Lineāro vienādojumu sistēma tiek uzskatīta par konsekventu, ja tā ir. Lineāro vienādojumu sistēmas vispārīgie jēdzieni

28.09.2019

Tomēr praksē plaši izplatīti ir vēl divi gadījumi:

– Sistēma ir nekonsekventa (nav risinājumu);
– Sistēma ir konsekventa, un tai ir bezgala daudz risinājumu.

Piezīme : Termins “konsekvence” nozīmē, ka sistēmai ir vismaz kāds risinājums. Vairāku problēmu gadījumā vispirms ir jāpārbauda sistēmas savietojamība, skatiet rakstu par matricu rangs.

Šīm sistēmām tiek izmantota universālākā no visām risinājuma metodēm - Gausa metode. Patiesībā “skolas” metode arī novedīs pie atbildes, bet augstākajā matemātikā ir ierasts izmantot Gausa metodi secīga likvidēšana nezināms. Tie, kas nav pazīstami ar Gausa metodes algoritmu, lūdzu, vispirms izpētiet stundu Gausa metode manekeniem.

Pašas elementārās matricas transformācijas ir tieši tādas pašas, atšķirība būs risinājuma beigās. Vispirms apskatīsim pāris piemērus, kad sistēmai nav risinājumu (neatbilstoši).

1. piemērs

Kas šajā sistēmā uzreiz piesaista jūsu uzmanību? Vienādojumu skaits ir mazāks par mainīgo skaitu. Ja vienādojumu skaits ir mazāks par mainīgo skaitu, tad uzreiz varam teikt, ka sistēma ir vai nu nekonsekventa, vai arī tai ir bezgala daudz risinājumu. Un atliek tikai noskaidrot.

Risinājuma sākums ir pilnīgi parasts - mēs pierakstām sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidojam to pakāpeniskā formā:

(1) Augšējā kreisajā solī mums jāiegūst +1 vai –1. Pirmajā kolonnā šādu skaitļu nav, tāpēc rindu pārkārtošana neko nedos. Vienībai būs jāorganizē pašai, un to var izdarīt vairākos veidos. Es izdarīju tā: pirmajai rindai pievienojam trešo rindiņu, kas reizināta ar –1.

(2) Tagad mēs iegūstam divas nulles pirmajā kolonnā. Otrajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar 3. Trešajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar 5.

(3) Pēc transformācijas pabeigšanas vienmēr ir ieteicams noskaidrot, vai ir iespējams vienkāršot iegūtās virknes? Var. Otro rindu sadalām ar 2, tajā pašā laikā otrajā solī iegūstot vajadzīgo –1. Sadaliet trešo rindu ar –3.

(4) Pievienojiet otro rindu trešajai rindai.

Droši vien visi pamanīja slikto līniju, kas radās elementāru pārvērtību rezultātā: . Ir skaidrs, ka tas tā nevar būt. Patiešām, pārrakstīsim iegūto matricu atpakaļ uz sistēmu lineārie vienādojumi:

Ja elementāru pārveidojumu rezultātā tiek iegūta formas virkne, kur ir skaitlis, kas nav nulle, tad sistēma ir nekonsekventa (nav atrisinājumu).

Kā pierakstīt uzdevuma beigas? Uzzīmēsim ar baltu krītu: “elementāru pārveidojumu rezultātā tiek iegūta formas virkne, kur ” un sniedzam atbildi: sistēmai nav risinājumu (nekonsekventi).

Ja saskaņā ar nosacījumu ir nepieciešams IZPĒTĒT sistēmas saderību, tad risinājums ir jāformalizē stingrākā stilā, izmantojot koncepciju matricas rangs un Kronekera-Kapella teorēma.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka šeit nav Gausa algoritma apvērsuma - nav risinājumu un vienkārši nav ko atrast.

2. piemērs

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās. Es vēlreiz atgādinu, ka jūsu risinājums var atšķirties no mana risinājuma, Gausa algoritmam nav spēcīgas “stingrības”.

Vēl viena risinājuma tehniskā iezīme: elementāras pārvērtības var apturēt nekavējoties, tiklīdz parādās tāda rinda kā , kur . Apskatīsim nosacītu piemēru: pieņemsim, ka pēc pirmās transformācijas tiek iegūta matrica . Matrica vēl nav reducēta līdz ešelona formai, bet tālākas elementāras transformācijas nav nepieciešamas, jo ir parādījusies formas rinda, kur . Nekavējoties jāsniedz atbilde, ka sistēma nav savietojama.

Ja lineāro vienādojumu sistēmai nav atrisinājumu, tā ir gandrīz dāvana, jo tiek iegūts īss risinājums, dažreiz burtiski 2-3 soļos.

Bet viss šajā pasaulē ir līdzsvarots, un problēma, kurā sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu, ir tikai ilgāka.

3. piemērs

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu

Ir 4 vienādojumi un 4 nezināmie, tāpēc sistēmai var būt vai nu viens risinājums, vai bez atrisinājumiem, vai arī bezgalīgi daudz risinājumu. Lai kā arī būtu, Gausa metode jebkurā gadījumā mūs novedīs pie atbildes. Tā ir tā daudzpusība.

Sākums atkal ir standarta. Pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā:

Tas arī viss, un tev bija bail.

(1) Lūdzu, ņemiet vērā, ka visi skaitļi pirmajā kolonnā dalās ar 2, tāpēc 2 ir piemērots augšējā kreisajā solī. Otrajai rindai pievienojam pirmo rindiņu, kas reizināta ar –4. Trešajai rindai pievienojam pirmo rindiņu, kas reizināta ar –2. Ceturtajai rindai pievienojam pirmo rindiņu, kas reizināta ar –1.

Uzmanību! Daudzus var vilināt ceturtā rinda atņemt pirmā rinda. To var izdarīt, bet tas nav nepieciešams, pieredze liecina, ka kļūdas iespējamība aprēķinos palielinās vairākas reizes. Vienkārši pievienojiet: ceturtajai rindai pievienojiet pirmo rindu, kas reizināta ar –1 – tieši tā!

(2) Pēdējās trīs rindas ir proporcionālas, divas no tām var svītrot.

Šeit mums atkal jāparāda pastiprināta uzmanība, bet vai līnijas tiešām ir proporcionālas? Lai būtu drošībā (īpaši tējkannai), otro rindiņu būtu ieteicams reizināt ar –1 un ceturto rindiņu dalīt ar 2, iegūstot trīs identiskas rindas. Un tikai pēc tam noņemiet divus no tiem.

Elementāru pārveidojumu rezultātā sistēmas paplašinātā matrica tiek samazināta līdz pakāpeniskajai formai:

Rakstot uzdevumu piezīmju grāmatiņā, skaidrības labad tās pašas piezīmes vēlams veikt ar zīmuli.

Pārrakstīsim atbilstošo vienādojumu sistēmu:

Šeit nav ne smakas no “parasta” vienota sistēmas risinājuma. Nav arī sliktas līnijas. Tas nozīmē, ka šis ir trešais atlikušais gadījums – sistēmai ir bezgala daudz risinājumu. Dažreiz atbilstoši nosacījumam ir nepieciešams izpētīt sistēmas saderību (t.i., pierādīt, ka risinājums vispār pastāv), par to varat lasīt raksta pēdējā rindkopā. Kā atrast matricas rangu? Bet pagaidām apskatīsim pamatus:

Bezgalīgs sistēmas risinājumu kopums ir īsi uzrakstīts tā sauktajā formā sistēmas vispārējs risinājums .

Mēs atrodam sistēmas vispārējo risinājumu, izmantojot Gausa metodes apgriezto metodi.

Vispirms mums ir jādefinē, kādi mainīgie mums ir pamata, un kādi mainīgie bezmaksas. Jums nav jāraizējas ar lineārās algebras noteikumiem, vienkārši atcerieties, ka tādi ir pamata mainīgie Un bezmaksas mainīgie.

Pamata mainīgie vienmēr “sēž” stingri uz matricas soļiem.
IN šajā piemērā pamata mainīgie ir un

Bezmaksas mainīgie ir viss atlikušais mainīgie, kas nesaņēma soli. Mūsu gadījumā tie ir divi: – brīvie mainīgie.

Tagad tev vajag Visi pamata mainīgie izteikt tikai cauri bezmaksas mainīgie.

Gausa algoritma apgrieztais variants tradicionāli darbojas no apakšas uz augšu.
No sistēmas otrā vienādojuma mēs izsakām pamata mainīgo:

Tagad apskatiet pirmo vienādojumu: . Vispirms tajā aizstājam atrasto izteiksmi:

Atliek izteikt pamata mainīgo brīvo mainīgo izteiksmē:

Galu galā mēs saņēmām to, kas mums bija vajadzīgs - Visi tiek izteikti pamata mainīgie ( un ). tikai cauri brīvie mainīgie:

Patiesībā vispārējais risinājums ir gatavs:

Kā pareizi uzrakstīt vispārīgo risinājumu?
Brīvie mainīgie tiek ierakstīti vispārējā risinājumā “paši no sevis” un stingri savās vietās. IN šajā gadījumā brīvie mainīgie jāraksta otrajā un ceturtajā pozīcijā:
.

Iegūtās izteiksmes pamata mainīgajiem un acīmredzot jāraksta pirmajā un trešajā pozīcijā:

Bezmaksas mainīgo lielumu piešķiršana patvaļīgas vērtības, jūs varat atrast bezgalīgi daudz privātie risinājumi. Populārākās vērtības ir nulles, jo konkrēto risinājumu iegūt ir visvieglāk. Aizstāsim ar vispārējo risinājumu:

– privāts risinājums.

Vēl viens saldais pāris ir tādi, aizstājam tos vispārējā risinājumā:

– vēl viens privāts risinājums.

Ir viegli redzēt, ka vienādojumu sistēmai ir bezgala daudz risinājumu(jo mēs varam dot brīvus mainīgos jebkura vērtības)

Katrs konkrētajam risinājumam ir jāapmierina visiem sistēmas vienādojums. Tas ir pamats “ātrai” risinājuma pareizības pārbaudei. Ņemiet, piemēram, konkrētu risinājumu un aizstājiet to katra sākotnējās sistēmas vienādojuma kreisajā pusē:

Visam jāsanāk kopā. Un arī ar jebkuru konkrētu risinājumu, ko saņemat, visam ir jāsakrīt.

Bet, stingri ņemot, konkrēta risinājuma pārbaude dažkārt ir maldinoša, t.i. kāds konkrēts risinājums var apmierināt katru sistēmas vienādojumu, bet pats vispārējais risinājums faktiski tiek atrasts nepareizi.

Tāpēc vispārējā risinājuma pārbaude ir rūpīgāka un uzticamāka. Kā pārbaudīt iegūto vispārīgo risinājumu ?

Tas nav grūti, bet diezgan nogurdinoši. Mums ir jāņem izteiksmes pamata mainīgie, šajā gadījumā un , un aizstājiet tos katra sistēmas vienādojuma kreisajā pusē.

Sistēmas pirmā vienādojuma kreisajā pusē:

Sistēmas otrā vienādojuma kreisajā pusē:

Tiek iegūta sākotnējā vienādojuma labā puse.

4. piemērs

Atrisiniet sistēmu, izmantojot Gausa metodi. Atrodiet vispārīgo risinājumu un divus konkrētus risinājumus. Pārbaudiet vispārējo risinājumu.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Šeit, starp citu, vienādojumu skaits atkal ir mazāks par nezināmo skaitu, kas nozīmē, ka uzreiz ir skaidrs, ka sistēma būs vai nu nekonsekventa, vai arī tai būs bezgalīgi daudz risinājumu. Kas ir svarīgs pašā lēmumu pieņemšanas procesā? Uzmanību un vēlreiz uzmanību. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Un vēl pāris piemēri materiāla nostiprināšanai

5. piemērs

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu. Ja sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu, atrodiet divus konkrētus risinājumus un pārbaudiet vispārējo risinājumu

Risinājums: Pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā:

(1) Pievienojiet pirmo rindiņu otrajai rindai. Trešajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar 2. Ceturtajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar 3.
(2) Trešajai rindai pievienojam otro rindu, kas reizināta ar –5. Ceturtajai rindai pievienojam otro rindu, kas reizināta ar –7.
(3) Trešā un ceturtā rinda ir vienāda, mēs izdzēšam vienu no tām.

Šis ir tāds skaistums:

Pamata mainīgie atrodas uz pakāpieniem, tāpēc - pamata mainīgie.
Ir tikai viens brīvs mainīgais, kas nesaņēma soli:

Reverss:
Izteiksim galvenos mainīgos, izmantojot brīvo mainīgo:
No trešā vienādojuma:

Apskatīsim otro vienādojumu un aizstājam tajā atrasto izteiksmi:

Apskatīsim pirmo vienādojumu un aizvietosim atrastās izteiksmes un tajā:

Jā, joprojām ir ērts kalkulators, kas aprēķina parastās daļskaitļus.

Tātad vispārējais risinājums ir:

Vēlreiz, kā tas izrādījās? Brīvais mainīgais atrodas viens pats savā likumīgajā ceturtajā vietā. Rezultātā iegūtās izteiksmes pamata mainīgajiem arī ieņēma savas kārtas vietas.

Ļaujiet mums nekavējoties pārbaudīt vispārējo risinājumu. Darbs ir melnajiem, bet es jau to esmu izdarījis, tāpēc ķer =)

Katra sistēmas vienādojuma kreisajā pusē mēs aizvietojam trīs varoņus , :

Tiek iegūtas atbilstošās vienādojumu labās puses, tādējādi pareizi atrasts vispārīgais risinājums.

Tagad no atrastā vispārīgā risinājuma mēs iegūstam divus konkrētus risinājumus. Vienīgais brīvais mainīgais šeit ir šefpavārs. Nav nepieciešams salauzt smadzenes.

Lai tad ir – privāts risinājums.
Lai tad ir – vēl viens privāts risinājums.

Atbilde: Vispārējs risinājums: , privātie risinājumi: , .

Par melnajiem man nevajadzēja atcerēties... ...jo man ienāca prātā visādi sadistiski motīvi un atcerējos slaveno fotošopu, kurā Ku Klux Klansmen baltos halātos skrien pa laukumu pēc melnādainā futbolista. Sēžu un klusi smaidu. Zini, cik traucē...

Daudzas matemātikas ir kaitīgas, tāpēc šeit ir līdzīgs pēdējais piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi.

6. piemērs

Atrodiet lineāro vienādojumu sistēmas vispārīgo risinājumu.

Es jau pārbaudīju vispārējo risinājumu, atbildei var ticēt. Jūsu risinājums var atšķirties no mana risinājuma, galvenais, lai vispārējie risinājumi sakrīt.

Daudzi droši vien pamanīja kādu nepatīkamu momentu risinājumos: ļoti bieži, mainot Gausa metodi, nācās lāpīt parastās frakcijas. Praksē tā patiešām ir gadījumi, kad nav daļskaitļu, ir daudz retāk. Esiet gatavi garīgi un, pats galvenais, tehniski.

Es pakavēšos pie dažām risinājuma iezīmēm, kas netika atrastas atrisinātajos piemēros.

Sistēmas vispārīgais risinājums dažkārt var ietvert konstanti (vai konstantes), piemēram: . Šeit viens no pamata mainīgajiem ir vienāds ar konstants skaitlis: . Šajā nav nekā eksotiska, tā notiek. Acīmredzot šajā gadījumā jebkura konkrēta risinājuma pirmajā pozīcijā būs piecinieks.

Reti, bet ir sistēmas, kurās vienādojumu skaits ir lielāks par mainīgo skaitu. Gausa metode darbojas vissmagākajos apstākļos, izmantojot standarta algoritmu, sistēmas paplašinātā matrica ir jāsamazina pakāpeniski. Šāda sistēma var būt nekonsekventa, tai var būt bezgalīgi daudz risinājumu, un, dīvainā kārtā, tai var būt viens risinājums.

Sistēmas m lineāri vienādojumi ar n nezināms.
Lineāro vienādojumu sistēmas atrisināšana- šī ir šāda skaitļu kopa ( x 1 , x 2 , …, x n), aizvietojot katrā no sistēmas vienādojumiem, tiek iegūta pareizā vienādība.
Kur a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n— sistēmas koeficienti;
b i , i = 1, …, m- bezmaksas biedri;
x j , j = 1, …, n- nezināms.
Iepriekš minēto sistēmu var uzrakstīt matricas formā: A X = B,

Kur ( A|B) ir sistēmas galvenā matrica;
A— paplašināta sistēmas matrica;
X— nezināmo kolonna;
B— brīvo biedru kolonna.
Ja matrica B nav nulles matrica ∅, tad šo lineāro vienādojumu sistēmu sauc par nehomogēnu.
Ja matrica B= ∅, tad šo lineāro vienādojumu sistēmu sauc par homogēnu. Viendabīgai sistēmai vienmēr ir nulles (triviāls) risinājums: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Savienota lineāro vienādojumu sistēma ir lineāru vienādojumu sistēma, kurai ir risinājums.
Nekonsekventa lineāro vienādojumu sistēma ir neatrisināma lineāro vienādojumu sistēma.
Noteikta lineāro vienādojumu sistēma ir lineāru vienādojumu sistēma, kurai ir unikāls risinājums.
Nenoteikta lineāro vienādojumu sistēma ir lineāru vienādojumu sistēma ar bezgalīgu atrisinājumu skaitu.
n lineāru vienādojumu sistēmas ar n nezināmajiem
Ja nezināmo skaits ir vienāds ar vienādojumu skaitu, tad matrica ir kvadrātveida. Matricas determinantu sauc par lineāro vienādojumu sistēmas galveno determinantu un apzīmē ar simbolu Δ.
Krāmera metode sistēmu risināšanai n lineāri vienādojumi ar n nezināms.
Krāmera likums.
Ja lineāro vienādojumu sistēmas galvenais determinants nav vienāds ar nulli, tad sistēma ir konsekventa un definēta, un vienīgais risinājums tiek aprēķināts, izmantojot Krāmera formulas:
kur Δ i ir determinanti, kas iegūti no sistēmas galvenā determinanta Δ, aizstājot i kolonnu uz brīvo dalībnieku kolonnu. .
M lineāru vienādojumu sistēmas ar n nezināmajiem
Kronekera-Kapella teorēma.

Lai dotā lineāro vienādojumu sistēma būtu konsekventa, ir nepieciešams un pietiekami, lai sistēmas matricas rangs būtu vienāds ar sistēmas paplašinātās matricas rangu, zvanīja(Α) = zvanīja(Α|B).
Ja zvana(Α) ≠ zvana(Α|B), tad sistēmai acīmredzami nav risinājumu.
Ja zvanīja(Α) = zvanīja(Α|B), tad ir iespējami divi gadījumi:
1) rangs(Α) = n(nezināmo skaits) - risinājums ir unikāls un to var iegūt, izmantojot Krāmera formulas;
2) rangs (Α)< n - risinājumu ir bezgala daudz.
Gausa metode lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai

Izveidosim paplašinātu matricu ( A|B) dotās sistēmas no nezināmo un labās puses koeficientiem.
Gausa metode jeb nezināmo novēršanas metode sastāv no paplašinātās matricas samazināšanas ( A|B), izmantojot elementāras pārvērtības pār savām rindām uz diagonālo formu (augšējā trīsstūra formā). Atgriežoties pie vienādojumu sistēmas, tiek noteikti visi nezināmie.
Elementāras transformācijas virknēs ietver šādas:
1) apmainīt divas rindas;
2) virknes reizināšanu ar skaitli, kas nav 0;
3) citas virknes pievienošana virknei, kas reizināta ar patvaļīgu skaitli;
4) nulles līnijas izmešana.
Paplašinātā matrica, kas samazināta līdz diagonālajai formai, atbilst lineārā sistēma, līdzvērtīgs šim, kura risinājums nesagādā grūtības. .
Homogēnu lineāro vienādojumu sistēma.
Viendabīgai sistēmai ir šāda forma:

tas atbilst matricas vienādojumam A X = 0.
1) Viendabīga sistēma vienmēr ir konsekventa, jo r(A) = r(A|B), vienmēr ir nulles risinājums (0, 0, …, 0).
2) Lai homogēnai sistēmai būtu nulles atrisinājums, nepieciešams un pietiek ar to r = r(A)< n , kas ir ekvivalents Δ = 0.
3) Ja r< n , tad acīmredzami Δ = 0, tad rodas brīvie nezināmie c 1, c 2, …, c n-r, sistēmai ir netriviāli risinājumi, un to ir bezgala daudz.
4) Vispārējs risinājums X plkst r< n var rakstīt matricas formā šādi:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
kur ir risinājumi X 1, X 2, …, X n-r veido fundamentālu risinājumu sistēmu.
5) Risinājumu pamatsistēmu var iegūt no homogēnas sistēmas vispārējā risinājuma:

,
ja mēs secīgi iestatām parametru vērtības, kas vienādas ar (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Vispārējā risinājuma paplašināšana attiecībā uz fundamentālo risinājumu sistēmu ir vispārīga risinājuma ieraksts pamata sistēmai piederošu risinājumu lineāras kombinācijas veidā.
Teorēma. Lai lineāru viendabīgu vienādojumu sistēmai būtu atrisinājums, kas nav nulle, ir nepieciešams un pietiekami, lai Δ ≠ 0.
Tātad, ja determinants Δ ≠ 0, tad sistēmai ir unikāls risinājums.
Ja Δ ≠ 0, tad lineāro viendabīgo vienādojumu sistēmai ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.
Teorēma. Lai homogēnai sistēmai būtu nulles atrisinājums, ir nepieciešams un pietiek ar to r(A)< n .
Pierādījums:
1) r vairāk nevar būt n(matricas rangs nepārsniedz kolonnu vai rindu skaitu);
2) r< n , jo Ja r = n, tad sistēmas galvenais determinants Δ ≠ 0, un saskaņā ar Krāmera formulām ir unikāls triviāls risinājums x 1 = x 2 = … = x n = 0, kas ir pretrunā ar nosacījumu. nozīmē, r(A)< n .
Sekas. Lai izveidotu viendabīgu sistēmu n lineāri vienādojumi ar n nezināmajiem bija atrisinājums, kas nav nulle, ir nepieciešams un pietiekami, lai Δ = 0.

Pakalpojuma mērķis. Tiešsaistes kalkulators ir paredzēts lineāro vienādojumu sistēmas izpētei. Parasti problēmas izklāstā jums ir jāatrod vispārējs un konkrēts sistēmas risinājums. Pētot lineāro vienādojumu sistēmas, tiek atrisinātas šādas problēmas:

vai sistēma ir sadarbīga;
ja sistēma ir savietojama, tad tā ir noteikta vai nenoteikta (sistēmas saderības kritēriju nosaka teorēma);
ja sistēma ir definēta, tad kā atrast tās unikālo risinājumu (tiek izmantota Krāmera metode, apgrieztās matricas metode vai Džordana-Gausa metode);
ja sistēma ir neskaidra, tad kā aprakstīt tās risinājumu kopu.

Lineāro vienādojumu sistēmu klasifikācija

Patvaļīgai lineāro vienādojumu sistēmai ir šāda forma:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

Lineāru nehomogēnu vienādojumu sistēmas (mainīgo skaits ir vienāds ar vienādojumu skaitu, m = n).
Patvaļīgas lineāru nehomogēnu vienādojumu sistēmas (m > n vai m< n).

Definīcija. Sistēmas risinājums ir jebkura skaitļu kopums c 1 ,c 2 ,...,c n , kuru aizstāšana sistēmā atbilstošo nezināmo vietā pārvērš katru sistēmas vienādojumu par identitāti.

Definīcija. Divas sistēmas tiek uzskatītas par līdzvērtīgām, ja pirmās ir otrās sistēmas risinājums un otrādi.

Definīcija. Tiek izsaukta sistēma, kurai ir vismaz viens risinājums locītavu. Sistēmu, kurai nav viena risinājuma, sauc par nekonsekventu.

Definīcija. Tiek saukta sistēma, kurai ir unikāls risinājums noteikti, un nav skaidrs, vai ir vairāki risinājumi.

Algoritms lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai

Atrodiet galveno un paplašināto matricu rindas. Ja tie nav vienādi, tad saskaņā ar Kronecker-Capelli teorēmu sistēma ir nekonsekventa, un ar to arī beidzas pētījums.
Ļaujiet zvanīt(A) = zvanīt(B) . Mēs izvēlamies pamata minoru. Šajā gadījumā visas nezināmās lineāro vienādojumu sistēmas tiek sadalītas divās klasēs. Nezināmos, kuru koeficienti ir iekļauti pamata minorā, sauc par atkarīgiem, bet nezināmos, kuru koeficienti nav iekļauti pamata minorā, sauc par brīvajiem. Ņemiet vērā, ka atkarīgo un brīvo nezināmo izvēle ne vienmēr ir vienkārša.
Izsvītrojam tos sistēmas vienādojumus, kuru koeficienti nav iekļauti pamata minorā, jo tie ir pārējo (saskaņā ar teorēmu uz pamata minora) sekas.
Mēs pārvietojam brīvos nezināmos vienādojumu nosacījumus uz labo pusi. Rezultātā mēs iegūstam r vienādojumu sistēmu ar r nezināmajiem, kas ir ekvivalenti dotajam, kuras determinants nav nulle.
Iegūtā sistēma tiek atrisināta vienā no šādiem veidiem: Krāmera metode, apgrieztās matricas metode vai Džordana-Gausa metode. Tiek atrastas attiecības, kas atkarīgos mainīgos izsaka caur brīvajiem.

Mēs turpinām nodarboties ar lineāro vienādojumu sistēmām. Līdz šim esam apsvēruši sistēmas, kurām ir unikāls risinājums. Šādas sistēmas var atrisināt jebkurā veidā: ar aizstāšanas metodi(“skola”), pēc Krāmera formulām, matricas metode, Gausa metode. Tomēr praksē plaši izplatīti ir vēl divi gadījumi:

1) sistēma ir nekonsekventa (nav risinājumu);

2) sistēmai ir bezgala daudz risinājumu.

Šīm sistēmām tiek izmantota universālākā no visām risinājuma metodēm - Gausa metode. Faktiski arī “skolas” metode radīs atbildi, taču augstākajā matemātikā ir ierasts izmantot Gausa metodi secīgai nezināmo likvidēšanai. Tie, kas nav pazīstami ar Gausa metodes algoritmu, lūdzu, vispirms izpētiet stundu Gausa metode

1. piemērs

Kas šajā sistēmā uzreiz piesaista jūsu uzmanību? Vienādojumu skaits ir mazāks par mainīgo skaitu. Ir teorēma, kas saka: “Ja vienādojumu skaits sistēmā ir mazāks par mainīgo skaitu, tad sistēma ir vai nu nekonsekventa, vai arī tai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Un atliek tikai noskaidrot.

Risinājuma sākums ir pilnīgi parasts - mēs pierakstām sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidojam to pakāpeniskā formā:

(1). Augšējā kreisajā solī mums jāiegūst (+1) vai (–1). Pirmajā kolonnā šādu skaitļu nav, tāpēc rindu pārkārtošana neko nedos. Vienībai būs jāorganizē pašai, un to var izdarīt vairākos veidos. Mēs to izdarījām. Pirmajai rindai pievienojam trešo rindiņu, kas reizināta ar (–1).

(2). Tagad mēs iegūstam divas nulles pirmajā kolonnā. Otrajai rindai pievienojam pirmo rindiņu, kas reizināta ar 3. Trešajai rindai pievienojam pirmo, reizinām ar 5.

(3). Pēc transformācijas pabeigšanas vienmēr ir ieteicams noskaidrot, vai ir iespējams vienkāršot iegūtās virknes? Var. Otro rindiņu sadalām ar 2, tajā pašā laikā otrajā solī iegūstot vēlamo (–1). Sadaliet trešo rindiņu ar (–3).

(4). Trešajai rindai pievienojiet otru rindiņu. Droši vien visi pamanīja slikto līniju, kas radās elementāru pārvērtību rezultātā:

. Ir skaidrs, ka tas tā nevar būt.

Patiešām, pārrakstīsim iegūto matricu

atpakaļ uz lineāro vienādojumu sistēmu:

Ja elementāru pārveidojumu rezultātā iegūst formas virkni , Kurλ ir skaitlis, kas nav nulle, tad sistēma ir nekonsekventa (nav risinājumu).

Kā pierakstīt uzdevuma beigas? Jums jāpieraksta frāze:

“Elementāru pārveidojumu rezultātā tika iegūta formas virkne, kur λ ≠ 0 " Atbilde: "Sistēmai nav risinājumu (neatbilstoši)."

Lūdzu, ņemiet vērā, ka šajā gadījumā Gausa algoritms nav apgriezts, nav risinājumu un vienkārši nav ko atrast.

2. piemērs

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Vēlreiz atgādinām, ka jūsu risinājums var atšķirties no mūsu risinājuma, izmantojot Gausa metodi, darbību secība un pašas darbības ir jāuzmin katrā gadījumā atsevišķi;

Vēl viena risinājuma tehniskā iezīme: elementāras pārvērtības var apturēt nekavējoties, tiklīdz rinda patīk , kur λ ≠ 0 . Apskatīsim nosacītu piemēru: pieņemsim, ka pēc pirmās transformācijas tiek iegūta matrica

Šī matrica vēl nav reducēta līdz ešelona formai, taču tālākas elementāras transformācijas nav nepieciešamas, jo ir parādījusies formas rinda, kur λ ≠ 0 . Nekavējoties jāsniedz atbilde, ka sistēma nav savietojama.

Ja lineāro vienādojumu sistēmai nav atrisinājumu, tā ir gandrīz dāvana studentam, jo tiek iegūts īss risinājums, dažreiz burtiski 2-3 soļos. Bet viss šajā pasaulē ir līdzsvarots, un problēma, kurā sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu, ir tikai ilgāka.

3. piemērs:

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu

Sākums atkal ir standarta. Pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā:

Tas arī viss, un tev bija bail.

(1). Lūdzu, ņemiet vērā, ka visi skaitļi pirmajā kolonnā dalās ar 2, tāpēc 2 ir piemērots augšējā kreisajā solī. Otrajai rindai pievienojam pirmo rindiņu, kas reizināta ar (–4). Trešajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar (–2). Ceturtajai rindai pievienojam pirmo rindiņu, kas reizināta ar (–1).

Uzmanību! Daudzus var vilināt ceturtā rinda atņemt pirmā rinda. To var izdarīt, bet tas nav nepieciešams, pieredze liecina, ka kļūdas iespējamība aprēķinos palielinās vairākas reizes. Mēs vienkārši pievienojam: ceturtajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar (–1) - tieši tā!

(2). Pēdējās trīs rindas ir proporcionālas, divas no tām var dzēst. Šeit mums atkal jāparāda pastiprināta uzmanība, bet vai līnijas tiešām ir proporcionālas? Lai būtu drošs, ieteicams otro rindiņu reizināt ar (–1) un ceturto rindiņu dalīt ar 2, iegūstot trīs identiskas rindas. Un tikai pēc tam noņemiet divus no tiem. Elementāru pārveidojumu rezultātā sistēmas paplašinātā matrica tiek samazināta līdz pakāpeniskajai formai:

Rakstot uzdevumu piezīmju grāmatiņā, skaidrības labad tās pašas piezīmes vēlams veikt ar zīmuli.

Pārrakstīsim atbilstošo vienādojumu sistēmu:

Šeit nav ne smakas no “parasta” vienota sistēmas risinājuma. Slikta līnija kur λ ≠ 0, arī nē. Tas nozīmē, ka šis ir trešais atlikušais gadījums – sistēmai ir bezgala daudz risinājumu.

Bezgalīgs sistēmas risinājumu kopums ir īsi uzrakstīts tā sauktajā formā sistēmas vispārējs risinājums.

Mēs atrodam sistēmas vispārējo risinājumu, izmantojot Gausa metodes apgriezto metodi. Vienādojumu sistēmām ar bezgalīgu risinājumu kopu parādās jauni jēdzieni: "pamata mainīgie" Un "brīvie mainīgie". Vispirms definēsim, kādi mainīgie mums ir pamata, un kuri mainīgie - bezmaksas. Nav nepieciešams detalizēti izskaidrot lineārās algebras terminus, pietiek atcerēties, ka tādi ir pamata mainīgie Un bezmaksas mainīgie.

Pamata mainīgie vienmēr “sēž” stingri uz matricas soļiem. Šajā piemērā galvenie mainīgie ir x 1 un x 3 .

Bezmaksas mainīgie ir viss atlikušais mainīgie, kas nesaņēma soli. Mūsu gadījumā ir divi no tiem: x 2 un x 4 – brīvie mainīgie.

Tagad tev vajag Visipamata mainīgie izteikt tikai cauribezmaksas mainīgie. Gausa algoritma apgrieztais variants tradicionāli darbojas no apakšas uz augšu. No sistēmas otrā vienādojuma izsakām pamata mainīgo x 3:

Tagad apskatiet pirmo vienādojumu: . Vispirms tajā aizstājam atrasto izteiksmi:

Atliek izteikt pamata mainīgo x 1, izmantojot bezmaksas mainīgos x 2 un x 4:

Galu galā mēs saņēmām to, kas mums bija vajadzīgs - Visi pamata mainīgie ( x 1 un x 3) izteikts tikai cauri brīvi mainīgie ( x 2 un x 4):

Patiesībā vispārējais risinājums ir gatavs:

Kā pareizi uzrakstīt vispārīgo risinājumu? Pirmkārt, brīvie mainīgie tiek ierakstīti vispārējā risinājumā “paši no sevis” un stingri savās vietās. Šajā gadījumā brīvie mainīgie x 2 un x 4 jāraksta otrajā un ceturtajā pozīcijā:

Iegūtās izteiksmes pamata mainīgajiem un acīmredzot jāraksta pirmajā un trešajā pozīcijā:

No sistēmas vispārējā risinājuma var atrast bezgalīgi daudz privātie risinājumi. Tas ir ļoti vienkārši. Bezmaksas mainīgie x 2 un x 4 tā sauc, jo tos var dot jebkādas galīgās vērtības. Populārākās vērtības ir nulles vērtības, jo tas ir visvieglāk iegūstamais daļējais risinājums.

Aizstāšana ( x 2 = 0; x 4 = 0) vispārējā risinājumā iegūstam vienu no konkrētajiem risinājumiem:

vai ir konkrēts risinājums, kas atbilst brīviem mainīgajiem ar vērtībām ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Vēl viens jauks pāris ir tie, aizstāsim ( x 2 = 1 un x 4 = 1) vispārējā risinājumā:

, t.i. (-1; 1; 1; 1) – cits konkrēts risinājums.

Ir viegli redzēt, ka vienādojumu sistēmai ir bezgala daudz risinājumu jo mēs varam dot brīvus mainīgos jebkura nozīmes.

Katrs konkrētajam risinājumam ir jāapmierina visiem sistēmas vienādojums. Tas ir pamats “ātrai” risinājuma pareizības pārbaudei. Ņemiet, piemēram, konkrēto risinājumu (-1; 1; 1; 1) un aizstājiet to katra sākotnējās sistēmas vienādojuma kreisajā pusē:

Visam jāsanāk kopā. Un arī ar jebkuru konkrētu risinājumu, ko saņemat, visam ir jāsakrīt.

Stingri sakot, konkrēta risinājuma pārbaude dažkārt ir maldinoša, t.i. kāds konkrēts risinājums var apmierināt katru sistēmas vienādojumu, bet pats vispārējais risinājums faktiski tiek atrasts nepareizi. Tāpēc, pirmkārt, vispārējā risinājuma pārbaude ir rūpīgāka un uzticamāka.

Kā pārbaudīt iegūto vispārīgo risinājumu ?

Tas nav grūti, taču tas prasa dažas ilgstošas pārvērtības. Mums ir jāņem izteiksmes pamata mainīgie, šajā gadījumā un , un aizstājiet tos katra sistēmas vienādojuma kreisajā pusē.

Sistēmas pirmā vienādojuma kreisajā pusē:

Tiek iegūta sistēmas sākotnējā pirmā vienādojuma labā puse.

Sistēmas otrā vienādojuma kreisajā pusē:

Tiek iegūta sistēmas sākotnējā otrā vienādojuma labā puse.

Un tad - uz sistēmas trešā un ceturtā vienādojuma kreiso pusi. Šī pārbaude aizņem ilgāku laiku, bet garantē 100% kopējā risinājuma pareizību. Turklāt dažiem uzdevumiem ir jāpārbauda vispārīgais risinājums.

4. piemērs:

Atrisiniet sistēmu, izmantojot Gausa metodi. Atrodiet vispārīgo risinājumu un divus konkrētus risinājumus. Pārbaudiet vispārējo risinājumu.

5. piemērs:

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu. Ja sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu, atrodiet divus konkrētus risinājumus un pārbaudiet vispārējo risinājumu

Risinājums: Pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā:

(1). Pievienojiet pirmo rindu otrajai rindai. Trešajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar 2. Ceturtajai rindai pievienojam pirmo rindu, kas reizināta ar 3.

(2). Trešajai rindai pievienojam otro rindiņu, kas reizināta ar (–5). Ceturtajai rindai pievienojam otro rindu, kas reizināta ar (–7).

(3). Trešā un ceturtā rinda ir vienāda, mēs izdzēšam vienu no tām. Šis ir tāds skaistums:

Pamata mainīgie atrodas uz pakāpieniem, tāpēc - pamata mainīgie.

Ir tikai viens brīvs mainīgais, kas šeit nesaņēma soli: .

(4). Apgrieztā kustība. Izteiksim galvenos mainīgos, izmantojot brīvo mainīgo:

No trešā vienādojuma:

Apskatīsim otro vienādojumu un aizstājam tajā atrasto izteiksmi:

, , ,

Apskatīsim pirmo vienādojumu un aizvietosim atrastās izteiksmes un tajā:

Tādējādi vispārīgais risinājums ar vienu brīvu mainīgo x 4:

Vēlreiz, kā tas izrādījās? Bezmaksas mainīgais x 4 atrodas vienatnē savā likumīgajā ceturtajā vietā. Rezultātā iegūtās izteiksmes pamata mainīgajiem , ir arī vietā.

Ļaujiet mums nekavējoties pārbaudīt vispārējo risinājumu.

Katra sistēmas vienādojuma kreisajā pusē mēs aizstājam pamata mainīgos , :

Tiek iegūtas atbilstošās vienādojumu labās puses, tādējādi tiek atrasts pareizais vispārīgais risinājums.

Tagad no atrastā vispārīgā risinājuma mēs iegūstam divus konkrētus risinājumus. Visi mainīgie šeit tiek izteikti ar vienu brīvais mainīgais x 4. Nav nepieciešams salauzt smadzenes.

Ļaujiet x 4 = 0 tad – pirmais konkrētais risinājums.

Ļaujiet x 4 = 1 tad – vēl viens privāts risinājums.

Atbilde: Vispārējs risinājums: . Privātie risinājumi:

Un .

6. piemērs:

Atrodiet lineāro vienādojumu sistēmas vispārīgo risinājumu.

Mēs jau esam pārbaudījuši vispārējo risinājumu, atbildei var uzticēties. Jūsu risinājums var atšķirties no mūsu risinājuma. Galvenais, lai vispārējie lēmumi sakrīt. Iespējams, daudzi risinājumos pamanīja kādu nepatīkamu momentu: ļoti bieži Gausa metodes apgrieztā kursa laikā nācās ķerties pie parastajām frakcijām. Praksē tā patiešām ir gadījumi, kad nav daļskaitļu, ir daudz retāk. Esiet gatavi garīgi un, pats galvenais, tehniski.

Pakavēsimies pie risinājuma iezīmēm, kas netika atrasti atrisinātajos piemēros. Sistēmas vispārīgais risinājums dažkārt var ietvert konstanti (vai konstantes).

Piemēram, vispārīgs risinājums: . Šeit viens no pamata mainīgajiem ir vienāds ar nemainīgu skaitli: . Šajā nav nekā eksotiska, tā notiek. Acīmredzot šajā gadījumā jebkura konkrēta risinājuma pirmajā pozīcijā būs piecinieks.

Reti, bet ir sistēmas, kurās vienādojumu skaits ir lielāks par mainīgo skaitu. Tomēr Gausa metode darbojas vissmagākajos apstākļos. Jums vajadzētu mierīgi samazināt sistēmas paplašināto matricu uz pakāpenisku formu, izmantojot standarta algoritmu. Šāda sistēma var būt nekonsekventa, tai var būt bezgalīgi daudz risinājumu, un, dīvainā kārtā, tai var būt viens risinājums.

Atkārtosim mūsu padomu – lai justos komfortabli, risinot sistēmu ar Gausa metodi, labi jāpagūst atrisināt vismaz duci sistēmu.

Risinājumi un atbildes:

2. piemērs:

Risinājums:Pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā.

Veiktās elementārās pārvērtības:

(1) Pirmā un trešā rinda ir apmainītas.

(2) Pirmā rinda tika pievienota otrajai rindai, reizinot ar (–6). Pirmā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizinot ar (–7).

(3) Otrā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizināta ar (–1).

Elementāru pārveidojumu rezultātā tiek iegūta formas virkne, Kur λ ≠ 0 .Tas nozīmē, ka sistēma ir nekonsekventa.Atbilde: risinājumu nav.

4. piemērs:

Risinājums:Pierakstīsim sistēmas paplašināto matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā:

Veiktie reklāmguvumi:

(1). Pirmā rinda, kas reizināta ar 2, tika pievienota otrajai rindai. Pirmā rinda, kas reizināta ar 3, tika pievienota trešajai rindai.

Otrajam solim nav vienības , un transformācija (2) ir vērsta uz tā iegūšanu.

(2). Trešā rinda tika pievienota otrajai rindai, reizinot ar –3.

(3). Otrā un trešā rinda tika apmainīta (iegūto -1 mēs pārvietojām uz otro soli)

(4). Trešā rinda tika pievienota otrajai rindai, reizināta ar 3.

(5). Pirmajām divām rindām tika mainīta zīme (reizināta ar –1), trešā rinda tika dalīta ar 14.

Reverss:

(1). Šeit ir pamata mainīgie (kas atrodas uz soļiem), un – brīvie mainīgie (kurš nesaņēma soli).

(2). Izteiksim galvenos mainīgos kā brīvos mainīgos:

No trešā vienādojuma: .

(3). Apsveriet otro vienādojumu:, privātie risinājumi:

Atbilde: Vispārējs risinājums:

Sarežģīti skaitļi

Šajā sadaļā mēs iepazīstināsim ar koncepciju kompleksais skaitlis, apsveriet algebriskā, trigonometrisks Un eksponenciālā forma kompleksais skaitlis. Mācīsimies arī veikt darbības ar kompleksajiem skaitļiem: saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu, dalīšanu, kāpināšanu un sakņu ekstrakciju.

Lai apgūtu sarežģītus skaitļus, nav nepieciešamas īpašas zināšanas no augstākā matemātikas kursa, un materiāls ir pieejams pat skolēniem. Pietiek ar iespēju veikt algebriskas darbības ar “parastajiem” skaitļiem un atcerēties trigonometriju.

Vispirms atcerēsimies “parastos” skaitļus. Matemātikā tos sauc reālo skaitļu kopa un ir apzīmēti ar burtu R, vai R (sabiezēts). Visi reālie skaitļi atrodas uz pazīstamās skaitļu līnijas:

Reālo skaitļu grupa ir ļoti dažāda – ir veseli skaitļi, daļskaitļi un iracionālie skaitļi. Šajā gadījumā katrs skaitļu ass punkts noteikti atbilst kādam reālam skaitlim.

Pētīt lineāro vecuma vienādojumu (SLAE) sistēmu konsekvences nodrošināšanai nozīmē noskaidrot, vai šai sistēmai ir risinājumi vai nav. Nu, ja ir risinājumi, tad norādiet, cik ir.

Mums būs nepieciešama informācija no tēmas "Lineāro algebrisko vienādojumu sistēma. Pamattermini. Apzīmējuma matricas forma". Jo īpaši ir nepieciešami tādi jēdzieni kā sistēmas matrica un paplašinātās sistēmas matrica, jo Kronecker-Capelli teorēmas formulēšana ir balstīta uz tiem. Kā parasti, sistēmas matricu apzīmēsim ar burtu $A$, bet sistēmas paplašināto matricu ar burtu $\widetilde(A)$.

Kronekera-Kapella teorēma

Lineāra sistēma algebriskie vienādojumi ir konsekventa tad un tikai tad, ja sistēmas matricas rangs ir vienāds ar sistēmas paplašinātās matricas rangu, t.i. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.

Atgādināšu, ka sistēmu sauc par savienojumu, ja tai ir vismaz viens risinājums. Kronecker-Capelli teorēma saka: ja $\rang A=\rang\widetilde(A)$, tad ir risinājums; ja $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, tad šim SLAE nav risinājumu (neatbilstoši). Atbildi uz jautājumu par šo risinājumu skaitu sniedz Kronekera-Kapella teorēmas sekas. Secinājuma formulējumā izmantots burts $n$, kas ir vienāds ar dotā SLAE mainīgo skaitu.

Secinājums Kronecker-Capelli teorēmai

Ja $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, tad SLAE ir nekonsekventa (nav risinājumu).
Ja $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
Ja $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, tad SLAE ir noteikta (tam ir tieši viens risinājums).

Lūdzu, ņemiet vērā, ka formulētā teorēma un tās sekas nenorāda, kā atrast SLAE risinājumu. Ar viņu palīdzību jūs varat tikai uzzināt, vai šie risinājumi pastāv vai nav, un, ja tie ir, tad cik daudz.

Piemērs Nr.1

Izpētīt SLAE $ \left \(\begin(līdzināts) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(līdzināts) )\right.$ saderībai. Ja SLAE ir saderīgs, norādiet risinājumu skaitu.

Lai noskaidrotu dotā SLAE risinājumu esamību, mēs izmantojam Kronecker-Capelli teorēmu. Mums būs nepieciešama sistēmas $A$ matrica un sistēmas $\widetilde(A)$ paplašinātā matrica, mēs tās ierakstīsim:

$$ A=\left(\begin(masīvs) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(masīvs) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(masīvs) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(masīvs) \pa labi). $$

Mums jāatrod $\rang A$ un $\rang\widetilde(A)$. Ir daudz veidu, kā to izdarīt, daži no tiem ir uzskaitīti sadaļā Matrix Rank. Parasti šādu sistēmu pētīšanai tiek izmantotas divas metodes: “Matricas ranga aprēķināšana pēc definīcijas” vai “Matricas ranga aprēķināšana ar elementāru pārveidojumu metodi”.

Metode Nr.1. Skaitļošana ierindojas pēc definīcijas.

Saskaņā ar definīciju rangs ir augstākā matricas nepilngadīgo pakāpe, starp kurām ir vismaz viens, kas atšķiras no nulles. Parasti pētījums sākas ar pirmās kārtas nepilngadīgajiem, taču šeit ērtāk ir nekavējoties sākt aprēķināt matricas $A$ trešās kārtas nepilngadīgo. Trešās kārtas mazie elementi atrodas attiecīgās matricas trīs rindu un trīs kolonnu krustpunktā. Tā kā matricā $A$ ir tikai 3 rindas un 3 kolonnas, tad matricas $A$ trešās kārtas minors ir matricas $A$ determinants, t.i. $\Delta A$. Determinanta aprēķināšanai izmantojam formulu Nr.2 no tēmas “Formulas otrās un trešās kārtas determinantu aprēķināšanai”:

$$ \Delta A=\left| \begin(masīvs) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(masīvs) \right|=-21. $$

Tātad matricai $A$ ir trešās kārtas minors, kas nav vienāds ar nulli. Ceturtās kārtas minoru nav iespējams izveidot, jo tam ir vajadzīgas 4 rindas un 4 kolonnas, un matricā $A$ ir tikai 3 rindas un 3 kolonnas. Tātad matricas $A$, kuru vidū ir vismaz viens, kas nav vienāds ar nulli, augstākā secība ir vienāda ar 3. Tāpēc $\rang A=3$.

Mums arī jāatrod $\rang\widetilde(A)$. Apskatīsim matricas $\widetilde(A)$ struktūru. Līdz rindai matricā $\widetilde(A)$ ir matricas $A$ elementi, un mēs noskaidrojām, ka $\Delta A\neq 0$. Līdz ar to matricai $\widetilde(A)$ ir trešās kārtas minors, kas nav vienāds ar nulli. Mēs nevaram izveidot matricas $\widetilde(A)$ ceturtās kārtas minorus, tāpēc secinām: $\rang\widetilde(A)=3$.

Tā kā $\rang A=\rang\widetilde(A)$, tad saskaņā ar Kronecker-Capelli teorēmu sistēma ir konsekventa, t.i. ir risinājums (vismaz viens). Lai norādītu risinājumu skaitu, mēs ņemam vērā, ka mūsu SLAE ir 3 nezināmie: $x_1$, $x_2$ un $x_3$. Tā kā nezināmo skaits ir $n=3$, secinām: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, tāpēc saskaņā ar Kronekera-Kapelli teorēmas secinājumu sistēma ir noteikta, t.i. ir unikāls risinājums.

Problēma ir atrisināta. Kādi ir trūkumi un priekšrocības šī metode? Pirmkārt, parunāsim par priekšrocībām. Pirmkārt, mums vajadzēja atrast tikai vienu noteicēju. Pēc tam mēs nekavējoties izdarījām secinājumu par risinājumu skaitu. Parasti standarta standarta aprēķini dod vienādojumu sistēmas, kurās ir trīs nezināmie un kuriem ir unikāls risinājums. Šādām sistēmām šī metode ir ļoti ērta, jo mēs jau iepriekš zinām, ka ir risinājums (pretējā gadījumā piemērs standarta aprēķinā nebūtu bijis). Tie. mums atliek tikai parādīt risinājuma esamību ātrā veidā. Otrkārt, aprēķinātā sistēmas matricas determinanta vērtība (t.i. $\Delta A$) noderēs vēlāk: kad mēs sāksim risināt doto sistēmu, izmantojot Cramer metodi vai izmantojot apgriezto matricu.

Tomēr ranga aprēķināšanas metodi pēc definīcijas nav vēlams izmantot, ja sistēmas $A$ matrica ir taisnstūrveida. Šajā gadījumā labāk ir izmantot otro metodi, kas tiks apspriesta tālāk. Turklāt, ja $\Delta A=0$, tad par dotā nehomogēnā SLAE risinājumu skaitu mēs neko nevaram pateikt. Varbūt SLAE ir bezgalīgi daudz risinājumu vai varbūt nav neviena. Ja $\Delta A=0$, tad ir nepieciešama papildu izpēte, kas bieži vien ir apgrūtinoša.

Apkopojot teikto, es atzīmēju, ka pirmā metode ir piemērota tiem SLAE, kuru sistēmas matrica ir kvadrātveida. Turklāt pats SLAE satur trīs vai četrus nezināmus, un tas ir ņemts no standarta standarta aprēķiniem vai testiem.

2. metode. Ranga aprēķins ar elementāru pārveidojumu metodi.

Šī metode ir detalizēti aprakstīta attiecīgajā tēmā. Mēs sāksim aprēķināt matricas $\widetilde(A)$ rangu. Kāpēc matricas $\widetilde(A)$, nevis $A$? Fakts ir tāds, ka matrica $A$ ir daļa no matricas $\widetilde(A)$, tāpēc, aprēķinot matricas $\widetilde(A)$ rangu, mēs vienlaikus atradīsim matricas $A$ rangu. .

\begin(līdzināts) &\widetilde(A) =\left(\begin(masīvs) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(masīvs) \right) \rightarrow \left|\text(apmainīt pirmo un otro rindu)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(masīvs) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(masīvs) \labais) \begin(masīvs) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(masīvs) \rightarrow \left(\begin (masīvs) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(masīvs) \right) \begin(masīvs) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(masīvs)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(masīvs) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(masīvs) \right) \end(līdzināts)

Mēs esam samazinājuši matricu $\widetilde(A)$ līdz trapecveida formai. Uz iegūtās matricas galvenās diagonāles $\left(\begin(masīvs) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(masīvs) \right)$ satur trīs elementus, kas nav nulle: -1, 3 un -7. Secinājums: matricas $\widetilde(A)$ rangs ir 3, t.i. $\rang\widetilde(A)=3$. Veicot transformācijas ar matricas $\widetilde(A)$ elementiem, mēs vienlaikus transformējām līdz taisnei izvietotos matricas $A$ elementus. Matrica $A$ arī tiek reducēta līdz trapecveida formai: $\left(\begin(masīvs) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(masīvs) \pareizi )$. Secinājums: matricas $A$ rangs arī ir 3, t.i. $\rang A=3$.

Tā kā $\rang A=\rang\widetilde(A)$, tad saskaņā ar Kronecker-Capelli teorēmu sistēma ir konsekventa, t.i. ir risinājums. Lai norādītu risinājumu skaitu, mēs ņemam vērā, ka mūsu SLAE ir 3 nezināmie: $x_1$, $x_2$ un $x_3$. Tā kā nezināmo skaits ir $n=3$, secinām: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, tāpēc saskaņā ar Kronekera-Kapelli teorēmas secinājumu sistēma ir definēta, t.i. ir unikāls risinājums.

Kādas ir otrās metodes priekšrocības? Galvenā priekšrocība ir tā daudzpusība. Mums nav svarīgi, vai sistēmas matrica ir kvadrātveida vai nav. Turklāt mēs faktiski veicām Gausa metodes pārveidojumus. Atlikuši tikai daži soļi, un mēs varētu atrast risinājumu šim SLAE. Godīgi sakot, otrā metode man patīk vairāk nekā pirmā, bet izvēle ir gaumes lieta.

Atbilde: Dotais SLAE ir konsekvents un definēts.

Piemērs Nr.2

Izpētīt SLAE $ \left\( \begin(līdzināts) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4 \end(līdzināts) \right.$ saderībai.

Sistēmas matricas un paplašinātās sistēmas matricas rindas atradīsim, izmantojot elementāro pārveidojumu metodi. Paplašināta sistēmas matrica: $\widetilde(A)=\left(\begin(masīvs) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(masīvs) \right)$. Atradīsim vajadzīgās rindas, pārveidojot sistēmas paplašināto matricu:

Sistēmas paplašinātā matrica tiek reducēta līdz pakāpeniskajai formai. Ja matrica tiek reducēta līdz ešelona formai, tad tās rangs ir vienāds ar rindu skaitu, kas nav nulle. Tāpēc $\rang A=3$. Matrica $A$ (līdz līnijai) tiek reducēta līdz trapecveida formai un tās rangs ir 2, $\rang A=2$.

Tā kā $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, tad saskaņā ar Kronecker-Capelli teorēmu sistēma ir nekonsekventa (t.i., tai nav risinājumu).

Atbilde: sistēma ir nekonsekventa.

Piemērs Nr.3

Izpētīt SLAE $ \left\( \begin(līdzināts) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-6 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132 \end(līdzināts) \right.$ saderībai.

Sistēmas paplašinātajai matricai ir šāda forma: $\widetilde(A)=\left(\begin(masīvs) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(masīvs) \right)$. Apmainīsim šīs matricas pirmo un otro rindu tā, lai pirmās rindas pirmais elements kļūtu par vienu: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(masīvs) \right)$.

Mēs esam samazinājuši sistēmas paplašināto matricu un pašas sistēmas matricu līdz trapecveida formai. Sistēmas paplašinātās matricas rangs ir vienāds ar trīs, sistēmas matricas rangs arī ir vienāds ar trīs. Tā kā sistēmā ir $n=5$ nezināmie, t.i. $\rang\widetilde(A)=\rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Atbilde: Sistēma ir neskaidra.

Otrajā daļā aplūkosim piemērus, kas bieži tiek iekļauti standarta aprēķinos vai testiem augstākajā matemātikā: SLAE konsekvences un risinājuma izpēte atkarībā no tajā iekļauto parametru vērtībām.