Konusa virsmas laukums (vai vienkārši konusa virsma) ir vienāds ar pamatnes un sānu virsmas laukumu summu.
Konusa sānu virsmas laukumu aprēķina pēc formulas: S = πR l, kur R ir konusa pamatnes rādiuss un l- konusa veidošana.
Tā kā konusa pamatnes laukums ir vienāds ar πR 2 (kā apļa laukums), tad laukums pilna virsma konuss būs vienāds ar: πR 2 + πR l= πR(R+ l).
Konusa sānu virsmas laukuma formulas iegūšanu var izskaidrot ar šādu argumentāciju. Ļaujiet zīmējumam parādīt konusa sānu virsmas attīstību. Sadalīsim loku AB uz iespējams lielāks skaits vienādās daļās un savieno visus dalījuma punktus ar loka centru, bet blakus esošos vienu ar otru ar akordiem.
Mēs iegūstam sēriju vienādi trīsstūri. Katra trīsstūra laukums ir ak / 2 kur A- trijstūra pamatnes garums, a h- tā augstums.
Visu trīsstūru laukumu summa būs: ak / 2 n = anh / 2 kur n- trīsstūru skaits.
Plkst liels skaits dalījumu, trīsstūru laukumu summa kļūst ļoti tuva attīstības laukumam, t.i., konusa sānu virsmas laukumam. Trīsstūru pamatu summa, t.i. an, kļūst ļoti tuvu loka AB garumam, t.i., konusa pamatnes apkārtmēram. Katra trīsstūra augstums kļūst ļoti tuvs loka rādiusam, t.i., konusa ģenerātoram.
Neņemot vērā nelielas atšķirības šo daudzumu izmēros, mēs iegūstam formulu konusa sānu virsmas laukumam (S):
S=C l / 2, kur C ir konusa pamatnes apkārtmērs, l- konusa veidošana.
Zinot, ka C = 2πR, kur R ir konusa pamatnes apļa rādiuss, iegūstam: S = πR l.
Piezīme. Formulā S = C l / 2 ir precīzas, nevis aptuvenas vienlīdzības zīme, lai gan, pamatojoties uz iepriekš minēto, mēs varētu uzskatīt šo vienlīdzību par aptuvenu. Bet vidusskolā vidusskola ir pierādīts, ka vienlīdzība
S=C l / 2 ir precīzs, nevis aptuvens.
Teorēma. Konusa sānu virsma ir vienāda ar pamatnes un ģenerātora puses apkārtmēra reizinājumu.
Ierakstīsim konusā (Zīm.) dažus pareiza piramīda un apzīmē ar burtiem r Un l skaitļi, kas izsaka šīs piramīdas pamatnes un apotēmas perimetra garumus.
Tad tā sānu virsmu izteiks produkts 1/2 r l .
Tagad pieņemsim, ka pamatnē ierakstītā daudzstūra malu skaits palielinās bez ierobežojumiem. Tad perimetrs r tiecas uz robežu, kas ņemta par pamata apkārtmēra garumu C, un apotēmu l ierobežojums būs konusa ģenerators (no ΔSAK izriet, ka SA - SK
1 / 2 r l, būs tendence līdz 1/2 C robežai
L. Šo robežu ņem par konusa sānu virsmas izmēru. Norādījis sānu virsma konuss ar burtu S, mēs varam rakstīt:
S = 1/2 C L = C 1/2 l
Sekas.
1) Tā kā C = 2 π
R, tad konusa sānu virsmu izsaka ar formulu:
S = 1/2 2π R L= π R.L.
2) Mēs iegūstam pilnu konusa virsmu, ja pamatnes laukumam pievienojam sānu virsmu; tāpēc, apzīmējot visu virsmu ar T, mums būs:
T= π RL+ π R2= π R(L+R)
Teorēma. Nocirsta konusa sānu virsma ir vienāda ar pusi no pamatu un ģeneratora apļu garumu summas reizinājumu.
Nocirstajā konusā (Zīm.) ierakstīsim kādu regulāru nošķelta piramīda un apzīmē ar burtiem r, r 1 un l skaitļi, kas identiskās lineārās vienībās izsaka šīs piramīdas apakšējās un augšējās pamatnes un apotēmas perimetru garumus.
Tad ierakstītās piramīdas sānu virsma ir vienāda ar 1/2 ( p + p 1) l
Neierobežoti palielinot ierakstītās piramīdas sānu virsmu skaitu, perimetrs r Un r 1 tiecas uz robežām, kas pieņemtas kā pamata apļa garumi C un C 1, un apotēms l ierobežojums ir nošķelta konusa ģenerators L. Līdz ar to ierakstītās piramīdas sānu virsmas izmērs tiecas līdz robežai, kas vienāda ar (C + C 1) L. Šo robežu ņem par nošķelta konusa sānu virsmas izmēru. Apzīmējot nošķelta konusa sānu virsmu ar burtu S, mums ir:
S = 1/2 (C + C 1) L
Sekas.
1) Ja R un R 1 nozīmē apakšējās un augšējās pamatnes apļa rādiusus, tad nošķeltā konusa sānu virsma būs:
S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R + R 1) L.
2) Ja trapecē OO 1 A 1 A (att.), no kuras griešanās iegūst nošķelto konusu, zīmējam viduslīnija BC, tad mēs iegūstam:
BC = 1/2 (OA + O 1 A 1) = 1/2 (R + R 1),
R + R 1 = 2VS.
Tāpēc
S=2 π BC L,
t.i. nošķelta konusa sānu virsma ir vienāda ar vidējā griezuma un ģenerātora apkārtmēra reizinājumu.
3) Nošķelta konusa kopējo virsmu T izsaka šādi:
T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)
Atpakaļ Uz priekšu
Uzmanību! Slaidu priekšskatījumi ir paredzēti tikai informatīviem nolūkiem, un tie var neatspoguļot visas prezentācijas funkcijas. Ja jūs interesē šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.
Nodarbības veids: nodarbība jauna materiāla apguvē, izmantojot problēmbāzētas attīstošas mācību metodes elementus.
Nodarbības mērķi:
- izglītojošs:
- iepazīšanās ar jauno matemātiskā koncepcija;
- jaunu mācību centru veidošana;
- praktisko problēmu risināšanas prasmju veidošana.
- izstrādājot:
- skolēnu patstāvīgas domāšanas attīstība;
- prasmju attīstība pareiza runa skolēni.
- izglītojošs:
- attīstīt komandas darba prasmes.
Nodarbības aprīkojums: magnētiskā tāfele, dators, ekrāns, multimediju projektors, konusa modelis, nodarbības prezentācija, izdales materiāli.
Nodarbības mērķi (skolēniem):
- iepazīties ar jaunu ģeometrisko jēdzienu - konusu;
- iegūstiet formulu konusa virsmas laukuma aprēķināšanai;
- iemācīties pielietot iegūtās zināšanas, risinot praktiskas problēmas.
Nodarbības progress
I posms. Organizatoriskā.
Piezīmju grāmatiņu atgriešana no mājām pārbaudes darbs par aplūkoto tēmu.
Skolēni aicināti noskaidrot gaidāmās nodarbības tēmu, risinot mīklu (1. slaids):
1. attēls.
Stundas tēmas un mērķu izziņošana skolēniem (2. slaids).
II posms. Jaunā materiāla skaidrojums.
1) Skolotāja lekcija.
Uz tāfeles ir galds ar konusa attēlu. Jauns materiāls tiek skaidrots kopā ar programmas materiālu “Stereometrija”. Ekrānā parādās trīsdimensiju konusa attēls. Skolotājs sniedz konusa definīciju un runā par tā elementiem. (3. slaids). Mēdz teikt, ka konuss ir ķermenis, ko veido taisnleņķa trijstūra rotācija attiecībā pret kāju. (4., 5. slaidi). Parādās konusa sānu virsmas skenēšanas attēls. (6. slaids)
2) Praktiskais darbs.
Pamatzināšanu atjaunināšana: atkārtojiet formulas apļa laukuma, sektora laukuma, apļa garuma, apļa loka garuma aprēķināšanai. (7.–10. slaidi)
Klase ir sadalīta grupās. Katra grupa saņem no papīra izgriezta konusa sānu virsmas skenēšanu (apļa sektors ar piešķirtu numuru). Studenti veic nepieciešamos mērījumus un aprēķina iegūtā sektora laukumu. Uz ekrāna parādās instrukcijas darba veikšanai, jautājumi - problēmu izklāsti (11.–14. slaidi). Katras grupas pārstāvis aprēķinu rezultātus pieraksta uz tāfeles sagatavotā tabulā. Katras grupas dalībnieki salīmē konusa modeli no viņiem pieejamā raksta. (15. slaids)
3) Problēmas izklāsts un risinājums.
Kā aprēķināt konusa sānu virsmas laukumu, ja ir zināms tikai pamatnes rādiuss un konusa ģenerātora garums? (16. slaids)
Katra grupa veic nepieciešamos mērījumus un mēģina iegūt formulu vajadzīgās platības aprēķināšanai, izmantojot pieejamos datus. Veicot šo darbu, skolēniem jāievēro, ka konusa pamatnes apkārtmērs ir vienāds ar sektora loka garumu - šī konusa sānu virsmas attīstību. (17.–21. slaidi) Izmantojot nepieciešamās formulas, tiek iegūta vēlamā formula. Studentu argumentiem vajadzētu izskatīties apmēram šādi:
Sektora slaucīšanas rādiuss ir vienāds ar l, pakāpes mērs loki – φ. Sektora laukumu aprēķina pēc formulas: loka garums, kas ierobežo šo sektoru, ir vienāds ar konusa pamatnes rādiusu R. Apļa garums, kas atrodas pie konusa pamatnes, ir C = 2πR . Ņemiet vērā, ka, tā kā konusa sānu virsmas laukums ir vienāds ar tā sānu virsmas attīstības laukumu, tad
Tātad konusa sānu virsmas laukums tiek aprēķināts pēc formulas S BOD = πRl.
Pēc konusa modeļa sānu virsmas laukuma aprēķināšanas, izmantojot neatkarīgi iegūto formulu, katras grupas pārstāvis ieraksta aprēķinu rezultātu tabulā uz tāfeles atbilstoši modeļa numuriem. Aprēķinu rezultātiem katrā rindā jābūt vienādiem. Pamatojoties uz to, skolotājs nosaka katras grupas secinājumu pareizību. Rezultātu tabulai vajadzētu izskatīties šādi:
|
Modeļa Nr. |
Es uzdevums |
II uzdevums |
(125/3)π ~ 41,67 π |
||
(425/9)π ~ 47,22 π |
||
(539/9)π ~ 59,89 π |
Modeļa parametri:
- l=12 cm, φ =120°
- l=10 cm, φ =150°
- l=15 cm, φ =120°
- l=10 cm, φ =170°
- l=14 cm, φ =110°
Aprēķinu tuvināšana ir saistīta ar mērījumu kļūdām.
Pēc rezultātu pārbaudes ekrānā parādās formulu izvade konusa sānu un kopējo virsmu laukumiem (22.–26. slaidi), skolēni glabā piezīmes kladēs.
III posms. Izpētītā materiāla konsolidācija.
1) Tiek piedāvāti studenti problēmas mutiskam risinājumam uz gataviem zīmējumiem.
Atrodiet attēlos parādīto konusu pilno virsmu laukumus (27.–32. slaidi).
2) jautājums: Vai konusu virsmas laukumi, kas izveidoti, pagriežot vienu taisnleņķa trīsstūri ap dažādām malām, ir vienādi? Studenti izvirza hipotēzi un pārbauda to. Hipotēzi pārbauda, risinot uzdevumus, un students to raksta uz tāfeles.
Ņemot vērā:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;
ВАА", АВВ" – rotācijas ķermeņi.
Atrast: S PPK 1, S PPK 2.
5. attēls. (33. slaids)
Risinājums:
1) R=BC = a; S PPK 1 = S BOD 1 + S galvenais 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).
2) R=AC = b; S PPK 2 = S BOD 2 + S bāze 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).
Ja S PPK 1 = S PPK 2, tad a 2 + ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b) (a + b + c) = 0. Jo a, b, c - pozitīvi skaitļi (trijstūra malu garumi), vienādība ir patiesa tikai tad, ja a =b.
Secinājums: Divu konusu virsmas laukumi ir vienādi tikai tad, ja trijstūra malas ir vienādas. (34. slaids)
3) Uzdevuma risināšana no mācību grāmatas: Nr.565.
IV posms. Apkopojot stundu.
Mājas darbs: 55., 56. punkts; Nr.548, Nr.561. (35. slaids)
Piešķirto atzīmju paziņošana.
Secinājumi nodarbības laikā, galvenās stundas laikā saņemtās informācijas atkārtošana.
Literatūra (36. slaids)
- Ģeometrijas 10.–11. klase – Atanasjans, V.F.Buuzovs, S.B.Kadomcevs u.c., “Prosveščenie”, 2008.g.
- “Matemātiskās mīklas un šarādes” - N.V. Udaļcova, bibliotēka “Pirmais septembris”, sērija “MATEMĀTIKA”, 35. izdevums, M., Čistje Prūdija, 2010.
Mēs zinām, kas ir konuss, mēģināsim atrast tā virsmas laukumu. Kāpēc jums ir jāatrisina šāda problēma? Piemēram, jums ir jāsaprot, cik daudz mīklas iztērēs vafeļu konusa pagatavošanai? Vai arī cik ķieģeļu vajag, lai uztaisītu pils ķieģeļu jumtu?
Konusa sānu virsmas laukumu vienkārši nevar izmērīt. Bet iedomāsimies to pašu ragu, kas ietīts audumā. Lai atrastu auduma gabala laukumu, tas ir jāizgriež un jāizklāj uz galda. Tas izdosies plakana figūra, mēs varam atrast tās apgabalu.
Rīsi. 1. Konusa griezums gar ģenerātoru
Darīsim to pašu ar konusu. “Nogriezīsim” tā sānu virsmu, piemēram, pa jebkuru ģenerātoru (skat. 1. att.).
Tagad “atritināsim” sānu virsmu uz plaknes. Mēs iegūstam sektoru. Šī sektora centrs ir konusa virsotne, sektora rādiuss ir vienāds ar konusa ģenerātoru, un tā loka garums sakrīt ar konusa pamatnes apkārtmēru. Šādu sektoru sauc par konusa sānu virsmas attīstību (skat. 2. att.).
Rīsi. 2. Sānu virsmas attīstība
Rīsi. 3. Leņķa mērīšana radiānos
Mēģināsim atrast sektora apgabalu, izmantojot pieejamos datus. Vispirms ieviesīsim apzīmējumu: lai leņķis sektora virsotnē ir radiānos (skat. 3. att.).
Mums bieži nāksies saskarties ar leņķi, kas atrodas problēmu augšpusē. Pagaidām mēģināsim atbildēt uz jautājumu: vai šis leņķis nevar būt lielāks par 360 grādiem? Tas ir, vai neizrādītos, ka slaucīšana pati par sevi pārklājas? Protams, ka nē. Pierādīsim to matemātiski. Ļaujiet skenējumam “pārklāt” sevi. Tas nozīmē, ka slaucīšanas loka garums ir lielāks par rādiusa apļa garumu. Bet, kā jau minēts, slaucīšanas loka garums ir rādiusa apļa garums. Un konusa pamatnes rādiuss, protams, ir mazāks par ģenerātoru, piemēram, jo taisnleņķa trijstūra kāja ir mazāka par hipotenūzu
Tad atcerēsimies divas formulas no planimetrijas kursa: loka garums. Nozares apgabals: .
Mūsu gadījumā lomu spēlē ģenerators , un loka garums ir vienāds ar konusa pamatnes apkārtmēru, tas ir. Mums ir:
Beidzot mēs iegūstam:.
Kopā ar sānu virsmas laukumu var atrast arī kopējo virsmas laukumu. Lai to izdarītu, pamatnes laukums jāpievieno sānu virsmas laukumam. Bet bāze ir rādiusa aplis, kura laukums saskaņā ar formulu ir vienāds ar .
Beidzot mums ir: , kur ir cilindra pamatnes rādiuss, ir ģenerators.
Atrisināsim pāris uzdevumus, izmantojot dotās formulas.
Rīsi. 4. Nepieciešamais leņķis
1. piemērs. Konusa sānu virsmas attīstība ir sektors ar leņķi virsotnē. Atrodiet šo leņķi, ja konusa augstums ir 4 cm un pamatnes rādiuss ir 3 cm (skat. 4. att.).
Rīsi. 5. Taisns trīsstūris, veidojot konusu
Ar pirmo darbību, saskaņā ar Pitagora teorēmu, mēs atrodam ģeneratoru: 5 cm (sk. 5. att.). Tālāk mēs to zinām .
2. piemērs. Konusa aksiālais šķērsgriezuma laukums ir vienāds ar , augstums ir vienāds ar . Atrodiet kopējo virsmas laukumu (skat. 6. att.).
Skolā pētītie rotācijas ķermeņi ir cilindrs, konuss un bumba.
Ja matemātikas vienotā valsts eksāmena uzdevumā jums jāaprēķina konusa tilpums vai sfēras laukums, uzskatiet, ka esat laimīgs.
Izmantojiet formulas cilindra, konusa un sfēras tilpumam un virsmas laukumam. Visi no tiem ir mūsu tabulā. Mācieties no galvas. Šeit sākas zināšanas par stereometriju.
Dažreiz ir labi zīmēt skatu no augšas. Vai, kā šajā problēmā, no apakšas.
2. Cik reižu apkārt aprakstītā konusa tilpums ir pareizs četrstūra piramīda, ir lielāks par šajā piramīdā ierakstītā konusa tilpumu?
Tas ir vienkārši – uzzīmējiet skatu no apakšas. Mēs redzam, ka lielākā apļa rādiuss ir reizes lielāks par mazākā apļa rādiusu. Abu konusu augstumi ir vienādi. Tāpēc lielākā konusa tilpums būs divreiz lielāks.
Cits svarīgs punkts. Atcerieties, ka B daļas uzdevumos Vienotā valsts eksāmena iespējas matemātikā atbildi raksta kā veselu vai galīgu skaitli decimālzīme. Tāpēc jūsu atbildē B daļā nevajadzētu būt nevienam vai jūsu atbildē. Arī skaitļa aptuvenā vērtība nav jāaizvieto! Tam noteikti jāsamazinās! Tieši šim nolūkam dažās problēmās uzdevums tiek formulēts, piemēram, šādi: "Atrodiet cilindra sānu virsmas laukumu, kas dalīts ar."
Kur vēl tiek izmantotas apgriezienu ķermeņu tilpuma un virsmas laukuma formulas? Protams, uzdevumā C2 (16). Par to arī pastāstīsim.
Šeit ir problēmas ar konusiem, stāvoklis ir saistīts ar tā virsmas laukumu. Jo īpaši dažās problēmās rodas jautājums par laukuma maiņu, palielinot (samazinot) konusa augstumu vai tā pamatnes rādiusu. Teorija problēmu risināšanai . Apskatīsim šādus uzdevumus:
27135. Konusa pamatnes apkārtmērs ir 3, ģenerators ir 2. Atrodiet konusa sānu virsmas laukumu.
Konusa sānu virsmas laukums ir vienāds ar:
Datu aizstāšana:
75697. Cik reižu palielināsies konusa sānu virsmas laukums, ja tā ģenerators tiek palielināts 36 reizes un pamatnes rādiuss paliek nemainīgs?
Konusa sānu virsmas laukums:
Ģeneratrix palielinās 36 reizes. Rādiuss paliek nemainīgs, kas nozīmē, ka pamatnes apkārtmērs nav mainījies.
Tas nozīmē, ka modificētā konusa sānu virsmas laukumam būs šāda forma:
Tādējādi tas palielināsies par 36 reizēm.
*Attiecības ir tiešas, tāpēc šo problēmu var viegli atrisināt mutiski.
27137. Cik reizes samazināsies konusa sānu virsmas laukums, ja tā pamatnes rādiuss tiks samazināts par 1,5 reizēm?
Konusa sānu virsmas laukums ir vienāds ar:
Rādiuss samazinās 1,5 reizes, tas ir:
Tika konstatēts, ka sānu virsmas laukums samazinājās 1,5 reizes.
27159. Konusa augstums ir 6, ģenerators ir 10. Atrodiet tā kopējās virsmas laukumu, dalītu ar Pi.
Pilna konusa virsma:
Jums jāatrod rādiuss:
Augstums un ģenerātors ir zināmi, izmantojot Pitagora teorēmu, mēs aprēķinām rādiusu:
Tādējādi:
Sadaliet rezultātu ar Pi un pierakstiet atbildi.
76299. Konusa kopējais virsmas laukums ir 108. Paralēli konusa pamatnei novilkts griezums, dalot augstumu uz pusēm. Atrodiet nogrieztā konusa kopējo virsmas laukumu.
Sadaļa iet caur augstuma vidu paralēli pamatnei. Tas nozīmē, ka nogrieztā konusa pamatnes rādiuss un ģenerators būs 2 reizes mazāks nekā sākotnējā konusa rādiuss un ģenerārijs. Pierakstīsim nogrieztā konusa virsmas laukumu:
Mēs noskaidrojām, ka tas būs 4 reizes mazāks par oriģināla virsmas laukumu, tas ir, 108:4 = 27.
*Tā kā oriģinālais un nogrieztais konuss ir līdzīgi korpusi, bija iespējams izmantot arī līdzības īpašību:
27167. Konusa pamatnes rādiuss ir 3 un augstums ir 4. Atrodiet konusa kopējo virsmas laukumu, kas dalīts ar Pi.
Konusa kopējās virsmas formula:
Rādiuss ir zināms, nepieciešams atrast ģenerātoru. 
Saskaņā ar Pitagora teorēmu:
Tādējādi:
Sadaliet rezultātu ar Pi un pierakstiet atbildi.
Uzdevums. Konusa sānu virsmas laukums ir četras reizes lielāks par pamatnes laukumu. Atrodi kaut ko vienāds ar kosinusu leņķis starp konusa ģenerātoru un pamatnes plakni.
Konusa pamatnes laukums ir: 
Tas ir, kosinuss būs vienāds ar:
Atbilde: 0,25
Izlemiet paši:
27136. Cik reizes palielināsies konusa sānu virsmas laukums, ja tā ģenerātoru palielinās 3 reizes?
27160. Konusa sānu virsmas laukums ir divas reizes lielāks par pamatnes laukumu. Atrodiet leņķi starp konusa ģenerātoru un pamatnes plakni. Sniedziet atbildi grādos. .
27161. Konusa kopējais virsmas laukums ir 12. Paralēli konusa pamatnei novilkts griezums, dalot augstumu uz pusēm. Atrodiet nogrieztā konusa kopējo virsmas laukumu.
Tas arī viss. Lai tev veicas!
Ar cieņu, Aleksandr.
* Kopīgojiet informāciju par vietni ar draugiem, izmantojot sociālos tīklus.