Videokursā “Saņem A” ir iekļautas visas veiksmīgai tēmai nokārtojot vienoto valsts eksāmenu matemātikā par 60-65 ballēm. Pilnīgi visi profila vienotā valsts eksāmena matemātikas uzdevumi 1-13. Piemērots arī matemātikas vienotā valsts eksāmena kārtošanai. Ja vēlies vienoto valsts eksāmenu nokārtot ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!
Sagatavošanas kurss Vienotajam valsts eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss, kas nepieciešams, lai atrisinātu Vienotā valsts eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmie 12 uzdevumi) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne 100 ballu students, ne humanitāro zinātņu students.
Visa nepieciešamā teorija. Ātri veidi Vienotā valsts eksāmena risinājumi, kļūmes un noslēpumi. Ir analizēti visi aktuālie FIPI uzdevumu bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst Vienotā valsts eksāmena 2018 prasībām.
Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.
Simtiem vienotā valsts eksāmena uzdevumu. Vārdu uzdevumi un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami algoritmi problēmu risināšanai. Ģeometrija. teorija, izziņas materiāls, visu veidu vienotā valsts pārbaudījuma uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas krāpšanās lapas, telpiskās iztēles attīstība. Trigonometrija no nulles līdz problēmai 13. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu skaidri skaidrojumi. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Risinājuma pamats sarežģīti uzdevumi Vienotā valsts eksāmena 2 daļas.
Lai atrisinātu ģeometrijas problēmas, jums jāzina formulas, piemēram, trīsstūra laukums vai paralelograma laukums, kā arī vienkārši paņēmieni, kurus mēs apskatīsim.
Vispirms apgūsim figūru laukumu formulas. Mēs tos esam īpaši savākuši ērtā tabulā. Drukā, mācies un piesakies!
Protams, ne visas ģeometrijas formulas ir mūsu tabulā. Piemēram, lai atrisinātu ģeometrijas un stereometrijas problēmas profila Vienotais valsts eksāmens matemātikā otrajā daļā, tiek izmantotas citas trijstūra laukuma formulas. Par tiem noteikti pastāstīsim.
Bet ko darīt, ja jums jāatrod nevis trapeces vai trīsstūra laukums, bet gan sarežģītas figūras laukums? Ir universāli veidi! Mēs tos parādīsim, izmantojot piemērus no FIPI uzdevumu bankas.
1. Kā atrast nestandarta figūras laukumu? Piemēram, patvaļīgs četrstūris? Vienkāršs paņēmiens – sadalīsim šo figūru tajos, par kuriem zinām visu, un atradīsim tās laukumu – kā šo figūru laukumu summu.
Sadaliet šo četrstūri ar horizontālu līniju divos trīsstūros, kuru kopējā bāze ir vienāda ar . Šo trīsstūru augstums ir vienāds ar un . Tad četrstūra laukums ir vienāds ar divu trīsstūru laukumu summu: .
Atbilde: .
2. Dažos gadījumos figūras laukumu var attēlot kā dažu apgabalu atšķirību.
Nav nemaz tik vienkārši aprēķināt, ar ko ir vienāds šī trijstūra pamatne un augstums! Bet mēs varam teikt, ka tā laukums ir vienāds ar starpību starp kvadrāta laukumiem ar malu un trīs taisnie trīsstūri. Vai jūs tos redzat attēlā? Mēs iegūstam:.
Atbilde: .
3. Dažreiz uzdevumā ir jāatrod laukums nevis visai figūrai, bet gan tās daļai. Parasti mēs runājam par sektora laukumu - apļa daļu, atrodiet tā apļa laukumu, kura loka garums ir vienāds ar .
Šajā attēlā mēs redzam daļu no apļa. Visa apļa laukums ir vienāds ar . Atliek noskaidrot, kura apļa daļa ir attēlota. Tā kā visa apļa garums ir vienāds (kopš), un noteiktā sektora loka garums ir vienāds, tāpēc loka garums ir vienu reizi mazāks par visa apļa garumu. Leņķis, kurā atrodas šis loks, ir arī koeficients, kas ir mazāks par pilnu apli (tas ir, grādiem). Tas nozīmē, ka sektora laukums būs vairākas reizes mazāks par visa apļa laukumu.
Un senie ēģiptieši izmantoja metodes dažādu figūru laukumu aprēķināšanai, līdzīgas mūsu metodēm.
Manās grāmatās "Sākums" slavenais sengrieķu matemātiķis Eiklīds aprakstīja diezgan liels skaits daudzu platību aprēķināšanas metodes ģeometriskās formas. Pirmie manuskripti Krievijā, kas satur ģeometrisku informāciju, tika uzrakstīti 16. gadsimtā. Tie apraksta noteikumus dažādu formu figūru laukumu atrašanai.
Šodien ar palīdzību modernas metodes ar lielu precizitāti varat atrast jebkuras figūras laukumu.
Apskatīsim vienu no vienkāršākajām figūrām - taisnstūri - un tā laukuma atrašanas formulu.
Taisnstūra laukuma formula
Aplūkosim figūru (1. att.), kas sastāv no $8$ kvadrātiem ar $1$ cm malām. Viena kvadrāta laukumu ar malu $1$ cm sauc par kvadrātcentimetru un raksta $1\ cm^2. $.
Šī skaitļa laukums (1. att.) būs vienāds ar $8\cm^2$.
Figūras laukums, ko var sadalīt vairākos kvadrātos ar malu $1\ cm$ (piemēram, $p$), būs vienāds ar $p\ cm^2$.
Citiem vārdiem sakot, figūras laukums būs vienāds ar tik daudz $cm^2$, cik kvadrātos ar malu $1\ cm$ šo skaitli var sadalīt.
Aplūkosim taisnstūri (2. att.), kas sastāv no $3$ svītrām, no kurām katra ir sadalīta $5$ kvadrātos ar malu $1\ cm$. viss taisnstūris sastāv no $5\cdot 3=15$ šādiem kvadrātiem, un tā laukums ir $15\cm^2$.
1. attēls.
2. attēls.
Figūru laukumu parasti apzīmē ar burtu $S$.
Lai atrastu taisnstūra laukumu, tā garums jāreizina ar platumu.
Ja tā garumu apzīmējam ar burtu $a$ un platumu ar burtu $b$, tad taisnstūra laukuma formula izskatīsies šādi:
1. definīcija
Skaitļi tiek saukti vienāds ja, uzliekot viens otram, skaitļi sakrīt. Ir vienādi skaitļi vienādas platības un vienādi perimetri.
Figūras laukumu var atrast kā tās daļu laukumu summu.
1. piemērs
Piemēram, attēlā $3$ taisnstūris $ABCD$ ir sadalīts divās daļās ar līniju $KLMN$. Vienas daļas laukums ir $12\ cm^2$, bet otras - $9\ cm^2$. Tad taisnstūra $ABCD$ laukums būs vienāds ar $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Atrodiet taisnstūra laukumu, izmantojot formulu:
Kā redzat, ar abām metodēm atrastās platības ir vienādas.
3. attēls.
4. attēls.
Segments $AC$ sadala taisnstūri divās daļās vienāds trīsstūris: $ABC$ un $ADC$. Tas nozīmē, ka katra trīsstūra laukums ir vienāds ar pusi no visa taisnstūra laukuma.
2. definīcija
Tiek saukts taisnstūris ar vienādām malām kvadrāts.
Ja kvadrāta malu apzīmējam ar burtu $a$, tad kvadrāta laukums tiks atrasts pēc formulas:
Līdz ar to skaitļa $a$ nosaukuma kvadrāts.
2. piemērs
Piemēram, ja kvadrāta mala ir $5$ cm, tad tā laukums ir:
Apjomi
Attīstoties tirdzniecībai un celtniecībai jau seno civilizāciju laikos, radās nepieciešamība atrast apjomus. Matemātikā ir ģeometrijas nozare, kas nodarbojas ar telpisko figūru izpēti, ko sauc par stereometriju. Šīs atsevišķās matemātikas nozares pieminēšana tika atrasta jau $IV$ gadsimtā pirms mūsu ēras.
Senie matemātiķi izstrādāja metodi vienkāršu figūru - kuba un paralēlskaldņa - tilpuma aprēķināšanai. Visas to laiku ēkas bija šādas formas. Bet vēlāk tika atrastas metodes, kā aprēķināt sarežģītāku formu figūru apjomu.
Taisnstūra paralēlskaldņa tilpums
Piepildot veidni ar mitrām smiltīm un pēc tam apgriežot to otrādi, iegūsit trīsdimensiju figūru, ko raksturo tilpums. Ja jūs izveidojat vairākas šādas figūras, izmantojot vienu un to pašu veidni, jūs iegūsit figūras ar vienādu tilpumu. Ja veidni piepildīsit ar ūdeni, tad arī ūdens tilpums un smilšu figūras tilpums būs vienādi.
5. attēls.
Jūs varat salīdzināt divu trauku tilpumus, piepildot vienu ar ūdeni un ielejot to otrajā traukā. Ja otrais trauks ir pilnībā piepildīts, tad traukiem ir vienādi tilpumi. Ja ūdens paliek pirmajā, tad pirmā trauka tilpums ir lielāks nekā otrā. Ja, lejot ūdeni no pirmā trauka, nav iespējams pilnībā piepildīt otro trauku, tad pirmā trauka tilpums ir mazāks par otrā.
Tilpumu mēra, izmantojot šādas vienības:
$mm^3$ — kubikmilimetrs,
$cm^3$ — kubikcentimetrs,
$dm^3$ — kubikdecimetrs,
$m^3$ — kubikmetrs,
$km^3$ -- kubikkilometrs.
Un senie ēģiptieši izmantoja metodes dažādu figūru laukumu aprēķināšanai, līdzīgas mūsu metodēm.
Manās grāmatās "Sākums" Slavenais sengrieķu matemātiķis Eiklīds aprakstīja diezgan lielu skaitu veidu, kā aprēķināt daudzu ģeometrisku figūru laukumus. Pirmie manuskripti Krievijā, kas satur ģeometrisku informāciju, tika uzrakstīti 16. gadsimtā. Tie apraksta noteikumus dažādu formu figūru laukumu atrašanai.
Mūsdienās, izmantojot modernas metodes, ar lielu precizitāti var atrast jebkuras figūras laukumu.
Apskatīsim vienu no vienkāršākajām figūrām - taisnstūri - un tā laukuma atrašanas formulu.
Taisnstūra laukuma formula
Aplūkosim figūru (1. att.), kas sastāv no $8$ kvadrātiem ar $1$ cm malām. Viena kvadrāta laukumu ar malu $1$ cm sauc par kvadrātcentimetru un raksta $1\ cm^2. $.
Šī skaitļa laukums (1. att.) būs vienāds ar $8\cm^2$.
Figūras laukums, ko var sadalīt vairākos kvadrātos ar malu $1\ cm$ (piemēram, $p$), būs vienāds ar $p\ cm^2$.
Citiem vārdiem sakot, figūras laukums būs vienāds ar tik daudz $cm^2$, cik kvadrātos ar malu $1\ cm$ šo skaitli var sadalīt.
Aplūkosim taisnstūri (2. att.), kas sastāv no $3$ svītrām, no kurām katra ir sadalīta $5$ kvadrātos ar malu $1\ cm$. viss taisnstūris sastāv no $5\cdot 3=15$ šādiem kvadrātiem, un tā laukums ir $15\cm^2$.
1. attēls.
2. attēls.
Figūru laukumu parasti apzīmē ar burtu $S$.
Lai atrastu taisnstūra laukumu, tā garums jāreizina ar platumu.
Ja tā garumu apzīmējam ar burtu $a$ un platumu ar burtu $b$, tad taisnstūra laukuma formula izskatīsies šādi:
1. definīcija
Skaitļi tiek saukti vienāds ja, uzliekot viens otram, skaitļi sakrīt. Vienādām figūrām ir vienādi laukumi un vienādi permetri.
Figūras laukumu var atrast kā tās daļu laukumu summu.
1. piemērs
Piemēram, attēlā $3$ taisnstūris $ABCD$ ir sadalīts divās daļās ar līniju $KLMN$. Vienas daļas laukums ir $12\ cm^2$, bet otras - $9\ cm^2$. Tad taisnstūra $ABCD$ laukums būs vienāds ar $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Atrodiet taisnstūra laukumu, izmantojot formulu:
Kā redzat, ar abām metodēm atrastās platības ir vienādas.
3. attēls.
4. attēls.
Līnijas segments $AC$ sadala taisnstūri divos vienādos trīsstūros: $ABC$ un $ADC$. Tas nozīmē, ka katra trīsstūra laukums ir vienāds ar pusi no visa taisnstūra laukuma.
2. definīcija
Tiek saukts taisnstūris ar vienādām malām kvadrāts.
Ja kvadrāta malu apzīmējam ar burtu $a$, tad kvadrāta laukums tiks atrasts pēc formulas:
Līdz ar to skaitļa $a$ nosaukuma kvadrāts.
2. piemērs
Piemēram, ja kvadrāta mala ir $5$ cm, tad tā laukums ir:
Apjomi
Attīstoties tirdzniecībai un celtniecībai jau seno civilizāciju laikos, radās nepieciešamība atrast apjomus. Matemātikā ir ģeometrijas nozare, kas nodarbojas ar telpisko figūru izpēti, ko sauc par stereometriju. Šīs atsevišķās matemātikas nozares pieminēšana tika atrasta jau $IV$ gadsimtā pirms mūsu ēras.
Senie matemātiķi izstrādāja metodi vienkāršu figūru - kuba un paralēlskaldņa - tilpuma aprēķināšanai. Visas to laiku ēkas bija šādas formas. Bet vēlāk tika atrastas metodes, kā aprēķināt sarežģītāku formu figūru apjomu.
Taisnstūra paralēlskaldņa tilpums
Piepildot veidni ar mitrām smiltīm un pēc tam apgriežot to otrādi, iegūsit trīsdimensiju figūru, ko raksturo tilpums. Ja jūs izveidojat vairākas šādas figūras, izmantojot vienu un to pašu veidni, jūs iegūsit figūras ar vienādu tilpumu. Ja veidni piepildīsit ar ūdeni, tad arī ūdens tilpums un smilšu figūras tilpums būs vienādi.
5. attēls.
Jūs varat salīdzināt divu trauku tilpumus, piepildot vienu ar ūdeni un ielejot to otrajā traukā. Ja otrais trauks ir pilnībā piepildīts, tad traukiem ir vienādi tilpumi. Ja ūdens paliek pirmajā, tad pirmā trauka tilpums ir lielāks nekā otrā. Ja, lejot ūdeni no pirmā trauka, nav iespējams pilnībā piepildīt otro trauku, tad pirmā trauka tilpums ir mazāks par otrā.
Tilpumu mēra, izmantojot šādas vienības:
$mm^3$ — kubikmilimetrs,
$cm^3$ — kubikcentimetrs,
$dm^3$ — kubikdecimetrs,
$m^3$ — kubikmetrs,
$km^3$ -- kubikkilometrs.
Videokursā “Saņem A” iekļautas visas tēmas, kas nepieciešamas, lai sekmīgi nokārtotu vienoto valsts eksāmenu matemātikā ar 60-65 punktiem. Pilnīgi visi profila vienotā valsts eksāmena matemātikas uzdevumi 1-13. Piemērots arī matemātikas vienotā valsts eksāmena kārtošanai. Ja vēlies vienoto valsts eksāmenu nokārtot ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!
Sagatavošanas kurss Vienotajam valsts eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss, kas nepieciešams, lai atrisinātu Vienotā valsts eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmie 12 uzdevumi) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne 100 ballu students, ne humanitāro zinātņu students.
Visa nepieciešamā teorija. Vienotā valsts eksāmena ātrie risinājumi, kļūmes un noslēpumi. Ir analizēti visi aktuālie FIPI uzdevumu bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst Vienotā valsts eksāmena 2018 prasībām.
Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.
Simtiem vienotā valsts eksāmena uzdevumu. Vārdu uzdevumi un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami algoritmi problēmu risināšanai. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu vienotā valsts pārbaudījuma uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas krāpšanās lapas, telpiskās iztēles attīstība. Trigonometrija no nulles līdz problēmai 13. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu skaidri skaidrojumi. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamats Vienotā valsts eksāmena 2. daļas sarežģītu problēmu risināšanai.