Gausa metodes piemēri ar risinājumu manekeniem. Gausa metode matricu risināšanai. Lineāro vienādojumu sistēmas risināšana pēc Gausa metodes

Sistēmu risinājums lineārie vienādojumi Gausa metode. Pieņemsim, ka mums ir jāatrod risinājums sistēmai no n lineāri vienādojumi ar n nezināmi mainīgie
kuras galvenās matricas determinants atšķiras no nulles.

Gausa metodes būtība sastāv no nezināmu mainīgo lielumu secīgas likvidēšanas: vispirms likvidējot x 1 no visiem sistēmas vienādojumiem, sākot no otrā, tālāk tiek izslēgts x 2 no visiem vienādojumiem, sākot ar trešo un tā tālāk, līdz pēdējā vienādojumā paliek tikai nezināmais mainīgais x n. Šis process, kas pārveido sistēmas vienādojumus secīga likvidēšana tiek saukti nezināmi mainīgie tiešā Gausa metode. Pēc Gausa metodes progresēšanas uz priekšu pabeigšanas no pēdējā vienādojuma mēs atrodam x n, izmantojot šo vērtību no priekšpēdējā vienādojuma, ko mēs aprēķinām xn-1, un tā tālāk, sākot no pirmā atrastā vienādojuma x 1. Nezināmu mainīgo aprēķina procesu, pārejot no pēdējā sistēmas vienādojuma uz pirmo, sauc apgrieztā Gausa metode.

Īsi aprakstīsim nezināmo mainīgo likvidēšanas algoritmu.

Mēs pieņemsim, ka , jo mēs vienmēr varam to panākt, mainot sistēmas vienādojumus. Likvidējiet nezināmo mainīgo x 1 no visiem sistēmas vienādojumiem, sākot no otrā. Lai to izdarītu, sistēmas otrajam vienādojumam mēs pievienojam pirmo, kas reizināts ar , trešajam vienādojumam pievienojam pirmo, reizinātu ar , un tā tālāk, lai nth vienādojumam pievienojam pirmo, kas reizināts ar . Pēc šādām transformācijām vienādojumu sistēma iegūs formu

kur un .

Mēs nonāktu pie tāda paša rezultāta, ja izteiktos x 1 izmantojot citus nezināmus mainīgos sistēmas pirmajā vienādojumā, un iegūtā izteiksme tika aizstāta ar visiem citiem vienādojumiem. Tātad mainīgais x 1 izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot no otrā.

Tālāk mēs rīkojamies līdzīgi, bet tikai ar daļu no iegūtās sistēmas, kas ir atzīmēta attēlā

Lai to izdarītu, sistēmas trešajam vienādojumam pievienojam otro, kas reizināts ar , ceturtajam vienādojumam pievieno otro, reizinot ar , un tā tālāk, lai nth vienādojumam pievienojam otro, kas reizināts ar . Pēc šādām transformācijām vienādojumu sistēma iegūs formu

kur un . Tātad mainīgais x 2 izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot no trešā.

Tālāk mēs pārejam pie nezināmā likvidēšanas x 3, šajā gadījumā mēs rīkojamies līdzīgi ar attēlā atzīmēto sistēmas daļu

Tātad mēs turpinām tiešo Gausa metodes virzību, līdz sistēma iegūst formu

No šī brīža mēs sākam Gausa metodes apvērsumu: mēs aprēķinām x n no pēdējā vienādojuma kā, izmantojot iegūto vērtību x n mēs atrodam xn-1 no priekšpēdējā vienādojuma un tā tālāk, mēs atrodam x 1 no pirmā vienādojuma.

Piemērs.

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu Gausa metode.

Šeit jūs varat bez maksas atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu Gausa metode tiešsaistē lieli izmēri kompleksos skaitļos ar ļoti detalizētu risinājumu. Mūsu kalkulators tiešsaistē var atrisināt gan parastās noteiktas, gan nenoteiktas lineāro vienādojumu sistēmas ar Gausa metodi, kurai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Šajā gadījumā atbildē jūs saņemsiet dažu mainīgo atkarību caur citiem, brīviem. Varat arī pārbaudīt vienādojumu sistēmas konsekvenci tiešsaistē, izmantojot Gausa risinājumu.

Par metodi

Risinot lineāro vienādojumu sistēmu tiešsaistē, izmantojot Gausa metodi, tiek veiktas šādas darbības.

1. Mēs rakstām paplašināto matricu.
2. Faktiski risinājums ir sadalīts Gausa metodes soļos uz priekšu un atpakaļ. Gausa metodes tiešā pieeja ir matricas reducēšana uz pakāpenisku formu. Gausa metodes reverss ir matricas reducēšana uz īpašu pakāpenisku formu. Bet praksē ērtāk ir nekavējoties nullēt to, kas atrodas gan virs, gan zem attiecīgā elementa. Mūsu kalkulators izmanto tieši šo pieeju.
3. Svarīgi atzīmēt, ka, risinot ar Gausa metodi, vismaz vienas nulles rindas klātbūtne matricā ar NE-nulles labo pusi (brīvo terminu kolonna) norāda uz sistēmas nesaderību. Risinājums lineārā sistēmašajā gadījumā tas neeksistē.

Lai vislabāk saprastu, kā Gausa algoritms darbojas tiešsaistē, ievadiet jebkuru piemēru, atlasiet “ļoti detalizēts risinājums un meklējiet viņa risinājumu tiešsaistē.

Mēs turpinām apsvērt lineāro vienādojumu sistēmas. Šī ir trešā nodarbība par šo tēmu. Ja jums ir neskaidrs priekšstats par to, kas vispār ir lineāro vienādojumu sistēma, ja jūtaties kā tējkanna, tad iesaku sākt ar pamatiem lapā Tālāk, ir lietderīgi izpētīt stundu.

Gausa metode ir vienkārša! Kāpēc? Slavenais vācu matemātiķis Johans Kārlis Frīdrihs Gauss savas dzīves laikā saņēma atzinību kā visu laiku lielākais matemātiķis, ģēnijs un pat iesauku “matemātikas karalis”. Un viss ģeniālais, kā zināms, ir vienkāršs! Starp citu, naudu dabū ne tikai piesūcekņi, bet arī ģēniji - Gausa portrets bija uz 10 Vācijas marku banknotes (pirms eiro ieviešanas), un Gauss joprojām mistiski smaida vāciešiem no parastām pastmarkām.

Gausa metode ir vienkārša ar to, ka, lai to apgūtu, PIETIEK PIEKKTĀS KLASES SKOLĒNA ZINĀŠANĀS. Jums jāzina, kā pievienot un reizināt! Nav nejaušība, ka skolotāji skolas matemātikas izvēles priekšmetos bieži apsver nezināmo vielu secīgas izslēgšanas metodi. Tas ir paradokss, bet studentiem Gausa metode šķiet visgrūtākā. Nekas pārsteidzošs - tas viss attiecas uz metodoloģiju, un es mēģināšu runāt par metodes algoritmu pieejamā veidā.

Pirmkārt, sistematizēsim nedaudz zināšanas par lineāro vienādojumu sistēmām. Lineāro vienādojumu sistēma var:

1) ir unikāls risinājums. 2) Ir bezgalīgi daudz risinājumu. 3) Nav risinājumu (esiet nav locītavu).

Gausa metode ir visspēcīgākais un universālākais līdzeklis risinājuma atrašanai jebkura lineāro vienādojumu sistēmas. Kā mēs atceramies, Krāmera noteikums un matricas metode nav piemēroti gadījumos, kad sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu vai tā ir nekonsekventa. Un nezināmo secīgas likvidēšanas metode Vienalga novedīs mūs pie atbildes! Ieslēgts šī nodarbība Atkal apskatīsim Gausa metodi gadījumam Nr.1 ​​(vienīgais sistēmas risinājums), raksts ir veltīts 2.-3.punkta situācijām. Es atzīmēju, ka pašas metodes algoritms darbojas vienādi visos trīs gadījumos.

Atgriezīsimies pie vienkāršākās sistēmas no nodarbības Kā atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu? un atrisināt to, izmantojot Gausa metodi.

Pirmais solis ir pierakstīt paplašināta sistēmas matrica: . Es domāju, ka katrs var redzēt, pēc kāda principa tiek rakstīti koeficienti. Vertikālajai līnijai matricas iekšpusē nav nekādas matemātiskas nozīmes - tas ir vienkārši pārsvītrojums dizaina ērtībai.

Atsauce : Iesaku atcerēties noteikumiem lineārā algebra. Sistēmas matrica ir matrica, kas sastāv tikai no nezināmo faktoru koeficientiem, šajā piemērā sistēmas matrica: . Paplašinātās sistēmas matrica – šī ir tā pati sistēmas matrica plus brīvo terminu kolonna, šajā gadījumā: . Īsuma labad jebkuru no matricām var vienkārši saukt par matricu.

Pēc paplašinātās sistēmas matricas uzrakstīšanas ar to ir jāveic dažas darbības, kuras arī sauc elementāras pārvērtības.

Pastāv šādas elementāras transformācijas:

1) Stīgas matricas Var pārkārtot dažās vietās. Piemēram, aplūkojamajā matricā jūs varat nesāpīgi pārkārtot pirmo un otro rindu:

2) Ja matricā ir (vai ir parādījušās) proporcionālas (īpašā gadījumā - identiskas) rindas, tad dzēst no matricas visas šīs rindas, izņemot vienu. Apsveriet, piemēram, matricu . Šajā matricā pēdējās trīs rindas ir proporcionālas, tāpēc pietiek atstāt tikai vienu no tām: .

3) Ja transformāciju laikā matricā parādās nulles rinda, tad tai arī jābūt dzēst. Es, protams, nezīmēšu, nulles līnija ir līnija, kurā visas nulles.

4) Matricas rinda var būt reizināt (dalīt) uz jebkuru numuru kas nav nulle. Apsveriet, piemēram, matricu. Šeit pirmo rindu ieteicams dalīt ar –3 un otro rindiņu reizināt ar 2: . Šī darbība ir ļoti noderīga, jo tā vienkāršo turpmākās matricas transformācijas.

5) Šī transformācija sagādā visvairāk grūtību, bet patiesībā arī nav nekā sarežģīta. Uz matricas rindu jūs varat pievienojiet citu virkni, kas reizināta ar skaitli, atšķiras no nulles. Apskatīsim mūsu matricu no praktiska piemēra: . Vispirms es ļoti detalizēti aprakstīšu transformāciju. Reiziniet pirmo rindu ar -2: , Un otrajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar –2: . Tagad pirmo rindu var dalīt “atpakaļ” ar –2: . Kā redzat, līnija, kas ir PIEVIENOTA LI – nav mainījies. Vienmēr mainās rinda, KURAM IR PIEVIENOTS UT.

Protams, praksē viņi to neraksta tik detalizēti, bet raksta īsi: Vēlreiz: uz otro rindu pievienoja pirmo rindu, kas reizināta ar –2. Rinda parasti tiek reizināta mutiski vai uz melnraksta, un garīgās aprēķina process notiek apmēram šādi:

"Es pārrakstu matricu un pārrakstu pirmo rindu: »

"Pirmā kolonna. Apakšā man jāsaņem nulle. Tāpēc es reizinu augšpusē esošo ar –2: , un pirmo pievienoju otrajai rindai: 2 + (–2) = 0. Es rakstu rezultātu otrajā rindā: »

“Tagad otrā kolonna. Augšpusē es reizinu -1 ar -2: . Pirmo pievienoju otrajai rindai: 1 + 2 = 3. Es rakstu rezultātu otrajā rindā: »

"Un trešā kolonna. Augšpusē es reizinu -5 ar -2: . Pirmo pievienoju otrajai rindai: –7 + 10 = 3. Es rakstu rezultātu otrajā rindā: »

Lūdzu, rūpīgi izprotiet šo piemēru un izprotiet secīgo aprēķinu algoritmu, ja jūs to saprotat, tad Gausa metode ir praktiski jūsu kabatā. Bet, protams, mēs joprojām strādāsim pie šīs transformācijas.

Elementārie pārveidojumi nemaina vienādojumu sistēmas atrisinājumu

! UZMANĪBU: apsvērtas manipulācijas nevar izmantot, ja jums tiek piedāvāts uzdevums, kurā matricas tiek dotas “pašas”. Piemēram, ar “klasisko” operācijas ar matricām Nekādā gadījumā nedrīkst neko pārkārtot matricu iekšienē! Atgriezīsimies pie mūsu sistēmas. Tas praktiski tiek sagriezts gabalos.

Pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, reducēsim uz pakāpju skats:

(1) Pirmā rinda tika pievienota otrajai rindai, reizinot ar –2. Un atkal: kāpēc mēs pirmo rindu reizinām ar –2? Lai apakšā iegūtu nulli, kas nozīmē atbrīvoties no viena mainīgā otrajā rindā.

(2) Sadaliet otro rindu ar 3.

Elementāro pārveidojumu mērķis – samaziniet matricu pakāpeniski: . Uzdevuma noformējumā viņi vienkārši atzīmē “kāpnes” ar vienkāršu zīmuli, kā arī apvelk ciparus, kas atrodas uz “pakāpēm”. Pats jēdziens “pakāpju skats” nav gluži teorētisks, zinātniskā un izglītojoša literatūra to bieži sauc trapecveida skats vai trīsstūrveida skats.

Elementāru pārveidojumu rezultātā ieguvām ekvivalents sākotnējā vienādojumu sistēma:

Tagad sistēma ir “jāatritina” pretējā virzienā - no apakšas uz augšu, šo procesu sauc apgriezta Gausa metode.

Apakšējā vienādojumā mums jau ir gatavs rezultāts: .

Apskatīsim pirmo sistēmas vienādojumu un aizvietosim tajā jau zināmo “y” vērtību:

Apskatīsim visizplatītāko situāciju, kad Gausa metode prasa atrisināt trīs lineāru vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiem.

1. piemērs

Atrisiniet vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi:

Uzrakstīsim sistēmas paplašināto matricu:

Tagad es uzreiz uzzīmēšu rezultātu, pie kura nonāksim risinājuma laikā: Un es atkārtoju, mūsu mērķis ir panākt matricas pakāpenisku formu, izmantojot elementāras transformācijas. Kur sākt?

Vispirms apskatiet augšējo kreiso numuru: Gandrīz vienmēr vajadzētu būt šeit vienība. Vispārīgi runājot, der –1 (un dažreiz arī citi skaitļi), bet kaut kā tradicionāli ir sanācis, ka tur parasti liek vienu. Kā organizēt vienību? Mēs skatāmies uz pirmo kolonnu - mums ir gatava vienība! Pirmā transformācija: apmainiet pirmo un trešo rindu:

Tagad pirmā rinda paliks nemainīga līdz risinājuma beigām. Tas jau ir vieglāk.

Vienība augšējā kreisajā stūrī ir sakārtota. Tagad šajās vietās jāiegūst nulles:

Mēs iegūstam nulles, izmantojot “sarežģītu” transformāciju. Vispirms tiekam galā ar otro rindiņu (2, –1, 3, 13). Kas jādara, lai pirmajā pozīcijā būtu nulle? Vajag otrajai rindai pievieno pirmo rindu, kas reizināta ar –2. Garīgi vai uzmetumā reiziniet pirmo rindiņu ar –2: (–2, –4, 2, –18). Un mēs konsekventi veicam (atkal garīgi vai pēc projekta) papildinājumu, otrajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas jau reizināta ar –2:

Mēs ierakstām rezultātu otrajā rindā:

Ar trešo rindiņu tiekam galā tādā pašā veidā (3, 2, –5, –1). Lai pirmajā pozīcijā iegūtu nulli, jums ir nepieciešams trešajai rindai pievieno pirmo rindu, kas reizināta ar –3. Garīgi vai uzmetumā reiziniet pirmo rindiņu ar –3: (–3, –6, 3, –27). UN trešajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar –3:

Mēs ierakstām rezultātu trešajā rindā:

Praksē šīs darbības parasti veic mutiski un pieraksta vienā solī:

Nav nepieciešams skaitīt visu uzreiz un vienlaikus. Aprēķinu secība un rezultātu “ievadīšana”. konsekventi un parasti tas ir šādi: vispirms mēs pārrakstām pirmo rindiņu un lēnām uzpūšam sev - KONSEKVENTI un UZMANĪGI:
Un es jau iepriekš apspriedu pašu aprēķinu garīgo procesu.

IN šajā piemērā Tas ir viegli izdarāms, sadaliet otro rindu ar –5 (jo visi tur esošie skaitļi dalās ar 5 bez atlikuma). Tajā pašā laikā mēs dalām trešo rindu ar –2, jo jo mazāki skaitļi, jo vienkāršāks risinājums:

Elementāro pārveidojumu pēdējā posmā šeit ir jāiegūst vēl viena nulle:

Šim nolūkam trešajai rindai pievienojam otro rindu, kas reizināta ar –2:
Mēģiniet pats izdomāt šo darbību - garīgi reiziniet otro rindiņu ar –2 un veiciet saskaitīšanu.

Pēdējā veiktā darbība ir rezultāta frizūra, trešo rindiņu sadaliet ar 3.

Elementāro pārveidojumu rezultātā tika iegūta līdzvērtīga lineāro vienādojumu sistēma: Forši.

Tagad tiek izmantota Gausa metodes otrādi. Vienādojumi “atritina” no apakšas uz augšu.

Trešajā vienādojumā mums jau ir gatavs rezultāts:

Apskatīsim otro vienādojumu: . Vārda "zet" nozīme jau ir zināma, tāpēc:

Un visbeidzot pirmais vienādojums: . “Igrek” un “zet” ir zināmi, runa ir tikai par sīkumiem:

Atbilde:

Kā jau vairākkārt minēts, jebkurai vienādojumu sistēmai ir iespējams un nepieciešams pārbaudīt atrasto risinājumu, par laimi, tas ir viegli un ātri.

2. piemērs

Šis ir piemērs neatkarīgam risinājumam, gala dizaina paraugs un atbilde nodarbības beigās.

Jāpiebilst, ka jūsu lēmuma virzību var nesakrist ar manu lēmumu pieņemšanas procesu, un tā ir Gausa metodes iezīme. Bet atbildēm jābūt vienādām!

3. piemērs

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi

Mēs skatāmies uz augšējo kreiso “soli”. Mums tur vajadzētu būt vienam. Problēma ir tāda, ka pirmajā kolonnā vispār nav vienību, tāpēc rindu pārkārtošana neko neatrisinās. Šādos gadījumos vienība jāorganizē, izmantojot elementāru transformāciju. Parasti to var izdarīt vairākos veidos. Es izdarīju tā: (1) Pirmajai rindai pievienojam otro rindu, kas reizināta ar –1. Tas ir, otro rindu mēs prātīgi reizinājām ar –1 un pievienojām pirmo un otro rindu, savukārt otrā rinda nemainījās.

Tagad augšā pa kreisi ir “mīnus viens”, kas mums der diezgan labi. Ikviens, kurš vēlas iegūt +1, var veikt papildu žestu: reiziniet pirmo rindiņu ar –1 (mainiet tās zīmi).

(2) Pirmā rinda, kas reizināta ar 5, tika pievienota otrajai rindai. Pirmā rinda, kas reizināta ar 3, tika pievienota trešajai rindai.

(3) Pirmā rinda tika reizināta ar –1, principā tas ir skaistumam. Tika nomainīta arī trešās līnijas zīme un tā pārcelta uz otro vietu, lai otrajā “solī” būtu vajadzīgā vienība.

(4) Otrā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizinot ar 2.

(5) Trešā rinda tika dalīta ar 3.

Slikta zīme, kas norāda uz kļūdu aprēķinos (retāk par drukas kļūdu), ir “slikta” būtība. Tas ir, ja mēs iegūtu kaut ko līdzīgu , zemāk un attiecīgi , tad ar lielu varbūtības pakāpi varam teikt, ka elementāru pārveidojumu laikā tika pieļauta kļūda.

Mēs maksājam otrādi, piemēru noformējumā viņi bieži nepārraksta pašu sistēmu, bet vienādojumi tiek “ņemti tieši no dotās matricas”. Reversais gājiens, es atgādinu, darbojas no apakšas uz augšu. Jā, šeit ir dāvana:

Atbilde: .

4. piemērs

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt pašam, tas ir nedaudz sarežģītāk. Tas nekas, ja kāds apjūk. Pilns risinājums un dizaina paraugs nodarbības beigās. Jūsu risinājums var atšķirties no mana risinājuma.

Pēdējā daļā apskatīsim dažas Gausa algoritma iezīmes. Pirmā iezīme ir tāda, ka dažreiz sistēmas vienādojumos trūkst dažu mainīgo, piemēram: Kā pareizi uzrakstīt paplašināto sistēmas matricu? Es jau runāju par šo jautājumu klasē. Krāmera noteikums. Matricas metode. Sistēmas paplašinātajā matricā trūkstošo mainīgo vietā ievietojam nulles: Starp citu, šis ir diezgan vienkāršs piemērs, jo pirmajā kolonnā jau ir viena nulle, un ir jāveic mazāk elementāru pārveidojumu.

Otrā iezīme ir šī. Visos aplūkotajos piemēros uz “soļiem” novietojām vai nu –1, vai +1. Vai tur varētu būt citi skaitļi? Dažos gadījumos viņi var. Apsveriet sistēmu: .

Šeit augšējā kreisajā “solī” mums ir divi. Bet mēs pamanām faktu, ka visi skaitļi pirmajā kolonnā dalās ar 2 bez atlikuma - un otrs ir divi un seši. Un abi augšā pa kreisi mums derēs! Pirmajā solī ir jāveic šādas transformācijas: otrajai rindai pievieno pirmo rindu, kas reizināta ar –1; trešajai rindai pievieno pirmo rindu, kas reizināta ar –3. Tātad mēs saņemam nepieciešamās nulles pirmajā kolonnā.

Vai cits parasts piemērs: . Šeit mums der arī trīs uz otrā “soļa”, jo 12 (vieta, kur jāiegūst nulle) dalās ar 3 bez atlikuma. Ir nepieciešams veikt šādu pārveidošanu: pievienojiet otro rindu trešajai rindai, reizinot ar –4, kā rezultātā tiks iegūta mums nepieciešamā nulle.

Gausa metode ir universāla, taču ir viena īpatnība. Jūs varat droši iemācīties atrisināt sistēmas, izmantojot citas metodes (Cramer metodi, matricas metodi) burtiski pirmo reizi - tām ir ļoti stingrs algoritms. Bet, lai justos pārliecināts par Gausa metodi, jums vajadzētu "ievilkt zobus" un atrisināt vismaz 5-10 desmit sistēmas. Tāpēc sākumā aprēķinos var rasties neskaidrības un kļūdas, un tajā nav nekā neparasta vai traģiska.

Aiz loga lietains rudens laiks.... Tāpēc visiem, kas vēlas vairāk sarežģīts piemērs neatkarīgam risinājumam:

5. piemērs

Atrisiniet 4 lineāru vienādojumu sistēmu ar četriem nezināmajiem, izmantojot Gausa metodi.

Šāds uzdevums praksē nav tik reti sastopams. Es domāju, ka pat tējkanna, kas rūpīgi izpētījusi šo lapu, sapratīs šādas sistēmas risināšanas algoritmu intuitīvi. Principā viss ir vienāds - ir tikai vairāk darbību.

Nodarbībā tiek apspriesti gadījumi, kad sistēmai nav risinājumu (nekonsekventi) vai ir bezgalīgi daudz risinājumu Nesaderīgas sistēmas un sistēmas ar kopīgu risinājumu. Tur var salabot aplūkoto Gausa metodes algoritmu.

Es novēlu jums panākumus!

Risinājumi un atbildes:

2. piemērs: Risinājums : Pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā.
Veiktās elementārās pārvērtības: (1) Pirmā rinda tika pievienota otrajai rindai, reizinot ar –2. Pirmā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizinot ar –1. Uzmanību! Šeit jums var rasties kārdinājums atņemt pirmo no trešās rindas. Es ļoti iesaku to neatņemt - kļūdas risks ievērojami palielinās. Vienkārši salokiet to! (2) Otrās rindas zīme mainīta (reizināta ar –1). Otrā un trešā rinda ir apmainīta. Lūdzu, ņemiet vērā , ka uz “soļiem” mūs apmierina ne tikai viens, bet arī –1, kas ir vēl ērtāk. (3) Otrā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizināta ar 5. (4) Otrās rindas zīme mainīta (reizināta ar –1). Trešā rinda tika dalīta ar 14.

Reverss:

Atbilde : .

4. piemērs: Risinājums : Pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā:

Veiktie reklāmguvumi: (1) Pirmajai rindai tika pievienota otrā rinda. Tādējādi vajadzīgā vienība tiek organizēta augšējā kreisajā “solī”. (2) Pirmā rinda, kas reizināta ar 7, tika pievienota otrajai rindai. Pirmā rinda, kas reizināta ar 6, tika pievienota trešajai rindai.

Ar otro “soli” viss pasliktinās , tā “kandidāti” ir skaitļi 17 un 23, un mums vajag vai nu vienu, vai –1. Transformācijas (3) un (4) būs vērstas uz vēlamās vienības iegūšanu (3) Otrā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizinot ar –1. (4) Trešā rinda tika pievienota otrajai rindai, reizinot ar –3. Nepieciešamā prece otrajā solī ir saņemta. . (5) Otrā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizināta ar 6. (6) Otrā rinda tika reizināta ar –1, trešā rinda tika dalīta ar –83.

Reverss:

Atbilde :

5. piemērs: Risinājums : Pierakstīsim sistēmas matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā:

Veiktie reklāmguvumi: (1) Pirmā un otrā rinda ir apmainītas. (2) Pirmā rinda tika pievienota otrajai rindai, reizinot ar –2. Pirmā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizinot ar –2. Pirmā rinda tika pievienota ceturtajai rindai, reizinot ar –3. (3) Otrā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizināta ar 4. Otrā rinda tika pievienota ceturtajai rindai, reizināta ar –1. (4) Otrās rindas zīme mainīta. Ceturtā rinda tika sadalīta ar 3 un novietota trešās rindas vietā. (5) Trešā rinda tika pievienota ceturtajai rindai, reizināta ar –5.

Reverss:

Atbilde :

Ļaujiet sistēmai lineāra algebriskie vienādojumi, kas ir jāatrisina (atrodiet tādas nezināmo xi vērtības, kas katru sistēmas vienādojumu pārvērš vienādībā).

Mēs zinām, ka lineāro algebrisko vienādojumu sistēma var:

1) Nav risinājumu (esiet nav locītavu).
2) Ir bezgalīgi daudz risinājumu.
3) Ir viens risinājums.

Kā atceramies, Krāmera noteikums un matricas metode nav piemēroti gadījumos, kad sistēmai ir bezgala daudz risinājumu vai tā ir nekonsekventa. Gausa metode – jaudīgākais un daudzpusīgākais rīks, lai atrastu risinājumus jebkurai lineāro vienādojumu sistēmai, kas katrā gadījumā novedīs mūs pie atbildes! Pats metodes algoritms darbojas vienādi visos trīs gadījumos. Ja Krāmera un matricas metodes prasa zināšanas par determinantiem, tad Gausa metodes pielietošanai nepieciešamas tikai aritmētisko darbību zināšanas, kas padara to pieejamu pat sākumskolas skolēniem.

Papildinātās matricas transformācijas ( šī ir sistēmas matrica - matrica, kas sastāv tikai no nezināmo koeficientu plus brīvo terminu kolonnas) lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas pēc Gausa metodes:

1) Ar troki matricas Var pārkārtot dažās vietās.

2) ja matricā parādās (vai eksistē) proporcionālas (īpašā gadījumā – identiskas) rindas, tad dzēst no matricas visas šīs rindas, izņemot vienu.

3) ja transformāciju laikā matricā parādās nulles rinda, tad tai arī jābūt dzēst.

4) matricas rinda var būt reizināt (dalīt) uz jebkuru skaitli, kas nav nulle.

5) uz matricas rindu varat pievienojiet citu virkni, kas reizināta ar skaitli, atšķiras no nulles.

Gausa metodē elementāras pārvērtības nemaina vienādojumu sistēmas atrisinājumu.

Gausa metode sastāv no diviem posmiem:

1. “Tieša pārvietošana” - izmantojot elementāras transformācijas, novietojiet lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas paplašināto matricu “trīsstūrveida” soļu formā: paplašinātās matricas elementi, kas atrodas zem galvenās diagonāles, ir vienādi ar nulli (kustība no augšas uz leju). Piemēram, šim tipam:

Lai to izdarītu, veiciet šādas darbības:

1) Apskatīsim lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas pirmo vienādojumu, un koeficients x 1 ir vienāds ar K. Otrais, trešais utt. vienādojumus pārveidojam šādi: sadalām katru vienādojumu (nezināmo, ieskaitot brīvos vārdus) ar nezināmā x 1 koeficientu, kas ir katrā vienādojumā, un reizinim ar K. Pēc tam pirmo atņemam no otrā vienādojums (nezināmo un brīvo terminu koeficienti). Otrajā vienādojumā x 1 iegūstam koeficientu 0. No trešā pārveidotā vienādojuma mēs atņemam pirmo vienādojumu, līdz visiem vienādojumiem, izņemot pirmo, nezināmam x 1 ir koeficients 0.

2) Pārejiet uz nākamo vienādojumu. Lai šis ir otrais vienādojums un koeficients x 2 ir vienāds ar M. Mēs rīkojamies ar visiem “zemākajiem” vienādojumiem, kā aprakstīts iepriekš. Tādējādi “zem” nezināmā x 2 visos vienādojumos būs nulles.

3) Pārejiet uz nākamo vienādojumu un tā tālāk, līdz paliek pēdējais nezināmais un pārveidotais brīvais termins.

1. Gausa metodes “apgrieztā kustība” ir iegūt risinājumu lineāro algebrisko vienādojumu sistēmai (“kustība no apakšas uz augšu”).

Piemērs.

No pēdējā “apakšējā” vienādojuma iegūstam vienu pirmo atrisinājumu - nezināmo x n. Lai to izdarītu, mēs atrisinām elementāro vienādojumu A * x n = B. Iepriekš dotajā piemērā x 3 = 4. Atrasto vērtību aizstājam ar “augšējo” nākamo vienādojumu un atrisinām to attiecībā pret nākamo nezināmo. Piemēram, x 2 – 4 = 1, t.i. x 2 = 5. Un tā tālāk, līdz atrodam visus nezināmos.

Atrisināsim lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi, kā daži autori iesaka:

Pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā:
Mēs skatāmies uz augšējo kreiso “soli”. Mums tur vajadzētu būt vienam. Problēma ir tāda, ka pirmajā kolonnā vispār nav vienību, tāpēc rindu pārkārtošana neko neatrisinās. Šādos gadījumos vienība jāorganizē, izmantojot elementāru transformāciju. Parasti to var izdarīt vairākos veidos. Darīsim šādi: 1 solis

. Pirmajai rindai pievienojam otro rindu, kas reizināta ar –1. Tas ir, otro rindu mēs prātīgi reizinājām ar –1 un pievienojām pirmo un otro rindu, savukārt otrā rinda nemainījās.

Tagad augšā pa kreisi ir “mīnus viens”, kas mums der diezgan labi. Ikviens, kurš vēlas iegūt +1, var veikt papildu darbību: reiziniet pirmo rindiņu ar –1 (mainiet tās zīmi). . Pirmā rinda, kas reizināta ar 5, tika pievienota otrajai rindai. Pirmā rinda, kas reizināta ar 3, tika pievienota trešajai rindai.

3. darbība . Pirmā rinda tika reizināta ar –1, principā tas ir skaistumam. Tika nomainīta arī trešās līnijas zīme un tā pārcelta uz otro vietu, lai otrajā “solī” būtu vajadzīgā vienība.

4. darbība . Trešā rinda tika pievienota otrajai rindai, reizināta ar 2.

5. darbība . Trešā rinda tika dalīta ar 3.

Pazīme, kas norāda uz kļūdu aprēķinos (retāk - drukas kļūda), ir “slikta” apakšējā līnija. Tas ir, ja mēs iegūstam kaut ko līdzīgu (0 0 11 |23) zemāk un attiecīgi 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, tad ar lielu varbūtības pakāpi varam teikt, ka pamatstundu laikā tika pieļauta kļūda. pārvērtības.

Rīkosimies otrādi, veidojot piemērus, pati sistēma bieži netiek pārrakstīta, bet vienādojumi tiek “ņemti tieši no dotās matricas”. Atgādinu, ka apgrieztā kustība darbojas no apakšas uz augšu. Šajā piemērā rezultāts bija dāvana:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, tātad x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Atbilde:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Atrisināsim to pašu sistēmu, izmantojot piedāvāto algoritmu. Mēs saņemam

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Sadaliet otro vienādojumu ar 5 un trešo ar 3. Iegūstam:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Reizinot otro un trešo vienādojumu ar 4, mēs iegūstam:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Atņemot pirmo vienādojumu no otrā un trešā vienādojuma, mums ir:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Trešo vienādojumu dala ar 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Trešo vienādojumu reiziniet ar 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Atņemot otro no trešā vienādojuma, mēs iegūstam “pakāpju” paplašinātu matricu:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Tādējādi, tā kā aprēķinu laikā uzkrātā kļūda, mēs iegūstam x 3 = 0,96 jeb aptuveni 1.

x 2 = 3 un x 1 = –1.

Risinot šādi, jūs nekad neapjuksiet aprēķinos un, neskatoties uz aprēķinu kļūdām, jūs iegūsit rezultātu.

Šī lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas risināšanas metode ir viegli programmējama un neņem vērā specifiskas funkcijas koeficientus nezināmajiem, jo ​​praksē (ekonomiskajos un tehniskajos aprēķinos) nākas saskarties ar neveseliem koeficientiem.

Es novēlu jums panākumus! Tiekamies klasē! Pasniedzējs.

blog.site, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz oriģinālo avotu.

Šajā rakstā šī metode ir aplūkota kā metode lineāro vienādojumu sistēmu (SLAE) risināšanai. Metode ir analītiska, tas ir, ļauj ierakstīt risinājuma algoritmu vispārējs skats, un pēc tam aizstājiet vērtības no konkrētiem tur esošajiem piemēriem. Atšķirībā no matricas metodes vai Krāmera formulām, risinot lineāro vienādojumu sistēmu ar Gausa metodi, var strādāt arī ar tiem, kuriem ir bezgalīgs atrisinājumu skaits. Vai arī viņiem tā vispār nav.

Ko nozīmē atrisināt, izmantojot Gausa metodi?

Pirmkārt, mums ir jāieraksta mūsu vienādojumu sistēma. Tas izskatās šādi. Paņemiet sistēmu:

Koeficientus raksta tabulas veidā, bet brīvos terminus raksta atsevišķā kolonnā labajā pusē. Ērtības labad kolonna ar brīviem elementiem ir atdalīta. Matrica, kas ietver šo kolonnu, tiek saukta par paplašināto.

Tālāk galvenā matrica ar koeficientiem jāsamazina līdz augšējai trīsstūra formai. Tas ir galvenais punkts sistēmas risināšanā, izmantojot Gausa metodi. Vienkārši sakot, pēc noteiktām manipulācijām matricai vajadzētu izskatīties tā, lai tās apakšējā kreisajā daļā būtu tikai nulles:

Pēc tam, ja jauno matricu uzrakstīsit vēlreiz kā vienādojumu sistēmu, pamanīsit, ka pēdējā rindā jau ir vienas saknes vērtība, kas pēc tam tiek aizstāta ar augstāk esošo vienādojumu, tiek atrasta cita sakne utt.

Šis ir risinājuma apraksts ar Gausa metodi vispārīgs izklāsts. Kas notiek, ja pēkšņi sistēmai nav risinājuma? Vai arī to ir bezgala daudz? Lai atbildētu uz šiem un daudziem citiem jautājumiem, ir atsevišķi jāapsver visi Gausa metodes risināšanā izmantotie elementi.

Matricas, to īpašības

Nav slēpta nozīme nav matricā. Tas ir vienkārši ērts veids datu ierakstīšana turpmākām darbībām ar tiem. Pat skolniekiem no viņiem nav jābaidās.

Matrica vienmēr ir taisnstūrveida, jo tā ir ērtāka. Pat Gausa metodē, kur viss noslēdzas līdz trīsstūra formas matricas izveidošanai, ierakstā parādās taisnstūris, tikai ar nullēm vietā, kur nav skaitļu. Nulles var nerakstīt, bet tās ir netiešas.

Matricai ir izmērs. Tā “platums” ir rindu skaits (m), “garums” ir kolonnu skaits (n). Tad matricas A lielums (to apzīmēšanai parasti izmanto lielos latīņu burtus) tiks apzīmēts kā A m×n. Ja m = n, tad šī matrica ir kvadrātveida, un m = n ir tās secība. Attiecīgi jebkuru matricas A elementu var apzīmēt ar tā rindu un kolonnu numuriem: a xy ; x - rindas numurs, izmaiņas, y - kolonnas numurs, izmaiņas.

B nav lēmuma galvenais punkts. Principā visas darbības var veikt tieši ar pašiem vienādojumiem, taču apzīmējums būs daudz apgrūtinošāks, un tajā būs daudz vieglāk apjukt.

Noteicējs

Matricai ir arī determinants. Šī ir ļoti svarīga īpašība. Tagad nav nepieciešams noskaidrot tā nozīmi, jūs varat vienkārši parādīt, kā tas tiek aprēķināts, un pēc tam pastāstīt, kādas matricas īpašības tā nosaka. Vienkāršākais veids, kā atrast noteicēju, ir caur diagonālēm. Matricā tiek ievilktas iedomātas diagonāles; elementi, kas atrodas uz katra no tiem, tiek reizināti, un pēc tam tiek pievienoti iegūtie produkti: diagonāles ar slīpumu pa labi - ar plus zīmi, ar slīpumu pa kreisi - ar mīnusa zīmi.

Ir ārkārtīgi svarīgi atzīmēt, ka determinantu var aprēķināt tikai kvadrātveida matricai. Taisnstūra matricai var rīkoties šādi: izvēlēties mazāko no rindu skaita un kolonnu skaita (lai tas būtu k) un pēc tam nejauši atzīmēt matricā k kolonnas un k rindas. Elementi, kas atrodas atlasīto kolonnu un rindu krustpunktā, veidos jaunu kvadrātveida matricu. Ja šādas matricas determinants ir skaitlis, kas nav nulle, to sauc par sākotnējās taisnstūra matricas pamata minoru.

Pirms vienādojumu sistēmas risināšanas, izmantojot Gausa metodi, nav slikti aprēķināt determinantu. Ja izrādās, ka tā ir nulle, tad uzreiz varam teikt, ka matricai ir vai nu bezgalīgi daudz atrisinājumu, vai arī tādu nav vispār. Šādā skumjā gadījumā jums jāiet tālāk un jānoskaidro matricas rangs.

Sistēmas klasifikācija

Ir tāda lieta kā matricas rangs. Šī ir tā nulles determinanta maksimālā secība (ja atceramies par pamata mazo, mēs varam teikt, ka matricas rangs ir pamata minora secība).

Pamatojoties uz situāciju ar rangu, SLAE var iedalīt:

• Locītava. U Apvienotajās sistēmās galvenās matricas rangs (sastāv tikai no koeficientiem) sakrīt ar paplašinātās matricas rangu (ar brīvo terminu kolonnu). Šādām sistēmām ir risinājums, bet ne obligāti, tāpēc papildus locītavu sistēmas sadalīts:
• - noteikti- ar vienu risinājumu. Noteiktās sistēmās matricas rangs un nezināmo skaits (vai kolonnu skaits, kas ir viens un tas pats) ir vienādi;
• - nenoteikts - ar bezgalīgu skaitu risinājumu. Matricu rangs šādās sistēmās ir mazāks par nezināmo skaitu.
• Nesaderīgs. UŠādās sistēmās galvenās un paplašinātās matricas rindas nesakrīt. Nesaderīgām sistēmām nav risinājuma.

Gausa metode ir laba, jo risinājuma laikā tā ļauj iegūt vai nu nepārprotamu sistēmas nekonsekvences pierādījumu (neaprēķinot lielu matricu determinantus), vai arī risinājumu vispārīgā formā sistēmai ar bezgalīgu atrisinājumu skaitu.

Elementāras pārvērtības

Pirms turpināt tieši sistēmas risināšanu, varat padarīt to mazāk apgrūtinošu un ērtāku aprēķiniem. Tas tiek panākts ar elementārām transformācijām – tādām, lai to īstenošana galīgo atbildi nekādā veidā nemaina. Jāatzīmē, ka dažas no dotajām elementārpārveidojumiem ir derīgas tikai matricām, kuru avots bija SLAE. Šeit ir šo transformāciju saraksts:

1. Līniju pārkārtošana. Acīmredzot, ja mainīsit vienādojumu secību sistēmas ierakstā, tas nekādā veidā neietekmēs risinājumu. Līdz ar to šīs sistēmas matricas rindas var arī samainīt, protams, neaizmirstot arī brīvo terminu kolonnu.
2. Visu virknes elementu reizināšana ar noteiktu koeficientu. Ļoti noderīgi! To var izmantot, lai saīsinātu lieli cipari matricā vai noņemiet nulles. Daudzi lēmumi, kā ierasts, nemainīsies, taču turpmākās darbības kļūs ērtākas. Galvenais, lai koeficients nebūtu vienāds ar nulli.
3. Rindas ar proporcionāliem koeficientiem noņemšana. Tas daļēji izriet no iepriekšējās rindkopas. Ja matricā divām vai vairākām rindām ir proporcionālie koeficienti, tad vienu no rindām reizinot/dalot ar proporcionalitātes koeficientu, iegūst divas (vai atkal vairāk) absolūti identiskas rindas, un liekās var noņemt, atstājot tikai viens.
4. Nulles rindas noņemšana. Ja transformācijas laikā kaut kur tiek iegūta rinda, kurā visi elementi, ieskaitot brīvo terminu, ir nulle, tad šādu rindu var nosaukt par nulli un izmest no matricas.
5. Vienas rindas elementiem pievienojot citas rindas elementus (attiecīgajās kolonnās), reizinot ar noteiktu koeficientu. Visneredzamākā un vissvarīgākā transformācija. Ir vērts pie tā pakavēties sīkāk.

Virknes pievienošana, kas reizināta ar koeficientu

Lai atvieglotu izpratni, ir vērts soli pa solim sadalīt šo procesu. No matricas tiek ņemtas divas rindas:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Pieņemsim, ka jums ir jāpievieno pirmais otrajam, reizināts ar koeficientu "-2".

a" 21 = a 21 + -2 × a 11

a" 22 = a 22 + -2 × a 12

a" 2n = a 2n + -2 × a 1n

Tad otrā rinda matricā tiek aizstāta ar jaunu, un pirmā paliek nemainīga.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Jāņem vērā, ka reizināšanas koeficientu var izvēlēties tā, lai divu rindu saskaitīšanas rezultātā viens no elementiem jauna līnija bija vienāds ar nulli. Tāpēc ir iespējams iegūt vienādojumu sistēmā, kurā būs par vienu nezināmo mazāk. Un, ja jūs iegūstat divus šādus vienādojumus, tad darbību var veikt vēlreiz un iegūt vienādojumu, kurā būs par diviem nezināmajiem mazāk. Un, ja katru reizi, kad jūs pārvēršat vienu koeficientu par nulli visām rindām, kas atrodas zem sākotnējās, varat, tāpat kā kāpnes, nokāpt līdz matricas apakšai un iegūt vienādojumu ar vienu nezināmo. To sauc par sistēmas atrisināšanu, izmantojot Gausa metodi.

Vispār

Lai ir sistēma. Tam ir m vienādojumi un n nezināmas saknes. Varat to uzrakstīt šādi:

Galvenā matrica tiek sastādīta no sistēmas koeficientiem. Paplašinātajai matricai tiek pievienota brīvo terminu kolonna un ērtības labad atdalīta ar līniju.

• pirmo matricas rindu reizina ar koeficientu k = (-a 21 /a 11);
• tiek pievienota matricas pirmā modificētā rinda un otrā rinda;
• otrās rindas vietā matricā tiek ievietots iepriekšējās rindkopas papildinājuma rezultāts;
• tagad pirmais koeficients jaunajā otrajā rindā ir 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Tagad tiek veikta tā pati transformāciju sērija, ir iesaistīta tikai pirmā un trešā rinda. Attiecīgi katrā algoritma solī elements a 21 tiek aizstāts ar 31. Tad viss atkārtojas 41, ... a m1. Rezultāts ir matrica, kurā pirmais elements rindās ir nulle. Tagad jums ir jāaizmirst par pirmo rindu un jāveic tas pats algoritms, sākot no otrās rindas:

• koeficients k = (-a 32 /a 22);
• otrā modificētā rinda tiek pievienota “pašreizējai” rindai;
• pievienošanas rezultāts tiek aizstāts ar trešo, ceturto un tā tālāk, bet pirmā un otrā rinda paliek nemainīga;
• matricas rindās pirmie divi elementi jau ir vienādi ar nulli.

Algoritms jāatkārto, līdz parādās koeficients k = (-a m,m-1 /a mm). Tas nozīmē, ka iekš pēdējo reizi algoritms tika veikts tikai zemākajam vienādojumam. Tagad matrica izskatās kā trīsstūris vai tai ir pakāpeniska forma. Apakšējā rindā ir vienādība a mn × x n = b m. Ir zināms koeficients un brīvais termins, un caur tiem tiek izteikta sakne: x n = b m /a mn. Iegūtā sakne tiek aizstāta ar augšējo līniju, lai atrastu x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Un tā tālāk pēc analoģijas: katrā nākamajā rindā ir jauna sakne, un, sasniedzot sistēmas “augšupusi”, jūs varat atrast daudz risinājumu. Tā būs vienīgā.

Kad nav risinājumu

Ja vienā no matricas rindām visi elementi, izņemot brīvo vārdu, ir vienādi ar nulli, tad šai rindai atbilstošais vienādojums izskatās kā 0 = b. Tam nav risinājuma. Un tā kā šāds vienādojums ir iekļauts sistēmā, tad visas sistēmas risinājumu kopa ir tukša, tas ir, tā ir deģenerēta.

Kad risinājumu ir bezgalīgi daudz

Var gadīties, ka dotajā trīsstūrveida matricā nav rindu ar vienu vienādojuma koeficienta elementu un vienu brīvu terminu. Ir tikai rindas, kuras, pārrakstot, izskatītos kā vienādojums ar diviem vai vairākiem mainīgajiem. Tas nozīmē, ka sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Šajā gadījumā atbildi var sniegt vispārīga risinājuma veidā. Kā to izdarīt?

Visi matricas mainīgie ir sadalīti pamata un brīvajos. Pamata ir tie, kas stāv "uz malas" rindu soļu matricā. Pārējie ir bez maksas. Vispārējā risinājumā pamata mainīgie tiek rakstīti caur brīvajiem.

Ērtības labad matrica vispirms tiek pārrakstīta atpakaļ vienādojumu sistēmā. Tad pēdējā no tām, kur tieši ir palicis tikai viens pamata mainīgais, tas paliek vienā pusē, un viss pārējais tiek pārnests uz otru. Tas tiek darīts katram vienādojumam ar vienu pamata mainīgo. Tad atlikušajos vienādojumos, kur iespējams, pamata mainīgā vietā tiek aizstāta ar to iegūtā izteiksme. Ja rezultāts atkal ir izteiksme, kas satur tikai vienu pamata mainīgo, tas tiek izteikts no turienes un tā tālāk, līdz katrs pamata mainīgais tiek uzrakstīts kā izteiksme ar brīviem mainīgajiem. Šis ir tas vispārējs risinājums SLAU.

Varat arī atrast sistēmas pamatrisinājumu - dot brīvajiem mainīgajiem jebkuras vērtības un pēc tam konkrētajam gadījumam aprēķināt pamata mainīgo vērtības. Var sniegt bezgalīgi daudz konkrētu risinājumu.

Risinājums ar konkrētiem piemēriem

Šeit ir vienādojumu sistēma.

Ērtības labad labāk nekavējoties izveidot tā matricu

Ir zināms, ka, risinot ar Gausa metodi, pirmajai rindai atbilstošais vienādojums transformāciju beigās paliks nemainīgs. Tāpēc būs izdevīgāk, ja matricas augšējais kreisais elements ir mazākais - tad atlikušo rindu pirmie elementi pēc operācijām kļūs par nulli. Tas nozīmē, ka sastādītajā matricā pirmās rindas vietā būs izdevīgi likt otro rindu.

otrā rinda: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k × a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0

a" 22 = a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7

a" 23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b" 2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

trešā rinda: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b" 3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Tagad, lai neapjuktu, jāpieraksta matrica ar pārveidojumu starprezultātiem.

Acīmredzot šādu matricu var padarīt ērtāku uztverei, izmantojot noteiktas darbības. Piemēram, jūs varat noņemt visus "mīnusus" no otrās rindas, reizinot katru elementu ar "-1".

Ir arī vērts atzīmēt, ka trešajā rindā visi elementi ir trīs reizes. Pēc tam jūs varat saīsināt virkni ar šo skaitli, reizinot katru elementu ar "-1/3" (mīnus - tajā pašā laikā, lai noņemtu negatīvas vērtības).

Izskatās daudz jaukāk. Tagad mums ir jāatstāj pirmā rinda atsevišķi un jāstrādā ar otro un trešo. Uzdevums ir pievienot otro rindu trešajai rindai, reizinot ar tādu koeficientu, ka elements a 32 kļūst vienāds ar nulli.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ja dažu transformāciju laikā atbilde neizrādās vesels skaitlis, ieteicams saglabāt aprēķinu precizitāti, lai atstātu tas “kā ir”, formā kopējā frakcija, un tikai pēc tam, kad būs saņemtas atbildes, izlemiet, vai noapaļot un konvertēt uz citu ierakstīšanas veidu)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Matrica atkal tiek uzrakstīta ar jaunām vērtībām.

Kā redzat, iegūtajai matricai jau ir pakāpju forma. Tāpēc turpmākas sistēmas transformācijas, izmantojot Gausa metodi, nav nepieciešamas. Šeit jūs varat noņemt kopējo koeficientu "-1/7" no trešās rindas.

Tagad viss ir skaisti. Atliek tikai vēlreiz uzrakstīt matricu vienādojumu sistēmas veidā un aprēķināt saknes

x + 2y + 4z = 12 (1)

7 g + 11z = 24 (2)

Algoritmu, ar kuru tagad tiks atrastas saknes, Gausa metodē sauc par apgriezto kustību. Vienādojums (3) satur z vērtību:

y = (24 - 11 × (61/9))/7 = -65/9

Un pirmais vienādojums ļauj mums atrast x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3

Mums ir tiesības saukt šādu sistēmu par kopīgu un pat noteiktu, tas ir, ar unikālu risinājumu. Atbilde ir uzrakstīta šādā formā:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Nenoteiktas sistēmas piemērs

Izanalizēts variants noteiktas sistēmas risināšanai ar Gausa metodi, tagad ir jāizskata gadījums, kad sistēma ir nenoteikta, tas ir, tai var atrast bezgalīgi daudz risinājumu.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Pats sistēmas izskats jau ir satraucošs, jo nezināmo skaits ir n = 5, un sistēmas matricas rangs jau ir tieši mazāks par šo skaitli, jo rindu skaits ir m = 4, tas ir, determinanta kvadrāta augstākā secība ir 4. Tas nozīmē, ka ir bezgalīgi daudz atrisinājumu, un jums ir jāmeklē tā vispārējais izskats. Lineāro vienādojumu Gausa metode ļauj to izdarīt.

Vispirms, kā parasti, tiek apkopota paplašināta matrica.

Otrā rinda: koeficients k = (-a 21 /a 11) = -3. Trešajā rindā pirmais elements ir pirms transformācijām, tāpēc jums nav jāpieskaras nekam, jums tas ir jāatstāj tāds, kāds ir. Ceturtā rinda: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Reizinot pirmās rindas elementus pēc kārtas ar katru to koeficientu un saskaitot tos vajadzīgajām rindām, iegūstam šādas formas matricu:

Kā redzat, otrā, trešā un ceturtā rinda sastāv no elementiem, kas ir proporcionāli viens otram. Otrais un ceturtais parasti ir identisks, tāpēc vienu no tiem var nekavējoties noņemt, bet atlikušo var reizināt ar koeficientu “-1” un iegūt rindas numuru 3. Un atkal no divām identiskām rindām atstājiet vienu.

Rezultāts ir šāda matrica. Kamēr sistēma vēl nav pierakstīta, šeit ir jānosaka pamata mainīgie - tie, kas ir pie koeficientiem a 11 = 1 un a 22 = 1, un brīvie - visi pārējie.

Otrajā vienādojumā ir tikai viens pamata mainīgais - x 2. Tas nozīmē, ka to var izteikt no turienes, ierakstot to caur mainīgajiem x 3 , x 4 , x 5 , kas ir brīvi.

Mēs aizstājam iegūto izteiksmi ar pirmo vienādojumu.

Rezultāts ir vienādojums, kurā vienīgais pamata mainīgais ir x 1 . Darīsim ar to tāpat kā ar x 2.

Visi pamata mainīgie, no kuriem ir divi, ir izteikti trīs brīvos, tagad mēs varam rakstīt atbildi vispārīgā formā.

Varat arī norādīt kādu no konkrētajiem sistēmas risinājumiem. Šādos gadījumos kā brīvo mainīgo vērtības parasti tiek izvēlētas nulles. Tad atbilde būs:

16, 23, 0, 0, 0.

Nesadarbīgas sistēmas piemērs

Visātrāk ir atrisināt nesaderīgas vienādojumu sistēmas, izmantojot Gausa metodi. Tas beidzas uzreiz, tiklīdz kādā no posmiem tiek iegūts vienādojums, kuram nav risinājuma. Tas ir, sakņu aprēķināšanas posms, kas ir diezgan garš un nogurdinošs, tiek novērsts. Tiek apsvērta šāda sistēma:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kā parasti, matrica tiek apkopota:

Un tas tiek samazināts līdz pakāpeniskajai formai:

k 1 = -2k 2 = -4

Pēc pirmās transformācijas trešajā rindā ir formas vienādojums

bez risinājuma. Līdz ar to sistēma ir nekonsekventa, un atbilde būs tukša kopa.

Metodes priekšrocības un trūkumi

Ja izvēlaties, kuru metodi atrisināt SLAE uz papīra ar pildspalvu, šajā rakstā apskatītā metode izskatās vispievilcīgākā. Ir daudz grūtāk apjukt elementārās transformācijās nekā tad, ja ir manuāli jāmeklē determinants vai kāda viltīga apgrieztā matrica. Taču, ja izmantojat programmas darbam ar šāda veida datiem, piemēram, izklājlapas, tad izrādās, ka šādās programmās jau ir algoritmi matricu galveno parametru aprēķināšanai - determinants, minors, inversie utt. Un, ja esat pārliecināts, ka mašīna pati aprēķinās šīs vērtības un nekļūdīsies, ieteicams izmantot matricas metodi vai Krāmera formulas, jo to izmantošana sākas un beidzas ar determinantu un apgriezto matricu aprēķināšanu.

Pieteikums

Tā kā Gausa risinājums ir algoritms un matrica faktiski ir divdimensiju masīvs, to var izmantot programmēšanā. Bet, tā kā raksts sevi pozicionē kā ceļvedi “manekeniem”, jāsaka, ka visvieglāk metodi ievietot ir izklājlapās, piemēram, Excel. Atkal, jebkurš SLAE, kas ievadīts tabulā matricas veidā, programmā Excel tiks uzskatīts par divdimensiju masīvu. Un operācijām ar tām ir daudz jauku komandu: saskaitīšana (var pievienot tikai vienāda izmēra matricas!), reizināšana ar skaitli, matricu reizināšana (arī ar noteiktiem ierobežojumiem), apgriezto un transponēto matricu atrašana un, pats galvenais, , aprēķinot determinantu. Ja šo laikietilpīgo uzdevumu aizstāj ar vienu komandu, ir iespējams daudz ātrāk noteikt matricas rangu un līdz ar to noteikt tās saderību vai nesaderību.