Šī video apmācība palīdzēs lietotājiem iegūt priekšstatu par piramīdas tēmu. Pareiza piramīda. Šajā nodarbībā iepazīsimies ar piramīdas jēdzienu un sniegsim tam definīciju. Apsvērsim, kas ir parastā piramīda un kādas īpašības tai piemīt. Tad pierādām teorēmu par regulāras piramīdas sānu virsmu.

Šajā nodarbībā iepazīsimies ar piramīdas jēdzienu un sniegsim tam definīciju.

Apsveriet daudzstūri A 1 A 2...A n, kas atrodas α plaknē, un punkts P, kas neatrodas α plaknē (1. att.). Savienosim punktus P ar virsotnēm A 1, A 2, A 3, … A n. Mēs saņemam n trīsstūri: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R un tā tālāk.

Definīcija. Daudzskaldnis RA 1 A 2 ...A n, kas sastāv no n- kvadrāts A 1 A 2...A n Un n trijstūri RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 sauc n- ogļu piramīda. Rīsi. 1.

Rīsi. 1

Apsveriet četrstūrveida piramīdu PABCD(2. att.).

R- piramīdas virsotne.

ABCD- piramīdas pamats.

RA- sānu riba.

AB- pamatnes riba.

No punkta R nometīsim perpendikulu RN uz bāzes plakni ABCD. Novilktais perpendikuls ir piramīdas augstums.

Rīsi. 2

Piramīdas pilna virsma sastāv no sānu virsmas, tas ir, visu sānu virsmu laukuma un pamatnes laukuma:

S pilna = S puse + S galvenā

Piramīdu sauc par pareizu, ja:

• tā pamatne ir regulārs daudzstūris;
• segments, kas savieno piramīdas virsotni ar pamatnes centru, ir tās augstums.

Paskaidrojums, izmantojot pareizo piemēru četrstūra piramīda

Apsveriet regulāru četrstūra piramīdu PABCD(3. att.).

R- piramīdas virsotne. Piramīdas pamatne ABCD- regulārs četrstūris, tas ir, kvadrāts. Punkts PAR, diagonāļu krustošanās punkts, ir kvadrāta centrs. nozīmē, RO ir piramīdas augstums.

Rīsi. 3

Paskaidrojums: pareizi n Trijstūrī ierakstītā apļa centrs un apļveida loka centrs sakrīt. Šo centru sauc par daudzstūra centru. Dažreiz viņi saka, ka virsotne tiek projicēta centrā.

No tās virsotnes izvilktas regulāras piramīdas sānu virsmas augstumu sauc apotēms un ir norādīts h a.

1. viss sānu ribas regulāras piramīdas ir vienādas;

2. sānu sejas ir vienādi vienādsānu trīsstūri.

Mēs sniegsim šo īpašību pierādījumu, izmantojot regulāras četrstūra piramīdas piemēru.

Ņemot vērā: PABCD- regulāra četrstūra piramīda,

ABCD- kvadrāts,

RO- piramīdas augstums.

Pierādīt:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Skat. att. 4.

Rīsi. 4

Pierādījums.

RO- piramīdas augstums. Tas ir, taisni RO perpendikulāri plaknei ABC, un tāpēc tiešs AS, VO, SO Un DO guļot tajā. Tātad trīsstūri ROA, ROV, ROS, ROD- taisnstūrveida.

Apsveriet kvadrātu ABCD. No kvadrāta īpašībām izriet, ka AO = VO = CO = DO.

Tad taisnie trīsstūri ROA, ROV, ROS, ROD kāju RO- vispārīgi un kājas AS, VO, SO Un DO ir vienādi, kas nozīmē, ka šie trīsstūri ir vienādi no divām pusēm. No trīsstūru vienādības izriet segmentu vienādība, RA = PB = RS = PD. 1. punkts ir pierādīts.

Segmenti AB Un Sv ir vienādas, jo tās ir viena kvadrāta malas, RA = PB = RS. Tātad trīsstūri AVR Un VSR — vienādsānu un vienādas no trim malām.

Līdzīgā veidā mēs atrodam, ka trīsstūri ABP, VCP, CDP, DAP ir vienādsānu un vienādi, kā tas ir jāpierāda 2. punktā.

Parastās piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no pamatnes perimetra un apotēmas reizinājuma:

Lai to pierādītu, izvēlēsimies parastu trīsstūrveida piramīdu.

Ņemot vērā: RAVS- regulāra trīsstūrveida piramīda.

AB = BC = AC.

RO- augstums.

Pierādīt: . Skatīt att. 5.

Rīsi. 5

Pierādījums.

RAVS- regulāra trīsstūrveida piramīda. Tas ir AB= AC = BC. Ļaujiet PAR- trijstūra centrs ABC, Tad RO ir piramīdas augstums. Piramīdas pamatnē atrodas vienādmalu trīsstūris ABC. Ņemiet vērā, ka .

Trijstūri RAV, RVS, RSA- vienādi vienādsānu trīsstūri (pēc īpašības). U trīsstūrveida piramīda trīs sānu virsmas: RAV, RVS, RSA. Tas nozīmē, ka piramīdas sānu virsmas laukums ir:

S puse = 3S RAW

Teorēma ir pierādīta.

Parastas četrstūra piramīdas pamatnē ierakstītā apļa rādiuss ir 3 m, piramīdas augstums ir 4 m. Atrodiet piramīdas sānu virsmas laukumu.

Ņemot vērā: regulāra četrstūra piramīda ABCD,

ABCD- kvadrāts,

r= 3 m,

RO- piramīdas augstums,

RO= 4 m.

Atrast: S puse. Skatīt att. 6.

Rīsi. 6

Risinājums.

Saskaņā ar pārbaudīto teorēmu,.

Vispirms atradīsim pamatnes pusi AB. Mēs zinām, ka regulāras četrstūra piramīdas pamatnē ierakstītā riņķa rādiuss ir 3 m.

Tad m.

Atrodiet laukuma perimetru ABCD ar 6 m malu:

Apsveriet trīsstūri BCD. Ļaujiet M- sānu vidus DC. Jo PAR- vidus BD, Tas (m).

Trīsstūris DPC- vienādsānu. M- vidus DC. tas ir, RM- mediāna un līdz ar to arī augstums trīsstūrī DPC. Tad RM- piramīdas apotēma.

RO- piramīdas augstums. Tad taisni RO perpendikulāri plaknei ABC, un tāpēc tiešs OM, guļ tajā. Atradīsim apotēmu RM no taisnleņķa trīsstūra ROM.

Tagad mēs varam atrast sānu virsma piramīdas:

Atbilde Platība: 60 m2.

Ap regulāras trīsstūrveida piramīdas pamatnes apļa rādiuss ir vienāds ar m sānu virsmas laukums ir 18 m 2. Atrodiet apotēmas garumu.

Ņemot vērā: ABCP- regulāra trīsstūrveida piramīda,

AB = BC = SA,

R= m,

S puse = 18 m2.

Atrast: . Skatīt att. 7.

Rīsi. 7

Risinājums.

Taisnā trīsstūrī ABC Ir dots ierobežotā apļa rādiuss. Atradīsim pusi ABšis trīsstūris, izmantojot sinusa likumu.

Zinot regulāra trīsstūra malu (m), atrodam tā perimetru.

Pēc teorēmas par regulāras piramīdas sānu virsmas laukumu, kur h a- piramīdas apotēma. Pēc tam:

Atbilde: 4 m.

Tātad, mēs apskatījām, kas ir piramīda, kas ir regulāra piramīda, un mēs pierādījām teorēmu par regulāras piramīdas sānu virsmu. Nākamajā nodarbībā iepazīsimies ar nošķelto piramīdu.

Atsauces

1. Ģeometrija. 10.-11.klase: mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem (pamata un specializācijas līmeņi) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnovs. - 5. izd., red. un papildu - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lpp.: ill.
2. Ģeometrija. 10.-11.klase: Vispārējās izglītības mācību grāmata izglītības iestādēm/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 lpp.: ill.
3. Ģeometrija. 10. klase: Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm ar padziļinātu un specializētu matemātikas apguvi /E. V. Potoskujevs, L. I. Zvaļičs. - 6. izd., stereotips. - M.: Bustards, 008. - 233 lpp.: ill.

1. Interneta portāls "Yaklass" ()
2. Interneta portāls “Pedagoģisko ideju festivāls “Pirmais septembris” ()
3. Interneta portāls “Slideshare.net” ()

Mājas darbs

1. Vai regulārs daudzstūris var būt neregulāras piramīdas pamats?
2. Pierādīt, ka regulāras piramīdas nesavienotās malas ir perpendikulāras.
3. Atrodiet divstūrveida leņķa vērtību regulāras četrstūra piramīdas pamatnes malā, ja piramīdas apotēma ir vienāda ar tās pamatnes malu.
4. RAVS- regulāra trīsstūrveida piramīda. Izveidojiet diedrāla leņķa lineāro leņķi piramīdas pamatnē.

Definīcija. Sānu mala- tas ir trīsstūris, kurā viens leņķis atrodas piramīdas augšpusē, un pretējā puse sakrīt ar pamatnes (daudzstūra) malu.

Definīcija. Sānu ribas- šīs ir sānu virsmu kopīgās puses. Piramīdai ir tik daudz malu, cik daudzstūra leņķu.

Definīcija. Piramīdas augstums- tas ir perpendikuls, kas nolaists no augšas uz piramīdas pamatni.

Definīcija. Apotēma- tas ir perpendikulārs piramīdas sānu virsmai, kas ir nolaists no piramīdas augšas uz pamatnes pusi.

Definīcija. Diagonālā sadaļa- tas ir piramīdas posms ar plakni, kas iet caur piramīdas augšdaļu un pamatnes diagonāli.

Definīcija. Pareiza piramīda ir piramīda, kuras pamatne ir regulārs daudzstūris, un augstums nokrītas līdz pamatnes centram.

Piramīdas tilpums un virsmas laukums

Formula. Piramīdas tilpums caur pamatnes laukumu un augstumu:

Piramīdas īpašības

Ja visas sānu malas ir vienādas, tad ap piramīdas pamatni var novilkt apli, un pamatnes centrs sakrīt ar apļa centru. Arī no augšas nomests perpendikuls iet caur pamatnes (apļa) centru.

Ja visas sānu malas ir vienādas, tad tās ir slīpas pret pamatnes plakni vienādos leņķos.

Sānu ribas ir vienādas, kad tās veidojas ar pamatnes plakni vienādi leņķi vai ja var aprakstīt apli ap piramīdas pamatni.

Ja sānu malas ir slīpi pret pamatnes plakni vienā leņķī, tad piramīdas pamatnē var ierakstīt apli, un piramīdas augšdaļa tiek projicēta tās centrā.

Ja sānu virsmas ir slīpi pret pamatnes plakni vienā leņķī, tad sānu virsmu apotēmas ir vienādas.

Regulāras piramīdas īpašības

1. Piramīdas virsotne atrodas vienādā attālumā no visiem pamatnes stūriem.

2. Visas sānu malas ir vienādas.

3. Visas sānu ribas ir noliektas vienādos leņķos pret pamatni.

4. Visu sānu skaldņu apotēmas ir vienādas.

5. Visu sānu virsmu laukumi ir vienādi.

6. Visām skaldnēm ir vienādi divskaldņu (plakanie) leņķi.

7. Ap piramīdu var aprakstīt sfēru. Ierobežotās sfēras centrs būs to perpendikulu krustpunkts, kas iet cauri malu vidusdaļai.

8. Jūs varat ievietot sfēru piramīdā. Ierakstītās sfēras centrs būs bisektoru krustpunkts, kas izplūst no leņķa starp malu un pamatni.

9. Ja ierakstītās sfēras centrs sakrīt ar norobežotās sfēras centru, tad plaknes leņķu summa virsotnē ir vienāda ar π vai otrādi, viens leņķis ir vienāds ar π/n, kur n ir skaitlis leņķi piramīdas pamatnē.

Piramīdas un sfēras savienojums

Ap piramīdu var aprakstīt lodi, kad piramīdas pamatnē atrodas daudzskaldnis, ap kuru var aprakstīt apli (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Sfēras centrs būs plakņu krustpunkts, kas iet perpendikulāri caur piramīdas sānu malu viduspunktiem.

Vienmēr ir iespējams aprakstīt sfēru ap jebkuru trīsstūrveida vai regulāru piramīdu.

Lodi var ierakstīt piramīdā, ja piramīdas iekšējo divskaldņu leņķu bisektoru plaknes krustojas vienā punktā (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Šis punkts būs sfēras centrs.

Piramīdas savienojums ar konusu

Tiek uzskatīts, ka konuss ir ierakstīts piramīdā, ja to virsotnes sakrīt un konusa pamatne ir ierakstīta piramīdas pamatnē.

Piramīdā var ierakstīt konusu, ja piramīdas apotēmas ir vienādas viena ar otru.

Tiek uzskatīts, ka konuss ir norobežots ap piramīdu, ja to virsotnes sakrīt, un konusa pamatne ir norobežota ap piramīdas pamatni.

Ap piramīdu var aprakstīt konusu, ja visas piramīdas sānu malas ir vienādas viena ar otru.

Piramīdas un cilindra attiecības

Piramīdu sauc par ierakstītu cilindrā, ja piramīdas virsotne atrodas uz vienas cilindra pamatnes, bet piramīdas pamatne ir ierakstīta citā cilindra pamatnē.

Cilindru var aprakstīt ap piramīdu, ja ap piramīdas pamatni var aprakstīt apli.

Definīcija. Nošķelta piramīda (piramīdveida prizma) ir daudzskaldnis, kas atrodas starp piramīdas pamatni un griezuma plakni, kas ir paralēla pamatnei. Tādējādi piramīdai ir lielāka pamatne un mazāka pamatne, kas ir līdzīga lielākajai. Sānu virsmas ir trapecveida.

Definīcija. Trīsstūrveida piramīda (tetraedrs) ir piramīda, kurā trīs skaldnes un pamatne ir patvaļīgi trīsstūri.

Tetraedram ir četras skaldnes un četras virsotnes un sešas malas, kur jebkurām divām malām nav kopīgu virsotņu, bet tās nesaskaras.

Katra virsotne sastāv no trīs veidojošām virsmām un malām trīsstūra leņķis.

Tiek saukts segments, kas savieno tetraedra virsotni ar pretējās skaldnes centru tetraedra mediāna(GM).

Bimediāns sauc par segmentu, kas savieno pretējo malu viduspunktus, kas nesaskaras (KL).

Visas tetraedra bimediānas un mediānas krustojas vienā punktā (S). Šajā gadījumā bimediānas tiek sadalītas uz pusēm, un mediānas tiek sadalītas proporcijā 3: 1, sākot no augšas.

Definīcija. Slīpa piramīda ir piramīda, kuras viena no malām ar pamatni veido neasu leņķi (β).

Definīcija. Taisnstūra piramīda ir piramīda, kurā viena no sānu virsmām ir perpendikulāra pamatnei.

Definīcija. Akūta leņķa piramīda- piramīda, kurā apotēma ir vairāk nekā puse no pamatnes malas garuma.

Definīcija. Stulba piramīda- piramīda, kurā apotēma ir mazāka par pusi no pamatnes malas garuma.

Definīcija. Regulārs tetraedrs- tetraedrs, kurā visas četras skaldnes ir vienādmalu trīsstūri. Tas ir viens no pieciem regulārajiem daudzstūriem. Regulārā tetraedrā visi divskaldņu leņķi (starp skaldnēm) un trīsstūrveida leņķi (virsotnē) ir vienādi.

Definīcija. Taisnstūra tetraedrs ir tetraedrs ar taisnu leņķi starp trim malām virsotnē (malas ir perpendikulāras). Izveidojas trīs sejas taisnstūra trīsstūra leņķis un malas ir taisnie trīsstūri, un bāze ir patvaļīgs trīsstūris. Jebkuras sejas apotēma ir vienāda ar pusi no pamatnes malas, uz kuras apotēma nokrīt.

Definīcija. Izoedrisks tetraedrs sauc par tetraedru, kura sānu malas ir vienādas viena ar otru un pamatne ir regulārs trīsstūris. Šādam tetraedram ir sejas, kas ir vienādsānu trīsstūri.

Definīcija. Ortocentrisks tetraedrs sauc par tetraedru, kurā visi augstumi (perpendikulāri), kas ir nolaisti no augšas uz pretējo virsmu, krustojas vienā punktā.

Definīcija. Zvaigžņu piramīda sauc par daudzskaldni, kura pamats ir zvaigzne.

Definīcija. Bipiramīda- daudzskaldnis, kas sastāv no divām dažādām piramīdām (piramīdas var arī nogriezt), kurām ir kopīgs pamats, un virsotnes atrodas pretējās pamatplaknes pusēs.

Piramīda. Nocirsta piramīda

Piramīda ir daudzskaldnis, kura viena no skaldnēm ir daudzstūris ( bāze ), un visas pārējās skaldnes ir trīsstūri ar kopīgu virsotni ( sānu sejas ) (15. att.). Piramīdu sauc pareizi , ja tās pamats ir regulārs daudzstūris un piramīdas virsotne ir projicēta pamatnes centrā (16. att.). Tiek saukta trīsstūrveida piramīda ar vienādām malām tetraedrs .

Sānu riba piramīdas ir sānu virsmas puse, kas nepieder pie pamatnes Augstums piramīda ir attālums no tās augšdaļas līdz pamatnes plaknei. Visas regulāras piramīdas sānu malas ir vienādas viena ar otru, visas sānu malas ir vienādi vienādsānu trīsstūri. No virsotnes izvilktas regulāras piramīdas sānu virsmas augstumu sauc apotēms . Diagonālā sadaļa sauc par piramīdas posmu plaknē, kas iet caur divām sānu malām, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai.

Sānu virsmas laukums piramīda ir visu sānu virsmu laukumu summa. Apgabals pilna virsma sauc par visu sānu virsmu un pamatnes laukumu summu.

Teorēmas

1. Ja piramīdā visas sānu malas ir vienādi slīpas pret pamatnes plakni, tad piramīdas virsotne tiek projicēta pamatnes tuvumā esošā apļa centrā.

2. Ja piramīdā visām sānu malām ir vienādi garumi, tad piramīdas virsotne tiek projicēta apļa centrā, kas ir norobežots netālu no pamatnes.

3. Ja piramīdā visas skaldnes ir vienādi slīpas pret pamatnes plakni, tad piramīdas virsotne tiek projicēta pamatnē ierakstītā apļa centrā.

Lai aprēķinātu patvaļīgas piramīdas tilpumu, pareizā formula ir:

Kur V- apjoms;

S bāze– bāzes platība;

H- piramīdas augstums.

Parastai piramīdai pareizas ir šādas formulas:

Kur lpp– bāzes perimetrs;

h a– apotēms;

H- augstums;

S pilns

S pusē

S bāze– bāzes platība;

V– regulāras piramīdas tilpums.

Nocirsta piramīda sauc par piramīdas daļu, kas atrodas starp pamatni un griešanas plakni, kas ir paralēla piramīdas pamatnei (17. att.). Regulāra nošķelta piramīda sauc par regulāras piramīdas daļu, kas atrodas starp pamatni un griešanas plakni, kas ir paralēla piramīdas pamatnei.

Iemesli nošķelta piramīda - līdzīgi daudzstūri. Sānu sejas – trapeces. Augstums nošķeltas piramīdas ir attālums starp tās pamatiem. Diagonāli nošķelta piramīda ir segments, kas savieno tās virsotnes, kas neatrodas uz vienas virsmas. Diagonālā sadaļa ir nošķeltas piramīdas posms ar plakni, kas iet cauri divām sānu malām, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai.

Atdalītai piramīdai ir derīgas šādas formulas:

(4)

Kur S 1 , S 2 – augšējās un apakšējās pamatnes laukumi;

S pilns– kopējais virsmas laukums;

S pusē– sānu virsmas laukums;

H- augstums;

V– nošķeltas piramīdas tilpums.

Parastai saīsinātai piramīdai formula ir pareiza:

Kur lpp 1 , lpp 2 – pamatu perimetrs;

h a– regulāras nošķeltas piramīdas apotēma.

1. piemērs. Regulārā trīsstūrveida piramīdā diedrālais leņķis pie pamatnes ir 60º. Atrodiet sānu malas slīpuma leņķa pieskares pamatnes plaknei.

Risinājums. Veidosim zīmējumu (18. att.).

Piramīda ir regulāra, kas nozīmē, ka tās pamatnē ir vienādmalu trīsstūris un visas sānu skaldnes ir vienādi vienādsānu trijstūri. Divšķautņu leņķis pie pamatnes ir piramīdas sānu virsmas slīpuma leņķis pret pamatnes plakni. Lineārais leņķis ir leņķis a starp diviem perpendikuliem: utt. Piramīdas virsotne tiek projicēta trijstūra centrā (trijstūra apļa centrā un ierakstītajā aplī ABC). Sānu malas slīpuma leņķis (piemēram S.B.) ir leņķis starp pašu malu un tās projekciju uz pamatnes plakni. Par ribu S.B.šis leņķis būs leņķis SBD. Lai atrastu tangensu, jums jāzina kājas SO Un O.B.. Ļaujiet segmenta garumam BD vienāds ar 3 A. Punkts PAR segmentu BD ir sadalīts daļās: un No mēs atrodam SO: No mēs atrodam:

Atbilde:

2. piemērs. Atrodiet regulāras nošķeltas četrstūra piramīdas tilpumu, ja tās pamatu diagonāles ir vienādas ar cm un cm un augstums ir 4 cm.

Risinājums. Lai atrastu nošķeltas piramīdas tilpumu, mēs izmantojam formulu (4). Lai atrastu pamatu laukumu, jums jāatrod pamatnes kvadrātu malas, zinot to diagonāles. Pamatu malas ir attiecīgi vienādas ar 2 cm un 8 cm. Tas nozīmē pamatu laukumus un, aizstājot visus datus formulā, mēs aprēķinām nošķeltas piramīdas tilpumu:

Atbilde: 112 cm3.

3. piemērs. Atrodiet regulāras trīsstūrveida nošķeltas piramīdas sānu malas laukumu, kuras pamatnes malas ir 10 cm un 4 cm, bet piramīdas augstums ir 2 cm.

Risinājums. Veidosim zīmējumu (19. att.).

Šīs piramīdas sānu mala ir vienādsānu trapece. Lai aprēķinātu trapeces laukumu, jums jāzina pamatne un augstums. Pamatnes dotas pēc stāvokļa, tikai augstums paliek nezināms. Mēs viņu atradīsim no kurienes A 1 E perpendikulāri no punkta A 1 apakšējās pamatnes plaknē, A 1 D– perpendikulāri no A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, jo ​​tas ir piramīdas augstums. Lai atrastu DE Uztaisīsim papildu zīmējumu, kas parāda augšējo skatu (20. att.). Punkts PAR– augšējās un apakšējās pamatnes centru projekcija. kopš (sk. 20. att.) un No otras puses Labi– rādiuss, kas ierakstīts aplī un OM– rādiuss, kas ierakstīts aplī:

MK = DE.

Saskaņā ar Pitagora teorēmu no

Sānu sejas zona:

Atbilde:

4. piemērs. Piramīdas pamatnē atrodas vienādsānu trapece, kuras pamati A Un b (a> b). Katra sānu virsma veido leņķi, kas vienāds ar piramīdas pamatnes plakni j. Atrodiet piramīdas kopējo virsmas laukumu.

Risinājums. Veidosim zīmējumu (21. att.). Piramīdas kopējais virsmas laukums SABCD vienāds ar laukumu summu un trapeces laukumu ABCD.

Izmantosim apgalvojumu, ka, ja visas piramīdas skaldnes ir vienādi slīpas pret pamatnes plakni, tad virsotne tiek projicēta pamatnē ierakstītā apļa centrā. Punkts PAR– virsotņu projekcija S piramīdas pamatnē. Trīsstūris SOD ir trijstūra ortogonālā projekcija CSD līdz pamatnes plaknei. Pēc teorēmas par ortogonālās projekcijas laukumu plakana figūra mēs iegūstam:

Tāpat tas nozīmē Tādējādi problēma tika samazināta līdz trapeces laukuma atrašanai ABCD. Uzzīmēsim trapecveida formu ABCD atsevišķi (22. att.). Punkts PAR– trapecē ierakstīta apļa centrs.

Tā kā apli var ierakstīt trapecē, tad vai No Pitagora teorēmas mums ir

Šeit jūs varat atrast pamatinformāciju par piramīdām un ar tām saistītām formulām un jēdzieniem. Tie visi tiek apgūti pie matemātikas pasniedzēja, gatavojoties vienotajam valsts eksāmenam.

Apsveriet plakni, daudzstūri , guļ tajā un punkts S, nevis guļ tajā. Savienosim S ar visām daudzstūra virsotnēm. Iegūto daudzskaldni sauc par piramīdu. Segmentus sauc par sānu ribām. Daudzstūri sauc par pamatu, un punkts S ir piramīdas virsotne. Atkarībā no skaitļa n piramīdu sauc par trīsstūrveida (n=3), četrstūrveida (n=4), piecstūrainu (n=5) un tā tālāk. Alternatīvs nosaukums trīsstūrveida piramīdai ir tetraedrs. Piramīdas augstums ir perpendikuls, kas nolaižas no tās augšdaļas līdz pamatnes plaknei.

Piramīdu sauc par regulāru, ja regulārs daudzstūris, un piramīdas augstuma pamats (perpendikula pamats) ir tās centrs.

Pasniedzēja komentārs:
Nejauciet jēdzienus “regulāra piramīda” un “parastais tetraedrs”. Parastajā piramīdā sānu malas ne vienmēr ir vienādas ar pamatnes malām, bet regulārā tetraedrā visas 6 malas ir vienādas. Tā ir viņa definīcija. Ir viegli pierādīt, ka vienādība nozīmē, ka daudzstūra centrs P sakrīt ar pamatnes augstumu, tāpēc regulārs tetraedrs ir regulāra piramīda.

Kas ir apotēms?
Piramīdas apotēma ir tās sānu virsmas augstums. Ja piramīda ir regulāra, tad visas tās apotēmas ir vienādas. Pretējais nav taisnība.

Matemātikas skolotājs par savu terminoloģiju: 80% no darba ar piramīdām tiek veidoti, izmantojot divu veidu trīsstūrus:
1) Satur apotēmu SK un augstumu SP
2) Kas satur sānu malu SA un tās projekciju PA

Lai vienkāršotu atsauces uz šiem trijstūriem, matemātikas skolotājam ir ērtāk izsaukt pirmo no tiem apotēmisks, un otrais piekrastes. Diemžēl šo terminoloģiju jūs neatradīsiet nevienā mācību grāmatā, un skolotājam tā vienpusēji jāievieš.

Piramīdas tilpuma formula:
1) , kur ir piramīdas pamatnes laukums un piramīdas augstums
2) , kur ir ierakstītās sfēras rādiuss un ir piramīdas kopējās virsmas laukums.
3) , kur MN ir attālums starp jebkurām divām krustojošām malām un ir paralelograma laukums, ko veido četru atlikušo malu viduspunkti.

Piramīdas augstuma pamatnes īpašība:

Punkts P (skatīt attēlu) sakrīt ar piramīdas pamatnē ierakstītā apļa centru, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:
1) Visi apotēmi ir vienādi
2) Visas sānu virsmas ir vienādi slīpas pret pamatni
3) Visi apotēmi ir vienādi slīpi pret piramīdas augstumu
4) Piramīdas augstums ir vienādi slīps pret visām sānu malām

Matemātikas skolotāja komentārs: Lūdzu, ņemiet vērā, ka visus punktus vieno viena kopīga īpašība: tā vai citādi sānu malas ir iesaistītas visur (apotēmas ir to elementi). Tāpēc pasniedzējs var piedāvāt neprecīzāku, bet mācībām ērtāku formulējumu: punkts P sakrīt ar ierakstītā apļa centru, piramīdas pamatni, ja ir kāda līdzvērtīga informācija par tā sānu virsmām. Lai to pierādītu, pietiek parādīt, ka visi apotēmu trijstūri ir vienādi.

Punkts P sakrīt ar apļa centru, kas apzīmēts netālu no piramīdas pamatnes, ja ir patiess viens no trim nosacījumiem:
1) Visas sānu malas ir vienādas
2) Visas sānu ribas ir vienādi slīpas pret pamatni
3) Visas sānu ribas ir vienādi slīpas pret augstumu