Šajā nodarbībā turpināsim pētīt vienādojumu sistēmu risināšanas metodi, proti, algebriskās saskaitīšanas metodi. Vispirms apskatīsim šīs metodes pielietojumu, izmantojot piemēru lineārie vienādojumi un tā būtība. Atcerēsimies arī, kā vienādojumos izlīdzināt koeficientus. Un mēs atrisināsim vairākas problēmas, izmantojot šo metodi.

Tēma: Vienādojumu sistēmas

Nodarbība: Algebriskā saskaitīšanas metode

1. Algebriskās saskaitīšanas metode, izmantojot lineārās sistēmas kā piemēru

Apsvērsim algebriskā saskaitīšanas metode izmantojot lineāro sistēmu piemēru.

Piemērs 1. Atrisiniet sistēmu

Ja mēs pievienojam šos divus vienādojumus, tad y tiek atcelts, atstājot vienādojumu x.

Ja no pirmā vienādojuma atņemam otro, x viens otru atceļ, un mēs iegūstam y vienādojumu. Tā ir algebriskās saskaitīšanas metodes nozīme.

Mēs atrisinājām sistēmu un atcerējāmies algebriskās saskaitīšanas metodi. Atkārtosim tā būtību: mēs varam saskaitīt un atņemt vienādojumus, bet mums ir jānodrošina, ka mēs iegūstam vienādojumu tikai ar vienu nezināmo.

2. Algebriskās saskaitīšanas metode ar iepriekšēju koeficientu izlīdzināšanu

Piemērs 2. Atrisiniet sistēmu

Šis termins ir abos vienādojumos, tāpēc algebriskā saskaitīšanas metode ir ērta. Atņemsim otro no pirmā vienādojuma.

Atbilde: (2; -1).

Tādējādi pēc vienādojumu sistēmas analīzes var redzēt, ka tā ir ērta algebriskās saskaitīšanas metodei, un to pielietot.

Apskatīsim citu lineāro sistēmu.

3. Nelineāru sistēmu risinājums

Piemērs 3. Atrisiniet sistēmu

Mēs vēlamies atbrīvoties no y, bet y koeficienti abos vienādojumos ir atšķirīgi. Izlīdzināsim tos, reiziniet pirmo vienādojumu ar 3, otro ar 4.

Piemērs 4. Atrisiniet sistēmu

Izlīdzināsim koeficientus x

To var izdarīt savādāk - izlīdzināt y koeficientus.

Sistēmu atrisinājām, divreiz pielietojot algebriskās saskaitīšanas metodi.

Algebriskā saskaitīšanas metode ir piemērojama arī nelineāru sistēmu risināšanai.

Piemērs 5. Atrisiniet sistēmu

Saskaitīsim šos vienādojumus un atbrīvosimies no y.

To pašu sistēmu var atrisināt, divreiz pielietojot algebriskās saskaitīšanas metodi. Saskaitīsim un atņemsim no viena vienādojuma otru.

Piemērs 6. Atrisiniet sistēmu

Atbilde:

Piemērs 7. Atrisiniet sistēmu

Izmantojot algebriskās saskaitīšanas metodi, mēs atbrīvosimies no xy vārda. Reizināsim pirmo vienādojumu ar .

Pirmais vienādojums paliek nemainīgs, otrā vietā rakstām algebrisko summu.

Atbilde:

Piemērs 8. Atrisiniet sistēmu

Reiziniet otro vienādojumu ar 2, lai izolētu perfektu kvadrātu.

Mūsu uzdevums tika samazināts līdz četru vienkāršu sistēmu atrisināšanai.

4. Secinājums

Mēs pārbaudījām algebriskās saskaitīšanas metodi, izmantojot lineāro un nelineāro sistēmu risināšanas piemēru. Nākamajā nodarbībā aplūkosim jaunu mainīgo ieviešanas metodi.

1. Mordkovičs A.G. u.c. Algebra 9. klase: Mācību grāmata. Vispārējai izglītībai Iestādes.- 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 lpp.: ill.

2. Mordkovičs A.G., Algebra 9. klase: Problēmu grāmata vispārizglītojošo iestāžu skolēniem / A.G.Mordkovičs, T.N.Mišustina u.c. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 lpp.: ill.

3. Makarychev Yu N. Algebra. 9. klase: izglītojoša. vispārējās izglītības skolēniem. iestādes / Yu N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. izd., rev. un papildu - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh., Kolyagin Yu, Sidorov Yu. 9. klase. 16. izd. - M., 2011. - 287 lpp.

5. Mordkovičs A. G. Algebra. 9. klase. 2 stundās 1. daļa. Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs, P. V. Semenovs. — 12. izd., dzēsts. - M.: 2010. - 224 lpp.: ill.

6. Algebra. 9. klase. 2 daļās 2. daļa. Problēmu grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs, L. A. Aleksandrova, T. N. Mišustina u.c. Ed. A. G. Mordkovičs. — 12. izd., rev. - M.: 2010.-223 lpp.: ill.

1. Koledžas sekcija. ru matemātikā.

2. Interneta projekts “Uzdevumi”.

3. Izglītības portāls"ES ATRISINĀŠU LIETOJUMU."

1. Mordkovičs A.G., Algebra 9. klase: Problēmu grāmata vispārizglītojošo iestāžu skolēniem / A.G.Mordkovičs, T.N.Mišustina u.c. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 lpp.: ill. Nr.125 - 127.

Jums ir jālejupielādē mācību stundu plāns par šo tēmu » Algebriskā saskaitīšanas metode?

Lineāro vienādojumu sistēma ar diviem nezināmiem ir divi vai vairāki lineāri vienādojumi, kuriem jāatrod visi to kopējie risinājumi. Mēs aplūkosim divu lineāru vienādojumu sistēmas divos nezināmajos. Vispārējs skats divu lineāru vienādojumu sistēma ar diviem nezināmiem ir parādīta attēlā zemāk:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Šeit x un y ir nezināmi mainīgie, a1, a2, b1, b2, c1, c2 ir daži reāli skaitļi. Divu lineāru vienādojumu sistēmas risinājums divos nezināmajos ir skaitļu pāris (x,y), ja mēs šos skaitļus aizstājam sistēmas vienādojumos, tad katrs sistēmas vienādojums pārvēršas par patiesu vienādojumu. Ir vairāki veidi, kā atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu. Apskatīsim vienu no veidiem, kā atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu, proti, saskaitīšanas metodi.

Algoritms risināšanai ar saskaitīšanas metodi

Algoritms lineāru vienādojumu sistēmas ar diviem nezināmajiem risināšanai, izmantojot saskaitīšanas metodi.

1. Ja nepieciešams, ar ekvivalentu pārveidojumu palīdzību izlīdziniet viena nezināmā mainīgā koeficientus abos vienādojumos.

2. Saskaitot vai atņemot iegūtos vienādojumus, iegūstiet lineāru vienādojumu ar vienu nezināmo

3. Atrisiniet iegūto vienādojumu ar vienu nezināmo un atrodiet vienu no mainīgajiem.

4. Aizvietojiet iegūto izteiksmi jebkurā no diviem sistēmas vienādojumiem un atrisiniet šo vienādojumu, tādējādi iegūstot otro mainīgo.

5. Pārbaudiet risinājumu.

Risinājuma piemērs, izmantojot pievienošanas metodi

Lai iegūtu lielāku skaidrību, atrisināsim šādu lineāro vienādojumu sistēmu ar diviem nezināmiem, izmantojot saskaitīšanas metodi:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Tā kā nevienam no mainīgajiem nav identisku koeficientu, mēs izlīdzinām mainīgā y koeficientus. Lai to izdarītu, reiziniet pirmo vienādojumu ar trīs un otro vienādojumu ar divi.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Mēs saņemam šāda vienādojumu sistēma:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Tagad mēs atņemam pirmo no otrā vienādojuma. Mēs piedāvājam līdzīgus terminus un atrisinām iegūto lineāro vienādojumu.

10*x+6*y — (9*x+6*y) = 24–30; x=-6;

Mēs aizstājam iegūto vērtību pirmajā vienādojumā no mūsu sākotnējās sistēmas un atrisinām iegūto vienādojumu.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;

Rezultāts ir skaitļu pāris x=6 un y=14. Mēs pārbaudām. Veiksim aizstāšanu.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Kā redzat, mēs saņēmām divus pareizos vienādības, tāpēc mēs atradām pareizo risinājumu.

Vienādojumu sistēmas tiek plaši izmantotas ekonomikas sektorā matemātiskajā modelēšanā dažādi procesi. Piemēram, risinot ražošanas vadības un plānošanas, loģistikas maršrutu (transporta problēma) vai iekārtu izvietošanas problēmas.

Vienādojumu sistēmas tiek izmantotas ne tikai matemātikā, bet arī fizikā, ķīmijā un bioloģijā, risinot populācijas lieluma noteikšanas uzdevumus.

Lineāro vienādojumu sistēma ir divi vai vairāki vienādojumi ar vairākiem mainīgajiem, kuriem jāatrod kopīgs risinājums. Tāda skaitļu virkne, kurai visi vienādojumi kļūst par patiesiem vienādībām vai pierāda, ka virkne neeksistē.

Lineārais vienādojums

Formas ax+by=c vienādojumus sauc par lineāriem. Apzīmējumi x, y ir nezināmie, kuru vērtība jāatrod, b, a ir mainīgo koeficienti, c ir vienādojuma brīvais loceklis.
Vienādojuma atrisināšana, uzzīmējot to, izskatīsies kā taisna līnija, kuras visi punkti ir polinoma atrisinājumi.

Lineāro vienādojumu sistēmu veidi

Par vienkāršākajiem piemēriem tiek uzskatītas lineāro vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem X un Y.

F1(x, y) = 0 un F2(x, y) = 0, kur F1,2 ir funkcijas un (x, y) ir funkciju mainīgie.

Atrisināt vienādojumu sistēmu - tas nozīmē, ka jāatrod vērtības (x, y), pie kurām sistēma pārvēršas par patiesu vienādību, vai jānosaka, ka piemērotas x un y vērtības nepastāv.

Vērtību pāris (x, y), kas uzrakstīts kā punkta koordinātas, tiek saukts par lineāro vienādojumu sistēmas risinājumu.

Ja sistēmām ir viens kopīgs risinājums vai risinājuma nav, tās sauc par līdzvērtīgām.

Homogēnas lineāro vienādojumu sistēmas ir sistēmas, kuru labā puse ir vienāda ar nulli. Ja labajai daļai aiz vienādības zīmes ir vērtība vai tā ir izteikta ar funkciju, šāda sistēma ir neviendabīga.

Mainīgo lielumu skaits var būt daudz lielāks par diviem, tad jārunā par piemēru lineāru vienādojumu sistēmai ar trīs vai vairāk mainīgajiem.

Saskaroties ar sistēmām, skolēni pieņem, ka vienādojumu skaitam noteikti jāsakrīt ar nezināmo skaitu, taču tas tā nav. Vienādojumu skaits sistēmā nav atkarīgs no mainīgajiem, to var būt tik daudz, cik vēlas.

Vienkāršas un sarežģītas vienādojumu sistēmu risināšanas metodes

Nav vispārējas analītiskas metodes šādu sistēmu risināšanai, visas metodes ir balstītas uz skaitliskiem risinājumiem. IN skolas kurss Matemātika detalizēti apraksta tādas metodes kā permutācija, algebriskā saskaitīšana, aizstāšana, kā arī grafiskās un matricas metodes, risinājums ar Gausa metodi.

Galvenais uzdevums, mācot risināšanas metodes, ir iemācīt pareizi analizēt sistēmu un atrast katram piemēram optimālo risinājuma algoritmu. Galvenais ir nevis iegaumēt katras metodes noteikumu un darbību sistēmu, bet gan saprast konkrētas metodes izmantošanas principus.

Lineāro vienādojumu sistēmu piemēru risināšana 7. klases vispārējās izglītības programmā ir diezgan vienkārša un ļoti detalizēti izskaidrota. Jebkurā matemātikas mācību grāmatā šai sadaļai tiek pievērsta pietiekama uzmanība. Lineāro vienādojumu sistēmu piemēru risināšana, izmantojot Gausa un Krēmera metodi, tiek pētīta plašāk pirmajos augstākās izglītības gados.

Sistēmu risināšana, izmantojot aizstāšanas metodi

Aizvietošanas metodes darbības ir vērstas uz viena mainīgā lieluma vērtības izteikšanu otrā. Izteiksme tiek aizstāta ar atlikušo vienādojumu, pēc tam tā tiek reducēta līdz formai ar vienu mainīgo. Darbība tiek atkārtota atkarībā no nezināmo datu skaita sistēmā

Dosim risinājumu 7. klases lineāro vienādojumu sistēmas piemēram, izmantojot aizstāšanas metodi:

Kā redzams no piemēra, mainīgais x tika izteikts ar F(X) = 7 + Y. Rezultātā iegūtā izteiksme, kas aizstāta ar sistēmas 2. vienādojumu X vietā, palīdzēja iegūt vienu mainīgo Y 2. vienādojumā. . Risinājums šis piemērs nerada grūtības un ļauj iegūt Y vērtību Pēdējais solis ir iegūto vērtību pārbaude.

Lineāro vienādojumu sistēmas piemēru ne vienmēr ir iespējams atrisināt ar aizstāšanu. Vienādojumi var būt sarežģīti, un mainīgā izteikšana otrā nezināmā izteiksmē būs pārāk apgrūtinoša turpmākiem aprēķiniem. Ja sistēmā ir vairāk nekā 3 nezināmie, risināšana ar aizstāšanu arī nav praktiska.

Lineāru nehomogēnu vienādojumu sistēmas piemēra risinājums:

Risinājums, izmantojot algebrisko saskaitīšanu

Meklējot risinājumus sistēmām, izmantojot saskaitīšanas metodi, viņi veic vienādojumu saskaitīšanu un reizināšanu ar dažādi skaitļi. Matemātisko darbību galvenais mērķis ir vienādojums vienā mainīgajā.

Šīs metodes izmantošana prasa praksi un novērojumus. Lineāro vienādojumu sistēmas atrisināšana, izmantojot saskaitīšanas metodi, ja ir 3 vai vairāk mainīgie, nav viegli. Algebrisko saskaitīšanu ir ērti izmantot, ja vienādojumos ir daļskaitļi un decimāldaļas.

Risinājuma algoritms:

1. Reiziniet abas vienādojuma puses ar noteiktu skaitli. Aritmētiskās darbības rezultātā vienam no mainīgā lieluma koeficientiem jākļūst vienādam ar 1.
2. Pievienojiet iegūto izteiksmi pēc vārda un atrodiet kādu no nezināmajiem.
3. Aizstājiet iegūto vērtību sistēmas 2. vienādojumā, lai atrastu atlikušo mainīgo.

Risinājuma metode, ieviešot jaunu mainīgo

Jaunu mainīgo var ieviest, ja sistēma prasa atrast risinājumu ne vairāk kā diviem vienādojumiem, arī nezināmo skaits nedrīkst būt lielāks par diviem.

Metode tiek izmantota, lai vienkāršotu vienu no vienādojumiem, ieviešot jaunu mainīgo. Jaunais vienādojums tiek atrisināts ieviestajam nezināmajam, un iegūto vērtību izmanto, lai noteiktu sākotnējo mainīgo.

Piemērā redzams, ka, ieviešot jaunu mainīgo t, bija iespējams sistēmas 1. vienādojumu reducēt uz standarta vienādojumu kvadrātveida trinomāls. Polinomu var atrisināt, atrodot diskriminantu.

Nepieciešams atrast diskriminanta vērtību, izmantojot labi zināmo formulu: D = b2 - 4*a*c, kur D ir vēlamais diskriminants, b, a, c ir polinoma faktori. Dotajā piemērā a=1, b=16, c=39, tātad D=100. Ja diskriminants ir lielāks par nulli, tad ir divi atrisinājumi: t = -b±√D / 2*a, ja diskriminants ir mazāks par nulli, tad ir viens risinājums: x = -b / 2*a.

Iegūto sistēmu risinājums tiek atrasts ar pievienošanas metodi.

Vizuāla metode sistēmu risināšanai

Piemērots 3 vienādojumu sistēmām. Metode ir balstīties uz koordinātu ass katra sistēmā iekļautā vienādojuma diagrammas. Līkņu un būs krustošanās punktu koordinātas vispārējs lēmums sistēmas.

Grafiskajai metodei ir vairākas nianses. Apskatīsim vairākus piemērus lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai vizuālā veidā.

Kā redzams no piemēra, katrai līnijai tika izveidoti divi punkti, mainīgā x vērtības tika izvēlētas patvaļīgi: 0 un 3. Pamatojoties uz x vērtībām, tika atrastas y vērtības: 3 un 0. Punkti ar koordinātām (0, 3) un (3, 0) tika atzīmēti grafikā un savienoti ar līniju.

Darbības ir jāatkārto otrajam vienādojumam. Līniju krustpunkts ir sistēmas risinājums.

IN sekojošs piemērs jāatrod grafisks risinājums lineāro vienādojumu sistēmai: 0,5x-y+2=0 un 0,5x-y-1=0.

Kā redzams no piemēra, sistēmai nav risinājuma, jo grafiki ir paralēli un nekrustojas visā to garumā.

Sistēmas no 2. un 3. piemēra ir līdzīgas, taču konstruējot kļūst acīmredzams, ka to risinājumi atšķiras. Jāatceras, ka ne vienmēr ir iespējams pateikt, vai sistēmai ir vai nav, vienmēr ir jākonstruē grafs.

Matrica un tās šķirnes

Matricas izmanto, lai kodolīgi uzrakstītu lineāro vienādojumu sistēmu. Matrica ir tabula īpašs veids piepildīta ar cipariem. n*m ir n — rindas un m — kolonnas.

Matrica ir kvadrātveida, ja kolonnu un rindu skaits ir vienāds. Matrica-vektors ir vienas kolonnas matrica ar bezgalīgi iespējamu rindu skaitu. Matricu ar vieniniekiem gar vienu no diagonālēm un citiem nulles elementiem sauc par identitāti.

Apgrieztā matrica ir matrica, kas reizināta ar kuru sākotnējā matrica pārvēršas par vienības matricu, šāda matrica pastāv tikai sākotnējai kvadrātveida matricai.

Noteikumi vienādojumu sistēmas pārvēršanai matricā

Saistībā ar vienādojumu sistēmām vienādojumu koeficientus un brīvos vārdus raksta kā matricas skaitļus, viens vienādojums ir viena matricas rinda.

Tiek uzskatīts, ka matricas rinda nav nulle, ja vismaz viens rindas elements nav nulle. Tāpēc, ja kādā no vienādojumiem mainīgo skaits atšķiras, tad trūkstošā nezināmā vietā jāievada nulle.

Matricas kolonnām stingri jāatbilst mainīgajiem lielumiem. Tas nozīmē, ka mainīgā x koeficientus var ierakstīt tikai vienā kolonnā, piemēram, pirmajā, nezināmā y koeficientu - tikai otrajā.

Reizinot matricu, visi matricas elementi tiek secīgi reizināti ar skaitli.

Apgrieztās matricas atrašanas iespējas

Formula apgrieztās matricas atrašanai ir diezgan vienkārša: K -1 = 1 / |K|, kur K -1 ir apgrieztā matrica, un |K| ir matricas determinants. |K| nedrīkst būt vienāds ar nulli, tad sistēmai ir risinājums.

Determinants ir viegli aprēķināms matricai divi reiz divi, jums vienkārši jāreizina diagonālie elementi viens ar otru. Opcijai “trīs reiz trīs” ir formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Varat izmantot formulu vai arī atcerēties, ka no katras rindas un katras kolonnas jāņem viens elements, lai darbā neatkārtotos kolonnu un elementu rindu numuri.

Lineāro vienādojumu sistēmu piemēru risināšana, izmantojot matricas metodi

Risinājuma atrašanas matricas metode ļauj samazināt apgrūtinošos ierakstus, risinot sistēmas ar lielu skaitu mainīgo un vienādojumu.

Piemērā a nm ir vienādojumu koeficienti, matrica ir vektors, x n ir mainīgie, un b n ir brīvie termini.

Sistēmu risināšana, izmantojot Gausa metodi

Augstākajā matemātikā Gausa metodi pēta kopā ar Krāmera metodi, un sistēmu risinājumu meklēšanas procesu sauc par Gausa-Kramera risinājuma metodi. Šīs metodes tiek izmantotas, lai atrastu mainīgas sistēmas ar lielu skaitu lineāro vienādojumu.

Gausa metode ir ļoti līdzīga risinājumiem ar aizstāšanu un algebrisko saskaitīšanu, taču tā ir sistemātiskāka. Skolas kursā 3 un 4 vienādojumu sistēmām tiek izmantots risinājums pēc Gausa metodes. Metodes mērķis ir reducēt sistēmu līdz apgrieztas trapeces formai. Autors algebriskās transformācijas un aizstāšanas, viena mainīgā vērtība ir atrodama vienā no sistēmas vienādojumiem. Otrais vienādojums ir izteiksme ar 2 nezināmajiem, savukārt 3 un 4 ir attiecīgi ar 3 un 4 mainīgajiem.

Pēc sistēmas nogādāšanas aprakstītajā formā tālākais risinājums tiek reducēts līdz zināmo mainīgo secīgai aizstāšanai sistēmas vienādojumos.

Skolas mācību grāmatās 7. klasei risinājuma piemērs ar Gausa metodi ir aprakstīts šādi:

Kā redzams no piemēra, (3) solī tika iegūti divi vienādojumi: 3x 3 -2x 4 =11 un 3x 3 +2x 4 =7. Jebkuru vienādojumu atrisināšana ļaus noskaidrot vienu no mainīgajiem x n.

5. teorēma, kas ir minēta tekstā, nosaka, ka, ja viens no sistēmas vienādojumiem tiek aizstāts ar ekvivalentu, tad iegūtā sistēma arī būs līdzvērtīga sākotnējai.

Gausa metodi skolēniem ir grūti saprast vidusskola, bet ir viens no visvairāk interesanti veidi attīstīt padziļinātās studiju programmās uzņemto bērnu atjautību matemātikas un fizikas klasēs.

Lai atvieglotu ierakstīšanu, aprēķinus parasti veic šādi:

Vienādojumu un brīvo terminu koeficientus raksta matricas formā, kur katra matricas rinda atbilst kādam no sistēmas vienādojumiem. atdala vienādojuma kreiso pusi no labās puses. Romiešu cipari norāda vienādojumu numurus sistēmā.

Vispirms pierakstiet matricu, ar kuru jāstrādā, pēc tam visas darbības, kas veiktas ar vienu no rindām. Iegūtā matrica tiek uzrakstīta aiz "bultiņas" zīmes un tiek turpinātas nepieciešamās algebriskās darbības, līdz tiek sasniegts rezultāts.

Rezultātā jāiegūst matrica, kurā viena no diagonālēm ir vienāda ar 1, un visi pārējie koeficienti ir vienādi ar nulli, tas ir, matrica tiek reducēta līdz vienības formai. Mēs nedrīkstam aizmirst veikt aprēķinus ar skaitļiem abās vienādojuma pusēs.

Šī ierakstīšanas metode ir mazāk apgrūtinoša un ļauj novērst uzmanību, uzskaitot daudzus nezināmus.

Jebkuras risinājuma metodes bezmaksas izmantošana prasīs rūpību un zināmu pieredzi. Ne visas metodes ir lietišķas. Dažas risinājumu meklēšanas metodes ir vairāk ieteicamas noteiktā cilvēka darbības jomā, bet citas pastāv izglītības nolūkos.

Izmantojot šo matemātisko programmu, jūs varat atrisināt divu lineāru vienādojumu sistēmu ar diviem mainīgajiem, izmantojot aizstāšanas metodi un saskaitīšanas metodi.

Programma ne tikai sniedz atbildi uz problēmu, bet arī sniedz detalizēts risinājums ar risinājuma soļu skaidrojumiem divos veidos: aizstāšanas metode un pievienošanas metode.

Šī programma var būt noderīga vidusskolēniem vidusskolās, gatavojoties testiem un eksāmeni, pārbaudot zināšanas pirms Vienotā valsts eksāmena, vecākiem, lai kontrolētu daudzu matemātikas un algebras uzdevumu risināšanu. Vai varbūt jums ir pārāk dārgi algot pasniedzēju vai iegādāties jaunas mācību grāmatas? Vai arī vēlaties to paveikt pēc iespējas ātrāk? mājasdarbs

matemātikā vai algebrā? Šajā gadījumā varat izmantot arī mūsu programmas ar detalizētiem risinājumiem.

Tādā veidā jūs varat vadīt savu apmācību un/vai jaunāko brāļu vai māsu apmācību, vienlaikus paaugstinot izglītības līmeni problēmu risināšanas jomā.

Noteikumi vienādojumu ievadīšanai
Jebkurš latīņu burts var darboties kā mainīgais.

Piemēram: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) utt. Ievadot vienādojumus varat izmantot iekavas
. Šajā gadījumā vienādojumi vispirms tiek vienkāršoti.

Vienādojumiem pēc vienkāršojumiem jābūt lineāriem, t.i. formas ax+by+c=0 ar elementu secības precizitāti.

Piemēram: 6x+1 = 5(x+y)+2
Vienādojumos varat izmantot ne tikai veselus skaitļus, bet arī daļskaitļus decimālskaitļu un parasto daļskaitļu veidā. Decimāldaļskaitļu ievadīšanas noteikumi. Veselo skaitļu un daļskaitļu daļas iekšā
decimāldaļas

var atdalīt ar punktu vai komatu.
Piemēram: 2,1n + 3,5m = 55
Parasto daļskaitļu ievadīšanas noteikumi.
Tikai vesels skaitlis var darboties kā frakcijas skaitītājs, saucējs un vesels skaitlis. /
Saucējs nevar būt negatīvs. &

Ievadot skaitlisko daļu, skaitītājs tiek atdalīts no saucēja ar dalījuma zīmi:
Visa daļa ir atdalīta no frakcijas ar & zīmi:
Piemēri.

Atrisināt vienādojumu sistēmu

Piemērs: 3x-4y = 5
Piemērs: 6x+1 = 5(x+y)+2
Tika atklāts, ka daži skripti, kas nepieciešami šīs problēmas risināšanai, netika ielādēti un programma var nedarboties.

Iespējams, jums ir iespējots AdBlock.
Šādā gadījumā atspējojiet to un atsvaidziniet lapu.
JavaScript jūsu pārlūkprogrammā ir atspējots.

Lai risinājums tiktu parādīts, jums ir jāiespējo JavaScript.
Šeit ir sniegti norādījumi par to, kā pārlūkprogrammā iespējot JavaScript.
Jo Ir daudz cilvēku, kas vēlas atrisināt problēmu, jūsu pieprasījums ir ievietots rindā. Pēc dažām sekundēm zemāk parādīsies risinājums.

Lūdzu, uzgaidiet sek... Ja jūs
pamanīja kļūdu risinājumā , tad par to varat rakstīt atsauksmju veidlapā. Neaizmirsti norādiet, kurš uzdevums.

tu izlem ko

ievadiet laukos

Mūsu spēles, puzles, emulatori:

Darbību secība, risinot lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot aizstāšanas metodi:
1) izsaka vienu mainīgo no kāda sistēmas vienādojuma ar citu;
2) aizstāt iegūto izteiksmi ar citu sistēmas vienādojumu šī mainīgā vietā;

$$ \left\( \begin(masīvs)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(masīvs) \right. $$

Izteiksim y ar x no pirmā vienādojuma: y = 7-3x. Otrajā vienādojumā y vietā aizstājot izteiksmi 7-3x, iegūstam sistēmu:
$$ \left\( \begin(masīvs)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(masīvs) \right. $$

Ir viegli parādīt, ka pirmajai un otrajai sistēmai ir vienādi risinājumi. Otrajā sistēmā otrais vienādojums satur tikai vienu mainīgo. Atrisināsim šo vienādojumu:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Labā bultiņa -5x+14-6x=3 \Labā bultiņa -11x=-11 \Labā bultiņa x=1 $$

Vienādībā y=7-3x aizstājot x vietā 1, mēs atrodam atbilstošo y vērtību:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Pāris (1;4) - sistēmas risinājums

Tiek sauktas vienādojumu sistēmas divos mainīgajos, kuriem ir vienādi risinājumi ekvivalents. Sistēmas, kurām nav risinājumu, arī tiek uzskatītas par līdzvērtīgām.

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana ar saskaitīšanu

Apskatīsim citu veidu, kā atrisināt lineāro vienādojumu sistēmas - saskaitīšanas metodi. Šādā veidā risinot sistēmas, kā arī risinot ar aizstāšanu, mēs no šīs sistēmas pārejam uz citu, līdzvērtīgu sistēmu, kurā viens no vienādojumiem satur tikai vienu mainīgo.

Darbību secība, risinot lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot saskaitīšanas metodi:
1) reiziniet sistēmas termina vienādojumus ar terminu, izvēloties faktorus tā, lai viena mainīgā koeficienti kļūtu par pretējiem skaitļiem;
2) saskaita sistēmas vienādojumu kreiso un labo pusi pēc termiņa;
3) atrisina iegūto vienādojumu ar vienu mainīgo;
4) atrodiet atbilstošo otrā mainīgā vērtību.

Piemērs. Atrisināsim vienādojumu sistēmu:
$$ \left\( \begin(masīvs)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(masīvs) \right. $$

Šīs sistēmas vienādojumos y koeficienti ir pretēji skaitļi. Saskaitot vienādojumu kreiso un labo pusi pa vārdam, iegūstam vienādojumu ar vienu mainīgo 3x=33. Aizstāsim vienu no sistēmas vienādojumiem, piemēram, pirmo, ar vienādojumu 3x=33. Iegūsim sistēmu
$$ \left\( \begin(masīvs)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(masīvs) \right. $$

No vienādojuma 3x=33 mēs atklājam, ka x=11. Aizvietojot šo x vērtību vienādojumā \(x-3y=38\), iegūstam vienādojumu ar mainīgo y: \(11-3y=38\). Atrisināsim šo vienādojumu:
\(-3y=27 \labā bultiņa y=-9 \)

Tādējādi mēs atradām vienādojumu sistēmas risinājumu, saskaitot: \(x=11; y=-9\) vai \((11;-9)\)

Izmantojot to, ka sistēmas vienādojumos y koeficienti ir pretēji skaitļi, tā atrisinājumu reducējām līdz ekvivalentas sistēmas atrisinājumam (summējot katra sākotnējās sistēmas vienādojuma abas puses), kurā viens vienādojumos ir tikai viens mainīgais.

Grāmatas (mācību grāmatas) Vienotā valsts eksāmena un vienotā valsts eksāmena testu tēzes tiešsaistē Spēles, puzles Funkciju grafiku zīmēšana Krievu valodas pareizrakstības vārdnīca Jauniešu slenga vārdnīca Krievu skolu katalogs Krievijas vidējo izglītības iestāžu katalogs Krievijas universitāšu katalogs Saraksts uzdevumiem

Ar šo video es sāku nodarbību sēriju, kas veltīta vienādojumu sistēmām. Šodien mēs runāsim par lineāro vienādojumu sistēmu risināšanu pievienošanas metode- šis ir viens no visvairāk vienkāršus veidus, bet tajā pašā laikā viens no efektīvākajiem.

Pievienošanas metode sastāv no trim vienkāršiem soļiem:

1. Apskatiet sistēmu un izvēlieties mainīgo, kuram katrā vienādojumā ir identiski (vai pretēji) koeficienti;
2. Veiciet vienādojumu algebrisko atņemšanu (pretējiem skaitļiem - saskaitīšanu) un pēc tam pievienojiet līdzīgus vārdus;
3. Atrisiniet jauno vienādojumu, kas iegūts pēc otrā soļa.

Ja viss ir izdarīts pareizi, tad izejā mēs iegūsim vienu vienādojumu ar vienu mainīgo— to nebūs grūti atrisināt. Tad atliek tikai aizstāt atrasto sakni sākotnējā sistēmā un iegūt galīgo atbildi.

Tomēr praksē viss nav tik vienkārši. Tam ir vairāki iemesli:

• Vienādojumu atrisināšana, izmantojot saskaitīšanas metodi, nozīmē, ka visās rindās jāsatur mainīgie ar vienādiem/pretējiem koeficientiem. Ko darīt, ja šī prasība nav izpildīta?
• Ne vienmēr pēc vienādojumu saskaitīšanas/atņemšanas norādītajā veidā iegūstam skaistu, viegli atrisināmu konstrukciju. Vai ir iespējams kaut kā vienkāršot aprēķinus un paātrināt aprēķinus?

Lai iegūtu atbildes uz šiem jautājumiem un tajā pašā laikā saprastu dažus papildu smalkumus, kas daudziem skolēniem neizdodas, noskatieties manu video nodarbību:

Ar šo nodarbību mēs sākam lekciju sēriju, kas veltīta vienādojumu sistēmām. Un mēs sāksim no vienkāršākajiem no tiem, proti, tiem, kas satur divus vienādojumus un divus mainīgos. Katrs no tiem būs lineārs.

Sistēmas ir 7. klases materiāls, taču šī nodarbība būs noderīga arī vidusskolēniem, kuri vēlas papildināt savas zināšanas par šo tēmu.

Kopumā šādu sistēmu risināšanai ir divas metodes:

1. Papildināšanas metode;
2. Metode viena mainīgā izteikšanai ar citu.

Šodien mēs nodarbosimies ar pirmo metodi - izmantosim atņemšanas un saskaitīšanas metodi. Bet, lai to izdarītu, jums ir jāsaprot šāds fakts: kad jums ir divi vai vairāki vienādojumi, varat ņemt jebkurus divus no tiem un pievienot tos viens otram. Tie tiek pievienoti katram dalībniekam, t.i. “X” tiek pievienoti “X” un tiek doti līdzīgi, “Y” ar “Y” atkal ir līdzīgi, un tas, kas atrodas pa labi no vienādības zīmes, arī tiek pievienots viens otram, un tur ir arī līdzīgi. .

Šādu mahināciju rezultāti būs jauns vienādojums, kuram, ja tam ir saknes, tie noteikti būs starp sākotnējā vienādojuma saknēm. Tāpēc mūsu uzdevums ir veikt atņemšanu vai saskaitīšanu tā, lai vai nu $x$, vai $y$ pazustu.

Kā to panākt un kādu rīku šim nolūkam izmantot - par to mēs tagad runāsim.

Vienkāršu problēmu risināšana, izmantojot pievienošanas metodi

Tātad, mēs iemācāmies izmantot pievienošanas metodi, izmantojot divu vienkāršu izteiksmju piemēru.

Uzdevums Nr.1

\[\left\( \begin(līdzināt)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(līdzināt) \right.\]

Ņemiet vērā, ka $y$ pirmajā vienādojumā ir koeficients $-4$ un otrajā vienādojumā $+4$. Tie ir savstarpēji pretēji, tāpēc ir loģiski pieņemt, ka, tos saskaitot, tad iegūtajā summā “spēles” tiks savstarpēji iznīcinātas. Pievienojiet to un iegūstiet:

Atrisināsim vienkāršāko konstrukciju:

Lieliski, mēs atradām "x". Ko mums ar to tagad darīt? Mums ir tiesības to aizstāt ar jebkuru no vienādojumiem. Aizstāsim ar pirmo:

\[-4y=12\left| :\left(-4 \right) \right.\]

Atbilde: $\left(2;-3 \right)$.

Problēma Nr.2

\[\left\( \begin(līdzināt)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Šeit situācija ir pilnīgi līdzīga, tikai ar “X”. Saskaitīsim tos:

Mums ir vienkāršākais lineārais vienādojums, atrisināsim to:

Tagad atradīsim $x$:

Atbilde: $\left(-3;3 \right)$.

Svarīgi punkti

Tātad, mēs tikko esam atrisinājuši divas vienkāršas lineāro vienādojumu sistēmas, izmantojot saskaitīšanas metodi. Atkal galvenie punkti:

1. Ja kādam no mainīgajiem ir pretēji koeficienti, tad vienādojumā ir jāsaskaita visi mainīgie. Šajā gadījumā viens no tiem tiks iznīcināts.
2. Mēs aizvietojam atrasto mainīgo jebkurā sistēmas vienādojumā, lai atrastu otro.
3. Galīgo atbildes ierakstu var uzrādīt dažādos veidos. Piemēram, šādi - $x=...,y=...$, vai punktu koordinātu veidā - $\left(...;... \right)$. Otrais variants ir vēlams. Galvenais, kas jāatceras, ir tas, ka pirmā koordināta ir $x$, bet otrā ir $y$.
4. Noteikums par atbildes rakstīšanu punktu koordinātu veidā ne vienmēr ir piemērojams. Piemēram, to nevar izmantot, ja mainīgie ir nevis $x$ un $y$, bet, piemēram, $a$ un $b$.

Turpmākajos uzdevumos mēs aplūkosim atņemšanas paņēmienu, ja koeficienti nav pretēji.

Vienkāršu uzdevumu risināšana, izmantojot atņemšanas metodi

Uzdevums Nr.1

\[\left\( \begin(līdzināt)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Ņemiet vērā, ka šeit nav pretēju koeficientu, bet ir identiski. Tāpēc no pirmā vienādojuma mēs atņemam otro:

Tagad mēs aizstājam vērtību $x$ jebkurā sistēmas vienādojumā. Ejam vispirms:

Atbilde: $\left(2;5\right)$.

Problēma Nr.2

\[\left\( \begin(līdzināt)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Pirmajā un otrajā vienādojumā mēs atkal redzam to pašu koeficientu $ 5 $ attiecībā uz $ x $. Tāpēc ir loģiski pieņemt, ka no pirmā vienādojuma ir jāatņem otrais:

Mēs esam aprēķinājuši vienu mainīgo. Tagad atradīsim otro, piemēram, aizstājot vērtību $y$ ar otro konstrukciju:

Atbilde: $\left(-3;-2 \right)$.

Risinājuma nianses

Tātad, ko mēs redzam? Būtībā shēma neatšķiras no iepriekšējo sistēmu risinājuma. Vienīgā atšķirība ir tāda, ka vienādojumus nepievienojam, bet atņemam. Mēs veicam algebrisko atņemšanu.

Citiem vārdiem sakot, tiklīdz jūs redzat sistēmu, kas sastāv no diviem vienādojumiem divos nezināmajos, pirmā lieta, kas jums jāaplūko, ir koeficienti. Ja tie jebkurā vietā ir vienādi, vienādojumi tiek atņemti, un, ja tie ir pretēji, tiek izmantota saskaitīšanas metode. Tas vienmēr tiek darīts tā, lai viens no tiem pazūd, un gala vienādojumā, kas paliek pēc atņemšanas, paliek tikai viens mainīgais.

Protams, tas vēl nav viss. Tagad mēs apsvērsim sistēmas, kurās vienādojumi parasti ir pretrunīgi. Tie. Tajos nav tādu mainīgo lielumu, kas būtu vienādi vai pretēji. Šajā gadījumā, lai atrisinātu šādas sistēmas, tiek izmantots papildu paņēmiens, proti, katra vienādojuma reizināšana ar īpašu koeficientu. Kā to atrast un kā vispār atrisināt šādas sistēmas, mēs par to runāsim tagad.

Problēmu risināšana, reizinot ar koeficientu

1. piemērs

\[\left\( \begin(līdzināt)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(līdzināt) \right.\]

Mēs redzam, ka ne $x$, ne $y$ koeficienti ne tikai ir savstarpēji pretēji, bet arī nekādā veidā nav saistīti ar otru vienādojumu. Šie koeficienti nekādā veidā nepazudīs, pat ja mēs saskaitīsim vai atņemsim vienādojumus vienu no otra. Tāpēc ir jāpiemēro reizināšana. Mēģināsim atbrīvoties no mainīgā $y$. Lai to izdarītu, mēs reizinim pirmo vienādojumu ar koeficientu $y$ no otrā vienādojuma un otro vienādojumu ar koeficientu $y$ no pirmā vienādojuma, nepieskaroties zīmei. Mēs reizinām un iegūstam jaunu sistēmu:

\[\left\( \begin(līdzināt)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(līdzināt) \right.\]

Apskatīsim to: pie $y$ koeficienti ir pretēji. Šādā situācijā ir jāizmanto pievienošanas metode. Pievienosim:

Tagad mums jāatrod $y$. Lai to izdarītu, pirmajā izteiksmē aizstājiet $x$:

\[-9y=18\left| :\left(-9 \right) \right.\]

Atbilde: $\left(4;-2 \right)$.

Piemērs Nr.2

\[\left\( \begin(līdzināt)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(līdzināt) \right.\]

Atkal, neviena mainīgā lieluma koeficienti nav konsekventi. Reizināsim ar koeficientiem $y$:

\[\left\( \begin(līdzināt)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(līdzināt) \pa labi .\]

\[\left\( \begin(līdzināt)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Mūsu jauna sistēma ir līdzvērtīgs iepriekšējam, tomēr $y$ koeficienti ir savstarpēji pretēji, tāpēc šeit ir viegli pielietot saskaitīšanas metodi:

Tagad atradīsim $y$, pirmajā vienādojumā aizstājot $x$:

Atbilde: $\left(-2;1 \right)$.

Risinājuma nianses

Galvenais noteikums šeit ir šāds: mēs vienmēr reizinām tikai ar pozitīviem skaitļiem - tas pasargās jūs no stulbām un aizskarošām kļūdām, kas saistītas ar zīmju maiņu. Kopumā risinājuma shēma ir diezgan vienkārša:

1. Mēs skatāmies uz sistēmu un analizējam katru vienādojumu.
2. Ja redzam, ka ne $y$, ne $x$ koeficienti nav konsekventi, t.i. tie nav ne vienādi, ne pretēji, tad mēs rīkojamies šādi: izvēlamies mainīgo, no kura mums ir jāatbrīvojas, un tad aplūkojam šo vienādojumu koeficientus. Ja mēs reizinām pirmo vienādojumu ar koeficientu no otrā un attiecīgi otro reizinām ar koeficientu no pirmā, tad galu galā mēs iegūsim sistēmu, kas ir pilnībā līdzvērtīga iepriekšējai, un koeficientus $ y$ būs konsekventa. Visas mūsu darbības vai transformācijas ir vērstas tikai uz to, lai vienā vienādojumā iegūtu vienu mainīgo.
3. Mēs atrodam vienu mainīgo.
4. Mēs aizvietojam atrasto mainīgo vienā no diviem sistēmas vienādojumiem un atrodam otro.
5. Atbildi rakstām punktu koordinātu veidā, ja mums ir mainīgie $x$ un $y$.

Bet pat tik vienkāršam algoritmam ir savi smalkumi, piemēram, $x$ vai $y$ koeficienti var būt daļdaļas un citi “neglīti” skaitļi. Tagad mēs šos gadījumus aplūkosim atsevišķi, jo tajos jūs varat rīkoties nedaudz savādāk nekā saskaņā ar standarta algoritmu.

Problēmu risināšana ar daļskaitļiem

1. piemērs

\[\left\( \begin(līdzināt)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Pirmkārt, ievērojiet, ka otrajā vienādojumā ir daļas. Bet ņemiet vērā, ka jūs varat dalīt USD 4 ar USD 0,8. Mēs saņemsim $ 5 $. Sareizināsim otro vienādojumu ar $5$:

\[\left\( \begin(līdzināt)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Mēs atņemam vienādojumus viens no otra:

Mēs atradām $n$, tagad saskaitīsim $m$:

Atbilde: $n=-4;m=5$

Piemērs Nr.2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(līdzināt )\ pareizi.\]

Šeit, tāpat kā iepriekšējā sistēmā, ir daļskaitļi, taču nevienam no mainīgajiem koeficienti neiederas viens otrā veselu skaitu reižu. Tāpēc mēs izmantojam standarta algoritmu. Atbrīvojieties no $p$:

\[\left\( \begin(līdzināt)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Mēs izmantojam atņemšanas metodi:

Atradīsim $p$, otrajā konstrukcijā aizstājot $k$:

Atbilde: $p=-4;k=-2$.

Risinājuma nianses

Tā ir visa optimizācija. Pirmajā vienādojumā mēs nereizinājāmies ar neko, bet reizinājām otro vienādojumu ar $ 5 $. Rezultātā mēs saņēmām konsekventu un pat identisku vienādojumu pirmajam mainīgajam. Otrajā sistēmā mēs ievērojām standarta algoritmu.

Bet kā atrast skaitļus, ar kuriem reizināt vienādojumus? Galu galā, ja mēs reizinām ar daļām, mēs iegūstam jaunas daļas. Tāpēc daļskaitļi jāreizina ar skaitli, kas dotu jaunu veselu skaitli, un pēc tam mainīgie jāreizina ar koeficientiem, ievērojot standarta algoritmu.

Nobeigumā es vēlos vērst jūsu uzmanību uz atbildes ierakstīšanas formātu. Kā jau teicu, tā kā šeit mums nav $x$ un $y$, bet gan citas vērtības, mēs izmantojam nestandarta formas apzīmējumu:

Sarežģītu vienādojumu sistēmu risināšana

Kā pēdējā piezīme šodienas video apmācībai, apskatīsim dažas patiešām sarežģītas sistēmas. To sarežģītība būs tāda, ka tiem būs mainīgie gan kreisajā, gan labajā pusē. Tāpēc, lai tos atrisinātu, mums būs jāpiemēro pirmapstrāde.

Sistēma Nr.1

\[\left\(\begin(līdzināt)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(līdzināt) \right.\]

Katram vienādojumam ir noteikta sarežģītība. Tāpēc apstrādāsim katru izteiksmi kā ar regulāru lineāru konstrukciju.

Kopumā mēs iegūstam galīgo sistēmu, kas ir līdzvērtīga oriģinālajai:

\[\left\( \begin(līdzināt)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Apskatīsim $y$ koeficientus: $3$ divreiz iekļaujas $6$, tāpēc pirmo vienādojumu reizinim ar $2$:

\[\left\( \begin(līdzināt)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

$y$ koeficienti tagad ir vienādi, tāpēc no pirmā vienādojuma mēs atņemam otro: $$

Tagad atradīsim $y$:

Atbilde: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Sistēma Nr.2

\[\left\( \begin(līdzināt)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Pārveidosim pirmo izteiksmi:

Tiksim galā ar otro:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Kopumā mūsu sākotnējā sistēma būs šāda:

\[\left\( \begin(līdzināt)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(līdzināt) \right.\]

Aplūkojot $a$ koeficientus, redzam, ka pirmais vienādojums ir jāreizina ar $2$:

\[\left\( \begin(līdzināt)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(līdzināt) \right.\]

Atņemiet otro no pirmās konstrukcijas:

Tagad atradīsim $a$:

Atbilde: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Tas arī viss. Es ceru, ka šī video apmācība palīdzēs jums izprast šo sarežģīto tēmu, proti, vienkāršu lineāru vienādojumu sistēmu atrisināšanu. Par šo tēmu būs daudz vairāk mācību stundu: mēs izskatīsim vairāk sarežģīti piemēri, kur būs vairāk mainīgo, un paši vienādojumi jau būs nelineāri. Uz tikšanos atkal!