Jūs zināt, ka katrs pasūtītais skaitļu pāris atbilst noteiktam punktam koordinātu plakne. Tā kā katrs vienādojuma risinājums ar diviem mainīgajiem x un y ir sakārtots skaitļu pāris, visus tā risinājumus var attēlot ar punktiem koordinātu plaknē. Šajos punktos abscisa ir mainīgā x vērtība, un ordināta ir atbilstošā mainīgā y vērtība. Tāpēc mēs iegūstam vienādojuma grafiku ar diviem mainīgajiem.
Atcerieties!
Vienādojuma grafiks ar diviem mainīgajiem ir attēls uz koordinātu plaknes visiem punktiem, kuru koordinātes apmierina doto vienādojumu.
Apskatiet 64. un 65. attēlu. Jūs redzat vienādojuma 0,5 x - y = 2 grafiku, kur x ir pāra viencipara skaitlis (64. attēls), un vienādojuma x 2 + y 2 = 4 grafiku (attēls 65). Pirmajā grafikā ir tikai četri punkti, jo mainīgajiem x un y var būt tikai četras vērtības. Otrais grafiks ir līnija koordinātu plaknē. Tajā ir daudz punktu, jo mainīgajam x var būt jebkura vērtība no -2 līdz 2, un šādu skaitļu ir daudz. Ir arī daudz atbilstošu vērtību. Tie atšķiras no 2 līdz 2.
66. attēlā parādīts vienādojuma grafiks x + y = 4. Atšķirībā no vienādojuma grafika x 2 + y 2 = 4 (skat. 65. att.), katrs šī grafika abscises punkts atbilst vienai ordinātai. Tas nozīmē, ka 66. attēlā parādīts funkcijas grafiks. Pārlieciniet sevi, ka 64. attēlā redzamā vienādojuma grafiks ir arī funkcijas grafiks.
Lūdzu, ņemiet vērā
Ne katram vienādojumam ir funkcijas grafiks, bet katrs funkcijas grafiks ir kāda vienādojuma grafiks.
Vienādojums x + y = 4 ir lineārs vienādojums divos mainīgajos. Atrisinot to y, iegūstam: y = -x + 4. Iegūto vienādību var saprast kā formulu, kas definē lineāro funkciju y = -x + 4. Šādas funkcijas grafiks ir taisne. Tātad lineārā vienādojuma x + y = 4 grafiks, kas parādīts 66. attēlā, ir taisna līnija.
Vai var teikt, ka jebkura lineāra vienādojuma grafiks divos mainīgajos ir taisna līnija? Nē. Piemēram, lineāro vienādojumu 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 apmierina jebkurš skaitļu pāris, un tāpēc šī vienādojuma grafikā ir visi koordinātu plaknes punkti.
Noskaidrosim, kāds ir lineāra vienādojuma grafiks ar diviem mainīgajiem ax + bу + c = 0 atkarībā no koeficientu a, b un c vērtībām. Tādi gadījumi ir iespējami.
Pieņemsim, ka a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0. Tad vienādojumu ax + ar + c = 0 var attēlot šādi:
Esam ieguvuši vienādību, kas definē lineāro funkciju y(x). Viņas grafiks un līdz ar to arī grafiks dots vienādojums ir taisne, kas neiet cauri koordinātu sākumpunktam (67. att.).
2. Pieņemsim, ka a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0. Tad vienādojums ax + by + c = 0 iegūst formu ax + by + 0 = 0 vai y = x.
Esam ieguvuši vienādību, kas nosaka tiešo proporcionalitāti y(x). Tās grafiks un līdz ar to arī šī vienādojuma grafiks ir taisna līnija, kas iet caur koordinātu sākumpunktu (68. att.).
3. Pieņemsim, ka a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0. Tad vienādojums ax + by + c = 0 iegūst formu ax + 0 ∙ y + c = 0 vai x = -.
Saņemtā vienādība nenorāda y() funkciju. Šo vienādību apmierina tādi skaitļu pāri (x; y), kuros x = , un y ir jebkurš skaitlis. Koordinātu plaknē šie punkti atrodas uz taisnas līnijas, kas ir paralēla OY asij. Tātad šī vienādojuma grafiks ir taisne, kas ir paralēla ordinātu asij (69. att.).
4. Pieņemsim, ka a ≠ 0, b = 0, c = 0. Tad vienādojums ax + by + c = 0 iegūst formu ax + 0 ∙ y + 0 = 0 vai x = 0.
Šo vienādību apmierina tādi skaitļu pāri (x; y), kuros x = 0 un y ir jebkurš skaitlis. Koordinātu plaknē šie punkti atrodas uz OY ass. Tātad šī vienādojuma grafiks ir taisna līnija, kas sakrīt ar ordinātu asi.
5. Pieņemsim, ka a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠0. Tad vienādojums ax + bу + c = 0 iegūst formu 0 ∙ x + by + c = 0 vai y = -. Šī vienādība definē funkciju y(x), kas iegūst tādas pašas vērtības jebkurai x vērtībai, tas ir, tā ir nemainīga. Tā grafiks un līdz ar to arī šī vienādojuma grafiks ir taisne, kas ir paralēla abscisu asij (70. att.).
6. Pieņemsim, ka a = 0, b ≠ 0, c = 0. Tad vienādojums ax + x + c = 0 iegūst formu 0 ∙ x + ar + 0 = 0 vai b = 0. Mēs ieguvām konstantu funkciju y( x), kurā katrs grafikas punkts atrodas uz OX ass. Tātad šī vienādojuma grafiks ir taisna līnija, kas sakrīt ar abscisu asi.
7. Pieņemsim, ka a = 0, b = 0, c ≠ 0. Tad vienādojums ax + x + c = 0 iegūst formu 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0 vai 0 ∙ x + 0 ∙ b = c . Un šādam lineāram vienādojumam nav atrisinājumu, tāpēc tā grafikā nav neviena punkta koordinātu plaknē.
8. Pieņemsim, ka a = 0, b = 0, c = 0. Tad vienādojums ax + by + c = 0 iegūst formu 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0 vai 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 Šādam lineāram vienādojumam ir daudz risinājumu, tāpēc tā grafiks ir visa koordinātu plakne.
Mēs varam apkopot iegūtos rezultātus.
Lineāra vienādojuma grafiks ar diviem mainīgajiem ax + bу + с = 0:
Ir taisns, ja a ≠ 0 vai b ≠ 0;
Vai visa plakne ir, ja a = 0, b = 0 un c = 0;
Nesatur nevienu koordinātu plaknes punktu, ja a = 0, b = 0 un c ≠ 0.
Uzdevums. Uzzīmējiet vienādojumu 2x - y - 3 = 0
Risinājumi. Vienādojums 2x - y - 3 = 0 ir lineārs. Tāpēc tā grafiks ir taisne y = 2x - 3. Lai to izveidotu, pietiek norādīt divus punktus, kas pieder šai līnijai. Izveidosim tabulu ar y vērtībām divām patvaļīgām x vērtībām, piemēram, ja x = 0 un x = 2 (27. tabula).
27. tabula
Koordinātu plaknē apzīmējam punktus ar koordinātām (0; -3) un (2; 1) un caur tiem novelkam taisnu līniju (70. att.). Šī taisne ir vēlamais vienādojuma grafiks 2x - y - 3 = 0.
Vai ir iespējams identificēt lineāra vienādojuma grafiku ar diviem mainīgajiem un pirmās pakāpes vienādojuma grafiku ar diviem mainīgajiem? Nē, jo ir lineāri vienādojumi, kas nav pirmās pakāpes vienādojumi. Piemēram, tie ir vienādojums 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0, 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0.
Lūdzu, ņemiet vērā:
Lineāra vienādojuma grafiks divos mainīgajos var būt taisna līnija, visa plakne vai nesatur vienu punktu koordinātu plaknē;
Pirmās pakāpes vienādojuma grafiks divos mainīgajos vienmēr ir taisns.
Uzziniet vairāk
1. Ļaujiet a ≠ 0. Tad vispārējs risinājums Vienādojumus var uzrādīt arī šādā formā: X = - y -. Mēs ieguvām lineāru funkciju x(y). Tās grafiks ir taisna līnija. Lai izveidotu šādu grafiku, koordinātu asis ir jāapvieno atšķirīgi: vispirms koordinātu ass(neatkarīgs mainīgais) apsveriet darbības pastiprinātāja asi un otro (atkarīgo mainīgo)
VĒRSIS ass. Tad ir ērti novietot OU asi horizontāli un OX asi
Vertikāli (72. att.). Arī vienādojuma grafiks šajā gadījumā koordinātu plaknē tiks novietots atšķirīgi atkarībā no koeficientu b un c atzīmēm. Izpētiet to pats.
2. Nikolajs Nikolajevičs Bogoļubovs (1909-1992) - izcils sadzīves matemātiķis un mehāniķis, teorētiskais fiziķis, nelineārās mehānikas un teorētiskās fizikas zinātnisko skolu dibinātājs, Ukrainas PSR Zinātņu akadēmijas (1948) un Zinātņu akadēmijas akadēmiķis. PSRS (kopš 1953. gada). Dzimis Ņižņijnovgoroda Krievijas impērija. 1921. gadā ģimene pārcēlās uz dzīvi Kijevā. Pēc septiņgadīgās skolas beigšanas Bogoļubovs patstāvīgi studēja fiziku un matemātiku un no 14 gadu vecuma jau piedalījās seminārā Kijevas Universitātes Matemātiskās fizikas katedrā akadēmiķa D. A. Grīva vadībā. 1924. gadā, 15 gadu vecumā, Bogoļubovs uzrakstīja savu pirmo zinātnisko darbu, un nākamajā gadā akadēmiķi viņu pieņēma ANURSR absolventu skolā. M. Krilovs, kuru beidzis 1929. gadā, 20 gadu vecumā saņemot matemātikas zinātņu doktora grādu.
1929. gadā lpp. MM. Bogoļubovs kļuva pētnieks Ukrainas Zinātņu akadēmija, 1934. gadā sāka mācīt Kijevas Universitātē (kopš 1936. gada - profesors). Kopš XX gadsimta 40. gadu beigām. Tajā pašā laikā viņš strādāja Krievijā. Viņš bija Apvienotā Kodolpētījumu institūta direktors un vēlāk - Matemātikas institūta direktors. A. Steklova Maskavā, pasniedza Maskavas augstskolā valsts universitāte nosaukts Mihaila Lomonosova vārdā. 1966. gadā viņš kļuva par viņa izveidotā Ukrainas Zinātņu akadēmijas Teorētiskās fizikas institūta Kijevā pirmo direktoru un tajā pašā laikā (1963-1988) bija akadēmiķis un matemātikas katedras sekretārs. PSRS Zinātņu akadēmija.
MM. Bogoļubovs - divreiz Sociālistiskā darba varonis (1969,1979), apbalvots ar Ļeņina prēmiju (1958), PSRS Valsts prēmiju (1947.1953,1984), zelta medaļu. M. V. Lomonosova PSRS Zinātņu akadēmija (1985).
2009. gada 21. septembrī uz Tarasa Ševčenko Kijevas Nacionālās universitātes Sarkanās ēkas fasādes notika piemiņas plāksne spožajam akadēmiķim Nikolajam Bogoļubovam par godu viņa dzimšanas simtgadei.
1992. gadā Ukrainas Nacionālā Zinātņu akadēmija nodibināja N. M. Bogoļubova vārdā nosaukto NAS Ukrainas balvu, ko Ukrainas NAS Matemātikas katedra piešķir par izciliem panākumiem. zinātniskie darbi matemātikā un teorētiskajā fizikā. Par godu zinātniekam tika nosaukta mazā planēta “22616 Bogolyubov”.
ATCERIETIES SVARĪGO
1. Kāds ir lineāra vienādojuma grafiks divos mainīgajos?
2. Jebkurā gadījumā vienādojuma grafiks ar diviem mainīgajiem ir taisna līnija; lidmašīna?
3. Kādā gadījumā lineāra vienādojuma grafiks divos mainīgajos iet caur izcelsmi?
RISINĀT PROBLĒMAS
1078 . Kurš no 73.–74. attēliem parāda lineāra vienādojuma grafiku divos mainīgajos? Paskaidrojiet savu atbildi.
1079 . Pie kādām koeficientu a, b un c vērtībām ir taisne ax + bу + c = 0.
1) iet caur izcelsmi;
2) paralēli x asij;
3) paralēli ordinātu asij;
4) sakrīt ar abscisu asi;
5) sakrīt ar ordinātu asi?
1080 . Neveicot konstruēšanu, nosakiet, vai punkts pieder lineāra vienādojuma grafikam ar diviem mainīgajiem 6x - 2y + 1 = 0:
1) A(-1;2,5); 2)B(0;3,5); 3) C(-2; 5,5); 4)D(1,5;5).
1081 . Neveicot konstruēšanu, nosakiet, vai punkts pieder lineāra vienādojuma grafikam ar diviem mainīgajiem 3x + 3y - 5 = 0:
1) A (-1; ); 2) B (0; 1).
1082
1) 2x + y - 4 = 0, ja x = 0; 3) 3x + 3y - 1 = 0, ja x = 2;
2) 4x - 2y + 5 = 0, ja x = 0; 4) -5x - y + 6 = 0, ja x = 2.
1083 . Dotam lineāram vienādojumam divos mainīgajos, atrodiet y vērtību, kas atbilst iestatītā vērtība X:
1) 3x - y + 2 = 0, ja x = 0; 2) 6x - 5y - 7 = 0, ja x = 2.
1084
1) 2x + y - 4 = 0; 4) -x + 2y + 8 = 0; 7) 5x - 10 = 0;
2) 6x - 2y + 12 = 0; 5)-x - 2y + 4 = 0; 8)-2u + 4 = 0;
3) 5x - 10y = 0; 6)x - y = 0; 9) x - y = 0.
1085 . Grafiksējiet lineāro vienādojumu ar diviem mainīgajiem:
1) 4x + y - 3 = 0; 4) 10x - 5y - 1 = 0;
2) 9x - 3y + 12 = 0; 5) 2x + 6 = 0;
3) -4x - 8y = 0; 6) y - 3 = 0.
1086 . Atrodiet lineāra vienādojuma grafika ar diviem mainīgajiem 2x - 3y - 18 = 0 krustošanās punkta koordinātas ar asi:
1) asis; 2) cirvji.
1087 . Atrodiet lineāra vienādojuma grafika ar diviem mainīgajiem 5x + 4y - 20 = 0 krustošanās punkta koordinātas ar asi:
1) asis; 2) cirvji.
1088 . Uz taisnes, kas ir vienādojuma grafiks 0,5 x + 2y - 4 = 0, ir norādīts punkts. Atrodiet šī punkta ordinātas, ja tā abscisa ir:
5) 4(x - y) = 4 - 4y;
6) 7x - 2y = 2 (1 + 3,5 x).
1094 . Lineāra vienādojuma grafiks divos mainīgajos iet caur punktu A(3; -2). Atrodiet nezināmo vienādojuma koeficientu:
1) cirvis + 3y - 3 = 0;
2) 2x - ar + 8 = 0;
3)-x + 3y - c = 0.
1095 . Nosakiet četrstūra veidu, kura virsotnes ir vienādojumu grafiku krustošanās punkti:
x - y + 4 = 0, x - y - 4 = 0, -x - y + 4 = 0, -x - y - 4 = 0
1096 . Uzzīmējiet vienādojumu:
1) a - 4b + 1 = 0; 3) 3a + 0 ∙ b - 12 = 0;
2) 0 ∙ a + 2b + 6 = 0; 4) 0 ∙ a + 0 ∙ b + 5 = 0.
LIETOJIET TO PRAKSĒ
1097 . Izveidojiet lineāru vienādojumu ar diviem mainīgajiem, pamatojoties uz šādiem datiem: 1) 3 kg saldumu un 2 kg cepumu maksā 120 UAH; 2) 2 pildspalvas ir par 20 UAH dārgākas nekā 5 zīmuļi. Grafiksējiet izveidoto vienādojumu.
1098 . Izveidojiet uzdevuma vienādojuma grafiku par: 1) meiteņu un zēnu skaitu jūsu klasē; 2) oderētu un kvadrātveida piezīmju grāmatiņu iegāde.
PĀRSKATĪT PROBLĒMAS
1099. Tūrists stundā nostaigāja 12 km. Cik stundas būs nepieciešamas, lai tūrists ar tādu pašu ātrumu veiktu 20 km garu distanci?
1100. Kādam jābūt vilciena ātrumam pēc jaunā saraksta, lai tas attālumu starp divām stacijām varētu veikt 2,5 stundās, ja pēc vecā saraksta, braucot ar ātrumu 100 km/h, to nobrauca 3 stundas?
§ 1 Vienādojuma sakņu izvēle reālās situācijās
Apskatīsim šo reālo situāciju:
Meistars un māceklis kopā izgatavoja 400 pasūtījuma detaļas. Turklāt meistars strādāja 3 dienas, bet students 2 dienas. Cik detaļu izgatavoja katrs cilvēks?
Izveidosim šīs situācijas algebrisko modeli. Ļaujiet meistaram izgatavot detaļas 1 dienā. Un students ir pie detaļām. Tad meistars 3 dienās izgatavos 3 daļas, bet skolēns 2 dienās izgatavos 2 daļas. Kopā viņi ražos 3 + 2 daļas. Tā kā saskaņā ar nosacījumu kopumā tika izgatavotas 400 detaļas, mēs iegūstam vienādojumu:
Iegūto vienādojumu sauc par lineāro vienādojumu divos mainīgajos. Šeit mums jāatrod skaitļu x un y pāris, kuriem vienādojums būs patiesas skaitliskās vienādības formā. Ņemiet vērā, ka, ja x = 90, y = 65, tad mēs iegūstam vienādību:
3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400
Tā kā ir iegūta pareizā skaitliskā vienādība, skaitļu pāris 90 un 65 būs šī vienādojuma risinājums. Taču atrastais risinājums nav vienīgais. Ja x = 96 un y = 56, tad iegūstam vienādību:
96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400
Šī ir arī patiesa skaitliskā vienādība, kas nozīmē, ka skaitļu pāris 96 un 56 ir arī šī vienādojuma risinājums. Bet skaitļu pāris x = 73 un y = 23 nebūs šī vienādojuma risinājums. Faktiski 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 dos mums nepareizu skaitlisko vienādību 265 = 400. Jāņem vērā, ka, ja mēs aplūkosim vienādojumu saistībā ar šo reālo situāciju, tad būs skaitļu pāri, kas, esot šī vienādojuma risinājums nebūs problēmas risinājums. Piemēram, pāris skaitļi:
x = 200 un y = -100
ir vienādojuma risinājums, bet skolēns nevar izveidot -100 daļas, un tāpēc šāds skaitļu pāris nevar būt atbilde uz uzdevuma jautājumu. Tādējādi katrā konkrētajā reālajā situācijā ir jāizmanto saprātīga pieeja vienādojuma sakņu izvēlei.
Apkoposim pirmos rezultātus:
Vienādojumu formā ax + bу + c = 0, kur a, b, c ir jebkuri skaitļi, sauc par lineāru vienādojumu ar diviem mainīgajiem.
Lineāra vienādojuma risinājums divos mainīgajos ir skaitļu pāris, kas atbilst x un y, kuram vienādojums pārvēršas par patiesu skaitlisko vienādību.
§ 2 Lineāra vienādojuma grafiks
Jau pats pāra (x;y) ieraksts liek domāt par iespēju to attēlot kā punktu ar koordinātām xy y plaknē. Tas nozīmē, ka mēs varam iegūt konkrētas situācijas ģeometrisko modeli. Piemēram, apsveriet vienādojumu:
2x + y - 4 = 0
Izvēlēsimies vairākus skaitļu pārus, kas būs šī vienādojuma atrisinājumi un konstruēsim punktus ar atrastajām koordinātēm. Lai tie ir punkti:
A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).
Ņemiet vērā, ka visi punkti atrodas uz vienas līnijas. Šo līniju sauc par lineāra vienādojuma grafiku divos mainīgajos. Tas ir dotā vienādojuma grafisks (vai ģeometrisks) modelis.
Ja skaitļu pāris (x;y) ir vienādojuma risinājums
ax + vy + c = 0, tad punkts M(x;y) pieder vienādojuma grafikam. Var teikt arī otrādi: ja punkts M(x;y) pieder pie vienādojuma ax + y + c = 0 grafikam, tad skaitļu pāris (x;y) ir šī vienādojuma atrisinājums.
No ģeometrijas kursa mēs zinām:
Lai uzzīmētu taisnu līniju, nepieciešami 2 punkti, tāpēc, lai uzzīmētu lineāra vienādojuma grafiku ar diviem mainīgajiem, pietiek zināt tikai 2 risinājumu pārus. Bet sakņu uzminēšana ne vienmēr ir ērta vai racionāla procedūra. Jūs varat rīkoties saskaņā ar citu noteikumu. Tā kā punkta abscisa (mainīgais x) ir neatkarīgs mainīgais, varat tam piešķirt jebkuru ērtu vērtību. Aizvietojot šo skaitli vienādojumā, mēs atrodam mainīgā y vērtību.
Piemēram, dosim vienādojumu:
Pieņemsim, ka x = 0, tad iegūstam 0 - y + 1 = 0 vai y = 1. Tas nozīmē, ka, ja x = 0, tad y = 1. Šī vienādojuma atrisinājums ir skaitļu pāris (0;1). Iestatīsim citu vērtību mainīgajam x: x = 2. Tad iegūstam 2 - y + 1 = 0 vai y = 3. Ciparu pāris (2;3) arī ir šī vienādojuma risinājums. Izmantojot divus atrastos punktus, jau ir iespējams izveidot vienādojuma x - y + 1 = 0 grafiku.
To var izdarīt: vispirms piešķiriet kādu konkrētu vērtību mainīgajam y un tikai pēc tam aprēķiniet x vērtību.
§ 3 Vienādojumu sistēma
Atrodi divus naturālie skaitļi, kuru summa ir 11 un starpība ir 1.
Lai atrisinātu šo problēmu, vispirms izveidojam matemātisko modeli (proti, algebrisko). Ļaujiet pirmajam skaitlim būt x un otrajam skaitlim y. Tad skaitļu summa x + y = 11 un skaitļu starpība x - y = 1. Tā kā abi vienādojumi attiecas uz vieniem un tiem pašiem skaitļiem, šie nosacījumi ir jāizpilda vienlaikus. Parasti šādos gadījumos tiek izmantots īpašs ieraksts. Vienādojumi ir uzrakstīti viens zem otra un apvienoti ar cirtainu figūriekava.
Šādu ierakstu sauc par vienādojumu sistēmu.
Tagad izveidosim katra vienādojuma atrisinājumu kopas, t.i. katra vienādojuma diagrammas. Ņemsim pirmo vienādojumu:
Ja x = 4, tad y = 7. Ja x = 9, tad y = 2.
Novelkam taisni caur punktiem (4;7) un (9;2).
Ņemsim otro vienādojumu x - y = 1. Ja x = 5, tad y = 4. Ja x = 7, tad y = 6. Izvelkam arī taisni caur punktiem (5;4) un (7;6) ). Mēs ieguvām problēmas ģeometrisko modeli. Mūs interesējošajam skaitļu pārim (x;y) ir jābūt abu vienādojumu risinājumam. Attēlā redzams viens punkts, kas atrodas uz abām taisnēm, tas ir līniju krustošanās punkts.
Tās koordinātas ir (6;5). Tāpēc problēmas risinājums būs šāds: pirmais nepieciešamais skaitlis ir 6, otrais ir 5.
Izmantotās literatūras saraksts:
- Mordkovičs A.G., Algebra 7. klase 2 daļās, 1. daļa, Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm / A.G. Mordkovičs. – 10. izd., pārstrādāts – Maskava, “Mnemosyne”, 2007. gads
- Mordkovičs A.G., Algebra 7. klase 2 daļās, 2. daļa, Problēmu grāmata izglītības iestādēm / [A.G. Mordkovičs un citi]; rediģēja A.G. Mordkovičs - 10. izdevums, pārskatīts - Maskava, “Mnemosyne”, 2007
- VIŅA. Tulčinskaja, Algebra 7. klase. Blitz aptauja: rokasgrāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem, 4. izdevums, pārstrādāts un paplašināts, Maskava, “Mnemosyne”, 2008
- Aleksandrova L.A., Algebra 7.kl. Tematisks pārbaudes darbs V jauna forma vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem A.G. redakcijā. Mordkovičs, Maskava, “Mnemosyne”, 2011
- Aleksandrova L.A. Algebra 7. klase. Patstāvīgs darbs vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem A.G. redakcijā. Mordkovičs - 6. izdevums, stereotipisks, Maskava, “Mnemosyne”, 2010
Lineārais vienādojums ar diviem mainīgajiem - jebkurš vienādojums, kam ir šāda forma: a*x + b*y =с. Šeit x un y ir divi mainīgie, a, b, c ir daži skaitļi.
Lineārā vienādojuma a*x + b*y = c risinājums ir jebkurš skaitļu pāris (x,y), kas apmierina šo vienādojumu, tas ir, pārvērš vienādojumu ar mainīgajiem x un y par pareizu skaitlisko vienādību. Lineāram vienādojumam ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.
Ja katrs skaitļu pāris, kas ir lineāra vienādojuma atrisinājumi divos mainīgajos, ir attēlots koordinātu plaknē kā punkti, tad visi šie punkti veido lineārā vienādojuma grafiku divos mainīgajos. Punktu koordinātas būs mūsu x un y vērtības. Šajā gadījumā x vērtība būs abscisa, un y vērtība būs ordināta.
Lineāra vienādojuma grafiks divos mainīgajos
Lineāra vienādojuma grafiks ar diviem mainīgajiem ir visu iespējamo punktu kopa koordinātu plaknē, kuru koordinātes būs šī lineārā vienādojuma atrisinājumi. Ir viegli uzminēt, ka grafiks būs taisna līnija. Tāpēc šādus vienādojumus sauc par lineāriem.
Konstrukcijas algoritms
Algoritms lineāra vienādojuma attēlošanai divos mainīgajos.
1. Uzzīmējiet koordinātu asis, iezīmējiet tās un atzīmējiet mērvienību mērogu.
2. Lineārā vienādojumā ielieciet x = 0 un atrisiniet iegūto vienādojumu y. Atzīmējiet iegūto punktu grafikā.
3. Lineārā vienādojumā ņemiet skaitli 0 kā y un atrisiniet iegūto vienādojumu x. Atzīmējiet iegūto punktu grafikā
4. Ja nepieciešams, ņemiet patvaļīgu x vērtību un atrisiniet iegūto vienādojumu y. Atzīmējiet iegūto punktu grafikā.
5. Savienojiet iegūtos punktus un turpiniet grafiku aiz tiem. Parakstiet iegūto taisno līniju.
Piemērs: Uzzīmējiet vienādojumu 3*x - 2*y =6;
Liksim x=0, tad - 2*y =6; y = -3;
Liksim y=0, tad 3*x = 6; x=2;
Iegūtos punktus atzīmējam grafikā, caur tiem novelkam taisnu līniju un apzīmējam. Apskatiet attēlu zemāk, diagrammai vajadzētu izskatīties tieši šādi.
Mēs bieži sastapāmies ar vienādojumiem formā ax + b = 0, kur a, b ir skaitļi, x ir mainīgais. Piemēram, bx - 8 = 0, x + 4 = O, - 7x - 11 = 0 utt. Skaitļi a, b (vienādojuma koeficienti) var būt jebkuri, izņemot gadījumu, kad a = 0.
Vienādojumu ax + b = 0, kur a, sauc par lineāru vienādojumu ar vienu mainīgo x (vai lineāro vienādojumu ar vienu nezināmu x). Mēs to varam atrisināt, tas ir, izteikt x caur a un b:
Iepriekš mēs to atzīmējām diezgan bieži matemātiskais modelis reālā situācija ir lineārs vienādojums ar vienu mainīgo vai vienādojums, kas pēc transformācijām reducējas līdz lineāram. Tagad apskatīsim šo reālo situāciju.
No pilsētām A un B, kuru attālums ir 500 km, viens pret otru aizbrauc divi vilcieni, katrs ar savu nemainīgs ātrums. Zināms, ka pirmais vilciens aizbrauca 2 stundas agrāk nekā otrais. 3 stundas pēc otrā vilciena atiešanas viņi satikās. Kādi ir vilcienu ātrumi?
Izveidosim problēmas matemātisko modeli. Lai x km/h ir pirmā vilciena ātrums, y km/h ir otrā vilciena ātrums. Pirmais bija ceļā 5 stundas un līdz ar to veica bx km garu distanci. Otrs vilciens bija ceļā 3 stundas, t.i. nogāja 3 km distanci.
Viņu tikšanās notika punktā C. 31. attēlā parādīts situācijas ģeometriskais modelis. Algebriskajā valodā to var aprakstīt šādi:
5x + Zu = 500
vai
5x + Zu - 500 = 0.
Šo matemātisko modeli sauc par lineāro vienādojumu ar diviem mainīgajiem x, y.
vispār,
ax + by + c = 0,
kur a, b, c ir skaitļi, un , ir lineāra vienādojums ar diviem mainīgajiem x un y (vai ar diviem nezināmiem x un y).
Atgriezīsimies pie vienādojuma 5x + 3 = 500. Mēs atzīmējam, ka, ja x = 40, y = 100, tad 5 40 + 3 100 = 500 ir pareiza vienādība. Tas nozīmē, ka atbilde uz problēmas jautājumu var būt šāda: pirmā vilciena ātrums ir 40 km/h, otrā vilciena ātrums ir 100 km/h. Skaitļu pāri x = 40, y = 100 sauc par vienādojuma 5x + 3 = 500 atrisinājumu. Ir arī teikts, ka šis vērtību pāris (x; y) apmierina vienādojumu 5x + 3 = 500.
Diemžēl šis risinājums nav vienīgais (mēs visi mīlam noteiktību un nepārprotamību). Faktiski ir iespējama arī šāda iespēja: x = 64, y = 60; patiešām, 5 64 + 3 60 = 500 ir pareiza vienlīdzība. Un šis: x = 70, y = 50 (jo 5 70 + 3 50 = 500 ir patiesa vienlīdzība).
Bet, teiksim, skaitļu pāris x = 80, y = 60 nav vienādojuma risinājums, jo ar šīm vērtībām patiesa vienlīdzība nedarbojas:
Kopumā vienādojuma ax + by + c = 0 risinājums ir jebkurš skaitļu pāris (x; y), kas apmierina šo vienādojumu, tas ir, pārvērš vienādību ar mainīgajiem ax + ar + c = 0 par patiesu skaitlisko vērtību vienlīdzība. Šādu risinājumu ir bezgala daudz.
komentēt. Vēlreiz atgriezīsimies pie vienādojuma 5x + 3 = 500, kas iegūts iepriekš apskatītajā uzdevumā. Starp bezgalīgi daudzajiem tās atrisinājumiem ir, piemēram, šādi: x = 100, y = 0 (tiešām, 5 100 + 3 0 = 500 ir pareiza skaitliska vienādība); x = 118, y = - 30 (jo 5118 + 3 (-30) = 500 ir pareiza skaitliskā vienādība). Tomēr būt vienādojuma risinājumi, šie pāri nevar kalpot kā šīs problēmas risinājumi, jo vilciena ātrums nevar būt vienāds ar nulli (tad tas nekustas, bet stāv uz vietas); Turklāt vilciena ātrums nevar būt negatīvs (tad tas nebrauc pretī citam vilcienam, kā teikts problēmas paziņojumā, bet gan pretējā virzienā).
1. piemērs. Uzzīmējiet risinājumus lineāram vienādojumam ar diviem mainīgajiem x + y - 3 = 0 pa punktiem xOy koordinātu plaknē.
Risinājums. Izvēlēsimies vairākus risinājumus dots vienādojums, t.i., vairāki skaitļu pāri, kas apmierina vienādojumu: (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (- 2; 5).
A. V. Pogorelovs, Ģeometrija 7.-11.klasei, Mācību grāmata izglītības iestādēm
Nodarbības saturs nodarbību piezīmes atbalsta ietvarstundu prezentācijas paātrināšanas metodes interaktīvās tehnoloģijas Prakse uzdevumi un vingrinājumi pašpārbaudes darbnīcas, apmācības, gadījumi, uzdevumi mājasdarbi diskusijas jautājumi retoriski jautājumi no studentiem Ilustrācijas audio, video klipi un multivide fotogrāfijas, attēli, grafikas, tabulas, diagrammas, humors, anekdotes, joki, komiksi, līdzības, teicieni, krustvārdu mīklas, citāti Papildinājumi tēzes raksti triki zinātkārajiem bērnu gultiņas mācību grāmatas pamata un papildu terminu vārdnīca citi Mācību grāmatu un stundu pilnveidošanakļūdu labošana mācību grāmatā fragmenta atjaunināšana mācību grāmatā, inovācijas elementi stundā, novecojušo zināšanu aizstāšana ar jaunām Tikai skolotājiem ideālas nodarbības kalendāra plāns uz gadu metodiskie ieteikumi diskusiju programmas Integrētās nodarbības