Ģeometrijas zinātne mums stāsta, kas ir trīsstūris, kvadrāts un kubs. IN mūsdienu pasaule to skolās mācās visi bez izņēmuma. Arī zinātne, kas tieši pēta, kas ir trīsstūris un kādas tam piemīt īpašības, ir trigonometrija. Viņa sīki izpēta visas ar datiem saistītās parādības. Mēs runāsim par to, kas šodien ir trīsstūris. To veidi tiks aprakstīti turpmāk, kā arī dažas ar tiem saistītās teorēmas.
Kas ir trīsstūris? Definīcija
Šis ir plakans daudzstūris. Tam ir trīs stūri, kā tas ir skaidrs no nosaukuma. Tam ir arī trīs malas un trīs virsotnes, no kurām pirmā ir segmenti, otrā ir punkti. Zinot, ar ko ir vienādi divi leņķi, trešo var atrast, no skaitļa 180 atņemot pirmo divu summu.
Kādi trīsstūri pastāv?
Tos var klasificēt pēc dažādiem kritērijiem.
Pirmkārt, tos iedala akūtā leņķī, strupleņķī un taisnstūrveida. Pirmajiem ir akūti leņķi, tas ir, tie, kas ir mazāki par 90 grādiem. Strupos leņķos viens no leņķiem ir neass, tas ir, viens, kas ir vienāds ar vairāk nekā 90 grādiem, pārējie divi ir asi. Pie akūtiem trijstūriem pieder arī vienādmalu trijstūri. Šādiem trijstūriem visas malas un leņķi ir vienādi. Tie visi ir vienādi ar 60 grādiem, to var viegli aprēķināt, dalot visu leņķu summu (180) ar trīs.
Taisns trīsstūris
Nav iespējams nerunāt par to, kas tas ir taisnleņķa trīsstūris.
Šādai figūrai ir viens leņķis, kas vienāds ar 90 grādiem (taisns), tas ir, divas tā malas ir perpendikulāras. Atlikušie divi leņķi ir asi. Tie var būt vienādi, tad tas būs vienādsānu. Pitagora teorēma ir saistīta ar taisnleņķa trīsstūri. Izmantojot to, jūs varat atrast trešo pusi, zinot pirmās divas. Saskaņā ar šo teorēmu, ja pievieno vienas kājas kvadrātu otras kājas kvadrātam, jūs varat iegūt hipotenūzas kvadrātu. Kājas kvadrātu var aprēķināt, no hipotenūzas kvadrāta atņemot zināmās kājas kvadrātu. Runājot par to, kas ir trīsstūris, mēs varam atcerēties arī vienādsānu trīsstūri. Tas ir tāds, kurā divas malas ir vienādas un arī divi leņķi ir vienādi.
Kas ir kāja un hipotenūza?
Kāja ir viena no trijstūra malām, kas veido 90 grādu leņķi. Hipotenūza ir atlikušā puse, kas ir pretēja pareizā leņķī. Jūs varat nolaist perpendikulu no tā uz kājas. Blakus esošās malas attiecību pret hipotenūzu sauc par kosinusu, bet pretējo pusi par sinusu.
- kādas ir tā īpašības?
Tas ir taisnstūrveida. Tās kājas ir trīs un četras, un hipotenūza ir piecas. Ja redzat, ka noteiktā trīsstūra kājas ir vienādas ar trīs un četrām, varat būt drošs, ka hipotenūza būs vienāda ar pieci. Turklāt, izmantojot šo principu, jūs varat viegli noteikt, ka kāja būs vienāda ar trīs, ja otrā ir vienāda ar četriem, un hipotenūza ir vienāda ar pieci. Lai pierādītu šo apgalvojumu, varat izmantot Pitagora teorēmu. Ja divas kājas ir vienādas ar 3 un 4, tad 9 + 16 = 25, sakne no 25 ir 5, tas ir, hipotenūza ir vienāda ar 5. Ēģiptes trīsstūris ir arī taisnleņķa trīsstūris, kura malas ir 6, 8 un 10 ; 9, 12 un 15 un citi skaitļi ar attiecību 3:4:5.
Kas vēl varētu būt trīsstūris?
Trijstūri var būt arī ierakstīti vai norobežoti. Figūru, ap kuru ir aprakstīts aplis, sauc par ierakstītu, visas tās virsotnes ir uz riņķa līnijas esošie punkti. Noteikts trīsstūris ir tāds, kurā ir ierakstīts aplis. Visas tā puses noteiktos punktos saskaras ar to.
Kā tas atrodas?
Jebkuras figūras laukums tiek mērīts kvadrātvienībās (kv.metri, kv.millimetri, kv.centimetri, kv.decimetri utt.) Šo vērtību var aprēķināt dažādos veidos, atkarībā no trīsstūra veida. Jebkuras figūras laukumu ar leņķiem var atrast, reizinot tās malu ar perpendikulu, kas uz tās nomests no pretējā leņķa, un dalot šis skaitlis pa diviem. Šo vērtību var atrast arī, reizinot abas puses. Pēc tam reiziniet šo skaitli ar leņķa sinusu, kas atrodas starp šīm malām, un daliet rezultātu ar diviem. Zinot visas trīsstūra malas, bet nezinot tā leņķus, jūs varat atrast laukumu citā veidā. Lai to izdarītu, jums jāatrod puse no perimetra. Pēc tam pārmaiņus no šī skaitļa atņemiet dažādas malas un reiziniet iegūtās četras vērtības. Pēc tam atrodiet no numura, kas iznāca. Ierakstīta trīsstūra laukumu var atrast, reizinot visas malas un iegūto skaitli dalot ar ap to apzīmēto skaitli, reizinot ar četriem.
Ierobežota trīsstūra laukums tiek atrasts šādā veidā: mēs reizinām pusi perimetra ar tajā ierakstītā apļa rādiusu. Ja tad tā laukumu var atrast šādi: kvadrātā malu, iegūto skaitli reiziniet ar sakni no trīs, tad daliet šo skaitli ar četriem. Līdzīgā veidā varat aprēķināt trijstūra augstumu, kurā visas malas ir vienādas, lai to izdarītu, viena no tām jāreizina ar trīs sakni un pēc tam jāsadala dotais numurs pa diviem.
Teorēmas, kas saistītas ar trīsstūri
Galvenās ar šo figūru saistītās teorēmas ir iepriekš aprakstītā Pitagora teorēma un kosinusi. Otrais (no sinusiem) ir tāds, ka, sadalot jebkuru malu ar tai pretējā leņķa sinusu, varat iegūt ap to aprakstītā apļa rādiusu, kas reizināts ar divi. Trešais (kosinusi) ir tāds, ka, ja no abu malu kvadrātu summas mēs atņemam to reizinājumu, reizinot ar divi, un leņķa kosinusu, kas atrodas starp tām, tad iegūstam trešās malas kvadrātu.
Dali trīsstūris - kas tas ir?
Daudzi, saskaroties ar šo jēdzienu, sākumā domā, ka tā ir sava veida ģeometrijas definīcija, taču tā nebūt nav. Dalī trīsstūris ir parastais nosaukums trīs vietas, kas ir cieši saistītas ar dzīvi slavens mākslinieks. Tās “virsotnes” ir māja, kurā dzīvoja Salvadors Dalī, pils, ko viņš uzdāvināja savai sievai, kā arī sirreālisma gleznu muzejs. Apmeklējot šīs vietas, jūs varat daudz uzzināt. interesanti fakti par šo unikālo radošo mākslinieku, kas pazīstams visā pasaulē.
Varbūt visvienkāršākā, vienkāršākā un interesantākā figūra ģeometrijā ir trīsstūris. Es zinu vidusskola tiek pētītas tā pamatīpašības, taču dažreiz zināšanas par šo tēmu ir nepilnīgas. Trīsstūru veidi sākotnēji nosaka to īpašības. Taču šis viedoklis joprojām ir pretrunīgs. Tāpēc tagad aplūkosim šo tēmu nedaudz sīkāk.
Trīsstūru veidi ir atkarīgi no leņķu pakāpes. Šie skaitļi ir asi, taisnstūrveida un strupi. Ja visi leņķi nepārsniedz 90 grādus, tad skaitli var droši saukt par akūtu. Ja vismaz viens trijstūra leņķis ir 90 grādi, tad jums ir darīšana ar taisnstūra apakšsugu. Attiecīgi visos pārējos gadījumos aplūkojamo sauc par neasu leņķi.
Akūtā leņķa apakštipiem ir daudz problēmu. Atšķirīga iezīme ir bisektoru, mediānu un augstumu krustošanās punktu iekšējā atrašanās vieta. Citos gadījumos šis nosacījums var nebūt izpildīts. Nav grūti noteikt trīsstūra figūras veidu. Pietiek zināt, piemēram, katra leņķa kosinusu. Ja kādas vērtības ir mazākas par nulli, tad trijstūris jebkurā gadījumā ir neass. Nulles indikatora gadījumā skaitlim ir taisns leņķis. Visas pozitīvās vērtības garantē, ka jūs skatāties uz leņķisko skatu.
Nav iespējams neteikt par taisnleņķa trīsstūris. Tas ir visvairāk ideāls skats, kur visi mediānu, bisektoru un augstumu krustošanās punkti sakrīt. Tajā pašā vietā atrodas arī ierakstītā un norobežotā apļa centrs. Lai atrisinātu problēmas, jums jāzina tikai viena puse, jo leņķi sākotnēji tiek doti jums, bet pārējās divas puses ir zināmas. Tas ir, skaitli norāda tikai viens parametrs. Tie pastāv galvenā iezīme- divu malu un leņķu vienādība pie pamatnes.
Dažreiz rodas jautājums, vai pastāv trīsstūris ar noteiktām malām. Jūs patiešām jautājat, vai sniegtais apraksts atbilst galvenajai sugai. Piemēram, ja divu malu summa ir mazāka par trešo, tad patiesībā šāds skaitlis vispār nepastāv. Ja uzdevumā tiek prasīts atrast trijstūra leņķu kosinusus ar malām 3,5,9, tad acīmredzamo var izskaidrot bez sarežģītiem matemātiskajiem paņēmieniem. Pieņemsim, ka vēlaties nokļūt no punkta A līdz punktam B. Taisnes līnijas attālums ir 9 kilometri. Jūs taču atcerējāties, ka veikalā jāiet uz punktu C. Attālums no A līdz C ir 3 kilometri, bet no C līdz B ir 5. Tādējādi sanāk, ka, pārvietojoties pa veikalu, noietu par kilometru mazāk. Bet, tā kā punkts C neatrodas taisnē AB, jums būs jāiet papildu attālums. Šeit ir pretruna. Tas, protams, ir nosacīts skaidrojums. Matemātika zina vairāk nekā vienu veidu, kā pierādīt, ka visu veidu trīsstūri pakļaujas pamatidentitātei. Tajā teikts, ka divu malu summa ir lielāka par trešās malas garumu.
Jebkuram veidam ir šādas īpašības:
1) Visu leņķu summa ir 180 grādi.
2) Vienmēr ir ortocentrs - visu trīs augstumu krustošanās punkts.
3) Visas trīs vidusdaļas, kas novilktas no iekšējo leņķu virsotnēm, krustojas vienuviet.
4) Ap jebkuru trīsstūri var apvilkt apli. Varat arī ierakstīt apli tā, lai tam būtu tikai trīs saskares punkti un tas nepārsniegtu ārējās malas.
Tagad jūs esat iepazinies ar dažādu veidu trīsstūru pamatīpašībām. Nākotnē ir svarīgi saprast, ar ko jūs saskaraties, risinot problēmu.
Vairāk bērnu pirmsskolas vecums zināt, kā izskatās trīsstūris. Bet bērni jau sāk saprast, kādi viņi ir skolā. Viens veids ir strups trīsstūris. Vienkāršākais veids, kā saprast, kas tas ir, ir redzēt tā attēlu. Un teorētiski to viņi sauc par “vienkāršāko daudzstūri” ar trim malām un virsotnēm, no kurām viena ir
Izpratne par jēdzieniem
Ģeometrijā ir šāda veida figūras ar trim malām: akūts, taisns un strups trīsstūris. Turklāt šo vienkāršāko daudzstūru īpašības visiem ir vienādas. Jā, visiem uzskaitītie veidi tāda nevienlīdzība tiks novērota. Jebkuru divu malu garumu summa noteikti būs lielāka par trešās malas garumu.
Bet, lai pārliecinātos, ka mēs runājam par pilnīgu figūru, nevis par atsevišķu virsotņu kopu, ir jāpārbauda, vai ir izpildīts galvenais nosacījums: neasa trijstūra leņķu summa ir vienāda ar 180 grādiem. . Tas pats attiecas uz cita veida figūrām ar trīs malām. Tiesa, strupā trīsstūrī viens no leņķiem būs pat lielāks par 90°, bet pārējie divi noteikti būs asi. Šajā gadījumā tas ir lielākais leņķis, kas būs pretī garākajai malai. Tiesa, tās nav visas neasā trijstūra īpašības. Bet pat zinot tikai šīs funkcijas, skolēni var atrisināt daudzas ģeometrijas problēmas.
Katram daudzstūrim ar trim virsotnēm ir arī taisnība, ka, turpinot kādu no malām, mēs iegūstam leņķi, kura izmērs būs vienāds ar summu divas neblakus esošās iekšējās virsotnes. Strupā trijstūra perimetru aprēķina tāpat kā citām formām. Tas ir vienāds ar visu tā malu garumu summu. Lai to noteiktu, matemātiķi ir izstrādājuši dažādas formulas atkarībā no tā, kādi dati sākotnēji ir klāt.
Pareizs stils
Viens no svarīgākajiem nosacījumiemģeometrijas problēmu risināšana ir pareizais zīmējums. Matemātikas skolotāji bieži saka, ka tas palīdzēs ne tikai vizualizēt to, kas tiek dots un kas no jums tiek prasīts, bet par 80% pietuvoties pareizajai atbildei. Tāpēc ir svarīgi zināt, kā izveidot neasu trīsstūri. Ja jums ir nepieciešama tikai hipotētiska figūra, varat uzzīmēt jebkuru daudzstūri ar trim malām, lai viens no leņķiem būtu lielāks par 90 grādiem.
Ja ir dotas noteiktas malu garuma vērtības vai leņķu pakāpes, tad atbilstoši tām ir jāzīmē neass trīsstūris. Šajā gadījumā ir jācenšas pēc iespējas precīzāk attēlot leņķus, aprēķinot tos, izmantojot transportieri, un attēlot malas proporcionāli uzdevumā dotajiem nosacījumiem.
Galvenās līnijas
Bieži vien nepietiek ar to, ka skolēni zina tikai to, kā vajadzētu izskatīties noteiktām figūrām. Viņi nevar aprobežoties ar informāciju tikai par to, kurš trīsstūris ir neass un kurš ir pareizs. Matemātikas kurss prasa, lai viņu zināšanas par figūru pamatīpašībām būtu pilnīgākas.
Tātad katram skolēnam ir jāsaprot bisektrise, mediāna, perpendikulāra bisektrise un augstums. Turklāt viņam jāzina to pamatīpašības.
Tādējādi bisektori sadala leņķi uz pusēm un pretējo pusi segmentos, kas ir proporcionāli blakus esošajām malām.
Mediāna sadala jebkuru trīsstūri divos vienādos laukumos. Vietā, kur tie krustojas, katrs no tiem ir sadalīts 2 segmentos proporcijā 2: 1, skatoties no virsotnes, no kuras tas parādījās. Šajā gadījumā lielā mediāna vienmēr tiek vilkta uz tās mazāko pusi.
Ne mazāka uzmanība tiek pievērsta augumam. Tas ir perpendikulārs stūrim pretējā pusē. Strupā trijstūra augstumam ir savas īpašības. Ja to zīmē no asas virsotnes, tad tas nenonāk šī vienkāršākā daudzstūra malā, bet gan tā turpinājumā.
Perpendikulārā bisektrise ir līnijas segments, kas stiepjas no trijstūra skaldnes centra. Turklāt tas atrodas taisnā leņķī pret to.
Darbs ar apļiem
Ģeometrijas apguves sākumā bērniem pietiek saprast, kā uzzīmēt strupu trīsstūri, iemācīties to atšķirt no citiem veidiem un atcerēties tā pamatīpašības. Bet vidusskolēniem ar šīm zināšanām vairs nepietiek. Piemēram, vienotajā valsts eksāmenā bieži tiek uzdoti jautājumi par ierobežotiem un ierakstītiem apļiem. Pirmais no tiem pieskaras visām trim trijstūra virsotnēm, bet otrajam ir viens kopīgs punkts ar visām malām.
Ierakstīta vai norobežota trula trīsstūra konstruēšana ir daudz grūtāka, jo, lai to izdarītu, vispirms ir jānoskaidro, kur jāatrodas apļa centram un tā rādiusam. Starp citu, šajā gadījumā par nepieciešamo instrumentu kļūs ne tikai zīmulis ar lineālu, bet arī kompass.
Tādas pašas grūtības rodas, veidojot ierakstītus daudzstūrus ar trim malām. Matemātiķi ir izstrādājuši dažādas formulas, kas ļauj pēc iespējas precīzāk noteikt savu atrašanās vietu.
Ierakstīti trīsstūri
Kā minēts iepriekš, ja aplis iet cauri visām trim virsotnēm, tad to sauc par apli. Tās galvenā īpašība ir unikāla. Lai noskaidrotu, kā jāatrodas neasā trijstūra ierobežotajam aplim, jāatceras, ka tā centrs atrodas trīs bisektorālo perpendikulu krustpunktā, kas iet uz figūras malām. Ja akūtā leņķa daudzstūrī ar trim virsotnēm šis punkts atradīsies tā iekšpusē, tad strupleņķa daudzstūrī tas atradīsies ārpus tā.
Piemēram, zinot, ka viena no neasā trijstūra malām ir vienāda ar tā rādiusu, jūs varat atrast leņķi, kas atrodas pretī zināmajai sejai. Tās sinuss būs vienāds ar rezultātu, dalot zināmās malas garumu ar 2R (kur R ir apļa rādiuss). Tas ir, leņķa grēks būs vienāds ar ½. Tas nozīmē, ka leņķis būs vienāds ar 150°.
Ja jums ir jāatrod strupā trijstūra apkārtmēra rādiuss, tad jums būs nepieciešama informācija par tā malu garumu (c, v, b) un laukumu S. Galu galā rādiusu aprēķina šādi: (c x v x b) : 4 x S. Starp citu, nav nozīmes tam, kāda veida figūra jums ir: mērogs neass trīsstūris, vienādsānu, taisnleņķa vai akūts leņķis. Jebkurā situācijā, pateicoties iepriekšminētajai formulai, jūs varat uzzināt noteiktā daudzstūra laukumu ar trim malām.
Apzīmēti trīsstūri
Tāpat bieži nākas strādāt ar ierakstītiem apļiem. Saskaņā ar vienu formulu šāda skaitļa rādiuss, reizināts ar ½ perimetra, būs vienāds ar trīsstūra laukumu. Tiesa, lai to izdomātu, ir jāzina neasā trijstūra malas. Galu galā, lai noteiktu ½ perimetra, jums jāpievieno to garumi un jādala ar 2.
Lai saprastu, kur jāatrodas strupā trijstūrī ierakstīta apļa centram, ir jānozīmē trīs bisektrise. Šīs ir līnijas, kas sadala stūrus. Tieši to krustpunktā atradīsies apļa centrs. Šajā gadījumā tas būs vienādā attālumā no katras puses.
Šāda apļa rādiuss, kas ierakstīts strupā trijstūrī, ir vienāds ar koeficientu (p-c) x (p-v) x (p-b): p. Šajā gadījumā p ir trijstūra pusperimetrs, c, v, b ir tā malas.
Vienkāršākais daudzstūris, kas tiek pētīts skolā, ir trīsstūris. Studentiem tas ir saprotamāk un ar mazāk grūtībām. Neskatoties uz to, ka ir dažāda veida trīsstūri, kuriem ir īpašas īpašības.
Kādu formu sauc par trīsstūri?
Veido trīs punkti un segmenti. Pirmās sauc par virsotnēm, otrās par malām. Turklāt visiem trim segmentiem jābūt savienotiem tā, lai starp tiem veidotos leņķi. Līdz ar to "trijstūra" figūras nosaukums.
Atšķirības nosaukumos pa stūriem
Tā kā tie var būt akūti, strupi un taisni, trīsstūru veidus nosaka šie nosaukumi. Attiecīgi ir trīs šādu skaitļu grupas.
- Pirmkārt. Ja visi trijstūra leņķi ir asi, tad to sauks par akūtu. Viss ir loģiski.
- Otrkārt. Viens no leņķiem ir neass, kas nozīmē, ka trīsstūris ir neass. Tas nevarētu būt vienkāršāk.
- Trešais. Ir leņķis, kas vienāds ar 90 grādiem, ko sauc par taisnu leņķi. Trijstūris kļūst taisnstūrveida.
Atšķirības nosaukumos sānos
Atkarībā no malu īpašībām izšķir šādus trijstūri:
vispārējais gadījums ir skalēns, kurā visas malas ir patvaļīga garuma;
vienādsānu, kuru divām malām ir vienādas skaitliskās vērtības;
vienādmalu, visu tā malu garumi ir vienādi.
Ja problēma nenorāda konkrētu trīsstūra veidu, jums ir jāzīmē patvaļīgs. Kurā visi stūri ir asi un malām ir dažāda garuma.
Visiem trijstūriem kopīgas īpašības
- Ja jūs saskaitāt visus trijstūra leņķus, jūs iegūstat skaitli, kas vienāds ar 180º. Un nav svarīgi, kāda veida tas ir. Šis noteikums vienmēr ir spēkā.
- Trijstūra jebkuras malas skaitliskā vērtība ir mazāka par pārējām divām kopā. Turklāt tas ir lielāks par to atšķirību.
- Katram ārējam leņķim ir vērtība, ko iegūst, saskaitot divus iekšējos leņķus, kas tam nav blakus. Turklāt tas vienmēr ir lielāks par iekšējo, kas atrodas tam blakus.
- Mazākais leņķis vienmēr atrodas pretī trijstūra mazākajai malai. Un otrādi, ja mala ir liela, tad leņķis būs lielākais.
Šīs īpašības vienmēr ir spēkā neatkarīgi no tā, kāda veida trīsstūri tiek apskatīti uzdevumos. Viss pārējais izriet no konkrētām iezīmēm.
Vienādsānu trīsstūra īpašības
- Leņķi, kas atrodas blakus pamatnei, ir vienādi.
- Augstums, kas tiek novilkts uz pamatni, ir arī mediāna un bisektrise.
- Augstumi, mediānas un bisektrise, kas ir veidoti uz trijstūra sānu malām, ir attiecīgi vienādi.
Vienādmalu trijstūra īpašības
Ja ir šāds skaitlis, tad visas nedaudz augstāk aprakstītās īpašības būs patiesas. Jo vienādmalu vienmēr būs vienādsānu. Bet ne otrādi, vienādsānu trīsstūrim nav obligāti jābūt vienādmalu.
- Visi tā leņķi ir vienādi viens ar otru, un to vērtība ir 60º.
- Jebkura mediāna vienādmalu trīsstūris ir tā augstums un bisektrise. Turklāt viņi visi ir līdzvērtīgi viens otram. Lai noteiktu to vērtības, ir formula, kas sastāv no malas un kvadrātsaknes reizinājuma no 3, kas dalīts ar 2.
Taisnstūra trīsstūra īpašības
- Divi asi leņķi kopā veido 90º.
- Hipotenūzas garums vienmēr ir lielāks nekā jebkuras kājas garums.
- Hipotenūzai piesaistītās mediānas skaitliskā vērtība ir vienāda ar tās pusi.
- Kāja ir vienāda ar tādu pašu vērtību, ja tā atrodas pretī 30º leņķim.
- Augstumam, kas tiek ņemts no virsotnes ar vērtību 90º, ir noteikta matemātiska atkarība no kājām: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Šeit: a, b - kājas, n - augstums.
Problēmas ar dažāda veida trijstūriem
Nr.1. Dots vienādsānu trīsstūris. Tā perimetrs ir zināms un vienāds ar 90 cm Mums ir jānoskaidro tā malas. Kā papildu nosacījums: sānu puse ir 1,2 reizes mazāka par pamatni.
Perimetra vērtība ir tieši atkarīga no daudzumiem, kas jāatrod. Visu trīs malu summa dos 90 cm Tagad jums ir jāatceras trijstūra zīme, saskaņā ar kuru tas ir vienādsānu. Tas ir, abas puses ir vienādas. Jūs varat izveidot vienādojumu ar diviem nezināmajiem: 2a + b = 90. Šeit a ir mala, b ir bāze.
Tagad ir pienācis laiks papildu nosacījumam. Pēc tā tiek iegūts otrais vienādojums: b = 1.2a. Jūs varat aizstāt šo izteiksmi ar pirmo. Izrādās: 2a + 1,2a = 90. Pēc pārveidojumiem: 3,2a = 90. Tātad a = 28,125 (cm). Tagad ir viegli noskaidrot pamatu. To vislabāk var izdarīt no otrā nosacījuma: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).
Lai pārbaudītu, varat pievienot trīs vērtības: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Pareizi.
Atbilde: Trijstūra malas ir 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.
Nr.2. Vienādmalu trīsstūra mala ir 12 cm. Jums jāaprēķina tā augstums.
Risinājums. Lai atrastu atbildi, pietiek atgriezties brīdī, kad tika aprakstītas trīsstūra īpašības. Šī ir formula vienādmalu trijstūra augstuma, mediānas un bisektrise atrašanai.
n = a * √3 / 2, kur n ir augstums un a ir mala.
Aizstāšana un aprēķins dod šādu rezultātu: n = 6 √3 (cm).
Šī formula nav jāiegaumē. Pietiek atcerēties, ka augstums sadala trīsstūri divos taisnstūrveida. Turklāt izrādās, ka tā ir kāja, un hipotenūza tajā ir sākotnējās puses puse, otrā kāja ir puse no zināmās puses. Tagad jums ir jāpieraksta Pitagora teorēma un jāatvasina augstuma formula.
Atbilde: augstums ir 6√3 cm.
Nr.3. Ņemot vērā, ka MKR ir trijstūris, kurā leņķis K veido 90 grādus, ir zināmas malas, kas ir vienādas ar 30 un 15 cm. Mums ir jānoskaidro leņķa P vērtība.
Risinājums. Ja jūs izveidojat zīmējumu, kļūst skaidrs, ka MR ir hipotenūza. Turklāt tas ir divreiz lielāks par KR malu. Atkal jums jāgriežas pie īpašumiem. Viens no tiem ir saistīts ar leņķiem. No tā ir skaidrs, ka KMR leņķis ir 30º. Tas nozīmē, ka vēlamais leņķis P būs vienāds ar 60º. Tas izriet no cita īpašuma, kurā teikts, ka summa divi asi stūri jābūt 90º.
Atbilde: leņķis P ir 60º.
Nr.4. Mums jāatrod visi vienādsānu trīsstūra leņķi. Par to ir zināms, ka ārējais leņķis no leņķa pie pamatnes ir 110º.
Risinājums. Tā kā ir norādīts tikai ārējais leņķis, tas ir jāizmanto. Tas veido nesalocītu leņķi ar iekšējo. Tas nozīmē, ka kopumā tie dos 180º. Tas ir, leņķis pie trijstūra pamatnes būs vienāds ar 70º. Tā kā tas ir vienādsānu, otrajam leņķim ir tāda pati vērtība. Atliek aprēķināt trešo leņķi. Saskaņā ar īpašību, kas ir kopīga visiem trijstūriem, leņķu summa ir 180º. Tas nozīmē, ka trešais tiks definēts kā 180º - 70º - 70º = 40º.
Atbilde: leņķi ir 70º, 70º, 40º.
Nr.5. Ir zināms, ka vienādsānu trīsstūrī leņķis pret pamatu ir 90º. Uz pamatnes ir atzīmēts punkts. Segments, kas savieno to ar taisnu leņķi, sadala to attiecībā 1 pret 4. Jānoskaidro visi mazākā trijstūra leņķi.
Risinājums. Vienu no leņķiem var noteikt uzreiz. Tā kā trīsstūris ir taisnleņķa un vienādsānu, tiem, kas atrodas tā pamatnē, katrs būs 45º, tas ir, 90º/2.
Otrais no tiem palīdzēs jums atrast nosacījumā zināmo attiecību. Tā kā tas ir vienāds ar 1 pret 4, daļas, kurās tas ir sadalīts, ir tikai 5. Tas nozīmē, ka, lai noskaidrotu trijstūra mazāko leņķi, ir nepieciešams 90º/5 = 18º. Atliek noskaidrot trešo. Lai to izdarītu, no 180º (visu trīsstūra leņķu summa) ir jāatņem 45º un 18º. Aprēķini ir vienkārši, un jūs iegūstat: 117º.
Studējot matemātiku, skolēni sāk iepazīties ar dažādiem matemātikas veidiem ģeometriskās formas. Šodien mēs runāsim par dažādi veidi trijstūri.
Definīcija
Ģeometriskās figūras, kas sastāv no trim punktiem, kas neatrodas vienā taisnē, sauc par trijstūriem.
Punktus savienojošos segmentus sauc par malām, bet punktus par virsotnēm. Virsotnes tiek apzīmētas ar lielajiem burtiem, piemēram: A, B, C.
Malas ir apzīmētas ar divu punktu nosaukumiem, no kuriem tās sastāv - AB, BC, AC. Krustojoties, malas veido leņķus. Apakšējā puse tiek uzskatīta par figūras pamatni.
Rīsi. 1. Trijstūris ABC.
Trīsstūru veidi
Trijstūri tiek klasificēti pēc leņķiem un malām. Katram trīsstūra veidam ir savas īpašības.
Stūros ir trīs veidu trīsstūri:
- akūts leņķis;
- taisnstūrveida;
- strupleņķa.
Visi leņķi akūts leņķis trijstūri ir asi, tas ir pakāpes mērs katrs ir ne vairāk kā 90 0.
Taisnstūrveida trijstūrī ir taisns leņķis. Pārējie divi leņķi vienmēr būs asi, jo pretējā gadījumā trijstūra leņķu summa pārsniegs 180 grādus, un tas nav iespējams. Pusi, kas atrodas pretī taisnajam leņķim, sauc par hipotenūzu, bet pārējās divas sauc par kājām. Hipotenūza vienmēr ir lielāka par kāju.
Stulbs trijstūrī ir neass leņķis. Tas ir, leņķis, kas lielāks par 90 grādiem. Pārējie divi leņķi šādā trīsstūrī būs asi.
Rīsi. 2. Trīsstūru veidi stūros.
Pitagora trīsstūris ir taisnstūris, kura malas ir 3, 4, 5.
Turklāt lielākā puse ir hipotenūza.
Šādus trīsstūrus bieži izmanto, lai izgatavotu vienkāršus uzdevumusģeometrijā. Tāpēc atcerieties: ja trijstūra divas malas ir vienādas ar 3, tad trešā noteikti būs 5. Tas vienkāršos aprēķinus.
Trīsstūru veidi sānos:
- vienādmalu;
- vienādsānu;
- daudzpusīgs.
Vienādmalu Trijstūris ir trīsstūris, kura visas malas ir vienādas. Visi šāda trīsstūra leņķi ir vienādi ar 60 0, tas ir, tas vienmēr ir akūts.
Vienādsānu trijstūris - trīsstūris, kuram ir tikai divas vienādas malas. Šīs malas sauc par sāniem, bet trešo sauc par pamatni. Turklāt leņķi vienādsānu trīsstūra pamatnē ir vienādi un vienmēr asi.
Daudzpusīgs vai patvaļīgs trīsstūris ir trijstūris, kura visi garumi un visi leņķi nav vienādi viens ar otru.
Ja problēma nesatur nekādus precizējumus par figūru, tad ir vispārpieņemts, ka mēs runājam par patvaļīgu trīsstūri.
Rīsi. 3. Trīsstūru veidi sānos.
Visu trīsstūra leņķu summa neatkarīgi no tā veida ir 1800.
Pretī lielākajam leņķim ir lielākā puse. Un arī jebkuras malas garums vienmēr ir mazāks par tā pārējo divu malu summu. Šīs īpašības apstiprina trijstūra nevienādības teorēma.
Ir zelta trīsstūra jēdziens. Šis ir vienādsānu trīsstūris ar diviem puses proporcionāls bāzei un vienāds noteiktu skaitli. Šādā attēlā leņķi ir proporcionāli attiecībai 2:2:1.
Uzdevums:
Vai ir trīsstūris, kura malas ir 6 cm, 3 cm, 4 cm?
Risinājums:
Risinājumiem no šī uzdevuma jums ir jāizmanto nevienlīdzība a
Ko mēs esam iemācījušies?
No no šī materiāla No 5. klases matemātikas kursa uzzinājām, ka trijstūri klasificē pēc to malām un leņķu lieluma. Trijstūriem ir noteiktas īpašības, kuras var izmantot problēmu risināšanai.