Leņķis ABC ir ierakstīts leņķis. Tas balstās uz loka maiņstrāvas, kas ir noslēgts starp tā malām (330. att.).
Teorēma. Ierakstīto leņķi mēra ar loka pusi, uz kuras tas atrodas.
Tas jāsaprot šādi: ierakstīts leņķis satur tik daudz leņķa grādu, minūšu un sekunžu, cik loka grādu, minūšu un sekunžu ir loka pusē, uz kuras tas balstās.
Pierādot šo teorēmu, jāņem vērā trīs gadījumi.
Pirmais gadījums. Apļa centrs atrodas ierakstītā leņķa malā (331. att.).
Pieņemsim, ka ∠ABC ir ierakstīts leņķis, un apļa O centrs atrodas malā BC. Ir jāpierāda, ka to mēra ar pusi loka maiņstrāvas.
Savienojiet punktu A ar apļa centru. Iegūstam vienādsānu \(\Delta\)AOB, kurā AO = OB, kā tā paša riņķa rādiusus. Tāpēc ∠A = ∠B.
∠AOC ir ārpus trijstūra AOB, tāpēc ∠AOC = ∠A + ∠B, un tā kā leņķi A un B ir vienādi, tad ∠B ir 1/2 ∠AOC.
Bet ∠AOC mēra ar loka AC, tāpēc ∠B mēra ar pusi no loka AC.
Piemēram, ja \(\breve(AC)\) satur 60°18', tad ∠B satur 30°9'.
Otrais gadījums. Apļa centrs atrodas starp ierakstītā leņķa malām (332. att.).
Pieņemsim, ka ∠ABD ir ierakstīts leņķis. Apļa O centrs atrodas starp tā malām. Mums jāpierāda, ka ∠ABD mēra ar pusi no loka AD.
Lai to pierādītu, uzzīmēsim diametru BC. Leņķis ABD ir sadalīts divos leņķos: ∠1 un ∠2.
∠1 mēra ar pusi loka AC, un ∠2 mēra ar pusi loka CD, tāpēc viss ∠ABD tiek mērīts ar 1/2 \(\breve(AC)\) + 1 / 2 \(\breve (CD)\), t.i., pusloka AD.
Piemēram, ja \(\breve(AD)\) satur 124°, tad ∠B satur 62°.
Trešais gadījums. Apļa centrs atrodas ārpus ierakstītā leņķa (333. att.).
Pieņemsim, ka ∠MAD ir ierakstīts leņķis. Apļa O centrs atrodas ārpus stūra. Mums jāpierāda, ka ∠MAD mēra ar pusi no loka MD.
Lai to pierādītu, uzzīmēsim diametru AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Bet ∠MAB mēra 1/2 \(\breve(MB)\) un ∠DAB mēra 1/2 \(\breve(DB)\).
Tāpēc ∠MAD mēra 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), t.i., 1/2 \(\breve(MD)\).
Piemēram, ja \(\breve(MD)\) satur 48° 38", tad ∠MAD satur 24° 19' 8".
Sekas
1.
Visi ierakstītie leņķi, kas atrodas vienā lokā, ir vienādi viens ar otru, jo tos mēra ar pusi no viena loka
(334. att., a).
2. Ierakstīts leņķis, ko nosaka diametrs, ir taisns leņķis, jo tas aptver pusi apļa. Puse apļa satur 180 loka grādus, kas nozīmē, ka leņķis, pamatojoties uz diametru, satur 90 loka grādus (334. att., b).
Vidējais līmenis
Aplis un ierakstītais leņķis. Vizuāls ceļvedis (2019)
Pamatnosacījumi.
Cik labi jūs atceraties visus vārdus, kas saistīti ar loku? Katram gadījumam atgādināsim – paskaties bildēs – atsvaidzini zināšanas.
Nu, pirmkārt - Apļa centrs ir punkts, no kura attālumi no visiem apļa punktiem ir vienādi.
Otrkārt - rādiuss - līnijas segments, kas savieno centru un punktu uz apļa.
Rādiusu ir daudz (tik cik punktu uz apļa), bet Visiem rādiusiem ir vienāds garums.
Dažreiz īsumā rādiuss viņi to sauc tieši segmenta garums“Centrs ir apļa punkts”, nevis pats segments.
Un lūk, kas notiek ja savieno divus punktus uz apļa? Arī segments?
Tātad šo segmentu sauc "akords".
Tāpat kā rādiusa gadījumā, diametrs bieži ir segmenta garums, kas savieno divus riņķa punktus un iet caur centru. Starp citu, kā diametrs un rādiuss ir saistīti? Paskaties uzmanīgi. Protams rādiuss ir vienāds ar pusi no diametra.
Papildus akordiem ir arī sekanti.
Atcerieties visvienkāršāko lietu?
Centrālais leņķis ir leņķis starp diviem rādiusiem.
Un tagad - ierakstītais leņķis
Ierakstītais leņķis - leņķis starp divām hordām, kas krustojas apļa punktā.
Šajā gadījumā viņi saka, ka ierakstītais leņķis balstās uz loka (vai uz horda).
Paskaties uz attēlu:
Loku un leņķu mērījumi.
Apkārtmērs. Lokus un leņķus mēra grādos un radiānos. Pirmkārt, par grādiem. Leņķiem nav problēmu - jums jāiemācās izmērīt loku grādos.
Pakāpju mērs (loka izmērs) ir atbilstošā centrālā leņķa vērtība (grādos).
Ko šeit nozīmē vārds "piemērots"? Apskatīsim uzmanīgi:
Vai redzat divus lokus un divus centrālos leņķus? Nu, lielāks loks atbilst lielākam leņķim (un tas ir labi, ka tas ir lielāks), un mazāks loks atbilst mazākam leņķim.
Tātad, mēs vienojāmies: loka satur tādu pašu grādu skaitu kā atbilstošais centrālais leņķis.
Un tagad par baiso lietu - par radiāniem!
Kāds zvērs ir šis "radiāns"?
Iedomājieties: Radiāni ir leņķu mērīšanas veids... rādiusos!
Leņķis, kas mēra radiānus, ir šāds centrālais leņķis, kura loka garums ir vienāds ar apļa rādiusu.
Tad rodas jautājums – cik radiānu ir taisnā leņķī?
Citiem vārdiem sakot: cik rādiusu “ietilpst” pusaplī? Vai citā veidā: cik reizes pusloka garums ir lielāks par rādiusu?
Zinātnieki uzdeva šo jautājumu jau Senajā Grieķijā.
Un tā pēc ilgas meklēšanas viņi atklāja, ka apkārtmēra attiecība pret rādiusu nevēlas tikt izteikta ar “cilvēka” skaitļiem, piemēram, utt.
Un šo attieksmi pat nav iespējams izteikt caur saknēm. Tas ir, izrādās, ka nav iespējams teikt, ka puse apļa ir reizes vai reizes lielāks par rādiusu! Vai varat iedomāties, cik pārsteidzoši bija cilvēkiem to atklāt pirmo reizi?! Pusapļa garuma attiecībai pret rādiusu ar “parastajiem” skaitļiem nepietika. Man bija jāievada vēstule.
Tātad, - tas ir skaitlis, kas izsaka pusloka garuma attiecību pret rādiusu.
Tagad mēs varam atbildēt uz jautājumu: cik radiānu ir taisnā leņķī? Tas satur radiānus. Tieši tāpēc, ka puse apļa ir reizes lielāka par rādiusu.
Senie (un ne tik seni) cilvēki gadsimtu garumā (!) mēģināja precīzāk aprēķināt šo noslēpumaino skaitli, labāk to (vismaz aptuveni) izteikt ar “parastajiem” skaitļiem. Un tagad esam neticami slinki - mums pietiek ar divām zīmēm pēc aizņemtas dienas, esam pieraduši
Padomājiet par to, tas nozīmē, piemēram, ka apļa garums ar rādiusu viens ir aptuveni vienāds, taču šo precīzu garumu vienkārši nav iespējams pierakstīt ar “cilvēka” skaitli - jums ir nepieciešams burts. Un tad šis apkārtmērs būs vienāds. Un, protams, rādiusa apkārtmērs ir vienāds.
Atgriezīsimies pie radiāniem.
Mēs jau esam noskaidrojuši, ka taisnā leņķī ir radiāni.
Kas mums ir:
Tas nozīmē, ka es priecājos, tas ir, es priecājos. Tādā pašā veidā tiek iegūta plāksne ar populārākajiem leņķiem.
Attiecība starp ierakstītā un centrālā leņķa vērtībām.
Ir pārsteidzošs fakts:
Ierakstītais leņķis ir uz pusi mazāks no atbilstošā centrālā leņķa.
Skatieties, kā šis apgalvojums izskatās attēlā. “Atbilstošs” centrālais leņķis ir tāds, kura gali sakrīt ar ierakstītā leņķa galiem, un virsotne atrodas centrā. Un tajā pašā laikā “atbilstošajam” centrālajam leņķim “jāskatās” tajā pašā hordā () kā ierakstītajam leņķim.
Kāpēc tas tā ir? Vispirms izdomāsim vienkāršs gadījums. Ļaujiet vienam no akordiem iziet cauri centram. Dažreiz tā gadās, vai ne?
Kas te notiek? Apsvērsim. Tas ir vienādsānu - galu galā, un - rādiusi. Tātad, (iezīmēja tos).
Tagad apskatīsim. Šis ir ārējais stūris! Mēs atgādinām, ka ārējais leņķis ir vienāds ar divu iekšējo leņķu summu, kas nav tam blakus, un rakstām:
Tas ir! Negaidīts efekts. Bet ir arī centrālais leņķis ierakstītajam.
Tas nozīmē, ka šajā gadījumā viņi pierādīja, ka centrālais leņķis ir divreiz lielāks par ierakstīto leņķi. Bet tas ir sāpīgi īpašs gadījums: vai tā nav taisnība, ka akords ne vienmēr iet tieši caur centru? Bet tas ir labi, tagad šis konkrētais gadījums mums ļoti palīdzēs. Paskaties: otrais gadījums: ļaujiet centram atrasties iekšā.
Darīsim tā: uzzīmējiet diametru. Un tad... mēs redzam divus attēlus, kas jau tika analizēti pirmajā gadījumā. Tāpēc mums tas jau ir
Tas nozīmē (zīmējumā a)
Nu es paliku pēdējais gadījums: centrs ārpus stūra.
Mēs darām to pašu: izvelciet diametru caur punktu. Viss ir vienāds, bet summas vietā ir atšķirība.
Tas arī viss!
Tagad izveidosim divas galvenās un ļoti svarīgas sekas no apgalvojuma, ka ierakstītais leņķis ir puse no centrālā leņķa.
Secinājums 1
Visi ierakstītie leņķi, kuru pamatā ir viens loks, ir vienādi viens ar otru.
Mēs ilustrējam:
Ir neskaitāmi ierakstīti leņķi, kuru pamatā ir viena un tā pati loka (mums ir šis loks), tie var izskatīties pilnīgi atšķirīgi, taču tiem visiem ir vienāds centrālais leņķis (), kas nozīmē, ka visi šie ierakstītie leņķi savā starpā ir vienādi.
Secinājums 2
Leņķis, ko nosaka diametrs, ir taisns leņķis.
Skatieties: kāds leņķis ir centrālais?
Noteikti,. Bet viņš ir līdzvērtīgs! Nu, tāpēc (kā arī daudzi citi ierakstīti leņķi, kas balstās uz) un ir vienāds.
Leņķis starp diviem akordiem un sekantiem
Bet ja nu leņķis, kas mūs interesē, NAV ierakstīts un NAV centrālais, bet, piemēram, šāds:
vai šādi?
Vai ir iespējams to kaut kā izteikt caur kādiem centrāliem leņķiem? Izrādās, ka tas ir iespējams. Skaties: mēs esam ieinteresēti.
a) (kā ārējais stūris priekš). Bet - ierakstīts, balstās uz loka -. - ierakstīts, balstās uz loka - .
Par skaistumu viņi saka:
Leņķis starp akordiem ir vienāds ar pusi no šajā leņķī ietverto loku leņķisko vērtību summas.
Viņi to raksta īsuma labad, taču, protams, izmantojot šo formulu, jums jāpatur prātā centrālie leņķi
b) Un tagad - “ārā”! Kā tas var būt? Jā, gandrīz tas pats! Tikai tagad (atkal mēs izmantojam ārējā leņķa īpašību). Tas ir tagad.
Un tas nozīmē... Piešķirsim piezīmēm un formulējumam skaistumu un īsumu:
Leņķis starp sekantiem ir vienāds ar pusi no šajā leņķī ietverto loku leņķisko vērtību starpības.
Nu, tagad jūs esat bruņojies ar visām pamatzināšanām par leņķiem, kas saistīti ar apli. Uz priekšu, pieņem izaicinājumus!
APLIS UN IEKŠĒJAIS LEĶIS. VIDĒJS LĪMENIS
Pat piecus gadus vecs bērns zina, kas ir aplis, vai ne? Matemātiķiem, kā vienmēr, šajā jautājumā ir neskaidra definīcija, taču mēs to nesniegsim (skatīsim), bet gan atcerēsimies, kā sauc punktus, līnijas un leņķus, kas saistīti ar apli.
Svarīgi noteikumi
Nu, pirmkārt:
| apļa centrs- punkts, no kura visi apļa punkti atrodas vienādā attālumā. |
Otrkārt:
Ir vēl viens pieņemts izteiciens: "horda sarauj loku." Šeit, piemēram, attēlā horda noliek loku. Un, ja akords pēkšņi iziet cauri centram, tad tam ir īpašs nosaukums: “diametrs”.
Starp citu, kā diametrs un rādiuss ir saistīti? Paskaties uzmanīgi. Protams
Un tagad - stūru nosaukumi.
Dabiski, vai ne? Leņķa malas stiepjas no centra – tas nozīmē, ka leņķis ir centrālais.
Šeit dažreiz rodas grūtības. Pievērsiet uzmanību - NAV ierakstīts NEVIENS leņķis apļa iekšpusē, bet tikai tāds, kura virsotne “sēž” uz paša apļa.
Apskatīsim atšķirību attēlos:
Vēl viens veids, kā viņi saka:
Šeit ir viens sarežģīts punkts. Kāds ir “atbilstošais” vai “savs” centrālais leņķis? Tikai leņķis ar virsotni apļa centrā un galiem loka galos? Nav īsti. Paskaties uz zīmējumu.
Tomēr viens no tiem pat neizskatās pēc stūra - tas ir lielāks. Bet trīsstūrim nevar būt vairāk leņķu, bet aplim var būt labi! Tātad: mazāks loks AB atbilst mazākam leņķim (oranžs), un lielākais loks atbilst lielākam. Tieši tāpat, vai ne?
Attiecība starp ierakstītā un centrālā leņķa lielumu
Atcerieties šo ļoti svarīgo paziņojumu:
Mācību grāmatās viņiem patīk rakstīt šo pašu faktu šādi:
Vai tā nav taisnība, ka formulējums ir vienkāršāks ar centrālo leņķi?
Bet tomēr atradīsim atbilstību starp diviem formulējumiem un tajā pašā laikā iemācīsimies rasējumos atrast “atbilstošo” centrālo leņķi un loku, uz kura “balstās” ierakstītais leņķis.
Paskaties: šeit ir aplis un ierakstīts leņķis:
Kur ir tā “atbilstošais” centrālais leņķis?
Paskatīsimies vēlreiz:
Kāds ir noteikums?
Bet! Šajā gadījumā ir svarīgi, lai ierakstītais un centrālais leņķis “skatītos” uz loku no vienas puses. Šeit, piemēram:
Savādi, zils! Jo loks ir garš, garāks par pusi apļa! Tāpēc nekad nemulsiniet!
Kādas sekas var secināt no ierakstītā leņķa “pusdaļas”?
Bet, piemēram:
Leņķis, ko nosaka diametrs
Jūs jau pamanījāt, ka matemātiķiem patīk runāt par tām pašām lietām. dažādos vārdos? Kāpēc viņiem tas ir vajadzīgs? Redziet, matemātikas valoda, lai arī formāla, ir dzīva, un tāpēc, tāpat kā parastā valodā, katru reizi, kad vēlaties to pateikt tā, kā tas ir ērtāk. Nu, mēs jau esam redzējuši, ko nozīmē “leņķis balstās uz loka”. Un iedomājieties, to pašu attēlu sauc par "leņķis balstās uz akordu". Kuru? Jā, protams, tam, kas šo loku savelk!
Kad ir ērtāk paļauties uz akordu nekā uz loka?
Nu, jo īpaši, ja šis akords ir diametrs.
Šādai situācijai ir pārsteidzoši vienkāršs, skaists un noderīgs paziņojums!
Paskaties: šeit ir aplis, diametrs un leņķis, kas uz tā balstās.
APLIS UN IEKŠĒJAIS LEĶIS. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM
1. Pamatjēdzieni.
3. Loku un leņķu mērījumi.
Radiānu leņķis ir centrālais leņķis, kura loka garums ir vienāds ar apļa rādiusu.
Šis ir skaitlis, kas izsaka pusloka garuma attiecību pret tā rādiusu.
Rādiusa apkārtmērs ir vienāds ar.
4. Attiecība starp ierakstītā un centrālā leņķa vērtībām.
Centrālais leņķis ir leņķis, kura virsotne atrodas apļa centrā.
Ierakstītais leņķis- leņķis, kura virsotne atrodas uz apļa un kura malas to krusto.
Attēlā parādīti centrālie un ierakstītie leņķi, kā arī to svarīgākās īpašības.
Tātad, centrālā leņķa lielums ir vienāds ar loka leņķisko lielumu, uz kura tas balstās. Tas nozīmē, ka centrālais 90 grādu leņķis balstīsies uz loka, kas vienāda ar 90°, tas ir, apli. Centrālais leņķis, kas vienāds ar 60°, balstās uz 60 grādu loka, tas ir, uz apļa sesto daļu.
Ierakstītā leņķa lielums ir divas reizes mazāks nekā centrālais leņķis, pamatojoties uz to pašu loku.
Arī problēmu risināšanai mums būs nepieciešams jēdziens “akords”.
Vienādi centrālie leņķi savieno vienādus akordus.
1. Kāds ir apļa diametra ierakstītais leņķis? Sniedziet atbildi grādos.
Ierakstīts leņķis, ko nosaka diametrs, ir taisns leņķis.
2. Centrālais leņķis ir par 36° lielāks nekā akūts ierakstītais leņķis, ko ierobežo tā pati riņķa loka. Atrodiet ierakstīto leņķi. Sniedziet atbildi grādos.
Lai centrālais leņķis ir vienāds ar x, un ierakstītais leņķis, ko nosaka tas pats loks, ir vienāds ar y.
Mēs zinām, ka x = 2y.
Tādējādi 2y = 36 + y,
y = 36.
3. Riņķa rādiuss ir vienāds ar 1. Atrodiet ar hordas aptvertā strupa leņķa vērtību, kas vienāda ar . Sniedziet atbildi grādos.
Ļaujiet horda AB ir vienāda ar . Uz šī horda balstītais strupais leņķis tiks apzīmēts ar α.
Trijstūrī AOB malas AO un OB ir vienādas ar 1, malas AB ir vienādas ar . Mēs jau esam sastapušies ar šādiem trīsstūriem. Acīmredzot trīsstūris AOB ir taisnstūrveida un vienādsānu, tas ir, leņķis AOB ir 90°.
Tad loka ACB ir vienāda ar 90°, un loka AKB ir vienāda ar 360° - 90° = 270°.
Ierakstītais leņķis α balstās uz loka AKB un ir vienāds ar pusi no šī loka leņķa vērtības, tas ir, 135°.
Atbilde: 135.
4. Horda AB sadala apli divās daļās, kuru grādu vērtības ir attiecībā 5:7. Kādā leņķī šī horda ir redzama no punkta C, kas pieder pie mazākā apļa loka? Sniedziet atbildi grādos.
Galvenais šajā uzdevumā ir pareiza zīmēšana un apstākļu izpratne. Kā jūs saprotat jautājumu: "Kādā leņķī horda ir redzama no punkta C?"
Iedomājieties, ka jūs sēžat punktā C un jums ir jāredz viss, kas notiek uz akorda AB. Tas ir tā, it kā akords AB būtu ekrāns kinoteātrī :-)
Acīmredzot, jums ir jāatrod leņķis ACB.
Divu loku summa, kurā horda AB dala apli, ir vienāda ar 360°, tas ir
5x + 7x = 360°
Tādējādi x = 30°, un tad ierakstītais leņķis ACB balstās uz loka, kas vienāds ar 210°.
Ierakstītā leņķa lielums ir vienāds ar pusi no loka leņķa lieluma, uz kura tas balstās, kas nozīmē, ka leņķis ACB ir vienāds ar 105°.
Ierakstītais leņķis, problēmas teorija. Draugi! Šajā rakstā mēs runāsim par uzdevumiem, kuru veikšanai jums jāzina ierakstītā leņķa īpašības. Šī ir vesela uzdevumu grupa, tie ir iekļauti vienotajā valsts eksāmenā. Lielāko daļu no tiem var atrisināt ļoti vienkārši, ar vienu darbību.
Ir sarežģītākas problēmas, taču tās jums nesagādās lielas grūtības, jums jāzina ierakstītā leņķa īpašības. Pamazām mēs analizēsim visus uzdevumu prototipus, aicinu jūs uz emuāru!
Tagad nepieciešamā teorija. Atcerēsimies, kas ir centrālais un ierakstītais leņķis, horda, loks, uz kura balstās šie leņķi:
Centrālais leņķis aplī ir plaknes leņķis arvirsotne tās centrā.
Apļa daļa, kas atrodas plaknes leņķa iekšpusēsauc par apļa loku.
Apļa loka pakāpes mēru sauc pakāpes mērs atbilstošo centrālo leņķi.
Tiek uzskatīts, ka leņķis ir ierakstīts aplī, ja leņķa virsotne atrodasuz apļa, un leņķa malas šķērso šo apli.
Tiek saukts segments, kas savieno divus riņķa punktusakords. Lielākais akords iet cauri apļa centram un tiek sauktsdiametrs.
Lai atrisinātu problēmas, kas saistītas ar leņķiem, kas ierakstīti aplī,jums jāzina šādas īpašības:
1. Ierakstītais leņķis ir vienāds ar pusi no centrālā leņķa, pamatojoties uz to pašu loku.
2. Visi ierakstītie leņķi, kas atrodas vienā lokā, ir vienādi.
3. Visi ierakstītie leņķi, kuru pamatā ir viena un tā pati horda un kuru virsotnes atrodas vienā šīs hordas pusē, ir vienādi.
4. Jebkurš leņķu pāris, kura pamatā ir viena un tā pati horda, kura virsotnes atrodas pretējās hordas pusēs, kopā veido 180°.
Secinājums: riņķī ierakstīta četrstūra pretējie leņķi kopā veido 180 grādus.
5. Visi ierakstītie leņķi, kurus ierobežo diametrs, ir taisni leņķi.
Kopumā šis īpašums ir īpašuma (1) sekas. Paskaties - centrālais leņķis ir vienāds ar 180 grādiem (un šis izlocītais leņķis nav nekas vairāk kā diametrs), kas nozīmē, ka saskaņā ar pirmo īpašību ierakstītais leņķis C ir vienāds ar pusi no tā, tas ir, 90 grādiem.
Šīs īpašības pārzināšana palīdz atrisināt daudzas problēmas un bieži vien ļauj izvairīties no liekiem aprēķiniem. Labi apgūstot, vairāk nekā pusi šāda veida problēmu varēsiet atrisināt mutiski. Var izdarīt divus secinājumus:
Secinājums 1: ja trijstūris ir ierakstīts aplī un viena no tā malām sakrīt ar šī apļa diametru, tad trijstūris ir taisnleņķa (virsotne taisns leņķis atrodas uz apļa).
Secinājums 2: aprakstītās apmēram centrs taisnleņķa trīsstūris aplis sakrīt ar tās hipotenūzas vidu.
Izmantojot šo īpašību un šīs sekas, tiek atrisināti arī daudzi stereometrisko problēmu prototipi. Atcerieties pašu faktu: ja apļa diametrs ir ierakstīta trijstūra mala, tad šis trīsstūris ir taisnleņķis (leņķis pretī diametram ir 90 grādi). Visus citus secinājumus un sekas varat izdarīt pats; jums tie nav jāmāca.
Parasti puse no ierakstītā leņķa uzdevumiem ir dota ar skici, bet bez simboliem. Lai saprastu spriešanas procesu, risinot uzdevumus (raksta zemāk), tiek ieviesti virsotņu (leņķu) apzīmējumi. Jums tas nav jādara vienotajā valsts eksāmenā.Apskatīsim uzdevumus:
Kāda ir akūtā ierakstītā leņķa vērtība, ko ierobežo horda, kas vienāda ar apļa rādiusu? Sniedziet atbildi grādos.
Konstruēsim centrālo leņķi dotajam ierakstītajam leņķim un norādīsim virsotnes:
Saskaņā ar aplī ierakstīta leņķa īpašībām:
Leņķis AOB ir vienāds ar 60 0, jo trijstūris AOB ir vienādmalu un iekšā vienādmalu trīsstūris visi leņķi ir vienādi ar 60 0. Trijstūra malas ir vienādas, jo nosacījums saka, ka horda ir vienāda ar rādiusu.
Tādējādi ierakstītais leņķis ACB ir vienāds ar 30 0.
Atbilde: 30
Atrodiet hordu, ko atbalsta 30 0 leņķis, kas ierakstīts aplī ar rādiusu 3.
Šī būtībā ir apgrieztā problēma (iepriekšējai problēmai). Konstruēsim centrālo leņķi.
Tas ir divreiz lielāks par ierakstīto, tas ir, leņķis AOB ir vienāds ar 60 0. No tā mēs varam secināt, ka trijstūris AOB ir vienādmalu. Tādējādi horda ir vienāda ar rādiusu, tas ir, trīs.
Atbilde: 3
Riņķa rādiuss ir 1. Atrodiet strupu ierakstītā leņķa lielumu, ko ierobežo horda, kas vienāda ar divu sakni. Sniedziet atbildi grādos.
Izveidosim centrālo leņķi:
Zinot rādiusu un hordu, varam atrast centrālo leņķi ASV. To var izdarīt, izmantojot kosinusa teorēmu. Zinot centrālo leņķi, mēs varam viegli atrast ierakstīto leņķi ACB.
Kosinusa teorēma: kvadrātā jebkuru trijstūra malu vienāds ar summu pārējo divu malu kvadrāti, nedubultojot šo malu reizinājumu ar leņķa kosinusu starp tām.
Tāpēc otrais centrālais leņķis ir 360 0 – 90 0 = 270 0 .
Leņķis ACB saskaņā ar ierakstītā leņķa īpašībām ir vienāds ar pusi no tā, tas ir, 135 grādiem.
Atbilde: 135
Atrodiet hordu, kas ir novilkta ar 120 grādu leņķi, kas ierakstīts aplī, kuras rādiuss ir trīs.
Savienosim punktus A un B ar apļa centru. Apzīmēsim to kā O:
Mēs zinām rādiusu un ierakstīto leņķi ASV. Mēs varam atrast centrālo leņķi AOB (lielāku par 180 grādiem), pēc tam atrast leņķi AOB trijstūrī AOB. Un tad, izmantojot kosinusu teorēmu, aprēķiniet AB.
Saskaņā ar ierakstītā leņķa īpašību centrālais leņķis AOB (kas ir lielāks par 180 grādiem) būs vienāds ar divreiz ierakstīto leņķi, tas ir, 240 grādiem. Tas nozīmē, ka leņķis AOB trijstūrī AOB ir vienāds ar 360 0 – 240 0 = 120 0.
Saskaņā ar kosinusa teorēmu:
Atbilde: 3
Atrodiet ierakstīto leņķi, ko ierobežo loka, kas ir 20% no apļa. Sniedziet atbildi grādos.
Saskaņā ar ierakstītā leņķa īpašību tas ir uz pusi mazāks par centrālo leņķi, pamatojoties uz to pašu loku, collas šajā gadījumā Mēs runājam par loka AB.
Ir teikts, ka loka AB ir 20 procenti no apkārtmēra. Tas nozīmē, ka centrālais leņķis AOB arī ir 20 procenti no 360 0.*Aplis ir 360 grādu leņķis. nozīmē,
Tādējādi ierakstītais leņķis ACB ir 36 grādi.
Atbilde: 36
Apļa loka A.C., kas nesatur punktu B, ir 200 grādi. Un apļa BC loks, kas nesatur punktu A, ir 80 grādi. Atrodiet ierakstīto leņķi ACB. Sniedziet atbildi grādos.
Skaidrības labad apzīmēsim lokus, kuru leņķiskie mēri ir doti. loks, kas atbilst 200 grādiem – zils, loka, kas atbilst 80 grādiem, ir sarkana, pārējā apļa daļa ir dzeltens.
Tādējādi loka AB pakāpes mērs (dzeltens) un līdz ar to centrālais leņķis AOB ir: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .
Ierakstītais leņķis ACB ir puse no centrālā leņķa AOB lieluma, tas ir, vienāds ar 40 grādiem.
Atbilde: 40
Kāds ir ierakstītais leņķis, ko nosaka apļa diametrs? Sniedziet atbildi grādos.
Šodien mēs apskatīsim cita veida problēmas 6 - šoreiz ar apli. Daudziem studentiem tie nepatīk un ir grūti. Un pilnīgi velti, jo šādas problēmas tiek atrisinātas elementārs, ja zināt dažas teorēmas. Vai arī viņi vispār neuzdrošinās, ja jūs viņus nepazīstat.
Pirms runāt par galvenajām īpašībām, ļaujiet man atgādināt definīciju:
Ierakstīts leņķis ir tāds, kura virsotne atrodas uz paša apļa un kura malas uz šī apļa izgriež akordu.
Centrālais leņķis ir jebkurš leņķis, kura virsotne atrodas apļa centrā. Tā malas arī krustojas ar šo apli un izgriež uz tā akordu.
Tātad ierakstīto un centrālo leņķu jēdzieni ir nesaraujami saistīti ar apli un akordiem tā iekšpusē. Un tagad galvenais paziņojums:
Teorēma. Centrālais leņķis vienmēr ir divreiz lielāks par ierakstīto leņķi, pamatojoties uz to pašu loku.
Neskatoties uz apgalvojuma vienkāršību, ir vesela problēmu klase 6, kuras var atrisināt, izmantojot to – un nekas cits.
Uzdevums. Atrodiet akūtu ierakstītu leņķi, ko ierobežo horda, kas vienāda ar apļa rādiusu.
Ļaujiet AB ir aplūkojamā horda, O apļa centrs. Papildu konstrukcija: OA un OB ir apļa rādiusi. Mēs iegūstam:
Apsveriet trīsstūri ABO. Tajā AB = OA = OB - visas malas ir vienādas ar apļa rādiusu. Tāpēc trīsstūris ABO ir vienādmalu, un visi leņķi tajā ir 60°.
Ierakstītā leņķa virsotne ir M. Tā kā leņķi O un M atrodas uz viena loka AB, ierakstītais leņķis M ir 2 reizes mazāks par centrālo leņķi O. Mums ir:
M = O: 2 = 60: 2 = 30
Uzdevums. Centrālais leņķis ir par 36° lielāks nekā ierakstītais leņķis, ko nosaka tas pats apļa loks. Atrodiet ierakstīto leņķi.
Ieviesīsim šādu apzīmējumu:
- AB ir apļa horda;
- Punkts O ir apļa centrs, tāpēc leņķis AOB ir centrālais leņķis;
- Punkts C ir ierakstītā leņķa ACB virsotne.
Tā kā mēs meklējam ierakstīto leņķi ACB, apzīmēsim to ACB = x. Tad centrālais leņķis AOB ir x + 36. No otras puses, centrālais leņķis ir 2 reizes lielāks par ierakstīto leņķi. Mums ir:
AOB = 2 · ACB;
x + 36 = 2 x ;
x = 36.
Tātad mēs atradām ierakstīto leņķi AOB - tas ir vienāds ar 36°.
Aplis ir 360° leņķis
Izlasījuši apakšvirsrakstus, zinoši lasītāji droši vien tagad teiks: "Uh!" Patiešām, apļa salīdzināšana ar leņķi nav pilnīgi pareizi. Lai saprastu, par ko mēs runājam, apskatiet klasisko trigonometrisko apli:
Kam domāta šī bilde? Turklāt pilna rotācija ir 360 grādu leņķis. Un, ja jūs to sadalāt, teiksim, 20 vienādās daļās, tad katras no tām izmērs būs 360: 20 = 18 grādi. Tas ir tieši tas, kas nepieciešams, lai atrisinātu problēmu B8.
Punkti A, B un C atrodas uz apļa un sadala to trīs lokos, kuru grādu mēri ir attiecībā 1: 3: 5. Atrodiet trijstūra ABC lielāko leņķi.
Vispirms atradīsim katra loka pakāpes mēru. Lai mazākais ir x. Attēlā šī loka ir apzīmēta ar AB. Tad atlikušos lokus - BC un AC - var izteikt AB izteiksmē: loks BC = 3x; AC = 5x. Kopumā šie loki sniedz 360 grādus:
AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.
Tagad apsveriet lielu loka maiņstrāvu, kas nesatur punktu B. Šis loks, tāpat kā atbilstošais centrālais leņķis AOC, ir 5x = 5 40 = 200 grādi.
Leņķis ABC ir lielākais no visiem trijstūra leņķiem. Tas ir ierakstīts leņķis ar tādu pašu loku kā centrālais leņķis AOC. Tas nozīmē, ka leņķis ABC ir 2 reizes mazāks nekā AOC. Mums ir:
ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100
Tas būs lielākā leņķa pakāpes mērs trijstūrī ABC.
Aplis, kas apvilkts ap taisnleņķa trīsstūri
Daudzi cilvēki aizmirst šo teorēmu. Bet velti, jo dažas B8 problēmas bez tā nemaz nevar atrisināt. Precīzāk, tie ir atrisināti, bet ar tādu aprēķinu apjomu, ka drīzāk iemigtu, nekā nonāktu līdz atbildei.
Teorēma. Ap taisnleņķa trīsstūri apvilkta riņķa centrs atrodas hipotenūzas viduspunktā.
Kas izriet no šīs teorēmas?
- Hipotenūzas viduspunkts atrodas vienādā attālumā no visām trijstūra virsotnēm. Tas ir tiešas teorēmas sekas;
- Mediāna, kas novilkta uz hipotenūzu, sadala sākotnējo trīsstūri divos vienādsānu trīsstūros. Tas ir tieši tas, kas nepieciešams, lai atrisinātu problēmu B8.
Trijstūrī ABC mēs uzzīmējam vidējo CD. Leņķis C ir 90° un leņķis B ir 60°. Atrodiet leņķi ACD.
Tā kā leņķis C ir 90°, trijstūris ABC ir taisnleņķa trīsstūris. Izrādās, ka CD ir mediāna, kas piesaistīta hipotenūzai. Tas nozīmē, ka trijstūri ADC un BDC ir vienādsānu.
Jo īpaši apsveriet trīsstūri ADC. Tajā AD = CD. Bet vienādsānu trijstūrī leņķi pie pamatnes ir vienādi — skatiet sadaļu “Problēma B8: līniju segmenti un leņķi trijstūrī”. Tāpēc vēlamais leņķis ACD = A.
Tātad, atliek noskaidrot, ar ko ir vienāds leņķis A. Lai to izdarītu, pievērsīsimies sākotnējam trīsstūrim ABC. Apzīmēsim leņķi A = x. Tā kā leņķu summa jebkurā trīsstūrī ir 180°, mums ir:
A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.
Protams, pēdējo problēmu var atrisināt citādi. Piemēram, ir viegli pierādīt, ka trīsstūris BCD ir ne tikai vienādsānu, bet arī vienādmalu. Tātad leņķis BCD ir 60 grādi. Tādējādi leņķis ACD ir 90–60 = 30 grādi. Kā redzat, varat izmantot dažādus vienādsānu trīsstūrus, taču atbilde vienmēr būs viena.