Apskatīsim funkciju. Šo funkciju sauc par integrāli kā augšējās robežas funkciju. Ņemsim vērā vairākas šīs funkcijas īpašības.
Teorēma 2.1. Ja f(x) ir integrējama funkcija, tad Ф(x) ir nepārtraukta uz .
Pierādījums. Pēc īpašuma 9 noteikts integrālis(vidējās vērtības teorēma) mums ir 
, no kurienes, pie , mēs iegūstam nepieciešamo.
Teorēma 2.2. Ja f(x) ir nepārtraukta funkcija uz , tad Ф’(x) = f(x) ieslēgta .
Pierādījums. Ar noteiktā integrāļa īpašību 10 (otrās vidējās vērtības teorēma) mums ir 
Kur Ar– kāds segmenta punkts. Funkcijas f nepārtrauktības dēļ iegūstam
Tādējādi Ф(x) ir viens no funkcijas f(x) antiatvasinājumiem, tāpēc Ф(x) = F(x) + C, kur F(x) ir vēl viens f(x) antiatvasinājums. Tālāk, tā kā Ф(a) = 0, tad 0 = F(a) + C, tātad C = -F(a) un tātad Ф(x) = F(x) – F(a). Pieņemot, ka x=b, iegūstam Ņūtona-Leibnica formulu
Piemēri
1. 
Integrācija pa daļām noteiktā integrālī
Noteiktais integrālis saglabā formulu integrācijai pa daļām. Šajā gadījumā tas aizņem formu
Piemērs.
Mainīgo lielumu maiņa noteiktā integrālī
Viens no rezultātu variantiem par mainīgo lielumu maiņu noteiktā integrālī ir šāds.Teorēma 2.3. Lai f(x) ir nepārtraukts segmentā un atbilst nosacījumiem:
1) φ(α) = a
2) φ(β) = b
3) atvasinājums φ’(t) ir definēts visur intervālā [α, β]
4) visiem t no [α, β]
Tad
Pierādījums. Ja F(x) ir f(x)dx antiatvasinājums, tad F(φ(t)) ir antiatvasinājums priekš F(b) – F(a) = F(φ(β)) – F(φ(α)) . Teorēma ir pierādīta.
komentēt. Ja noraidām funkcijas f(x) nepārtrauktību 2.3. teorēmas apstākļos, mums ir jāpieprasa funkcijas φ(t) monotonitāte.
Piemērs. Aprēķināt integrāli Liksim Tad dx = 2tdt un tāpēc
1. problēma(par izliektas trapeces laukuma aprēķināšanu).
Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā xOy ir dots skaitlis (skat. attēlu), ko ierobežo x asi, taisnas līnijas x = a, x = b (izliekta trapece. Nepieciešams aprēķināt izliektās trapeces laukumu).
Risinājums.Ģeometrija sniedz mums receptes daudzstūru laukumu un dažu apļa daļu (sektora, segmenta) aprēķināšanai. Izmantojot ģeometriskus apsvērumus, mēs varam atrast tikai aptuvenu vajadzīgā laukuma vērtību, argumentējot šādi.
Sadalīsim segmentu [a; b] (liektas trapeces pamats) n vienādās daļās; šo sadalīšanu veic, izmantojot punktus x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Novelsim taisnas līnijas caur šiem punktiem paralēli y asij. Tad dotā līknes trapece tiks sadalīta n daļās, n šaurās kolonnās. Visas trapeces laukums ir vienāds ar kolonnu laukumu summu.
Apskatīsim k-to kolonnu atsevišķi, t.i. izliekta trapece, kuras pamatne ir segments. Aizstāsim to ar taisnstūri ar tādu pašu pamatni un augstumu, kas vienāds ar f(x k) (sk. attēlu). Taisnstūra laukums ir vienāds ar \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), kur \(\Delta x_k \) ir segmenta garums; Ir dabiski uzskatīt iegūto produktu par aptuvenu k-tās kolonnas laukuma vērtību. 
Ja mēs tagad darām to pašu ar visām pārējām kolonnām, mēs nonāksim pie šāda rezultāta: dotās līknes trapeces laukums S ir aptuveni vienāds ar n taisnstūriem veidotas pakāpeniskas figūras laukumu S n (skat. attēlu):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \punkti + f(x_k)\Delta x_k + \punkti + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Šeit apzīmējuma vienveidības labad pieņemam, ka a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - segmenta garums, \(\Delta x_1 \) - segmenta garums utt.; šajā gadījumā, kā mēs vienojāmies iepriekš, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Tātad, \(S \approx S_n \), un šī aptuvenā vienādība ir precīzāka, jo lielāks n.
Pēc definīcijas tiek uzskatīts, ka nepieciešamais līknes trapeces laukums ir vienāds ar secības robežu (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
2. problēma(par punkta pārvietošanu)
Pārvietojas taisnā līnijā materiālais punkts. Ātruma atkarību no laika izsaka ar formulu v = v(t). Atrast punkta kustību noteiktā laika periodā [a; b].
Risinājums. Ja kustība būtu viendabīga, tad problēma tiktu atrisināta ļoti vienkārši: s = vt, t.i. s = v(b-a). Nevienmērīgai kustībai ir jāizmanto tās pašas idejas, uz kurām balstījās iepriekšējās problēmas risinājums.
1) Sadaliet laika intervālu [a; b] n vienādās daļās.
2) Aplūkosim laika periodu un pieņemsim, ka šajā laika periodā ātrums bija nemainīgs, tāds pats kā laikā t k. Tātad mēs pieņemam, ka v = v(t k).
3) Atradīsim aptuveno punkta kustības vērtību noteiktā laika periodā, apzīmēsim šo aptuveno vērtību kā s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Atrodiet aptuveno pārvietojuma s vērtību:
\(s \apmēram S_n \) kur
\(S_n = s_0 + \punkti + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \punkti + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Nepieciešamais pārvietojums ir vienāds ar secības robežu (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Apkoposim. Dažādu problēmu risinājumi tika reducēti uz vienu un to pašu matemātisko modeli. Daudzas problēmas no dažādām zinātnes un tehnoloģiju jomām noved pie viena un tā paša modeļa risināšanas procesā. Tas nozīmē, ka šis matemātiskais modelis ir īpaši jāizpēta.
Noteikta integrāļa jēdziens
Sniegsim matemātisko aprakstu modelim, kas tika uzbūvēts trīs aplūkotajās problēmas funkcijai y = f(x), nepārtrauktai (bet ne obligāti nenegatīvai, kā tika pieņemts aplūkotajās problēmās) intervālā [a; b]:
1) sadalīt segmentu [a; b] n vienādās daļās;
2) sastāda summu $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) aprēķiniet $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
Matemātiskās analīzes gaitā tika pierādīts, ka šī robeža pastāv nepārtrauktas (vai pa daļām nepārtrauktas) funkcijas gadījumā. Viņi viņu sauc noteikts funkcijas y = f(x) integrālis virs segmenta [a; b] un apzīmē šādi:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Skaitļus a un b sauc par integrācijas robežām (attiecīgi apakšējo un augšējo).
Atgriezīsimies pie iepriekš apspriestajiem uzdevumiem. 1. uzdevumā doto apgabala definīciju tagad var pārrakstīt šādi:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
šeit S ir līknes trapeces laukums, kas parādīts attēlā iepriekš. Tas ir ģeometriskā nozīme noteikts integrālis.
2. uzdevumā doto punkta pārvietojuma s definīciju, kas kustas taisnā līnijā ar ātrumu v = v(t) laika periodā no t = a līdz t = b, var pārrakstīt šādi:
Ņūtona-Leibnica formula
Vispirms atbildēsim uz jautājumu: kāda ir saistība starp noteikto integrāli un antiatvasinājumu?
Atbilde ir atrodama 2. uzdevumā. No vienas puses, pārvietojumu s punktam, kas kustas taisnā līnijā ar ātrumu v = v(t) laika periodā no t = a līdz t = b aprēķina formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Savukārt kustīga punkta koordināte ir ātruma antiatvasinājums - apzīmēsim to ar s(t); tas nozīmē, ka pārvietojumu s izsaka ar formulu s = s(b) - s(a). Rezultātā mēs iegūstam:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
kur s(t) ir v(t) antiatvasinājums.
Matemātiskās analīzes gaitā tika pierādīta šāda teorēma.
Teorēma. Ja funkcija y = f(x) ir nepārtraukta intervālā [a; b], tad formula ir derīga
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
kur F(x) ir f(x) antiatvasinājums.
Doto formulu parasti sauc Ņūtona-Leibnica formula par godu angļu fiziķim Īzakam Ņūtonam (1643-1727) un vācu filozofam Gotfrīdam Leibnicam (1646-1716), kuri to saņēma neatkarīgi viens no otra un gandrīz vienlaikus.
Praksē tā vietā, lai rakstītu F(b) - F(a), viņi izmanto apzīmējumu \(\left. F(x)\right|_a^b \) (to dažreiz sauc dubultā aizstāšana) un attiecīgi pārrakstiet Ņūtona-Leibnica formulu šādā formā:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)
Aprēķinot noteiktu integrāli, vispirms atrodiet antiatvasinājumu un pēc tam veiciet dubulto aizstāšanu.
Pamatojoties uz Ņūtona-Leibnica formulu, mēs varam iegūt divas noteiktā integrāļa īpašības.
1. īpašums. Funkciju summas integrālis vienāds ar summu integrāļi:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
2. īpašums. Pastāvīgo koeficientu var izņemt no integrālās zīmes:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Plaknes figūru laukumu aprēķināšana, izmantojot noteiktu integrāli
Izmantojot integrāli, jūs varat aprēķināt ne tikai līknes trapeces, bet arī plakano figūru laukumus. komplekss tips, piemēram, tas, kas parādīts attēlā. Skaitlis P ir ierobežots ar taisnēm x = a, x = b un nepārtrauktu funkciju grafikiem y = f(x), y = g(x), un uz nogriežņa [a; b] pastāv nevienādība \(g(x) \leq f(x) \). Lai aprēķinātu šāda skaitļa laukumu S, mēs rīkojamies šādi:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Tātad figūras laukums S, ko ierobežo taisnas līnijas x = a, x = b un funkciju y = f(x), y = g(x) grafiki, nepārtraukti uz segmenta un tādi, ka jebkuram x no segmenta [a; b] ir izpildīta nevienādība \(g(x) \leq f(x) \), kas aprēķināta pēc formulas
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Dažu funkciju nenoteikto integrāļu (antiatvasinājumu) tabula
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$Ņūtona-Leibnica formula
Galvenā analīzes teorēma vai Ņūtona - Leibnica formula dod attiecības starp divām operācijām: noteikta integrāļa ņemšanu un antiatvasinājuma aprēķināšanu
Formulēšana
Apsveriet funkcijas integrāli y = f(x) sākot no konstants skaitlis a līdz numuram x, ko uzskatīsim par mainīgu. Rakstīsim integrāli šādā formā:
Šis tips integrāli sauc par integrāli ar mainīgu augšējo robežu. Izmantojot vidējās vērtības teorēmu noteiktā integrālī, to ir viegli parādīt šī funkcija nepārtraukts un diferencēts. Un arī dotās funkcijas atvasinājums punktā x ir vienāds ar pašu integrējamo funkciju. No tā izriet, ka jebkurai nepārtrauktai funkcijai ir antiatvasinājums kvadrāta formā: . Un tā kā funkcijas f antiatvasināto funkciju klase atšķiras ar konstanti, ir viegli parādīt, ka: funkcijas f noteiktais integrālis ir vienāds ar antiatvasinājumu vērtību starpību punktos b un a
Wikimedia fonds.
- 2010. gads.
- Kopējās varbūtības formula
Rayleigh-Jeans formula
Skatiet, kas ir “Ņūtona-Leibnica formula” citās vārdnīcās:Ņūtona-Leibnica formula
- Galvenā analīzes teorēma jeb Ņūtona Leibnica formula sniedz sakarību starp divām operācijām: noteikta integrāļa ņemšanu un antiatvasinājuma aprēķināšanu. Formulējums Apskatīsim funkcijas y = f(x) integrāli diapazonā no konstanta skaitļa a līdz.. ... Vikipēdija Ierobežota pieauguma formula
- Šim terminam ir citas nozīmes, skatiet Lagranža teorēmu. Galīgā pieauguma formula jeb Lagranža vidējās vērtības teorēma nosaka, ka, ja funkcija ir nepārtraukta intervālā un... Wikipedia Stoksa formula
- Stoksa teorēma ir viena no galvenajām diferenciālģeometrijas un matemātiskās analīzes teorēmām par diferenciālformu integrāciju, kas vispārina vairākas analīzes teorēmas. Nosaukts J. G. Stoksa vārdā. Saturs 1 Vispārīgs formulējums 2… … WikipediaŅŪTONA - LEIBNICA FORMULA - formula, kas izsaka noteikta integrāļa vērtību dotā funkcija f pa segmentu vērtību starpības veidā jebkura šīs funkcijas antiatvasinājuma F segmenta galos, kas nosaukts I. Ņūtona un G. Leibnica vārdā, jo noteikums ir... ...
Matemātiskā enciklopēdijaŅŪTONA-LEIBNICA FORMULA - integrāļa aprēķina pamatformula. Izsaka saikni starp funkcijas f(x) noteiktu integrāli un jebkuru tās antiatvasinājumu F(x) ...
Lielā enciklopēdiskā vārdnīca- Šim terminam ir citas nozīmes, skatiet Leibnica vārdā nosaukto objektu sarakstu. Šim terminam ir arī citas nozīmes, skatiet Leibnica formulu (nozīmes). Leibnica formula integrālajā aprēķinā ir likums... ... Wikipedia
Ņūtona-Leibnica formula- Ņūtona Leibnica formula, integrāļa aprēķina pamatformula. Izsaka saikni starp funkcijas f(x) noteikto integrāli un jebkuru tās antiatvasinājumu F(x). . * * * ŅŪTONA LEIBNICA FORMULA ŅŪTONA LEIBNICA FORMULA, pamatformula... ... Enciklopēdiskā vārdnīca
Taisnstūra formula
Trapecveida formula- Noteikts integrālis kā figūras laukums Skaitliskā integrācija ( vēsturiskais nosaukums: kvadratūra) noteikta integrāļa vērtības aprēķins (parasti aptuvens), pamatojoties uz to, ka integrāļa vērtība skaitliski ir vienāda ar laukumu ... ... Wikipedia
Ņūtona teorēma- Ņūtona Leibnica formula jeb analīzes fundamentālā teorēma sniedz attiecības starp divām operācijām: noteikta integrāļa ņemšanu un antiatvasinājuma aprēķināšanu. Ja segmentā tas ir nepārtraukts un jebkuram tā antiatvasinājumam šajā segmentā ir ... Wikipedia
Dota kāda nepārtraukta funkcija f uz noteikta Vērša ass segmenta. Pieņemsim, ka šī funkcija nemaina savu zīmi visā segmentā.
Ja f ir nepārtraukta un nenegatīva funkcija noteiktā segmentā un F ir kāds tās antiatvasinājums šajā segmentā, tad līknes trapeces S laukums ir vienāds ar antiatvasinājuma pieaugumu šajā segmentā.
Šo teorēmu var uzrakstīt šādi:
S = F(b) - F(a)
Funkcijas f(x) integrālis no a līdz b būs vienāds ar S. Šeit un tālāk, lai apzīmētu kādas funkcijas f(x) noteikto integrāli, ar integrācijas robežām no a līdz b, izmantosim pēc apzīmējuma (a;b)∫f(x). Zemāk ir piemērs tam, kā tas izskatīsies.
Ņūtona-Leibnica formula
Tas nozīmē, ka mēs varam pielīdzināt šos divus rezultātus. Iegūstam: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) ar nosacījumu, ka F ir funkcijas f on antiatvasinājums. Šo formulu sauc Ņūtona - Leibnica formulas. Tā būs taisnība jebkurai nepārtrauktai funkcijai f intervālā.
Integrāļu aprēķināšanai tiek izmantota Ņūtona-Leibnica formula. Apskatīsim dažus piemērus:
1. piemērs: aprēķina integrāli. Atrodiet integrand funkcijas x 2 antiatvasinājumu. Viens no antiatvasinājumiem būs funkcija (x 3)/3.
Tagad mēs izmantojam Ņūtona-Leibnica formulu:
(-1;2)∫x2 dx = (2 3)/3 — ((-1) 3)/3 = 3
Atbilde: (-1;2)∫x 2 dx = 3.
2. piemērs: aprēķina integrāli (0;pi)∫sin(x)dx.
Atrodiet integrand funkcijas sin(x) antiatvasinājumu. Viens no antiatvasinājumiem būs funkcija -cos(x). Izmantosim Ņūtona-Leibnica formulu:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Atbilde: (0;pi)∫sin(x)dx=2
Dažreiz ierakstīšanas vienkāršības un ērtības labad funkcijas F pieaugumu segmentā (F(b)-F(a)) raksta šādi:
Izmantojot šo pieauguma apzīmējumu, Ņūtona-Leibnica formulu var pārrakstīt šādi:
Kā minēts iepriekš, tas ir tikai saīsinājums ierakstīšanas ērtībai, šis ieraksts neietekmē neko citu. Šis apzīmējums un formula (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) būs līdzvērtīgi.
Pēc noteikta integrāļa no nepārtrauktas funkcijas f(x) pēdējā segmentā [ a, b] (kur ) ir dažu tā antiatvasinājumu pieaugums šajā segmentā. (Kopumā sapratne būs manāmi vieglāka, ja atkārtos nenoteiktā integrāļa tēmu) Šajā gadījumā tiek izmantots apzīmējums
Kā redzams zemāk esošajos grafikos (antiderivatīvās funkcijas pieaugums ir norādīts ar ), noteikts integrālis var būt pozitīvs vai negatīvs skaitlis(To aprēķina kā starpību starp antiatvasinājuma vērtību augšējā robežā un tā vērtību apakšējā robežā, t.i., kā F(b) - F(a)).
Skaitļi a Un b tiek sauktas attiecīgi par integrācijas apakšējo un augšējo robežu un segmentu [ a, b] – integrācijas segments.
Tādējādi, ja F(x) – kāda antiderivatīvā funkcija priekš f(x), tad saskaņā ar definīciju
(38)
Vienlīdzību (38) sauc Ņūtona-Leibnica formula . Atšķirība F(b) – F(a) ir īsi uzrakstīts šādi:
Tāpēc mēs rakstīsim Ņūtona-Leibnica formulu šādi:
(39)
Pierādīsim, ka noteiktais integrālis nav atkarīgs no tā, kurš integranda antiatvasinājums tiek ņemts, to aprēķinot. Ļaujiet F(x) un F( X) ir patvaļīgi integranda antiatvasinājumi. Tā kā tie ir vienas funkcijas antiatvasinājumi, tie atšķiras ar nemainīgu terminu: Ф( X) = F(x) + C. Tieši tāpēc
Tas nosaka, ka segmentā [ a, b] visu funkcijas antiatvasinājumu pieaugumu f(x) atbilst.
Tātad, lai aprēķinātu noteiktu integrāli, ir jāatrod jebkurš integranda antiatvasinājums, t.i. Vispirms jāatrod nenoteiktais integrālis. Pastāvīgi AR izslēgti no turpmākajiem aprēķiniem. Tad tiek izmantota Ņūtona-Leibnica formula: augšējās robežas vērtība tiek aizstāta ar antiderivatīvu funkciju b , tālāk - apakšējās robežas vērtība a un tiek aprēķināta starpība F(b) - F(a) . Iegūtais skaitlis būs noteikts integrālis..
Plkst a = b pēc definīcijas pieņemts
1. piemērs.
Risinājums. Vispirms atradīsim nenoteikto integrāli:
Ņūtona-Leibnica formulas piemērošana antiatvasinājumam
(pie AR= 0), mēs iegūstam
Taču, aprēķinot noteiktu integrāli, antiatvasinājumu labāk nemeklēt atsevišķi, bet integrāli uzreiz ierakstīt formā (39).
2. piemērs. Aprēķināt noteikto integrāli
Risinājums. Izmantojot formulu
Noteiktā integrāļa īpašības
2. teorēma.Noteiktā integrāļa vērtība nav atkarīga no integrācijas mainīgā apzīmējuma, t.i.
(40)
Ļaujiet F(x) – antiderivatīvs priekš f(x). Priekš f(t) antiatvasinājumam ir tāda pati funkcija F(t), kurā neatkarīgais mainīgais ir apzīmēts tikai citādi. Tāpēc
Pamatojoties uz formulu (39), pēdējā vienādība nozīmē integrāļu vienādību
3. teorēma.Pastāvīgo koeficientu var izņemt no noteiktā integrāļa zīmes, t.i.
(41)
4. teorēma.Galīga skaita funkciju algebriskās summas noteiktais integrālis ir vienāds ar šo funkciju noteiktu integrāļu algebrisko summu, t.i.
(42)
5. teorēma.Ja integrācijas segments ir sadalīts daļās, tad noteiktais integrālis visā segmentā ir vienāds ar noteiktu integrāļu summu pa tā daļām, t.i. Ja
(43)
6. teorēma.Pārkārtojot integrācijas robežas, noteiktā integrāļa absolūtā vērtība nemainās, bet mainās tikai tā zīme, t.i.
(44)
7. teorēma(vidējās vērtības teorēma). Noteikts integrālis ir vienāds ar integrācijas segmenta garuma un integrāda vērtības reizinājumu kādā brīdī tā iekšpusē, t.i.
(45)
8. teorēma.Ja integrācijas augšējā robeža ir lielāka par apakšējo un integrands ir nenegatīvs (pozitīvs), tad arī noteiktais integrālis ir nenegatīvs (pozitīvs), t.i. Ja
9. teorēma.Ja integrācijas augšējā robeža ir lielāka par apakšējo un funkcijas un ir nepārtrauktas, tad nevienlīdzība
var integrēt termins pēc termina, t.i.
(46)
Noteiktā integrāļa īpašības ļauj vienkāršot integrāļu tiešo aprēķinu.
5. piemērs. Aprēķināt noteikto integrāli
Izmantojot 4. un 3. teorēmu un atrodot antiatvasinājumus - tabulas integrāļus (7) un (6), iegūstam
Noteikts integrālis ar mainīgu augšējo robežu
Ļaujiet f(x) – nepārtraukts segmentā [ a, b] funkcija un F(x) ir tā antiatvasinājums. Apsveriet noteikto integrāli
(47)
un cauri t integrācijas mainīgais ir norādīts tā, lai to nesajauktu ar augšējo robežu. Mainot X mainās arī noteiktais integrālis (47), t.i. tā ir integrācijas augšējās robežas funkcija X, ko mēs apzīmējam ar F(X), t.i.
(48)
Pierādīsim, ka funkcija F(X) ir antiatvasinājums priekš f(x) = f(t). Patiešām, diferencēšana F(X), mēs saņemam
jo F(x) – antiderivatīvs priekš f(x), A F(a) ir nemainīga vērtība.
Funkcija F(X) – viens no bezgalīgi daudzajiem antiderivatīviem priekš f(x), proti, tas, kas x = a iet uz nulli. Šo apgalvojumu iegūst, ja vienādībā (48) ievietojam x = a un izmantojiet iepriekšējās rindkopas 1. teorēmu.
Noteikto integrāļu aprēķins ar integrācijas pa daļām metodi un mainīgā lieluma maiņas metodi
kur pēc definīcijas F(x) – antiderivatīvs priekš f(x). Ja mainām mainīgo integrandā
tad saskaņā ar formulu (16) varam rakstīt
Šajā izteiksmē
antiderivatīvā funkcija
Faktiski tā atvasinājums, saskaņā ar sarežģītu funkciju diferenciācijas noteikums, ir vienāds
Lai α un β ir mainīgā lieluma vērtības t, kurai funkcija
ņem vērtības atbilstoši a Un b, t.i.
Bet, saskaņā ar Ņūtona-Leibnica formulu, atšķirība F(b) – F(a) Ir