Pētnieciskais darbs
Par tēmu
"Risinājuma metodes kvadrātvienādojumi »
Pabeigts:
8.grupa "G" klase
Darba vadītājs:
Benkovskaja Marija Mihailovna
Projekta mērķi un uzdevumi.
1. Parādiet, ka matemātikai, tāpat kā jebkurai citai zinātnei, ir savi neatrisināti noslēpumi.
2. Uzsveriet, ar ko matemātiķi atšķiras ārpus kastes domāšana. Un dažreiz laba matemātiķa atjautība un intuīcija jūs vienkārši pārsteidz!
3. Parādiet, ka pats mēģinājums atrisināt kvadrātvienādojumus veicināja jaunu jēdzienu un ideju izstrādi matemātikā.
4. Iemācīties strādāt ar dažādiem informācijas avotiem.
5. Turpināt pētnieciskais darbs matemātikā
Pētījuma posmi
1. Kvadrātvienādojumu rašanās vēsture.
2. Kvadrātvienādojuma definīcija un tā veidi.
3. Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot diskriminanta formulu.
4. Fransuā Vjete un viņa teorēma.
5. Koeficientu īpašības kvadrātvienādojuma sakņu ātrai atrašanai.
6. Praktiskā orientācija.
Caur vienādojumiem, teorēmām
Es atrisināju daudzas problēmas.
(Chaucer, angļu dzejnieks, viduslaiki.)
posms. Kvadrātvienādojumu rašanās vēsture.
Nepieciešamību risināt ne tikai pirmās, bet arī otrās pakāpes vienādojumus jau senatnē radīja nepieciešamība risināt problēmas, kas saistītas ar militāra rakstura zemes platību un zemes darbu atrašanu, kā arī ar pašas astronomijas un matemātikas attīstība.
Babilonieši spēja atrisināt kvadrātvienādojumus aptuveni 2000. gadā pirms mūsu ēras. Šo vienādojumu risināšanas noteikums, kas izklāstīts babiloniešu tekstos, būtībā sakrīt ar mūsdienu noteikumiem, taču nav zināms, kā babilonieši šo noteikumu atrada. Gandrīz visi līdz šim atrastie ķīļrakstu teksti sniedz tikai problēmas ar risinājumiem, kas izklāstīti recepšu veidā, bez norādes par to, kā tie atrasti.
Neskatoties uz augsts līmenis Algebras attīstība Babilonijā, ķīļraksta tekstos trūkst negatīvā skaitļa jēdziena un vispārīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metožu.
Diofanta aritmētika satur sistemātisku uzdevumu virkni, kam pievienoti paskaidrojumi un kas atrisināti, veidojot dažādu pakāpju vienādojumus, taču tajā nav ietverts sistemātisks algebras izklāsts.
Kvadrātvienādojumu problēmas ir atrodamas jau astronomiskajos traktātos “Aryabhattiam”, kas sastādīti 499. gadā. Indijas matemātiķis un astronoms Arjabhata. Cits Indijas zinātnieks Brahmagupta (7. gadsimts) izklāstīja vispārējs noteikums risinot kvadrātvienādojumus, kas reducēti līdz vienotam kanoniskā forma:
Al-Khwarizmi algebriskais traktāts sniedz lineāro un kvadrātvienādojumu klasifikāciju. Autors uzskaita 6 vienādojumu veidus. Al-Khwarizmi, kurš nezināja negatīvus skaitļus, katra vienādojuma nosacījumi ir saskaitāmie, nevis atņemamie. Tajā pašā laikā vienādojumi, kuriem nav pozitīvu risinājumu, acīmredzami netiek ņemti vērā, risinot nepilnu kvadrātvienādojumu, al-Khorezmi, tāpat kā visi zinātnieki līdz 17. gadsimtam, neņem vērā nulles risinājumu.
Al-Khwarizmi traktāts ir pirmā grāmata, kas nonākusi pie mums un kurā sistemātiski izklāstīta kvadrātvienādojumu klasifikācija un to risināšanas formulas.
Formulas kvadrātvienādojumu risināšanai, kas modelētas pēc al Khwarizmi Eiropā, pirmo reizi tika izklāstītas Abaka grāmatā, ko 1202. gadā uzrakstīja itāļu matemātiķis Leonardo Fibonači. Šis apjomīgais darbs izceļas ar tā pilnīgumu un izklāsta skaidrību. Autore patstāvīgi izstrādāja dažas jaunas algebriskas metodes problēmu risināšanai un bija pirmais Eiropā, kas piegāja negatīvu skaitļu ieviešanai. Viņa grāmata veicināja algebrisko zināšanu izplatību ne tikai Itālijā, bet arī Vācijā, Francijā un citās Eiropas valstīs. Daudzas “Abaku grāmatas” problēmas tika pārceltas uz gandrīz visām 16. - 17. gadsimta un daļēji 18. gadsimta Eiropas mācību grāmatām.
Vispārējs noteikums kvadrātvienādojumu risināšanai, kas reducēti uz vienu vienādojumu kanoniskā forma 
visām iespējamām zīmju kombinācijām koeficienti b,c Eiropā tikai 1544. gadā formulēja M. Stīfels.
Kvadrātvienādojuma atrisināšanas formulas atvasināšana in vispārējs skats Vietai tas ir, bet Vjets atzina tikai pozitīvas saknes. Itāļu matemātiķi Tartaglia, Cardano, Bombelli bija vieni no pirmajiem 16. gadsimtā, kas ņēma vērā ne tikai pozitīvas, bet arī negatīvas saknes. Tikai 17. gadsimtā, pateicoties Girrard, Dekarta, Ņūtona un citu zinātnieku darbiem, kvadrātvienādojumu risināšanas metode tika pieņemta. moderns izskats.
IZRĀDĀS:
Problēmas, kas saistītas ar kvadrātvienādojumiem, tika sastaptas jau 499.
IN Senā Indija izplatīti bija publiski konkursi sarežģītu problēmu risināšanā - OLIMPIĀDES .
©2015-2019 vietne
Visas tiesības pieder to autoriem. Šī vietne nepretendē uz autorību, bet nodrošina bezmaksas izmantošanu.
Lapas izveides datums: 2016-04-11
Kā Diofants sastādīja un atrisināja kvadrātvienādojumus. Līdz ar to vienādojums: (10+x)(10 -x) =96 vai: 100 - x2 =96 x2 - 4=0 (1) Diofantam risinājums x = -2 nepastāv, jo grieķu matemātika zināja tikai pozitīvus skaitļus .
Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="Kvadrātvienādojumi Indijā. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}
Kvadrātvienādojumi al-Khorezmi. 1) “Kvadrāti ir vienādas saknes”, t.i., ax2 + c = bx. 2) “Kvadrāti ir vienādi ar skaitļiem”, t.i., ax2 = c. 3) “Saknes ir vienādas ar skaitli”, t.i., ax = c. 4) “Kvadrāti un skaitļi ir vienādi ar saknēm”, t.i., ax2 + c = bx. 5) “Kvadrāti un saknes ir vienādi ar skaitli”, t.i., ax2 + bx = c. 6) “Saknes un skaitļi ir vienādi ar kvadrātiem”, t.i., bx + c = ax2.
Kvadrātvienādojumi Eiropā 13. un 17. gadsimtā. x2 +bx = c, visām iespējamām koeficientu b, c zīmju kombinācijām Eiropā tikai 1544. gadā formulēja M. Stīfels.
Par Vietas teorēmu. "Ja B + D reizināts A - A 2 ir vienāds ar BD, tad A ir vienāds ar B un vienāds ar D." Mūsdienu algebras valodā iepriekšminētais Vieta formulējums nozīmē: ja (a + b)x - x2 = ab, t.i., x2 - (a + b)x + ab = 0, tad x1 = a, x2 = b.
Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes. 1. METODE: vienādojuma kreisās puses faktorēšana. Atrisināsim vienādojumu x2 + 10 x - 24 = 0. Faktorizēsim kreiso pusi: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x–2). Tāpēc vienādojumu var pārrakstīt šādi: (x + 12)(x - 2) = 0 Tā kā reizinājums ir nulle, tad vismaz viens no tā faktoriem ir nulle. Tāpēc vienādojuma kreisā puse kļūst par nulli pie x = 2 un arī pie x = - 12. Tas nozīmē, ka skaitlis 2 un - 12 ir vienādojuma x2 + 10 x - 24 = 0 saknes.
2. METODE: pilna kvadrāta ekstrakcijas metode. Atrisināsim vienādojumu x2 + 6 x - 7 = 0. Kreisajā pusē atlasiet ideāls kvadrāts. Lai to izdarītu, mēs ierakstām izteiksmi x2 + 6 x šādā formā: x2 + 6 x = x2 + 2 x 3. Rezultātā iegūtajā izteiksmē pirmais loceklis ir skaitļa x kvadrāts, bet otrais ir dubultnieks. x reizinājums ar 3. Tāpēc, lai iegūtu pilnu kvadrātu, jums jāpievieno 32, jo x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. Tagad mēs pārveidojam vienādojuma kreiso pusi x2 + 6 x - 7 = 0, pievienojot tai un atņemot 32. Mums ir: x2 + 6 x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16. Tādējādi, dots vienādojums var uzrakstīt šādi: (x + 3)2 - 16 = 0, (x + 3)2 = 16. Tāpēc x + 3 - 4 = 0, x1 = 1 vai x + 3 = -4, x2 = -7.
3. METODE: Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot formulu. Reizināsim abas vienādojuma puses ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 ar 4 a un secīgi iegūstam: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax)2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b) 2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 ac,
4. METODE: Vienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu. Kā zināms, reducētajam kvadrātvienādojumam ir forma x2 + px + c = 0. (1) Tā saknes apmierina Vietas teorēmu, kas a = 1 ir formā x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = - p a) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 un x 2 = 1, jo q = 2 > 0 un p = - 3 0 un p = 8 > 0. b) x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 = - 5 un x 2 = 1, jo q = - 5 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 un x 2 = - 1, jo q = - 9
5. METODE: Vienādojumu atrisināšana, izmantojot “mešanas” metodi. Aplūkosim kvadrātvienādojumu ax2 + bx + c = 0, kur a ≠ 0. Reizinot abas puses ar a, iegūstam vienādojumu a 2 x2 + abx + ac = 0. Lai ax = y, no kurienes x = y/a; tad mēs nonākam pie vienādojuma y2 + ar + ac = 0, kas ir ekvivalents dotajam. Mēs atrodam tās saknes y1 un y2, izmantojot Vietas teorēmu. Beidzot iegūstam x1 = y1/a un x1 = y2/a.
Piemērs. Atrisināsim vienādojumu 2 x2 – 11 x + 15 = 0. Risinājums. Brīvajam terminam “uzmetīsim” koeficientu 2, kā rezultātā iegūstam vienādojumu y2 – 11 y + 30 = 0. Saskaņā ar Vietas teorēmu y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Atbilde : 2, 5; 3. x 1 = 2. 5 x 2 = 3.
6. METODE: Kvadrātvienādojuma koeficientu īpašības. A. Dots kvadrātvienādojums ax2 + bx + c = 0, kur a ≠ 0. 1) Ja a + b + c = 0 (t.i., koeficientu summa ir nulle), tad x1 = 1, x2 = c/A. Pierādījums. Sadalot abas vienādojuma puses ar a ≠ 0, iegūstam reducēto kvadrātvienādojumu x 2 + b/a x + c/a = 0. Saskaņā ar Vietas teorēmu x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = 1 c/a. Pēc nosacījuma a – b + c = 0, no kurienes b = a + c. Tādējādi x 1 + x 2 = - a + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 (- c/a), t.i., x1 = -1 un x2 = c/a, kas ir kas bija jāpierāda.
B. Ja otrais koeficients b = 2 k – pāra skaitlis, tad B sakņu formula. Iepriekš minētais vienādojums x2 + px + q = 0 sakrīt ar vispārēju vienādojumu, kurā a = 1, b = p un c = q. Tāpēc reducētajam kvadrātvienādojumam saknes formula ir
7. METODE: Kvadrātvienādojuma grafisks atrisinājums. Ja vienādojumā x2 + px + q = 0 pārceļam otro un trešo vārdu uz labo pusi, iegūstam x2 = - px - q. Izveidosim atkarības y = x2 un y = - px - q grafikus.
1. piemērs) Atrisināsim grafiski vienādojumu x2 - 3 x - 4 = 0 (2. att.). Risinājums. Uzrakstīsim vienādojumu formā x2 = 3 x + 4. Konstruēsim parabolu y = x2 un taisni y = 3 x + 4. Taisni y = 3 x + 4 var izveidot, izmantojot divus punktus M (0; 4) un N (3; 13). Atbilde: x1 = - 1; x2 = 4
8. METODE: Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot kompasu un lineālu. kvadrātveida kompasa un lineāla sakņu atrašana (5. att.). vienādojumi Pēc sekantes teorēmas iegūstam OB OD = OA OC, no kurienes OC = OB OD/ OA = x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0, izmantojot
Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="1) Apļa rādiuss ir lielāks par centra ordinātu (AS > SK vai R > +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}
9. METODE: Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot nomogrammu. z 2 + pz + q = 0. Nomogrammas līknes skala tiek konstruēta pēc formulām (11. att.): Pieņemot, ka OS = p, ED = q, OE = a (visi cm), No trijstūru līdzības SAN un CDF mēs iegūstam proporciju
Piemēri. 1) Vienādojumam z 2 - 9 z + 8 = 0 nomogramma dod saknes z 1 = 8, 0 un z 2 = 1, 0 (12. att.). 2) Izmantojot nomogrammu, atrisinām vienādojumu 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Sadalot šī vienādojuma koeficientus ar 2, iegūstam vienādojumu z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Nomogramma dod saknes z 1 = 4 un z 2 = 0, 5. 3) Vienādojumam z 2 - 25 z + 66 = 0 koeficienti p un q atrodas ārpus skalas, veicam aizstāšanu z = 5 t, iegūstam vienādojums t 2 - 5 t + 2, 64 = 0, kuru atrisinām, izmantojot nomogrammas, un iegūstam t 1 = 0,6 un t 2 = 4, 4, no kura z 1 = 5 t 1 = 3, 0 un z 2 = 5 t 2 = 22,0.
10. METODE: Ģeometriskā metode kvadrātvienādojumu risināšanai. Piemēri. 1) Atrisināsim vienādojumu x2 + 10 x = 39. Oriģinālā šis uzdevums ir formulēts šādi: “Kvadrāts un desmit saknes ir vienādi ar 39” (15. att.). Sākotnējā kvadrāta vajadzīgajai malai x mēs iegūstam
y2 + 6 y - 16 = 0. Risinājums parādīts att. 16, kur y2 + 6 y = 16 vai y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Risinājums. Izteiksmes y2 + 6 y + 9 un 16 + 9 ģeometriski attēlo vienu un to pašu kvadrātu, un sākotnējais vienādojums y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 ir tas pats vienādojums. No tā iegūstam, ka y + 3 = ± 5, vai y1 = 2, y2 = - 8 (16. att.).
Kovaļčuks Kirils
Projekts "Kvadrātvienādojumi cauri gadsimtiem un valstīm" iepazīstina skolēnus ar matemātikas zinātniekiem, kuru atklājumi ir zinātnes un tehnikas progresa pamatā, attīsta interesi par matemātiku kā priekšmetu, kas balstās uz vēstures materiāla pārzināšanu, paplašina skolēnu redzesloku un stimulē viņus. kognitīvā darbība un radošums.
Lejupielādēt:
Priekšskatījums:
Lai izmantotu prezentāciju priekšskatījumus, izveidojiet Google kontu un piesakieties tajā: https://accounts.google.com
Slaidu paraksti:
Borisovkas ciema pašvaldības izglītības iestādes 17. vidusskolas 8. klases skolēna projekta darbs Kirils Kovaļčuks Darba vadītāja G.V.Muļukova
Kvadrātvienādojumi cauri gadsimtiem un valstīm
Projekta mērķis: Iepazīstināt skolēnus ar matemātikas zinātniekiem, kuru atklājumi ir zinātnes un tehnoloģiju progresa pamatā. Parādiet zinātnieku darbu nozīmi ģeometrijas un fizikas attīstībā.??????????? Skaidri demonstrējiet pieteikumu zinātniskie atklājumi dzīvē. Attīstīt interesi par matemātiku kā priekšmetu, pamatojoties uz vēsturiskā materiāla pārzināšanu. Paplašināt skolēnu redzesloku, stimulēt viņu izziņas darbību un radošumu
Nepieciešamību risināt ne tikai pirmās, bet arī otrās pakāpes vienādojumus senatnē radīja nepieciešamība risināt problēmas, kas saistītas ar zemes gabalu platību atrašanu, ar pašas astronomijas un matemātikas attīstību. Kvadrātvienādojumus varēja atrisināt ap 2000. gadu pirms mūsu ēras. e. babilonieši. Šo vienādojumu risināšanas noteikumi, kas izklāstīti babiloniešu tekstos, būtībā ir tādi paši kā mūsdienu, taču šajos tekstos trūkst negatīvā skaitļa jēdziena un vispārīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metožu.
. (ap 365. g. – 300. g. p.m.ē.) - sengrieķu matemātiķis, pirmo līdz mūs sasniegušo teorētisko matemātikas traktātu autors. Eiklīds vai Eiklīds
Eiklida pirmsākumi Kur Nīla saplūst ar jūru, Senajā piramīdu karstajā zemē dzīvoja grieķu matemātiķis - Zinošais, Gudrais Eiklīds. Viņš studēja ģeometriju, viņš mācīja ģeometriju. Viņš uzrakstīja lielisku darbu. Šīs grāmatas nosaukums ir "Principi".
Eiklīds 3. gadsimtā pirms mūsu ēras Eiklīds atrisināja kvadrātvienādojumus, izmantojot ģeometrisko metodi. Šeit ir viena no problēmām no sengrieķu traktāta: “Ir pilsēta ar robežu kvadrāta formā ar nezināma izmēra malu, katras puses centrā ir vārti. 20bu (1bu=1,6m) attālumā no ziemeļu vārtiem atrodas stabs. Ja jūs dodaties no dienvidu vārti 14b taisni uz priekšu, tad pagriezieties uz rietumiem un ejiet vēl 1775b, jūs varat redzēt stabu. Jautājums ir: kurā pusē pilsētas robeža? »
Lai noteiktu kvadrāta nezināmo malu, iegūstam kvadrātvienādojumu x ² +(k+l)x-2kd =0. IN šajā gadījumā vienādojumam ir forma x ² +34x-71000=0, no kurienes x=250bu l x d k
Kvadrātvienādojumi Indijā Kvadrātvienādojumu problēmas ir atrodamas arī astronomiskajā traktātā “Aryabhattiam”, ko 499. gadā sastādīja indiešu matemātiķis un astronoms Arjabhata. Cits Indijas zinātnieks Brahmagupta noteica vispārīgu noteikumu kvadrātvienādojumu risināšanai, kas reducēti līdz vienai kanoniskai formai: ax ² +bx=c , a>0 Senajā Indijā publiskas sacensības sarežģītu uzdevumu risināšanā bija izplatītas. Vienā no senajām indiešu grāmatām par šādām sacensībām teikts: “Kā saule ar savu spožumu aptumšo zvaigznes, tā mācīts cilvēks aptumšo citu slavu tautas sapulcēs, ierosinot un risinot algebriskas problēmas.
Viena no slavenā Indijas 12. gadsimta matemātiķa Bhaskaras problēmām. Pērtiķu bars, paēduši pēc sirds patikas, izklaidējās. Astoto daļu no tiem laukumā es izklaidējos izcirtumā. Un divpadsmit uz vīnogulājiem... Viņi karājoties sāka lēkt... Cik daudz pērtiķu bija, sakiet, šajā ganāmpulkā?
Risinājums. () 2 +12 = x, x 2 - 64x +768 = 0, a = 1, b = -64, c = 768, tad D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1, 2 = , x 1 = 48, x 2 = 16. Atbilde: Bija 16 vai 48 pērtiķi.
Kvadrātvienādojuma sakņu formula ir “atklāta” vairākas reizes. Viens no pirmajiem šīs formulas atvasinājumiem, kas saglabājies līdz mūsdienām, pieder indiešu matemātiķim Brahmaguptam. Vidusāzijas zinātnieks al-Khwarizmi savā traktātā “Kitab al-jerb wal-mukabala” ieguva šo formulu, izolējot visu kvadrātu.
Kā al-Khorezmi atrisināja šo vienādojumu? Viņš rakstīja: “Noteikums ir šāds: dubultojot sakņu skaitu, x = 2x · 5 šajā uzdevumā jūs iegūstat piecus, reiziniet 5 ar šo vienādu ar to, tas kļūst par divdesmit pieci, 5 · 5 = 25 pievienojiet šo trīsdesmit. -deviņi, 25 + 39 kļūst par sešdesmit četriem, 64 ņem sakni no šī, tas būs astoņi, 8 un no šīs puses atņemiet sakņu skaitu, t.i., pieci, 8-5 paliks trīs - tas ir un 3 būs laukuma sakne, kuru jūs meklējāt." Kā ar otro sakni? Otrā sakne netika atrasta, jo negatīvie skaitļi nebija zināmi. x 2 + 10 x = 39
Kvadrātvienādojumi Eiropā 13-17 gs. Formulas kvadrātvienādojumu risināšanai, kas modelētas pēc al Khwarizmi Eiropā, pirmo reizi tika izklāstītas “Abaka grāmatā”, ko 1202. gadā uzrakstīja itāļu matemātiķis Leonardo Fibonači. Šis apjomīgais darbs, kas atspoguļo matemātikas ietekmi gan no islāma valstīm, gan Senā Grieķija, izceļas gan ar prezentācijas pilnīgumu, gan skaidrību. Autors patstāvīgi izstrādāja dažus jaunus algebriskie risinājumi problēmas un bija pirmais Eiropā, kas pietuvojās negatīvo skaitļu ieviešanai. Viņa grāmata veicināja algebrisko zināšanu izplatību ne tikai Itālijā, bet arī Vācijā, Francijā un citās Eiropas valstīs. Daudzas problēmas no Abakusa grāmatas tika izmantotas gandrīz visās 16. un 17. gadsimta Eiropas mācību grāmatās. un daļēji 18.
Fransuā Vjete - lielākais 16. gadsimta matemātiķis
Pirms F. Vietas kvadrātvienādojuma risināšana tika veikta pēc saviem noteikumiem ļoti garu verbālu argumentu un aprakstu, diezgan apgrūtinošu darbību veidā. Viņi pat nevarēja pierakstīt pašu vienādojumu, tas prasīja diezgan ilgu un sarežģītu verbāls apraksts. Viņš ieviesa terminu "koeficients". Viņš ierosināja nepieciešamos daudzumus apzīmēt ar patskaņiem, bet datus ar līdzskaņiem. Pateicoties Vietas simbolikai, kvadrātvienādojumu varam uzrakstīt formā: ax 2 + bx + c =0. Teorēma: Dotā kvadrātvienādojuma sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu, kas ņemts ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo vārdu. Neskatoties uz to, ka šo teorēmu sauc par “Vietas teorēmu”, tā bija zināma pirms viņa, un viņš to tikai pārveidoja mūsdienu formā. Vieta tiek saukta par "algebras tēvu"
Cilvēce ir nogājusi garu ceļu no neziņas līdz zināšanām, nepārtraukti aizstājot nepilnīgas un nepilnīgas zināšanas ar arvien pilnīgākām un pilnīgākām zināšanām. Nobeiguma vārds
Mēs dzīvojam XXI sākums gadsimtā, piesaista senatni. Savos senčos mēs pamanām pirmām kārtām to, kā viņiem pietrūkst no mūsdienu viedokļa, un parasti nepamanām, kā mums pašiem pietrūkst salīdzinājumā ar viņiem.
Neaizmirsīsim arī par viņiem...
Paldies par uzmanību!
Dažādu civilizāciju pārstāvji: Senā Ēģipte, Senā Babilonija, Senā Grieķija, Senā Indija, Senā Ķīna, Viduslaiku Austrumi, Eiropa apguva kvadrātvienādojumu risināšanas paņēmienus.
Pirmo reizi Senās Ēģiptes matemātiķi spēja atrisināt kvadrātvienādojumu. Viens no matemātiskajiem papirusiem satur šādu problēmu:
"Atrodiet taisnstūra formas lauka malas, ja tā laukums ir 12 un tā garums ir vienāds ar tā platumu." “Lauka garums ir 4,” norādīts papirusā.
Pagāja tūkstošgades, un algebrā ienāca negatīvi skaitļi. Atrisinot vienādojumu x²= 16, iegūstam divus skaitļus: 4, –4.
Protams, Ēģiptes uzdevumā mēs pieņemtu X = 4, jo lauka garums var būt tikai pozitīvs lielums.
Avoti, kas mūs sasnieguši, liecina, ka senajiem zinātniekiem bija daži vispārīgi paņēmieni problēmu risināšanai ar nezināmiem daudzumiem. Kvadrātvienādojumu risināšanas noteikums, kas izklāstīts babiloniešu tekstos, būtībā ir tāds pats kā mūsdienu, taču nav zināms, kā babilonieši “tik tālu tikuši”. Bet gandrīz visos atrastajos papirusos un ķīļrakstu tekstos ir dotas tikai problēmas ar risinājumiem. Autori tikai reizēm savus skaitliskos aprēķinus papildināja ar tādiem trūcīgiem komentāriem kā: “Skaties!”, “Dari tā!”, “Tu atradi īsto!”
Grieķu matemātiķis Diofants sacerēja un atrisināja kvadrātvienādojumus. Viņa aritmētika nesatur sistemātisku algebras izklāstu, bet satur sistemātisku problēmu virkni, ko papildina paskaidrojumi un kuras atrisinātas, veidojot dažādu pakāpju vienādojumus.
Kvadrātvienādojumu sastādīšanas problēmas ir atrodamas jau astronomiskajā traktātā “Aria-bhatiam”, ko 499. gadā sastādīja indiešu matemātiķis un astronoms Arjabhata.
Cits indiešu zinātnieks Brahmagupta (7. gadsimts) izklāstīja vispārīgo noteikumu kvadrātvienādojumu risināšanai formā ax² + bx = c.
Senajā Indijā publiskas sacensības sarežģītu problēmu risināšanā bija izplatītas. Vienā no senajām indiešu grāmatām par šādām sacensībām ir teikts šādi: ”Kā saule ar savu spožumu pārspēj zvaigznes, tā izglītots cilvēks pārspēs cita godību publiskās sapulcēs, ierosinot un risinot algebriskas problēmas.” Problēmas bieži tika izklāstītas poētiskā formā.
Šī ir viena no slavenā Indijas 12. gadsimta matemātiķa problēmām. Bhaskars:
Gaišu pērtiķu bars
Paēdusi pēc sirds patikas, izklaidējos.
Astotā daļa no viņiem spēlēja izcirtumā laukumā.
Un divpadsmit uz vīnogulājiem... sāka lēkt, karājoties...
Cik daudz pērtiķu tur bija?
Pastāsti man, šajā iepakojumā?
Bhaskaras risinājums parāda, ka viņš zināja, ka kvadrātvienādojumu saknēm ir divas vērtības.
Senākie ķīniešu matemātiskie teksti, kas nonākuši līdz mums, ir datēti ar 1. gadsimta beigām. BC II gadsimtā. BC Tika uzrakstīta matemātika deviņās grāmatās. Vēlāk, 7. gadsimtā, tas tika iekļauts krājumā “Desmit klasiskie traktāti”, kas tika pētīts daudzus gadsimtus. Traktāts "Matemātika deviņās grāmatās" izskaidro, kā iegūt kvadrātsakne izmantojot divu skaitļu summas kvadrāta formulu.
Šo metodi sauca par "tian-yuan" (burtiski "debesu elements") - tā ķīnieši apzīmēja nezināmu daudzumu.
Pirmā rokasgrāmata problēmu risināšanai, kas kļuva plaši pazīstama, bija 9. gadsimta Bagdādes zinātnieka darbs. Muhameds bin Musa al Khwarizmi. Vārds “al-jabr” laika gaitā pārvērtās par plaši pazīstamo vārdu “algebra”, un pats al-Khorezmi darbs kļuva par sākumpunktu vienādojumu risināšanas zinātnes attīstībā. Al-Khwarizmi algebriskais traktāts sniedz lineāro un kvadrātvienādojumu klasifikāciju. Autors saskaita sešu veidu vienādojumus, izsakot tos šādi:
-kvadrāti vienādas saknes, tas ir, ah ² = bх;
-kvadrātu vienāds skaits, tas ir, ah ² = s;
-saknes ir vienādas ar skaitli, tas ir, ax = c;
-kvadrāti un skaitļi ir vienādi ar saknēm, tas ir, ah ²+ с = bх;
-kvadrāti un saknes ir vienādi ar skaitli, tas ir, ah ² + bх = с;
-saknes un skaitļi ir vienādi ar kvadrātiem, tas ir, bx + c = ax ²;
Al-Khwarizmi traktāts ir pirmā grāmata, kas nonākusi pie mums un kurā sistemātiski izklāstīta kvadrātvienādojumu klasifikācija un dotas to risinājuma formulas.
Formulas kvadrātvienādojumu risināšanai, kas modelētas pēc al Khwarizmi Eiropā, pirmo reizi tika izklāstītas Abaka grāmatā, ko 1202. gadā uzrakstīja itāļu matemātiķis Leonardo Fibonači. Autors patstāvīgi izstrādāja dažus jaunus algebriskie piemēri risinot problēmas un pirmais Eiropā ieviesa negatīvus skaitļus. Viņa grāmata veicināja algebrisko zināšanu izplatību ne tikai Itālijā, bet arī Vācijā, Francijā un citās Eiropas valstīs. Daudzas problēmas no “Abaku grāmatas” tika iekļautas gandrīz visās 16.-17. gadsimta Eiropas mācību grāmatās. un daļēji 18. gs.
Vispārējs noteikums kvadrātvienādojumu risināšanai, kas reducēti līdz vienai kanoniskajai formai x ² + bх = с, visām iespējamām koeficientu b un с zīmju kombinācijām Eiropā formulēja tikai 1544. gadā M. Stīfels.
Vietam ir vispārīgs kvadrātvienādojuma risināšanas formulas atvasinājums, taču viņš arī atpazina tikai pozitīvas saknes. Itāļu matemātiķi Tartaglia, Cardano, Bombelli bija vieni no pirmajiem 16. gadsimtā. Papildus pozitīvajām un negatīvajām saknēm tās tiek ņemtas vērā. Tikai 17. gadsimtā, pateicoties Žirāra, Dekarta, Ņūtona un citu zinātnieku darbiem, kvadrātvienādojumu risināšanas metode ieguva mūsdienu formu.
Darbam vēl nav HTML versijas.
Līdzīgi dokumenti
Kvadrātvienādojumu sakņu formulu izstrādes vēsture. Kvadrātvienādojumi iekšā Senā Babilonija. Diofanta kvadrātvienādojumu atrisinājums. Kvadrātvienādojumi Indijā, Horezmijā un Eiropā 13. - 17. gadsimtā. Vietas teorēma, mūsdienu algebriskais apzīmējums.
tests, pievienots 27.11.2010
Kvadrātvienādojumu vēsture: vienādojumi Senajā Babilonā un Indijā. Formulas pāra koeficientam x. Konkrēta rakstura kvadrātvienādojumi. Vietas teorēma polinomiem augstākas pakāpes. Bikvadrātisko vienādojumu izpēte. Cordano formulas būtība.
abstrakts, pievienots 05.09.2009
Kvadrātvienādojuma risināšanas formulas atvasināšana matemātikas vēsturē. Salīdzinošā analīze tehnoloģijas dažādos veidos otrās pakāpes vienādojumu risinājumi, to pielietojuma piemēri. Īsa teorija kvadrātvienādojumu risināšana, uzdevumu grāmatas rakstīšana.
abstrakts, pievienots 18.12.2012
Matemātikas nozīme mūsu dzīvē. Konta vēsture. Pašreizējā skaitļošanas matemātikas metožu attīstība. Matemātikas izmantošana citās zinātnēs, matemātiskās modelēšanas loma. Matemātiskās izglītības stāvoklis Krievijā.
raksts, pievienots 01.05.2010
Grieķu matemātika. Viduslaiki un renesanse. Mūsdienu matemātikas sākums. Mūsdienu matemātika. Matemātika balstās nevis uz loģiku, bet gan uz saprātīgu intuīciju. Matemātikas pamatu problēmas ir filozofiskas.
abstrakts, pievienots 09.06.2006
Matemātikas zinātnes attīstības vēsture Eiropā 6.-14.gadsimtā, tās pārstāvji un sasniegumi. Matemātikas attīstība renesanses laikā. Burtu kalkulācijas veidošana, Fransuā Vietas darbība. Uzlabojumi skaitļošanā 16. gadsimta beigās un 16. gadsimta sākumā.
prezentācija, pievienota 09.20.2015
Pārskats par Eiropas matemātikas attīstību 17.-18.gs. Eiropas zinātnes nevienmērīga attīstība. Analītiskā ģeometrija. Matemātiskās analīzes izveide. Leibnica zinātniskā skola. Vispārējās īpašības zinātne 18. gadsimtā Matemātikas attīstības virzieni.
prezentācija, pievienota 09.20.2015
Matemātikas dzimšanas periods (pirms 7.-5.gs.pmē.). Pastāvīgo lielumu matemātikas laiks (VII-V gs. p.m.ē. – XVII gs. p.m.ē.). Mainīgo matemātika (XVII-XIX gs.). Mūsdienu matemātikas attīstības periods. Datormatemātikas iezīmes.
prezentācija, pievienota 09.20.2015
Seno grieķu matemātiķu sasniegumi, kuri dzīvoja starp 6. gadsimtu pirms mūsu ēras. un mūsu ēras 5. gadsimtā Matemātikas sākotnējā attīstības perioda iezīmes. Pitagora skolas loma matemātikas attīstībā: Platons, Eudokss, Zenons, Demokrits, Eiklīds, Arhimēds, Apollonijs.
tests, pievienots 17.09.2010
Matemātikas kā zinātnes attīstības vēsture. Elementārās matemātikas periods. Mainīgu lielumu matemātikas radīšanas periods. Analītiskās ģeometrijas, diferenciālskaitļu un integrālrēķinu izveide. Matemātikas attīstība Krievijā 18.-19.gs.