>

Kā pievienot saknes ar dažādiem rādītājiem. Kvadrātsakne. Darbības ar kvadrātsaknēm. Modulis. Kvadrātsakņu salīdzinājums

Tēma par kvadrātsaknēm ir obligāta skolas mācību programma matemātikas kurss. Atrisinot kvadrātvienādojumus, bez tiem neiztikt. Un vēlāk kļūst nepieciešams ne tikai iegūt saknes, bet arī veikt ar tām citas darbības. Starp tiem ir diezgan sarežģīti: kāpināšana, reizināšana un dalīšana. Bet ir arī pavisam vienkārši: sakņu atņemšana un pievienošana. Starp citu, tie tādi šķiet tikai no pirmā acu uzmetiena. Tos izpildīt bez kļūdām ne vienmēr ir viegli kādam, kurš tikai sāk ar tiem iepazīties.

Kas ir matemātiskā sakne?

Šī darbība radās pretstatā paaugstināšanai. Matemātika ierosina divas pretējas darbības. Saskaitīšanai ir atņemšana. Reizināšana ir pretrunā ar dalīšanu. Pakāpes apgrieztā darbība ir atbilstošās saknes iegūšana.

Ja pakāpe ir divi, tad sakne būs kvadrātveida. Tas ir visizplatītākais skolas matemātikā. Tam pat nav norādes, ka tas ir kvadrāts, tas ir, blakus nav piešķirts skaitlis 2. Šī operatora (radikāļa) matemātiskais apzīmējums ir parādīts attēlā.

Tās definīcija vienmērīgi izriet no aprakstītās darbības. Lai iegūtu skaitļa kvadrātsakni, jums ir jānoskaidro, ko radikālā izteiksme dos, reizinot ar sevi. Šis skaitlis būs kvadrātsakne. Ja mēs to pierakstām matemātiski, mēs iegūstam sekojošo: x*x=x 2 =y, kas nozīmē √y=x.

Kādas darbības jūs varat veikt ar viņiem?

Sakne būtībā ir daļskaitlis ar vienu skaitītājā. Un saucējs var būt jebkas. Piemēram, plkst kvadrātsakne tas ir vienāds ar diviem. Tāpēc visas darbības, kuras var veikt ar pilnvarām, būs derīgas arī saknēm.

Un prasības šīm darbībām ir vienādas. Ja reizināšana, dalīšana un kāpināšana skolēniem nesagādā grūtības, tad sakņu pievienošana, tāpat kā atņemšana, dažkārt rada neskaidrības. Un viss tāpēc, ka es vēlos veikt šīs darbības, neņemot vērā saknes zīmi. Un šeit sākas kļūdas.

Kādi ir saskaitīšanas un atņemšanas noteikumi?

Vispirms jums jāatceras divi kategoriski “nedrīkst”:

  • nav iespējams veikt sakņu saskaitīšanu un atņemšanu, kā ar pirmskaitļiem, tas ir, nav iespējams zem vienas zīmes uzrakstīt summas radikālas izteiksmes un veikt ar tām matemātiskas darbības;
  • Jūs nevarat pievienot un atņemt saknes ar dažādiem eksponentiem, piemēram, kvadrātu un kubikmetru.

Spilgts pirmā aizlieguma piemērs: √6 + √10 ≠ √16, bet √(6 + 10) = √16.

Otrajā gadījumā labāk ir aprobežoties ar pašu sakņu vienkāršošanu. Un atstājiet to summu atbildē.

Tagad pie noteikumiem

  1. Atrodiet un grupējiet līdzīgas saknes. Tas ir, tiem, kuriem zem radikāļa ir ne tikai vienādi skaitļi, bet arī viņiem pašiem ir tāds pats rādītājs.
  2. Pirmajā darbībā veiciet vienā grupā apvienoto sakņu pievienošanu. To ir viegli ieviest, jo jums ir jāpievieno tikai vērtības, kas parādās radikāļu priekšā.
  3. Izvelciet to terminu saknes, kuros radikālā izteiksme veido veselu kvadrātu. Citiem vārdiem sakot, neatstājiet neko zem radikāļa zīmes.
  4. Vienkāršojiet radikālas izteiksmes. Lai to izdarītu, tie ir jāsadala galvenie faktori un pārbaudiet, vai tie dod kāda skaitļa kvadrātu. Ir skaidrs, ka tā ir taisnība, ja mēs runājam par kvadrātsakni. Ja eksponents ir trīs vai četri, tad pirmfaktoriem ir jādod kubs vai skaitļa ceturtā pakāpe.
  5. Izņemiet no zem radikāļa zīmes faktoru, kas dod visu spēku.
  6. Skatiet, vai līdzīgi vienumi atkal parādās. Ja jā, tad vēlreiz veiciet otro darbību.

Situācijā, kad uzdevums neprasa precīza vērtība sakne, to var aprēķināt uz kalkulatora. Bezgalīgs decimālzīme, kas tiks parādīts tā logā, noapaļo uz augšu. Visbiežāk tas tiek darīts līdz simtdaļām. Un pēc tam veiciet visas darbības ar decimāldaļskaitļiem.

Šī ir visa informācija par to, kā pievienot saknes. Tālāk sniegtie piemēri ilustrē iepriekš minēto.

Pirmais uzdevums

Aprēķiniet izteiksmju vērtību:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) 275 √ √11 + 2√99 + 396.

a) Ja sekojat iepriekš minētajam algoritmam, jūs varat redzēt, ka šajā piemērā pirmajām divām darbībām nav nekā. Bet jūs varat vienkāršot dažus radikālus izteicienus.

Piemēram, sadaliet 32 ​​divos faktoros 2 un 16; 18 būs vienāds ar 9 un 2 reizinājumu; 128 ir 2 pret 64. Ņemot to vērā, izteiksme tiks rakstīta šādi:

√2 + 3√ (2 * 16) + ½ √ (2 * 64) - 6 √ (2 * 9).

Tagad jums ir jānoņem no zem radikālas zīmes tie faktori, kas dod skaitļa kvadrātu. Tas ir 16 = 4 2, 9 = 3 2, 64 = 8 2. Izteiksmei būs šāda forma:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Mums ir nedaudz jāvienkāršo ierakstīšana. Lai to izdarītu, reiziniet koeficientus pirms saknes zīmēm:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

Šajā izteiksmē visi termini izrādījās līdzīgi. Tāpēc jums tie vienkārši jāsaloka. Atbilde būs: 5√2.

b) Līdzīgi kā iepriekšējā piemērā, sakņu pievienošana sākas ar to vienkāršošanu. Radikālās izteiksmes 75, 147, 48 un 300 tiks attēlotas šādos pāros: 5 un 25, 3 un 49, 3 un 16, 3 un 100. Katrs no tiem satur skaitli, ko var izņemt no saknes zīmes. :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Pēc vienkāršošanas atbilde ir: 5√5 - 5√3. To var atstāt šādā formā, bet labāk ir izņemt kopējo koeficientu 5 no iekavām: 5 (√5 - √3).

c) Un atkal faktorizācija: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Pēc faktoru noņemšanas zem saknes zīmes mēs iegūstam:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Pēc līdzīgu nosacījumu ienesšanas iegūstam rezultātu: 7√11.

Piemērs ar daļskaitļu izteiksmēm

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Jums būs jāaprēķina šādi skaitļi: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Līdzīgi tiem, kas jau tika apspriesti, jums ir jānoņem faktori no saknes zīmes. un vienkāršojiet izteicienu:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7) ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Šis izteiciens prasa atbrīvoties no iracionalitātes saucējā. Lai to izdarītu, jums jāreizina otrais termins ar √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Lai pabeigtu darbības, jums ir jāatlasa visa faktoru daļa sakņu priekšā. Pirmajam tas ir 1, otrajam tas ir 2.

Skaitļa kvadrātsakne X izsauktais numurs A, kas vairošanās procesā pati par sevi ( A*A) var dot skaitli X.
Tie. A * A = A 2 = X, Un √X = A.

Virs kvadrātsaknēm ( √x), tāpat kā citus skaitļus, varat veikt aritmētiskas darbības, piemēram, atņemšanu un saskaitīšanu. Lai atņemtu un pievienotu saknes, tās ir jāsavieno, izmantojot zīmes, kas atbilst šīm darbībām (piemēram, √x - √y ).
Un pēc tam nogādājiet saknes to vienkāršākajā formā - ja starp tām ir līdzīgas, ir nepieciešams veikt samazinājumu. Tas sastāv no līdzīgu terminu koeficientu ņemšanas ar atbilstošo terminu zīmēm, pēc tam ievietojot tos iekavās un izslēdzot kopējo sakni ārpus faktora iekavām. Iegūtais koeficients ir vienkāršots saskaņā ar parastajiem noteikumiem.

1. darbība: kvadrātsakņu iegūšana

Pirmkārt, par papildinājumu kvadrātsaknes Vispirms jums ir nepieciešams iegūt šīs saknes. To var izdarīt, ja skaitļi zem saknes zīmes ir ideāli kvadrāti. Piemēram, ņemiet doto izteiksmi √4 + √9 . Pirmais numurs 4 ir skaitļa kvadrāts 2 . Otrais numurs 9 ir skaitļa kvadrāts 3 . Tādējādi mēs varam iegūt šādu vienādību: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Tas ir viss, piemērs ir atrisināts. Bet tas ne vienmēr notiek tik viegli.

2. solis. Skaitļa reizinātāja izvilkšana no zem saknes

Ja pilni kvadrāti nē zem saknes zīmes, varat mēģināt noņemt skaitļa reizinātāju no zem saknes zīmes. Piemēram, ņemsim izteiksmi √24 + √54 .

Nosakiet skaitļus:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Starp 24 mums ir reizinātājs 4 , to var izņemt zem kvadrātsaknes zīmes. Starp 54 mums ir reizinātājs 9 .

Mēs iegūstam vienlīdzību:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Ņemot vērā šo piemēru, mēs iegūstam reizinātāja noņemšanu no zem saknes zīmes, tādējādi vienkāršojot doto izteiksmi.

3. darbība: saucēja samazināšana

Apsveriet šādu situāciju: divu kvadrātsakņu summa ir frakcijas saucējs, piemēram, A/(√a + √b).
Tagad mēs saskaramies ar uzdevumu “atbrīvoties no iracionalitātes saucējā”.
Izmantosim šādu metodi: reiziniet daļskaitļa skaitītāju un saucēju ar izteiksmi √a - √b.

Tagad saucējā mēs iegūstam saīsinātu reizināšanas formulu:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Līdzīgi, ja saucējam ir saknes atšķirība: √a - √b, daļskaitļa skaitītājs un saucējs tiek reizināts ar izteiksmi √a + √b.

Kā piemēru ņemsim daļu:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Kompleksā saucēja samazināšanas piemērs

Tagad apsvērsim pietiekami daudz sarežģīts piemērs atbrīvojoties no iracionalitātes saucējā.

Piemēram, ņemsim daļu: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Jums jāņem tā skaitītājs un saucējs un jāreizina ar izteiksmi √2 + √3 - √5 .

Mēs iegūstam:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

4. darbība. Aprēķiniet aptuveno vērtību kalkulatorā

Ja nepieciešama tikai aptuvenā vērtība, to var izdarīt, izmantojot kalkulatoru, aprēķinot kvadrātsakņu vērtību. Vērtību aprēķina katram skaitlim atsevišķi un pieraksta ar nepieciešamo precizitāti, ko nosaka pēc decimālzīmju skaita. Tālāk tiek veiktas visas nepieciešamās darbības, tāpat kā ar parastajiem cipariem.

Aptuvenās vērtības aprēķināšanas piemērs

Ir nepieciešams aprēķināt šīs izteiksmes aptuveno vērtību √7 + √5 .

Rezultātā mēs iegūstam:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Lūdzu, ņemiet vērā: nekādā gadījumā nevajadzētu pievienot kvadrātsaknes, piemēram pirmskaitļi, tas ir pilnīgi nepieņemami. Tas ir, ja mēs saskaitām kvadrātsakni no pieci un kvadrātsakni no trīs, mēs nevaram iegūt kvadrātsakni no astoņiem.

Noderīgs padoms: ja nolemjat faktorēt skaitli, lai atvasinātu kvadrātu zem saknes zīmes, jums ir jāveic apgrieztā pārbaude, tas ir, jāreizina visi aprēķinu rezultātā iegūtie faktori un tā gala rezultāts. matemātiskajam aprēķinam jābūt skaitlim, kas mums sākotnēji tika dots.

Skaitļa x kvadrātsakne ir skaitlis a, kuru reizinot ar sevi, iegūst skaitli x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Tāpat kā ar jebkuru skaitļu, jūs varat veikt aritmētiskās saskaitīšanas un atņemšanas darbības ar kvadrātsaknēm.

Instrukcijas

1. Pirmkārt, pievienojot kvadrātsaknes, mēģiniet iegūt šīs saknes. Tas būs pieņemami, ja skaitļi zem saknes zīmes ir ideāli kvadrāti. Pieņemsim, ka dotā izteiksme ir ?4 + ?9. Pirmais skaitlis 4 ir skaitļa 2 kvadrāts. Otrais skaitlis 9 ir skaitļa 3 kvadrāts. Tādējādi iznāk, ka: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Ja zem saknes zīmes nav pilnu kvadrātu, mēģiniet pārvietot skaitļa reizinātāju no zem saknes zīmes. Teiksim, teiksim, ka izteiksme ir dota?24 +?54. Salīdziniet skaitļus: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Skaitlim 24 ir koeficients 4, ko var pārnest no kvadrātsaknes zīmes. Skaitļa 54 koeficients ir 9. Tādējādi izrādās, ka: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . IN šajā piemērā Rezultātā faktora noņemšana zem saknes zīmes radīja dotās izteiksmes vienkāršošanu.

3. Lai daļskaitļa saucējs ir 2 kvadrātsakņu summa, teiksim A / (?a + ?b). Un lai jūsu uzdevums būtu "atbrīvoties no iracionalitātes saucējā". Pēc tam varat izmantot nākamo metodi. Daļas skaitītāju un saucēju reiziniet ar izteiksmi ?a - ?b. Tādējādi saucējs saturēs saīsinātu reizināšanas formulu: (?a + ?b) * (?a - ?b) = a - b. Pēc analoģijas, ja saucējs satur starpību starp saknēm: ?a - ?b, tad daļskaitļa skaitītājs un saucējs jāreizina ar izteiksmi ?a + ?b. Piemēram, pieņemsim, ka daļa 4 / (?3 +?5) = 4 * (?3 -?5) / ((?3 +?5) * (?3 -?5)) = 4 * (?3 - ?5) / (-2) = 2 * (?5 -?3).

4. Apsveriet sarežģītāku piemēru, kā atbrīvoties no iracionalitātes saucējā. Dota daļa 12 / (?2 + ?3 +?5). Daļas skaitītājs un saucējs jāreizina ar izteiksmi?2 + ?3 - ?5:12 / (?2 + ?3 + ?5) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / ( (?2 +?3 +?5) * (?2 +?3 -?5)) = 12 * (?2 +?3 -?5) / (2 *?6) =?6 * (?2 + ?3 -?5) = 2 * ?3 + 3 *? 2 -?30.

5. Un visbeidzot, ja jums ir nepieciešama tikai aptuvenā vērtība, varat aprēķināt kvadrātsaknes, izmantojot kalkulatoru. Aprēķiniet vērtības atsevišķi visam skaitlim un pierakstiet to līdz vajadzīgajai precizitātei (piemēram, divām zīmēm aiz komata). Un pēc tam veiciet nepieciešamās aritmētiskās darbības, kā ar parastie skaitļi. Pieņemsim, ka jums ir jānoskaidro izteiksmes aptuvenā vērtība?7 + ?5? 2,65 + 2,24 = 4,89.

Video par tēmu

Piezīme!
Nekādā gadījumā nevar pievienot kvadrātsaknes kā primitīvus skaitļus, t.i. ?3 +?2? ?5!!!

Noderīgs padoms
Ja jūs ieskaitāt skaitli, lai pārvietotu kvadrātu no saknes zīmes, tad veiciet apgriezto pārbaudi - reiziniet visus iegūtos faktorus un iegūstiet sākotnējo skaitli.

1. fakts.
\(\bullet\) Ņemsim kādu nenegatīvu skaitli \(a\) (tas ir, \(a\geqslant 0\) ). Tad (aritmētika) kvadrātsakne no skaitļa \(a\) sauc šādu nenegatīvu skaitli \(b\) , kad kvadrātā mēs iegūstam skaitli \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(tas pats kā )\quad a=b^2\] No definīcijas izriet, ka \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Šie ierobežojumi ir svarīgs nosacījums kvadrātsaknes esamību un tos vajadzētu atcerēties!
Atcerieties, ka jebkurš skaitlis kvadrātā dod nenegatīvu rezultātu. Tas ir, \(100^2=10000\geqslant 0\) un \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Ar ko \(\sqrt(25)\) ir vienāds? Mēs zinām, ka \(5^2=25\) un \((-5)^2=25\) . Tā kā pēc definīcijas ir jāatrod nenegatīvs skaitlis, tad \(-5\) nav piemērots, tāpēc \(\sqrt(25)=5\) (jo \(25=5^2\) ).
\(\sqrt a\) vērtības atrašanu sauc par skaitļa \(a\) kvadrātsakni, bet skaitli \(a\) sauc par radikālu izteiksmi.
\(\bullet\) Pamatojoties uz definīciju, izteiksme \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) utt. nav jēgas.

2. fakts.
Ātriem aprēķiniem būs noderīgi apgūt kvadrātu tabulu naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(20\) : \[\begin(masīvs)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(masīvs)\]

3. fakts.
Kādas darbības var veikt ar kvadrātsaknēm?
\(\lode\) Kvadrātsakņu summa vai starpība NAV VIENĀDA ar summas vai starpības kvadrātsakni, tas ir \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Tādējādi, ja nepieciešams aprēķināt, piemēram, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , tad sākotnēji jāatrod vērtības \(\sqrt(25)\) un \(\ sqrt(49)\) un pēc tam salieciet tos. Tāpēc \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ja vērtības \(\sqrt a\) vai \(\sqrt b\) nevar atrast, pievienojot \(\sqrt a+\sqrt b\), tad šāda izteiksme netiek tālāk pārveidota un paliek tāda, kāda tā ir. Piemēram, summā \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) mēs varam atrast \(\sqrt(49)\) ir \(7\) , bet \(\sqrt 2\) nevar pārveidot jebkurā gadījumā, tāpēc \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Diemžēl šo izteicienu nevar vēl vairāk vienkāršot\(\bullet\) Kvadrātsakņu reizinājums/dalījums ir vienāds ar reizinājuma/dalījuma kvadrātsakni, tas ir \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (ar nosacījumu, ka abām vienlīdzības pusēm ir jēga)
Piemērs: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Izmantojot šos rekvizītus, ir ērti atrast kvadrātsaknes no lieli skaitļi faktorējot tos.
Apskatīsim piemēru. Atradīsim \(\sqrt(44100)\) . Kopš \(44100:100=441\) , tad \(44100=100\cdot 441\) . Saskaņā ar dalāmības kritēriju skaitlis \(441\) dalās ar \(9\) (jo tā ciparu summa ir 9 un dalās ar 9), tāpēc \(441:9=49\), tas ir, \(441=9\ cdot 49\) .
Tā mēs saņēmām: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Apskatīsim citu piemēru: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Parādīsim, kā ievadīt skaitļus zem kvadrātsaknes zīmes, izmantojot izteiksmes \(5\sqrt2\) piemēru (izteiksmes \(5\cdot \sqrt2\) īss apzīmējums). Kopš \(5=\sqrt(25)\) , tad \ Ņemiet vērā arī to, ka, piemēram,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Kāpēc ir tā, ka? Paskaidrosim, izmantojot 1. piemēru). Kā jūs jau saprotat, mēs nevaram kaut kā pārveidot skaitli \(\sqrt2\). Iedomāsimies, ka \(\sqrt2\) ir kāds skaitlis \(a\) . Attiecīgi izteiksme \(\sqrt2+3\sqrt2\) nav nekas cits kā \(a+3a\) (viens cipars \(a\) plus vēl trīs tādi paši skaitļi \(a\)). Un mēs zinām, ka tas ir vienāds ar četriem šādiem skaitļiem \(a\) , tas ir, \(4\sqrt2\) .

4. fakts.
\(\bullet\) Viņi bieži saka "jūs nevarat izvilkt sakni", ja, atrodot skaitļa vērtību, nevarat atbrīvoties no saknes zīmes \(\sqrt () \ \) . Piemēram, varat izmantot skaitļa \(16\) sakni, jo \(16=4^2\) , tāpēc \(\sqrt(16)=4\) . Bet nav iespējams izvilkt skaitļa \(3\) sakni, tas ir, atrast \(\sqrt3\), jo nav skaitļa, kas kvadrātā dotu \(3\) .
Šādi skaitļi (vai izteiksmes ar šādiem skaitļiem) ir neracionāli. Piemēram, skaitļi \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) un tā tālāk. ir neracionāli.
Iracionāli ir arī skaitļi \(\pi\) (skaitlis "pi", aptuveni vienāds ar \(3.14\)), \(e\) (šo skaitli sauc par Eilera skaitli, tas ir aptuveni vienāds ar \(2.7) \)) utt.
\(\bullet\) Lūdzu, ņemiet vērā, ka jebkurš skaitlis būs racionāls vai neracionāls. Un kopā visi racionālie un visi iracionālie skaitļi veido kopu, ko sauc reālu skaitļu kopa.Šo kopu apzīmē ar burtu \(\mathbb(R)\) .
Tas nozīmē, ka visi numuri, kas ir ieslēgti Šis brīdis mēs zinām, ka tos sauc par reāliem skaitļiem.

5. fakts.
\(\bullet\) Reālā skaitļa modulis \(a\) ir nenegatīvs skaitlis \(|a|\), kas vienāds ar attālumu no punkta \(a\) līdz \(0\) uz īsta līnija. Piemēram, \(|3|\) un \(|-3|\) ir vienādi ar 3, jo attālumi no punktiem \(3\) un \(-3\) līdz \(0\) ir vienāds un vienāds ar \(3 \) .
\(\bullet\) Ja \(a\) ir nenegatīvs skaitlis, tad \(|a|=a\) .
Piemērs: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ja \(a\) ir negatīvs skaitlis, tad \(|a|=-a\) .
Piemērs: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Viņi saka, ka negatīviem skaitļiem modulis “apēd” mīnusu, savukārt pozitīvos skaitļus, kā arī skaitli \(0\) modulis atstāj nemainīgus.
BETŠis noteikums attiecas tikai uz cipariem. Ja zem jūsu moduļa zīmes ir nezināms \(x\) (vai kāds cits nezināms), piemēram, \(|x|\) , par kuru mēs nezinām, vai tas ir pozitīvs, nulle vai negatīvs, tad atbrīvojieties no moduļa mēs nevaram. Šajā gadījumā šī izteiksme paliek nemainīga: \(|x|\) . \(\bullet\) Ir spēkā šādas formulas: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( nodrošināts ) a\geqslant 0\]Ļoti bieži tiek pieļauta šāda kļūda: viņi saka, ka \(\sqrt(a^2)\) un \((\sqrt a)^2\) ir viens un tas pats. Tas ir taisnība tikai tad, ja \(a\) ir pozitīvs skaitlis vai nulle. Bet, ja \(a\) ir negatīvs skaitlis, tas ir nepatiess. Pietiek apsvērt šo piemēru. \(a\) vietā pieņemsim skaitli \(-1\) . Tad \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , bet izteiksme \((\sqrt (-1))^2\) vispār nepastāv (galu galā, nav iespējams izmantot saknes zīmi likt negatīvus skaitļus!).
Tāpēc mēs vēršam jūsu uzmanību uz to, ka \(\sqrt(a^2)\) nav vienāds ar \((\sqrt a)^2\) ! Piemērs: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), jo \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Kopš \(\sqrt(a^2)=|a|\) , tad \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (izteiksme \(2n\) apzīmē pāra skaitli)
Tas ir, ņemot sakni no skaitļa, kas ir zināmā mērā, šī pakāpe tiek samazināta uz pusi.
Piemērs:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (ņemiet vērā: ja modulis netiek piegādāts, izrādās, ka skaitļa sakne ir vienāda ar \(-25\) ) bet atceramies, ka pēc saknes definīcijas tas nevar notikt: izvelkot sakni, vienmēr jāiegūst pozitīvs skaitlis vai nulle)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (jo jebkurš skaitlis līdz pāra pakāpei nav negatīvs)

6. fakts.
Kā salīdzināt divas kvadrātsaknes?
\(\bullet\) Kvadrātsaknēm ir taisnība: ja \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPiemērs:
1) salīdziniet \(\sqrt(50)\) un \(6\sqrt2\) . Pirmkārt, pārveidosim otro izteiksmi par \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Tādējādi kopš \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Starp kādiem veseliem skaitļiem atrodas \(\sqrt(50)\)?
Kopš \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) un \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Salīdzināsim \(\sqrt 2-1\) un \(0,5\) . Pieņemsim, ka \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(līdzināts) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((pievienot vienu abām pusēm))\\ &\sqrt2>0,5+1 \\big| \ ^2 \quad\text((abas puses kvadrātā))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(līdzināts)\] Mēs redzam, ka esam ieguvuši nepareizu nevienlīdzību. Tāpēc mūsu pieņēmums bija nepareizs un \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Ņemiet vērā, ka noteikta skaitļa pievienošana abām nevienlīdzības pusēm neietekmē tās zīmi. Abu nevienādības pušu reizināšana/dalīšana ar pozitīvu skaitli arī neietekmē tās zīmi, bet reizināšana/dalīšana ar negatīvu skaitli apvērš nevienādības zīmi!
Vienādojuma/nevienādības abas malas var izlikt kvadrātā TIKAI TAD, JA abas puses nav negatīvas. Piemēram, nevienādībā no iepriekšējā piemēra var kvadrātā abas puses, nevienādībā \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Jāatceras, ka \[\begin(līdzināts) &\sqrt 2\apmēram 1,4\\ &\sqrt 3\apmēram 1,7 \end(līdzināts)\]Šo skaitļu aptuvenās nozīmes pārzināšana palīdzēs skaitļu salīdzināšanā! \(\bullet\) Lai izvilktu sakni (ja to var izvilkt) no kāda liela skaitļa, kas nav kvadrātu tabulā, vispirms jānosaka, starp kuriem “simtiem” tas atrodas, tad – starp kuriem “ desmiti”, un pēc tam nosakiet šī skaitļa pēdējo ciparu. Parādīsim, kā tas darbojas ar piemēru.
Ņemsim \(\sqrt(28224)\) . Mēs zinām, ka \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) utt. Ņemiet vērā, ka \(28224\) ir starp \(10\,000\) un \(40\,000\) . Tāpēc \(\sqrt(28224)\) ir starp \(100\) un \(200\) .
Tagad noteiksim, starp kuriem “desmitiem” atrodas mūsu numurs (tas ir, piemēram, starp \(120\) un \(130\)). Arī no kvadrātu tabulas zinām, ka \(11^2=121\) , \(12^2=144\) utt., tad \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\) ) . Tātad mēs redzam, ka \(28224\) ir starp \(160^2\) un \(170^2\) . Tāpēc skaitlis \(\sqrt(28224)\) ir starp \(160\) un \(170\) .
Mēģināsim noteikt pēdējo ciparu. Atcerēsimies, kādi viencipara skaitļi, kad tie tiek likti kvadrātā, beigās dod \(4\)? Tie ir \(2^2\) un \(8^2\) . Tāpēc \(\sqrt(28224)\) beigsies ar 2 vai 8. Pārbaudīsim to. Atradīsim \(162^2\) un \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Tāpēc \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Lai adekvāti atrisinātu vienoto valsts eksāmenu matemātikā, vispirms ir jāapgūst teorētiskais materiāls, kas iepazīstina ar daudzām teorēmām, formulām, algoritmiem utt. No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka tas ir pavisam vienkārši. Taču atrast avotu, kurā matemātikas vienotā valsts eksāmena teorija tiek pasniegta viegli un saprotami skolēniem ar jebkura līmeņa sagatavotību, patiesībā ir diezgan grūts uzdevums. Skolas mācību grāmatas ne vienmēr var turēt pa rokai. Un matemātikas vienotā valsts eksāmena pamatformulu atrašana var būt sarežģīta pat internetā.

Kāpēc teoriju matemātikā ir tik svarīgi apgūt ne tikai vienotā valsts eksāmena kārtotājiem?

  1. Jo tas paplašina redzesloku. Teorētiskā materiāla apgūšana matemātikā ir noderīga ikvienam, kurš vēlas saņemt atbildes uz visdažādākajiem jautājumiem, kas saistīti ar zināšanām par apkārtējo pasauli. Dabā viss ir sakārtots un tam ir skaidra loģika. Tas ir tieši tas, kas atspoguļojas zinātnē, caur kuru ir iespējams izprast pasauli.
  2. Jo tas attīsta intelektu. Studējot uzziņas materiālus vienotajam valsts eksāmenam matemātikā, kā arī risinot dažādas problēmas, cilvēks mācās domāt un loģiski spriest, formulēt domas prasmīgi un skaidri. Viņš attīsta spēju analizēt, vispārināt un izdarīt secinājumus.

Aicinām personīgi izvērtēt visas priekšrocības, ko sniedz mūsu pieeja mācību materiālu sistematizēšanai un prezentācijai.

Skaitļa kvadrantsaknes izvilkšana nav vienīgā darbība, ko var veikt ar šo matemātisko parādību. Tāpat kā parastie skaitļi, kvadrātsaknes saskaita un atņem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadrātsakņu pievienošanas un atņemšanas noteikumi

1. definīcija

Tādas darbības kā kvadrātsakņu saskaitīšana un atņemšana ir iespējamas tikai tad, ja radikālā izteiksme ir vienāda.

1. piemērs

Varat pievienot vai atņemt izteiksmes 2 3 un 6 3, bet ne 56 Un 9 4. Ja ir iespējams vienkāršot izteiksmi un reducēt to līdz saknēm ar to pašu radikāli, tad vienkāršojiet un pēc tam pievienojiet vai atņemiet.

Darbības ar saknēm: pamati

2. piemērs

6 50 - 2 8 + 5 12

Darbības algoritms:

  1. Vienkāršojiet radikālo izteiksmi. Lai to izdarītu, radikālā izteiksme ir jāsadala 2 faktoros, no kuriem viens ir kvadrātskaitlis (skaitlis, no kura tiek iegūta visa kvadrātsakne, piemēram, 25 vai 9).
  2. Tad jums ir jāņem kvadrāta skaitļa sakne un ierakstiet iegūto vērtību pirms saknes zīmes. Lūdzu, ņemiet vērā, ka otrais faktors tiek ievadīts zem saknes zīmes.
  3. Pēc vienkāršošanas procesa ir nepieciešams uzsvērt saknes ar vienādām radikālām izteiksmēm - tikai tās var pievienot un atņemt.
  4. Saknēm ar vienādām radikālām izteiksmēm ir nepieciešams pievienot vai atņemt faktorus, kas parādās pirms saknes zīmes. Radikālā izteiksme paliek nemainīga. Jūs nevarat pievienot vai atņemt radikālus skaitļus!

1. padoms

Ja jums ir piemērs ar lielu skaitu identisku radikālu izteiksmju, tad pasvītrojiet šādas izteiksmes ar vienu, dubultu un trīskāršu līniju, lai atvieglotu aprēķina procesu.

3. piemērs

Mēģināsim atrisināt šo piemēru:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Vispirms jums jāsadala 50 2 faktoros 25 un 2, pēc tam ņem 25 sakni, kas ir vienāda ar 5, un 5 no saknes apakšas. Pēc tam jums jāreizina 5 ar 6 (koeficients saknē) un jāsaņem 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Vispirms jums ir jāsadala 8 2 faktoros: 4 un 2. Pēc tam ņemiet sakni no 4, kas ir vienāds ar 2, un izņemiet 2 no zem saknes. Pēc tam jums jāreizina 2 ar 2 (koeficients saknē) un jāsaņem 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Vispirms jums ir jāsadala 12 2 faktoros: 4 un 3. Pēc tam izņemiet 4 sakni, kas ir vienāda ar 2, un noņemiet to no saknes. Pēc tam jums jāreizina 2 ar 5 (koeficients saknē) un jāsaņem 10 3.

Vienkāršošanas rezultāts: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Rezultātā mēs redzējām, cik daudz identisku radikālu izteiksmju ir ietverts šajā piemērā. Tagad praktizēsimies ar citiem piemēriem.

4. piemērs

  • Vienkāršosim (45). Koeficients 45: (45) = (9 × 5) ;
  • Mēs izņemam 3 no zem saknes (9 = 3): 45 = 3 5 ;
  • Saskaitiet faktorus saknēs: 3 5 + 4 5 = 7 5.

5. piemērs

6 40 - 3 10 + 5:

  • Vienkāršosim 6 40. Mēs koeficientu 40: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
  • Mēs izņemam 2 no zem saknes (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
  • Sareizinām faktorus, kas parādās saknes priekšā: 12 10 ;
  • Izteicienu rakstām vienkāršotā formā: 12 10 - 3 10 + 5 ;
  • Tā kā pirmajiem diviem terminiem ir vienādi radikālie skaitļi, mēs varam tos atņemt: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

6. piemērs

Kā redzam, radikālos skaitļus nav iespējams vienkāršot, tāpēc piemērā meklējam terminus ar vienādiem radikāļiem, veicam matemātiskas darbības (saskaitām, atņemam utt.) un ierakstām rezultātu:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Padoms:

  • Pirms saskaitīšanas vai atņemšanas ir jāvienkāršo (ja iespējams) radikālas izteiksmes.
  • Sakņu pievienošana un atņemšana ar dažādām radikālām izteiksmēm ir stingri aizliegta.
  • Nedrīkst pievienot vai atņemt veselu skaitli vai sakni: 3 + (2 x) 1/2 .
  • Veicot darbības ar daļskaitļiem, jāatrod skaitlis, kas dalās ar katru saucēju, pēc tam jāsavieno daļskaitļi līdz kopsaucējam, pēc tam jāpievieno skaitītāji un saucēji jāatstāj nemainīgi.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter