Formulas ģeometrisko figūru tilpumu atrašanai. Formulas paralēlskaldņa tilpuma atrašanai

Vispārīgs pārskats. Stereometrijas formulas!

Sveiki! Dārgie draugi! Šajā rakstā es nolēmu to darīt vispārējs pārskats stereometrijas uzdevumi, kas būs ieslēgti Vienotais valsts eksāmens matemātikā e. Jāsaka, ka šīs grupas uzdevumi ir diezgan dažādi, bet ne grūti. Tās ir ģeometrisko lielumu atrašanas problēmas: garumi, leņķi, laukumi, tilpumi.

Uzskata: kubs, kuboīds, prizma, piramīda, salikts daudzskaldnis, cilindrs, konuss, lode. Skumji ir tas, ka daži absolventi šādas problēmas neuzņemas pat paša eksāmena laikā, lai gan vairāk nekā 50% no tām tiek atrisinātas vienkārši, gandrīz mutiski.

Pārējais prasa nelielu piepūli, zināšanas un īpašus paņēmienus. Nākamajos rakstos mēs apsvērsim šos uzdevumus, nepalaidiet to garām, abonējiet emuāra atjauninājumus.

Lai atrisinātu, jums jāzina virsmas laukumu un tilpumu formulas paralēlskaldnis, piramīda, prizma, cilindrs, konuss un sfēra. Sarežģīti uzdevumi nē, tie visi tiek atrisināti 2-3 soļos, svarīgi ir “redzēt”, kāda formula ir jāpiemēro.

Visas nepieciešamās formulas ir parādītas zemāk:

Bumba vai sfēra. Sfēriska vai sfēriska virsma (dažreiz vienkārši sfēra) ir punktu ģeometriskais lokuss telpā, kas atrodas vienādā attālumā no viena punkta - bumbiņas centra.

Bumbas tilpums vienāds ar piramīdas tilpumu, kuras pamatnes laukums ir tāds pats kā lodes virsmai, un augstums ir lodītes rādiuss

Sfēras tilpums ir pusotru reizi mazāks nekā ap to norobežotā cilindra tilpums.

Apļveida konusu var iegūt, pagriežot taisnleņķa trīsstūri ap vienu no tā kājiņām, tāpēc apļveida konusu sauc arī par apgriezienu konusu. Skatiet arī Apļveida konusa virsmas laukumu

Apaļa konusa tilpums vienāda ar vienu trešdaļu no pamatlaukuma S un augstuma H reizinājuma:

(H ir kuba malas augstums)

Paralēlskaldnis ir prizma, kuras pamats ir paralelograms. Paralēlcaurulei ir sešas skaldnes, un tās visas ir paralelogrami. Paralēles, četras sānu sejas kas ir taisnstūri, sauc par taisnu līniju. Taisnstūra paralēlskaldnis, kura sešas skaldnes ir taisnstūri, sauc par taisnstūri.

Taisnstūra paralēlskaldņa tilpums vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu:

(S ir piramīdas pamatnes laukums, h ir piramīdas augstums)

Piramīda ir daudzskaldnis, kuram ir viena skaldne - piramīdas pamatne - patvaļīgs daudzstūris, bet pārējās malas - trīsstūri ar kopīgu virsotni, ko sauc par piramīdas virsotni.

Sadaļa, kas ir paralēla piramīdas pamatnei, sadala piramīdu divās daļās. Piramīdas daļa starp tās pamatni un šo posmu ir nošķelta piramīda.

Nocirstas piramīdas tilpums vienāda ar vienu trešdaļu no augstuma reizinājuma h(OS) pēc augšējās pamatnes laukumu summas S1 (abcde), nošķeltas piramīdas apakšējā pamatne S2 (ABCDE) un vidējais proporcionālais starp tiem.

n - regulāra daudzstūra malu skaits - pamatnes regulāra piramīda
a - regulāra daudzstūra mala - regulāras piramīdas pamats
h - regulāras piramīdas augstums

Regulāra trīsstūrveida piramīda ir daudzskaldnis, kuram ir viena skaldne - piramīdas pamatne - regulārs trīsstūris, bet pārējās - sānu skaldnes - vienādi trīsstūri ar kopīgu virsotni. Augstums nolaižas līdz pamatnes centram no augšas.

Skaļums pareizs trīsstūrveida piramīda vienāda ar vienu trešdaļu no laukuma reizinājuma regulārs trīsstūris, kas ir pamats S (ABC) uz augstumu h(OS)

a - regulāra trīsstūra mala - regulāras trīsstūra piramīdas pamatne
h - regulāras trīsstūrveida piramīdas augstums

Tetraedra tilpuma formulas atvasināšana

Tetraedra tilpumu aprēķina, izmantojot klasisko piramīdas tilpuma formulu. Ir nepieciešams aizstāt tetraedra augstumu un regulāra (vienādmalu) trīsstūra laukumu.

Tetraedra tilpums- ir vienāds ar daļu, kuras skaitītājā kvadrātsakne no diviem saucējā ir divpadsmit, reizināta ar tetraedra malas garuma kubu

(h ir romba malas garums)

Apkārtmērs lpp ir aptuveni trīs veseli un viena septītā daļa no apļa diametra garuma. Precīza apļa apkārtmēra attiecība pret tā diametru ir norādīta ar grieķu burtu π

Rezultātā apļa vai apkārtmēra perimetru aprēķina, izmantojot formulu

(r — loka rādiuss, n — centrālais leņķis loki grādos.)

Un senie ēģiptieši izmantoja metodes dažādu figūru laukumu aprēķināšanai, līdzīgas mūsu metodēm.

Manās grāmatās "Sākums" slavenais sengrieķu matemātiķis Eiklīds aprakstīja diezgan liels skaits daudzu platību aprēķināšanas metodes ģeometriskās formas. Pirmie manuskripti Krievijā, kas satur ģeometrisku informāciju, tika uzrakstīti 16. gadsimtā. Tie apraksta noteikumus dažādu formu figūru laukumu atrašanai.

Šodien ar palīdzību modernas metodes ar lielu precizitāti varat atrast jebkuras figūras laukumu.

Apskatīsim vienu no vienkāršākajām figūrām - taisnstūri - un tā laukuma atrašanas formulu.

Taisnstūra laukuma formula

Aplūkosim figūru (1. att.), kas sastāv no $8$ kvadrātiem ar $1$ cm malām. Viena kvadrāta laukumu ar malu $1$ cm sauc par kvadrātcentimetru un raksta $1\ cm^2. $.

Šī skaitļa laukums (1. att.) būs vienāds ar $8\cm^2$.

Figūras laukums, ko var sadalīt vairākos kvadrātos ar malu $1\ cm$ (piemēram, $p$), būs vienāds ar $p\ cm^2$.

Citiem vārdiem sakot, figūras laukums būs vienāds ar tik $cm^2$, cik kvadrātos ar malu $1\ cm$ šo skaitli var sadalīt.

Aplūkosim taisnstūri (2. att.), kas sastāv no $3$ svītrām, no kurām katra ir sadalīta $5$ kvadrātos ar malu $1\ cm$. viss taisnstūris sastāv no $5\cdot 3=15$ šādiem kvadrātiem, un tā laukums ir $15\cm^2$.

1. attēls.

2. attēls.

Figūru laukumu parasti apzīmē ar burtu $S$.

Lai atrastu taisnstūra laukumu, tā garums jāreizina ar platumu.

Ja tā garumu apzīmējam ar burtu $a$ un platumu ar burtu $b$, tad taisnstūra laukuma formula izskatīsies šādi:

1. definīcija

Skaitļi tiek saukti vienāds ja, uzliekot viens otram, skaitļi sakrīt. Ir vienādi skaitļi vienādas platības un vienādi perimetri.

Figūras laukumu var atrast kā tās daļu laukumu summu.

1. piemērs

Piemēram, attēlā $3$ taisnstūris $ABCD$ ir sadalīts divās daļās ar līniju $KLMN$. Vienas daļas laukums ir $12\ cm^2$, bet otras - $9\ cm^2$. Tad taisnstūra $ABCD$ laukums būs vienāds ar $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Atrodiet taisnstūra laukumu, izmantojot formulu:

Kā redzat, ar abām metodēm atrastās platības ir vienādas.

3. attēls.

4. attēls.

Segments $AC$ sadala taisnstūri divās daļās vienāds trīsstūris: $ABC$ un $ADC$. Tas nozīmē, ka katra trīsstūra laukums ir vienāds ar pusi no visa taisnstūra laukuma.

2. definīcija

Tiek saukts taisnstūris ar vienādām malām kvadrāts.

Ja kvadrāta malu apzīmējam ar burtu $a$, tad kvadrāta laukums tiks atrasts pēc formulas:

Līdz ar to skaitļa $a$ nosaukuma kvadrāts.

2. piemērs

Piemēram, ja kvadrāta mala ir $5$ cm, tad tā laukums ir:

Apjomi

Attīstoties tirdzniecībai un celtniecībai, pat seno civilizāciju laikos radās nepieciešamība atrast apjomus. Matemātikā ir ģeometrijas nozare, kas nodarbojas ar telpisko figūru izpēti, ko sauc par stereometriju. Šīs atsevišķās matemātikas nozares pieminēšana tika atrasta jau $IV$ gadsimtā pirms mūsu ēras.

Senie matemātiķi izstrādāja metodi vienkāršu figūru - kuba un paralēlskaldņa - tilpuma aprēķināšanai. Visas to laiku ēkas bija tieši šādas formas. Bet vēlāk tika atrastas metodes, kā aprēķināt sarežģītāku formu figūru apjomu.

Taisnstūra paralēlskaldņa tilpums

Piepildot veidni ar mitrām smiltīm un pēc tam apgriežot to otrādi, iegūsit trīsdimensiju figūru, ko raksturo tilpums. Ja jūs izveidojat vairākas šādas figūras, izmantojot vienu un to pašu veidni, jūs iegūsit figūras ar vienādu tilpumu. Ja veidni piepildīsit ar ūdeni, tad arī ūdens tilpums un smilšu figūras tilpums būs vienādi.

5. attēls.

Jūs varat salīdzināt divu trauku tilpumus, piepildot vienu ar ūdeni un ielejot to otrajā traukā. Ja otrais trauks ir pilnībā piepildīts, tad traukiem ir vienādi tilpumi. Ja ūdens paliek pirmajā, tad pirmā trauka tilpums ir lielāks nekā otrā. Ja, lejot ūdeni no pirmā trauka, nav iespējams pilnībā piepildīt otro trauku, tad pirmā trauka tilpums ir mazāks par otrā.

Tilpumu mēra, izmantojot šādas vienības:

$mm^3$ — kubikmilimetrs,

$cm^3$ — kubikcentimetrs,

$dm^3$ — kubikdecimetrs,

$m^3$ — kubikmetrs,

$km^3$ -- kubikkilometrs.

Izmēriet visus nepieciešamos attālumus metros. Daudzu trīsdimensiju figūru apjomu var viegli aprēķināt, izmantojot atbilstošās formulas. Tomēr visas vērtības, kas aizvietotas formulās, jāmēra metros. Tāpēc pirms vērtību pievienošanas formulai pārliecinieties, vai tās visas ir mērītas metros vai esat pārveidojis citas mērvienības metros.

• 1 mm = 0,001 m
• 1 cm = 0,01 m
• 1 km = 1000 m

Un senie ēģiptieši izmantoja metodes dažādu figūru laukumu aprēķināšanai, līdzīgas mūsu metodēm.

Manās grāmatās "Sākums" Slavenais sengrieķu matemātiķis Eiklīds aprakstīja diezgan lielu skaitu veidu, kā aprēķināt daudzu ģeometrisku figūru laukumus. Pirmie manuskripti Krievijā, kas satur ģeometrisku informāciju, tika uzrakstīti 16. gadsimtā. Tie apraksta noteikumus dažādu formu figūru laukumu atrašanai.

Mūsdienās, izmantojot modernas metodes, ar lielu precizitāti var atrast jebkuras figūras laukumu.

Apskatīsim vienu no vienkāršākajām figūrām - taisnstūri - un tā laukuma atrašanas formulu.

Taisnstūra laukuma formula

Aplūkosim figūru (1. att.), kas sastāv no $8$ kvadrātiem ar $1$ cm malām. Viena kvadrāta laukumu ar malu $1$ cm sauc par kvadrātcentimetru un raksta $1\ cm^2. $.

Šī skaitļa laukums (1. att.) būs vienāds ar $8\cm^2$.

Figūras laukums, ko var sadalīt vairākos kvadrātos ar malu $1\ cm$ (piemēram, $p$), būs vienāds ar $p\ cm^2$.

Citiem vārdiem sakot, figūras laukums būs vienāds ar tik $cm^2$, cik kvadrātos ar malu $1\ cm$ šo skaitli var sadalīt.

Aplūkosim taisnstūri (2. att.), kas sastāv no $3$ svītrām, no kurām katra ir sadalīta $5$ kvadrātos ar malu $1\ cm$. viss taisnstūris sastāv no $5\cdot 3=15$ šādiem kvadrātiem, un tā laukums ir $15\cm^2$.

1. attēls.

2. attēls.

Figūru laukumu parasti apzīmē ar burtu $S$.

Lai atrastu taisnstūra laukumu, tā garums jāreizina ar platumu.

Ja tā garumu apzīmējam ar burtu $a$ un platumu ar burtu $b$, tad taisnstūra laukuma formula izskatīsies šādi:

1. definīcija

Skaitļi tiek saukti vienāds ja, uzliekot viens otram, skaitļi sakrīt. Vienādām figūrām ir vienādi laukumi un vienādi permetri.

Figūras laukumu var atrast kā tās daļu laukumu summu.

1. piemērs

Piemēram, attēlā $3$ taisnstūris $ABCD$ ir sadalīts divās daļās ar līniju $KLMN$. Vienas daļas laukums ir $12\ cm^2$, bet otras - $9\ cm^2$. Tad taisnstūra $ABCD$ laukums būs vienāds ar $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Atrodiet taisnstūra laukumu, izmantojot formulu:

Kā redzat, ar abām metodēm atrastās platības ir vienādas.

3. attēls.

4. attēls.

Līnijas segments $AC$ sadala taisnstūri divos vienādos trīsstūros: $ABC$ un $ADC$. Tas nozīmē, ka katra trīsstūra laukums ir vienāds ar pusi no visa taisnstūra laukuma.

2. definīcija

Tiek saukts taisnstūris ar vienādām malām kvadrāts.

Ja kvadrāta malu apzīmējam ar burtu $a$, tad kvadrāta laukums tiks atrasts pēc formulas:

Līdz ar to skaitļa $a$ nosaukuma kvadrāts.

2. piemērs

Piemēram, ja kvadrāta mala ir $5$ cm, tad tā laukums ir:

Apjomi

Attīstoties tirdzniecībai un celtniecībai, pat seno civilizāciju laikos radās nepieciešamība atrast apjomus. Matemātikā ir ģeometrijas nozare, kas nodarbojas ar telpisko figūru izpēti, ko sauc par stereometriju. Šīs atsevišķās matemātikas nozares pieminēšana tika atrasta jau $IV$ gadsimtā pirms mūsu ēras.

Senie matemātiķi izstrādāja metodi vienkāršu figūru - kuba un paralēlskaldņa - tilpuma aprēķināšanai. Visas to laiku ēkas bija tieši šādas formas. Bet vēlāk tika atrastas metodes, kā aprēķināt sarežģītāku formu figūru apjomu.

Taisnstūra paralēlskaldņa tilpums

Piepildot veidni ar mitrām smiltīm un pēc tam apgriežot to otrādi, iegūsit trīsdimensiju figūru, ko raksturo tilpums. Ja jūs izveidojat vairākas šādas figūras, izmantojot vienu un to pašu veidni, jūs iegūsit figūras ar vienādu tilpumu. Ja veidni piepildīsit ar ūdeni, tad arī ūdens tilpums un smilšu figūras tilpums būs vienādi.

5. attēls.

Jūs varat salīdzināt divu trauku tilpumus, piepildot vienu ar ūdeni un ielejot to otrajā traukā. Ja otrais trauks ir pilnībā piepildīts, tad traukiem ir vienādi tilpumi. Ja ūdens paliek pirmajā, tad pirmā trauka tilpums ir lielāks nekā otrā. Ja, lejot ūdeni no pirmā trauka, nav iespējams pilnībā piepildīt otro trauku, tad pirmā trauka tilpums ir mazāks par otrā.

Tilpumu mēra, izmantojot šādas vienības:

$mm^3$ — kubikmilimetrs,

$cm^3$ — kubikcentimetrs,

$dm^3$ — kubikdecimetrs,

$m^3$ — kubikmetrs,

$km^3$ -- kubikkilometrs.

Jebkurš ģeometrisks ķermenis var raksturot ar virsmas laukumu (S) un tilpumu (V). Platība un apjoms nepavisam nav viens un tas pats. Objektam var būt salīdzinoši mazs V un liels S, piemēram, šādi darbojas cilvēka smadzenes. Šos rādītājus ir daudz vieglāk aprēķināt vienkāršām ģeometriskām formām.

Paralēles: definīcija, veidi un īpašības

Paralēlskaldnis ir četrstūra prizma, kura pamatnē ir paralelograms. Kāpēc jums var būt nepieciešama formula figūras apjoma noteikšanai? Grāmatas, iepakojuma kastes un daudzas citas lietas no ikdienas dzīve. Dzīvojamo un biroju ēku telpas parasti ir taisnstūrveida paralēlskaldnis. Lai uzstādītu ventilāciju, gaisa kondicionēšanu un noteiktu sildelementu skaitu telpā, nepieciešams aprēķināt telpas tilpumu.

Figūrai ir 6 skaldnes - paralelogrammas un 12 malas tiek sauktas par pamatnēm. Paralēlskaldnis var būt vairāku veidu. Atšķirības ir saistītas ar leņķiem starp blakus esošajām malām. Formulas dažādu daudzstūru Vs atrašanai nedaudz atšķiras.

Ja ģeometriskas figūras 6 skaldnes ir taisnstūri, tad to sauc arī par taisnstūri. Kubs ir īpašs paralēlskaldņa gadījums, kurā visas 6 skaldnes ir vienādi kvadrāti. Šajā gadījumā, lai atrastu V, jums ir jānoskaidro tikai vienas malas garums un jāpalielina tā uz trešo pakāpi.

Lai atrisinātu problēmas, jums būs nepieciešamas zināšanas ne tikai par gatavām formulām, bet arī par figūras īpašībām. Taisnstūra prizmas pamatīpašību saraksts ir mazs un ļoti viegli saprotams:

1. Attēla pretējās malas ir vienādas un paralēlas. Tas nozīmē, ka pretī esošās ribas garumā un slīpuma leņķī ir vienādas.
2. Visas labās paralēlskaldņa sānu malas ir taisnstūri.
3. Ģeometriskas figūras četras galvenās diagonāles krustojas vienā punktā un ar to tiek dalītas uz pusēm.
4. Paralēlskaldņa diagonāles kvadrāts ir vienāds ar figūras izmēru kvadrātu summu (seko no Pitagora teorēmas).

Pitagora teorēma nosaka, ka taisnleņķa trijstūra malās uzbūvēto kvadrātu laukumu summa ir vienāda ar trijstūra laukumu, kas uzbūvēts uz tā paša trijstūra hipotenūzas.

Pēdējā īpašuma pierādījums ir redzams zemāk esošajā attēlā. Problēmas risināšanas process ir vienkāršs un neprasa detalizētus paskaidrojumus.

Taisnstūra paralēlskaldņa tilpuma formula

Formula visu veidu ģeometrisko figūru atrašanai ir vienāda: V=S*h, kur V ir nepieciešamais tilpums, S ir paralēlskaldņa pamatnes laukums, h ir augstums, kas nolaists no pretējās virsotnes un perpendikulāri pamatnei. Taisnstūrī h sakrīt ar vienu no figūras malām, tāpēc, lai atrastu taisnstūra prizmas tilpumu, jums jāreizina trīs dimensijas.

Tilpumu parasti izsaka cm3. Zinot visas trīs a, b un c vērtības, skaitļa tilpuma atrašana nepavisam nav grūta. Visizplatītākā problēma vienotajā valsts eksāmenā ir paralēlskaldņa tilpuma vai diagonāles atrašana. Atrisiniet daudzas tipiskas Vienoto valsts eksāmenu uzdevumi Tas nav iespējams bez taisnstūra tilpuma formulas. Uzdevuma piemērs un tā risinājuma dizains ir parādīts attēlā zemāk.

1. piezīme. Taisnstūra prizmas virsmas laukumu var atrast, reizinot ar 2 figūras trīs skaldņu laukumu summu: pamatne (ab) un divas blakus esošās sānu virsmas (bc + ac).

2. piezīme. Sānu virsmu virsmas laukumu var viegli noteikt, reizinot pamatnes perimetru ar paralēlskaldņa augstumu.

Pamatojoties uz paralēlskaldņu pirmo īpašību AB = A1B1 un skaldnes B1D1 = BD. Saskaņā ar Pitagora teorēmas secinājumiem visu leņķu summa iekšā taisnleņķa trīsstūris ir vienāds ar 180°, un kāja, kas atrodas pretī 30° leņķim, ir vienāda ar hipotenūzu. Lietojot šīs zināšanas trijstūrim, mēs varam viegli atrast malu AB un AD garumu. Tad mēs reizinām iegūtās vērtības un aprēķinām paralēlskaldņa tilpumu.

Formula slīpa paralēlskaldņa tilpuma atrašanai

Lai atrastu slīpā paralēlskaldņa tilpumu, figūras pamatnes laukums jāreizina ar augstumu, kas no pretējā stūra nolaists līdz dotajai pamatnei.

Tādējādi nepieciešamo V var attēlot h formā - lapu skaits ar pamatplatību S, tātad klāja tilpums sastāv no visu kāršu Vs.

Problēmu risināšanas piemēri

Vienotā eksāmena uzdevumi jāizpilda noteiktā laikā. Tipiski uzdevumi, kā likums, nesatur liels daudzums aprēķini un kompleksās daļas. Bieži studentam tiek jautāts, kā atrast neregulāras ģeometriskas figūras tilpumu. Šādos gadījumos ir jāatceras vienkāršs noteikums, ka kopējais apjoms vienāds ar summu V sastāvdaļas.

Kā redzat no piemēra attēlā iepriekš, šādu problēmu risināšanā nav nekā sarežģīta. Sarežģītāku sadaļu uzdevumi prasa zināšanas par Pitagora teorēmu un tās sekām, kā arī figūras diagonāles garuma formulu. Lai veiksmīgi atrisinātu testa uzdevumus, pietiek iepriekš iepazīties ar tipisku problēmu paraugiem.