", tas ir, pirmās pakāpes vienādojumi. Šajā nodarbībā mēs apskatīsim ko sauc par kvadrātvienādojumu un kā to atrisināt.

Kas ir kvadrātvienādojums?

Svarīgi!

Vienādojuma pakāpi nosaka pēc augstākās pakāpes, kādā atrodas nezināmais.

Ja maksimālā jauda, ​​kurā nezināmais ir “2”, tad jums ir kvadrātvienādojums.

Kvadrātvienādojumu piemēri

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2–8 = 0

Svarīgi! Kvadrātvienādojuma vispārējā forma izskatās šādi:

A x 2 + b x + c = 0

“a”, “b” un “c” ir doti skaitļi.

• “a” ir pirmais vai augstākais koeficients;
• “b” ir otrais koeficients;
• “c” ir bezmaksas dalībnieks.

Lai atrastu "a", "b" un "c", jums jāsalīdzina jūsu vienādojums ar kvadrātvienādojuma vispārējo formu "ax 2 + bx + c = 0".

Praktizēsim koeficientu "a", "b" un "c" noteikšanu kvadrātvienādojumos.

5x 2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Vienādojums	Likmes
a = 5 b = –14 c = 17
a = –7 b = –13 c = 8

1

3

= 0

• a = –1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2–8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = –8

Kā atrisināt kvadrātvienādojumus

Atšķirībā no lineārajiem vienādojumiem risināšanai kvadrātvienādojumi tiek izmantots īpašs formula sakņu atrašanai.

Atcerieties!

Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu, jums ir nepieciešams:

• samaziniet kvadrātvienādojumu līdz vispārējais izskats"ax 2 + bx + c = 0".
• Tas nozīmē, ka labajā pusē jāpaliek tikai “0”;

izmantojiet formulu saknēm:

Apskatīsim piemēru, kā izmantot formulu, lai atrastu kvadrātvienādojuma saknes. Atrisināsim kvadrātvienādojumu.

X 2 - 3x - 4 = 0 Vienādojums “x 2 − 3x − 4 = 0” jau ir reducēts uz vispārīgo formu “ax 2 + bx + c = 0”, un tam nav nepieciešami papildu vienkāršojumi. Lai to atrisinātu, mums vienkārši jāpiesakās.

formula kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai

Nosakīsim šim vienādojumam koeficientus “a”, “b” un “c”.
Nosakīsim šim vienādojumam koeficientus “a”, “b” un “c”.
Nosakīsim šim vienādojumam koeficientus “a”, “b” un “c”.
Nosakīsim šim vienādojumam koeficientus “a”, “b” un “c”.

x 1;2 =

To var izmantot, lai atrisinātu jebkuru kvadrātvienādojumu.
Formulā “x 1;2 = ” radikālā izteiksme bieži tiek aizstāta

“b 2 – 4ac” burtam “D”, un to sauc par diskriminējošu. Diskriminanta jēdziens sīkāk aplūkots nodarbībā “Kas ir diskriminants”.

Apskatīsim vēl vienu kvadrātvienādojuma piemēru.

Šajā formā ir diezgan grūti noteikt koeficientus “a”, “b” un “c”. Vispirms reducēsim vienādojumu līdz vispārīgajai formai “ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Tagad jūs varat izmantot formulu saknēm.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Atbilde: x = 3

Ir reizes, kad kvadrātvienādojumiem nav sakņu. Šī situācija rodas, ja formula satur negatīvu skaitli zem saknes.

Kvadrātvienādojumus mācās 8. klasē, tāpēc šeit nav nekā sarežģīta. Spēja tos atrisināt ir absolūti nepieciešama.

Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar formu ax 2 + bx + c = 0, kur koeficienti a, b un c ir patvaļīgi skaitļi, un a ≠ 0.

Pirms konkrētu risinājumu metožu izpētes ņemiet vērā, ka visus kvadrātvienādojumus var iedalīt trīs klasēs:

1. nav sakņu;
2. Ir tieši viena sakne;
3. Viņiem ir divas dažādas saknes.

Šī ir būtiska atšķirība starp kvadrātvienādojumiem un lineārajiem vienādojumiem, kur sakne vienmēr pastāv un ir unikāla. Kā noteikt, cik sakņu ir vienādojumam? Tam ir brīnišķīga lieta - diskriminējošs.

Diskriminējošais

Dots kvadrātvienādojums ax 2 + bx + c = 0 Tad diskriminants ir vienkārši skaitlis D = b 2 − 4ac.

Šī formula ir jāzina no galvas. Tagad nav svarīgi, no kurienes tas nāk. Vēl viena lieta ir svarīga: pēc diskriminanta zīmes var noteikt, cik sakņu ir kvadrātvienādojumam. Proti:

1. Ja D< 0, корней нет;
2. Ja D = 0, ir tieši viena sakne;
3. Ja D > 0, būs divas saknes.

Lūdzu, ņemiet vērā: diskriminants norāda sakņu skaitu, nevis to pazīmes, kā nez kāpēc uzskata daudzi. Apskatiet piemērus un paši visu sapratīsiet:

Uzdevums. Cik sakņu ir kvadrātvienādojumiem:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Izrakstīsim pirmā vienādojuma koeficientus un atradīsim diskriminantu:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Tātad diskriminants ir pozitīvs, tāpēc vienādojumam ir divas dažādas saknes. Mēs analizējam otro vienādojumu līdzīgi:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Diskriminants ir negatīvs, nav sakņu. Pēdējais atlikušais vienādojums ir:
a = 1; b = –6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminants ir nulle - sakne būs viens.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka katram vienādojumam ir pierakstīti koeficienti. Jā, tas ir garš, jā, tas ir nogurdinoši, taču jūs nesajauksit izredzes un nepieļausiet muļķīgas kļūdas. Izvēlieties pats: ātrums vai kvalitāte.

Starp citu, ja jūs to sapratīsit, pēc kāda laika jums vairs nebūs jāpieraksta visi koeficienti. Tādas operācijas veiksi galvā. Lielākā daļa cilvēku to sāk darīt kaut kur pēc 50–70 atrisinātiem vienādojumiem - kopumā ne tik daudz.

Kvadrātvienādojuma saknes

Tagad pāriesim pie paša risinājuma. Ja diskriminants D > 0, saknes var atrast, izmantojot formulas:

Kvadrātvienādojuma sakņu pamatformula

Ja D = 0, varat izmantot jebkuru no šīm formulām - jūs saņemsiet to pašu skaitli, kas būs atbilde. Visbeidzot, ja D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Pirmais vienādojums:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = –3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ vienādojumam ir divas saknes. Atradīsim tos:

Otrais vienādojums:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ vienādojumam atkal ir divas saknes. Atradīsim viņus

\[\begin(līdzināt) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(līdzināt)\]

Visbeidzot, trešais vienādojums:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ vienādojumam ir viena sakne. Var izmantot jebkuru formulu. Piemēram, pirmais:

Kā redzat no piemēriem, viss ir ļoti vienkārši. Ja zināsi formulas un māki skaitīt, tad problēmu nebūs. Visbiežāk kļūdas rodas, aizstājot formulā negatīvus koeficientus. Šeit atkal palīdzēs iepriekš aprakstītā tehnika: apskatiet formulu burtiski, pierakstiet katru soli - un ļoti drīz jūs atbrīvosities no kļūdām.

Nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Gadās, ka kvadrātvienādojums nedaudz atšķiras no definīcijā norādītā. Piemēram:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2–16 = 0.

Ir viegli pamanīt, ka šajos vienādojumos trūkst viena no terminiem. Šādus kvadrātvienādojumus ir pat vieglāk atrisināt nekā standarta vienādojumus: tiem pat nav jāaprēķina diskriminants. Tātad, ieviesīsim jaunu koncepciju:

Vienādojumu ax 2 + bx + c = 0 sauc par nepilnīgu kvadrātvienādojumu, ja b = 0 vai c = 0, t.i. mainīgā x jeb brīvā elementa koeficients ir vienāds ar nulli.

Protams, ir iespējams ļoti sarežģīts gadījums, kad abi šie koeficienti ir vienādi ar nulli: b = c = 0. Šajā gadījumā vienādojums iegūst formu ax 2 = 0. Acīmredzot šādam vienādojumam ir viena sakne: x = 0.

Apskatīsim atlikušos gadījumus. Ļaujiet b = 0, tad iegūstam nepilnu kvadrātvienādojumu formā ax 2 + c = 0. Nedaudz pārveidosim to:

Kopš aritmētikas kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīva skaitļa, pēdējai vienādībai ir jēga tikai (-c /a) ≥ 0. Secinājums:

1. Ja nepilnā kvadrātvienādojumā formā ax 2 + c = 0 ir izpildīta nevienādība (−c /a) ≥ 0, būs divas saknes. Formula ir dota iepriekš;
2. Ja (-c /a)< 0, корней нет.

Kā redzat, diskriminants nebija vajadzīgs — nepilnīgos kvadrātvienādojumos vispār nav sarežģītu aprēķinu. Patiesībā pat nav jāatceras nevienādība (−c /a) ≥ 0. Pietiek izteikt vērtību x 2 un redzēt, kas atrodas vienādības zīmes otrā pusē. Ja ir pozitīvs skaitlis, būs divas saknes. Ja tas ir negatīvs, tad vispār nebūs sakņu.

Tagad apskatīsim vienādojumus formā ax 2 + bx = 0, kuros brīvais elements ir vienāds ar nulli. Šeit viss ir vienkārši: vienmēr būs divas saknes. Pietiek faktorēt polinomu:

Kopējā faktora izņemšana no iekavām

Produkts ir nulle, ja vismaz viens no faktoriem ir nulle. Lūk, no kurienes nāk saknes. Noslēgumā apskatīsim dažus no šiem vienādojumiem:

Uzdevums. Atrisiniet kvadrātvienādojumus:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nav sakņu, jo kvadrāts nevar būt vienāds ar negatīvu skaitli.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = –1,5.

Īpašu vietu ieņem vienādojumu risināšana matemātikā. Pirms šī procesa tiek apgūtas daudzas teorijas stundas, kuru laikā students apgūst vienādojumu risināšanu, to veidu noteikšanu un iemaņas pilnīgā automatizācijā. Tomēr sakņu meklēšana ne vienmēr ir jēga, jo tās var vienkārši nepastāvēt. Ir īpašas kustības sakņu atrašana. Šajā rakstā mēs analizēsim galvenās funkcijas, to definīcijas jomas, kā arī gadījumus, kad trūkst to sakņu.

Kuram vienādojumam nav sakņu?

Vienādojumam nav sakņu, ja nav reālu argumentu x, kuriem vienādojums ir identiski patiess. Nespeciālistam šis formulējums, tāpat kā lielākā daļa matemātisko teorēmu un formulu, izskatās ļoti neskaidrs un abstrakts, bet tas ir teorētiski. Praksē viss kļūst ārkārtīgi vienkāršs. Piemēram: vienādojumam 0 * x = -53 nav atrisinājuma, jo nav tāda skaitļa x, kura reizinājums ar nulli dotu kaut ko citu, nevis nulle.

Tagad mēs apskatīsim visvienkāršākos vienādojumu veidus.

1. Lineārais vienādojums

Vienādojumu sauc par lineāru, ja tā labā un kreisā puse ir attēlotas kā lineāras funkcijas: ax + b = cx + d vai vispārinātā formā kx + b = 0. Kur a, b, c, d ir zināmi skaitļi un x ir nezināms daudzums. Kuram vienādojumam nav sakņu? Lineāro vienādojumu piemēri ir parādīti attēlā zemāk.

Būtībā lineārie vienādojumi tiek atrisināti, vienkārši pārnesot skaitļa daļu uz vienu daļu un x saturu uz citu. Rezultāts ir vienādojums formā mx = n, kur m un n ir skaitļi, un x ir nezināms. Lai atrastu x, vienkārši sadaliet abas puses ar m. Tad x = n/m. Lielākajai daļai lineāro vienādojumu ir tikai viena sakne, taču ir gadījumi, kad sakņu ir bezgalīgi daudz vai sakņu nav vispār. Ja m = 0 un n = 0, vienādojums ir 0 * x = 0. Šāda vienādojuma risinājums būs absolūti jebkurš skaitlis.

Tomēr kādam vienādojumam nav sakņu?

Ja m = 0 un n = 0, vienādojumam reālo skaitļu kopā nav sakņu. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - šiem vienādojumiem nav sakņu.

2. Kvadrātvienādojums

Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar formu ax 2 + bx + c = 0, ja a = 0. Visizplatītākais risinājums ir ar diskriminantu. Kvadrātvienādojuma diskriminanta atrašanas formula ir: D = b 2 - 4 * a * c. Tālāk ir divas saknes x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

Ja D > 0 vienādojumam ir divas saknes, un D = 0 tam ir viena sakne. Bet kuram kvadrātvienādojumam nav sakņu? Vienkāršākais veids, kā novērot kvadrātvienādojuma sakņu skaitu, ir grafiski attēlot funkciju, kas ir parabola. Ja > 0, zari ir vērsti uz augšu, ja a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Varat arī vizuāli noteikt sakņu skaitu, nerēķinot diskriminantu. Lai to izdarītu, jums jāatrod parabolas virsotne un jānosaka, kurā virzienā tiek virzīti zari. Virsotnes x koordinātu var noteikt, izmantojot formulu: x 0 = -b / 2a. Šajā gadījumā virsotnes y koordinātu atrod, vienkārši aizstājot x 0 vērtību sākotnējā vienādojumā.

Kvadrātvienādojumam x 2 - 8x + 72 = 0 nav sakņu, jo tam ir negatīvs diskriminants D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Tas nozīmē, ka parabola neskar x asi un funkcija nekad nepieņem vērtību 0, tāpēc vienādojumam nav reālu sakņu.

3. Trigonometriskie vienādojumi

Trigonometriskās funkcijas tiek aplūkotas uz trigonometriskā apļa, taču tās var attēlot arī Dekarta koordinātu sistēmā. Šajā rakstā mēs apskatīsim divus galvenos trigonometriskās funkcijas un to vienādojumi: sinx un cosx. Tā kā šīs funkcijas veido trigonometrisku apli ar rādiusu 1, |sinx| un |cosx| nevar būt lielāks par 1. Tātad, kuram sinx vienādojumam nav sakņu? Apsveriet sinx funkcijas grafiku, kas parādīts zemāk esošajā attēlā.

Mēs redzam, ka funkcija ir simetriska un tās atkārtošanās periods ir 2pi. Pamatojoties uz to, mēs varam teikt, ka šīs funkcijas maksimālā vērtība var būt 1, bet minimālā -1. Piemēram, izteiksmei cosx = 5 nebūs sakņu, jo tās absolūtā vērtība ir lielāka par vienu.

Šis ir vienkāršākais trigonometrisko vienādojumu piemērs. Patiesībā to atrisināšana var aizņemt daudzas lappuses, kuru beigās saproti, ka izmantoji nepareizu formulu un jāsāk no jauna. Dažreiz, pat pareizi atrodot saknes, var aizmirst ņemt vērā OD ierobežojumus, tāpēc atbildē parādās papildu sakne vai intervāls, un visa atbilde kļūst par kļūdu. Tāpēc stingri ievērojiet visus ierobežojumus, jo ne visas saknes iekļaujas uzdevuma tvērumā.

4. Vienādojumu sistēmas

Vienādojumu sistēma ir vienādojumu kopa, kas savienota ar krokainajām vai kvadrātiekavām. Cirtainās iekavas norāda, ka visi vienādojumi tiek izpildīti kopā. Tas ir, ja vismaz vienam no vienādojumiem nav sakņu vai tas ir pretrunā citam, visai sistēmai nav risinājuma. Kvadrātiekavas norāda vārdu "vai". Tas nozīmē, ka, ja vismaz vienam no sistēmas vienādojumiem ir risinājums, tad visai sistēmai ir risinājums.

Sistēmas c atbilde ir visu atsevišķo vienādojumu sakņu kopa. Un sistēmām ar cirtainiem lencēm ir tikai kopīgas saknes. Vienādojumu sistēmas var ietvert pilnīgi dažādas funkcijas, tāpēc šāda sarežģītība neļauj uzreiz pateikt, kuram vienādojumam nav sakņu.

Atrasts problēmu grāmatās un mācību grāmatās dažādi veidi vienādojumi: tie, kuriem ir saknes, un tie, kuriem nav. Pirmkārt, ja nevarat atrast saknes, nedomājiet, ka tādu vispār nav. Varbūt jūs kaut kur kļūdījāties, tad jums vienkārši rūpīgi jāpārbauda savs lēmums.

Mēs apskatījām visvienkāršākos vienādojumus un to veidus. Tagad jūs varat pateikt, kuram vienādojumam nav sakņu. Vairumā gadījumu to nav grūti izdarīt. Lai gūtu panākumus vienādojumu risināšanā, nepieciešama tikai uzmanība un koncentrēšanās. Trenējies vairāk, tas palīdzēs daudz labāk un ātrāk orientēties materiālā.

Tātad vienādojumam nav sakņu, ja:

• V lineārais vienādojums mx = n vērtība m = 0 un n = 0;
• kvadrātvienādojumā, ja diskriminants ir mazāks par nulli;
• V trigonometriskais vienādojums formas cosx = m / sinx = n, ja |m| > 0, |n| > 0;
• vienādojumu sistēmā ar krokainajām iekavām, ja vismaz vienam vienādojumam nav sakņu, un ar kvadrātiekavām, ja visiem vienādojumiem nav sakņu.

Kvadrātvienādojumi. Diskriminējošais. Risinājums, piemēri.

Uzmanību!
Ir papildu
materiāli speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas ir ļoti "ne ļoti..."
Un tiem, kas “ļoti…”)

Kvadrātisko vienādojumu veidi

Kas ir kvadrātvienādojums? Kā tas izskatās? Termiņā kvadrātvienādojums atslēgvārds ir "kvadrāts". Tas nozīmē, ka vienādojumā Obligāti ir jābūt x kvadrātā. Papildus tam vienādojumā var būt (vai var nebūt!) tikai X (pirmajā pakāpē) un tikai skaitlis (bezmaksas dalībnieks). Un jaudā, kas ir lielāka par diviem, nedrīkst būt X.

Matemātiskā izteiksmē kvadrātvienādojums ir formas vienādojums:

Šeit a, b un c- daži skaitļi. b un c- pilnīgi jebkura, bet A– jebkas, kas nav nulle. Piemēram:

Šeit A =1; b = 3; c = -4

Šeit A =2; b = -0,5; c = 2,2

Šeit A =-3; b = 6; c = -18

Nu tu saproti...

Šajos kvadrātvienādojumos pa kreisi ir pilns komplekts biedriem. X kvadrātā ar koeficientu A, x uz pirmo pakāpi ar koeficientu b Un bezmaksas dalībnieks s.

Tādus kvadrātvienādojumus sauc pilns.

Kā būtu, ja b= 0, ko mēs iegūstam? Mums ir X pazudīs līdz pirmajai pakāpei. Tas notiek, reizinot ar nulli.) Izrādās, piemēram:

5x2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

utt. Un ja abi koeficienti b Un c ir vienādi ar nulli, tad tas ir vēl vienkāršāk:

2x2 =0,

-0,3x2 =0

Tādus vienādojumus, kur kaut kā trūkst, sauc nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Tas ir diezgan loģiski.) Lūdzu, ņemiet vērā, ka x kvadrātā ir sastopams visos vienādojumos.

Starp citu, kāpēc A nevar būt vienāds ar nulli? Un tā vietā jūs aizstājat A nulle.) Mūsu X kvadrāts pazudīs! Vienādojums kļūs lineārs. Un risinājums ir pavisam cits...

Tie ir visi galvenie kvadrātvienādojumu veidi. Pilnīga un nepilnīga.

Kvadrātvienādojumu risināšana.

Pilnu kvadrātvienādojumu risināšana.

Kvadrātvienādojumus ir viegli atrisināt. Pēc formulām un skaidri vienkārši noteikumi. Pirmajā posmā tas ir nepieciešams dots vienādojums noved pie standarta skats, t.i. uz formu:

Ja vienādojums jums jau ir dots šajā formā, jums nav jādara pirmais posms.) Galvenais ir pareizi noteikt visus koeficientus, A, b Un c.

Formula kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai izskatās šādi:

Izteicienu zem saknes zīmes sauc diskriminējošs. Bet vairāk par viņu zemāk. Kā redzat, lai atrastu X, mēs izmantojam tikai a, b un c. Tie. koeficienti no kvadrātvienādojuma. Vienkārši uzmanīgi nomainiet vērtības a, b un c Mēs aprēķinām pēc šīs formulas. Aizstāsim ar savām zīmēm! Piemēram, vienādojumā:

A =1; b = 3; c= -4. Šeit mēs to pierakstām:

Piemērs ir gandrīz atrisināts:

Šī ir atbilde.

Tas ir ļoti vienkārši. Un ko, jūs domājat, ka nav iespējams kļūdīties? Nu jā, kā...

Biežākās kļūdas ir sajaukšana ar zīmju vērtībām a, b un c. Vai drīzāk nevis ar to zīmēm (kur apjukt?), bet ar negatīvu vērtību aizstāšanu sakņu aprēķināšanas formulā. Šeit palīdz detalizēts formulas ieraksts ar konkrētiem skaitļiem. Ja rodas problēmas ar aprēķiniem, dari to!

Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šāds piemērs:

Šeit a = -6; b = -5; c = -1

Pieņemsim, ka zināt, ka reti saņemat atbildes pirmajā reizē.

Nu neesi slinks. Tas aizņems apmēram 30 sekundes, lai uzrakstītu papildu rindu un kļūdu skaitu strauji samazināsies. Tāpēc mēs rakstām detalizēti, ar visām iekavām un zīmēm:

Šķiet neticami grūti tik rūpīgi izrakstīt. Bet tā tikai šķiet. Pamēģini. Nu, vai izvēlēties. Kas ir labāks, ātri vai pareizi?

Turklāt es jūs iepriecināšu. Pēc kāda laika vairs nevajadzēs tik rūpīgi visu pierakstīt. Tas izdosies pats no sevis. It īpaši, ja izmantojat praktiskus paņēmienus, kas aprakstīti tālāk. Šo ļauno piemēru ar daudziem mīnusiem var atrisināt viegli un bez kļūdām!

Bet bieži vien kvadrātvienādojumi izskatās nedaudz atšķirīgi. Piemēram, šādi: Vai jūs to atpazināt?) Jā! Šis.

nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana. a, b un c.

Tos var atrisināt arī, izmantojot vispārīgu formulu. Jums tikai pareizi jāsaprot, ar ko viņi šeit ir vienādi. Vai esat to izdomājuši? Pirmajā piemērā a = 1; b = -4; c A ? Tā tur nemaz nav! Nu jā, tieši tā. Matemātikā tas nozīmē c = 0 ! Tas arī viss. Tā vietā formulā aizstājiet nulli c, un mums izdosies. Tas pats ar otro piemēru. Tikai mums šeit nav nulles Ar b !

, A Bet nepilnīgus kvadrātvienādojumus var atrisināt daudz vienkāršāk. Bez jebkādām formulām. Apskatīsim pirmo nepilnīgs vienādojums

. Ko jūs varat darīt kreisajā pusē? Jūs varat izņemt X no iekavām! Ņemsim ārā.
Tātad, kas no šī? Un tas, ka reizinājums ir vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja kāds no faktoriem ir vienāds ar nulli! Netici man? Labi, tad izdomājiet divus skaitļus, kas nav nulle, kurus reizinot, tiks iegūta nulle!
neder? tas tā... Tāpēc mēs varam droši rakstīt:, x 1 = 0.

Visi. Tās būs mūsu vienādojuma saknes. Abi ir piemēroti. Aizvietojot kādu no tiem sākotnējā vienādojumā, mēs iegūstam pareizo identitāti 0 = 0. Kā redzat, risinājums ir daudz vienkāršāks nekā izmantojot vispārējo formulu. Ļaujiet man, starp citu, atzīmēt, kurš X būs pirmais un kurš būs otrais - absolūti vienaldzīgs. Ir ērti rakstīt secībā, x 1- kas ir mazāks un x 2- tas, kas ir lielāks.

Otro vienādojumu var atrisināt arī vienkārši. Pārvietojiet 9 uz labo pusi. Mēs iegūstam:

Atliek tikai izvilkt sakni no 9, un viss. Izrādīsies:

Arī divas saknes . x 1 = -3, x 2 = 3.

Šādi tiek atrisināti visi nepilnīgie kvadrātvienādojumi. Vai nu ievietojot X no iekavām, vai vienkārši pārvietojot skaitli pa labi un pēc tam izvelkot sakni.
Šīs metodes ir ārkārtīgi grūti sajaukt. Vienkārši tāpēc, ka pirmajā gadījumā būs jāizvelk X sakne, kas ir kaut kā nesaprotama, un otrajā gadījumā nav ko izņemt no iekavām...

Diskriminējošais. Diskriminējošā formula.

Burvju vārds diskriminējošs ! Reti kurš vidusskolnieks nav dzirdējis šo vārdu! Frāze “mēs risinām, izmantojot diskriminējošu līdzekli” iedvesmo pārliecību un pārliecību. Jo nav jāgaida triki no diskriminētāja! Tā lietošana ir vienkārša un bez problēmām.) Es atgādinu vispārīgāko risināšanas formulu jebkura kvadrātvienādojumi:

Izteicienu zem saknes zīmes sauc par diskriminantu. Parasti diskriminantu apzīmē ar burtu D. Diskriminējošā formula:

D = b 2 - 4ac

Un kas šajā izteiksmē ir tik ievērojams? Kāpēc tas bija pelnījis īpašu nosaukumu? Kas diskriminanta nozīme? Galu galā -b, vai 2ašajā formulā viņi to īpaši nesauc... Burti un burti.

Lūk, lieta. Atrisinot kvadrātvienādojumu, izmantojot šo formulu, tas ir iespējams tikai trīs gadījumi.

1. Diskriminants ir pozitīvs. Tas nozīmē, ka no tā var iegūt sakni. Tas, vai sakne ir iegūta labi vai slikti, ir cits jautājums. Svarīgi ir tas, kas tiek izvilkts principā. Tad jūsu kvadrātvienādojumam ir divas saknes. Divi dažādi risinājumi.

2. Diskriminants ir nulle. Tad jums būs viens risinājums. Tā kā nulles pievienošana vai atņemšana skaitītājā neko nemaina. Stingri sakot, tā nav viena sakne, bet gan divi identiski. Bet vienkāršotā versijā ir ierasts runāt par viens risinājums.

3. Diskriminants ir negatīvs. Negatīvā skaitļa kvadrātsakni nevar ņemt. Nu labi. Tas nozīmē, ka risinājumu nav.

Godīgi sakot, kad vienkāršs risinājums kvadrātvienādojumi, diskriminanta jēdziens nav īpaši nepieciešams. Mēs aizstājam koeficientu vērtības formulā un saskaitām. Tur viss notiek pats no sevis, divas saknes, viena un neviena. Taču, risinot sarežģītākus uzdevumus, bez zināšanām diskriminanta nozīme un formula nevar iztikt. Īpaši vienādojumos ar parametriem. Šādi vienādojumi ir akrobātika valsts eksāmenam un vienotajam valsts eksāmenam!)

Tātad, kā atrisināt kvadrātvienādojumus caur diskriminantu, kuru atcerējāties. Vai arī iemācījies, kas arī nav slikti.) Jūs zināt, kā pareizi noteikt a, b un c. Vai jūs zināt, kā? uzmanīgi aizstājiet tos saknes formulā un uzmanīgi skaitīt rezultātu. Vai tu to saprati atslēgvārdsŠeit - uzmanīgi?

Tagad ņemiet vērā praktiskos paņēmienus, kas ievērojami samazina kļūdu skaitu. Tie paši, kas ir neuzmanības dēļ... Par ko vēlāk kļūst sāpīgi un aizvainojoši...

Pirmā tikšanās . Neesiet slinks pirms kvadrātvienādojuma atrisināšanas un izveidojiet to standarta formā. Ko tas nozīmē?
Pieņemsim, ka pēc visām transformācijām jūs saņemat šādu vienādojumu:

Nesteidzieties rakstīt saknes formulu! Jūs gandrīz noteikti sajauksit izredzes a, b un c. Pareizi izveidojiet piemēru. Vispirms X kvadrātā, tad bez kvadrāta, tad brīvais termiņš. kā šis:

Un atkal, nesteidzieties! Mīnuss X kvadrāta priekšā var jūs patiešām apbēdināt. To ir viegli aizmirst... Atbrīvojies no mīnusa. Kā? Jā, kā mācīja iepriekšējā tēmā! Mums jāreizina viss vienādojums ar -1. Mēs iegūstam:

Bet tagad var droši pierakstīt formulu saknēm, aprēķināt diskriminantu un pabeigt piemēru risināt. Izlemiet paši.

Tagad jums vajadzētu būt saknēm 2 un -1. Uzņemšana otrā. Pārbaudiet saknes! Saskaņā ar Vietas teorēmu. Nebaidies, es visu paskaidrošu! Pārbauda pēdējais vienādojums. Tie. ar kuru mēs pierakstījām saknes formulu. Ja (kā šajā piemērā) koeficients a = 1 , pārbaudīt saknes ir viegli. Pietiek tos pavairot. Rezultātā vajadzētu būt bezmaksas dalībniekam, t.i. mūsu gadījumā -2. Lūdzu, ņemiet vērā, nevis 2, bet -2! Bezmaksas dalībnieks ar savu zīmi

. Ja tas neizdodas, tas nozīmē, ka jūs jau esat kaut kur sabojājies. Meklējiet kļūdu. b Ja tas darbojas, jums jāpievieno saknes. Pēdējā un pēdējā pārbaude. Koeficientam jābūt Ar pretī b pazīstami. Mūsu gadījumā -1+2 = +1. Koeficients
, kas ir pirms X, ir vienāds ar -1. Tātad, viss ir pareizi! Žēl, ka tas ir tik vienkārši tikai piemēriem, kur x kvadrātā ir tīrs, ar koeficientu a = 1.

Bet vismaz pārbaudiet šādus vienādojumus! Kļūdu būs arvien mazāk. Uzņemšana trešā . Ja jūsu vienādojumā ir daļskaitļu koeficienti, atbrīvojieties no daļām! Reiziniet vienādojumu ar kopsaucējs

, kā aprakstīts nodarbībā "Kā atrisināt vienādojumus? Identiskas pārvērtības." Strādājot ar daļskaitļiem, kļūdas nez kāpēc piezogas...

Lai neapjuktu mīnusos, vienādojumu reizinām ar -1. Mēs iegūstam:

Tas arī viss! Risināt ir prieks!

Tātad, apkoposim tēmu.

Praktiski padomi:

1. Pirms risināšanas kvadrātvienādojumu izveidojam standarta formā un izveidojam Pareizi.

2. Ja X kvadrātā priekšā ir negatīvs koeficients, mēs to izslēdzam, reizinot visu vienādojumu ar -1.

3. Ja koeficienti ir daļskaitļi, mēs izslēdzam daļas, reizinot visu vienādojumu ar atbilstošo koeficientu.

4. Ja x kvadrātā ir tīrs, tā koeficients ir vienāds ar vienu, atrisinājumu var viegli pārbaudīt, izmantojot Vietas teorēmu. Izdari to!

Tagad mēs varam izlemt.)

Atrisiniet vienādojumus:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Atbildes (nekārtīgi):

Tāpēc mēs varam droši rakstīt:
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - jebkurš skaitlis

x 1 = -3
x 2 = 3

nekādu risinājumu

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Vai viss der? Lieliski! Kvadrātvienādojumi nav jūsu galvassāpes. Pirmie trīs darbojās, bet pārējie nē? Tad problēma nav kvadrātvienādojumos. Problēma ir identiskos vienādojumu transformācijās. Apskatiet saiti, tas noder.

Vai ne gluži izdodas? Vai arī tas vispār neizdodas? Tad jums palīdzēs 555. sadaļa. Visi šie piemēri ir sadalīti. Parādīts galvenais kļūdas risinājumā. Protams, tiek runāts arī par identisku transformāciju izmantošanu risinājumā dažādi vienādojumi. Ļoti palīdz!

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Tiek pētītas arī kvadrātvienādojuma problēmas skolas mācību programma un universitātēs. Tie nozīmē vienādojumus formā a*x^2 + b*x + c = 0, kur x- mainīgais, a, b, c – konstantes; a<>0 . Uzdevums ir atrast vienādojuma saknes.

Kvadrātvienādojuma ģeometriskā nozīme

Funkcijas grafiks, kas attēlots ar kvadrātvienādojumu, ir parabola. Kvadrātvienādojuma atrisinājumi (saknes) ir parabolas krustošanās punkti ar abscisu (x) asi. No tā izriet, ka ir trīs iespējamie gadījumi:
1) parabolai nav krustošanās punktu ar abscisu asi. Tas nozīmē, ka tas atrodas augšējā plaknē ar zariem uz augšu vai apakšā ar zariem uz leju. Šādos gadījumos kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu (tam ir divas sarežģītas saknes).

2) parabolai ir viens krustpunkts ar Vērša asi. Šādu punktu sauc par parabolas virsotni, un kvadrātvienādojums tajā iegūst savu minimālo vai maksimālo vērtību. Šajā gadījumā kvadrātvienādojumam ir viena reāla sakne (vai divas identiskas saknes).

3) Pēdējais gadījums praksē ir interesantāk - ir divi parabolas krustošanās punkti ar abscisu asi. Tas nozīmē, ka vienādojumam ir divas reālās saknes.

Balstoties uz mainīgo pakāpju koeficientu analīzi, var izdarīt interesantus secinājumus par parabolas izvietojumu.

1) Ja koeficients a ir lielāks par nulli, tad parabolas zari ir vērsti uz augšu, ja tas ir negatīvs, tad parabolas zari ir vērsti uz leju.

2) Ja koeficients b ir lielāks par nulli, tad parabolas virsotne atrodas kreisajā pusplaknē, ja tā aizņem negatīva vērtība- tad pa labi.

Kvadrātvienādojuma risināšanas formulas atvasināšana

Pārnesim konstanti no kvadrātvienādojuma

vienādības zīmei mēs iegūstam izteiksmi

Reiziniet abas puses ar 4a

Lai tiktu pa kreisi ideāls kvadrāts pievienojiet b^2 abām pusēm un veiciet pārveidošanu

No šejienes mēs atrodam

Kvadrātvienādojuma diskriminanta un sakņu formula

Diskriminants ir radikālas izteiksmes vērtība, ja tā ir pozitīva, tad vienādojumam ir divas reālās saknes, kas aprēķinātas pēc formulas Ja diskriminants ir nulle, kvadrātvienādojumam ir viens atrisinājums (divas sakrītošas ​​saknes), ko var viegli iegūt no iepriekš minētās formulas D=0. Ja diskriminants ir negatīvs, vienādojumam nav reālu sakņu. Tomēr kvadrātvienādojuma atrisinājumi tiek atrasti kompleksajā plaknē, un to vērtību aprēķina, izmantojot formulu

Vietas teorēma

Aplūkosim divas kvadrātvienādojuma saknes un uz to pamata izveidosim kvadrātvienādojumu, no apzīmējuma viegli izriet pati Vietas teorēma: ja mums ir formas kvadrātvienādojums. tad tā sakņu summa ir vienāda ar koeficientu p, kas ņemts ar pretēju zīmi, un vienādojuma sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu q. Iepriekš minētā formula izskatīsies šādi. Ja klasiskajā vienādojumā konstante a nav nulle, tad viss vienādojums ar to jāsadala un pēc tam jāpiemēro Vietas teorēma.

Faktoringa kvadrātvienādojuma grafiks

Ļaujiet izvirzīt uzdevumu: koeficientu kvadrātvienādojumu. Lai to izdarītu, vispirms atrisinām vienādojumu (atrodam saknes). Tālāk mēs aizvietojam atrastās saknes kvadrātvienādojuma paplašināšanas formulā. Tas atrisinās problēmu.

Kvadrātvienādojuma problēmas

1. uzdevums. Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes

x^2-26x+120=0 .

Risinājums: pierakstiet koeficientus un aizstājiet tos diskriminējošā formulā

Sakne no dotā vērtība ir vienāds ar 14, to ir viegli atrast ar kalkulatoru vai atcerēties, bieži lietojot, tomēr ērtības labad raksta beigās es jums sniegšu sarakstu ar skaitļu kvadrātiem, ar kuriem bieži var saskarties šādās problēmās.
Atrasto vērtību aizstājam saknes formulā

un saņemam

2. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu

2x2 +x-3=0.

Risinājums: mums ir pilnīgs kvadrātvienādojums, izrakstām koeficientus un atrodam diskriminantu


Izmantojot zināmās formulas, mēs atrodam kvadrātvienādojuma saknes

3. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu

9x2 -12x+4=0.

Risinājums: mums ir pilnīgs kvadrātvienādojums. Diskriminanta noteikšana

Mēs saņēmām gadījumu, kad saknes sakrīt. Atrodiet sakņu vērtības, izmantojot formulu

4. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu

x^2+x-6=0 .

Risinājums: Gadījumos, kad x ir mazi koeficienti, ieteicams izmantot Vietas teorēmu. Pēc tā nosacījuma mēs iegūstam divus vienādojumus

No otrā nosacījuma mēs atklājam, ka produktam jābūt vienādam ar -6. Tas nozīmē, ka viena no saknēm ir negatīva. Mums ir šādi iespējamie atrisinājumu pāris (-3;2), (3;-2) . Ņemot vērā pirmo nosacījumu, mēs noraidām otro risinājumu pāri.
Vienādojuma saknes ir vienādas

5. uzdevums. Atrodiet taisnstūra malu garumus, ja tā perimetrs ir 18 cm un laukums ir 77 cm 2.

Risinājums: puse no taisnstūra perimetra ir vienāda ar tā blakus esošo malu summu. Apzīmēsim x kā lielāko malu, tad 18-x ir tā mazākā mala. Taisnstūra laukums ir vienāds ar šo garumu reizinājumu:
x(18-x)=77;
vai
x 2 -18x+77=0.
Atradīsim vienādojuma diskriminantu

Vienādojuma sakņu aprēķināšana

Ja x=11, Tas 18's=7, ir arī pretējais (ja x=7, tad 21's=9).

6. uzdevums. Kvadrātvienādojuma koeficients 10x 2 -11x+3=0.

Risinājums: Aprēķināsim vienādojuma saknes, lai to izdarītu, atrodam diskriminantu

Atrasto vērtību aizstājam saknes formulā un aprēķinām

Mēs izmantojam formulu kvadrātvienādojuma sadalīšanai pēc saknēm

Atverot iekavas, mēs iegūstam identitāti.

Kvadrātvienādojums ar parametru

Piemērs 1. Pie kādām parametru vērtībām A , vai vienādojumam (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 ir viena sakne?

Risinājums: Tiešā veidā aizstājot vērtību a=3, mēs redzam, ka tai nav risinājuma. Tālāk mēs izmantosim faktu, ka ar nulles diskriminantu vienādojumam ir viena reizinājuma 2 sakne. Izrakstīsim diskriminantu

Vienkāršosim un pielīdzināsim nullei

Esam ieguvuši kvadrātvienādojumu attiecībā uz parametru a, kura atrisinājumu var viegli iegūt, izmantojot Vietas teorēmu. Sakņu summa ir 7, un to reizinājums ir 12. Ar vienkāršu meklēšanu mēs nosakām, ka skaitļi 3,4 būs vienādojuma saknes. Tā kā mēs jau aprēķinu sākumā noraidījām risinājumu a=3, tad vienīgais pareizais būs - a=4. Tādējādi a = 4 vienādojumam ir viena sakne.

Piemērs 2. Pie kādām parametru vērtībām A , vienādojums a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ir vairāk nekā viena sakne?

Risinājums: Vispirms apskatīsim vienskaitļa punktus, tie būs vērtības a=0 un a=-3. Ja a=0, vienādojums tiks vienkāršots līdz formai 6x-9=0; x=3/2 un būs viena sakne. Ja a= -3 iegūstam identitāti 0=0.
Aprēķināsim diskriminantu

un atrodiet a vērtību, pie kuras tā ir pozitīva

No pirmā nosacījuma mēs iegūstam a>3. Otrajā gadījumā mēs atrodam vienādojuma diskriminantu un saknes


Nosakīsim intervālus, kuros funkcija iegūst pozitīvas vērtības. Aizvietojot punktu a=0, iegūstam 3>0 . Tātad ārpus intervāla (-3;1/3) funkcija ir negatīva. Neaizmirstiet būtību a=0, kas būtu jāizslēdz, jo sākotnējam vienādojumam ir viena sakne.
Rezultātā mēs iegūstam divus intervālus, kas atbilst problēmas nosacījumiem

Praksē būs daudz līdzīgu uzdevumu, mēģiniet izdomāt uzdevumus pats un neaizmirstiet ņemt vērā nosacījumus, kas viens otru izslēdz. Labi izpētiet kvadrātvienādojumu risināšanas formulas, kas bieži ir nepieciešamas aprēķinos dažādās problēmās un zinātnēs.