Matemātika radās, kad cilvēks apzinājās sevi un sāka pozicionēt sevi kā autonomu pasaules vienību. Vēlme izmērīt, salīdzināt, saskaitīt to, kas jūs ieskauj, ir viens no tiem pamata zinātnes mūsu dienas. Sākumā tās bija elementārās matemātikas daļiņas, kas ļāva skaitļus savienot ar to fiziskajām izteiksmēm, vēlāk secinājumus sāka pasniegt tikai teorētiski (to abstraktuma dēļ), bet pēc kāda laika, kā izteicās viens zinātnieks, “ matemātika sasniedza sarežģītības griestus, kad no tās pazuda visi skaitļi. Jēdziens “kvadrātsakne” parādījās laikā, kad to varēja viegli pamatot ar empīriskiem datiem, kas pārsniedz aprēķinu plānu.
Kur tas viss sākās
Pirmā saknes pieminēšana, kas ir šobrīd apzīmēts kā √, tika ierakstīts Babilonijas matemātiķu darbos, kuri lika pamatus mūsdienu aritmētikai. Protams, tiem bija maz līdzības ar pašreizējo formu - to gadu zinātnieki vispirms izmantoja lielgabarīta tabletes. Bet otrajā tūkstošgadē pirms mūsu ēras. e. Viņi atvasināja aptuvenu aprēķina formulu, kas parādīja, kā iegūt kvadrātsakni. Zemāk esošajā fotoattēlā redzams akmens, uz kura Babilonijas zinātnieki izkaluši √2 atsecināšanas procesu, un tas izrādījās tik pareizs, ka neatbilstība atbildē tika konstatēta tikai desmitajā zīmē aiz komata.
Turklāt sakne tika izmantota, ja bija nepieciešams atrast trijstūra malu, ja ir zināmas pārējās divas. Nu, risinot kvadrātvienādojumus, nav iespējams izvairīties no saknes iegūšanas.
Paralēli babiloniešu darbiem raksta objekts tika pētīts arī ķīniešu darbā “Matemātika deviņās grāmatās”, un senie grieķi nonāca pie secinājuma, ka jebkurš skaitlis, no kura sakni nevar izvilkt bez atlikuma, dod neracionālu rezultātu. .
Šī termina izcelsme ir saistīta ar skaitļa attēlojumu arābu valodā: senie zinātnieki uzskatīja, ka patvaļīga skaitļa kvadrāts izaug no saknes, tāpat kā augs. Latīņu valodā šis vārds izklausās kā radix (jūs varat izsekot modelim - viss, kam ir “saknes” nozīme, ir līdzskaņi, vai tas būtu redīsi vai radikulīts).
Nākamo paaudžu zinātnieki izvēlējās šo ideju, apzīmējot to kā Rx. Piemēram, 15. gadsimtā, lai norādītu, ka ir ņemta patvaļīga skaitļa a kvadrātsakne, viņi rakstīja R 2 a. Mūsdienu acīm pazīstamā “ērce” parādījās tikai 17. gadsimtā, pateicoties Renē Dekartam.
Mūsu dienas
Matemātiskā izteiksmē skaitļa y kvadrātsakne ir skaitlis z, kura kvadrāts ir vienāds ar y. Citiem vārdiem sakot, z 2 =y ir ekvivalents √y=z. Tomēr šī definīcija attiecas tikai uz aritmētisko sakni, jo tas nozīmē izteiksmes nenegatīvu vērtību. Citiem vārdiem sakot, √y=z, kur z ir lielāks vai vienāds ar 0.
Kopumā, kas attiecas uz algebriskās saknes noteikšanu, izteiksmes vērtība var būt pozitīva vai negatīva. Tādējādi, pateicoties tam, ka z 2 =y un (-z) 2 =y, mums ir: √y=±z vai √y=|z|.
Tā kā, attīstoties zinātnei, mīlestība pret matemātiku ir tikai pieaugusi, ir dažādas pieķeršanās izpausmes pret to, kas nav izteiktas sausos aprēķinos. Piemēram, līdzās tādām interesantām parādībām kā Pī diena tiek svinēti arī kvadrātsaknes svētki. Tos svin deviņas reizes ik pēc simts gadiem, un tos nosaka pēc šāda principa: cipariem, kas secībā norāda dienu un mēnesi, jābūt gada kvadrātsaknei. Tātad nākamreiz šos svētkus svinēsim 2016. gada 4. aprīlī.
Kvadrātsaknes īpašības uz lauka R
Gandrīz visas matemātiskās izteiksmes ir balstītas uz ģeometriskais pamats, šis liktenis neizbēga no √y, kas tiek definēts kā kvadrāta mala ar laukumu y.
Kā atrast skaitļa sakni?
Ir vairāki aprēķinu algoritmi. Vienkāršākais, bet tajā pašā laikā diezgan apgrūtinošs ir parastais aritmētiskais aprēķins, kas ir šāds:
1) no skaitļa, kura sakne mums ir vajadzīga, pēc kārtas tiek atņemti nepāra skaitļi - līdz izejā esošais atlikums ir mazāks par atņemto vai pat vienāds ar nulli. Kustību skaits galu galā kļūs par vēlamo skaitli. Piemēram, aprēķinot kvadrātsakne no 25:
Sekošana nepāra skaitlis- tas ir 11, atlikums ir šāds: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
Šādiem gadījumiem ir Taylor sērijas paplašinājums:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kur n ņem vērtības no 0 līdz
+∞ un |y|≤1.
Funkcijas z=√y grafiskais attēlojums
Aplūkosim elementāro funkciju z=√y reālo skaitļu laukā R, kur y ir lielāks par nulli vai vienāds ar to. Tās grafiks izskatās šādi:
Līkne aug no sākuma un noteikti šķērso punktu (1; 1).
Funkcijas z=√y īpašības reālo skaitļu laukā R
1. Aplūkojamās funkcijas definīcijas apgabals ir intervāls no nulles līdz plus bezgalībai (nulle ir iekļauta).
2. Aplūkojamās funkcijas vērtību diapazons ir intervāls no nulles līdz plus bezgalībai (nulle atkal ir iekļauta).
3. Funkcija iegūst savu minimālo vērtību (0) tikai punktā (0; 0). Maksimālās vērtības nav.
4. Funkcija z=√y nav ne pāra, ne nepāra.
5. Funkcija z=√y nav periodiska.
6. Funkcijas z=√y grafikam ir tikai viens krustpunkts ar koordinātu asīm: (0; 0).
7. Funkcijas z=√y grafika krustpunkts ir arī šīs funkcijas nulle.
8. Funkcija z=√y nepārtraukti pieaug.
9. Funkcijai z=√y ir tikai pozitīvas vērtības, tāpēc tās grafiks aizņem pirmo koordinātu leņķi.
Funkcijas z=√y parādīšanas iespējas
Matemātikā, lai atvieglotu sarežģītu izteiksmju aprēķināšanu, dažreiz tiek izmantota kvadrātsaknes rakstīšanas pakāpju forma: √y=y 1/2. Šī opcija ir ērta, piemēram, paaugstinot funkciju līdz pakāpei: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Šī metode ir arī labs attēlojums diferenciācijai ar integrāciju, jo, pateicoties tai, kvadrātsakne tiek attēlota kā parasta jaudas funkcija.
Un programmēšanā simbola √ aizstāšana ir burtu kombinācija sqrt.
Ir vērts atzīmēt, ka šajā jomā kvadrātsakne ir ļoti pieprasīta, jo tā ir daļa no vairuma aprēķiniem nepieciešamo ģeometrisko formulu. Pats skaitīšanas algoritms ir diezgan sarežģīts un ir balstīts uz rekursiju (funkciju, kas izsauc sevi).
Kvadrātsakne kompleksajā laukā C
Kopumā šī raksta tēma stimulēja komplekso skaitļu lauka C atklāšanu, jo matemātiķus vajāja jautājums par negatīva skaitļa pāra saknes iegūšanu. Tā radās iedomātā vienība i, kurai raksturīga ļoti interesanta īpašība: tās kvadrāts ir -1. Pateicoties tam, kvadrātvienādojumi tika atrisināti pat ar negatīvu diskriminantu. C valodā kvadrātsaknei ir svarīgas tādas pašas īpašības kā R, vienīgais ir tas, ka tiek noņemti radikālas izteiksmes ierobežojumi.
Norādījumi
Izvēlieties koeficientu radikālajam skaitlim, kura noņemšana no apakšas sakne tiešām ir izteiciens - pretējā gadījumā darbība zaudēs . Piemēram, ja zem zīmes sakne ar eksponentu, kas vienāds ar trīs (kuba sakne), tas maksā numuru 128, tad no zem zīmes var izņemt piem. numuru 5. Tajā pašā laikā radikālis numuru 128 būs jādala ar 5 kubiem: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Ja daļskaitļa klātbūtne zem zīmes sakne nav pretrunā ar problēmas nosacījumiem, tad tas ir iespējams šādā formā. Ja jums nepieciešama vienkāršāka opcija, tad vispirms sadaliet radikālo izteiksmi tādos veselos skaitļos, no kuriem viena kuba sakne būs vesels skaitlis numuru m. Piemēram: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.
Izmantojiet, lai atlasītu radikāla skaitļa faktorus, ja nav iespējams aprēķināt skaitļa pakāpju galvā. Tas jo īpaši attiecas uz sakne m ar eksponentu, kas lielāks par diviem. Ja jums ir piekļuve internetam, varat veikt aprēķinus, izmantojot Google un Nigma meklētājprogrammās iebūvētos kalkulatorus. Piemēram, ja jāatrod lielākais veselā skaitļa koeficients, ko var izņemt zem kubiskās zīmes sakne numuram 250, pēc tam dodieties uz Google vietni un ievadiet vaicājumu “6^3”, lai pārbaudītu, vai to ir iespējams noņemt no zīmes. sakne seši. Meklētājprogramma parādīs rezultātu, kas vienāds ar 216. Diemžēl 250 nevar dalīt bez atlikuma ar šo numuru. Pēc tam ievadiet vaicājumu 5^3. Rezultāts būs 125, un tas ļauj sadalīt 250 koeficientos 125 un 2, kas nozīmē to izņemt no zīmes sakne numuru 5, atstājot no turienes numuru 2.
Avoti:
- kā to dabūt ārā no sakņu apakšas
- Produkta kvadrātsakne
Izņemiet to no apakšas sakne viens no faktoriem ir nepieciešams situācijās, kad jāvienkāršo matemātiskā izteiksme. Ir reizes, kad nav iespējams veikt nepieciešamos aprēķinus, izmantojot kalkulatoru. Piemēram, ja ciparu vietā izmanto mainīgo lielumu burtu apzīmējumus.
Norādījumi
Sadaliet radikālo izteiksmi vienkāršos faktoros. Skatiet, kurš no faktoriem atkārtojas tikpat reižu, kā norādīts rādītājos sakne, vai vairāk. Piemēram, jums ir jāņem a ceturtā sakne. Šajā gadījumā skaitli var attēlot kā a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. Indikators saknešajā gadījumā tas atbilst faktors a3. Tas ir jāizņem no zīmes.
Ja iespējams, iegūto radikāļu sakni ekstrahējiet atsevišķi. Ekstrakcija sakne ir algebriskā darbība, kas ir apgriezta eksponenciālai. Ekstrakcija sakne no patvaļīgas pakāpes atrodiet skaitli no skaitļa, kuru palielinot līdz šai patvaļīgajai pakāpei, iegūstiet doto skaitli. Ja ekstrakcija sakne nevar ražot, atstājiet radikālu izteiksmi zem zīmes sakne tieši tā, kā tas ir. Iepriekš minēto darbību rezultātā jūs tiksit noņemts no apakšas zīme sakne.
Video par tēmu
Lūdzu, ņemiet vērā
Esiet piesardzīgs, rakstot radikālas izteiksmes faktoru veidā - kļūda šajā posmā radīs nepareizus rezultātus.
Noderīgs padoms
Iegūstot saknes, ir ērti izmantot īpašas tabulas vai logaritmisko sakņu tabulas - tas ievērojami samazinās laiku, kas nepieciešams pareizā risinājuma atrašanai.
Avoti:
- sakņu ekstrakcijas zīme 2019. gadā
Algebrisko izteiksmju vienkāršošana ir nepieciešama daudzās matemātikas jomās, tostarp augstākās kārtas vienādojumu risināšanā, diferencēšanā un integrācijā. Tiek izmantotas vairākas metodes, tostarp faktorizēšana. Lai izmantotu šo metodi, jums ir jāatrod un jāizveido vispārīgs faktors priekš iekavās.
Norādījumi
Kopējā reizinātāja veikšana iekavās- viena no visizplatītākajām sadalīšanās metodēm. Šo paņēmienu izmanto, lai vienkāršotu garo algebrisko izteiksmju struktūru, t.i. polinomi. Vispārējais skaitlis var būt skaitlis, monomāls vai binoms, un, lai to atrastu, tiek izmantota reizināšanas sadales īpašība.
Skaitlis uzmanīgi apskatiet katra polinoma koeficientus, lai redzētu, vai tos var dalīt ar vienu un to pašu skaitli. Piemēram, izteiksmē 12 z³ + 16 z² – 4 tas ir acīmredzami faktors 4. Pēc pārveidošanas jūs iegūstat 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Citiem vārdiem sakot, šis skaitlis ir vismazāk izplatītais visu koeficientu veselo skaitļu dalītājs.
Monomiāls Nosakiet, vai katrā no polinoma nosacījumiem ir viens un tas pats mainīgais. Pieņemot, ka tas tā ir, tagad aplūkojiet koeficientus tāpat kā iepriekšējā gadījumā. Piemērs: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.
Katrs šī polinoma elements satur mainīgo z. Turklāt visi koeficienti ir skaitļi, kas ir 3 reizinātāji. Tāpēc kopējais koeficients būs monomāls 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z – 1).
Binomiāls.Par iekavāsģenerālis faktors no divi, mainīgais un skaitlis, kas ir kopīgs polinoms. Tāpēc, ja faktors-binomiāls nav acīmredzams, tad jāatrod vismaz viena sakne. Izvēlieties polinoma brīvo terminu, tas ir koeficients bez mainīgā. Tagad izmantojiet aizvietošanas metodi visu brīvā vārda veselo skaitļu dalītāju vispārīgajā izteiksmē.
Apsveriet: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Pārbaudiet, vai kāds no veseliem skaitļu faktoriem 4 ir z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Ar vienkāršu aizstāšanu atrodiet z1. = 1 un z2 = 2, kas nozīmē par iekavās mēs varam noņemt binomiālus (z - 1) un (z - 2). Lai atrastu atlikušo izteiksmi, izmantojiet secīgu garo dalījumu.
Risinot dažādus uzdevumus no matemātikas un fizikas kursa, skolēni un studenti bieži saskaras ar nepieciešamību izvilkt otrās, trešās vai n-tās pakāpes saknes. Protams, informācijas tehnoloģiju laikmetā šādu problēmu nebūs grūti atrisināt, izmantojot kalkulatoru. Tomēr rodas situācijas, kad elektronisko palīgu nav iespējams izmantot.
Piemēram, daudzi eksāmeni neļauj ņemt līdzi elektroniku. Turklāt jums var nebūt pie rokas kalkulatora. Šādos gadījumos ir lietderīgi zināt vismaz dažas metodes radikāļu manuālai aprēķināšanai.
Viens no vienkāršākajiem veidiem, kā aprēķināt saknes, ir izmantojot īpašu tabulu. Kas tas ir un kā to pareizi lietot?
Izmantojot tabulu, varat atrast jebkura skaitļa kvadrātu no 10 līdz 99. Tabulas rindās ir desmitu vērtības, bet kolonnās ir vienību vērtības. Šūnā rindas un kolonnas krustpunktā ir divciparu skaitļa kvadrāts. Lai aprēķinātu kvadrātu 63, jāatrod rinda ar vērtību 6 un kolonna ar vērtību 3. Krustojumā atradīsim šūnu ar skaitli 3969.
Tā kā saknes izvilkšana ir kvadrātēšanas apgrieztā darbība, lai veiktu šo darbību, ir jārīkojas pretēji: vispirms jāatrod šūna ar skaitli, kuras radikāli vēlaties aprēķināt, pēc tam izmantojiet kolonnas un rindas vērtības, lai noteiktu atbildi. . Piemēram, apsveriet iespēju aprēķināt kvadrātsakni no 169.
Tabulā atrodam šūnu ar šo skaitli, horizontāli nosakām desmitniekus - 1, vertikāli atrodam vienības - 3. Atbilde: √169 = 13.
Līdzīgi varat aprēķināt kuba un n-tās saknes, izmantojot atbilstošās tabulas.
Metodes priekšrocība ir tās vienkāršība un papildu aprēķinu trūkums. Trūkumi ir acīmredzami: metodi var izmantot tikai ierobežotam skaitļu diapazonam (skaitlim, kuram tiek atrasta sakne, jābūt diapazonā no 100 līdz 9801). Turklāt tas nedarbosies, ja norādītais numurs nav tabulā.
Galvenā faktorizācija
Ja kvadrātu tabula nav pie rokas vai izrādījās neiespējami atrast sakni ar tās palīdzību, varat mēģināt aprēķina skaitli zem saknes primārajos faktoros. Galvenie faktori ir tie, kas pilnībā (bez atlikuma) var dalīties tikai ar sevi vai ar vienu. Piemēri varētu būt 2, 3, 5, 7, 11, 13 utt.
Apskatīsim saknes aprēķināšanu, kā piemēru izmantojot √576. Sadalīsim to galvenajos faktoros. Mēs iegūstam šādu rezultātu: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Izmantojot sakņu pamatīpašību √a² = a, mēs atbrīvosimies no saknēm un kvadrātiem un pēc tam aprēķināsim atbildi: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.
Ko darīt, ja kādam no reizinātājiem nav sava pāra? Piemēram, apsveriet √54 aprēķinu. Pēc faktorizācijas mēs iegūstam rezultātu šādā formā: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Nenoņemamo daļu var atstāt zem saknes. Lielākajai daļai ģeometrijas un algebras problēmu tā tiks uzskatīta par galīgo atbildi. Bet, ja ir nepieciešams aprēķināt aptuvenās vērtības, varat izmantot metodes, kas tiks apspriestas tālāk.
Herona metode
Ko darīt, ja jums vismaz aptuveni jāzina, ar ko ir vienāda izvilktā sakne (ja nav iespējams iegūt veselu skaitli)? Ātru un diezgan precīzu rezultātu iegūst, izmantojot Herona metodi. Tās būtība ir izmantot aptuvenu formulu:
√R = √a + (R - a) / 2√a,
kur R ir skaitlis, kura sakne ir jāaprēķina, a ir tuvākais skaitlis, kura saknes vērtība ir zināma.
Apskatīsim, kā metode darbojas praksē, un novērtēsim, cik tā ir precīza. Aprēķināsim, ar ko √111 ir vienāds. Skaitlim 111 tuvākais skaitlis, kura sakne ir zināma, ir 121. Tādējādi R = 111, a = 121. Aizvietojiet vērtības formulā:
√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.
Tagad pārbaudīsim metodes precizitāti:
10,55² = 111,3025.
Metodes kļūda bija aptuveni 0,3. Ja metodes precizitāte ir jāuzlabo, varat atkārtot iepriekš aprakstītās darbības:
√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.
Pārbaudīsim aprēķina precizitāti:
10,536² = 111,0073.
Pēc formulas atkārtotas pielietošanas kļūda kļuva pavisam nenozīmīga.
Saknes aprēķināšana ar garo dalīšanu
Šī kvadrātsaknes vērtības noteikšanas metode ir nedaudz sarežģītāka nekā iepriekšējās. Tomēr tā ir visprecīzākā starp citām aprēķina metodēm bez kalkulatora.
Pieņemsim, ka jums ir jāatrod kvadrātsakne ar precizitāti līdz 4 cipariem aiz komata. Analizēsim aprēķina algoritmu, izmantojot patvaļīga skaitļa 1308.1912 piemēru.
- Sadaliet papīra lapu 2 daļās ar vertikālu līniju un pēc tam novelciet vēl vienu līniju pa labi, nedaudz zem augšējās malas. Kreisajā pusē rakstīsim skaitli, sadalot to grupās pa 2 cipariem, virzoties pa labi un pa kreisi no komata. Pats pirmais cipars kreisajā pusē var būt bez pāra. Ja cipara labajā pusē trūkst zīmes, tad jāpievieno 0. Mūsu gadījumā rezultāts būs 13 08.19 12.
- Atlasīsim lielāko skaitli, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar pirmo ciparu grupu. Mūsu gadījumā tas ir 3. Rakstīsim to augšējā labajā stūrī; 3 ir rezultāta pirmais cipars. Apakšējā labajā pusē mēs norādām 3 × 3 = 9; tas būs nepieciešams turpmākajiem aprēķiniem. No 13 kolonnā mēs atņemam 9, mēs iegūstam atlikumu 4.
- Piešķirsim nākamo skaitļu pāri atlikumam 4; mēs saņemam 408.
- Augšējā labajā pusē esošo skaitli reiziniet ar 2 un pierakstiet to apakšējā labajā stūrī, pievienojot tam _ x _ =. Mēs iegūstam 6_ x _ =.
- Domuzīmju vietā jāaizstāj ar to pašu skaitli, kas ir mazāks vai vienāds ar 408. Iegūstam 66 × 6 = 396. Mēs rakstām 6 no augšējās labās puses, jo tas ir rezultāta otrais cipars. No 408 atņemiet 396, iegūstam 12.
- Atkārtosim 3.–6. darbību. Tā kā uz leju pārvietotie cipari atrodas skaitļa daļējā daļā, augšpusē pa labi aiz 6 ir jānoliek komata. Pierakstīsim dubulto rezultātu ar domuzīmēm: 72_ x _ =. Piemērots skaitlis būtu 1: 721×1 = 721. Pierakstīsim to kā atbildi. Atņemsim 1219 - 721 = 498.
- Iepriekšējā rindkopā doto darbību secību izpildīsim vēl trīs reizes, lai iegūtu vajadzīgo zīmju skaitu aiz komata. Ja turpmākajiem aprēķiniem nav pietiekami daudz rakstzīmju, pašreizējam skaitlim kreisajā pusē jāpievieno divas nulles.
Rezultātā mēs saņemam atbildi: √1308.1912 ≈ 36.1689. Ja pārbaudāt darbību, izmantojot kalkulatoru, varat pārliecināties, vai visas zīmes ir identificētas pareizi.
Bitu kvadrātsaknes aprēķins
Metode ir ļoti precīza. Turklāt tas ir diezgan saprotams un neprasa iegaumēt formulas vai sarežģītu darbību algoritmu, jo metodes būtība ir izvēlēties pareizo rezultātu.
Izvilksim skaitļa 781 sakni. Sīkāk apskatīsim darbību secību.
- Noskaidrosim, kurš kvadrātsaknes vērtības cipars būs visnozīmīgākais. Lai to izdarītu, saliksim kvadrātā 0, 10, 100, 1000 utt. un noskaidrosim, starp kuriem no tiem atrodas radikālais skaitlis. Mēs iegūstam 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
- Izvēlēsimies desmitnieku vērtību. Lai to izdarītu, mēs pēc kārtas palielināsim ar pakāpēm 10, 20, ..., 90, līdz iegūstam skaitli, kas ir lielāks par 781. Mūsu gadījumā mēs iegūstam 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. rezultāta n vērtība būs 20 robežās< n <30.
- Līdzīgi kā iepriekšējā darbībā, tiek atlasīta vienību cipara vērtība. Kvadrātēsim 21,22, ..., 29 pa vienam: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28. Mēs iegūstam, ka 7824.²< n < 28.
- Katrs nākamais cipars (desmitdaļas, simtdaļas utt.) tiek aprēķināts tādā pašā veidā, kā parādīts iepriekš. Aprēķini tiek veikti, līdz tiek sasniegta nepieciešamā precizitāte.
Ir vairākas metodes kvadrātsaknes aprēķināšanai bez kalkulatora.
Kā atrast skaitļa sakni - 1 veids
- Viena no metodēm ir skaitļa noteikšana zem saknes. Šīs sastāvdaļas, reizinot, veido radikālu vērtību. Rezultāta precizitāte ir atkarīga no skaitļa zem saknes.
- Piemēram, ja ņemat skaitli 1600 un sākat to aprēķināt, pamatojums tiks strukturēts šādi: šis skaitlis ir 100 reizinājums, kas nozīmē, ka to var dalīt ar 25; tā kā tiek ņemta skaitļa 25 sakne, skaitlis ir kvadrātveida un piemērots turpmākiem aprēķiniem; dalot, iegūstam vēl vienu skaitli - 64. Arī šis skaitlis ir kvadrāts, tāpēc sakni var labi izvilkt; Pēc šiem aprēķiniem zem saknes varat ierakstīt skaitli 1600 kā 25 un 64 reizinājumu.
- Viens no saknes iegūšanas noteikumiem nosaka, ka faktoru reizinājuma sakne ir vienāda ar skaitli, kas iegūts, reizinot katra faktora saknes. Tas nozīmē, ka: √(25*64) = √25 * √64. Ja mēs ņemam saknes no 25 un 64, mēs iegūstam šādu izteiksmi: 5 * 8 = 40. Tas ir, skaitļa 1600 kvadrātsakne ir 40.
- Bet gadās, ka skaitli zem saknes nevar sadalīt divos faktoros, no kuriem tiek iegūta visa sakne. Parasti to var izdarīt tikai vienam no reizinātājiem. Tāpēc visbiežāk šādā vienādojumā nav iespējams atrast absolūti precīzu atbildi.
- Šajā gadījumā var aprēķināt tikai aptuvenu vērtību. Tāpēc jums ir jāņem reizinātāja sakne, kas ir kvadrātveida skaitlis. Pēc tam šo vērtību reizina ar otrā skaitļa sakni, kas nav vienādojuma kvadrāts.
- Tas izskatās šādi, piemēram, ņemsim skaitli 320. To var sadalīt 64 un 5. Jūs varat iegūt visu sakni no 64, bet ne no 5. Tāpēc izteiksme izskatīsies šādi: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
- Ja nepieciešams, šī rezultāta aptuveno vērtību var atrast, aprēķinot
√5 ≈ 2,236, tāpēc √320 = 8 * 2,236 = 17,88 ≈ 18. - Arī skaitli zem saknes var sadalīt vairākos pirmfaktoros, un tos pašus var izņemt no tā. Piemērs: √75 = √(5*5*3) = 5√3 ≈ 8,66 ≈ 9.
Kā atrast skaitļa sakni - 2. metode
- Vēl viens veids ir veikt garo dalīšanu. Sadalīšana notiek līdzīgi, bet jums vienkārši jāmeklē kvadrātveida skaitļi, no kuriem pēc tam varat iegūt sakni.
- Šajā gadījumā mēs uzrakstām kvadrātveida skaitli augšpusē un atņemam to kreisajā pusē, bet izvilkto sakni no apakšas.
- Tagad otrā vērtība ir jāpalielina un jāraksta no apakšējās labās puses šādā formā: skaitlis_x_=. Atstarpes jāaizpilda ar skaitli, kas ir mazāks vai vienāds ar nepieciešamo vērtību kreisajā pusē - tāpat kā parastajā dalījumā.
- Ja nepieciešams, šo rezultātu atkal atņem no kreisās puses. Šādi aprēķini turpinās, līdz tiek sasniegts rezultāts. Varat arī pievienot nulles, līdz sasniedzat vajadzīgo zīmju skaitu aiz komata.
Vai vēlaties labi nokārtot vienoto valsts eksāmenu matemātikā? Tad jāprot saskaitīt ātri, pareizi un bez kalkulatora. Galu galā galvenais iemesls, kāpēc tiek zaudēti punkti vienotajā valsts eksāmenā matemātikā, ir skaitļošanas kļūdas.
Saskaņā ar Vienotā valsts eksāmena noteikumiem matemātikas eksāmena laikā ir aizliegts izmantot kalkulatoru. Cena var būt pārāk augsta - noņemšana no eksāmena.
Patiesībā jums nav nepieciešams kalkulators vienotajam valsts eksāmenam matemātikā. Visas problēmas tiek atrisinātas bez tā. Galvenais ir uzmanība, precizitāte un daži slepenie paņēmieni, par kuriem mēs jums pastāstīsim.
Sāksim ar galveno noteikumu. Ja aprēķinu var vienkāršot, vienkāršojiet to.
Šeit, piemēram, ir “velnišķīgais vienādojums”:
Septiņdesmit procenti absolventu to risina tiešā veidā. Viņi aprēķina diskriminantu, izmantojot formulu, pēc kuras viņi saka, ka sakni nevar iegūt bez kalkulatora. Bet jūs varat dalīt vienādojuma kreiso un labo pusi ar . Tas izdosies
Kurš veids ir vieglāks? :-)
Daudziem skolēniem nepatīk kolonnu reizināšana. Ceturtajā klasē nevienam nepatika risināt garlaicīgus “piemērus”. Tomēr daudzos gadījumos ir iespējams reizināt skaitļus bez “kolonnas”, pēc kārtas. Tas ir daudz ātrāk.
Lūdzu, ņemiet vērā, ka mēs nesākam ar mazākiem cipariem, bet ar lielākiem. Tas ir ērti.
Tagad - sadalīšana. Nav viegli sadalīt “kolonnā” ar . Bet atcerieties, ka dalījuma zīme: un daļskaitļu josla ir viens un tas pats. Rakstīsim to kā daļskaitli un samazinām daļu:
Vēl viens piemērs.
Kā ātri un bez kolonnām kvadrātā ievilkt divciparu skaitli? Mēs izmantojam saīsinātas reizināšanas formulas:
Dažreiz ir ērti izmantot citu formulu:
Skaitļi, kas beidzas ar , tiek nekavējoties izlikti kvadrātā.
Pieņemsim, ka mums jāatrod skaitļa kvadrāts ( - ne vienmēr skaitlis, bet jebkurš naturāls skaitlis). Mēs reizinām ar un pievienojam rezultātam. Visi!
Piemēram: (un attiecināts).
(un attiecināts).
(un attiecināts).
Šī metode ir noderīga ne tikai kvadrātveida noteikšanai, bet arī kvadrātsaknes iegūšanai no skaitļiem, kas beidzas ar .
Kā jūs pat varat iegūt kvadrātsakni bez kalkulatora? Mēs jums parādīsim divus veidus.
Pirmā metode ir radikālās izteiksmes faktorizācija.
Piemēram, atradīsim
Skaitlis dalās ar (jo tā ciparu summa dalās ar ). Faktorizēsim:
Atradīsim. Šis skaitlis dalās ar. Tas ir arī sadalīts ar. Izvērtēsim to.
Vēl viens piemērs.
Ir otrs veids. Tas ir ērti, ja numuru, no kura jāizņem sakne, nevar faktorizēt.
Piemēram, jums ir jāatrod . Skaitlis zem saknes ir nepāra, nedalās ar, nedalās ar, nedalās ar... Var turpināt meklēt, ar ko tas dalās, vai arī var izdarīt vienkāršāk - atrast šo sakni pēc atlases .
Acīmredzot kvadrātā tika izlikts divciparu skaitlis, kas atrodas starp skaitļiem un , jo , , un skaitlis ir starp tiem. Mēs jau zinām pirmo atbildes ciparu, tas ir .
Skaitļa pēdējais cipars ir . Tā kā , pēdējais cipars atbildē ir vai nu , vai . Pārbaudīsim:
. Tas izdevās!
Atradīsim.
Tas nozīmē, ka atbildes pirmais cipars ir pieci.
Skaitļa pēdējais cipars ir deviņi. , . Tas nozīmē, ka atbildes pēdējais cipars ir vai nu , vai .
Pārbaudīsim:
Ja skaitlis, no kura jāizņem kvadrātsakne, beidzas ar vai, tad tā kvadrātsakne būs iracionāls skaitlis. Tā kā neviens vesels skaitlis nebeidzas ar vai . Atcerieties, ka dažās matemātikas vienotā valsts eksāmena uzdevumos atbilde ir jāraksta kā vesels skaitlis vai pēdējā decimāldaļdaļa, tas ir, tam jābūt racionālam skaitlim.
Ar kvadrātvienādojumiem sastopamies vienotā valsts eksāmena uzdevumos un variantos, kā arī daļās. Viņiem ir jāsaskaita diskriminants un pēc tam jāizņem no tā sakne. Un nemaz nav nepieciešams meklēt saknes no piecciparu skaitļiem. Daudzos gadījumos diskriminantu var faktorizēt.
Piemēram, vienādojumā.
Cita situācija, kurā izteiksmi zem saknes var faktorizēt, tiek ņemta no problēmas.
Taisnstūra trīsstūra hipotenūza ir vienāda ar , Viena no kājām ir vienāda ar , Atrodi otro kāju.
Saskaņā ar Pitagora teorēmu tas ir vienāds ar . Jūs varat skaitīt kolonnā ilgu laiku, bet vieglāk ir izmantot saīsināto reizināšanas formulu.
Un tagad mēs jums pateiksim interesantāko lietu - kāpēc absolventi zaudē vērtīgos punktus vienotajā valsts eksāmenā. Galu galā kļūdas aprēķinos nerodas vienkārši.
1. Drošs veids, kā zaudēt punktus, ir pavirši aprēķini, kuros kaut kas tiek labots, izsvītrots vai uzrakstīts viens cipars otram. Apskatiet savus melnrakstus. Varbūt viņi izskatās vienādi? :-)
Raksti salasāmi! Netaupiet papīru. Ja kaut kas nav kārtībā, nelabojiet vienu ciparu pret otru, labāk rakstīt vēlreiz.
2. Nez kāpēc daudzi skolēni, skaitot kolonnā, mēģina to izdarīt 1) ļoti, ļoti ātri, 2) ļoti mazā skaitā, piezīmju grāmatiņas stūrī un 3) ar zīmuli. Rezultāts ir šāds:
Nav iespējams kaut ko izjaukt. Vai tas ir pārsteigums, ka vienotā valsts eksāmena rezultāts ir zemāks par gaidīto?
3. Daudzi skolēni izteicienos ir pieraduši ignorēt iekavas. Dažreiz tas notiek:
Atcerieties, ka vienādības zīme nav novietota tikai jebkurā vietā, bet tikai starp vienādām vērtībām. Rakstiet kompetenti, pat melnraksta formā.
4. Liels skaits skaitļošanas kļūdu ir saistītas ar daļskaitļiem. Ja dalāt daļu ar daļskaitli, izmantojiet ko
Šeit tiek uzzīmēts “hamburgers”, tas ir, daudzstāvu daļa. Izmantojot šo metodi, ir ārkārtīgi grūti iegūt pareizo atbildi.
Apkoposim.
Profila Vienotais valsts pārbaudījums matemātikā pirmās daļas uzdevumu pārbaude notiek automātiski. Šeit nav "gandrīz pareizas" atbildes. Vai nu viņam ir taisnība, vai arī nav. Viena skaitļošanas kļūda - un sveiki, uzdevums neskaitās. Tāpēc jūsu interesēs ir iemācīties skaitīt ātri, pareizi un bez kalkulatora.
Profila Vienotais valsts pārbaudījums matemātikā otrās daļas uzdevumus pārbauda eksperts. Parūpējies par viņu! Ļaujiet viņam saprast gan jūsu rokrakstu, gan lēmuma loģiku.