Definīcija
Piramīda ir daudzstūris, kas sastāv no daudzstūra \(A_1A_2...A_n\) un \(n\) trijstūriem ar kopīgu virsotni \(P\) (neatrodas daudzstūra plaknē) un malām, kas atrodas tam pretī, sakrītot ar daudzstūra malas.
Apzīmējums: \(PA_1A_2...A_n\) .
Piemērs: piecstūra piramīda \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Trijstūri \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) utt. tiek saukti sānu sejas piramīdas, segmenti \(PA_1, PA_2\) utt. – sānu ribas, daudzstūris \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – pamats, punkts \(P\) – augšā.
Augstums piramīdas ir perpendikuls, kas nolaižas no piramīdas virsotnes līdz pamatnes plaknei.
Tiek saukta piramīda ar trīsstūri tās pamatnē tetraedrs.
Piramīdu sauc pareizi, ja tā pamatne ir regulārs daudzstūris un ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:
\((a)\) sānu ribas piramīdas ir vienādas;
\((b)\) piramīdas augstums iet caur apļa centru, kas ir norobežots netālu no pamatnes;
\(c)\) sānu ribas ir slīpi pret pamatnes plakni tādā pašā leņķī.
\((d)\) sānu sejas slīpi pret pamatnes plakni tādā pašā leņķī.
Regulārs tetraedrs ir trīsstūrveida piramīda, kuras visas skaldnes ir vienādi vienādmalu trijstūri.
Teorēma
Nosacījumi \((a), (b), (c), (d)\) ir līdzvērtīgi.
Pierādījums
Noskaidrosim piramīdas augstumu \(PH\) . Pieņemsim, ka \(\alpha\) ir piramīdas pamatnes plakne.
1) Pierādīsim, ka \((a)\) nozīmē \((b)\) . Ļaujiet \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Jo \(PH\perp \alpha\), tad \(PH\) ir perpendikulāra jebkurai taisnei, kas atrodas šajā plaknē, kas nozīmē, ka trijstūri ir taisnleņķi. Tas nozīmē, ka šie trīsstūri ir vienādi kopējā kājā \(PH\) un hipotenūzā \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Tas nozīmē \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Tas nozīmē, ka punkti \(A_1, A_2, ..., A_n\) atrodas vienādā attālumā no punkta \(H\), tāpēc tie atrodas uz viena apļa ar rādiusu \(A_1H\) . Šis aplis pēc definīcijas ir ierobežots ap daudzstūri \(A_1A_2...A_n\) .
2) Pierādīsim, ka \((b)\) nozīmē \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) taisnstūrveida un vienāds uz divām kājām. Tas nozīmē, ka arī to leņķi ir vienādi, tāpēc \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).
3) Pierādīsim, ka \((c)\) nozīmē \((a)\) .
Līdzīgi kā pirmajā punktā, trijstūri \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) taisnstūrveida un gar kāju un ass stūris. Tas nozīmē, ka arī to hipotenūzas ir vienādas, tas ir, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Pierādīsim, ka \((b)\) nozīmē \((d)\) .
Jo regulārā daudzstūrī norobežotā un ierakstītā apļa centri sakrīt (vispārīgi runājot, šo punktu sauc par regulāra daudzstūra centru), tad \(H\) ir ierakstītā apļa centrs. Zīmēsim perpendikulus no punkta \(H\) uz pamatnes malām: \(HK_1, HK_2\) utt. Tie ir ierakstītā apļa rādiusi (pēc definīcijas). Tad saskaņā ar TTP (\(PH\) ir perpendikuls plaknei, \(HK_1, HK_2\) utt. ir projekcijas, perpendikulāri sāniem) slīps \(PK_1, PK_2\) utt. perpendikulāri malām \(A_1A_2, A_2A_3\) utt. attiecīgi. Tātad, pēc definīcijas \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\) vienāds ar leņķiem starp sānu virsmām un pamatni. Jo trijstūri \(PK_1H, PK_2H, ...\) ir vienādi (kā taisnstūri no divām malām), tad leņķi \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\) ir vienādi.
5) Pierādīsim, ka \((d)\) nozīmē \((b)\) .
Līdzīgi kā ceturtajā punktā, trīsstūri \(PK_1H, PK_2H, ...\) ir vienādi (kā taisnstūrveida gar kāju un akūtu leņķi), kas nozīmē, ka segmenti \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) ir vienāds. Tas nozīmē, ka pēc definīcijas \(H\) ir apļa centrs, kas ierakstīts pamatnē. Bet tāpēc Regulāriem daudzstūriem ierakstīto un ierobežoto apļu centri sakrīt, tad \(H\) ir ierobežotā apļa centrs. Chtd.
Sekas
Regulāras piramīdas sānu malas ir vienādi vienādsānu trīsstūri.
Definīcija
No tās virsotnes izvilktas regulāras piramīdas sānu virsmas augstumu sauc apotēms.
Regulāras piramīdas visu sānu skaldņu apotēmas ir vienādas viena ar otru un ir arī mediānas un bisektrise.
Svarīgas piezīmes
1. Augstums ir pareizs trīsstūrveida piramīda krīt pamatnes augstumu (vai bisektriņu, jeb mediānu) krustpunktā (pamatne ir regulārs trīsstūris).
2. Regulāras četrstūra piramīdas augstums krīt pamatnes diagonāļu krustpunktā (pamats ir kvadrāts).
3. Regulāras sešstūra piramīdas augstums krītas pamatnes diagonāļu krustpunktā (pamats ir regulārs sešstūris).
4. Piramīdas augstums ir perpendikulārs jebkurai taisnei, kas atrodas pie pamatnes.
Definīcija
Piramīdu sauc taisnstūrveida, ja viena no tā sānu malām ir perpendikulāra pamatnes plaknei.
Svarīgas piezīmes
1. Taisnstūra piramīdas mala, kas ir perpendikulāra pamatnei, ir piramīdas augstums. Tas ir, \(SR\) ir augstums.
2. Jo \(SR\) ir perpendikulāra jebkurai līnijai no pamatnes, tad \(\trijstūris SRM, \trijstūris SRP\)- taisnleņķa trijstūri.
3. Trijstūri \(\trijstūris SRN, \trijstūris SRK\)- arī taisnstūrveida.
Tas ir, jebkurš trīsstūris, ko veido šī mala un diagonāle, kas iziet no šīs malas virsotnes, kas atrodas pie pamatnes, būs taisnstūrveida.
\[(\Large(\text(Piramīdas tilpums un virsmas laukums)))\]
Teorēma
Piramīdas tilpums ir vienāds ar vienu trešdaļu no piramīdas pamatnes laukuma un augstuma reizinājuma: \
Sekas
Pieņemsim, ka \(a\) ir pamatnes mala, \(h\) ir piramīdas augstums.
1. Regulāras trīsstūrveida piramīdas tilpums ir \(V_(\text(labais trīsstūris.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Regulāras četrstūra piramīdas tilpums ir \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. Regulāras sešstūra piramīdas tilpums ir \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Regulāra tetraedra tilpums ir \(V_(\text(labais tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Teorēma
Parastās piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pamatnes un apotēmas perimetra pusreizinājumu.
\[(\Large(\text(Frustum)))\]
Definīcija
Apsveriet patvaļīgu piramīdu \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Nozīmēsim plakni, kas ir paralēla piramīdas pamatnei caur noteiktu punktu, kas atrodas piramīdas sānu malā. Šī plakne sadalīs piramīdu divos daudzskaldņos, no kuriem viens ir piramīda (\(PB_1B_2...B_n\)), bet otru sauc par piramīdu. nošķelta piramīda(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Nocirstajai piramīdai ir divi pamati – daudzstūri \(A_1A_2...A_n\) un \(B_1B_2...B_n\), kas ir līdzīgi viens otram.
Nocirstas piramīdas augstums ir perpendikuls, kas novilkts no kāda augšējās pamatnes punkta uz apakšējās pamatnes plakni.
Svarīgas piezīmes
1. Visas nošķeltas piramīdas sānu malas ir trapeces.
2. Nogrieznis, kas savieno regulāras nošķeltas piramīdas (tas ir, piramīdas, kas iegūta ar regulāras piramīdas šķērsgriezumu) pamatu centrus, ir augstums.
Definīcija. Sānu mala- tas ir trīsstūris, kurā viens leņķis atrodas piramīdas augšpusē, un pretējā puse sakrīt ar pamatnes (daudzstūra) malu.
Definīcija. Sānu ribas- šīs ir sānu virsmu kopīgās puses. Piramīdai ir tik daudz malu, cik daudzstūra leņķu.
Definīcija. Piramīdas augstums- tas ir perpendikuls, kas nolaists no augšas uz piramīdas pamatni.
Definīcija. Apotēma- tas ir perpendikulārs piramīdas sānu virsmai, kas ir nolaists no piramīdas augšas uz pamatnes pusi.
Definīcija. Diagonālā sadaļa- tas ir piramīdas posms ar plakni, kas iet caur piramīdas augšdaļu un pamatnes diagonāli.
Definīcija. Pareiza piramīda ir piramīda, kuras pamatne ir regulārs daudzstūris, un augstums nolaižas līdz pamatnes centram.
Piramīdas tilpums un virsmas laukums
Formula. Piramīdas tilpums caur pamatnes laukumu un augstumu:
Piramīdas īpašības
Ja visas sānu malas ir vienādas, tad ap piramīdas pamatni var novilkt apli, un pamatnes centrs sakrīt ar apļa centru. Arī no augšas nomests perpendikuls iet caur pamatnes (apļa) centru.
Ja visas sānu malas ir vienādas, tad tās ir slīpas pret pamatnes plakni vienādos leņķos.
Sānu ribas ir vienādas, kad tās veidojas ar pamatnes plakni vienādi leņķi vai ja var aprakstīt apli ap piramīdas pamatni.
Ja sānu malas ir slīpi pret pamatnes plakni vienā leņķī, tad piramīdas pamatnē var ierakstīt apli, un piramīdas augšdaļa tiek projicēta tās centrā.
Ja sānu virsmas ir slīpi pret pamatnes plakni vienā leņķī, tad sānu virsmu apotēmas ir vienādas.
Regulāras piramīdas īpašības
1. Piramīdas virsotne atrodas vienādā attālumā no visiem pamatnes stūriem.
2. Visas sānu malas ir vienādas.
3. Visas sānu ribas ir noliektas vienādos leņķos pret pamatni.
4. Visu sānu skaldņu apotēmas ir vienādas.
5. Visu sānu virsmu laukumi ir vienādi.
6. Visām skaldnēm ir vienādi divskaldņu (plakanie) leņķi.
7. Ap piramīdu var aprakstīt sfēru. Ierobežotās sfēras centrs būs to perpendikulu krustpunkts, kas iet cauri malu vidusdaļai.
8. Jūs varat ievietot sfēru piramīdā. Ierakstītās sfēras centrs būs bisektoru krustpunkts, kas izplūst no leņķa starp malu un pamatni.
9. Ja ierakstītās sfēras centrs sakrīt ar norobežotās sfēras centru, tad plaknes leņķu summa virsotnē ir vienāda ar π vai otrādi, viens leņķis ir vienāds ar π/n, kur n ir skaitlis leņķi piramīdas pamatnē.
Piramīdas un sfēras savienojums
Ap piramīdu var aprakstīt lodi, kad piramīdas pamatnē atrodas daudzskaldnis, ap kuru var aprakstīt apli (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Sfēras centrs būs plakņu krustpunkts, kas iet perpendikulāri caur piramīdas sānu malu viduspunktiem.
Vienmēr ir iespējams aprakstīt sfēru ap jebkuru trīsstūrveida vai regulāru piramīdu.
Lodi var ierakstīt piramīdā, ja piramīdas iekšējo divskaldņu leņķu bisektoru plaknes krustojas vienā punktā (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Šis punkts būs sfēras centrs.
Piramīdas savienojums ar konusu
Tiek uzskatīts, ka konuss ir ierakstīts piramīdā, ja to virsotnes sakrīt un konusa pamatne ir ierakstīta piramīdas pamatnē.
Piramīdā var ierakstīt konusu, ja piramīdas apotēmas ir vienādas viena ar otru.
Tiek uzskatīts, ka konuss ir norobežots ap piramīdu, ja to virsotnes sakrīt, un konusa pamatne ir norobežota ap piramīdas pamatni.
Ap piramīdu var aprakstīt konusu, ja visas piramīdas sānu malas ir vienādas viena ar otru.
Piramīdas un cilindra attiecības
Piramīdu sauc par ierakstītu cilindrā, ja piramīdas virsotne atrodas uz vienas cilindra pamatnes, bet piramīdas pamatne ir ierakstīta citā cilindra pamatnē.
Cilindru var apvilkt ap piramīdu, ja ap piramīdas pamatni var apvilkt apli.
Tetraedram ir četras skaldnes un četras virsotnes un sešas malas, kur jebkurām divām malām nav kopīgu virsotņu, bet tās nesaskaras.
Katra virsotne sastāv no trīs veidojošām virsmām un malām trīsstūra leņķis.
Tiek saukts segments, kas savieno tetraedra virsotni ar pretējās skaldnes centru tetraedra mediāna(GM).
Bimediāns sauc par segmentu, kas savieno pretējo malu viduspunktus, kas nesaskaras (KL).
Visas tetraedra bimediānas un mediānas krustojas vienā punktā (S). Šajā gadījumā bimediānas tiek sadalītas uz pusēm, un mediānas tiek sadalītas proporcijā 3: 1, sākot no augšas.
Definīcija. Akūta leņķa piramīda- piramīda, kurā apotēma ir vairāk nekā puse no pamatnes malas garuma.
Definīcija. Stulba piramīda- piramīda, kurā apotēma ir mazāka par pusi no pamatnes malas garuma.
Definīcija. Regulārs tetraedrs- tetraedrs, kurā visas četras skaldnes ir vienādmalu trīsstūri. Tas ir viens no pieciem regulārajiem daudzstūriem. Regulārā tetraedrā visi divskaldņu leņķi (starp skaldnēm) un trīsstūrveida leņķi (virsotnē) ir vienādi.
Definīcija. Taisnstūra tetraedrs sauc par tetraedru, kura virsotnē starp trim malām ir taisns leņķis (malas ir perpendikulāras). Izveidojas trīs sejas taisnstūra trīsstūra leņķis un skaldnes ir taisnleņķa trīsstūri, un pamatne ir patvaļīgs trīsstūris. Jebkuras sejas apotēma ir vienāda ar pusi no pamatnes malas, uz kuras apotēma nokrīt.
Definīcija. Izoedrisks tetraedrs sauc par tetraedru, kura sānu malas ir vienādas viena ar otru, un pamats ir regulārs trīsstūris. Šādam tetraedram ir sejas, kas ir vienādsānu trīsstūri.
Definīcija. Ortocentrisks tetraedrs sauc par tetraedru, kurā visi augstumi (perpendikuli), kas ir nolaisti no augšas uz pretējo virsmu, krustojas vienā punktā.
Definīcija. Zvaigžņu piramīda Tiek saukts daudzskaldnis, kura pamats ir zvaigzne.
Trīsdimensiju figūra, kas bieži parādās ģeometriskās problēmās, ir piramīda. Vienkāršākā no visām šīs klases figūrām ir trīsstūrveida. Šajā rakstā mēs detalizēti analizēsim pareizās pamata formulas un īpašības
Ģeometriskas idejas par figūru
Pirms pāriet pie regulāras trīsstūrveida piramīdas īpašību apsvēršanas, apskatīsim tuvāk, par kādu figūru mēs runājam.
Pieņemsim, ka trīsdimensiju telpā ir patvaļīgs trīsstūris. Atlasīsim jebkuru punktu šajā telpā, kas neatrodas trijstūra plaknē, un savienosim to ar trīsstūra virsotnēm. Mēs saņēmām trīsstūrveida piramīdu.
Tas sastāv no 4 malām, no kurām visas ir trīsstūri. Punktus, kur saskaras trīs sejas, sauc par virsotnēm. Arī attēlā ir četri no tiem. Divu skaldņu krustošanās līnijas ir malas. Attiecīgajai piramīdai ir 6 malas Zemāk redzamajā attēlā ir parādīts šī attēla piemērs.
Tā kā figūru veido četras malas, to sauc arī par tetraedru.
Pareiza piramīda
Tika apspriests iepriekš patvaļīga figūra ar trīsstūrveida pamatni. Tagad pieņemsim, ka mēs novelkam perpendikulāru segmentu no piramīdas augšdaļas līdz tās pamatnei. Šo segmentu sauc par augstumu. Acīmredzot figūrai var uzzīmēt 4 dažādus augstumus. Ja augstums krusto trīsstūra pamatni ģeometriskajā centrā, tad šādu piramīdu sauc par taisnu.
Taisnu piramīdu, kuras pamats ir vienādmalu trīsstūris, sauc par regulāru. Viņai visi trīs trīsstūri veidojas sānu virsma figūras ir vienādsānu un vienādas viena ar otru. Īpašs regulāras piramīdas gadījums ir situācija, kad visas četras malas ir vienādmalu identiski trīsstūri.
Apskatīsim regulāras trīsstūrveida piramīdas īpašības un dosim atbilstošās formulas tās parametru aprēķināšanai.
Pamatnes puse, augstums, sānu mala un apotēma
Jebkuri divi no uzskaitītajiem parametriem unikāli nosaka pārējās divas īpašības. Iesniegsim formulas, kas attiecas uz šiem daudzumiem.
Pieņemsim, ka regulāras trīsstūrveida piramīdas pamatnes mala ir a. Tā sānu malas garums ir b. Kāds būs regulāras trīsstūrveida piramīdas un tās apotēmas augstums?
Augstumam h mēs iegūstam izteiksmi:
Šī formula izriet no Pitagora teorēmas, kurai ir sānu mala, augstums un 2/3 no pamatnes augstuma.
Piramīdas apotēma ir jebkura sānu trīsstūra augstums. Apotēmas a b garums ir vienāds ar:
a b = √ (b 2 - a 2 /4)
No šīm formulām ir skaidrs, ka neatkarīgi no trīsstūrveida regulāras piramīdas pamatnes malas un tās sānu malas garuma, apotēma vienmēr būs lielāka par piramīdas augstumu.
Abas parādītās formulas satur visus četrus attiecīgā attēla lineāros raksturlielumus. Tāpēc, ņemot vērā zināmos divus no tiem, pārējos varat atrast, atrisinot rakstisko vienādību sistēmu.
Attēla apjoms
Pilnīgi jebkurai piramīdai (arī slīpai) tās ierobežotās telpas tilpuma vērtību var noteikt, zinot figūras augstumu un tās pamatnes laukumu. Atbilstošā formula ir:
Piemērojot šo izteiksmi attiecīgajam skaitlim, mēs iegūstam šādu formulu:
Kur regulāras trīsstūrveida piramīdas augstums ir h un tās pamatnes mala ir a.
Nav grūti iegūt formulu tetraedra tilpumam, kurā visas malas ir vienādas viena ar otru un attēlo vienādmalu trīsstūrus. Šajā gadījumā figūras apjomu nosaka pēc formulas:
Tas ir, to unikāli nosaka malas a garums.
Virsmas laukums
Turpināsim apsvērt regulāras trīsstūrveida piramīdas īpašības. Visu figūras seju kopējo laukumu sauc par tās virsmas laukumu. Pēdējo var ērti izpētīt, ņemot vērā atbilstošo attīstību. Zemāk redzamais attēls parāda, kā izskatās regulāras trīsstūrveida piramīdas attīstība.
Pieņemsim, ka mums ir zināms attēla augstums h un pamatnes a mala. Tad tā pamatnes laukums būs vienāds ar:
Katrs skolēns var iegūt šo izteiksmi, ja viņš atceras, kā atrast trīsstūra laukumu, kā arī ņem vērā, ka augstums vienādmalu trīsstūris ir arī bisektrise un mediāna.
Sānu virsmas laukums, ko veido trīs vienādi vienādsānu trīsstūri, ir:
S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Šī vienlīdzība izriet no piramīdas apotēmas izteiksmes pamatnes augstuma un garuma izteiksmē.
Kopējais attēla virsmas laukums ir:
S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Ņemiet vērā, ka tetraedram, kura visas četras malas ir identiski vienādmalu trīsstūri, laukums S būs vienāds ar:
Regulāras nošķeltas trīsstūrveida piramīdas īpašības
Ja aplūkojamās trīsstūrveida piramīdas virsotne tiek nogriezta ar plakni, kas ir paralēla pamatnei, tad atlikušo apakšējo daļu sauks par nošķelto piramīdu.
Trīsstūrveida pamatnes gadījumā aprakstītās sadalīšanas metodes rezultāts ir jauns trīsstūris, kas arī ir vienādmalu, bet kura malas garums ir mazāks nekā pamatnes malai. Zemāk ir parādīta nošķelta trīsstūrveida piramīda.
Mēs redzam, ka šis skaitlis jau ir ierobežots līdz diviem trīsstūrveida pamatnes un trīs vienādsānu trapeces.
Pieņemsim, ka iegūtās figūras augstums ir vienāds ar h, apakšējās un augšējās pamatnes malu garums ir attiecīgi a 1 un a 2, un apotēms (trapeces augstums) ir vienāds ar a b. Tad nošķeltas piramīdas virsmas laukumu var aprēķināt, izmantojot formulu:
S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4* (a 1 2 + a 2 2)
Šeit pirmais termins ir sānu virsmas laukums, otrais termins ir trīsstūrveida pamatu laukums.
Figūras tilpumu aprēķina šādi:
V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 * a 2)
Lai nepārprotami noteiktu nošķeltas piramīdas raksturlielumus, jāzina trīs tās parametri, ko parāda dotās formulas.
Šī video apmācība palīdzēs lietotājiem gūt priekšstatu par piramīdas tēmu. Pareiza piramīda. Šajā nodarbībā mēs iepazīsimies ar piramīdas jēdzienu un sniegsim tam definīciju. Apskatīsim, kas tas ir regulāra piramīda un kādas tam piemīt īpašības. Tad pierādām teorēmu par regulāras piramīdas sānu virsmu.
Šajā nodarbībā iepazīsimies ar piramīdas jēdzienu un sniegsim tam definīciju.
Apsveriet daudzstūri A 1 A 2...A n, kas atrodas α plaknē, un punkts P, kas neatrodas α plaknē (1. att.). Savienosim punktus P ar virsotnēm A 1, A 2, A 3, … A n. Mēs saņemam n trīsstūri: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R un tā tālāk.
Definīcija. Daudzskaldnis RA 1 A 2 ...A n, kas sastāv no n- kvadrāts A 1 A 2...A n Un n trijstūri RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 sauc n- ogļu piramīda. Rīsi. 1.
Rīsi. 1
Apsveriet četrstūrveida piramīdu PABCD(2. att.).
R- piramīdas virsotne.
ABCD- piramīdas pamats.
RA- sānu riba.
AB- pamatnes riba.
No punkta R nometīsim perpendikulu RN uz bāzes plakni ABCD. Novilktais perpendikuls ir piramīdas augstums.
Rīsi. 2
Pilna virsma Piramīda sastāv no sānu virsmas, tas ir, visu sānu virsmu laukuma un pamatnes laukuma:
S pilna = S puse + S galvenā
Piramīdu sauc par pareizu, ja:
- tā pamatne ir regulārs daudzstūris;
- segments, kas savieno piramīdas virsotni ar pamatnes centru, ir tās augstums.
Paskaidrojums, izmantojot regulāras četrstūra piramīdas piemēru
Apsveriet regulāru četrstūra piramīdu PABCD(3. att.).
R- piramīdas virsotne. Piramīdas pamatne ABCD- regulārs četrstūris, tas ir, kvadrāts. Punkts PAR, diagonāļu krustošanās punkts, ir kvadrāta centrs. nozīmē, RO ir piramīdas augstums.
Rīsi. 3
Paskaidrojums: pareizi n Trijstūrī ierakstītā apļa centrs un apļveida loka centrs sakrīt. Šo centru sauc par daudzstūra centru. Dažreiz viņi saka, ka virsotne tiek projicēta centrā.
No tās virsotnes izvilktas regulāras piramīdas sānu virsmas augstumu sauc apotēms un ir norādīts h a.
1. regulāras piramīdas visas sānu malas ir vienādas;
2. Sānu skaldnes ir vienādi vienādsānu trijstūri.
Mēs sniegsim šo īpašību pierādījumu, izmantojot regulāras četrstūra piramīdas piemēru.
Ņemot vērā: PABCD- regulāra četrstūra piramīda,
ABCD- kvadrāts,
RO- piramīdas augstums.
Pierādīt:
1. RA = PB = RS = PD
2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Skat. att. 4.
Rīsi. 4
Pierādījums.
RO- piramīdas augstums. Tas ir, taisni RO perpendikulāri plaknei ABC, un tāpēc tiešs AS, VO, SO Un DO guļot tajā. Tātad trīsstūri ROA, ROV, ROS, ROD- taisnstūrveida.
Apsveriet kvadrātu ABCD. No kvadrāta īpašībām izriet, ka AO = VO = CO = DO.
Tad taisnie trīsstūri ROA, ROV, ROS, ROD kāju RO- vispārīgi un kājas AS, VO, SO Un DO ir vienādi, kas nozīmē, ka šie trīsstūri ir vienādi no divām pusēm. No trīsstūru vienādības izriet segmentu vienādība, RA = PB = RS = PD. 1. punkts ir pierādīts.
Segmenti AB Un Sv ir vienādas, jo tās ir viena kvadrāta malas, RA = PB = RS. Tātad trīsstūri AVR Un VSR — vienādsānu un vienādas no trim malām.
Līdzīgā veidā mēs atrodam, ka trīsstūri ABP, VCP, CDP, DAP ir vienādsānu un vienādi, kā tas ir jāpierāda 2. punktā.
Parastās piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no pamatnes perimetra un apotēmas reizinājuma:
Lai to pierādītu, izvēlēsimies parastu trīsstūrveida piramīdu.
Ņemot vērā: RAVS- regulāra trīsstūrveida piramīda.
AB = BC = AC.
RO- augstums.
Pierādīt: 
. Skatīt att. 5.
Rīsi. 5
Pierādījums.
RAVS- regulāra trīsstūrveida piramīda. Tas ir AB= AC = BC. Ļaujiet PAR- trijstūra centrs ABC, Tad RO ir piramīdas augstums. Piramīdas pamatnē atrodas vienādmalu trīsstūris ABC. Ņemiet vērā, ka 
.
Trīsstūri RAV, RVS, RSA- vienādi vienādsānu trīsstūri (pēc īpašības). Trīsstūrveida piramīdai ir trīs sānu malas: RAV, RVS, RSA. Tas nozīmē, ka piramīdas sānu virsmas laukums ir:
S puse = 3S RAW
Teorēma ir pierādīta.
Parastas četrstūra piramīdas pamatnē ierakstītā apļa rādiuss ir 3 m, piramīdas augstums ir 4 m. Atrodiet piramīdas sānu virsmas laukumu.
Ņemot vērā: regulāra četrstūra piramīda ABCD,
ABCD- kvadrāts,
r= 3 m,
RO- piramīdas augstums,
RO= 4 m.
Atrast: S puse. Skatīt att. 6.
Rīsi. 6
Risinājums.
Saskaņā ar pārbaudīto teorēmu,.
Vispirms atradīsim pamatnes pusi AB. Mēs zinām, ka regulāras četrstūra piramīdas pamatnē ierakstītā riņķa rādiuss ir 3 m.
Tad m.
Atrodiet laukuma perimetru ABCD ar 6 m malu:
Apsveriet trīsstūri BCD. Ļaujiet M- sānu vidus DC. Jo PAR- vidus BD, Tas 
(m).
Trīsstūris DPC- vienādsānu. M- vidus DC. tas ir, RM- mediāna un līdz ar to augstums trīsstūrī DPC. Tad RM- piramīdas apotēma.
RO- piramīdas augstums. Tad taisni RO perpendikulāri plaknei ABC, un tāpēc tiešs OM, guļ tajā. Atradīsim apotēmu RM no taisnleņķa trīsstūra ROM.
Tagad mēs varam atrast piramīdas sānu virsmu:
Atbilde Platība: 60 m2.
Ap regulāras trīsstūrveida piramīdas pamatnes apļa rādiuss ir vienāds ar m Sānu virsmas laukums ir 18 m 2. Atrodiet apotēmas garumu.
Ņemot vērā: ABCP- regulāra trīsstūrveida piramīda,
AB = BC = SA,
R= m,
S puse = 18 m2.
Atrast: . Skatīt att. 7.
Rīsi. 7
Risinājums.
Taisnā trīsstūrī ABC Ir dots ierobežotā apļa rādiuss. Atradīsim pusi ABšis trīsstūris, izmantojot sinusu teorēmu.
Zinot regulāra trīsstūra malu (m), atrodam tā perimetru.
Pēc teorēmas par regulāras piramīdas sānu virsmas laukumu, kur h a- piramīdas apotēma. Pēc tam:
Atbilde: 4 m.
Tātad, mēs apskatījām, kas ir piramīda, kas ir regulāra piramīda, un mēs pierādījām teorēmu par regulāras piramīdas sānu virsmu. Nākamajā nodarbībā iepazīsimies ar nošķelto piramīdu.
Atsauces
- Ģeometrija. 10.-11.klase: mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem (pamata un specializācijas līmeņi) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnovs. - 5. izd., red. un papildu - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lpp.: ill.
- Ģeometrija. 10-11 klase: Vispārējās izglītības mācību grāmata izglītības iestādēm/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 lpp.: ill.
- Ģeometrija. 10. klase: Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm ar padziļinātu un specializētu matemātikas apguvi /E. V. Potoskujevs, L. I. Zvaļičs. - 6. izd., stereotips. - M.: Bustards, 008. - 233 lpp.: ill.
- Interneta portāls "Yaklass" ()
- Interneta portāls “Pedagoģisko ideju festivāls “Pirmais septembris” ()
- Interneta portāls “Slideshare.net” ()
Mājas darbs
- Vai regulārs daudzstūris var būt neregulāras piramīdas pamats?
- Pierādīt, ka regulāras piramīdas nesavienotās malas ir perpendikulāras.
- Atrodiet divstūrveida leņķa vērtību regulāras četrstūra piramīdas pamatnes malā, ja piramīdas apotēma ir vienāda ar tās pamatnes malu.
- RAVS- regulāra trīsstūrveida piramīda. Izveidojiet diedrāla leņķa lineāro leņķi piramīdas pamatnē.
Trīsstūrveida piramīda ir piramīda, kuras pamatnē ir trīsstūris. Šīs piramīdas augstums ir perpendikuls, kas ir nolaists no piramīdas augšas līdz tās pamatnei.
Piramīdas augstuma atrašana
Kā uzzināt piramīdas augstumu? Ļoti vienkārši! Lai atrastu jebkuras trīsstūrveida piramīdas augstumu, varat izmantot tilpuma formulu: V = (1/3) Sh, kur S ir pamatnes laukums, V ir piramīdas tilpums, h ir tās augstums. No šīs formulas iegūstiet augstuma formulu: lai atrastu trīsstūrveida piramīdas augstumu, piramīdas tilpums jāreizina ar 3 un pēc tam iegūtā vērtība jādala ar pamatnes laukumu, tā būs: h = (3V)/S. Tā kā trīsstūrveida piramīdas pamatne ir trīsstūris, varat izmantot formulu, lai aprēķinātu trīsstūra laukumu. Ja zinām: trijstūra S laukums un tā malas z, tad pēc laukuma formulas S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, kur h piramīdas augstums, γ ir trijstūra mala; leņķi starp trijstūra malām un pašām abām malām, pēc tam, izmantojot šādu formulu: S = (1/2)γφsinQ, kur γ, φ ir trijstūra malas, mēs atrodam trīsstūra laukumu. Leņķa Q sinusa vērtība ir jāskatās sinusu tabulā, kas ir pieejama internetā. Tālāk mēs aizvietojam laukuma vērtību augstuma formulā: h = (2S)/γ. Ja uzdevums prasa aprēķināt trīsstūrveida piramīdas augstumu, tad piramīdas tilpums jau ir zināms.
Regulāra trīsstūrveida piramīda
Atrodiet regulāras trīsstūrveida piramīdas, tas ir, piramīdas, kuras visas skaldnes ir vienādmalu trīsstūri, augstumu, zinot malas izmēru γ. Šajā gadījumā piramīdas malas ir vienādmalu trīsstūru malas. Regulāras trīsstūrveida piramīdas augstums būs: h = γ√(2/3), kur γ ir vienādmalu trijstūra mala, h ir piramīdas augstums. Ja pamatnes laukums (S) nav zināms un ir norādīts tikai daudzskaldņa malas garums (γ) un tilpums (V), tad nepieciešamais mainīgais iepriekšējā soļa formulā ir jāaizstāj. ar tā ekvivalentu, ko izsaka malas garumā. Trijstūra laukums (regulārs) ir vienāds ar 1/4 no šī trijstūra malas garuma reizinājuma ar kvadrātsakni no 3. Mēs aizstājam šo formulu, nevis pamatnes laukumu iepriekšējā. formulu, un iegūstam šādu formulu: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Tetraedra tilpumu var izteikt ar tā malas garumu, pēc tam no figūras augstuma aprēķināšanas formulas var noņemt visus mainīgos un atstāt tikai figūras trīsstūrveida malu. Šādas piramīdas tilpumu var aprēķināt, dalot ar 12 no reizinājuma tās sejas garumu kubā ar kvadrātsakni no 2.
Aizvietojot šo izteiksmi iepriekšējā formulā, mēs iegūstam šādu aprēķina formulu: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. Arī pareizi trīsstūrveida prizma var ierakstīt sfērā, un, zinot tikai sfēras rādiusu (R), var atrast paša tetraedra augstumu. Tetraedra malas garums ir: γ = 4R/√6. Mainīgo γ aizstājam ar šo izteiksmi iepriekšējā formulā un iegūstam formulu: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. To pašu formulu var iegūt, zinot tetraedrā ierakstīta riņķa rādiusu (R). Šajā gadījumā trijstūra malas garums būs vienāds ar 12 attiecībām starp kvadrātsakne 6 un rādiuss. Mēs aizstājam šo izteiksmi ar iepriekšējo formulu un iegūstam: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.
Kā atrast regulāras četrstūra piramīdas augstumu
Lai atbildētu uz jautājumu, kā noteikt piramīdas augstuma garumu, jums jāzina, kas ir parastā piramīda. Četrstūra piramīda ir piramīda ar četrstūri tās pamatnē. Ja problēmas apstākļos mums ir: piramīdas tilpums (V) un pamatnes laukums (S), tad daudzskaldņa (h) augstuma aprēķināšanas formula būs šāda - daliet tilpumu, kas reizināts ar 3 pēc laukuma S: h = (3V)/S. Dota piramīdas kvadrātveida pamatne ar dotu tilpumu (V) un malas garumu γ, iepriekšējā formulā laukumu (S) aizstāj ar malas garuma kvadrātu: S = γ 2 ; H = 3 V/γ2. Regulāras piramīdas augstums h = SO iet tieši caur apļa centru, kas ir norobežots netālu no pamatnes. Tā kā šīs piramīdas pamats ir kvadrāts, punkts O ir diagonāļu AD un BC krustošanās punkts. Mums ir: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Tālāk mēs esam iekšā taisnleņķa trīsstūris Mēs atrodam SOC (izmantojot Pitagora teorēmu): SO = √(SC 2 -OC 2). Tagad jūs zināt, kā atrast parastās piramīdas augstumu.