Ar daļskaitļiem var darīt visu, arī dalīšanu. Šajā rakstā ir parādīts parasto frakciju dalījums. Tiks sniegtas definīcijas un apspriesti piemēri. Pakavēsimies sīkāk pie daļskaitļu dalīšanas ar naturāliem skaitļiem un otrādi. Tiks apsvērta parastās daļskaitļa dalīšana ar jauktu skaitli.
Dalīšanas daļas
Dalīšana ir reizināšanas apgrieztā vērtība. Dalot, nezināmais faktors tiek atrasts plkst slavens darbs un vēl viens faktors, kur tā dotā nozīme tiek saglabāta ar parastajām daļām.
Ja parasto daļskaitli a b ir nepieciešams dalīt ar c d, tad, lai noteiktu šādu skaitli, jāreizina ar dalītāju c d, tas galu galā dos dividendi a b. Iegūsim skaitli un ierakstīsim to a b · d c , kur d c ir c d skaitļa apgrieztā vērtība. Vienādības var uzrakstīt, izmantojot reizināšanas īpašības, proti: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, kur izteiksme a b · d c ir a b dalīšanas ar c d koeficients.
No šejienes mēs iegūstam un formulējam parasto daļskaitļu dalīšanas noteikumu:
1. definīcija
Lai parasto daļskaitli a b dalītu ar c d, dividende jāreizina ar dalītāja apgriezto skaitli.
Rakstīsim noteikumu izteiksmes formā: a b: c d = a b · d c
Dalīšanas noteikumi attiecas uz reizināšanu. Lai to ievērotu, jums ir labi jāizprot daļskaitļu reizināšana.
Pāriesim pie parasto frakciju dalīšanas apsvēršanas.
1. piemērs
Sadaliet 9 7 ar 5 3. Uzrakstiet rezultātu kā daļu.
Risinājums
Skaitlis 5 3 ir apgrieztā daļa 3 5. Ir nepieciešams izmantot parasto frakciju dalīšanas noteikumu. Šo izteiksmi mēs rakstām šādi: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Atbilde: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Samazinot daļskaitļus, atdaliet visu daļu, ja skaitītājs ir lielāks par saucēju.
2. piemērs
Sadaliet 8 15: 24 65. Uzrakstiet atbildi kā daļskaitli.
Risinājums
Lai atrisinātu, jums jāpāriet no dalīšanas uz reizināšanu. Uzrakstīsim to šādā formā: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Ir nepieciešams veikt samazinājumu, un tas tiek darīts šādi: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Atlasiet visu daļu un iegūstiet 13 9 = 1 4 9.
Atbilde: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Ārkārtas daļskaitļa dalīšana ar naturālu skaitli
Mēs izmantojam likumu par daļskaitļa dalīšanu ar dabiskais skaitlis: lai a b dalītu ar naturālu skaitli n, jums tikai jāreizina saucējs ar n. No šejienes mēs iegūstam izteiksmi: a b: n = a b · n.
Dalīšanas noteikums ir reizināšanas likuma sekas. Tāpēc, attēlojot naturālu skaitli kā daļskaitli, tiks iegūta šāda veida vienādība: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Apsveriet šo daļdaļas dalījumu ar skaitli.
3. piemērs
Sadaliet daļu 16 45 ar skaitli 12.
Risinājums
Piemērosim noteikumu daļskaitļa dalīšanai ar skaitli. Mēs iegūstam izteiksmi formā 16 45: 12 = 16 45 · 12.
Samazināsim daļu. Mēs iegūstam 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.
Atbilde: 16 45: 12 = 4 135 .
Dabiska skaitļa dalīšana ar daļskaitli
Sadalīšanas noteikums ir līdzīgs O likums naturāla skaitļa dalīšanai ar parastu daļskaitli: lai naturālu skaitli n dalītu ar parastu daļskaitli a b, skaitlis n jāreizina ar daļskaitļa a b apgriezto skaitli.
Pamatojoties uz likumu, mums ir n: a b = n · b a, un, pateicoties likumam par naturāla skaitļa reizināšanu ar parastu daļskaitli, mēs iegūstam izteiksmi formā n: a b = n · b a. Šis sadalījums ir jāapsver ar piemēru.
4. piemērs
Sadaliet 25 ar 15 28.
Risinājums
Mums ir jāpāriet no dalīšanas uz reizināšanu. Uzrakstīsim to izteiksmes 25 formā: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Samazināsim daļskaitli un iegūsim rezultātu frakcijas 46 2 3 formā.
Atbilde: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Daļas dalīšana ar jauktu skaitli
Dalot parasto daļskaitli ar jauktu skaitli, varat viegli sākt dalīt parastās daļskaitļus. Jaukts skaitlis ir jāpārvērš par nepareizu daļskaitli.
5. piemērs
Sadaliet daļu 35 16 ar 3 1 8.
Risinājums
Tā kā 3 1 8 ir jaukts skaitlis, attēlosim to kā nepareizu daļskaitli. Tad mēs iegūstam 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Tagad sadalīsim daļdaļas. Mēs iegūstam 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Atbilde: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Jaukta skaitļa dalīšana tiek veikta tāpat kā parastie skaitļi.
Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Iepriekšējā reizē mēs iemācījāmies saskaitīt un atņemt daļskaitļus (skat. nodarbību “Daļskaitļu pievienošana un atņemšana”). Sarežģītākā šo darbību daļa bija daļskaitļu apvienošana līdz kopsaucējam.
Tagad ir pienācis laiks nodarboties ar reizināšanu un dalīšanu. Labā ziņa ir tā, ka šīs darbības ir pat vienkāršākas nekā saskaitīšana un atņemšana. Pirmkārt, apskatīsim vienkāršākais gadījums, ja ir divas pozitīvas daļas bez atdalītas vesela skaitļa daļas.
Lai reizinātu divas daļskaitļus, to skaitītāji un saucēji jāreizina atsevišķi. Pirmais cipars būs jaunās daļas skaitītājs, bet otrais – saucējs.
Lai sadalītu divas daļas, pirmā daļa jāreizina ar “apgriezto” otro daļu.
Apzīmējums:
No definīcijas izriet, ka daļskaitļu dalīšana tiek samazināta līdz reizināšanai. Lai “apgrieztu” daļskaitli, vienkārši samainiet skaitītāju un saucēju. Tāpēc visas nodarbības laikā mēs galvenokārt apsvērsim reizināšanu.
Reizināšanas rezultātā var rasties (un bieži vien arī rodas) reducējama daļa - tā, protams, ir jāsamazina. Ja pēc visiem samazinājumiem daļa izrādās nepareiza, ir jāizceļ visa daļa. Taču tas, kas noteikti nenotiks ar reizināšanu, ir samazinājums līdz kopsaucējam: nav krustenisku metožu, lielākie faktori un mazākie kopējie reizinātāji.
Pēc definīcijas mums ir:
Daļskaitļu reizināšana ar veselām daļām un negatīvajām daļām
Ja daļās ir vesela skaitļa daļa, tās ir jāpārvērš par nepareizām un tikai pēc tam jāreizina saskaņā ar iepriekš aprakstītajām shēmām.
Ja daļskaitļa skaitītājā, saucējā vai tā priekšā ir mīnuss, to var izņemt no reizināšanas vai noņemt pavisam saskaņā ar šādiem noteikumiem:
- Pluss ar mīnusu dod mīnusu;
- Divi negatīvi padara apstiprinošu.
Līdz šim ar šiem noteikumiem ir nācies sastapties tikai negatīvo daļskaitļu saskaitīšanā un atņemšanā, kad bija jāatbrīvojas no visas daļas. Darbam tos var vispārināt, lai vienlaikus “sadedzinātu” vairākus trūkumus:
- Mēs izsvītrojam negatīvus pa pāriem, līdz tie pilnībā izzūd. Ārkārtējos gadījumos var izdzīvot viens mīnuss – tas, kuram nebija biedra;
- Ja mīnusu nav palicis, darbība ir pabeigta - var sākt reizināt. Ja pēdējais mīnuss nav izsvītrots, jo tam nebija pāra, mēs to izņemam ārpus reizināšanas robežām. Rezultāts ir negatīva daļa.
Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Mēs pārvēršam visas daļskaitļus par nepareizajām un pēc tam no reizināšanas izņemam mīnusus. Mēs reizinām to, kas paliek, saskaņā ar parastajiem noteikumiem. Mēs iegūstam:
Vēlreiz atgādināšu, ka mīnuss, kas parādās pirms daļskaitļa ar izceltu veselo daļu, attiecas tieši uz visu daļu, nevis tikai uz visu tās daļu (tas attiecas uz pēdējiem diviem piemēriem).
Pievērsiet uzmanību arī negatīviem skaitļiem: reizinot, tie tiek likti iekavās. Tas tiek darīts, lai atdalītu mīnusus no reizināšanas zīmēm un padarītu visu pierakstu precīzāku.
Frakciju samazināšana lidojuma laikā
Reizināšana ir ļoti darbietilpīga darbība. Skaitļi šeit izrādās diezgan lieli, un, lai vienkāršotu problēmu, varat mēģināt vēl vairāk samazināt daļu pirms reizināšanas. Patiešām, būtībā daļskaitļu skaitītāji un saucēji ir parastie faktori, un tāpēc tos var samazināt, izmantojot daļskaitļa pamatīpašību. Apskatiet piemērus:
Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Pēc definīcijas mums ir:
Visos piemēros samazinātie skaitļi un pāri palikušie ir atzīmēti ar sarkanu krāsu.
Lūdzu, ņemiet vērā: pirmajā gadījumā reizinātāji tika pilnībā samazināti. To vietā paliek vienības, kuras, vispārīgi runājot, nav jāraksta. Otrajā piemērā pilnīga samazināšana To panākt nebija iespējams, taču kopējais aprēķinu apjoms tomēr samazinājās.
Tomēr nekad neizmantojiet šo paņēmienu, saskaitot un atņemot daļskaitļus! Jā, dažreiz ir līdzīgi skaitļi, kurus jūs vienkārši vēlaties samazināt. Lūk, paskaties:
Jūs to nevarat darīt!
Kļūda rodas tāpēc, ka, pievienojot daļskaitļa skaitītāju, parādās summa, nevis skaitļu reizinājums. Līdz ar to nav iespējams piemērot daļskaitļa pamatīpašību, jo šī īpašība attiecas tieši uz skaitļu reizināšanu.
Vienkārši nav citu iemeslu frakciju samazināšanai, tāpēc pareizais lēmums Iepriekšējais uzdevums izskatās šādi:
Pareizs risinājums:
Kā redzat, pareizā atbilde izrādījās ne tik skaista. Kopumā esiet uzmanīgi.
Daļa ir viena vai vairākas veseluma daļas, ko parasti uzskata par vienu (1). Tāpat kā ar naturālajiem skaitļiem, jūs varat veikt visas pamata aritmētiskās darbības (saskaitīšanu, atņemšanu, dalīšanu, reizināšanu), lai to izdarītu, jums jāzina darba ar daļskaitļiem iezīmes un jānošķir to veidi. Ir vairāki daļskaitļu veidi: decimāldaļskaitļi un parastie vai vienkāršie. Katram daļskaitļu veidam ir sava specifika, taču, kārtīgi izprotot, kā ar tiem rīkoties, ar daļskaitļiem varēsiet atrisināt jebkurus piemērus, jo zināsiet aritmētisko aprēķinu ar daļskaitļiem veikšanas pamatprincipus. Apskatīsim piemērus, kā dalīt daļu ar veselu skaitli, izmantojot dažādi veidi frakcijas.
Kā dalīt vienkāršu daļskaitli ar naturālu skaitli?Parastās vai vienkāršās daļdaļas ir tās, kas rakstītas skaitļu attiecības veidā, kurās daļskaitļa augšpusē ir norādīta dividende (skaitītājs), bet apakšā ir norādīts daļskaitļa dalītājs (saucējs). Kā dalīt šādu daļu ar veselu skaitli? Apskatīsim piemēru! Pieņemsim, ka mums ir jādala 8/12 ar 2.
Lai to izdarītu, mums ir jāveic vairākas darbības:
Tādējādi, ja mēs saskaramies ar uzdevumu dalīt daļu ar veselu skaitli, risinājuma diagramma izskatīsies apmēram šādi: 
Līdzīgā veidā jūs varat dalīt jebkuru parasto (vienkāršo) daļu ar veselu skaitli.
Kā decimāldaļu dalīt ar veselu skaitli?
Decimāldaļa ir daļa, ko iegūst, sadalot vienību desmit, tūkstoš un tā tālāk daļās. Aritmētika ar decimāldaļām ir diezgan vienkārša.
Apskatīsim piemēru, kā dalīt daļu ar veselu skaitli. Pieņemsim, ka mums ir jādala decimāldaļdaļa 0,925 ar naturālo skaitli 5.
Rezumējot, pakavēsimies pie diviem galvenajiem punktiem, kas ir svarīgi, veicot sadalīšanas operāciju decimāldaļas pēc vesela skaitļa: - lai dalītu decimāldaļu ar naturālu skaitli, izmanto garo dalījumu;
- Komats tiek likts koeficientā, kad ir pabeigta visas dividendes daļas sadalīšana.
Lai atrisinātu dažādi uzdevumi no matemātikas un fizikas kursa jādala daļdaļas. Tas ir ļoti vienkārši izdarāms, ja zināt noteiktus noteikumus šīs matemātiskās darbības veikšanai.
Pirms mēs pārejam pie daļskaitļu dalīšanas noteikuma formulēšanas, atcerēsimies dažus matemātiskos terminus:
- Daļas augšējo daļu sauc par skaitītāju, bet apakšējo daļu sauc par saucēju.
- Dalot skaitļus sauc šādi: dividende: dalītājs = koeficients
Kā sadalīt daļskaitļus: vienkāršas daļdaļas
Lai sadalītu divas vienkāršās daļskaitļus, reiziniet dividendi ar dalītāja apgriezto skaitli. Šo daļu sauc arī par apgriezto, jo to iegūst, apmainot skaitītāju un saucēju. Piemēram:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Kā sadalīt frakcijas: jauktas frakcijas
Ja mums ir jāsadala jauktās frakcijas, tad arī šeit viss ir diezgan vienkāršs un skaidrs. Pirmkārt, jaukto frakciju pārvēršam par parasto nepareizo frakciju. Lai to izdarītu, reiziniet šādas daļas saucēju ar veselu skaitli un pievienojiet skaitītāju iegūtajam reizinājumam. Rezultātā mēs ieguvām jaunu skaitītāju jauktā frakcija, un tā saucējs paliks nemainīgs. Tālāk frakciju dalīšana tiks veikta tieši tāpat kā vienkāršo frakciju dalīšana. Piemēram:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Kā dalīt daļskaitli ar skaitli
Lai dalītu vienkāršu daļskaitli ar skaitli, pēdējais jāraksta kā daļa (neregulāra). To izdarīt ir ļoti vienkārši: šo skaitli raksta skaitītāja vietā, un šādas daļdaļas saucējs ir vienāds ar vienu. Turpmāka sadalīšana tiek veikta parastajā veidā. Apskatīsim to ar piemēru:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Kā dalīt decimāldaļas
Nereti pieaugušajam bez kalkulatora palīdzības ir grūtības dalīt veselu skaitli vai decimāldaļu ar decimāldaļskaitli.
Tātad, lai dalītu decimāldaļas, jums vienkārši jāizsvītro komats dalītājā un jāpārtrauc tam pievērst uzmanību. Dividendē komats jāpārvieto pa labi tieši tik daudz vietās, cik tas bija dalītāja daļdaļā, ja nepieciešams, pievienojot nulles. Un tad viņi veic parasto dalīšanu ar veselu skaitli. Lai to padarītu skaidrāku, apsveriet šādu piemēru.
Nodarbības satursDaļskaitļu pievienošana ar līdzīgiem saucējiem
Ir divi frakciju pievienošanas veidi:
- Daļskaitļu pievienošana ar līdzīgiem saucējiem
- Daļskaitļu pievienošana ar dažādiem saucējiem
Vispirms iemācīsimies pievienot daļskaitļus ar līdzīgiem saucējiem. Šeit viss ir vienkārši. Lai pievienotu daļskaitļus ar vienādiem saucējiem, jāpievieno to skaitītāji un saucējs nav jāmaina. Piemēram, pievienosim daļskaitļus un . Pievienojiet skaitītājus un atstājiet saucēju nemainītu:
Šo piemēru var viegli saprast, ja atceramies picu, kas sadalīta četrās daļās. Ja picai pievienojat picu, jūs iegūsit picu:
2. piemērs. Pievienojiet frakcijas un .
Atbilde izrādījās nepareiza daļa. Kad pienāk uzdevuma beigas, ir ierasts atbrīvoties no nepareizajām daļskaitļiem. Lai atbrīvotos no nepareizas frakcijas, jums ir jāizvēlas visa tās daļa. Mūsu gadījumā visa daļa ir viegli izolēta - divi dalīti ar diviem vienāds ar vienu:
Šo piemēru var viegli saprast, ja atceramies par picu, kas ir sadalīta divās daļās. Ja picai pievienojat vairāk picas, jūs saņemsiet vienu veselu picu:
3. piemērs. Pievienojiet frakcijas un .
Atkal mēs saskaitām skaitītājus un atstājam nemainītu saucēju:
Šo piemēru var viegli saprast, ja atceramies picu, kas ir sadalīta trīs daļās. Ja pievienojat picai vairāk picas, jūs saņemsiet picu:
4. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību 
Šis piemērs ir atrisināts tieši tāpat kā iepriekšējie. Skaitītāji jāpievieno un saucējs jāatstāj nemainīgs:
Mēģināsim attēlot mūsu risinājumu, izmantojot zīmējumu. Ja pievienojat picas picai un pievienojat vairāk picu, jūs saņemsiet 1 veselu picu un vairāk picu.
Kā redzat, daļskaitļu pievienošanā ar vienādiem saucējiem nav nekā sarežģīta. Pietiek saprast šādus noteikumus:
- Lai pievienotu daļskaitļus ar vienu un to pašu saucēju, jāpievieno to skaitītāji un saucējs jāatstāj nemainīgs;
Daļskaitļu pievienošana ar dažādiem saucējiem
Tagad uzzināsim, kā pievienot daļskaitļus ar dažādiem saucējiem. Saskaitot daļskaitļus, daļskaitļu saucējiem jābūt vienādiem. Bet tie ne vienmēr ir vienādi.
Piemēram, daļskaitļus var pievienot, jo tiem ir vienādi saucēji.
Bet frakcijas nevar pievienot uzreiz, jo šīs frakcijas dažādi saucēji. Šādos gadījumos daļskaitļi jāsamazina līdz vienam un tam pašam (kopsaucējam).
Ir vairāki veidi, kā samazināt daļskaitļus līdz vienam un tam pašam saucējam. Šodien mēs apskatīsim tikai vienu no tiem, jo citas metodes iesācējam var šķist sarežģītas.
Šīs metodes būtība ir tāda, ka vispirms tiek meklēts abu frakciju saucēju LCM. Pēc tam LCM tiek dalīts ar pirmās daļas saucēju, lai iegūtu pirmo papildu koeficientu. Viņi dara to pašu ar otro daļu - LCM tiek dalīts ar otrās daļas saucēju un tiek iegūts otrs papildu koeficients.
Pēc tam daļskaitļu skaitītājus un saucējus reizina ar to papildu koeficientiem. Šo darbību rezultātā daļskaitļi, kuriem bija dažādi saucēji, tiek pārvērsti daļās, kurām ir vienādi saucēji. Un mēs jau zinām, kā šādas frakcijas pievienot.
1. piemērs. Saskaitīsim daļskaitļus un
Pirmkārt, mēs atrodam abu daļskaitļu saucēju mazāko kopīgo daudzkārtni. Pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3, bet otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 2. Šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir 6
LCM (2 un 3) = 6
Tagad atgriezīsimies pie daļām un . Vispirms sadaliet LCM ar pirmās daļas saucēju un iegūstiet pirmo papildu koeficientu. LCM ir skaitlis 6, un pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3. Sadaliet 6 ar 3, iegūstam 2.
Iegūtais skaitlis 2 ir pirmais papildu reizinātājs. Mēs to pierakstām līdz pirmajai daļai. Lai to izdarītu, izveidojiet nelielu slīpu līniju virs frakcijas un pierakstiet virs tās atrasto papildu koeficientu:
Mēs darām to pašu ar otro frakciju. Mēs sadalām LCM ar otrās daļas saucēju un iegūstam otro papildu koeficientu. LCM ir skaitlis 6, un otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 2. Sadaliet 6 ar 2, iegūstam 3.
Iegūtais skaitlis 3 ir otrais papildu reizinātājs. Mēs to pierakstām līdz otrajai daļai. Atkal mēs izveidojam nelielu slīpu līniju virs otrās daļas un pierakstām virs tās atrasto papildu koeficientu:
Tagad mums viss ir gatavs pievienošanai. Atliek reizināt daļskaitļu skaitītājus un saucējus ar to papildu koeficientiem:
Paskatieties uzmanīgi, pie kā esam nonākuši. Mēs nonācām pie secinājuma, ka daļskaitļi, kuriem bija dažādi saucēji, pārvērtās par daļām, kurām bija vienādi saucēji. Un mēs jau zinām, kā šādas frakcijas pievienot. Pieņemsim šo piemēru līdz beigām:
Tas pabeidz piemēru. Izrādās pievienot .
Mēģināsim attēlot mūsu risinājumu, izmantojot zīmējumu. Ja pievienojat picu picai, jūs saņemsiet vienu veselu picu un vēl vienu sesto daļu no picas:
Daļskaitļu samazināšanu līdz vienam un tam pašam (kopsaucējam) var attēlot arī, izmantojot attēlu. Samazinot daļskaitļus un līdz kopsaucējam, mēs ieguvām daļskaitļus un . Šīs divas frakcijas tiks attēlotas ar vieniem un tiem pašiem picas gabaliņiem. Vienīgā atšķirība būs tāda, ka šoreiz tās tiks sadalītas vienādās daļās (samazinātas līdz vienam un tam pašam saucējam).
Pirmajā zīmējumā ir attēlota daļa (četri gabali no sešiem), bet otrais zīmējums ir daļa (trīs gabali no sešiem). Pievienojot šos gabalus, mēs iegūstam (septiņus gabalus no sešiem). Šī daļa ir nepareiza, tāpēc mēs izcēlām visu tās daļu. Rezultātā saņēmām (vienu veselu picu un vēl sesto picu).
Lūdzu, ņemiet vērā, ka mēs esam aprakstījuši šis piemērs pārāk detalizēts. IN izglītības iestādēm Nav pieņemts rakstīt tik detalizēti. Jums ir jāspēj ātri atrast abu saucēju un tiem pievienoto papildu faktoru LCM, kā arī ātri reizināt atrastos papildu faktorus ar skaitītājiem un saucējiem. Ja mēs būtu skolā, mums šis piemērs būtu jāraksta šādi:
Taču medaļai ir arī otra puse. Ja matemātikas studiju pirmajos posmos neveicat detalizētas piezīmes, tad sāk parādīties tādi jautājumi. “No kurienes nāk šis skaitlis?”, “Kāpēc daļskaitļi pēkšņi pārvēršas par pilnīgi atšķirīgām daļskaitļiem? «.
Lai atvieglotu daļskaitļu pievienošanu ar dažādiem saucējiem, varat izmantot tālāk sniegtos soli pa solim sniegtos norādījumus.
- Atrast daļskaitļu saucēju LCM;
- Sadaliet LCM ar katras frakcijas saucēju un iegūstiet papildu koeficientu katrai daļai;
- Daļskaitļu skaitītājus un saucējus reiziniet ar to papildu koeficientiem;
- Pievienojiet daļskaitļus, kuriem ir vienādi saucēji;
- Ja atbilde izrādās nepareiza daļa, atlasiet visu tās daļu;
2. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību 
.
Izmantosim iepriekš sniegtos norādījumus.
1. solis. Atrodiet daļskaitļu saucēju LCM
Atrodiet abu daļu saucēju LCM. Daļskaitļu saucēji ir skaitļi 2, 3 un 4
2. darbība. Sadaliet LCM ar katras frakcijas saucēju un iegūstiet papildu koeficientu katrai daļai
Sadaliet LCM ar pirmās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 12, un pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 2. Sadaliet 12 ar 2, iegūstam 6. Mēs ieguvām pirmo papildu koeficientu 6. Mēs to rakstām virs pirmās daļdaļas:
Tagad mēs sadalām LCM ar otrās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 12, un otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3. Sadaliet 12 ar 3, iegūstam 4. Iegūstam otro papildu koeficientu 4. Mēs to rakstām virs otrās daļdaļas:
Tagad mēs dalām LCM ar trešās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 12, un trešās daļdaļas saucējs ir skaitlis 4. Sadaliet 12 ar 4, iegūstam 3. Iegūstam trešo papildu koeficientu 3. Mēs to rakstām virs trešās daļdaļas:
3. solis. Daļskaitļu skaitītājus un saucējus reiziniet ar to papildu koeficientiem
Mēs reizinām skaitītājus un saucējus ar to papildu faktoriem:
4. darbība. Pievienojiet daļas ar vienādiem saucējiem
Mēs nonācām pie secinājuma, ka frakcijas, kurām bija dažādi saucēji, pārvērtās par daļām, kurām bija vienādi (kopsaucēji). Atliek tikai šīs frakcijas pievienot. Pievienojiet to:
Papildinājums neietilpa vienā rindā, tāpēc atlikušo izteiksmi pārvietojām uz nākamo rindiņu. Matemātikā tas ir atļauts. Ja izteiksme neietilpst vienā rindā, tā tiek pārvietota uz nākamo rindu, un pirmās rindas beigās un sākumā ir jāliek vienādības zīme (=) jauna līnija. Otrajā rindā esošā vienādības zīme norāda, ka šis ir izteiksmes turpinājums, kas bija pirmajā rindā.
5. solis. Ja izrādās, ka atbilde ir nepareiza daļa, atlasiet visu tās daļu
Mūsu atbilde izrādījās nepareiza daļa. Mums ir jāizceļ vesela tā daļa. Mēs izceļam:
Mēs saņēmām atbildi
Daļskaitļu atņemšana ar līdzīgiem saucējiem
Ir divi daļskaitļu atņemšanas veidi:
- Daļskaitļu atņemšana ar līdzīgiem saucējiem
- Daļskaitļu atņemšana ar dažādiem saucējiem
Vispirms uzzināsim, kā atņemt daļskaitļus ar līdzīgiem saucējiem. Šeit viss ir vienkārši. Lai no vienas daļdaļas atņemtu citu, no pirmās daļdaļas skaitītāja ir jāatņem otrās daļdaļas skaitītājs, bet saucējs jāatstāj tāds pats.
Piemēram, atradīsim izteiksmes vērtību. Lai atrisinātu šo piemēru, jums ir jāatņem otrās daļdaļas skaitītājs no pirmās daļskaitļa skaitītāja un jāatstāj saucējs nemainīgs. Darīsim šādi:
Šo piemēru var viegli saprast, ja atceramies picu, kas sadalīta četrās daļās. Ja jūs izgriežat picas no picas, jūs saņemsiet picas:
2. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību.
Atkal no pirmās daļdaļas skaitītāja atņemiet otrās daļas skaitītāju un atstājiet saucēju nemainīgu:
Šo piemēru var viegli saprast, ja atceramies picu, kas ir sadalīta trīs daļās. Ja jūs izgriežat picas no picas, jūs saņemsiet picas:
3. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību 
Šis piemērs ir atrisināts tieši tāpat kā iepriekšējie. No pirmās daļdaļas skaitītāja jums jāatņem atlikušo daļu skaitītāji:
Kā redzat, daļskaitļu ar vienādiem saucējiem atņemšanā nav nekā sarežģīta. Pietiek saprast šādus noteikumus:
- Lai no vienas daļdaļas atņemtu citu, no pirmās daļdaļas skaitītāja ir jāatņem otrās daļdaļas skaitītājs un saucējs jāatstāj nemainīgs;
- Ja atbilde izrādās nepareiza daļa, jums ir jāizceļ visa tās daļa.
Daļskaitļu atņemšana ar dažādiem saucējiem
Piemēram, jūs varat atņemt daļskaitli no daļskaitļa, jo daļām ir vienādi saucēji. Bet jūs nevarat atņemt daļu no daļskaitļa, jo šīm daļām ir dažādi saucēji. Šādos gadījumos daļskaitļi jāsamazina līdz vienam un tam pašam (kopsaucējam).
Kopsaucējs tiek atrasts, izmantojot to pašu principu, ko izmantojām, pievienojot daļas ar dažādiem saucējiem. Vispirms atrodiet abu daļskaitļu saucēju LCM. Tad LCM tiek dalīts ar pirmās daļskaitļa saucēju un iegūts pirmais papildu koeficients, ko raksta virs pirmās daļas. Līdzīgi LCM tiek dalīts ar otrās daļas saucēju un tiek iegūts otrs papildu koeficients, kas tiek rakstīts virs otrās daļas.
Pēc tam frakcijas tiek reizinātas ar to papildu faktoriem. Šo darbību rezultātā daļskaitļi, kuriem bija dažādi saucēji, tiek pārvērsti daļās, kurām ir vienādi saucēji. Un mēs jau zinām, kā šādas daļas atņemt.
1. piemērs. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Šīm daļām ir dažādi saucēji, tāpēc jums tie jāsamazina līdz vienam un tam pašam (kopsaucējam).
Pirmkārt, mēs atrodam abu frakciju saucēju LCM. Pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3, bet otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 4. Šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir 12
LCM (3 un 4) = 12
Tagad atgriezīsimies pie daļām un
Atradīsim papildu koeficientu pirmajai daļai. Lai to izdarītu, sadaliet LCM ar pirmās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 12, un pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3. Daliet 12 ar 3, iegūstam 4. Virs pirmās daļdaļas ierakstiet četrinieku:
Mēs darām to pašu ar otro frakciju. Sadaliet LCM ar otrās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 12, un otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 4. Sadaliet 12 ar 4, iegūstam 3. Uzrakstiet trīs virs otrās daļdaļas:
Tagad mēs esam gatavi atņemšanai. Atliek reizināt frakcijas ar to papildu faktoriem:
Mēs nonācām pie secinājuma, ka daļskaitļi, kuriem bija dažādi saucēji, pārvērtās par daļām, kurām bija vienādi saucēji. Un mēs jau zinām, kā šādas daļas atņemt. Pieņemsim šo piemēru līdz beigām:
Mēs saņēmām atbildi
Mēģināsim attēlot mūsu risinājumu, izmantojot zīmējumu. Ja jūs izgriežat picu no picas, jūs saņemsiet picu
Šī ir detalizēta risinājuma versija. Ja mēs būtu skolā, mums šis piemērs būtu jārisina īsāk. Šāds risinājums izskatītos šādi:
Daļskaitļu samazināšanu līdz kopsaucējam var attēlot arī, izmantojot attēlu. Samazinot šīs daļas līdz kopsaucējam, mēs ieguvām daļskaitļus un . Šīs frakcijas tiks attēlotas ar vienādām picas šķēlītēm, taču šoreiz tās tiks sadalītas vienādās daļās (samazinātas līdz vienam un tam pašam saucējam):
Pirmajā attēlā ir redzama daļa (astoņi gabali no divpadsmit), bet otrajā attēlā ir daļa (trīs gabali no divpadsmit). Izgriežot trīs gabalus no astoņiem gabaliem, mēs iegūstam piecus gabalus no divpadsmit. Daļa apraksta šos piecus gabalus.
2. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību 
Šīm daļām ir dažādi saucēji, tāpēc vispirms tie jāsamazina līdz vienam un tam pašam (kopsaucējam).
Atradīsim šo daļskaitļu saucēju LCM.
Daļskaitļu saucēji ir skaitļi 10, 3 un 5. Šo skaitļu mazākais kopīgais reizinājums ir 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Tagad mēs atrodam papildu faktorus katrai frakcijai. Lai to izdarītu, sadaliet LCM ar katras frakcijas saucēju.
Atradīsim papildu koeficientu pirmajai daļai. LCM ir skaitlis 30, un pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 10. Sadaliet 30 ar 10, iegūstam pirmo papildu koeficientu 3. Mēs to rakstām virs pirmās daļdaļas:
Tagad mēs atrodam papildu koeficientu otrajai daļai. Sadaliet LCM ar otrās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 30, un otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3. Sadaliet 30 ar 3, iegūstam otro papildu koeficientu 10. Mēs to rakstām virs otrās daļdaļas:
Tagad mēs atrodam papildu koeficientu trešajai daļai. Sadaliet LCM ar trešās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 30, un trešās daļdaļas saucējs ir skaitlis 5. Sadaliet 30 ar 5, iegūstam trešo papildu koeficientu 6. Mēs to rakstām virs trešās daļdaļas:
Tagad viss ir gatavs atņemšanai. Atliek reizināt frakcijas ar to papildu faktoriem:
Mēs nonācām pie secinājuma, ka frakcijas, kurām bija dažādi saucēji, pārvērtās par daļām, kurām bija vienādi (kopsaucēji). Un mēs jau zinām, kā šādas daļas atņemt. Pabeigsim šo piemēru.
Piemēra turpinājums neiederēsies vienā rindā, tāpēc mēs pārceļam turpinājumu uz nākamo rindiņu. Neaizmirstiet par vienādības zīmi (=) jaunajā rindā:
Atbilde izrādījās parasta daļa, un šķiet, ka viss mums atbilst, bet tas ir pārāk apgrūtinoši un neglīti. Mums vajadzētu to padarīt vienkāršāku. Ko var darīt? Jūs varat saīsināt šo daļu.
Lai samazinātu daļu, tās skaitītājs un saucējs jādala ar (GCD) no skaitļiem 20 un 30.
Tātad, mēs atrodam skaitļu 20 un 30 gcd:
Tagad mēs atgriežamies pie mūsu piemēra un dalām daļskaitļa skaitītāju un saucēju ar atrasto gcd, tas ir, ar 10
Mēs saņēmām atbildi
Daļdaļas reizināšana ar skaitli
Lai reizinātu daļu ar skaitli, jums jāreizina dotās daļdaļas skaitītājs ar šo skaitli un saucējs jāatstāj tāds pats.
1. piemērs. Reiziniet daļu ar skaitli 1.
Daļas skaitītāju reiziniet ar skaitli 1
Ierakstu var saprast tā, ka tas aizņem pusi 1 reizi. Piemēram, ja jūs ņemat picu vienu reizi, jūs saņemsiet picu
No reizināšanas likumiem mēs zinām, ka, ja reizinātājs un koeficients tiek apmainīti, reizinājums nemainīsies. Ja izteiksme ir uzrakstīta kā , reizinājums joprojām būs vienāds ar . Atkal darbojas vesela skaitļa un daļskaitļa reizināšanas noteikums:
Šo apzīmējumu var saprast kā pusi no viena. Piemēram, ja ir 1 vesela pica un mēs ņemam pusi no tās, tad mums būs pica:
2. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību
Daļdaļas skaitītāju reiziniet ar 4
Atbilde bija nepareiza daļa. Izcelsim visu tā daļu:
Izteicienu var saprast kā ņemt divas ceturtdaļas 4 reizes. Piemēram, ja jūs ņemat 4 picas, jūs saņemsiet divas veselas picas
Un, ja mēs apmainām reizinātāju un reizinātāju, mēs iegūstam izteiksmi . Tas arī būs vienāds ar 2. Šo izteiksmi var saprast kā divas picas no četrām veselām picām:
Daļskaitļu reizināšana
Lai reizinātu daļskaitļus, jums jāreizina to skaitītāji un saucēji. Ja atbilde izrādās nepareiza daļa, jums ir jāizceļ visa tās daļa.
1. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību.
Mēs saņēmām atbildi. Šo frakciju ieteicams samazināt. Frakciju var samazināt par 2. Tad gala šķīdumam būs šāda forma:
Izteicienu var saprast kā picas paņemšanu no puspicas. Pieņemsim, ka mums ir puse picas:
Kā paņemt divas trešdaļas no šīs pusītes? Vispirms šī puse jāsadala trīs vienādās daļās:
Un paņemiet divus no šiem trim gabaliem:
Pagatavosim picu. Atcerieties, kā izskatās pica, ja tā ir sadalīta trīs daļās:
Vienam šīs picas gabalam un diviem mūsu paņemtajiem gabaliem būs vienādi izmēri:
Citiem vārdiem sakot, mēs runājam par tāda paša izmēra picu. Tāpēc izteiksmes vērtība ir
2. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību
Reiziniet pirmās daļdaļas skaitītāju ar otrās daļas skaitītāju un pirmās daļas saucēju ar otrās daļdaļas saucēju:
Atbilde bija nepareiza daļa. Izcelsim visu tā daļu:
3. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību
Reiziniet pirmās daļdaļas skaitītāju ar otrās daļas skaitītāju un pirmās daļas saucēju ar otrās daļdaļas saucēju:
Atbilde izrādījās regulāra daļa, bet būtu labi, ja to saīsinātu. Lai samazinātu šo daļu, šīs daļas skaitītājs un saucējs jāsadala ar lielāko kopīgs dalītājs(GCD) numuri 105 un 450.
Tātad, atradīsim skaitļu 105 un 450 gcd:
Tagad mēs dalām mūsu atbildes skaitītāju un saucēju ar gcd, ko esam tagad atraduši, tas ir, ar 15
Vesela skaitļa attēlošana kā daļskaitlis
Jebkuru veselu skaitli var attēlot kā daļskaitli. Piemēram, skaitli 5 var attēlot kā . Tas nemainīs pieci nozīmi, jo izteiciens nozīmē "skaitlis pieci dalīts ar vienu", un tas, kā mēs zinām, ir vienāds ar pieci:
Savstarpēji skaitļi
Tagad mēs iepazīsimies ar ļoti interesanta tēma matemātikā. To sauc par "apgrieztajiem skaitļiem".
Definīcija. Atgriezties uz numurua ir skaitlis, kuru reizinot ara dod vienu.
Aizstāsim ar šo definīciju mainīgā vietā a numuru 5 un mēģiniet izlasīt definīciju:
Atgriezties uz numuru 5 ir skaitlis, kuru reizinot ar 5 dod vienu.
Vai ir iespējams atrast skaitli, kuru reizinot ar 5, tiek iegūts viens? Izrādās, ka tas ir iespējams. Iedomāsimies piecus kā daļskaitli:
Pēc tam reiziniet šo daļu ar sevi, vienkārši samainiet skaitītāju un saucēju. Citiem vārdiem sakot, reizināsim daļu ar sevi, tikai otrādi:
Kas tā rezultātā notiks? Ja turpināsim risināt šo piemēru, mēs iegūstam vienu:
Tas nozīmē, ka skaitļa 5 apgrieztā vērtība ir skaitlis , jo, reizinot 5 ar, jūs iegūstat vienu.
Skaitļa apgriezto vērtību var atrast arī jebkuram citam veselam skaitlim.
Varat arī atrast jebkuras citas daļskaitļa apgriezto vērtību. Lai to izdarītu, vienkārši apgrieziet to otrādi.
Daļas dalīšana ar skaitli
Pieņemsim, ka mums ir puse picas:
Sadalīsim to vienādi starp diviem. Cik daudz picas saņems katrs cilvēks?
Redzams, ka, sadalot pusi picas, tika iegūti divi vienādi gabali, no kuriem katrs veido picu. Tātad visi saņem picu.
Frakciju dalīšana tiek veikta, izmantojot apgrieztās vērtības. Savstarpēji skaitļi ļauj aizstāt dalīšanu ar reizināšanu.
Lai dalītu daļu ar skaitli, jums tā jāreizina ar dalītāja apgriezto vērtību.
Izmantojot šo noteikumu, mēs pierakstīsim savas picas puses sadalījumu divās daļās.
Tātad, jums ir jāsadala daļa ar skaitli 2. Šeit dividende ir daļa, un dalītājs ir skaitlis 2.
Lai dalītu daļu ar skaitli 2, šī daļa jāreizina ar dalītāja 2 apgriezto vērtību. Dalītāja 2 apgrieztā vērtība ir daļa. Tātad jums ir jāreizina ar