Gaitā vidusskolas un vidusskola Skolēni pētīja tēmu “Daļskaitļi”. Tomēr šis jēdziens ir daudz plašāks par mācību procesā doto. Mūsdienās ar daļskaitļa jēdzienu saskaras diezgan bieži, un ne visi var aprēķināt jebkuru izteiksmi, piemēram, reizināt daļskaitļus.
Kas ir daļa?
Vēsturiski daļskaitļi radās nepieciešamības mērīt. Kā liecina prakse, bieži vien ir piemēri segmenta garuma un taisnstūra taisnstūra tilpuma noteikšanai.
Sākotnēji skolēni tiek iepazīstināti ar akcijas jēdzienu. Piemēram, ja jūs sadalāt arbūzu 8 daļās, tad katrs saņems vienu astoto daļu no arbūza. Šo vienu daļu no astoņiem sauc par akciju.
Daļu, kas vienāda ar ½ no jebkuras vērtības, sauc par pusi; ⅓ - trešais; ¼ - ceturtdaļa. Ierakstus formā 5/8, 4/5, 2/4 sauc par parastajām daļām. Kopējo daļskaitli iedala skaitītājā un saucējā. Starp tiem ir frakciju josla vai frakciju josla. Daļējo līniju var novilkt kā horizontālu vai slīpu līniju. IN šajā gadījumā tas apzīmē dalījuma zīmi.
Saucējs norāda, cik vienādās daļās daudzums vai objekts ir sadalīts; un skaitītājs ir identisku akciju skaits. Skaitītājs ir rakstīts virs daļskaitļa līnijas, saucējs ir rakstīts zem tās.
Visērtāk ir parādīt parastās daļskaitļus koordinātu starā. Ja vienu segmentu sadala 4 vienādās daļās, katru daļu apzīmē ar latīņu burtu, tad var iegūt rezultātu vizuālais palīglīdzeklis. Tātad punkts A parāda daļu, kas vienāda ar 1/4 no visa vienības segmenta, un punkts B atzīmē 2/8 no noteiktā segmenta.
Frakciju veidi
Daļskaitļi var būt parastie, decimālskaitļi un jaukti skaitļi. Turklāt frakcijas var iedalīt pareizās un nepareizās. Šī klasifikācija ir vairāk piemērota parastajām frakcijām.
Pareiza daļa ir skaitlis, kura skaitītājs ir mazāks par saucēju. Attiecīgi nepareiza daļa ir skaitlis, kura skaitītājs ir lielāks par tā saucēju. Otro veidu parasti raksta kā jauktu skaitli. Šī izteiksme sastāv no vesela skaitļa un daļējas daļas. Piemēram, 1½. 1 ir vesela skaitļa daļa, ½ ir daļēja daļa. Tomēr, ja jums ir jāveic dažas manipulācijas ar izteiksmi (dalot vai reizinot daļskaitļus, samazinot vai pārvēršot tos), jauktais skaitlis tiek pārveidots par nepareizu daļu.
Pareiza daļskaitļa izteiksme vienmēr ir mazāka par vienu, bet nepareiza vienmēr ir lielāka vai vienāda ar 1.
Runājot par šo izteiksmi, mēs domājam ierakstu, kurā ir attēlots jebkurš skaitlis, kura daļskaitļa saucēju var izteikt ar vienu ar vairākām nullēm. Ja daļa ir pareiza, tad veselā skaitļa daļa decimāldaļās būs vienāda ar nulli.
Lai uzrakstītu decimāldaļu, vispirms ir jāuzraksta visa daļa, jāatdala tā no daļskaitļa, izmantojot komatu, un pēc tam jāieraksta daļskaitļa izteiksme. Jāatceras, ka aiz komata skaitītājā jāsatur tikpat daudz ciparu rakstzīmju, cik saucējā ir nulles.
Piemērs. Izsakiet daļu 7 21/1000 decimāldaļās.
Algoritms nepareizas daļskaitļa pārvēršanai par jauktu skaitli un otrādi
Uzdevuma atbildē ir nepareizi rakstīt nepareizu daļskaitli, tāpēc tas ir jāpārvērš par jauktu skaitli:
- dalīt skaitītāju ar esošo saucēju;
- V konkrēts piemērs nepilnīgs koeficients - vesels;
- un atlikums ir daļdaļas skaitītājs, un saucējs paliek nemainīgs.
Piemērs. Pārvērst nepareizo daļskaitli uz jauktu skaitli: 47/5.
Risinājums. 47: 5. Daļējais koeficients ir 9, atlikums = 2. Tātad, 47 / 5 = 9 2 / 5.
Dažreiz jaukts skaitlis ir jāattēlo kā nepareiza daļskaitļa. Tad jums jāizmanto šāds algoritms:
- veselo skaitļu daļu reizina ar daļskaitļa izteiksmes saucēju;
- iegūto reizinājumu pievieno skaitītājam;
- rezultāts tiek ierakstīts skaitītājā, saucējs paliek nemainīgs.
Piemērs. Norādiet jaukto skaitli kā nepareizu daļskaitli: 9 8 / 10.
Risinājums. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 ir skaitītājs.
Atbilde: 98 / 10.
Daļskaitļu reizināšana
Ar parastajām daļām var veikt dažādas algebriskas darbības. Lai reizinātu divus skaitļus, jums jāreizina skaitītājs ar skaitītāju un saucējs ar saucēju. Turklāt daļskaitļu reizināšana ar dažādiem saucējiem neatšķiras no daļskaitļu reizināšanas ar vienādiem saucējiem.
Gadās, ka pēc rezultāta atrašanas jums ir jāsamazina daļa. Rezultātā iegūtā izteiksme ir obligāti jāvienkāršo, cik vien iespējams. Protams, nevar teikt, ka nepareizā daļskaitlī atbildē ir kļūda, taču arī to ir grūti nosaukt par pareizu atbildi.
Piemērs. Atrodiet divu parasto daļu reizinājumu: ½ un 20/18.
Kā redzams no piemēra, pēc produkta atrašanas tika iegūts reducējams daļskaitļu apzīmējums. Gan skaitītājs, gan saucējs šajā gadījumā tiek dalīti ar 4, un rezultāts ir atbilde 5/9.
Decimāldaļu reizināšana
Decimāldaļskaitļu reizinājums savā principā krietni atšķiras no parasto daļskaitļu reizinājuma. Tātad daļskaitļu reizināšana ir šāda:
- divas decimāldaļas jāraksta viens zem otra tā, lai galēji labās malas cipari būtu viens zem otra;
- rakstītie skaitļi jāreizina, neskatoties uz komatiem, tas ir, kā naturāli skaitļi;
- saskaitīt ciparu skaitu aiz komata katrā ciparā;
- rezultātā, kas iegūts pēc reizināšanas, no labās puses jāskaita tik daudz ciparu simbolu, kas ir ietverts summā abos faktoros aiz komata, un jāliek atdalošā zīme;
- ja produktā ir mazāk skaitļu, tad tiem priekšā jāraksta tik nulles, lai šis skaitlis aptvertu, jāliek komats un jāpievieno visa daļa, kas vienāda ar nulli.
Piemērs. Aprēķina divu decimāldaļu reizinājumu: 2,25 un 3,6.
Risinājums.
Jaukto frakciju reizināšana
Lai aprēķinātu reizinājumu no diviem jauktas frakcijas, jums jāizmanto kārtula daļskaitļu reizināšanai:
- pārvērst jauktos skaitļus nepareizās daļskaitļos;
- atrast skaitītāju reizinājumu;
- atrast saucēju reizinājumu;
- pierakstiet rezultātu;
- pēc iespējas vienkāršojiet izteicienu.
Piemērs. Atrodiet reizinājumu 4½ un 6 2/5.
Skaitļa reizināšana ar daļskaitli (daļdaļas ar skaitli)
Papildus divu daļskaitļu un jauktu skaitļu reizinājuma atrašanai ir uzdevumi, kuros jāreizina ar daļskaitli.
Tātad, lai atrastu produktu decimālzīme un naturāls skaitlis, jums ir nepieciešams:
- ierakstiet skaitli zem daļskaitļa tā, lai galējie labie cipari būtu viens virs otra;
- atrast preci, neskatoties uz komatu;
- iegūtajā rezultātā atdaliet veselo skaitļu daļu no daļdaļas, izmantojot komatu, no labās puses skaitot ciparu skaitu, kas atrodas aiz komata daļdaļā.
Lai vairotu kopējā frakcija uz skaitli, jums jāatrod skaitītāja un naturālā faktora reizinājums. Ja atbilde rada daļu, kuru var samazināt, tā ir jāpārvērš.
Piemērs. Aprēķiniet reizinājumu no 5/8 un 12.
Risinājums. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Atbilde: 7 1 / 2.
Kā redzat no iepriekšējā piemēra, bija jāsamazina iegūtais rezultāts un jāpārvērš nepareizā daļskaitļa izteiksme jauktā skaitā.
Daļskaitļu reizināšana attiecas arī uz skaitļa jauktā formā un naturālā faktora reizinājuma atrašanu. Lai reizinātu šos divus skaitļus, visa jauktā faktora daļa jāreizina ar skaitli, skaitītājs jāreizina ar to pašu vērtību un saucējs jāatstāj nemainīgs. Ja nepieciešams, jums pēc iespējas jāvienkāršo iegūtais rezultāts.
Piemērs. Atrodiet 9 5/6 un 9 reizinājumu.
Risinājums. 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.
Atbilde: 88 1 / 2.
Reizināšana ar koeficientiem 10, 100, 1000 vai 0,1; 0,01; 0,001
No iepriekšējās rindkopas izriet šāds noteikums. Lai decimāldaļdaļu reizinātu ar 10, 100, 1000, 10 000 utt., decimālpunkts jāpārvieto pa labi par tik cipariem, cik faktorā aiz viena ir nulles.
1. piemērs. Atrodiet reizinājumu no 0,065 un 1000.
Risinājums. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Atbilde: 65.
2. piemērs. Atrodiet reizinājumu no 3,9 un 1000.
Risinājums. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Atbilde: 3900.
Ja nepieciešams reizināt naturālu skaitli un 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 utt., jums ir jāpārvieto komats iegūtajā produktā pa kreisi par tik ciparu rakstzīmēm, cik nulles ir pirms viena. Ja nepieciešams, pirms dabiskais skaitlis Tiek reģistrēts pietiekams skaits nulles.
1. piemērs. Atrodiet reizinājumu no 56 un 0,01.
Risinājums. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Atbilde: 0,56.
2. piemērs. Atrodiet reizinājumu no 4 un 0,001.
Risinājums. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Atbilde: 0,004.
Tātad dažādu frakciju reizinājuma atrašana nedrīkst radīt grūtības, izņemot varbūt rezultāta aprēķināšanu; šajā gadījumā jūs vienkārši nevarat iztikt bez kalkulatora.
Daļskaitļu reizināšana un dalīšana.
Uzmanību!
Ir papildu
materiāli speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas ir ļoti "ne ļoti..."
Un tiem, kas “ļoti…”)
Šī darbība ir daudz jaukāka nekā saskaitīšana-atņemšana! Jo tā ir vieglāk. Atgādinām, ka, lai reizinātu daļu ar daļskaitli, jums jāreizina skaitītāji (tas būs rezultāta skaitītājs) un saucēji (tas būs saucējs). Tas ir:
Piemēram:
Viss ir ārkārtīgi vienkārši. Un lūdzu nemeklēt kopsaucēju! Šeit viņš nav vajadzīgs...
Lai dalītu daļu ar daļskaitli, jums ir jāapgriež otrādi otrais(tas ir svarīgi!) daļu un reiziniet tos, t.i.:
Piemēram:
Ja jūs saskaraties ar reizināšanu vai dalīšanu ar veseliem skaitļiem un daļskaitļiem, tas ir labi. Tāpat kā ar saskaitīšanu, mēs veidojam daļskaitli no vesela skaitļa ar vienu saucējā — un uz priekšu! Piemēram:
Vidusskolā bieži nākas saskarties ar trīsstāvu (vai pat četrstāvu!) daļskaitļiem. Piemēram:
Kā es varu padarīt šo frakciju pienācīgu? Jā, ļoti vienkārši! Izmantojiet divu punktu iedalījumu:
Bet neaizmirstiet par dalīšanas kārtību! Atšķirībā no reizināšanas, tas šeit ir ļoti svarīgi! Protams, nejauksim ne 4:2, ne 2:4. Bet trīsstāvu daļā ir viegli kļūdīties. Lūdzu, ņemiet vērā, piemēram:
Pirmajā gadījumā (izteiksme kreisajā pusē):
Otrajā (izteiksme labajā pusē):
Vai jūtat atšķirību? 4 un 1/9!
Kas nosaka sadalīšanas kārtību? Vai nu ar iekavām, vai (kā šeit) ar horizontālo līniju garumu. Attīstiet savu aci. Un, ja nav iekavu vai domuzīmju, piemēram:
tad dala un reizina secībā, no kreisās puses uz labo!
Un vēl viena ļoti vienkārša un svarīga tehnika. Darbībās ar grādiem tas jums noderēs! Dalīsim vienu ar jebkuru daļskaitli, piemēram, ar 13/15:
Šāviens ir apgriezies! Un tas notiek vienmēr. Dalot 1 ar jebkuru daļskaitli, rezultāts ir tā pati daļa, tikai otrādi.
Tas ir viss operācijām ar daļskaitļiem. Lieta ir diezgan vienkārša, taču tā rada vairāk nekā pietiekami daudz kļūdu. Lūdzu, ņemiet vērā praktiski padomi, un to (kļūdu) būs mazāk!
Praktiski padomi:
1. Pats galvenais, strādājot ar daļskaitļiem, ir precizitāte un vērība! Tie nav vispārīgi vārdi, nevis laba vēlējumi! Tā ir ārkārtēja nepieciešamība! Veiciet visus aprēķinus par vienoto valsts eksāmenu kā pilnvērtīgu uzdevumu, mērķtiecīgu un skaidru. Labāk ir uzrakstīt divas papildu rindiņas melnrakstā, nekā sajaukt, veicot garīgos aprēķinus.
2. Piemēros ar dažādi veidi frakcijas - pārejiet uz parastajām daļām.
3. Mēs samazinām visas frakcijas, līdz tās apstājas.
4. Daudzstāvu daļskaitļu izteiksmes reducēt uz parastajiem, izmantojot dalīšanu pa diviem punktiem (skatīt dalīšanas secību!).
5. Sadaliet vienību ar daļskaitli savā galvā, vienkārši apgriežot daļu.
Šeit ir uzdevumi, kas jums noteikti ir jāizpilda. Atbildes tiek sniegtas pēc visiem uzdevumiem. Izmantojiet materiālus par šo tēmu un praktiskus padomus. Novērtējiet, cik piemēru jūs varējāt pareizi atrisināt. Tieši pirmo reizi! Bez kalkulatora! Un izdari pareizos secinājumus...
Atcerieties - pareizā atbilde ir saņemts no otrās (īpaši trešās) reizes neskaitās! Tāda ir skarbā dzīve.
Tātad, atrisināt eksāmenu režīmā ! Tā, starp citu, jau ir gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam. Atrisinām piemēru, pārbaudām, atrisinām nākamo. Mēs visu izlēmām – vēlreiz pārbaudījām no pirmās līdz pēdējam. Un tikai Tad paskaties atbildes.
Aprēķināt:
Vai esat izlēmuši?
Mēs meklējam atbildes, kas atbilst jums. Es tās apzināti pierakstīju nesakārtoti, prom no kārdinājuma, tā teikt... Lūk, atbildes, rakstītas ar semikolu.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Tagad mēs izdarām secinājumus. Ja viss izdevās, priecājos par jums! Pamata aprēķini ar daļskaitļiem nav jūsu problēma! Var darīt nopietnākas lietas. Ja nē...
Tātad jums ir viena no divām problēmām. Vai abus uzreiz.) Zināšanu trūkums un (vai) neuzmanība. Bet... Šis atrisināms problēmas.
Ja jums patīk šī vietne...
Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)
Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)
Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.
Pēdējo reizi mēs iemācījāmies pievienot un atņemt daļskaitļus (skatiet nodarbību " Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana"). Sarežģītākais brīdis šajās darbībās bija daļu samazināšana līdz kopsaucējs.
Tagad ir pienācis laiks nodarboties ar reizināšanu un dalīšanu. Labā ziņa ir tā, ka šīs darbības ir pat vienkāršākas nekā saskaitīšana un atņemšana. Pirmkārt, apskatīsim vienkāršākais gadījums, ja ir divas pozitīvas daļas bez atdalītas vesela skaitļa daļas.
Lai reizinātu divas daļskaitļus, to skaitītāji un saucēji jāreizina atsevišķi. Pirmais cipars būs jaunās daļas skaitītājs, bet otrais – saucējs.
Lai sadalītu divas daļas, pirmā daļa jāreizina ar “apgriezto” otro daļu.
Apzīmējums:
No definīcijas izriet, ka daļskaitļu dalīšana tiek samazināta līdz reizināšanai. Lai “apgrieztu” daļskaitli, vienkārši samainiet skaitītāju un saucēju. Tāpēc visas nodarbības laikā mēs galvenokārt apsvērsim reizināšanu.
Reizināšanas rezultātā var rasties (un bieži vien arī rodas) reducējama daļa - tā, protams, ir jāsamazina. Ja pēc visiem samazinājumiem daļa izrādās nepareiza, ir jāizceļ visa daļa. Taču tas, kas noteikti nenotiks ar reizināšanu, ir samazinājums līdz kopsaucējam: nav krustenisku metožu, lielākie faktori un mazākie kopējie reizinātāji.
Pēc definīcijas mums ir:
Daļskaitļu reizināšana ar veselām daļām un negatīvajām daļām
Ja daļās ir vesela skaitļa daļa, tās ir jāpārvērš par nepareizām un tikai pēc tam jāreizina saskaņā ar iepriekš aprakstītajām shēmām.
Ja daļskaitļa skaitītājā, saucējā vai tā priekšā ir mīnuss, to var izņemt no reizināšanas vai noņemt pavisam saskaņā ar šādiem noteikumiem:
- Pluss ar mīnusu dod mīnusu;
- Divi negatīvi padara apstiprinošu.
Līdz šim ar šiem noteikumiem ir nācies sastapties tikai negatīvo daļskaitļu saskaitīšanā un atņemšanā, kad bija jāatbrīvojas no visas daļas. Darbam tos var vispārināt, lai vienlaikus “sadedzinātu” vairākus trūkumus:
- Mēs izsvītrojam negatīvus pa pāriem, līdz tie pilnībā izzūd. Ārkārtējos gadījumos var izdzīvot viens mīnuss – tas, kuram nebija biedra;
- Ja mīnusu nav palicis, darbība ir pabeigta - var sākt reizināt. Ja pēdējais mīnuss nav izsvītrots, jo tam nebija pāra, mēs to izņemam ārpus reizināšanas robežām. Rezultāts ir negatīva daļa.
Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Mēs pārvēršam visas daļskaitļus par nepareizajām un pēc tam no reizināšanas izņemam mīnusus. Mēs reizinām to, kas paliek, saskaņā ar parastajiem noteikumiem. Mēs iegūstam:
Vēlreiz atgādināšu, ka mīnuss, kas parādās pirms daļskaitļa ar izceltu veselo daļu, attiecas tieši uz visu daļu, nevis tikai uz visu tās daļu (tas attiecas uz pēdējiem diviem piemēriem).
Pievērsiet uzmanību arī negatīviem skaitļiem: reizinot, tie tiek likti iekavās. Tas tiek darīts, lai atdalītu mīnusus no reizināšanas zīmēm un padarītu visu pierakstu precīzāku.
Frakciju samazināšana lidojuma laikā
Reizināšana ir ļoti darbietilpīga darbība. Skaitļi šeit izrādās diezgan lieli, un, lai vienkāršotu problēmu, varat mēģināt vēl vairāk samazināt daļu pirms reizināšanas. Patiešām, būtībā daļskaitļu skaitītāji un saucēji ir parastie faktori, un tāpēc tos var samazināt, izmantojot daļskaitļa pamatīpašību. Apskatiet piemērus:
Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Pēc definīcijas mums ir:
Visos piemēros samazinātie skaitļi un pāri palikušie ir atzīmēti ar sarkanu krāsu.
Lūdzu, ņemiet vērā: pirmajā gadījumā reizinātāji tika pilnībā samazināti. To vietā paliek vienības, kuras, vispārīgi runājot, nav jāraksta. Otrajā piemērā pilnīga samazināšana To panākt nebija iespējams, taču kopējais aprēķinu apjoms tomēr samazinājās.
Tomēr nekad neizmantojiet šo paņēmienu, saskaitot un atņemot daļskaitļus! Jā, dažreiz ir līdzīgi skaitļi, kurus jūs vienkārši vēlaties samazināt. Lūk, paskaties:
Jūs to nevarat darīt!
Kļūda rodas tāpēc, ka, saskaitot, daļskaitļa skaitītājs rada summu, nevis skaitļu reizinājumu. Līdz ar to nav iespējams piemērot daļskaitļa pamatīpašību, jo šī īpašība attiecas tieši uz skaitļu reizināšanu.
Vienkārši nav citu iemeslu frakciju samazināšanai, tāpēc pareizais lēmums Iepriekšējais uzdevums izskatās šādi:
Pareizs risinājums:
Kā redzat, pareizā atbilde izrādījās ne tik skaista. Kopumā esiet uzmanīgi.