Spēja aprēķināt telpisko figūru apjomu ir svarīga, risinot vairākas praktiskas problēmas ģeometrijā. Viena no visizplatītākajām figūrām ir piramīda. Šajā rakstā mēs aplūkosim gan pilnas, gan nošķeltas piramīdas.
Piramīda kā trīsdimensiju figūra
Visi zina par Ēģiptes piramīdas, tāpēc viņam ir laba ideja par to, par kādu figūru mēs runāsim. Tomēr Ēģiptes akmens konstrukcijas ir tikai īpašs gadījums milzīgai piramīdu klasei.
Apskatāmais ģeometriskais objekts vispārīgā gadījumā ir daudzstūra pamatne, kuras katra virsotne ir savienota ar noteiktu telpas punktu, kas nepieder pie pamatnes plaknes. Šī definīcija iegūst figūru, kas sastāv no viena n-stūra un n trīsstūriem.
Jebkura piramīda sastāv no n+1 skaldnēm, 2*n malām un n+1 virsotnēm. Tā kā attiecīgais skaitlis ir ideāls daudzskaldnis, iezīmēto elementu skaitļi atbilst Eilera vienādībai:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
Daudzstūris, kas atrodas pie pamatnes, dod piramīdas nosaukumu, piemēram, trīsstūrveida, piecstūrveida un tā tālāk. Piramīdu komplekts ar dažādām pamatnēm ir parādīts zemāk esošajā fotoattēlā.
Punktu, kurā savienojas n figūras trijstūri, sauc par piramīdas virsotni. Ja no tā uz pamatnes tiek nolaists perpendikuls un tas šķērso to ģeometriskajā centrā, tad šādu figūru sauks par taisni. Ja šis nosacījums nav izpildīts, rodas slīpa piramīda.
Taisnu figūru, kuras pamatu veido vienādmalu (vienstūrveida) n-stūris, sauc par regulāru.
Piramīdas tilpuma formula
Piramīdas tilpuma aprēķināšanai izmantosim integrālrēķinu. Lai to izdarītu, mēs sadalām figūru, sagriežot plaknes, kas ir paralēlas pamatnei, bezgalīgi daudzos plānos slāņos. Zemāk redzamajā attēlā redzama četrstūra piramīda ar augstumu h un malas garumu L, kurā griezuma plānā kārta iezīmēta ar četrstūri.
Katra šāda slāņa laukumu var aprēķināt, izmantojot formulu:
A(z) = A 0 * (h-z) 2/h 2 .
Šeit A 0 ir pamatnes laukums, z ir vertikālās koordinātas vērtība. Redzams, ka, ja z = 0, tad formula dod vērtību A 0 .
Lai iegūtu piramīdas tilpuma formulu, jums jāaprēķina integrālis visā figūras augstumā, tas ir:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
Aizvietojot atkarību A(z) un aprēķinot antiatvasinājumu, mēs nonākam pie izteiksmes:
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3 * A 0 * h.
Mēs esam ieguvuši piramīdas tilpuma formulu. Lai atrastu V vērtību, vienkārši reiziniet skaitļa augstumu ar pamatnes laukumu un pēc tam daliet rezultātu ar trīs.
Ņemiet vērā, ka iegūtā izteiksme ir derīga patvaļīga tipa piramīdas tilpuma aprēķināšanai. Tas ir, tas var būt slīps, un tā pamatne var būt patvaļīgs n-gon.
un tā apjoms
Iepriekšējā rindkopā iegūto vispārīgo tilpuma formulu var precizēt piramīdas gadījumā ar pareizais iemesls. Šādas bāzes laukumu aprēķina, izmantojot šādu formulu:
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Šeit L ir regulāra daudzstūra malas garums ar n virsotnēm. Simbols pi ir skaitlis pi.
Aizvietojot izteiksmi A 0 vispārējā formulā, mēs iegūstam tilpumu regulāra piramīda:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg (pi/n).
Piemēram, trīsstūrveida piramīdai šī formula rada šādu izteiksmi:
V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *st.
Par labo četrstūra piramīda Tilpuma formula ir šāda:
V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *st.
Lai noteiktu parasto piramīdu tilpumus, ir jāzina to pamatnes mala un figūras augstums.
Nocirsta piramīda
Pieņemsim, ka mēs paņēmām patvaļīgu piramīdu un nogriezām daļu no tās sānu virsmas, kurā atrodas virsotne. Atlikušo figūru sauc par nošķeltu piramīdu. Tas jau sastāv no divām n-stūra pamatnēm un n trapecām, kas tos savieno. Ja griešanas plakne bija paralēla figūras pamatnei, tad ar līdzīgām paralēlām pamatnēm veidojas nošķelta piramīda. Tas ir, vienas no tām malu garumus var iegūt, reizinot otras malu garumus ar noteiktu koeficientu k.
Augšējā attēlā redzams nošķelts regulārs. Var redzēt, ka tā augšējo pamatni, tāpat kā apakšējo, veido regulārs sešstūris.
Formula, ko var iegūt, izmantojot integrālo aprēķinu, kas ir līdzīgs iepriekšminētajai, ir:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 * A 1)).
Kur A 0 un A 1 ir attiecīgi apakšējās (lielās) un augšējās (mazās) bāzes laukumi. Mainīgais h apzīmē nošķeltas piramīdas augstumu.
Heopsa piramīdas tilpums
Interesanti ir atrisināt problēmu, kā noteikt tilpumu, ko lielākā Ēģiptes piramīda satur sevī.
1984. gadā britu ēģiptologi Marks Lēners un Džons Gudmens noteica precīzus Heopsa piramīdas izmērus. Tā sākotnējais augstums bija 146,50 metri (šobrīd aptuveni 137 metri). Katras no četrām konstrukcijas malām vidējais garums bija 230,363 metri. Piramīdas pamatne ir kvadrātveida ar augstu precizitāti.
Izmantosim dotos skaitļus, lai noteiktu šī akmens milža tilpumu. Tā kā piramīda ir regulāra četrstūra forma, tad tai ir derīga formula:
Aizstājot skaitļus, mēs iegūstam:
V 4 = 1/3*(230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.
Heopsa piramīdas tilpums ir gandrīz 2,6 miljoni m3. Salīdzinājumam mēs atzīmējam, ka olimpiskā peldbaseina tilpums ir 2,5 tūkstoši m 3. Tas ir, lai aizpildītu visu Heopsa piramīdu, jums būs nepieciešami vairāk nekā 1000 šādu baseinu!
Piramīda. Nocirsta piramīda
Piramīda ir daudzskaldnis, kura viena no skaldnēm ir daudzstūris ( bāze ), un visas pārējās skaldnes ir trīsstūri ar kopīgu virsotni ( sānu sejas ) (15. att.). Piramīdu sauc pareizi , ja tās pamats ir regulārs daudzstūris un piramīdas virsotne ir projicēta pamatnes centrā (16. att.). Tiek saukta trīsstūrveida piramīda ar vienādām malām tetraedrs .
Sānu riba piramīdas ir sānu virsmas puse, kas nepieder pie pamatnes Augstums piramīda ir attālums no tās augšdaļas līdz pamatnes plaknei. Visas regulāras piramīdas sānu malas ir vienādas viena ar otru, visas sānu malas ir vienādi vienādsānu trīsstūri. No virsotnes izvilktas regulāras piramīdas sānu virsmas augstumu sauc apotēms . Diagonālā sadaļa sauc par piramīdas posmu plaknē, kas iet caur divām sānu malām, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai.
Sānu virsmas laukums piramīda ir visu sānu virsmu laukumu summa. Apgabals pilna virsma sauc par visu sānu virsmu un pamatnes laukumu summu.
Teorēmas
1. Ja piramīdā visas sānu malas ir vienādi slīpas pret pamatnes plakni, tad piramīdas virsotne tiek projicēta pamatnes tuvumā esošā apļa centrā.
2. Ja piramīdā visām sānu malām ir vienādi garumi, tad piramīdas virsotne tiek projicēta apļa centrā, kas ir norobežots netālu no pamatnes.
3. Ja piramīdā visas skaldnes ir vienādi slīpas pret pamatnes plakni, tad piramīdas virsotne tiek projicēta pamatnē ierakstītā apļa centrā.
Lai aprēķinātu patvaļīgas piramīdas tilpumu, pareizā formula ir:
Kur V- apjoms;
S bāze– bāzes platība;
H- piramīdas augstums.
Parastai piramīdai pareizas ir šādas formulas:
Kur lpp– bāzes perimetrs;
h a– apotēms;
H- augstums;
S pilns
S pusē
S bāze– bāzes platība;
V– regulāras piramīdas tilpums.
Nocirsta piramīda sauc par piramīdas daļu, kas atrodas starp pamatni un griešanas plakni, kas ir paralēla piramīdas pamatnei (17. att.). Regulāra nošķelta piramīda ir regulāras piramīdas daļa, kas atrodas starp pamatni un griešanas plakni, kas ir paralēla piramīdas pamatnei.
Iemesli nošķelta piramīda - līdzīgi daudzstūri. Sānu sejas – trapeces. Augstums nošķeltas piramīdas ir attālums starp tās pamatiem. Diagonāli nošķelta piramīda ir segments, kas savieno tās virsotnes, kas neatrodas uz vienas virsmas. Diagonālā sadaļa ir nošķeltas piramīdas griezums ar plakni, kas iet cauri divām sānu malām, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai.
Atdalītai piramīdai ir derīgas šādas formulas:
(4)
Kur S 1 , S 2 – augšējās un apakšējās pamatnes laukumi;
S pilns– kopējais virsmas laukums;
S pusē– sānu virsmas laukums;
H- augstums;
V– nošķeltas piramīdas tilpums.
Parastai saīsinātai piramīdai formula ir pareiza:
Kur lpp 1 , lpp 2 – pamatu perimetrs;
h a– regulāras nošķeltas piramīdas apotēma.
1. piemērs. Labajā pusē trīsstūrveida piramīda diedrālais leņķis pie pamatnes ir 60º. Atrodiet slīpuma leņķa tangensu sānu riba uz bāzes plakni.
Risinājums. Veidosim zīmējumu (18. att.).
 |
Piramīda ir pareiza, tas nozīmē, ka tā ir pamatnē vienādmalu trīsstūris un visas sānu skaldnes ir vienādi vienādsānu trīsstūri. Divšķautņu leņķis pie pamatnes ir piramīdas sānu virsmas slīpuma leņķis pret pamatnes plakni. Lineārais leņķis ir leņķis a starp diviem perpendikuliem: utt. Piramīdas virsotne tiek projicēta trijstūra centrā (trijstūra apļa centrā un ierakstītajā aplī ABC). Sānu malas slīpuma leņķis (piemēram S.B.) ir leņķis starp pašu malu un tās projekciju uz pamatnes plakni. Par ribu S.B.šis leņķis būs leņķis SBD. Lai atrastu tangensu, jums jāzina kājas SO Un O.B.. Ļaujiet segmenta garumam BD vienāds ar 3 A. Punkts PAR segmentu BD ir sadalīts daļās: un No mēs atrodam SO: 
No mēs atrodam: 
Atbilde:
2. piemērs. Atrodiet regulāras nošķeltas četrstūra piramīdas tilpumu, ja tās pamatu diagonāles ir vienādas ar cm un cm un augstums ir 4 cm.
Risinājums. Lai atrastu nošķeltas piramīdas tilpumu, mēs izmantojam formulu (4). Lai atrastu pamatu laukumu, jums jāatrod pamatnes kvadrātu malas, zinot to diagonāles. Pamatu malas ir attiecīgi vienādas ar 2 cm un 8 cm. Tas nozīmē pamatu laukumus un, aizstājot visus datus formulā, mēs aprēķinām nošķeltas piramīdas tilpumu:
Atbilde: 112 cm3.
3. piemērs. Atrodiet regulāras trīsstūrveida nošķeltas piramīdas sānu malas laukumu, kuras pamatnes malas ir 10 cm un 4 cm, bet piramīdas augstums ir 2 cm.
Risinājums. Veidosim zīmējumu (19. att.).
Šīs piramīdas sānu mala ir vienādsānu trapece. Lai aprēķinātu trapeces laukumu, jums jāzina pamatne un augstums. Pamatnes dotas pēc stāvokļa, tikai augstums paliek nezināms. Mēs viņu atradīsim no kurienes A 1 E perpendikulāri no punkta A 1 apakšējās pamatnes plaknē, A 1 D– perpendikulāri no A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, jo tas ir piramīdas augstums. Lai atrastu DE Uztaisīsim papildu zīmējumu, kas parāda augšējo skatu (20. att.). Punkts PAR– augšējās un apakšējās pamatnes centru projekcija. kopš (sk. 20. att.) un No otras puses Labi– rādiuss, kas ierakstīts aplī un 
OM– rādiuss, kas ierakstīts aplī:
MK = DE.
Saskaņā ar Pitagora teorēmu no
Sānu sejas zona: 
Atbilde:
4. piemērs. Piramīdas pamatnē atrodas vienādsānu trapece, kuras pamati A Un b (a> b). Katrs sānu mala veido leņķi, kas vienāds ar piramīdas pamatnes plakni j. Atrodiet piramīdas kopējo virsmas laukumu.
Risinājums. Veidosim zīmējumu (21. att.). Piramīdas kopējais virsmas laukums SABCD vienāds ar laukumu un trapeces laukuma summu ABCD.
Izmantosim apgalvojumu, ka, ja visas piramīdas skaldnes ir vienādi slīpas pret pamatnes plakni, tad virsotne tiek projicēta pamatnē ierakstītā apļa centrā. Punkts PAR– virsotņu projekcija S piramīdas pamatnē. Trīsstūris SOD ir trijstūra ortogonālā projekcija CSD līdz pamatnes plaknei. Pēc teorēmas par ortogonālās projekcijas laukumu plakana figūra mēs iegūstam:
Tāpat tas nozīmē 
Tādējādi problēma tika samazināta līdz trapeces laukuma atrašanai ABCD. Uzzīmēsim trapecveida formu ABCD atsevišķi (22. att.). Punkts PAR– trapecē ierakstīta apļa centrs.
Tā kā apli var ierakstīt trapecē, tad vai No Pitagora teorēmas mums ir
- 09.10.2014
Attēlā redzamais priekšpastiprinātājs ir paredzēts lietošanai ar 4 veidu skaņas avotiem, piemēram, mikrofonu, CD atskaņotāju, radio u.c. Šajā gadījumā priekšpastiprinātājam ir viena ieeja, kas var mainīt jutību no 50 mV uz 500 mV. pastiprinātāja izejas spriegums 1000mV. Savienojuma izveide dažādi avoti signālu, pārslēdzot slēdzi SA1, mēs vienmēr saņemam ...
- 20.09.2014
Barošanas avots ir paredzēts 15…20 W slodzei. Avots ir izgatavots saskaņā ar viena cikla impulsu augstfrekvences pārveidotāja ķēdi. Tranzistoru izmanto, lai saliktu pašoscilatoru, kas darbojas ar frekvenci 20…40 kHz. Frekvenci regulē ar kapacitāti C5. Elementi VD5, VD6 un C6 veido oscilatora palaišanas ķēdi. Sekundārajā ķēdē pēc tilta taisngrieža mikroshēmā ir parasts lineārais stabilizators, kas ļauj jums ...
- 28.09.2014
Attēlā parādīts ģenerators, kura pamatā ir K174XA11 mikroshēma, kuras frekvenci kontrolē spriegums. Mainot kapacitāti C1 no 560 uz 4700 pF, var iegūt plašu frekvenču diapazonu, savukārt frekvence tiek regulēta, mainot pretestību R4. Tā, piemēram, autors uzzināja, ka ar C1 = 560pF ģeneratora frekvenci var mainīt, izmantojot R4 no 600Hz uz 200kHz, ...
- 03.10.2014
Ierīce ir paredzēta, lai darbinātu jaudīgu ULF, tā ir paredzēta izejas spriegumam ±27 V un slodzei līdz 3A uz katru roku. Barošanas avots ir divpolu, izgatavots uz pilnīgiem kompozītmateriālu tranzistoriem KT825-KT827. Abas stabilizatora sviras ir izgatavotas pēc vienas shēmas, bet otrā svirā (nav attēlota) tiek mainīta kondensatoru polaritāte un tiek izmantoti cita veida tranzistori...