Norādījumi
Pierakstiet doto logaritmiskā izteiksme. Ja izteiksmē tiek izmantots 10 logaritms, tad tā apzīmējums tiek saīsināts un izskatās šādi: lg b ir decimālais logaritms. Ja logaritma bāze ir skaitlis e, tad ierakstiet izteiksmi: ln b – naturālais logaritms. Tiek saprasts, ka jebkura rezultāts ir jauda, līdz kurai jāpaaugstina bāzes skaitlis, lai iegūtu skaitli b.
Meklējot divu funkciju summu, tās vienkārši jāatšķir pa vienam un jāsaskaita rezultāti: (u+v)" = u"+v";
Meklējot divu funkciju reizinājuma atvasinājumu, ir jāreizina pirmās funkcijas atvasinājums ar otro un jāsaskaita otrās funkcijas atvasinājums, kas reizināts ar pirmo funkciju: (u*v)" = u"*v +v"*u;
Lai atrastu divu funkciju koeficienta atvasinājumu, no dividenžu atvasinājuma, kas reizināts ar dalītāja funkciju, ir jāatņem dalītāja atvasinājuma reizinājums, kas reizināts ar dividendes funkciju, un jādala tas viss ar dalītāja funkciju kvadrātā. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Ja dota sarežģīta funkcija, tad jāreizina iekšējās funkcijas atvasinājums un ārējās funkcijas atvasinājums. Lai y=u(v(x)), tad y"(x)=y"(u)*v"(x).
Izmantojot iepriekš iegūtos rezultātus, jūs varat atšķirt gandrīz jebkuru funkciju. Tātad, aplūkosim dažus piemērus:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Ir arī problēmas, kas saistītas ar atvasinājuma aprēķināšanu punktā. Lai ir dota funkcija y=e^(x^2+6x+5), jāatrod funkcijas vērtība punktā x=1.
1) Atrodiet funkcijas atvasinājumu: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Aprēķiniet funkcijas vērtību in dotais punkts y"(1)=8*e^0=8
Video par tēmu
Apgūstiet elementāro atvasinājumu tabulu. Tas ievērojami ietaupīs laiku.
Avoti:
- konstantes atvasinājums
Tātad, kāda ir atšķirība starp iracionālu un racionālu vienādojumu? Ja nezināmais mainīgais atrodas zem zīmes kvadrātsakne, tad vienādojums tiek uzskatīts par neracionālu.
Norādījumi
Galvenā metode šādu vienādojumu risināšanai ir abu pušu konstruēšanas metode vienādojumi kvadrātā. Tomēr. tas ir dabiski, pirmā lieta, kas jums jādara, ir atbrīvoties no zīmes. Šī metode nav tehniski sarežģīta, taču dažreiz tā var radīt nepatikšanas. Piemēram, vienādojums ir v(2x-5)=v(4x-7). Kvadrājot abas puses, jūs iegūstat 2x-5=4x-7. Atrisināt šādu vienādojumu nav grūti; x=1. Bet skaitlis 1 netiks dots vienādojumi. Kāpēc? Vienādojumā aizstājiet vienu, nevis x vērtību, un labajā un kreisajā pusē būs izteiksmes, kurām nav jēgas. Šī vērtība nav derīga kvadrātsaknei. Tāpēc 1 ir sveša sakne, un tāpēc šim vienādojumam nav sakņu.
Tātad iracionāls vienādojums tiek atrisināts, izmantojot abas tā malas kvadrātā. Un, atrisinot vienādojumu, ir nepieciešams nogriezt svešas saknes. Lai to izdarītu, aizstājiet atrastās saknes sākotnējā vienādojumā.
Apsveriet vēl vienu.
2х+vх-3=0
Protams, šo vienādojumu var atrisināt, izmantojot to pašu vienādojumu kā iepriekšējo. Pārvietojiet savienojumus vienādojumi, kuriem nav kvadrātsaknes, uz labo pusi un pēc tam izmantojiet kvadrātošanas metodi. atrisiniet iegūto racionālo vienādojumu un saknes. Bet arī citu, elegantāku. Ievadiet jaunu mainīgo; vх=y. Attiecīgi jūs saņemsiet vienādojumu formā 2y2+y-3=0. Tas ir, parastais kvadrātvienādojums. Atrodi tās saknes; y1=1 un y2=-3/2. Tālāk atrisiniet divus vienādojumi vх=1; vх=-3/2. Otrajam vienādojumam nav sakņu no pirmā, mēs atklājam, ka x=1. Neaizmirstiet pārbaudīt saknes.
Identitātes atrisināšana ir pavisam vienkārša. Lai to izdarītu, ir jāveic identiskas transformācijas, līdz tiek sasniegts izvirzītais mērķis. Tādējādi ar vienkāršu aritmētisko darbību palīdzību tiks atrisināts uzdevums.
Jums būs nepieciešams
- - papīrs;
- - pildspalva.
Norādījumi
Vienkāršākie no šādiem pārveidojumiem ir algebriski saīsināti reizinājumi (piemēram, summas kvadrāts (starpība), kvadrātu starpība, summa (starpība), summas kubs (starpība)). Turklāt ir daudz un trigonometriskās formulas, kas būtībā ir vienas un tās pašas identitātes.
Patiešām, divu vārdu summas kvadrāts ir vienāds ar pirmā kvadrātu plus divreiz pirmā reizinājums ar otro un plus otrā kvadrāts, tas ir, (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Vienkāršojiet abus
Risinājuma vispārīgie principi
Atkārtojiet no matemātiskās analīzes vai augstākās matemātikas mācību grāmatas, kas ir noteikts integrālis. Kā zināms, risinājums noteiktais integrālis ir funkcija, kuras atvasinājums dod integrandu. Šī funkcija sauc par antiatvasinājumu. Pamatojoties uz šo principu, tiek konstruēti galvenie integrāļi.Pēc integranda formas nosakiet, kurš no tabulas integrāļiem iekļaujas šajā gadījumā. To ne vienmēr ir iespējams noteikt uzreiz. Bieži vien tabulas forma kļūst pamanāma tikai pēc vairākām transformācijām, lai vienkāršotu integrandu.
Mainīgo aizstāšanas metode
Ja integrand funkcija ir trigonometriskā funkcija, kura arguments satur kādu polinomu, pēc tam mēģiniet izmantot mainīgā aizstāšanas metodi. Lai to izdarītu, aizvietojiet polinomu integranda argumentā ar kādu jaunu mainīgo. Pamatojoties uz saistību starp jaunajiem un vecajiem mainīgajiem, nosakiet jaunās integrācijas robežas. Atšķirot šo izteiksmi, atrodiet jauno diferenciāli . Tātad jūs saņemsiet jauns izskats no iepriekšējā integrāļa, tuvu vai pat atbilst jebkuram tabulas integrālim.Otrā veida integrāļu atrisināšana
Ja integrālis ir otrā veida integrālis, integrāda vektora forma, tad jums būs jāizmanto noteikumi pārejai no šiem integrāļiem uz skalārajiem. Viens no šādiem noteikumiem ir Ostrogradska-Gausa attiecības. Šis likums ļauj mums pāriet no noteiktas vektora funkcijas rotora plūsmas uz trīskāršo integrāli pār dotā vektora lauka diverģenci.Integrācijas ierobežojumu aizstāšana
Pēc antiatvasinājuma atrašanas ir nepieciešams aizstāt integrācijas robežas. Vispirms aizstājiet augšējās robežas vērtību antiatvasinājuma izteiksmē. Jūs saņemsiet kādu numuru. Pēc tam no iegūtā skaitļa atņem citu skaitli, kas iegūts no apakšējās robežas, uz antiatvasinājumu. Ja viena no integrācijas robežām ir bezgalība, tad, aizstājot to antiderivatīvā funkcijā, ir jāiet līdz robežai un jāatrod, uz ko tiecas izteiksme.Ja integrālis ir divdimensiju vai trīsdimensiju, tad integrācijas robežas būs jāattēlo ģeometriski, lai saprastu, kā novērtēt integrāli. Patiešām, piemēram, trīsdimensiju integrāļa gadījumā integrācijas robežas var būt veselas plaknes, kas ierobežo integrējamo tilpumu.
Šodien mēs iemācīsimies atrisināt vienkāršākos logaritmiskos vienādojumus, kur nav nepieciešamas iepriekšējas transformācijas vai sakņu atlase. Bet, ja jūs iemācīsities atrisināt šādus vienādojumus, tad tas būs daudz vieglāk.
Vienkāršākais logaritmiskais vienādojums ir vienādojums ar formu log a f (x) = b, kur a, b ir skaitļi (a > 0, a ≠ 1), f (x) ir noteikta funkcija.
Visu logaritmisko vienādojumu atšķirīga iezīme ir mainīgā x klātbūtne zem logaritma zīmes. Ja šis ir uzdevumā sākotnēji norādītais vienādojums, to sauc par vienkāršāko. Jebkuri citi logaritmiski vienādojumi tiek reducēti līdz vienkāršākajiem ar īpašām transformācijām (sk. “Logaritmu pamatīpašības”). Tomēr ir jāņem vērā daudzi smalkumi: var rasties papildu saknes, tāpēc sarežģīti logaritmiskie vienādojumi tiks aplūkoti atsevišķi.
Kā atrisināt šādus vienādojumus? Pietiek aizstāt skaitli pa labi no vienādības zīmes ar logaritmu tajā pašā bāzē kā pa kreisi. Tad jūs varat atbrīvoties no logaritma zīmes. Mēs iegūstam:
log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b
Mēs saņēmām parasto vienādojumu. Tās saknes ir sākotnējā vienādojuma saknes.
Grādu izņemšana
Bieži vien logaritmiskie vienādojumi, kas ārēji izskatās sarežģīti un draudīgi, tiek atrisināti burtiski pāris rindās, neiesaistot sarežģītas formulas. Šodien mēs apskatīsim tieši tādas problēmas, kur no jums tiek prasīts tikai rūpīgi reducēt formulu līdz kanoniskajai formai un neapjukt, meklējot logaritmu definīcijas domēnu.
Šodien, kā jūs droši vien uzminējāt no virsraksta, mēs atrisināsim logaritmiskos vienādojumus, izmantojot formulas pārejai uz kanonisko formu. Šīs video nodarbības galvenais “triks” būs darbs ar grādiem, pareizāk sakot, grāda izsecināšana no pamata un argumenta. Apskatīsim noteikumu:
Līdzīgi jūs varat iegūt grādu no bāzes:
Kā mēs redzam, ja, noņemot pakāpi no logaritma argumenta, mums priekšā ir vienkārši papildu faktors, tad, noņemot pakāpi no bāzes, mēs iegūstam nevis tikai koeficientu, bet gan apgrieztu faktoru. Tas ir jāatceras.
Visbeidzot, pats interesantākais. Šīs formulas var apvienot, tad iegūstam:
Protams, veicot šīs pārejas, ir zināmas nepilnības, kas saistītas ar iespējamo definīcijas tvēruma paplašināšanu vai, gluži otrādi, definīcijas jomas sašaurināšanos. Spriediet paši:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x
Ja pirmajā gadījumā x varētu būt jebkurš skaitlis, kas nav 0, t.i. prasība x ≠ 0, tad otrajā gadījumā apmierinās tikai ar x, kas ne tikai nav vienādi, bet stingri lielāki par 0, jo domēns logaritma definīcija ir tāda, ka argumentam ir jābūt stingri lielākam par 0. Tāpēc es atgādināšu brīnišķīgu formulu no 8.-9.klases algebras kursa:
Tas ir, mums ir jāraksta sava formula šādi:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |
Tad definīcijas jomas sašaurināšanās nenotiks.
Tomēr šodienas video pamācībā kvadrātu nebūs. Ja paskatās uz mūsu uzdevumiem, tad redzēsi tikai saknes. Tāpēc mēs šo noteikumu nepiemērosim, bet jums tas joprojām ir jāpatur prātā, lai īstajā brīdī, kad jūs ieraudzīsiet kvadrātiskā funkcija argumentā vai logaritma bāzē jūs atcerēsities šo noteikumu un pareizi veiksit visas transformācijas.
Tātad pirmais vienādojums ir:
Lai atrisinātu šo problēmu, es ierosinu rūpīgi apskatīt katru formulā esošo terminu.
Pārrakstīsim pirmo vārdu kā pakāpju ar racionālu eksponentu:
Mēs skatāmies uz otro terminu: log 3 (1 − x). Šeit nekas nav jādara, šeit viss jau ir pārveidots.
Visbeidzot, 0, 5. Kā jau teicu iepriekšējās nodarbībās, risinot logaritmiskos vienādojumus un formulas, ļoti iesaku pāriet no decimāldaļskaitļiem uz parastajām. Darīsim šādi:
0,5 = 5/10 = 1/2
Pārrakstīsim savu sākotnējo formulu, ņemot vērā iegūtos terminus:
log 3 (1 − x ) = 1
Tagad pāriesim pie kanoniskās formas:
log 3 (1 − x ) = log 3 3
Mēs atbrīvojamies no logaritma zīmes, pielīdzinot argumentus:
1–x = 3
−x = 2
x = −2
Tas arī viss, mēs esam atrisinājuši vienādojumu. Tomēr joprojām spēlēsim droši un atradīsim definīcijas domēnu. Lai to izdarītu, atgriezīsimies pie sākotnējās formulas un skatiet:
1–x > 0
−x > −1
x< 1
Mūsu sakne x = −2 atbilst šai prasībai, tāpēc x = −2 ir sākotnējā vienādojuma risinājums. Tagad esam saņēmuši stingru, skaidru pamatojumu. Tas arī viss, problēma atrisināta.
Pāriesim pie otrā uzdevuma:
Apskatīsim katru terminu atsevišķi.
Izrakstīsim pirmo:
Mēs esam pārveidojuši pirmo termiņu. Mēs strādājam ar otro termiņu:
Visbeidzot, pēdējais termins, kas atrodas pa labi no vienādības zīmes:
Mēs aizstājam iegūtās izteiksmes, nevis terminus iegūtajā formulā:
log 3 x = 1
Pāriesim pie kanoniskās formas:
log 3 x = log 3 3
Mēs atbrīvojamies no logaritma zīmes, pielīdzinot argumentus, un mēs iegūstam:
x = 3
Atkal, lai būtu drošībā, atgriezīsimies pie sākotnējā vienādojuma un paskatīsimies. Sākotnējā formulā mainīgais x ir tikai argumentā, tāpēc
x > 0
Otrajā logaritmā x atrodas zem saknes, bet atkal argumentā, tāpēc saknei jābūt lielākai par 0, t.i., radikālajai izteiksmei jābūt lielākai par 0. Mēs skatāmies uz mūsu sakni x = 3. Acīmredzot tā atbilst šai prasībai. Tāpēc x = 3 ir sākotnējā logaritmiskā vienādojuma risinājums. Tas arī viss, problēma atrisināta.
Šodienas video pamācībā ir divi galvenie punkti:
1) nebaidieties pārveidot logaritmus un jo īpaši nebaidieties izņemt spēkus no logaritma zīmes, vienlaikus atceroties mūsu pamatformulu: noņemot argumentu pakāpju, tas tiek vienkārši izņemts bez izmaiņām kā reizinātājs, un, noņemot jaudu no bāzes, šī jauda tiek apgriezta.
2) otrais punkts ir saistīts ar pašu kanonisko formu. Pāreju uz kanonisko formu veicām logaritmiskā vienādojuma formulas transformācijas pašās beigās. Ļaujiet man jums atgādināt šādu formulu:
a = log b b a
Protams, ar izteicienu “jebkurš skaitlis b” es domāju tos skaitļus, kas atbilst logaritma bāzes prasībām, t.i.
1 ≠ b > 0
Šādam b, un tā kā mēs jau zinām bāzi, šī prasība tiks izpildīta automātiski. Bet tādiem b - jebkura, kas apmierina šī prasība — šī pāreja to var izdarīt, un mums tas izdosies kanoniskā forma, kurā var atbrīvoties no logaritma zīmes.
Definīcijas un papildu sakņu domēna paplašināšana
Logaritmisko vienādojumu pārveidošanas procesā var notikt definīcijas jomas netieša paplašināšanās. Bieži skolēni to pat nepamana, kas noved pie kļūdām un nepareizām atbildēm.
Sāksim ar vienkāršākajiem dizainiem. Vienkāršākais logaritmiskais vienādojums ir šāds:
log a f (x) = b
Ņemiet vērā, ka x ir tikai vienā logaritma argumentā. Kā mēs atrisinām šādus vienādojumus? Mēs izmantojam kanonisko formu. Lai to izdarītu, iedomājieties skaitli b = log a a b, un mūsu vienādojums tiks pārrakstīts šādi:
log a f (x) = log a a b
Šo ierakstu sauc par kanonisko formu. Tieši uz to jums vajadzētu samazināt jebkuru logaritmisko vienādojumu, ar kuru jūs saskarsities ne tikai šodienas nodarbībā, bet arī jebkurā neatkarīgā un pārbaudes darbā.
Kā nonākt pie kanoniskās formas un kādas metodes izmantot, ir prakses jautājums. Galvenais ir saprast, ka, tiklīdz saņemat šādu ierakstu, varat uzskatīt, ka problēma ir atrisināta. Tā kā nākamais solis ir rakstīt:
f (x) = a b
Citiem vārdiem sakot, mēs atbrīvojamies no logaritma zīmes un vienkārši pielīdzinām argumentus.
Kāpēc visas šīs runas? Fakts ir tāds, ka kanoniskā forma ir piemērojama ne tikai visvienkāršākajām problēmām, bet arī citām. Jo īpaši tie, par kuriem mēs šodien lemsim. Paskatīsimies.
Pirmais uzdevums:
Kāda ir šī vienādojuma problēma? Fakts ir tāds, ka funkcija vienlaikus ir divos logaritmos. Problēmu var samazināt līdz vienkāršākajam, vienkārši atņemot vienu logaritmu no cita. Bet problēmas rodas ar definīcijas apgabalu: var parādīties papildu saknes. Tātad, pārvietosim vienu no logaritmiem pa labi:
Šis ieraksts ir daudz līdzīgāks kanoniskajai formai. Bet ir vēl viena nianse: kanoniskajā formā argumentiem jābūt vienādiem. Un kreisajā pusē mums ir logaritms 3. bāzē, bet labajā pusē - 1/3. Viņš zina, ka šīm bāzēm ir jābūt vienādām. Piemēram, atcerēsimies, kas ir negatīvās spējas:
Un tad mēs izmantosim eksponentu “−1” ārpus žurnāla kā reizinātāju:
Lūdzu, ņemiet vērā: grāds, kas bija pie pamatnes, tiek apgriezts un pārvēršas par daļu. Atbrīvojoties no dažādām bāzēm, ieguvām gandrīz kanonisku apzīmējumu, bet pretī labajā pusē ieguvām koeficientu “−1”. Iekļausim šo faktoru argumentā, pārvēršot to par spēku:
Protams, saņemot kanonisko formu, mēs drosmīgi izsvītrojam logaritma zīmi un pielīdzinām argumentus. Tajā pašā laikā atgādināšu, ka, paaugstinot līdz pakāpei “-1”, daļa tiek vienkārši apgriezta - tiek iegūta proporcija.
Izmantosim proporcijas pamatīpašību un reizinām to šķērsām:
(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)
2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20
2x 2 - 9x + 4 = 3x 2 - 19x + 20
x 2 - 10x + 16 = 0
Mūsu priekšā ir iepriekš minētais kvadrātvienādojums, tāpēc mēs to atrisinām, izmantojot Vietas formulas:
(x - 8) (x - 2) = 0
x 1 = 8; x 2 = 2
Tas arī viss. Vai jūs domājat, ka vienādojums ir atrisināts? Nē! Par šādu risinājumu saņemsim 0 punktu, jo sākotnējais vienādojums satur divus logaritmus ar mainīgo x. Tāpēc ir jāņem vērā definīcijas joma.
Un šeit sākas jautrība. Lielākā daļa studentu ir neizpratnē: kāda ir logaritma definīcijas joma? Protams, visiem argumentiem (mums ir divi) jābūt lielākiem par nulli:
(x – 4)/(3x – 4) > 0
(x – 5)/(2x – 1) > 0
Katra no šīm nevienādībām ir jāatrisina, jāatzīmē uz taisnes, jāsagriež un tikai tad jāredz, kuras saknes atrodas krustpunktā.
Teikšu godīgi: šim paņēmienam ir tiesības pastāvēt, tā ir uzticama, un jūs saņemsiet pareizo atbildi, taču tajā ir pārāk daudz nevajadzīgu soļu. Tātad vēlreiz apskatīsim mūsu risinājumu un noskaidrosim: kur tieši mums ir jāpiemēro darbības joma? Citiem vārdiem sakot, jums ir skaidri jāsaprot, kad tieši parādās papildu saknes.
- Sākotnēji mums bija divi logaritmi. Pēc tam mēs pārvietojām vienu no tiem pa labi, taču tas neietekmēja definīcijas apgabalu.
- Tad mēs noņemam jaudu no bāzes, bet joprojām ir divi logaritmi, un katrā no tiem ir mainīgais x.
- Visbeidzot, mēs izsvītrojam baļķa zīmes un iegūstam klasisko frakcionēto racionālo vienādojumu.
Pēdējā posmā definīcijas apjoms tiek paplašināts! Tiklīdz mēs pārgājām uz daļēju racionālu vienādojumu, atbrīvojoties no žurnāla zīmēm, prasības mainīgajam x krasi mainījās!
Līdz ar to definīcijas jomu var aplūkot nevis pašā risinājuma sākumā, bet tikai minētajā solī - pirms tiešas argumentu pielīdzināšanas.
Šeit slēpjas optimizācijas iespēja. No vienas puses, mums tiek prasīts, lai abi argumenti būtu lielāki par nulli. No otras puses, mēs tālāk pielīdzinām šos argumentus. Tāpēc, ja kaut viens no tiem ir pozitīvs, tad arī otrs būs pozitīvs!
Tātad izrādās, ka prasība, lai vienlaikus izpildītu divas nevienlīdzības, ir pārspīlēta. Pietiek ņemt vērā tikai vienu no šīm frakcijām. Kuru tieši? Tas, kurš ir vienkāršāks. Piemēram, apskatīsim labās puses daļu:
(x – 5)/(2x – 1) > 0
Šī ir tipiska daļēja racionāla nevienādība, ko mēs atrisinām, izmantojot intervāla metodi:
Kā novietot zīmes? Ņemsim skaitli, kas acīmredzami ir lielāks par visām mūsu saknēm. Piemēram, 1 miljards Un mēs aizstājam tā daļu. Iegūstam pozitīvu skaitli, t.i. pa labi no saknes x = 5 būs plus zīme.
Tad zīmes mijas, jo nekur nav pat daudzveidības sakņu. Mūs interesē intervāli, kuros funkcija ir pozitīva. Tāpēc x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).
Tagad atcerēsimies atbildes: x = 8 un x = 2. Stingri sakot, tās vēl nav atbildes, bet tikai atbildes kandidāti. Kurš no tiem pieder norādītajai kopai? Protams, x = 8. Bet x = 2 mums neatbilst definīcijas jomas ziņā.
Kopumā atbilde uz pirmo logaritmisko vienādojumu būs x = 8. Tagad mums ir kompetents, labi pamatots risinājums, ņemot vērā definīcijas jomu.
Pārejam pie otrā vienādojuma:
log 5 (x - 9) = log 0,5 4 - log 5 (x - 5) + 3
Atgādināšu, ja vienādojumā ir decimāldaļdaļa, tad no tās vajadzētu atbrīvoties. Citiem vārdiem sakot, pārrakstīsim 0,5 kā kopējo daļskaitli. Mēs uzreiz pamanām, ka logaritmu, kas satur šo bāzi, ir viegli aprēķināt:
Šis ir ļoti svarīgs brīdis! Ja mums ir grādi gan bāzē, gan argumentā, mēs varam iegūt šo grādu rādītājus, izmantojot formulu:
Atgriezīsimies pie sākotnējā logaritmiskā vienādojuma un pārrakstīsim to:
log 5 (x - 9) = 1 - log 5 (x - 5)
Mēs ieguvām dizainu, kas ir diezgan tuvu kanoniskajai formai. Taču mūs mulsina termini un mīnusa zīme pa labi no vienādības zīmes. Attēlosim vienu kā logaritmu 5. bāzei:
log 5 (x - 9) = log 5 5 1 - log 5 (x - 5)
Atņemiet logaritmus labajā pusē (šajā gadījumā to argumenti ir sadalīti):
log 5 (x - 9) = log 5 5/(x - 5)
Brīnišķīgi. Tātad mēs saņēmām kanonisko formu! Mēs izsvītrojam baļķa zīmes un pielīdzinām argumentus:
(x – 9)/1 = 5/(x – 5)
Šī ir proporcija, ko var viegli atrisināt, reizinot šķērsām:
(x - 9) (x - 5) = 5 1
x 2 - 9x - 5x + 45 = 5
x 2 - 14x + 40 = 0
Acīmredzot mums ir samazināts kvadrātvienādojums. To var viegli atrisināt, izmantojot Vietas formulas:
(x - 10) (x - 4) = 0
x 1 = 10
x 2 = 4
Mums ir divas saknes. Bet tās nav galīgās atbildes, bet tikai kandidāti, jo logaritmiskais vienādojums prasa arī definīcijas domēna pārbaudi.
Atgādinu: nav jāmeklē, kad katru argumentu skaits būs lielāks par nulli. Pietiek ar prasību, lai viens arguments — vai nu x − 9, vai 5/(x − 5) — būtu lielāks par nulli. Apsveriet pirmo argumentu:
x − 9 > 0
x > 9
Acīmredzot tikai x = 10 atbilst šai prasībai. Šī ir galīgā atbilde. Visa problēma ir atrisināta.
Vēlreiz galvenās domas šodienas nodarbībā:
- Tiklīdz mainīgais x parādās vairākos logaritmos, vienādojums pārstāj būt elementārs, un tam būs jāaprēķina definīcijas apgabals. Pretējā gadījumā atbildē varat viegli ierakstīt papildu saknes.
- Darbu ar pašu domēnu var būtiski vienkāršot, ja nevienlīdzību izrakstām nevis uzreiz, bet tieši tajā brīdī, kad atbrīvojamies no baļķa zīmēm. Galu galā, kad argumenti tiek pielīdzināti viens otram, pietiek ar prasību, lai tikai viens no tiem būtu lielāks par nulli.
Protams, mēs paši izvēlamies, kuru argumentu izmantot, lai veidotu nevienlīdzību, tāpēc loģiski ir izvēlēties vienkāršāko. Piemēram, otrajā vienādojumā mēs izvēlējāmies argumentu (x − 9), lineāru funkciju, pretstatā racionālajam otrajam argumentam. Piekrītiet, nevienādības x − 9 > 0 atrisināšana ir daudz vienkāršāka nekā 5/(x − 5) > 0. Lai gan rezultāts ir vienāds.
Šī piezīme ievērojami vienkāršo ODZ meklēšanu, taču esiet uzmanīgi: jūs varat izmantot vienu nevienādību divu vietā tikai tad, ja argumenti ir precīzi ir vienādi viens ar otru!
Protams, kāds tagad jautās: kas notiek savādāk? Jā, tas notiek. Piemēram, pašā darbībā, kad mēs reizinām divus argumentus, kas satur mainīgo, pastāv nevajadzīgu sakņu parādīšanās risks.
Spriediet paši: vispirms tiek prasīts, lai katrs no argumentiem būtu lielāks par nulli, bet pēc reizināšanas pietiek ar to, ka to reizinājums ir lielāks par nulli. Tā rezultātā gadījums, kad katra no šīm daļām ir negatīva, tiek izlaista.
Tāpēc, ja jūs tikko sākat saprast sarežģītus logaritmiskos vienādojumus, nekādā gadījumā nereiziniet logaritmus, kas satur mainīgo x - tas pārāk bieži novedīs pie papildu sakņu parādīšanās. Labāk ir spert vienu papildu soli, pārvietot vienu terminu uz otru pusi un izveidot kanonisku formu.
Nu ko darīt, ja neiztikt bez šādu logaritmu reizināšanas, par to runāsim nākamajā video nodarbībā :)
Vēlreiz par pilnvarām vienādojumā
Šodien mēs apskatīsim diezgan slidenu tēmu par logaritmiskiem vienādojumiem vai, precīzāk, pakāpju noņemšanu no logaritmu argumentiem un bāzēm.
Es pat teiktu, ka runāsim par pāra pakāpju noņemšanu, jo tieši ar pāra pakāpēm lielākā daļa grūtību rodas, risinot reālus logaritmiskos vienādojumus.
Sāksim ar kanonisko formu. Pieņemsim, ka mums ir vienādojums ar formu log a f (x) = b. Šajā gadījumā mēs pārrakstām skaitli b, izmantojot formulu b = log a a b . Izrādās sekojošais:
log a f (x) = log a a b
Tad mēs pielīdzinām argumentus:
f (x) = a b
Priekšpēdējo formulu sauc par kanonisko formu. Tieši uz to viņi cenšas samazināt jebkuru logaritmisko vienādojumu, lai cik sarežģīts un biedējošs tas pirmajā acu uzmetienā šķistu.
Tāpēc izmēģināsim. Sāksim ar pirmo uzdevumu:
Iepriekšēja piezīme: kā jau teicu, viss decimāldaļas logaritmiskajā vienādojumā labāk to pārvērst parastajos:
0,5 = 5/10 = 1/2
Pārrakstīsim mūsu vienādojumu, ņemot vērā šo faktu. Ņemiet vērā, ka gan 1/1000, gan 100 ir desmit pakāpes, un tad izņemsim pakāpes neatkarīgi no tā, kur tās atrodas: no argumentiem un pat no logaritmu bāzes:
Un šeit daudziem studentiem rodas jautājums: "No kurienes nāca modulis labajā pusē?" Patiešām, kāpēc gan vienkārši neuzrakstīt (x − 1)? Protams, tagad mēs rakstīsim (x − 1), bet, ņemot vērā definīcijas domēnu, mums ir tiesības to rakstīt. Galu galā cits logaritms jau satur (x − 1), un šai izteiksmei jābūt lielākai par nulli.
Bet, kad mēs noņemam kvadrātu no logaritma bāzes, mums jāatstāj tieši modulis pie pamatnes. Ļaujiet man paskaidrot, kāpēc.
Fakts ir tāds, ka no matemātiskā viedokļa grāda iegūšana ir līdzvērtīga saknes iegūšanai. Jo īpaši, kad mēs kvadrātā izteiksmi (x − 1) 2, mēs būtībā iegūstam otro sakni. Bet kvadrātsakne ir nekas vairāk kā modulis. Tieši tā modulis, jo pat tad, ja izteiksme x − 1 ir negatīva, tad, ja tā ir kvadrātā, “mīnuss” tik un tā izdegs. Tālāka saknes ekstrakcija mums dos pozitīvu skaitli - bez jebkādiem mīnusiem.
Kopumā, lai nepieļautu aizvainojošas kļūdas, vienreiz un uz visiem laikiem atcerieties:
Jebkuras funkcijas vienmērīga jaudas sakne, kas tiek paaugstināta līdz tādai pašai jaudai, ir vienāda nevis ar pašu funkciju, bet gan ar tās moduli:
Atgriezīsimies pie mūsu logaritmiskā vienādojuma. Runājot par moduli, es apgalvoju, ka mēs varam to noņemt nesāpīgi. Tā ir taisnība. Tagad es paskaidrošu, kāpēc. Stingri sakot, mums bija jāapsver divas iespējas:
- x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
- x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
Katra no šīm iespējām būtu jārisina. Bet ir viens āķis: sākotnējā formula jau satur funkciju (x − 1) bez moduļa. Un, ievērojot logaritmu definīcijas jomu, mums ir tiesības uzreiz ierakstīt, ka x − 1 > 0.
Šī prasība ir jāizpilda neatkarīgi no jebkādiem moduļiem un citām transformācijām, ko veicam risinājuma procesā. Tāpēc nav jēgas apsvērt otro variantu – tas nekad neradīsies. Pat ja mēs iegūstam dažus skaitļus, risinot šo nevienlīdzības atzaru, tie joprojām netiks iekļauti galīgajā atbildē.
Tagad mēs esam burtiski viena soļa attālumā no logaritmiskā vienādojuma kanoniskās formas. Vienību attēlosim šādi:
1 = log x − 1 (x − 1) 1
Turklāt argumentā mēs ieviešam koeficientu −4, kas atrodas labajā pusē:
log x - 1 10 -4 = log x - 1 (x - 1)
Mūsu priekšā ir logaritmiskā vienādojuma kanoniskā forma. Mēs atbrīvojamies no logaritma zīmes:
10-4 = x-1
Bet, tā kā bāze bija funkcija (nevis pirmskaitlis), mēs papildus prasām, lai šī funkcija būtu lielāka par nulli un nav vienāda ar vienu. Iegūtā sistēma būs:
Tā kā prasība x − 1 > 0 tiek izpildīta automātiski (galu galā, x − 1 = 10 −4), vienu no nevienādībām var dzēst no mūsu sistēmas. Otro nosacījumu var arī izsvītrot, jo x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:
x = 1 + 0,0001 = 1,0001
Šī ir vienīgā sakne, kas automātiski apmierina visas logaritma definīcijas apgabala prasības (tomēr visas prasības tika izslēgtas kā acīmredzami izpildītas mūsu uzdevuma apstākļos).
Tātad otrais vienādojums:
3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2
Kā šis vienādojums būtiski atšķiras no iepriekšējā? Kaut vai tāpēc, ka logaritmu bāzes - 3x un 9x - nav viens otra dabisks spēks. Tāpēc pāreja, ko izmantojām iepriekšējā risinājumā, nav iespējama.
Atbrīvosimies vismaz no grādiem. Mūsu gadījumā vienīgā pakāpe ir otrajā argumentā:
3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |
Taču moduļa zīmi var noņemt, jo arī mainīgais x atrodas pie pamatnes, t.i. x > 0 ⇒ |x| = x. Pārrakstīsim mūsu logaritmisko vienādojumu:
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Esam ieguvuši logaritmus, kuros argumenti ir vienādi, bet bāzes atšķiras. Ko darīt tālāk? Šeit ir daudz iespēju, taču mēs apsvērsim tikai divus no tiem, kas ir visloģiskākie, un pats galvenais, tie ir ātri un saprotami paņēmieni lielākajai daļai studentu.
Mēs jau esam apsvēruši pirmo iespēju: jebkurā neskaidrā situācijā logaritmus ar mainīgu bāzi konvertēt uz kādu nemainīgu bāzi. Piemēram, uz divnieku. Pārejas formula ir vienkārša:
Protams, mainīgā c lomai jābūt normālam skaitlim: 1 ≠ c > 0. Pieņemsim, ka mūsu gadījumā c = 2. Tagad mūsu priekšā ir parasts daļveida racionālais vienādojums. Mēs savācam visus elementus kreisajā pusē:
Acīmredzot ir labāk noņemt log 2 x koeficientu, jo tas ir gan pirmajā, gan otrajā frakcijā.
log 2 x = 0;
3 log 2 9x = 4 log 2 3x
Mēs sadalām katru žurnālu divos terminos:
log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;
log 2 3x = log 2 3 + log 2 x
Pārrakstīsim abas vienlīdzības puses, ņemot vērā šos faktus:
3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )
6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x
2 log 2 3 = log 2 x
Tagad atliek tikai ievadīt divnieku zem logaritma zīmes (tas pārvērtīsies pakāpē: 3 2 = 9):
baļķis 2 9 = baļķis 2 x
Pirms mums ir klasiskā kanoniskā forma, mēs atbrīvojamies no logaritma zīmes un iegūstam:
Kā gaidīts, šī sakne izrādījās lielāka par nulli. Atliek pārbaudīt definīcijas jomu. Apskatīsim iemeslus:
Bet sakne x = 9 atbilst šīm prasībām. Tāpēc tas ir galīgais lēmums.
Secinājums no šī risinājuma ir vienkāršs: nebaidieties no ilgiem aprēķiniem! Vienkārši pašā sākumā mēs nejauši izvēlējāmies jaunu bāzi - un tas ievērojami sarežģīja procesu.
Bet tad rodas jautājums: kāds ir pamats optimāls? Es par to runāšu otrajā metodē.
Atgriezīsimies pie sākotnējā vienādojuma:
3 baļķi 3x x = 2 baļķi 9x x 2
3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |
x > 0 ⇒ |x| = x
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Tagad nedaudz padomāsim: kāds skaitlis vai funkcija būtu optimālais pamats? Ir skaidrs, ka labākais variants būs c = x - tas, kas jau ir argumentos. Šajā gadījumā formulai log a b = log c b /log c a būs šāda forma:
Citiem vārdiem sakot, izteiksme ir vienkārši apgriezta. Šajā gadījumā arguments un pamats mainās vietām.
Šī formula ir ļoti noderīga, un to ļoti bieži izmanto sarežģītu logaritmisko vienādojumu risināšanā. Tomēr, izmantojot šo formulu, ir viena ļoti nopietna kļūme. Ja bāzes vietā aizstājam mainīgo x, tad tam tiek noteikti ierobežojumi, kas iepriekš netika ievēroti:
Sākotnējā vienādojumā šādu ierobežojumu nebija. Tāpēc mums atsevišķi jāpārbauda gadījums, kad x = 1. Aizstājiet šo vērtību mūsu vienādojumā:
3 log 3 1 = 4 log 9 1
Mēs iegūstam pareizo skaitlisko vienādību. Tāpēc x = 1 ir sakne. Mēs atradām tieši to pašu sakni iepriekšējā metodē pašā risinājuma sākumā.
Bet tagad, kad esam atsevišķi apsvēruši šo konkrēto gadījumu, mēs droši pieņemam, ka x ≠ 1. Tad mūsu logaritmiskais vienādojums tiks pārrakstīts šādā formā:
3 baļķi x 9x = 4 baļķi x 3x
Mēs izvēršam abus logaritmus, izmantojot to pašu formulu kā iepriekš. Ņemiet vērā, ka log x x = 1:
3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )
3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4
3 log x 3 2 – 4 log x 3 = 4 – 3
2 log x 3 = 1
Tātad mēs nonācām pie kanoniskās formas:
log x 9 = log x x 1
x=9
Mēs saņēmām otro sakni. Tas apmierina prasību x ≠ 1. Tāpēc x = 9 kopā ar x = 1 ir galīgā atbilde.
Kā redzat, aprēķinu apjoms ir nedaudz samazinājies. Bet, risinot reālu logaritmisko vienādojumu, soļu skaits būs daudz mazāks arī tāpēc, ka jums nav jāapraksta katrs solis tik detalizēti.
Šodienas nodarbības galvenais noteikums ir šāds: ja uzdevumā ir pāra pakāpe, no kuras tiek iegūta tās pašas pakāpes sakne, tad izvade būs modulis. Tomēr šo moduli var noņemt, ja pievēršat uzmanību logaritmu definīcijas jomai.
Bet esiet uzmanīgi: pēc šīs stundas lielākā daļa skolēnu domā, ka viņi visu saprot. Bet, risinot reālas problēmas, viņi nevar reproducēt visu loģisko ķēdi. Rezultātā vienādojums iegūst nevajadzīgas saknes, un atbilde izrādās nepareiza.
Algebra 11. klase
Tēma: “Logaritmisko vienādojumu risināšanas metodes”
Nodarbības mērķi:
izglītojošs: zināšanu veidošana par dažādos veidos logaritmisko vienādojumu risināšana, prasme tos pielietot katrā konkrētā situācijā un izvēlēties jebkuru risināšanas metodi;
attīstīt: attīstīt prasmes novērot, salīdzināt, pielietot zināšanas jaunā situācijā, noteikt modeļus, vispārināt; attīstīt savstarpējās kontroles un paškontroles prasmes;
izglītojošs: atbildīgas attieksmes pret audzināšanas darbu veicināšana, vērīga materiāla uztvere stundā un rūpīga piezīmju veikšana.
Nodarbības veids: nodarbība par jauna materiāla ieviešanu.
"Logaritmu izgudrojums, vienlaikus samazinot astronoma darbu, pagarināja viņa dzīvi."
Franču matemātiķis un astronoms P.S. Laplass
Nodarbības progress
I. Nodarbības mērķa noteikšana
Izpētītā logaritma definīcija, logaritmu īpašības un logaritmiskā funkcija ļaus atrisināt logaritmiskos vienādojumus. Visi logaritmiskie vienādojumi neatkarīgi no tā, cik sarežģīti tie ir, tiek atrisināti, izmantojot vienotus algoritmus. Mēs apskatīsim šos algoritmus šodienas nodarbībā. Viņu nav daudz. Ja jūs tos apgūstat, tad katram no jums būs iespējams jebkurš vienādojums ar logaritmiem.
Pierakstiet piezīmju grāmatiņā stundas tēmu: “Logaritmisko vienādojumu risināšanas metodes”. Aicinu visus uz sadarbību.
II. Atsauces zināšanu papildināšana
Sagatavosimies nodarbības tēmas izpētei. Jūs atrisiniet katru uzdevumu un pierakstiet atbildi; jums nav jāraksta nosacījums. Darbs pāros.
1) Kurām x vērtībām funkcijai ir jēga:
(Atbildes tiek pārbaudītas katram slaidam un tiek sakārtotas kļūdas)
2) Vai funkciju grafiki sakrīt?
3) Pārrakstiet vienādības kā logaritmiskas vienādības:
4) Uzrakstiet skaitļus kā logaritmus ar 2. bāzi:
5) Aprēķiniet:
6) Mēģiniet atjaunot vai papildināt trūkstošos elementus šajās vienādībās.
III. Ievads jaunā materiālā
Ekrānā tiek parādīts šāds paziņojums:
"Vienādojums ir zelta atslēga, kas atver visus matemātiskos sezamus."
Mūsdienu poļu matemātiķis S. Kovals
Mēģiniet formulēt logaritmiskā vienādojuma definīciju. (Vienādojums, kas satur nezināmo zem logaritma zīmes).
Apsvērsim Vienkāršākais logaritmiskais vienādojums:žurnālsAx = b(kur a>0, a ≠ 1). Tā kā logaritmiskā funkcija palielinās (vai samazinās) uz pozitīvo skaitļu kopas un ņem visas reālās vērtības, tad no saknes teorēmas izriet, ka jebkuram b šim vienādojumam ir tikai viens risinājums un pozitīvs.
Atcerieties logaritma definīciju. (Cipara x logaritms attiecībā pret bāzi a ir jaudas rādītājs, līdz kuram jāpaaugstina bāze a, lai iegūtu skaitli x). No logaritma definīcijas uzreiz izriet, ka AV ir šāds risinājums.
Pierakstiet virsrakstu: Logaritmisko vienādojumu risināšanas metodes
1. Pēc logaritma definīcijas.
Šādi tiek atrisināti vienkāršākie formas vienādojumi.
Apsvērsim Nr. 514(a)): Atrisiniet vienādojumu
Kā jūs piedāvājat to atrisināt? (Pēc logaritma definīcijas)
Risinājums. , Tātad 2x - 4 = 4; x = 4.
Šajā uzdevumā 2x - 4 > 0, jo > 0, tātad nevar parādīties svešas saknes, un nav nepieciešams pārbaudīt. Nosacījums 2x - 4 > 0 šajā uzdevumā nav jāizraksta.
2. Potencēšana(pāreja no dotās izteiksmes logaritma uz šo izteiksmi).
Apsvērsim Nr. 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2
Kādu funkciju jūs pamanījāt? (Bāzes ir vienādas, un abu izteiksmju logaritmi ir vienādi.) Ko var darīt? (Potencizēt).
Jāņem vērā, ka jebkurš risinājums ir ietverts starp visiem x, kuriem logaritmiskās izteiksmes ir pozitīvas.
Risinājums: ODZ:
X2+8>0 ir nevajadzīga nevienādība
log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)
log5(x2+8)= log5 (8 x+8)
Potencēsim sākotnējo vienādojumu
iegūstam vienādojumu x2+8= 8x+8
Atrisināsim: x2-8x=0
Atbilde: 0; 8
IN vispārējs skats pāreja uz līdzvērtīgu sistēmu:
Vienādojums
(Sistēmā ir lieks nosacījums – viena no nevienlīdzībām nav jāņem vērā).
Jautājums klasei: Kurš no šiem trim risinājumiem jums patika vislabāk? (Metožu diskusija).
Jums ir tiesības izlemt jebkādā veidā.
3. Jauna mainīgā lieluma ieviešana.
Apsvērsim Nr. 520(g). .
Ko jūs pamanījāt? (Šis ir kvadrātvienādojums attiecībā pret log3x) Vai ir kādi ieteikumi? (Ieviest jaunu mainīgo)
Risinājums. ODZ: x > 0.
Ļaujiet , tad vienādojums iegūst formu:. Diskriminants D > 0. Saknes saskaņā ar Vietas teorēmu:.
Atgriezīsimies pie aizstāšanas: vai.
Atrisinot vienkāršākos logaritmiskos vienādojumus, mēs iegūstam:
Atbilde: 27;
4. Logaritms abas vienādojuma puses.
Atrisiniet vienādojumu:.
Risinājums: ODZ: x>0, ņem 10. bāzes vienādojuma abu pušu logaritmu:
Pielietosim pakāpju logaritma īpašību:
(logx + 3) logx = 4
Ļaujiet logx = y, tad (y + 3)y = 4
, (D > 0) saknes saskaņā ar Vietas teorēmu: y1 = -4 un y2 = 1.
Atgriezīsimies pie aizstāšanas, iegūstam: lgx = -4,; lgx = 1, .
Atbilde: 0,0001; 10.
5. Samazinājums līdz vienai bāzei.
Nr.523(c). Atrisiniet vienādojumu:
Risinājums: ODZ: x>0. Pārejam uz 3. bāzi.
6. Funkcionāli grafiskā metode.
№ 509(d). Grafiski atrisiniet vienādojumu: = 3 - x.
Kā jūs piedāvājat atrisināt? (Izmantojot punktus, izveidojiet grafikus divām funkcijām y = log2x un y = 3 - x un meklējiet grafiku krustošanās punktu abscisas).
Apskatiet savu risinājumu slaidā.
Ir veids, kā izvairīties no grafiku veidošanas . Tas ir šādi : ja viena no funkcijām y = f(x) palielinās, un otrs y = g(x) samazinās uz intervāla X, tad vienādojums f(x)= g(x) ir ne vairāk kā viena sakne intervālā X.
Ja ir sakne, tad to var uzminēt.
Mūsu gadījumā funkcija palielinās, ja x>0, un funkcija y = 3 - x samazinās visām x vērtībām, ieskaitot x>0, kas nozīmē, ka vienādojumam ir ne vairāk kā viena sakne. Ņemiet vērā, ka pie x = 2 vienādojums pārvēršas par patiesu vienādību, jo .
“Pareizu metožu pielietojumu var iemācīties
tikai piemērojot tos dažādi piemēri».
Dāņu matemātikas vēsturnieks G. G. Zeitens
esV. Mājas darbs
39. lpp. Apsveriet 3. piemēru, atrisiniet Nr. 514(b), Nr. 529(b), Nr. 520(b), Nr. 523(b)
V. Nodarbības rezumēšana
Kādas logaritmisko vienādojumu risināšanas metodes mēs apskatījām klasē?
Nākamajās nodarbībās aplūkosim sarežģītākus vienādojumus. To risināšanai noderēs pētītās metodes.
Pēdējais parādītais slaids:
“Kas ir vairāk par visu pasaulē?
Kosmoss.
Kas ir visgudrākais?
Laiks.
Kāda ir labākā daļa?
Sasniedz to, ko vēlies."
Thales
Novēlu katram sasniegt to, ko vēlas. Paldies par sadarbību un sapratni.
Ikviens zina, kāpēc matemātika ir vajadzīga. Tomēr daudziem cilvēkiem ir vajadzīga palīdzība, lai pieņemtu lēmumu matemātiskas problēmas un vienādojumi. Pirms mēs jums pastāstīsim, kā atrisināt logaritmiskos vienādojumus, jums ir jāsaprot, kas tie ir. Vienādojumus, kas satur nezināmo logaritma pamatā vai zem tā zīmes, sauc par logaritmiskiem vienādojumiem. Vienādojumi, kuriem ir forma: logaX = b, vai tie, kurus var reducēt līdz šai formai, tiek uzskatīti par vienkāršākajiem logaritmiskiem vienādojumiem.
Pareizs lēmums
Par pareizais lēmumsŠādiem vienādojumiem ir jāatceras jebkuras logaritmiskās funkcijas īpašības:
- reālo skaitļu kopa (diapazons)
- pozitīvu skaitļu kopa (domēns)
- gadījumā, ja “a” ir lielāks par 1, logaritmiskā funkcija stingri palielinās, ja tā ir mazāka, logaritmiskā funkcija samazinās
- ar dotajiem parametriem: loga "a" ir vienāds ar 1 un loga 1 ir vienāds ar nulli, jums jāņem vērā, ka "a" nebūs vienāds ar 1 un būs lielāks par 0.
Pareizs logaritmisko vienādojumu risinājums ir tieši atkarīgs no paša logaritma izpratnes. Ņemsim piemēru: 5x=11. X ir skaitlis, līdz kuram jāpalielina 5, lai iegūtu 11. Šo skaitli sauc par logaritmu no 11 līdz bāzei 5, un to raksta šādi: x = log511. Tādējādi mēs varējām atrisināt eksponenciālo vienādojumu: 5x=11, iegūstot atbildi: x=log511.
Logaritmiskie vienādojumi
Vienādojumu, kuram ir logaritmi, sauc par logaritmisko vienādojumu. Šajā vienādojumā nezināmie mainīgie, kā arī izteiksmes ar tiem atrodas pašos logaritmos. Un nekur citur! Logaritmisko vienādojumu piemēri: log2x=16, log5(x3-7)=log5(3x), log3(x+3)+20=15log(x+5) utt. Neaizmirstiet, ka dažādas izteiksmes ar x var būt tikai noteiktā logaritmā.
Atbrīvošanās no logaritmiem
Metodes logaritmisko vienādojumu risināšanai tiek izmantotas atbilstoši konkrētajai problēmai, un pats risināšanas process kopumā ir ļoti grūts uzdevums. Sāksim ar elementārvienādojumiem. Vienkāršākajiem logaritmiskiem vienādojumiem ir šāda forma:
- logx-21=11
- log5 (70x-1)=2
- log5x=25
Logaritmiskā vienādojuma atrisināšana ietver pāreju no vienādojuma ar logaritmiem uz vienādojumu, kurā tādu nav. Un visvienkāršākajos vienādojumos to var izdarīt vienā solī. Šī iemesla dēļ tos sauc par vienšūņiem. Piemēram, mums ir jāatrisina šāds vienādojums: log5x = log52. Šim nolūkam mums nav vajadzīgas īpašas zināšanas. IN šajā piemērā mums ir jāatbrīvojas no logaritmiem, kas mums sabojā visu ainu. Mēs noņemam logaritmus un iegūstam: x=2. Tādējādi nākotnē, ja iespējams, ir nepieciešams noņemt nevajadzīgus logaritmus. Galu galā tieši šī secība ļauj jums izlemt logaritmiskās nevienādības un vienādojumi. Matemātikā šādas darbības parasti sauc par potenciāciju. Bet, lai šādā veidā atbrīvotos no logaritmiem, ir savi noteikumi. Ja logaritmiem nav koeficientu (tas ir, tie ir norādīti paši) un arī tad, ja tiem ir vienāda skaitliskā bāze, logaritmus var noņemt.
Atcerieties, ka pēc logaritmu likvidēšanas mums paliek vienkāršots vienādojums. Atrisināsim citu piemēru:
log9 (5x-4)-log9x. Mēs pastiprinām un iegūstam:
- 5x-4=x
- 5x=x+4
Kā redzams, noņemot logaritmus, iegūstam ierasto vienādojumu, kuru vairs nav grūti atrisināt. Tagad varat pāriet uz vairāk sarežģīti piemēri: log9 (60x-1)=2. Lai iegūtu sublogaritmisko izteiksmi (60x-1), mums ir jāatsaucas uz logaritmu (skaitlis, līdz kuram tiek paaugstināta bāze, mūsu gadījumā 9). Mūsu logaritms ir vienāds ar 2. Tāpēc: 92 = 60x-1. Logaritma vairs nav. Atrisinām iegūto vienādojumu: 60x-1=59, x = 1.
Šo piemēru mēs atrisinājām atbilstoši logaritma nozīmei. Jāatzīmē, ka no jebkura norādītā skaitļa jūs varat izveidot vajadzīgās formas logaritmu. Šī metode ir ļoti noderīga, risinot nevienādības un logaritmiskos vienādojumus. Ja vienādojumā jāatrod sakne, apskatīsim, kā to var izdarīt: log5(18 – x) = log55
Ja mūsu vienādojumā abām vienādojuma pusēm ir logaritmi, kuriem ir vienāda bāze, tad mēs varam pielīdzināt izteiksmes, kas atrodas zem mūsu logaritmu zīmēm. Mēs noņemam kopējo pamatu: log5. Mēs iegūstam vienkāršu vienādojumu: 18 – x = 5, x = 13.
Faktiski logaritmisko vienādojumu risināšana nav tik sarežģīta. Pat ņemot vērā to, ka logaritmisko vienādojumu īpašības var būtiski atšķirties, tomēr neatrisināmu uzdevumu nav. Ir jāzina paša logaritma īpašības, kā arī jāprot tās pareizi pielietot. Nav nepieciešams steigties: mēs atceramies iepriekš minētos norādījumus un sākam risināt uzdevumus. Nekādā gadījumā nav jābaidās kompleksais vienādojums, Jums ir visas nepieciešamās zināšanas un resursi, lai viegli tiktu galā ar jebkuru no tiem.
Ieslēgts šī nodarbība Mēs atkārtosim pamata teorētiskos faktus par logaritmiem un apsvērsim vienkāršāko logaritmisko vienādojumu risināšanu.
Atcerēsimies centrālo definīciju - logaritma definīciju. Tas ir saistīts ar lēmumu eksponenciālais vienādojums. Šis vienādojums ir viena sakne, to sauc par logaritmu no b bāzes a:
Definīcija:
B logaritms līdz bāzei a ir eksponents, līdz kuram jāpaaugstina bāze a, lai iegūtu b.
Atgādināsim logaritmiskā identitāte.
Izteiksme (1. izteiksme) ir vienādojuma sakne (2. izteiksme). Aizstājiet vērtību x no 1. izteiksmes, nevis x, izteiksmē 2 un iegūstiet galveno logaritmisko identitāti:
Tātad mēs redzam, ka katra vērtība ir saistīta ar vērtību. Mēs apzīmējam b ar x(), c ar y un tādējādi iegūstam logaritmisku funkciju:
Piemēram: 
Atcerēsimies logaritmiskās funkcijas pamatīpašības.
Vēlreiz pievērsīsim uzmanību, jo zem logaritma kā logaritma bāze var būt stingri pozitīva izteiksme.
Rīsi. 1. Logaritmiskās funkcijas grafiks dažādās bāzēs
Funkcijas at grafiks ir parādīts melnā krāsā. Rīsi. 1. Ja arguments palielinās no nulles līdz bezgalībai, funkcija palielinās no mīnusa līdz plus bezgalībai.
Funkcijas at grafiks ir parādīts sarkanā krāsā. Rīsi. 1.
Šīs funkcijas īpašības:
Darbības joma: ;
Vērtību diapazons: ;
Funkcija ir monotona visā tās definīcijas jomā. Kad monotoni (stingri) palielinās, augstāka vērtība arguments atbilst lielākajai funkcijas vērtībai. Kad monotoniski (stingri) samazinās, lielāka argumenta vērtība atbilst mazākai funkcijas vērtībai.
Logaritmiskās funkcijas īpašības ir atslēga dažādu logaritmisko vienādojumu risināšanai.
Apskatīsim vienkāršāko logaritmisko vienādojumu, kā likums, tiek reducēti uz šo formu.
Tā kā logaritmu bāzes un paši logaritmi ir vienādi, arī logaritma funkcijas ir vienādas, taču mēs nedrīkstam palaist garām definīcijas jomu. Zem logaritma var parādīties tikai pozitīvs skaitlis, mums ir:
Mēs noskaidrojām, ka funkcijas f un g ir vienādas, tāpēc, lai atbilstu ODZ, pietiek izvēlēties jebkuru nevienādību.
Tādējādi mums ir jaukta sistēma, kurā ir vienādojums un nevienlīdzība:
Parasti nav nepieciešams atrisināt nevienādību, pietiek ar vienādojumu un atrastās saknes aizvietot ar nevienādību, tādējādi veicot pārbaudi.
Formulēsim metodi vienkāršāko logaritmisko vienādojumu risināšanai:
Izlīdzināt logaritmu bāzes;
Pielīdzināt sublogaritmiskās funkcijas;
Veikt pārbaudi.
Apskatīsim konkrētus piemērus.
1. piemērs — atrisiniet vienādojumu:
Logaritmu bāzes sākotnēji ir vienādas, mums ir tiesības pielīdzināt sublogaritmiskās izteiksmes, neaizmirstiet par ODZ, mēs izvēlamies pirmo logaritmu, lai izveidotu nevienādību:
2. piemērs - atrisiniet vienādojumu:
Šis vienādojums atšķiras no iepriekšējā ar to, ka logaritmu bāzes ir mazākas par vienu, taču tas nekādā veidā neietekmē risinājumu:
Atradīsim sakni un aizstāsim to ar nevienlīdzību:
Saņēmām nepareizu nevienādību, kas nozīmē, ka atrastā sakne neapmierina ODZ.
3. piemērs - atrisiniet vienādojumu:
Logaritmu bāzes sākotnēji ir vienādas, mums ir tiesības pielīdzināt sublogaritmiskās izteiksmes, neaizmirstiet par ODZ, mēs izvēlamies otro logaritmu, lai izveidotu nevienādību:
Atradīsim sakni un aizstāsim to ar nevienlīdzību:
Acīmredzot tikai pirmā sakne apmierina DD.