežģīts piemērs, kurā saknes būs sarežģītas: koeficients x 2 + 4x + 9. Izmantojot Vietas formulu, saknes nevar atrast, un diskriminants ir negatīvs. Saknes atradīsies kompleksajā plaknē.

D=-20

Pamatojoties uz to, mēs iegūstam mūs interesējošās saknes -4+2i*5 1/2 un -4-2i * 5 1/2 kopš (-20) 1/2 = 2i*5 1/2.

Mēs iegūstam vēlamo sadalīšanos, aizstājot saknes vispārējā formulā.

Vēl viens piemērs: izteiksme ir jāfaktorē 23x2 -14x+7.

Mums ir vienādojums 23x2 -14x+7 =0

D=-448

Tas nozīmē, ka saknes ir 14+21.166i un 14-21.166i. Atbilde būs:

23x2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Sniegsim piemēru, ko var atrisināt bez diskriminanta palīdzības.

Pieņemsim, ka mums ir jāpaplašina kvadrātvienādojums x 2 -32x+255. Acīmredzot to var atrisināt arī izmantojot diskriminantu, bet šajā gadījumā ātrāk atrast saknes.

x 1 =15

x 2 =17

Līdzekļi x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).

Kvadrātveida trinomija tiek saukts par trinomālu formā a*x 2 +b*x+c, kur a,b,c ir daži patvaļīgi reāli skaitļi, un x ir mainīgais. Turklāt skaitlim a nevajadzētu būt vienādam ar nulli.

Skaitļus a,b,c sauc par koeficientiem. Skaitli a sauc par vadošo koeficientu, skaitli b ir koeficienta x, un skaitli c sauc par brīvo terminu.

Kvadrātveida trinoma sakne a*x 2 +b*x+c ir jebkura mainīgā x vērtība, kurā kvadrātveida trinomāls a*x 2 +b*x+c pazūd.

Lai atrastu kvadrātiskā trinoma saknes, ir jāatrisina kvadrātvienādojums formā a*x 2 +b*x+c=0.

Kā atrast kvadrātveida trinoma saknes

Lai to atrisinātu, varat izmantot kādu no zināmajām metodēm.

• 1 veids.

Kvadrātveida trinoma sakņu atrašana, izmantojot formulu.

1. Atrodiet diskriminanta vērtību, izmantojot formulu D =b 2 -4*a*c.

2. Atkarībā no diskriminanta vērtības aprēķiniet saknes, izmantojot formulas:

Ja D > 0, tad kvadrātveida trinomim ir divas saknes.

x = -b±√D / 2*a

Ja D< 0, tad kvadrātveida trinomim ir viena sakne.

Ja diskriminants ir negatīvs, tad kvadrātveida trinomim nav sakņu.

• 2. metode.

Kvadrātiskā trinoma sakņu atrašana, izolējot pilns kvadrāts. Apskatīsim dotā kvadrātiskā trinoma piemēru. Samazināts kvadrātvienādojums, kura vadošais koeficients ir vienāds ar vienu.

Atradīsim kvadrātiskā trinoma x 2 +2*x-3 saknes. Lai to izdarītu, atrisinām šādu kvadrātvienādojumu: x 2 +2*x-3=0;

Pārveidosim šo vienādojumu:

Vienādojuma kreisajā pusē ir polinoms x 2 +2*x, lai to attēlotu kā summas kvadrātu, ir jābūt vēl vienam koeficientam, kas vienāds ar 1. Saskaitot un atņemot no šīs izteiksmes 1, mēs iegūstam :

(x 2 +2*x+1) -1=3

Ko var attēlot iekavās kā binoma kvadrātu

Šis vienādojums sadalās divos gadījumos: vai nu x+1=2, vai x+1=-2.

Pirmajā gadījumā mēs saņemam atbildi x=1, bet otrajā – x=-3.

Atbilde: x=1, x=-3.

Pārveidojumu rezultātā kreisajā pusē jāiegūst binoma kvadrāts, bet labajā pusē - noteikts skaitlis. Labajā pusē nedrīkst būt mainīgais.

Kvadrātveida trinoma sakni var atrast, izmantojot diskriminantu. Turklāt otrās pakāpes reducētajam polinomam tiek piemērota Vietas teorēma, kuras pamatā ir koeficientu attiecība.

Norādījumi

• Kvadrātvienādojumi ir diezgan plašs temats skolas algebrā. Šāda vienādojuma kreisā puse ir A x² + B x + C formas otrās pakāpes polinoms, t.i. trīs dažādas pakāpes nezināma x monomu izteiksme. Lai atrastu kvadrātveida trinoma sakni, jāaprēķina x vērtība, pie kuras šī izteiksme ir vienāda ar nulli.
• Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu, jāatrod diskriminants. Tā formula ir polinoma pilnā kvadrāta izolēšanas rezultāts un attēlo noteiktu tā koeficientu attiecību: D = B² – 4 A C.
• Diskriminants var paņemt dažādas nozīmes, tostarp būt negatīvam. Un, ja jaunāki skolēni var ar atvieglojumu teikt, ka šādam vienādojumam nav sakņu, tad vidusskolēni jau spēj tos noteikt, balstoties uz komplekso skaitļu teoriju. Tātad var būt trīs iespējas: Diskriminants – pozitīvs skaitlis. Tad vienādojuma saknes ir vienādas: x1 = (-B + √D)/2 A; x2 = (-B - √D)/2 A;
  Diskriminants aizgāja uz nulli. Teorētiski arī šajā gadījumā vienādojumam ir divas saknes, bet praktiski tās ir vienādas: x1 = x2 = -B/2 A;
  Diskriminants ir mazāks par nulli. Aprēķinos tiek ievadīta noteikta vērtība i² = -1, kas ļauj rakstīt visaptverošs risinājums: x1 = (-B + i √|D|)/2 A; x2 = (-B - i √|D|)/2 A.
• Diskriminējošā metode ir derīga jebkuram kvadrātvienādojumam, taču ir situācijas, kad ieteicams izmantot vairāk ātrs veids, īpaši maziem veseliem skaitļiem. Šo metodi sauc par Vietas teorēmu, un tā sastāv no attiecību pāra starp koeficientiem reducētajā trinomā: x² + P x + Q
  x1 + x2 = -P;
  x1 x2 = Q. Atliek tikai atrast saknes.
• Jāatzīmē, ka vienādojumu var reducēt līdz līdzīgai formai. Lai to izdarītu, visi trinoma vārdi ir jāsadala ar lielākās jaudas A koeficientu: A x² + B x + C |A
  x² + B/A x + C/A
  x1 + x2 = -B/A;
  x1 x2 = C/A.