Aplis ir slēgta līkne, kuras visi punkti atrodas vienādā attālumā no centra. Šis skaitlis ir plakans. Tāpēc problēmas risinājums, kura jautājums ir, kā atrast apkārtmēru, ir diezgan vienkāršs. Visas pieejamās metodes apskatīsim šodienas rakstā.
Attēlu apraksti
Papildus diezgan vienkāršai aprakstošai definīcijai ir vēl trīs apļa matemātiskie raksturlielumi, kas paši par sevi satur atbildi uz jautājumu, kā atrast apkārtmēru:
- Sastāv no punktiem A un B un visiem pārējiem, no kuriem AB var redzēt taisnā leņķī. Šī skaitļa diametrs ir vienāds ar aplūkojamā segmenta garumu.
- Ietver tikai tos punktus X, kuru attiecība AX/BX ir nemainīga un nav vienāda ar vienu. Ja šis nosacījums nav izpildīts, tad tas nav aplis.
- Tas sastāv no punktiem, kuriem katram ir spēkā šāda vienādība: attālumu kvadrātu summa līdz diviem pārējiem ir dota vērtība, kas vienmēr ir lielāka par pusi no starp tiem esošā segmenta garuma.
Terminoloģija
Ne visiem skolā bija labs matemātikas skolotājs. Tāpēc atbildi uz jautājumu, kā noteikt apļa apkārtmēru, vēl vairāk sarežģī fakts, ka ne visi zina ģeometriskos pamatjēdzienus. Rādiuss ir segments, kas savieno figūras centru ar punktu uz līknes. Īpašs gadījums trigonometrijā ir vienības aplis. Horda ir segments, kas savieno divus punktus uz līknes. Piemēram, jau apspriestais AB ietilpst šajā definīcijā. Diametrs ir horda, kas iet caur centru. Skaitlis π ir vienāds ar vienības pusloka garumu.
Pamatformulas
No definīcijām tas izriet tieši ģeometriskās formulas, kas ļauj aprēķināt apļa galvenos raksturlielumus:
- Garums ir vienāds ar skaitļa π un diametra reizinājumu. Formulu parasti raksta šādi: C = π*D.
- Rādiuss ir vienāds ar pusi no diametra. To var arī aprēķināt, aprēķinot koeficientu, dalot apkārtmēru ar divkāršu skaitli π. Formula izskatās šādi: R = C/(2* π) = D/2.
- Diametrs ir vienāds ar apkārtmēra koeficientu, kas dalīts ar π vai divkāršu rādiusu. Formula ir diezgan vienkārša un izskatās šādi: D = C/π = 2*R.
- Apļa laukums ir vienāds ar π un rādiusa kvadrāta reizinājumu. Līdzīgi šajā formulā var izmantot diametru. Šajā gadījumā laukums būs vienāds ar π un diametra kvadrāta reizinājumu, kas dalīts ar četri. Formulu var uzrakstīt šādi: S = π*R 2 = π*D 2 /4.
Kā atrast apļa apkārtmēru pēc diametra
Skaidrojuma vienkāršības labad ar burtiem apzīmēsim aprēķinam nepieciešamās figūras īpašības. Lai C ir vēlamais garums, D tā diametrs un π aptuveni vienāds ar 3,14. Ja mums ir tikai viens zināms daudzums, tad problēmu var uzskatīt par atrisinātu. Kāpēc tas dzīvē ir vajadzīgs? Pieņemsim, ka mēs nolemjam apaļu baseinu apjozt ar žogu. Kā aprēķināt nepieciešamais daudzums kolonnas? Un šeit palīgā nāk spēja aprēķināt apkārtmēru. Formula ir šāda: C = π D. Mūsu piemērā diametru nosaka, pamatojoties uz baseina rādiusu un nepieciešamo attālumu no žoga. Piemēram, pieņemsim, ka mūsu mājas mākslīgais dīķis ir 20 metrus plats, un mēs noliksim stabus desmit metru attālumā no tā. Iegūtā apļa diametrs ir 20 + 10 * 2 = 40 m Garums ir 3,14 * 40 = 125,6 metri. Mums būs nepieciešami 25 stabi, ja atstarpe starp tiem ir aptuveni 5 m.
Garums caur rādiusu
Kā vienmēr, sāksim ar burtu piešķiršanu apļa pazīmēm. Patiesībā tie ir universāli, tāpēc matemātiķi no dažādās valstīs Nav nemaz obligāti jāzina otra valoda. Pieņemsim, ka C ir apļa apkārtmērs, r ir tā rādiuss un π ir aptuveni vienāds ar 3,14. Formula šajā gadījumā izskatās šādi: C = 2*π*r. Acīmredzot tas ir absolūti pareizs vienādojums. Kā mēs jau esam noskaidrojuši, apļa diametrs ir vienāds ar divkāršu tā rādiusu, tāpēc šī formula izskatās šādi. Dzīvē šī metode arī bieži var noderēt. Piemēram, kūku cepam īpašā bīdāmā formā. Lai tas netiktu netīrs, mums ir nepieciešams dekoratīvs iesaiņojums. Bet kā nogriezt vajadzīgā izmēra apli. Šeit palīgā nāk matemātika. Tie, kas zina, kā uzzināt apļa apkārtmēru, nekavējoties teiks, ka jums ir jāreizina skaitlis π ar divreiz lielāku formas rādiusu. Ja tā rādiuss ir 25 cm, tad garums būs 157 centimetri.
Problēmu paraugi
Mēs jau esam apskatījuši vairākus praktiskus gadījumus, kad iegūtās zināšanas par to, kā noskaidrot apļa apkārtmēru. Bet bieži vien mēs neuztraucamies par tiem, bet gan par patiesajiem matemātikas uzdevumi kas ir ietverti mācību grāmatā. Galu galā skolotājs par tiem dod punktus! Tātad, aplūkosim sarežģītāku problēmu. Pieņemsim, ka apļa apkārtmērs ir 26 cm Kā atrast šādas figūras rādiusu?
Risinājuma piemērs
Vispirms pierakstīsim, kas mums ir dots: C = 26 cm, π = 3,14. Atcerieties arī formulu: C = 2* π*R. No tā jūs varat iegūt apļa rādiusu. Tādējādi R= C/2/π. Tagad pāriesim pie faktiskā aprēķina. Vispirms sadaliet garumu ar diviem. Mēs iegūstam 13. Tagad mums ir jādala ar skaitļa π vērtību: 13/3,14 = 4,14 cm Ir svarīgi neaizmirst uzrakstīt atbildi pareizi, tas ir, ar mērvienībām, pretējā gadījumā visu praktisko nozīmi šādas problēmas tiek zaudētas. Turklāt par šādu neuzmanību var saņemt par vienu punktu zemāku atzīmi. Un, lai cik kaitinoši tas arī nebūtu, jums būs jāsamierinās ar šādu situāciju.
Zvērs nav tik biedējošs, kā tas ir krāsots
Tātad mēs esam tikuši galā ar tik grūtu no pirmā acu uzmetiena uzdevumu. Kā izrādās, jums vienkārši jāsaprot terminu nozīme un jāatceras dažas vienkāršas formulas. Matemātika nav tik biedējoša, jums vienkārši jāpieliek nelielas pūles. Tātad ģeometrija jūs gaida!
Tas bieži izklausās kā daļa no plaknes, kuru ierobežo aplis. Apļa apkārtmērs ir plakana slēgta līkne. Visi punkti, kas atrodas uz līknes, atrodas vienādā attālumā no apļa centra. Aplī tā garums un perimetrs ir vienādi. Jebkura apļa garuma un tā diametra attiecība ir nemainīga, un to apzīmē ar skaitli π = 3,1415.
Apļa perimetra noteikšana
Apļa ar rādiusu r perimetrs ir vienāds ar divkāršu rādiusa r un skaitļa π (~3,1415) reizinājumu.
Apļa perimetra formula
Apļa ar rādiusu \(r\) perimetrs:
\[ \LARGE(P) = 2 \cdot \pi \cdot r \]
\[ \LARGE(P) = \pi \cdot d \]
\(P\) – perimetrs (apkārtmērs).
\(r\) – rādiuss.
\(d\) – diametrs.
Par apli mēs sauksim ģeometrisku figūru, kas sastāv no visiem šādiem punktiem, kas atrodas vienādā attālumā no jebkura punkta.
Apļa centrs mēs nosauksim punktu, kas norādīts 1. definīcijā.
Apļa rādiuss mēs nosauksim attālumu no šī apļa centra līdz jebkuram no tā punktiem.
Dekarta koordinātu sistēmā \(xOy\) varam ieviest arī jebkura riņķa vienādojumu. Apļa centru apzīmēsim ar punktu \(X\) , kuram būs koordinātes \((x_0,y_0)\) . Lai šī apļa rādiuss būtu vienāds ar \(τ\) . Ņemsim patvaļīgu punktu \(Y\), kura koordinātes apzīmējam ar \((x,y)\) (2. att.).
Izmantojot formulu attālumam starp diviem punktiem mūsu dotajā koordinātu sistēmā, mēs iegūstam:
\(|XY|=\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2) \)
No otras puses, \(|XY| \) ir attālums no jebkura riņķa punkta līdz mūsu izvēlētajam centram. Tas ir, pēc 3. definīcijas mēs iegūstam, ka \(|XY|=τ\)
\(\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=τ \)
\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2 \) (1)
Tādējādi mēs iegūstam, ka vienādojums (1) ir apļa vienādojums Dekarta koordinātu sistēmā.
Apkārtmērs (apļa perimetrs)
Mēs atvasināsim patvaļīga apļa \(C\) garumu, izmantojot tā rādiusu, kas vienāds ar \(τ\) .
Mēs apsvērsim divus patvaļīgi apļi. Apzīmēsim to garumus ar \(C\) un \(C"\) , kuru rādiusi ir vienādi ar \(τ\) un \(τ"\) . Šajos apļos ierakstīsim regulārus \(n\)-gonus, kuru perimetri ir vienādi ar \(ρ\) un \(ρ"\), malu garumi ir vienādi ar \(α\) un \ (α"\), attiecīgi. Kā zināms, aplī ierakstīta regulāra \(n\) kvadrāta mala ir vienāda ar
\(α=2τsin\frac(180^0)(n) \)
Tad mēs to saņemam
\(ρ=nα=2nτ\frac(sin180^0)(n) \)
\(ρ"=nα"=2nτ"\frac(sin180^0)(n) \)
\(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2nτsin\frac(180^0)(n))(2nτ"\frac(sin180^0)(n))=\frac(2τ)(2τ" ) \)
Mēs saprotam, ka attiecības \(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2τ)(2τ") \) būs patiess neatkarīgi no ierakstīto regulāro daudzstūru malu skaita. Tas ir
\(\lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(2τ)(2τ") \)
No otras puses, ja mēs bezgalīgi palielināsim ierakstīto regulāro daudzstūru malu skaitu (tas ir, \(n→∞\)), mēs iegūstam vienādību:
\(lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(C)(C") \)
No pēdējām divām vienādībām mēs to iegūstam
\(\frac(C)(C")=\frac(2τ)(2τ") \)
\(\frac(C)(2τ)=\frac(C")(2τ") \)
Mēs redzam, ka apļa apkārtmēra attiecība pret tā dubulto rādiusu vienmēr ir vienāds skaitlis neatkarīgi no apļa izvēles un tā parametriem, tas ir
\(\frac(C)(2τ)=konst.\)
Šo konstanti vajadzētu saukt par skaitli “pi” un apzīmēt ar \(π\) . Aptuveni šis skaitlis būs vienāds ar \(3,14\) ( precīza vērtībašis skaitlis neeksistē, jo tas ir iracionāls skaitlis). Tādējādi
\(\frac(C)(2τ)=π \)
Visbeidzot, mēs atklājam, ka apkārtmēru (apļa perimetru) nosaka formula
\(C=2πτ\)
Javascript jūsu pārlūkprogrammā ir atspējots.Lai veiktu aprēķinus, jāiespējo ActiveX vadīklas!
Ar lineālu vien nepietiek, ir jāzina īpašas formulas. Vienīgais, kas mums jādara, ir noteikt apļa diametru vai rādiusu. Dažās problēmās šie daudzumi ir norādīti. Bet ko darīt, ja mums nav nekā cita, izņemot zīmējumu? Nav problēmu. Diametru un rādiusu var aprēķināt, izmantojot parasto lineālu. Tagad ķersimies pie pamatiem.
Formulas, kas jāzina ikvienam
Gandrīz pirms 4000 gadiem zinātnieki atklāja pārsteidzošas attiecības: ja apļa apkārtmēru dala ar tā diametru, rezultāts ir tāds pats skaitlis, kas ir aptuveni 3,14. Šī nozīme tika nosaukta ar šo burtu sengrieķu valodā, sākās vārdi “perimetrs” un “apkārtmērs”. Pamatojoties uz seno zinātnieku atklājumu, jūs varat aprēķināt jebkura apļa garumu:
kur P nozīmē apļa garumu (perimetru),
D - diametrs, P - skaitlis "Pi".
Apļa apkārtmēru var aprēķināt arī pēc tā rādiusa (r), kas ir vienāds ar pusi no diametra garuma. Šeit ir otrā formula, kas jums jāatceras:
Kā uzzināt apļa diametru?
Tas ir akords, kas iet caur figūras centru. Tajā pašā laikā tas savieno divus attālākos apļa punktus. Pamatojoties uz to, jūs varat patstāvīgi uzzīmēt diametru (rādiusu) un izmērīt tā garumu, izmantojot lineālu.
1. metode: ievadiet taisnleņķa trīsstūris aplī
Apļa apkārtmēra aprēķināšana būs vienkārša, ja atradīsim tā diametru. Ir nepieciešams ievilkt apli, kur hipotenūza būs vienāda ar apļa diametru. Lai to izdarītu, pie rokas jābūt lineālam un kvadrātam, pretējā gadījumā nekas nedarbosies.
2. metode: pielāgojiet jebkuru trīsstūri
Apļa malā atzīmējam jebkurus trīs punktus, savienojam - iegūstam trīsstūri. Ir svarīgi, lai apļa centrs atrastos trijstūra zonā; to var izdarīt ar aci. Katrai trijstūra pusei novelkam mediānas, kuru krustošanās punkts sakrīt ar apļa centru. Un, kad mēs zinām centru, mēs varam viegli uzzīmēt diametru, izmantojot lineālu.
Šī metode ir ļoti līdzīga pirmajai, taču to var izmantot, ja nav kvadrāta vai gadījumos, kad nav iespējams uzzīmēt uz figūras, piemēram, uz šķīvja. Jums jāņem papīra lapa taisnā leņķī. Mēs uzklājam loksni uz apļa tā, lai viena tās stūra virsotne pieskaras apļa malai. Tālāk ar punktiem atzīmējam vietas, kur papīra malas krustojas ar apļa līniju. Savienojiet šos punktus, izmantojot zīmuli un lineālu. Ja jums nekā nav pie rokas, vienkārši salokiet papīru. Šī līnija būs vienāda ar diametra garumu.
Uzdevuma paraugs
- Mēs meklējam diametru, izmantojot kvadrātu, lineālu un zīmuli saskaņā ar metodi Nr. 1. Pieņemsim, ka tas izrādās 5 cm.
- Zinot diametru, mēs to varam viegli ievietot savā formulā: P = d P = 5 * 3,14 = 15,7 Mūsu gadījumā tas izrādījās aptuveni 15,7. Tagad jūs varat viegli izskaidrot, kā aprēķināt apļa apkārtmēru.
klašu skolēni vidusskolas kursā pēta apli un apli kā ģeometrisku figūru, un visu, kas ar šo figūru saistīts. Bērni iepazīstas ar tādiem jēdzieniem kā rādiuss un diametrs, apkārtmērs vai perimetrs, apļa laukums. Tieši par šo tēmu viņi uzzina par noslēpumaino skaitli Pi - tas ir Ludolfa skaitlis, kā to sauca iepriekš. Skaitlis Pi ir neracionāls, jo tā attēlojums formā decimālzīme bezgalīgi. Praksē tiek izmantota tā saīsinātā trīs skaitļu versija: 3.14. Šī konstante izsaka jebkura apļa garuma attiecību pret tā diametru.
Sestās klases skolēni risina problēmas, no tiem pašiem datiem un skaitļa “Pi” izsecinot atlikušos apļa un apļa raksturlielumus. Piezīmju grāmatiņās un uz tāfeles viņi zīmē abstraktas sfēras un veic bezjēdzīgus aprēķinus.
Bet praksē
Praksē šāds uzdevums var rasties situācijā, kad, piemēram, ir nepieciešams izkārtot noteikta garuma maršrutu, lai kaut kādas sacensības noturētu ar startu un finišu vienuviet. Aprēķinot rādiusu, ar kompasu rokās varat izvēlēties šī maršruta pāreju plānā, apsverot iespējas, ņemot vērā ģeogrāfiskās iezīmes reģionā. Pārvietojot no topošā maršruta kompasa kāju - vienādā attālumā esošo centru, jau šajā posmā ir iespējams paredzēt, kur posmos būs kāpumi un kur būs nobraucieni, ņemot vērā dabiskās reljefa atšķirības. Varat arī nekavējoties izlemt, kurās zonās vislabāk novietot faniem paredzētus stendus.
Rādiuss no apļa
Tātad, pieņemsim, ka autokrosa sacensībām jums ir nepieciešama apļveida trase 10 000 m garumā Šeit ir nepieciešamā formula, lai noteiktu apļa rādiusu (R), ņemot vērā tā zināmo garumu (C):
R=C/2п (п – skaitlis vienāds ar 3,14).
Aizstājot pieejamās vērtības, jūs varat viegli iegūt rezultātu:
R = 10 000: 3,14 = 3 184,71 (m) vai 3 km 184 m un 71 cm.
No rādiusa līdz apgabalam
Zinot apļa rādiusu, varat viegli noteikt apgabalu, kas tiks noņemts no ainavas. Formula apļa laukumam (S): S=пR2
Pie R = 3184,71 m tas būs: S = 3,14 x 3184,71 x 3184,71 = 31 847 063 (kv.m) jeb gandrīz 32 kvadrātkilometri.
Līdzīgi aprēķini var būt noderīgi, iežogojot. Piemēram, jums ir pietiekami daudz materiāla žogam. Ņemot šo vērtību kā apļa perimetru, jūs varat viegli noteikt tā diametru (rādiusu) un laukumu, un tāpēc vizuāli iedomāties nākotnes iežogotās platības lielumu.
Aplis sastāv no daudziem punktiem, kas atrodas vienādos attālumos no centra. Tas ir plakans ģeometriskā figūra, un atrast tā garumu nav grūti. Cilvēks katru dienu sastopas ar apli un apli neatkarīgi no tā, kādā jomā viņš strādā. Daudzi dārzeņi un augļi, ierīces un mehānismi, trauki un mēbeles ir apaļas formas. Aplis ir punktu kopa, kas atrodas apļa robežās. Tāpēc figūras garums ir vienāds ar apļa perimetru.
Figūras īpašības
Papildus tam, ka apļa jēdziena apraksts ir diezgan vienkāršs, tā īpašības ir arī viegli saprotamas. Ar viņu palīdzību jūs varat aprēķināt tā garumu. Interjers Aplis sastāv no daudziem punktiem, starp kuriem divi - A un B - ir redzami taisnā leņķī. Šo segmentu sauc par diametru, tas sastāv no diviem rādiusiem.
Apļa iekšpusē ir punkti X tādi, kas nemainās un nav vienāds ar vienotību, attiecība AX/BX. Aplī šis nosacījums ir jāievēro, pretējā gadījumā šim skaitlim nav apļa formas. Uz katru punktu, kas veido figūru, attiecas šāds noteikums: attālumu summa kvadrātā no šiem punktiem līdz diviem pārējiem vienmēr pārsniedz pusi no starp tiem esošā segmenta garuma.
Apļa pamatnosacījumi
Lai varētu atrast figūras garumu, jums jāzina ar to saistītie pamatjēdzieni. Galvenie figūras parametri ir diametrs, rādiuss un horda. Rādiuss ir segments, kas savieno apļa centru ar jebkuru punktu uz tā līknes. Horda lielums ir vienāds ar attālumu starp diviem punktiem figūras līknē. Diametrs - attālums starp punktiem, kas iet caur figūras centru.
Pamatformulas aprēķiniem
Parametri tiek izmantoti apļa izmēru aprēķināšanas formulās:
Diametrs aprēķinu formulās
Ekonomikā un matemātikā bieži vien ir jāatrod apļa apkārtmērs. Bet arī iekšā ikdienas dzīve Ar šo vajadzību varat saskarties, piemēram, būvējot žogu ap apaļu baseinu. Kā aprēķināt apļa apkārtmēru pēc diametra? Šajā gadījumā izmantojiet formulu C = π*D, kur C ir vēlamā vērtība, D ir diametrs.
Piemēram, baseina platums ir 30 metri, un žoga stabus plānots novietot desmit metru attālumā no tā. Šajā gadījumā diametra aprēķināšanas formula ir: 30+10*2 = 50 metri. Nepieciešamā vērtība (šajā piemērā žoga garums): 3,14*50 = 157 metri. Ja žoga stabi stāv viens no otra trīs metru attālumā, tad kopā būs nepieciešami 52 no tiem.
Rādiusa aprēķini
Kā aprēķināt apļa apkārtmēru no zināma rādiusa? Lai to izdarītu, izmantojiet formulu C = 2 * π * r, kur C ir garums, r ir rādiuss. Rādiuss aplī ir puse no diametra, un šis noteikums var būt noderīgs ikdienas dzīvē. Piemēram, pīrāga gatavošanas gadījumā bīdāmā formā.
Lai kulinārijas izstrādājums nesasmērētos, ir nepieciešams izmantot dekoratīvo iesaiņojumu. Kā izgriezt atbilstoša izmēra papīra apli?
Tie, kas nedaudz pārzina matemātiku, saprot, ka šajā gadījumā skaitlis π jāreizina ar divreiz izmantotās formas rādiusu. Piemēram, formas diametrs ir attiecīgi 20 centimetri, tās rādiuss ir 10 centimetri. Izmantojot šos parametrus, tiek atrasts nepieciešamais apļa izmērs: 2*10*3, 14 = 62,8 centimetri.
Ērtas aprēķinu metodes
Ja nav iespējams atrast apkārtmēru, izmantojot formulu, izmantojiet pieejamās metodes šīs vērtības aprēķināšanai:
- Ja apaļš priekšmets ir mazs, tā garumu var noteikt, izmantojot vienu reizi tam aptītu virvi.
- Liela priekšmeta izmēru mēra šādi: uz līdzenas virsmas tiek izklāta virve, un pa to vienu reizi tiek izrullēts aplis.
- Mūsdienu studenti un skolēni aprēķiniem izmanto kalkulatorus. Tiešsaistē jūs varat uzzināt nezināmus daudzumus, izmantojot zināmus parametrus.
Apaļi priekšmeti cilvēka dzīves vēsturē
Pirmais apaļas formas izstrādājums, ko cilvēks izgudroja, bija ritenis. Pirmās konstrukcijas bija mazi apaļkoki, kas uzmontēti uz ass. Tad nāca riteņi no koka spieķiem un diskiem. Pamazām izstrādājumam tika pievienotas metāla detaļas, lai samazinātu nodilumu. Tieši tāpēc, lai noskaidrotu riteņu polsterējuma metāla sloksņu garumu, pagājušo gadsimtu zinātnieki meklēja formulu šīs vērtības aprēķināšanai.
Ir riteņa forma podnieka ripas , vairums detaļu sarežģītos mehānismos, ūdensdzirnavu un vērpšanas riteņu konstrukcijas. Būvniecībā bieži sastopami apaļi priekšmeti - apaļo logu rāmji romānikas stilā arhitektūras stils, iluminatori kuģos. Arhitekti, inženieri, zinātnieki, mehāniķi un dizaineri katru dienu savā jomā profesionālā darbība saskaras ar nepieciešamību aprēķināt apļa izmēru.