Mēs sākam apsvērt faktisko dubultā integrāļa aprēķināšanas procesu un iepazīstamies ar tā ģeometrisko nozīmi.
Dubultais integrālis skaitliski vienāds ar laukumu plakana figūra (integrācijas reģions). Šis vienkāršākā forma dubultais integrālis, ja divu mainīgo funkcija ir vienāda ar vienu: .
Vispirms apskatīsim problēmu vispārējs skats. Tagad jūs būsiet diezgan pārsteigts, cik patiesībā viss ir vienkārši! Aprēķināsim plakanas figūras laukumu, ko ierobežo līnijas. Noteiktības labad mēs pieņemam, ka segmentā . Šī skaitļa laukums ir skaitliski vienāds ar:
Attēlosim apgabalu zīmējumā: 
Izvēlēsimies pirmo veidu, kā šķērsot apgabalu: 
Tādējādi: 
Un uzreiz svarīgi tehniskā tehnika: Atkārtotos integrāļus var aplūkot atsevišķi. Vispirms iekšējais integrālis, tad ārējais integrālis. Šī metode Es ļoti iesaku to iesācējiem šajā priekšmetā.
1) Aprēķināsim iekšējo integrāli, un integrācija tiek veikta virs mainīgā “y”: 
Nenoteiktais integrālis šeit ir visvienkāršākais, un tad tiek izmantota banālā Ņūtona-Leibnica formula ar vienīgo atšķirību, ka integrācijas robežas nav skaitļi, bet gan funkcijas. Pirmkārt, mēs aizstājām augšējo robežu ar “y” (antiderivatīvā funkcija), pēc tam apakšējo robežu
2) Pirmajā daļā iegūtais rezultāts jāievieto ārējā integrālī: 
Kompaktāks visa risinājuma attēlojums izskatās šādi:
Iegūtā formula 
- tieši tā darba formula lai aprēķinātu plaknes figūras laukumu, izmantojot “parasto” noteikto integrāli! Skatiet nodarbību Laukuma aprēķināšana, izmantojot noteiktu integrāli, tas ir ik uz soļa!
Tas ir, platības aprēķināšanas problēma, izmantojot dubulto integrāli daudz neatšķiras no problēmas atrast apgabalu, izmantojot noteiktu integrāli!
Patiesībā tas ir viens un tas pats!
Attiecīgi nekādām grūtībām nevajadzētu rasties! Es neapskatīšu ļoti daudzus piemērus, jo jūs faktiski esat atkārtoti saskāries ar šo uzdevumu.
9. piemērs 
Risinājums: attēlosim apgabalu zīmējumā: 
Izvēlēsimies šādu apgabala šķērsošanas secību:
Šeit un tālāk es nekavējos pie tā, kā šķērsot apgabalu, jo ļoti detalizēti paskaidrojumi tika sniegti pirmajā rindkopā. 
Tādējādi:
1) Pirmkārt, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu, mēs aplūkojam iekšējo integrāli: 
2) Pirmajā posmā iegūtais rezultāts tiek aizstāts ar ārējo integrāli: 
2. punkts faktiski ir plaknes figūras laukuma atrašana, izmantojot noteiktu integrāli.
Atbilde:
Tas ir tik stulbs un naivs uzdevums.
Interesants piemērs neatkarīgam risinājumam:
10. piemērs
Izmantojot dubulto integrāli, aprēķiniet plaknes figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , ,
Aptuvenais paraugs risinājuma pabeigšana nodarbības beigās.
9.-10. piemēros daudz izdevīgāk ir izmantot pirmo apgabala šķērsošanas metodi, starp citu, ziņkārīgie lasītāji var mainīt šķērsošanas secību un aprēķināt laukumus, izmantojot otro metodi. Ja jūs nekļūdāties, tad, protams, jūs iegūsit tādas pašas platības vērtības.
Bet dažos gadījumos efektīvāka ir otrā apgabala šķērsošanas metode, un jaunā nerda kursa beigās apskatīsim vēl dažus piemērus par šo tēmu:
11. piemērs
Izmantojot dubulto integrāli, aprēķiniet plaknes figūras laukumu, ko ierobežo līnijas,
Risinājums: mēs gaidām divas parabolas ar dīvainību, kas atrodas uz sāniem. Nav nepieciešams smaidīt, līdzīgas lietas notiek vairākos integrāļos.
Kāds ir vienkāršākais veids, kā izveidot zīmējumu?
Iedomāsimies parabolu divu funkciju veidā:
– augšējais zars un – apakšējais zars.
Līdzīgi iedomājieties parabolu augšējā un apakšējā formā 
filiāles.
Tālāk, diagrammu noteikumu punktveida uzzīmēšana, kā rezultātā tiek iegūts tik dīvains skaitlis: 
Mēs aprēķinām figūras laukumu, izmantojot dubulto integrāli pēc formulas:
Kas notiks, ja izvēlēsimies pirmo apgabala šķērsošanas metodi? Pirmkārt, šī zona būs jāsadala divās daļās. Un, otrkārt, mēs vērosim šo bēdīgo ainu: 
. Integrāļi, protams, nav supersarežģīta līmeņa, bet... ir vecs matemātisks teiciens: kam tuvu saknēm, testu nevajag.
Tāpēc no nosacījuma pārpratuma mēs izsakām apgrieztās funkcijas: 
Apgrieztās funkcijas V šajā piemērā ir priekšrocība, ka tie norāda visu parabolu uzreiz bez lapām, ozolzīlēm, zariem un saknēm.
Saskaņā ar otro metodi apgabala šķērsošana būs šāda: 
Šeit un tālāk es nekavējos pie tā, kā šķērsot apgabalu, jo ļoti detalizēti paskaidrojumi tika sniegti pirmajā rindkopā. 
Kā saka, jūti atšķirību.
1) Mēs strādājam ar iekšējo integrāli:
Mēs aizstājam rezultātu ar ārējo integrāli:
Integrācija virs mainīgā “y” nedrīkst būt mulsinoša, ja būtu burts “zy”, būtu lieliski integrēt pār to. Lai gan ikviens, kurš ir izlasījis stundas otro rindkopu Kā aprēķināt rotācijas ķermeņa tilpumu, vairs nepiedzīvo ne mazākās neveiklības ar integrāciju, izmantojot “Y” metodi.
Pievērsiet uzmanību arī pirmajam solim: integrands ir vienmērīgs, un integrācijas intervāls ir simetrisks ap nulli. Tāpēc segmentu var samazināt uz pusi, un rezultātu var dubultot. Šī tehnika nodarbībā detalizēti komentēja Efektīvas metodes noteikta integrāļa aprēķins.
Ko piebilst... Visi!
Atbilde:
Lai pārbaudītu integrācijas paņēmienu, varat mēģināt aprēķināt . Atbildei jābūt tieši tādai pašai.
12. piemērs
Izmantojot dubulto integrāli, aprēķiniet plaknes figūras laukumu, ko ierobežo līnijas 
Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Interesanti ir tas, ka, mēģinot izmantot pirmo apgabala šķērsošanas metodi, figūra vairs nebūs jāsadala divās, bet gan trīs daļās! Un attiecīgi mēs iegūstam trīs atkārtotu integrāļu pārus. Tā arī notiek.
Meistarklase ir beigusies, un ir pienācis laiks pāriet uz lielmeistara līmeni - Kā aprēķināt dubulto integrāli? Risinājumu piemēri. Otrajā rakstā centīšos nebūt tik maniakāls =)
Es novēlu jums panākumus!
Risinājumi un atbildes:
2. piemērs:Risinājums:
Attēlosim apgabalu uz zīmējuma:
Izvēlēsimies šādu apgabala šķērsošanas secību:
Tādējādi: 
Pāriesim pie apgrieztām funkcijām:
Tādējādi: 
Atbilde:
4. piemērs:Risinājums:
Pāriesim pie tiešajām funkcijām:
Izveidosim zīmējumu:
Mainīsim apgabala šķērsošanas secību:
Atbilde:
A)
Risinājums.
Pirmais un vissvarīgākais lēmuma punkts ir zīmēšana.
Izveidosim zīmējumu:
Vienādojums y=0 iestata “x” asi;
- x=-2 Un x=1- taisni, paralēli asij Ak;
- y=x 2 +2 - parabola, kuras zari vērsti uz augšu, ar virsotni punktā (0;2).
komentēt. Lai uzbūvētu parabolu, pietiek atrast tās krustošanās punktus ar koordinātu asis, t.i. liekot x=0 atrodiet krustojumu ar asi Ak un attiecīgi izlemjot kvadrātvienādojums, atrodiet krustojumu ar asi Ak .
Parabolas virsotni var atrast, izmantojot formulas: 
Varat arī veidot līnijas pa punktam.
Uz intervāla [-2;1] funkcijas grafiks y=x 2 +2 atrodas virs ass Vērsis, Tāpēc:
Atbilde: S=9 kv.m
Pēc uzdevuma izpildes vienmēr ir lietderīgi aplūkot zīmējumu un noskaidrot, vai atbilde ir patiesa. IN šajā gadījumā“ar aci” mēs saskaitām šūnu skaitu zīmējumā - labi, būs apmēram 9, šķiet, ka tā ir taisnība. Ir pilnīgi skaidrs, ka, ja mēs saņēmām, teiksim, atbildi: 20 kvadrātvienības, tad ir acīmredzams, ka kaut kur ir pieļauta kļūda - 20 šūnas acīmredzami neietilpst attiecīgajā attēlā, augstākais ducis. Ja atbilde ir noraidoša, tad arī uzdevums tika atrisināts nepareizi.
Ko darīt, ja zem ass atrodas izliekta trapece Ak?
b) Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas y=-e x , x=1 un koordinātu asis.
Risinājums.
Uztaisīsim zīmējumu.
Ja izliekta trapece pilnībā atrodas zem ass Ak , tad tā laukumu var atrast, izmantojot formulu:
Atbilde: S=(e-1) kv. vienības" 1,72 kv
Uzmanību! Nedrīkst jaukt divu veidu uzdevumus:
1) Ja jums tiek lūgts atrisināt vienkārši noteiktu integrāli bez neviena ģeometriskā nozīme, tad tas var būt negatīvs.
2) Ja jums tiek lūgts atrast figūras laukumu, izmantojot noteiktu integrāli, tad laukums vienmēr ir pozitīvs! Tāpēc tikko apspriestajā formulā parādās mīnuss.
Praksē visbiežāk figūra atrodas gan augšējā, gan apakšējā pusplaknē.
c) Atrodiet plakanas figūras laukumu, ko ierobežo līnijas y=2x-x 2, y=-x.
Risinājums.
Vispirms jums jāpabeidz zīmējums. Vispārīgi runājot, konstruējot zīmējumu laukuma problēmās, mūs visvairāk interesē līniju krustošanās punkti. Atradīsim parabolas krustošanās punktus 
un taisni 
To var izdarīt divos veidos. Pirmā metode ir analītiska.
Mēs atrisinām vienādojumu:
Tas nozīmē, ka integrācijas apakšējā robeža a=0, integrācijas augšējā robeža b=3 .
|
Uzbūvējam dotās taisnes: 1. Parabola - virsotne punktā (1;1); asu krustpunkts Ak - punktu (0;0) un (0;2). 2. Taisne - 2. un 4. koordinātu leņķa bisektrise. Un tagad Uzmanību! Ja segmentā [ a;b] kāda nepārtraukta funkcija f(x) lielāka vai vienāda ar kādu nepārtrauktu funkciju g(x), tad atbilstošās figūras laukumu var atrast, izmantojot formulu: Un nav nozīmes tam, kur figūra atrodas - virs ass vai zem ass, bet svarīgi ir tas, kurš grafiks ir AUGSTĀKS (attiecībā pret citu grafiku) un kurš ir APAKS. Apskatāmajā piemērā ir acīmredzams, ka segmentā parabola atrodas virs taisnes, un tāpēc ir jāatņem no |
.Jūs varat konstruēt līnijas punktu pa punktam, un integrācijas robežas kļūst skaidras “pašas no sevis”. Tomēr analītiskā robežu noteikšanas metode dažkārt joprojām ir jāizmanto, ja, piemēram, grafiks ir pietiekami liels vai detalizētā konstrukcija neatklāja integrācijas robežas (tās var būt daļēja vai neracionāla).
Vēlamo figūru ierobežo parabola augšpusē un taisna līnija zemāk.
Uz segmentu 
, saskaņā ar atbilstošo formulu:
Atbilde: S=4,5 kv.m
Noteikts integrālis. Kā aprēķināt figūras laukumuApskatīsim integrālrēķina lietojumus. Šajā nodarbībā mēs analizēsim tipisko un visizplatītāko problēmu - kā aprēķināt plaknes figūras laukumu, izmantojot noteiktu integrāli. Visbeidzot, tie, kas meklē jēgu augstākajā matemātikā - lai viņi to atrod. Nekad nevar zināt. Reālajā dzīvē jums būs jātuvina vasarnīcas gabals, izmantojot elementāras funkcijas, un jāatrod tā platība, izmantojot noteiktu integrāli.
Lai veiksmīgi apgūtu materiālu, jums ir:
1) Saprast nenoteikto integrāli vismaz vidējā līmenī. Tādējādi manekeniem vispirms vajadzētu iepazīties ar nodarbību Nē.
2) Prast pielietot Ņūtona-Leibnica formulu un aprēķināt noteikto integrāli. Lapā Definite Integral varat nodibināt siltas draudzīgas attiecības ar noteiktiem integrāļiem. Risinājumu piemēri.
Faktiski, lai atrastu figūras laukumu, jums nav nepieciešams tik daudz zināšanu par nenoteikto un noteiktu integrāli. Uzdevums “aprēķināt laukumu, izmantojot noteiktu integrāli” vienmēr ietver zīmējuma konstruēšanu, tāpēc jūsu zināšanas un prasmes rasējumu konstruēšanā būs daudz aktuālāks jautājums. Šajā sakarā ir lietderīgi atsvaidzināt atmiņu par pamata elementārfunkciju diagrammām un vismaz, lai varētu izveidot taisni, parabolu un hiperbolu. To var izdarīt (daudziem tas ir nepieciešams), izmantojot metodiskais materiāls un raksti par grafiku ģeometriskām transformācijām.
Patiesībā, uzdevums atrast apgabalu, izmantojot noteiktu integrāli, ir pazīstams jau no skolas laikiem, un mēs neturēsimies daudz tālāk. skolas mācību programma. Iespējams, šī raksta nemaz nebūtu, bet fakts ir tāds, ka problēma rodas 99 gadījumos no 100, kad students cieš no nīstas skolas un ar entuziasmu apgūst augstākās matemātikas kursu.
Šīs darbnīcas materiāli ir izklāstīti vienkārši, detalizēti un ar minimālu teoriju.
Sāksim ar izliektu trapecveida formu.
Izliekta trapecveida forma ir plakana figūra, ko ierobežo ass, taisnas līnijas un nepārtrauktas funkcijas grafiks segmentā, kas nemaina zīmi šajā intervālā. Ļaujiet šim skaitlim atrasties ne zemāks x ass:
Tad līknes trapeces laukums ir skaitliski vienāds ar noteikto integrāli. Jebkuram noteiktam integrālim (kas pastāv) ir ļoti laba ģeometriskā nozīme. Nodarbībā Noteiktais integrālis. Risinājumu piemēri Es teicu, ka noteikts integrālis ir skaitlis. Un tagad ir pienācis laiks pateikt vēl vienu noderīgs fakts. No ģeometrijas viedokļa noteiktais integrālis ir AREA.
Tas ir, noteikts integrālis (ja tāds pastāv) ģeometriski atbilst noteiktas figūras laukumam. Piemēram, ņemiet vērā noteikto integrāli. Integrāde nosaka līkni plaknē, kas atrodas virs ass (tie, kas vēlas, var izveidot zīmējumu), un pats noteiktais integrālis ir skaitliski vienāds ar atbilstošās līknes trapeces laukumu.
1. piemērs
Šis ir tipisks uzdevuma paziņojums. Pirmais un vissvarīgākais lēmuma punkts ir zīmēšana. Turklāt zīmējums ir jākonstruē PAREIZI.
Konstruējot zīmējumu, iesaku šādu secību: vispirms labāk konstruēt visas taisnes (ja tādas ir) un tikai tad – parabolas, hiperbolas un citu funkciju grafikus. Izdevīgāk ir konstruēt funkciju grafikus punktveida virzienā; izziņas materiāls Elementāro funkciju grafiki un īpašības. Tur arī var atrast ļoti noderīgu materiālu mūsu nodarbībai – kā ātri uzbūvēt parabolu.
Šīs problēmas risinājums varētu izskatīties šādi.
Uzzīmēsim zīmējumu (ņemiet vērā, ka vienādojums nosaka asi):
Es neēnošu izliekto trapeci, šeit ir skaidrs, par kādu apgabalu mēs runājam. Risinājums turpinās šādi:
Segmentā funkcijas grafiks atrodas virs ass, tāpēc:
Atbilde:
Kam ir grūtības ar noteiktā integrāļa aprēķināšanu un Ņūtona-Leibnica formulas piemērošanu 
, skatiet lekciju Definite Integral. Risinājumu piemēri.
Pēc uzdevuma izpildes vienmēr ir lietderīgi aplūkot zīmējumu un noskaidrot, vai atbilde ir patiesa. Šajā gadījumā mēs saskaitām šūnu skaitu zīmējumā “ar aci” - labi, būs apmēram 9, kas, šķiet, ir taisnība. Ir pilnīgi skaidrs, ka, ja mēs saņēmām, teiksim, atbildi: 20 kvadrātvienības, tad ir acīmredzams, ka kaut kur ir pieļauta kļūda - 20 šūnas acīmredzami neietilpst attiecīgajā attēlā, augstākais ducis. Ja atbilde ir noraidoša, tad arī uzdevums tika atrisināts nepareizi.
2. piemērs
Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , , un ass
Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.
Ko darīt, ja zem ass atrodas izliekta trapece?
3. piemērs
Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas un koordinātu asis.
Risinājums: izveidosim zīmējumu: 
Ja izliektā trapece atrodas zem ass (vai vismaz ne augstāk dotā ass), tad tās laukumu var atrast, izmantojot formulu:
Šajā gadījumā: 
Uzmanību! Nedrīkst jaukt divu veidu uzdevumus:
1) Ja jums tiek lūgts atrisināt vienkārši noteiktu integrāli bez ģeometriskas nozīmes, tas var būt negatīvs.
2) Ja jums tiek lūgts atrast figūras laukumu, izmantojot noteiktu integrāli, tad laukums vienmēr ir pozitīvs! Tāpēc tikko apspriestajā formulā parādās mīnuss.
Praksē visbiežāk figūra atrodas gan augšējā, gan apakšējā pusplaknē, un tāpēc no vienkāršākajām skolas problēmām mēs pārejam pie jēgpilnākiem piemēriem.
4. piemērs
Atrodiet plaknes figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , .
Risinājums: Vispirms jums ir jāizveido zīmējums. Vispārīgi runājot, konstruējot zīmējumu laukuma problēmās, mūs visvairāk interesē līniju krustošanās punkti. Atradīsim parabolas un taisnes krustpunktus. To var izdarīt divos veidos. Pirmā metode ir analītiska. Mēs atrisinām vienādojumu:
Tas nozīmē, ka integrācijas apakšējā robeža ir , integrācijas augšējā robeža ir .
Ja iespējams, labāk neizmantot šo metodi.
Daudz izdevīgāk un ātrāk ir būvēt līnijas pa punktam, un integrācijas robežas kļūst skaidras “pašas no sevis”. Punktu konstruēšanas paņēmiens dažādiem grafikiem ir detalizēti apskatīts palīdzības sadaļā Elementāro funkciju grafiki un īpašības. Tomēr analītiskā robežu noteikšanas metode dažkārt joprojām ir jāizmanto, ja, piemēram, grafiks ir pietiekami liels vai detalizētā konstrukcija neatklāja integrācijas robežas (tās var būt daļēja vai neracionāla). Un mēs arī apsvērsim šādu piemēru.
Atgriezīsimies pie uzdevuma: racionālāk ir vispirms izveidot taisni un tikai pēc tam parabolu. Izveidosim zīmējumu: 
Atkārtoju, ka, konstruējot punktveida, integrācijas robežas visbiežāk tiek noskaidrotas “automātiski”.
Un tagad darba formula: Ja segmentā kāda nepārtraukta funkcija ir lielāka vai vienāda ar kādu nepārtrauktu funkciju, tad attēla laukumu, ko ierobežo šo funkciju grafiki un taisnes, var atrast, izmantojot formulu: 
Šeit vairs nav jādomā, kur atrodas figūra - virs ass vai zem ass, un, rupji sakot, ir svarīgi, kurš grafiks ir AUGSTĀK (attiecībā pret citu grafiku) un kurš ir APAKS.
Apskatāmajā piemērā ir acīmredzams, ka segmentā parabola atrodas virs taisnes, un tāpēc ir jāatņem no
Pabeigtais risinājums varētu izskatīties šādi:
Vēlamo figūru ierobežo parabola augšpusē un taisna līnija zemāk.
Segmentā saskaņā ar atbilstošo formulu:
Atbilde:
Faktiski skolas formula līknes trapeces laukumam apakšējā pusplaknē (skat. vienkāršu piemēru Nr. 3) ir īpašs formulas gadījums 
. Tā kā asi ir norādīta ar vienādojumu, un funkcijas grafiks atrodas ne augstāk cirvji, tad 
Un tagad pāris piemēri savam risinājumam
5. piemērs
6. piemērs
Atrodiet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , .
Risinot problēmas, kas saistītas ar laukuma aprēķināšanu, izmantojot noteiktu integrāli, dažreiz notiek smieklīgi atgadījumi. Zīmējums tika izdarīts pareizi, aprēķini bija pareizi, bet neuzmanības dēļ... tika atrasts nepareizās figūras laukums, tieši šādi jūsu pazemīgais kalps vairākas reizes kļūdījās. Šeit reāls gadījums no dzīves:
7. piemērs
Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , , , .
Risinājums: Vispirms izveidosim zīmējumu: 
...Eh, zīmējums sanāca švaki, bet viss it kā salasāms.
Figūra, kuras laukums mums jāatrod, ir ietonēts zilā krāsā (uzmanīgi apskatiet nosacījumu – kā figūra ir ierobežota!). Bet praksē neuzmanības dēļ bieži rodas “kļūme”, ka jāatrod ēnotās figūras laukums. zaļš!
Šis piemērs ir noderīgs arī ar to, ka tas aprēķina figūras laukumu, izmantojot divus noteiktus integrāļus. Tiešām:
1) Uz segmenta virs ass ir taisnes grafiks;
2) Uz segmenta virs ass ir hiperbolas grafiks.
Ir pilnīgi skaidrs, ka apgabalus var (un vajadzētu) pievienot, tāpēc:
Atbilde:
Pāriesim pie cita jēgpilna uzdevuma.
8. piemērs
Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas,
Iesniegsim vienādojumus “skolas” formā un izveidosim punktu pa punktam zīmējumu: 
No zīmējuma ir skaidrs, ka mūsu augšējā robeža ir “laba”: .
Bet kāda ir zemākā robeža?! Ir skaidrs, ka tas nav vesels skaitlis, bet kas tas ir? Var būt? Bet kur ir garantija, ka zīmējums tapis ar nevainojamu precizitāti, var izrādīties, ka... Vai sakne. Ko darīt, ja mēs izveidojam grafiku nepareizi?
Šādos gadījumos jums ir jāpavada papildu laiks un analītiski jānoskaidro integrācijas robežas.
Atradīsim taisnes un parabolas krustošanās punktus.
Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu: 
,
Tiešām,.
Tālākais risinājums ir triviāls, galvenais, lai neapjuktu aizvietojumos un zīmēs, aprēķini šeit nav no tiem vienkāršākajiem.
Uz segmentu 
, saskaņā ar atbilstošo formulu: 
Atbilde: 
Nodarbības noslēgumā apskatīsim divus sarežģītākus uzdevumus.
Attiecīgi nekādām grūtībām nevajadzētu rasties! Es neapskatīšu ļoti daudzus piemērus, jo jūs faktiski esat atkārtoti saskāries ar šo uzdevumu.
Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , ,
Risinājums: attēlosim šo figūru zīmējumā. 
Sasodīts, es aizmirsu parakstīt grafiku un, atvainojiet, es negribēju pārtaisīt attēlu. Nav zīmēšanas diena, īsi sakot, šodien ir tā diena =)
Lai izveidotu punktu pa punktam, jums jāzina izskats sinusoīdi (un vispār ir lietderīgi zināt visu elementāro funkciju grafikus), kā arī dažas sinusa vērtības, tās var atrast trigonometriskajā tabulā. Dažos gadījumos (kā šajā gadījumā) ir iespējams izveidot shematisku zīmējumu, uz kura principiāli pareizi jāattēlo integrācijas grafiki un robežas.
Šeit nav nekādu problēmu ar integrācijas robežām, tās izriet tieši no nosacījuma: “x” mainās no nulles uz “pi”. Pieņemsim tālāku lēmumu:
Segmentā funkcijas grafiks atrodas virs ass, tāpēc:
Apskatīsim integrālrēķina lietojumus. Šajā nodarbībā mēs apskatīsim tipisko un visizplatītāko plaknes figūras laukuma aprēķināšanas problēmu, izmantojot noteiktu integrāli. Visbeidzot, lai visi, kas meklē jēgu augstākajā matemātikā, to atrod. Nekad nevar zināt. Reālajā dzīvē jums būs jātuvina vasarnīcas gabals, izmantojot elementāras funkcijas, un jāatrod tā platība, izmantojot noteiktu integrāli.
Lai veiksmīgi apgūtu materiālu, jums ir:
1) Saprast nenoteikto integrāli vismaz vidējā līmenī. Tāpēc manekeniem vispirms vajadzētu iepazīties ar Viņa mācību.
2) Prast pielietot Ņūtona-Leibnica formulu un aprēķināt noteikto integrāli. Lapā Definite Integral varat nodibināt siltas draudzīgas attiecības ar noteiktiem integrāļiem. Risinājumu piemēri. Uzdevums “aprēķināt laukumu, izmantojot noteiktu integrāli” vienmēr ietver zīmējuma konstruēšanu, tāpēc arī jūsu zināšanas un zīmēšanas prasmes būs svarīgs jautājums. Jums ir jāspēj izveidot vismaz taisni, parabolu un hiperbolu.
Sāksim ar izliektu trapecveida formu. Izliekta trapecveida forma ir plakana figūra, ko ierobežo kādas funkcijas grafiks y = f(x), ass VĒRSIS un līnijas x = a; x = b.
Līklīnijas trapeces laukums ir skaitliski vienāds ar noteiktu integrāli
Jebkuram noteiktam integrālim (kas pastāv) ir ļoti laba ģeometriskā nozīme. Nodarbībā Noteiktais integrālis. Risinājumu piemēri mēs teicām, ka noteikts integrālis ir skaitlis. Un tagad ir pienācis laiks paziņot vēl vienu noderīgu faktu. No ģeometrijas viedokļa noteiktais integrālis ir AREA. Tas ir, noteikts integrālis (ja tāds pastāv) ģeometriski atbilst noteiktas figūras laukumam. Apsveriet noteikto integrāli
Integrand
definē līkni uz plaknes (ja vēlas, to var uzzīmēt), un pats noteiktais integrālis ir skaitliski vienāds ar atbilstošās līknes trapeces laukumu.
1. piemērs
, , , .
Šis ir tipisks uzdevuma paziņojums. Vissvarīgākais punkts risinājumi - zīmēšana. Turklāt zīmējums ir jākonstruē PAREIZI.
Konstruējot zīmējumu, iesaku šādu secību: vispirms labāk konstruēt visas taisnes (ja tādas ir) un tikai tad – parabolas, hiperbolas un citu funkciju grafikus. Punktu konstrukcijas tehnika ir atrodama uzziņas materiālā Elementāro funkciju grafiki un īpašības. Tur arī var atrast ļoti noderīgu materiālu mūsu nodarbībai – kā ātri uzbūvēt parabolu.
Šīs problēmas risinājums varētu izskatīties šādi.
Zīmēsim (ņemiet vērā, ka vienādojums y= 0 norāda asi VĒRSIS):
Mēs neēnosim izliekto trapeci, šeit ir skaidrs, par kuru apgabalu mēs runājam. Risinājums turpinās šādi:
Uz segmenta [-2; 1] funkciju grafiks y = x 2 + 2, kas atrodas virs ass VĒRSIS, Tāpēc:
Atbilde: .
Kam ir grūtības ar noteiktā integrāļa aprēķināšanu un Ņūtona-Leibnica formulas piemērošanu
,
Skatiet lekciju Noteiktais integrāls. Risinājumu piemēri. Pēc uzdevuma izpildes vienmēr ir lietderīgi aplūkot zīmējumu un noskaidrot, vai atbilde ir patiesa. Šajā gadījumā mēs saskaitām šūnu skaitu zīmējumā “ar aci” - labi, būs apmēram 9, kas, šķiet, ir taisnība. Ir pilnīgi skaidrs, ka, ja mēs saņēmām, teiksim, atbildi: 20 kvadrātvienības, tad ir acīmredzams, ka kaut kur ir pieļauta kļūda - 20 šūnas acīmredzami neietilpst attiecīgajā attēlā, augstākais ducis. Ja atbilde ir noraidoša, tad arī uzdevums tika atrisināts nepareizi.
2. piemērs
Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas xy = 4, x = 2, x= 4 un ass VĒRSIS.
Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.
Ko darīt, ja zem ass atrodas izliekta trapece VĒRSIS?
3. piemērs
Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas y = e-x, x= 1 un koordinātu asis.
Risinājums: izveidosim zīmējumu:
Ja izliekta trapece pilnībā atrodas zem ass VĒRSIS, tad tā laukumu var atrast, izmantojot formulu:
Šajā gadījumā:
.
Uzmanību! Nedrīkst jaukt divu veidu uzdevumus:
1) Ja jums tiek lūgts atrisināt vienkārši noteiktu integrāli bez ģeometriskas nozīmes, tas var būt negatīvs.
2) Ja jums tiek lūgts atrast figūras laukumu, izmantojot noteiktu integrāli, tad laukums vienmēr ir pozitīvs! Tāpēc tikko apspriestajā formulā parādās mīnuss.
Praksē visbiežāk figūra atrodas gan augšējā, gan apakšējā pusplaknē, un tāpēc no vienkāršākajām skolas problēmām mēs pārejam pie jēgpilnākiem piemēriem.
4. piemērs
Atrodiet plaknes figūras laukumu, ko ierobežo līnijas y = 2x – x 2 , y = -x.
Risinājums: Vispirms jums ir jāizveido zīmējums. Konstruējot zīmējumu apgabala uzdevumos, mūs visvairāk interesē līniju krustošanās punkti. Atradīsim parabolas krustošanās punktus y = 2x – x 2 un taisni y = -x. To var izdarīt divos veidos. Pirmā metode ir analītiska. Mēs atrisinām vienādojumu:
Tas nozīmē, ka integrācijas apakšējā robeža a= 0, integrācijas augšējā robeža b= 3. Bieži vien ir izdevīgāk un ātrāk konstruēt līnijas pa punktam, un integrācijas robežas kļūst skaidras “pašas no sevis”. Tomēr analītiskā robežu noteikšanas metode dažkārt joprojām ir jāizmanto, ja, piemēram, grafiks ir pietiekami liels vai detalizētā konstrukcija neatklāja integrācijas robežas (tās var būt daļēja vai neracionāla). Atgriezīsimies pie uzdevuma: racionālāk ir vispirms izveidot taisni un tikai pēc tam parabolu. Izveidosim zīmējumu:
Atkārtosim, ka, konstruējot punktveida, integrācijas robežas visbiežāk tiek noteiktas “automātiski”.
Un tagad darba formula:
Ja segmentā [ a; b] kāda nepārtraukta funkcija f(x) ir lielāks vai vienāds ar kādu nepārtrauktu funkciju g(x), tad atbilstošās figūras laukumu var atrast, izmantojot formulu:
Šeit vairs nav jādomā par to, kur atrodas figūra - virs ass vai zem ass, bet svarīgi ir tas, kurš grafiks ir AUGSTĀK (attiecībā pret citu grafiku) un kurš ir APAKS.
Apskatāmajā piemērā ir acīmredzams, ka segmentā parabola atrodas virs taisnes, un tāpēc no 2 x – x 2 jāatņem - x.
Pabeigtais risinājums varētu izskatīties šādi:
Vēlamo figūru ierobežo parabola y = 2x – x 2 uz augšu un taisni y = -x zemāk.
2. segmentā x – x 2 ≥ -x. Saskaņā ar atbilstošo formulu:
Atbilde: .
Faktiski skolas formula līknes trapeces laukumam apakšējā pusplaknē (skat. piemēru Nr. 3) ir formulas īpašs gadījums.
.
Jo ass VĒRSIS ko dod vienādojums y= 0, un funkcijas grafiks g(x), kas atrodas zem ass VĒRSIS, Tas
.
Un tagad pāris piemēri savam risinājumam
5. piemērs
6. piemērs
Atrodiet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas
Risinot problēmas, kas saistītas ar laukuma aprēķināšanu, izmantojot noteiktu integrāli, dažreiz notiek smieklīgi atgadījumi. Zīmējums tika aizpildīts pareizi, aprēķini bija pareizi, bet neuzmanības dēļ... tika atrasts nepareizās figūras laukums.
7. piemērs
Vispirms izveidosim zīmējumu:
Figūra, kuras laukums mums jāatrod, ir ietonēts zilā krāsā (uzmanīgi apskatiet nosacījumu – kā figūra ir ierobežota!). Bet praksē neuzmanības dēļ cilvēki bieži nolemj, ka viņiem jāatrod figūras laukums, kas ir iekrāsots zaļā krāsā!
Šis piemērs ir noderīgs arī tāpēc, ka tas aprēķina figūras laukumu, izmantojot divus noteiktus integrāļus. Tiešām:
1) Uz segmenta [-1; 1] virs ass VĒRSIS grafiks atrodas taisni y = x+1;
2) segmentā virs ass VĒRSIS hiperbolas grafiks atrodas y = (2/x).
Ir pilnīgi skaidrs, ka apgabalus var (un vajadzētu) pievienot, tāpēc:
Atbilde:
8. piemērs
Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas
Iesniegsim vienādojumus “skolas” formā
un izveidojiet punktu pa punktam zīmējumu:
No zīmējuma ir skaidrs, ka mūsu augšējā robeža ir “laba”: b = 1.
Bet kāda ir zemākā robeža?! Ir skaidrs, ka tas nav vesels skaitlis, bet kas tas ir?
Var būt, a=(-1/3)? Bet kur ir garantija, ka zīmējums ir izveidots ar nevainojamu precizitāti, tā var izrādīties a=(-1/4). Ko darīt, ja mēs izveidojam grafiku nepareizi?
Šādos gadījumos jums ir jāpavada papildu laiks un analītiski jānoskaidro integrācijas robežas.
Atradīsim grafiku krustošanās punktus
Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu:
.
Tāpēc a=(-1/3).
Tālākais risinājums ir triviāls. Galvenais neapjukt maiņās un zīmēs. Šeit veiktie aprēķini nav no vienkāršākajiem. Uz segmentu
, 
,
pēc atbilstošās formulas:
Atbilde: 
Nodarbības noslēgumā apskatīsim divus sarežģītākus uzdevumus.
Attiecīgi nekādām grūtībām nevajadzētu rasties! Es neapskatīšu ļoti daudzus piemērus, jo jūs faktiski esat atkārtoti saskāries ar šo uzdevumu.
Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas
Risinājums: attēlosim šo figūru zīmējumā.
Lai izveidotu punktu pa punktam zīmējumu, jums jāzina sinusoīda izskats. Kopumā ir lietderīgi zināt visu elementāro funkciju grafikus, kā arī dažas sinusa vērtības. Tos var atrast vērtību tabulā trigonometriskās funkcijas. Dažos gadījumos (piemēram, šajā gadījumā) ir iespējams izveidot shematisku zīmējumu, uz kura principiāli pareizi jāattēlo integrācijas grafiki un robežas.
Šeit nav nekādu problēmu ar integrācijas ierobežojumiem, tie izriet tieši no nosacījuma:
– “x” mainās no nulles uz “pi”. Pieņemsim tālāku lēmumu:
Segmentā funkcijas grafiks y= grēks 3 x atrodas virs ass VĒRSIS, Tāpēc:
(1) Nodarbībā Trigonometrisko funkciju integrāļi var redzēt, kā sinusus un kosinusus integrē nepāra pakāpēs. Nospiežam vienu sinusu.
(2) Formā izmantojam galveno trigonometrisko identitāti
(3) Mainīsim mainīgo t= cos x, tad: atrodas virs ass, tāpēc:
.
.
Piezīme: ņemiet vērā, kā šeit tiek izmantots trigonometriskās pamatidentitātes rezultāts
.
Kā vietnē ievietot matemātiskās formulas?
Ja jums kādreiz ir jāpievieno viena vai divas matemātiskas formulas tīmekļa lapai, vienkāršākais veids, kā to izdarīt, ir aprakstīts rakstā: matemātiskās formulas ir viegli ievietojamas vietnē attēlu veidā, ko automātiski ģenerē Wolfram Alpha. . Papildus vienkāršībai šī universālā metode palīdzēs uzlabot vietnes redzamību meklētājprogrammās. Tas darbojas jau ilgu laiku (un, domāju, darbosies mūžīgi), bet jau ir morāli novecojis.
Ja savā vietnē regulāri lietojat matemātiskās formulas, tad iesaku izmantot MathJax – īpašu JavaScript bibliotēku, kas tīmekļa pārlūkprogrammās parāda matemātiskos apzīmējumus, izmantojot MathML, LaTeX vai ASCIIMathML marķējumu.
Ir divi veidi, kā sākt lietot MathJax: (1) izmantojot vienkāršs kods Jūs varat ātri pieslēgt savai vietnei MathJax skriptu, kas īstajā laikā tiks automātiski ielādēts no attālā servera (serveru saraksts); (2) lejupielādējiet MathJax skriptu no attālā servera savā serverī un pievienojiet to visām vietnes lapām. Otrā metode — sarežģītāka un laikietilpīgāka — paātrinās jūsu vietnes lapu ielādi, un, ja MathJax vecākais serveris kādu iemeslu dēļ uz laiku kļūst nepieejams, tas nekādā veidā neietekmēs jūsu vietni. Neskatoties uz šīm priekšrocībām, es izvēlējos pirmo metodi, jo tā ir vienkāršāka, ātrāka un neprasa tehniskas iemaņas. Sekojiet manam piemēram, un jau pēc 5 minūtēm jūs savā vietnē varēsiet izmantot visas MathJax funkcijas.
MathJax bibliotēkas skriptu var savienot no attālā servera, izmantojot divas koda opcijas, kas iegūtas no galvenās MathJax vietnes vai dokumentācijas lapas:
Viena no šīm koda opcijām ir jākopē un jāielīmē jūsu tīmekļa lapas kodā, vēlams starp tagiem un vai tūlīt aiz taga. Saskaņā ar pirmo opciju MathJax tiek ielādēts ātrāk un mazāk palēnina lapu. Bet otrā opcija automātiski uzrauga un ielādē jaunākās MathJax versijas. Ja ievietojat pirmo kodu, tas būs periodiski jāatjaunina. Ja ievietosiet otro kodu, lapas tiks ielādētas lēnāk, taču jums nebūs pastāvīgi jāuzrauga MathJax atjauninājumi.
Vienkāršākais veids, kā savienot MathJax, ir pakalpojumā Blogger vai WordPress: vietnes vadības panelī pievienojiet logrīku, kas paredzēts trešās puses JavaScript koda ievietošanai, kopējiet tajā pirmo vai otro lejupielādes koda versiju un novietojiet logrīku tuvāk. līdz veidnes sākumam (starp citu, tas nemaz nav nepieciešams, jo MathJax skripts tiek ielādēts asinhroni). Tas arī viss. Tagad apgūstiet MathML, LaTeX un ASCIIMathML iezīmēšanas sintaksi, un esat gatavs ievietot matemātiskās formulas savas vietnes tīmekļa lapās.
Jebkurš fraktāls tiek konstruēts saskaņā ar noteiktu noteikumu, kas tiek konsekventi piemērots neierobežotu skaitu reižu. Katru šādu laiku sauc par iterāciju.
Mengera sūkļa konstruēšanas iteratīvais algoritms ir pavisam vienkāršs: sākotnējais kubs ar 1. malu tiek sadalīts ar plaknēm, kas ir paralēlas tā virsmām, 27 vienādos kubos. No tā tiek noņemts viens centrālais kubs un 6 tam blakus esošie kubi gar virsmām. Rezultāts ir komplekts, kas sastāv no atlikušajiem 20 mazākiem kubiņiem. Izdarot to pašu ar katru no šiem kubiem, mēs iegūstam komplektu, kas sastāv no 400 mazākiem kubiņiem. Turpinot šo procesu bezgalīgi, mēs iegūstam Menger sūkli.