Prizmas formulas sānu mala. Prizma

Definīcija. Prizma- tas ir daudzskaldnis, kura visas virsotnes atrodas divās paralēlās plaknēs, un tajās pašās divās plaknēs atrodas divas prizmas skaldnes, kas ir vienādi daudzstūri ar attiecīgi paralēlas malas, un visas malas, kas neatrodas šajās plaknēs, ir paralēlas.

Divas vienādas sejas tiek saukti prizmu pamatnes(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Tiek sauktas visas pārējās prizmas skaldnes sānu sejas(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Veidojas visas sānu sejas prizmas sānu virsma .

Visas prizmas sānu virsmas ir paralelogrami .

Malas, kas neatrodas pie pamatiem, sauc par prizmas sānu malām ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prizmas diagonāle ir segments, kura gali ir divas prizmas virsotnes, kas neatrodas uz vienas virsmas (AD 1).

Tiek saukts segmenta garums, kas savieno prizmas pamatus un ir perpendikulārs abām pamatnēm vienlaikus. prizmas augstums .

Apzīmējums:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Vispirms šķērsošanas secībā tiek norādītas vienas pamatnes virsotnes, pēc tam tādā pašā secībā otras; katras sānu malas galus apzīmē ar vieniem un tiem pašiem burtiem, ir apzīmētas tikai virsotnes, kas atrodas vienā pamatnē. ar burtiem bez indeksa, bet otrā - ar indeksu)

Prizmas nosaukums ir saistīts ar leņķu skaitu attēlā, kas atrodas tās pamatnē, piemēram, 1. attēlā pie pamatnes ir piecstūris, tāpēc prizmu sauc piecstūra prizma. Bet tāpēc tādai prizmai ir 7 sejas, tad tā septiņskaldnis(2 skaldnes - prizmas pamatnes, 5 skaldnes - paralelogrami, - tās sānu virsmas)

Starp taisnām prizmām izceļas konkrēts veids: parastās prizmas.

Tiek saukta taisna prizma pareizi, ja tā pamati ir regulāri daudzstūri.

Paralēles

Taisnstūra paralēlskaldnis- taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamats ir taisnstūris.

Īpašības un teorēmas:

,

kur d ir kvadrāta diagonāle;
a ir kvadrāta mala.

Priekšstatu par prizmu sniedz:

• dažādi arhitektūras būves;
• bērnu rotaļlietas;
• iepakojuma kastes;
• dizaineru priekšmeti utt.

Prismas kopējās un sānu virsmas laukums

S pilna = S puse + 2S galvenā,

Kur S pilns- kopējais virsmas laukums, S pusē- sānu virsmas laukums, S bāze- bāzes platība

Taisnas prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pamatnes perimetra un prizmas augstuma reizinājumu.

S pusē= P pamata * h,

Kur S pusē- taisnas prizmas sānu virsmas laukums,

P galvenais - taisnas prizmas pamatnes perimetrs,

h ir taisnās prizmas augstums, vienāds ar sānu malu.

Prizmas tilpums

Prizmas tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu.

Daudzstūrus ABCDE un FHKMP, kas atrodas paralēlās plaknēs, sauc par prizmas pamatiem, perpendikulu OO 1, kas nolaists no jebkura pamatnes punkta uz cita plakni, sauc par prizmas augstumu. Paralēlogrammas ABHF, BCKH utt. sauc par prizmas sānu malām, bet to malas SC, DM utt., kas savieno atbilstošās pamatu virsotnes, sauc par sānu malām. Prizmā visas sānu malas ir vienādas viena ar otru kā paralēlu taisnu līniju segmenti, kas ietverti starp paralēlām plaknēm.
Prizmu sauc par taisnu līniju ( 282. att., b) vai slīpi ( 282. att., c) atkarībā no tā, vai tā sānu ribas ir perpendikulāras vai slīpas pret pamatnēm. Taisnai prizmai ir taisnstūra sānu malas. Šādas prizmas augstumu var uzskatīt par sānu riba.
Taisno prizmu sauc par regulāru, ja tās pamati ir regulāri daudzstūri. Šādā prizmā visas sānu malas ir vienādi taisnstūri.
Lai attēlotu prizmu sarežģītā zīmējumā, ir jāzina un jāprot attēlot elementus, no kuriem tā sastāv (punkts, taisna līnija, plakana figūra).
un to attēlu kompleksajā zīmējumā (283. att., a - i)

a) Prizmas kompleksais zīmējums. Prizmas pamatne atrodas uz projekcijas plaknes P 1; viena no prizmas sānu virsmām ir paralēla projekcijas plaknei P 2.
b) Netālu no prizmas pamatnes DEF - plakana figūra - regulārs trīsstūris, kas atrodas plaknē P 1; trijstūra DE mala ir paralēla x asij 12 - Horizontālā projekcija saplūst ar doto pamatni un līdz ar to ir vienāda ar tās dabisko izmēru; Frontālā projekcija saplūst ar x 12 asi un ir vienāda ar prizmas pamatnes malu.
c) ABC prizmas augšējā pamatne ir plakana figūra - trīsstūris, kas atrodas horizontālā plaknē. Horizontālā projekcija saplūst ar apakšējās pamatnes projekciju un pārklāj to, jo prizma ir taisna; frontālā projekcija - taisna, paralēla x 12 asij, attālumā no prizmas augstuma.
d) ABED prizmas sānu virsma ir plakana figūra - taisnstūris, kas atrodas frontālajā plaknē. Frontālā projekcija - taisnstūris, kas vienāds ar sejas dabisko izmēru; horizontālā projekcija ir taisna līnija, kas vienāda ar prizmas pamatnes malu.
e) un f) ACFD un CBEF prizmu sānu virsmas ir plakanas figūras — taisnstūri, kas atrodas horizontālās izvirzītās plaknēs, kas atrodas 60° leņķī pret projekcijas plakni P 2. Horizontālās projekcijas ir taisnas līnijas, kas atrodas pret x12 asi 60° leņķī un ir vienādas ar prizmas pamatnes malu dabisko izmēru; frontālās projekcijas ir taisnstūri, kuru attēls ir mazāks par dabisko izmēru: katra taisnstūra divas malas ir vienādas ar prizmas augstumu.
g) Prizmas mala AD ir taisne, kas ir perpendikulāra projekcijas plaknei P 1. Horizontālā projekcija - punkts; frontālais - taisns, perpendikulārs asij x 12, vienāds ar prizmas sānu malu (prizmas augstums).
h) Augšējās pamatnes mala AB ir taisna, paralēla plaknēm P 1 un P 2. Horizontālās un frontālās projekcijas ir taisnas, paralēlas x 12 asij un vienādas ar dotās prizmas pamatnes malu. Frontālā projekcija atrodas attālumā no x ass 12 tādā attālumā, kas vienāds ar prizmas augstumu.
i) prizmas virsotnes. Punkts E - apakšējās pamatnes augšdaļa atrodas uz plaknes P 1. Horizontālā projekcija sakrīt ar pašu punktu; frontālais - atrodas uz x 12 ass Punkts C - augšējās pamatnes augšdaļa - atrodas telpā. Horizontālajai projekcijai ir dziļums; frontālais - augstums vienāds ar šīs prizmas augstumu.
No tā izriet: Projektējot jebkuru daudzskaldni, jums tas ir garīgi jāsadala tā sastāvdaļu elementos un jānosaka to attēlojuma secība, kas sastāv no secīgām grafiskām darbībām. 284. un 285. attēlā ir parādīti secīgu grafisko darbību piemēri izpildes laikā sarežģīts zīmējums un prizmu vizuālais attēlojums (aksonometrija).
(284. att.).

Ņemot vērā:
1. Pamatne atrodas uz projekcijas plaknes P 1.
2. Neviena no pamatnes malām nav paralēla x asij 12.
I. Komplekss zīmējums.
Es, a.
Mēs veidojam apakšējo pamatni - daudzstūri, kas pēc nosacījuma atrodas plaknē P1.
Es, dz.
Mēs projektējam augšējo pamatni - daudzstūri, kas vienāds ar apakšējo pamatni ar malām, kas ir attiecīgi paralēlas apakšējai pamatnei, kas atrodas attālumā no apakšējās pamatnes ar dotās prizmas augstumu H.
Es, c.
Mēs projektējam prizmas sānu malas - segmentus, kas atrodas paralēli; to horizontālās projekcijas ir punkti, kas saplūst ar pamatu virsotņu projekcijām; frontālie - segmenti (paralēli), kas iegūti, savienojot ar taisnām līnijām tāda paša nosaukuma pamatu virsotņu projekcijas. Ribu frontālās projekcijas, kas novilktas no apakšējās pamatnes virsotņu B un C projekcijām, ir attēlotas ar punktētām līnijām kā neredzamas.
Es, g. Dota: punkta F horizontālā projekcija F 1 uz augšējā pamata un punkta K frontālā projekcija K 2 sānu virsmā. Ir nepieciešams noteikt to otro izvirzījumu atrašanās vietas. F punktam. Punkta F otrā (frontālā) projekcija F 2 sakritīs ar augšējās pamatnes projekciju kā punktu, kas atrodas šīs pamatnes plaknē; tās vietu nosaka vertikālā sakaru līnija.
Punktam K - punkta K otrā (horizontālā) projekcija K 1 sakritīs ar sānu virsmas horizontālo projekciju kā punkts, kas atrodas sejas plaknē; tās vietu nosaka vertikālā sakaru līnija. II. Prizmu virsmas attīstība- plakana figūra, kas sastāv no sānu malām - taisnstūriem, kurā divas malas ir vienādas ar prizmas augstumu, bet pārējās divas ir vienādas ar atbilstošajām pamatnes malām, un no divām pamatnēm, kas ir vienādas viena ar otru - neregulāri daudzstūri .
Uz projekcijām tiek atklāti veidojuma izbūvei nepieciešamie fasāžu pamatu un sānu dabiskie izmēri; mēs balstāmies uz tiem; uz taisnes secīgi uzzīmējam daudzstūra malas AB, BC, CD, DE un EA - prizmas pamatus, kas ņemti no
horizontālā projekcija
III. Vizuāls prizmas attēlojums dimetrijā.
III, a.
Mēs attēlojam prizmas apakšējo pamatni pēc punktu A, B, C, D un E koordinātām (284. att. I, a).
III, b.
Mēs attēlojam augšējo pamatni paralēli apakšējai, attālinot no tā ar prizmas augstumu H.
III, c.
Mēs attēlojam sānu malas, savienojot atbilstošās pamatu virsotnes ar taisnām līnijām. Mēs nosakām prizmas redzamos un neredzamos elementus un iezīmējam tos ar atbilstošām līnijām,

Ņemot vērā:
III, d Nosakām punktus F un K uz prizmas virsmas - Punktu F - augšējā pamatnē nosaka, izmantojot izmērus i un e; punkts K - sānu virsmā, izmantojot i 1 un H".
Izometriskam prizmas attēlam un punktu F un K atrašanās vietas noteikšanai jāievēro tā pati secība.
att.285).
I. Komplekss zīmējums.
1. Pamatne atrodas uz plaknes P 1.
2. Sānu ribas ir paralēlas P 2 plaknei.
3. Neviena pamatnes mala nav paralēla x 12 asij
Es, a.
Mēs projektējam saskaņā ar šo nosacījumu: apakšējā bāze ir daudzstūris, kas atrodas P1 plaknē, un sānu mala ir segments, kas ir paralēls P2 plaknei un slīps pret P1 plakni.
Es, dz.
Noformējam atlikušās sānu malas - segmentus, kas vienādi un paralēli pirmajai malai SE.
Es, c.
a) no punktiem A 2, B 2, D 2. . . E 2 (pamatņu virsotņu frontālās projekcijas) velkam palīgtaisnes, kas ir perpendikulāras ribu projekcijām;
b) rādiuss R ( vienāds ar sānu bāzes CD) izdarām iegriezumu punktā D uz palīglīnijas, kas novilkta no punkta D2; savienojot taisnus punktus C 2 un D un novelkot taisnes paralēli E 2 C 2 un C 2 D, iegūstam sānu skaldni CEFD;
c) tad, līdzīgi sakārtojot sekojošās sānu skaldnes, iegūstam prizmas sānu skaldņu attīstību. Lai iegūtu pilnīgu šīs prizmas virsmas attīstību, mēs to pievienojam attiecīgajām pamatnes virsmām.
III. Vizuāls prizmas attēlojums izometrijā.
III, a.

Mēs attēlojam prizmas apakšējo pamatni un malu CE, izmantojot koordinātas saskaņā ar (

Vispārīga informācija par taisno prizmu Par prizmas sānu virsmu (precīzāk, sānu virsmas laukumu) sauc summa sānu virsmu zonas. Pilna virsma

prizma ir vienāda ar sānu virsmas un pamatu laukumu summu.

Teorēma 19.1. Taisnas prizmas sānu virsma ir vienāda ar pamatnes perimetra un prizmas augstuma reizinājumu, t.i., sānu malas garumu. Pierādījums. Taisnas prizmas sānu malas ir taisnstūri. Šo taisnstūru pamati ir daudzstūra malas, kas atrodas prizmas pamatnē, un augstumi ir vienādi ar sānu malu garumu. No tā izriet sānu virsma

prizma ir vienāda

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

kur a 1 un n ir pamatnes malu garumi, p ir prizmas pamatnes perimetrs un I ir sānu malu garums. Teorēma ir pierādīta.

Praktisks uzdevums Problēma (22) . Slīpā prizmā tas tiek veikts sadaļā

, perpendikulāri sānu ribām un krustojot visas sānu ribas. Atrodiet prizmas sānu virsmu, ja griezuma perimetrs ir vienāds ar p un sānu malas ir vienādas ar l.

Risinājums. Uzzīmētā griezuma plakne sadala prizmu divās daļās (411. att.). Vienu no tiem pakļausim paralēlai tulkošanai, apvienojot prizmas pamatus. Šajā gadījumā mēs iegūstam taisnu prizmu, kuras pamatne ir sākotnējās prizmas šķērsgriezums, un sānu malas ir vienādas ar l. Šai prizmai ir tāda pati sānu virsma kā oriģinālajai. Tādējādi sākotnējās prizmas sānu virsma ir vienāda ar pl.

Apskatītās tēmas kopsavilkums

Tagad mēģināsim apkopot tēmu, par kuru mēs runājām par prizmām, un atcerēsimies, kādas īpašības piemīt prizmai.

Prizmas īpašības
Pirmkārt, prizmai visi pamati ir vienādi daudzstūri;
Otrkārt, prizmā visas tās sānu virsmas ir paralelogrami;

Tāpat jāatceras, ka daudzskaldnis, piemēram, prizmas, var būt taisns vai slīps.

Kuru prizmu sauc par taisno prizmu?

Ja prizmas sānu mala atrodas perpendikulāri tās pamatnes plaknei, tad šādu prizmu sauc par taisnu.

Nebūtu lieki atgādināt, ka taisnas prizmas sānu malas ir taisnstūri.

Kāda veida prizmu sauc par slīpi?

Bet, ja prizmas sānu mala neatrodas perpendikulāri tās pamatnes plaknei, tad varam droši teikt, ka tā ir slīpa prizma.

Kuru prizmu sauc par pareizu?

Ja taisnas prizmas pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, tad šāda prizma ir regulāra.

Tagad atcerēsimies parastās prizmas īpašības.

Regulāras prizmas īpašības

Pirmkārt, regulāri daudzstūri vienmēr kalpo par regulāras prizmas pamatiem;
Otrkārt, ja ņemam vērā regulāras prizmas sānu skaldnes, tās vienmēr ir vienādi taisnstūri;
Treškārt, ja salīdzina sānu ribu izmērus, tad parastajā prizmā tie vienmēr ir vienādi.
Ceturtkārt, pareiza prizma vienmēr ir taisna;
Piektkārt, ja regulārā prizmā sānu skaldnēm ir kvadrātu forma, tad šādu figūru parasti sauc par pusregulāru daudzstūri.

Prizmas šķērsgriezums

Tagad apskatīsim prizmas šķērsgriezumu:

Mājas darbs

Tagad mēģināsim nostiprināt apgūto tēmu, risinot problēmas.

Zīmēsim slīpumu trīsstūrveida prizma, kurā attālums starp tā malām būs vienāds ar: 3 cm, 4 cm un 5 cm, un šīs prizmas sānu virsma būs vienāda ar 60 cm2. Ņemot šos parametrus, atrodiet šīs prizmas sānu malu.

Vai tu to zini ģeometriskās formas pastāvīgi ieskauj mūs ne tikai ģeometrijas stundās, bet arī ikdienas dzīve Ir objekti, kas atgādina vienu vai otru ģeometrisku figūru.

Katrā mājā, skolā vai darbā ir dators, kura sistēmas vienība ir veidota kā taisna prizma.

Ja paņemsiet vienkāršu zīmuli, jūs redzēsiet, ka zīmuļa galvenā daļa ir prizma.

Ejot līdzi centrālā iela pilsētā, mēs redzam, ka zem mūsu kājām atrodas flīze, kurai ir sešstūra prizmas forma.

A. V. Pogorelovs, Ģeometrija 7.-11.klasei, Mācību grāmata izglītības iestādēm