Kā atrast konusa sānu virsmu. Kopējais konusa virsmas laukums ir

Atpakaļ Uz priekšu

Uzmanību! Slaidu priekšskatījumi ir paredzēti tikai informatīviem nolūkiem, un tie var neatspoguļot visas prezentācijas funkcijas. Ja jūs interesē šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.

Nodarbības veids: nodarbība jauna materiāla apguvē, izmantojot problēmbāzētas attīstošas ​​mācību metodes elementus.

Nodarbības mērķi:

• izglītojošs:
  • iepazīšanās ar jauno matemātiskais jēdziens;
  • jaunu mācību centru veidošana;
  • praktisko problēmu risināšanas prasmju veidošana.
• izstrādājot:
  • skolēnu patstāvīgas domāšanas attīstība;
  • prasmju attīstība pareiza runa skolēni.
• izglītojošs:
  • attīstīt komandas darba prasmes.

Nodarbības aprīkojums: magnētiskā tāfele, dators, ekrāns, multimediju projektors, konusa modelis, nodarbības prezentācija, izdales materiāli.

Nodarbības mērķi (skolēniem):

• iepazīties ar jaunu ģeometrisko jēdzienu - konusu;
• iegūstiet formulu konusa virsmas laukuma aprēķināšanai;
• iemācīties pielietot iegūtās zināšanas, risinot praktiskas problēmas.

Nodarbības progress

I posms. Organizatoriskā.

Piezīmju grāmatiņu atgriešana no mājām pārbaudes darbs par aplūkoto tēmu.

Skolēni aicināti noskaidrot gaidāmās nodarbības tēmu, risinot mīklu (1. slaids):

1. attēls.

Stundas tēmas un mērķu izziņošana skolēniem (2. slaids).

II posms. Jaunā materiāla skaidrojums.

1) Skolotāja lekcija.

Uz tāfeles ir galds ar konusa attēlu. Jauns materiāls tiek skaidrots kopā ar programmas materiālu “Stereometrija”. Ekrānā parādās trīsdimensiju konusa attēls. Skolotājs sniedz konusa definīciju un runā par tā elementiem. (3. slaids). Mēdz teikt, ka konuss ir ķermenis, ko veido taisnleņķa trijstūra rotācija attiecībā pret kāju. (4., 5. slaidi). Parādās konusa sānu virsmas skenēšanas attēls. (6. slaids)

2) Praktiskais darbs.

Pamatzināšanu atjaunināšana: atkārtojiet formulas apļa laukuma, sektora laukuma, apļa garuma, apļa loka garuma aprēķināšanai. (7.–10. slaidi)

Klase ir sadalīta grupās. Katra grupa saņem no papīra izgriezta konusa sānu virsmas skenēšanu (apļa sektors ar piešķirtu numuru). Studenti veic nepieciešamos mērījumus un aprēķina iegūtā sektora laukumu. Uz ekrāna parādās instrukcijas darba veikšanai, jautājumi - problēmu izklāsti (11.–14. slaidi). Katras grupas pārstāvis aprēķinu rezultātus pieraksta uz tāfeles sagatavotā tabulā. Katras grupas dalībnieki salīmē konusa modeli no viņiem pieejamā raksta. (15. slaids)

3) Problēmas izklāsts un risinājums.

Kā aprēķināt konusa sānu virsmas laukumu, ja ir zināms tikai pamatnes rādiuss un konusa ģenerātora garums? (16. slaids)

Katra grupa veic nepieciešamos mērījumus un mēģina iegūt formulu vajadzīgās platības aprēķināšanai, izmantojot pieejamos datus. Veicot šo darbu, skolēniem jāievēro, ka konusa pamatnes apkārtmērs ir vienāds ar sektora loka garumu - šī konusa sānu virsmas attīstību. (17.–21. slaidi) Izmantojot nepieciešamās formulas, tiek iegūta vēlamā formula. Studentu argumentiem vajadzētu izskatīties apmēram šādi:

Sektora slaucīšanas rādiuss ir vienāds ar l, loka pakāpes mērs – φ. Sektora laukumu aprēķina pēc formulas: loka garums, kas ierobežo šo sektoru, ir vienāds ar konusa pamatnes rādiusu R. Apļa garums, kas atrodas pie konusa pamatnes, ir C = 2πR . Ņemiet vērā, ka, tā kā konusa sānu virsmas laukums ir vienāds ar tā sānu virsmas attīstības laukumu, tad

Tātad konusa sānu virsmas laukums tiek aprēķināts pēc formulas S BOD = πRl.

Pēc konusa modeļa sānu virsmas laukuma aprēķināšanas, izmantojot neatkarīgi iegūto formulu, katras grupas pārstāvis ieraksta aprēķinu rezultātu tabulā uz tāfeles atbilstoši modeļa numuriem. Aprēķinu rezultātiem katrā rindā jābūt vienādiem. Pamatojoties uz to, skolotājs nosaka katras grupas secinājumu pareizību. Rezultātu tabulai vajadzētu izskatīties šādi:

Modeļa parametri:

1. l=12 cm, φ =120°
2. l=10 cm, φ =150°
3. l=15 cm, φ =120°
4. l=10 cm, φ =170°
5. l=14 cm, φ =110°

Aprēķinu tuvināšana ir saistīta ar mērījumu kļūdām.

Pēc rezultātu pārbaudes ekrānā parādās formulu izvade konusa sānu un kopējo virsmu laukumiem (22.–26. slaidi), skolēni glabā piezīmes kladēs.

III posms. Izpētītā materiāla konsolidācija.

1) Tiek piedāvāti studenti problēmas mutiskam risinājumam uz gataviem zīmējumiem.

Atrodiet attēlos parādīto konusu pilno virsmu laukumus (27.–32. slaidi).

2) jautājums: Vai konusu virsmas laukumi, kas izveidoti, pagriežot vienu taisnleņķa trīsstūri ap dažādām malām, ir vienādi? Studenti izvirza hipotēzi un pārbauda to. Hipotēzi pārbauda, ​​risinot uzdevumus, un students to raksta uz tāfeles.

Ņemot vērā:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

ВАА", АВВ" – rotācijas ķermeņi.

Atrast: S PPK 1, S PPK 2.

5. attēls. (33. slaids)

Risinājums:

1) R=BC = a; S PPK 1 = S BOD 1 + S galvenais 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).

2) R=AC = b; S PPK 2 = S BOD 2 + S bāze 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).

Ja S PPK 1 = S PPK 2, tad a 2 + ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b) (a + b + c) = 0. Jo a, b, c - pozitīvi skaitļi (trijstūra malu garumi), vienādība ir patiesa tikai tad, ja a =b.

Secinājums: Divu konusu virsmas laukumi ir vienādi tikai tad, ja trijstūra malas ir vienādas. (34. slaids)

3) Uzdevuma risināšana no mācību grāmatas: Nr.565.

IV posms. Apkopojot stundu.

Mājas darbs: 55., 56. punkts; Nr.548, Nr.561. (35. slaids)

Piešķirto atzīmju paziņošana.

Secinājumi nodarbības laikā, galvenās stundas laikā saņemtās informācijas atkārtošana.

Literatūra (36. slaids)

1. Ģeometrijas 10.–11. klase – Atanasjans, V.F.Buuzovs, S.B.Kadomcevs u.c., “Prosveščenie”, 2008.g.
2. “Matemātiskās mīklas un šarādes” - N.V. Udaļcova, bibliotēka “Pirmais septembris”, sērija “MATEMĀTIKA”, 35. izdevums, M., Čistje Prūdija, 2010.

Ģeometrija ir matemātikas nozare, kas pēta telpas struktūras un attiecības starp tām. Savukārt tā arī sastāv no sadaļām, un viena no tām ir stereometrija. Tas ietver kosmosā izvietotu trīsdimensiju figūru īpašību izpēti: kubs, piramīda, bumba, konuss, cilindrs utt.

Konuss ir ķermenis Eiklīda telpā, ko ierobežo koniska virsma un plakne, uz kuras atrodas tā ģeneratoru gali. Tā veidošanās notiek taisnleņķa trijstūra rotācijas laikā ap jebkuru tā kāju, tāpēc tas pieder pie apgriezienu ķermeņiem.

Konusa sastāvdaļas

Ir šādi konusi veidi: slīpi (vai slīpi) un taisni. Slīps ir tāds, kura ass nekrustojas ar tās pamatnes centru taisnā leņķī. Šī iemesla dēļ augstums šādā konusā nesakrīt ar asi, jo tas ir segments, kas ir nolaists no korpusa augšdaļas uz tā pamatnes plakni 90° leņķī.

Konusu, kura ass ir perpendikulāra tā pamatnei, sauc par taisnu. Ass un augstums šajā ģeometrisks ķermenis sakrīt tāpēc, ka virsotne tajā atrodas virs pamatnes diametra centra.

Konuss sastāv no šādiem elementiem:

1. Aplis, kas ir tā pamats.
2. Sānu virsma.
3. Punkts, kas neatrodas pamatnes plaknē, ko sauc par konusa virsotni.
4. Segmenti, kas savieno ģeometriskā ķermeņa pamatnes apļa punktus un tā virsotni.

Visi šie segmenti ir konusa ģeneratori. Tie ir slīpi pret ģeometriskā ķermeņa pamatni, un taisnā konusa gadījumā to projekcijas ir vienādas, jo virsotne atrodas vienādā attālumā no pamatnes apļa punktiem. Tādējādi varam secināt, ka regulārā (taisnā) konusā ģeneratori ir vienādi, tas ir, tiem ir vienāds garums un tie veido vienādus leņķus ar asi (vai augstumu) un pamatni.

Tā kā slīpā (vai slīpā) rotācijas ķermenī virsotne ir nobīdīta attiecībā pret pamatplaknes centru, ģeneratoriem šādā korpusā ir dažādi garumi un izvirzījumi, jo katrs no tiem atrodas atšķirīgā attālumā no jebkuriem diviem rotācijas punktiem. pamatnes aplis. Turklāt atšķirsies arī leņķi starp tiem un konusa augstums.

Ģenerātru garums taisnā konusā

Kā rakstīts iepriekš, augstums taisnā ģeometriskā apgriezienu korpusā ir perpendikulārs pamatnes plaknei. Tādējādi pamatnes ģenerators, augstums un rādiuss veido taisnleņķa trīsstūri konusā.

Tas ir, zinot bāzes rādiusu un augstumu, izmantojot formulu no Pitagora teorēmas, jūs varat aprēķināt ģenerātora garumu, kas būs vienāds ar bāzes rādiusa un augstuma kvadrātu summu:

l 2 = r 2 + h 2 vai l = √r 2 + h 2

kur l ir ģenerators;

r - rādiuss;

h - augstums.

Ģenerators slīpā konusā

Pamatojoties uz to, ka slīpā vai slīpā konusā ģeneratoriem nav vienāda garuma, tos nevarēs aprēķināt bez papildu konstrukcijām un aprēķiniem.

Pirmkārt, jums jāzina augstums, ass garums un pamatnes rādiuss.

r 1 = √k 2 - h 2

kur r 1 ir rādiusa daļa starp asi un augstumu;

k - ass garums;

h - augstums.

Saskaitot rādiusu (r) un tā daļu, kas atrodas starp asi un augstumu (r 1), var uzzināt visu ģenerēto konusa ģenerātoru, tā augstumu un diametra daļu:

kur R ir trijstūra kāja, ko veido pamatnes augstums, ģenerators un daļa no diametra;

r - pamatnes rādiuss;

r 1 - daļa no rādiusa starp asi un augstumu.

Izmantojot to pašu formulu no Pitagora teorēmas, jūs varat atrast konusa ģenerātora garumu:

l = √h 2 + R 2

vai, atsevišķi neaprēķinot R, apvienojiet abas formulas vienā:

l = √h 2 + (r + r 1) 2.

Neatkarīgi no tā, vai konuss ir taisns vai slīps un kādi ir ievades dati, visas metodes ģenerātora garuma atrašanai vienmēr ir saistītas ar vienu rezultātu - Pitagora teorēmas izmantošanu.

Konusa sadaļa

Aksiālā ir plakne, kas iet gar tās asi vai augstumu. Taisnā konusā šāds posms ir vienādsānu trīsstūris, kurā trijstūra augstums ir ķermeņa augstums, tā malas ir ģeneratori, bet pamatne ir pamatnes diametrs. Vienādmalu ģeometriskā ķermenī aksiālais griezums ir vienādmalu trīsstūris, jo šajā konusā pamatnes diametrs un ģeneratori ir vienādi.

Aksiālās sekcijas plakne taisnā konusā ir tās simetrijas plakne. Iemesls tam ir tas, ka tā augšdaļa atrodas virs tā pamatnes centra, tas ir, aksiālās sekcijas plakne sadala konusu divās identiskās daļās.

Tā kā slīpā tilpuma korpusā augstums un ass nesakrīt, aksiālā griezuma plakne var neiekļaut augstumu. Ja šādā konusā var uzbūvēt daudz aksiālo posmu, jo tam ir jāizpilda tikai viens nosacījums - tam jātiek tikai caur asi, tad plaknes aksiālo posmu, kurai piederēs šī konusa augstums, var uzzīmēt tikai viens, jo nosacījumu skaits palielinās, un, kā zināms, divas taisnes (kopā) var piederēt tikai vienai plaknei.

Sekciju laukums

Iepriekš minētais konusa aksiālais posms ir trīsstūris. Pamatojoties uz to, tā laukumu var aprēķināt, izmantojot trijstūra laukuma formulu:

S = 1/2 * d * h vai S = 1/2 * 2r * h

kur S ir šķērsgriezuma laukums;

d - pamatnes diametrs;

r - rādiuss;

h - augstums.

Slīpā vai slīpā konusā šķērsgriezums pa asi ir arī trīsstūris, tāpēc šķērsgriezuma laukums tajā tiek aprēķināts līdzīgi.

Apjoms

Tā kā konuss ir trīsdimensiju figūra trīsdimensiju telpā, tā tilpumu var aprēķināt. Konusa tilpums ir skaitlis, kas raksturo šo ķermeni tilpuma vienībā, tas ir, m3. Aprēķins nav atkarīgs no tā, vai tas ir taisns vai slīps (slīps), jo šo divu veidu ķermeņu formulas neatšķiras.

Kā minēts iepriekš, taisnā konusa veidošanās notiek taisnleņķa trīsstūra rotācijas dēļ gar vienu no tā kājām. Slīps vai slīps konuss tiek veidots atšķirīgi, jo tā augstums ir novirzīts prom no ķermeņa pamatnes plaknes centra. Tomēr šādas struktūras atšķirības neietekmē tā apjoma aprēķināšanas metodi.

Tilpuma aprēķins

Jebkurš konuss izskatās šādi:

V = 1/3 * π * h * r 2

kur V ir konusa tilpums;

h - augstums;

r - rādiuss;

π ir konstante, kas vienāda ar 3,14.

Lai aprēķinātu ķermeņa augstumu, jums jāzina pamatnes rādiuss un tā ģenerātora garums. Tā kā rādiuss, augstums un ģenerators ir apvienoti taisnleņķa trīsstūrī, augstumu var aprēķināt, izmantojot formulu no Pitagora teorēmas (a 2 + b 2 = c 2 vai mūsu gadījumā h 2 + r 2 = l 2, kur l ir ģenerators). Augstumu aprēķina, ņemot kvadrātsakni no hipotenūzas un otrās kājas kvadrātu starpības:

a = √c 2 - b 2

Tas ir, konusa augstums būs vienāds ar vērtību, kas iegūta pēc kvadrātsaknes no starpības starp ģeneratora garuma kvadrātu un pamatnes rādiusa kvadrātu:

h = √l 2 - r 2

Aprēķinot augstumu, izmantojot šo metodi, un zinot tā pamatnes rādiusu, varat aprēķināt konusa tilpumu. Ģeneratoram šajā gadījumā ir svarīga loma, jo tas kalpo kā palīgelements aprēķinos.

Tāpat, ja ir zināms ķermeņa augstums un tā ģenerātora garums, tā pamatnes rādiusu var uzzināt, ekstrahējot kvadrātsakne no starpības starp ģeneratora kvadrātu un augstuma kvadrātu:

r = √l 2 - h 2

Pēc tam, izmantojot to pašu formulu kā iepriekš, aprēķiniet konusa tilpumu.

Slīpa konusa tilpums

Tā kā konusa tilpuma formula ir vienāda visiem rotācijas ķermeņu veidiem, atšķirība tās aprēķinā ir augstuma meklēšana.

Lai noskaidrotu slīpa konusa augstumu, ievades datos jāiekļauj ģenerātora garums, pamatnes rādiuss un attālums starp pamatnes centru un ķermeņa augstuma krustpunktu ar plakni. no tās bāzes. Zinot to, jūs varat viegli aprēķināt to pamatnes diametra daļu, kas būs taisnleņķa trijstūra pamatne (ko veido pamatnes augstums, ģenerātors un plakne). Pēc tam atkal, izmantojot Pitagora teorēmu, aprēķiniet konusa augstumu un pēc tam tā tilpumu.

Šodien mēs jums pateiksim, kā atrast konusa ģenerātoru, kas bieži ir nepieciešams skolas ģeometrijas uzdevumos.

Konusa ģenerātora jēdziens

Taisns konuss ir figūra, kas iegūta, pagriežot taisnleņķa trīsstūri ap vienu no tā kājām. Konusa pamatne veido apli. Konusa vertikālā daļa ir trīsstūris, horizontālā daļa ir aplis. Konusa augstums ir segments, kas savieno konusa augšdaļu ar pamatnes centru. Konusa ģenerātors ir segments, kas savieno konusa virsotni ar jebkuru punktu uz pamata apļa līnijas.

Tā kā konuss veidojas, pagriežot taisnleņķa trīsstūri, izrādās, ka šāda trijstūra pirmais posms ir augstums, otrais ir apļa rādiuss, kas atrodas pie pamatnes, un hipotenūza ir konusa ģenerātors. Nav grūti uzminēt, ka Pitagora teorēma ir noderīga ģeneratora garuma aprēķināšanai. Un tagad vairāk par to, kā atrast konusa ģenerātora garumu.

Ģeneratora atrašana

Vienkāršākais veids, kā saprast, kā atrast ģeneratoru, ir konkrēts piemērs. Pieņemsim, ka ir doti šādi uzdevuma nosacījumi: augstums ir 9 cm, pamata apļa diametrs ir 18 cm. Nepieciešams atrast ģenerātoru.

Tātad konusa augstums (9 cm) ir viena no taisnleņķa trijstūra kājām, ar kuras palīdzību tika izveidots šis konuss. Otrā kāja būs pamata apļa rādiuss. Rādiuss ir puse no diametra. Tādējādi mums doto diametru sadalām uz pusēm un iegūstam rādiusa garumu: 18:2 = 9. Rādiuss ir 9.

Tagad ir ļoti viegli atrast konusa ģenerātoru. Tā kā tā ir hipotenūza, tās garuma kvadrāts būs vienāds ar summu kāju kvadrāti, tas ir, rādiusa un augstuma kvadrātu summa. Tātad ģeneratora garuma kvadrāts = 64 (rādiusa garuma kvadrāts) + 64 (augstuma garuma kvadrāts) = 64x2 = 128. Tagad mēs ņemam kvadrātsakni no 128. rezultātā mēs iegūstam astoņas saknes no diviem. Tas būs konusa ģenerators.

Kā redzat, šajā jautājumā nav nekā sarežģīta. Piemēram, mēs paņēmām vienkārši nosacījumi uzdevumi tomēr skolas kurss tie var būt sarežģītāki. Atcerieties, ka, lai aprēķinātu ģenerātora garumu, jums jānoskaidro apļa rādiuss un konusa augstums. Zinot šos datus, ir viegli atrast ģenerātora garumu.

Mēs zinām, kas ir konuss, mēģināsim atrast tā virsmas laukumu. Kāpēc jums ir jāatrisina šāda problēma? Piemēram, jums ir jāsaprot, cik daudz mīklas iztērēs vafeļu konusa pagatavošanai? Vai arī cik ķieģeļu vajag, lai uztaisītu pils ķieģeļu jumtu?

Konusa sānu virsmas laukumu vienkārši nevar izmērīt. Bet iedomāsimies to pašu ragu, kas ietīts audumā. Lai atrastu auduma gabala laukumu, tas ir jāizgriež un jāizklāj uz galda. Tas izdosies plakana figūra, mēs varam atrast tās apgabalu.

Rīsi. 1. Konusa griezums gar ģenerātoru

Darīsim to pašu ar konusu. "Sagriežam" to sānu virsma pa jebkuru ģenerātoru, piemēram (skat. 1. att.).

Tagad “atritināsim” sānu virsmu uz plaknes. Mēs iegūstam sektoru. Šī sektora centrs ir konusa virsotne, sektora rādiuss ir vienāds ar konusa ģenerātoru, un tā loka garums sakrīt ar konusa pamatnes apkārtmēru. Šādu sektoru sauc par konusa sānu virsmas attīstību (skat. 2. att.).

Rīsi. 2. Sānu virsmas attīstība

Rīsi. 3. Leņķa mērīšana radiānos

Mēģināsim atrast sektora apgabalu, izmantojot pieejamos datus. Vispirms ieviesīsim apzīmējumu: lai leņķis sektora virsotnē ir radiānos (skat. 3. att.).

Mums bieži nāksies saskarties ar leņķi, kas atrodas problēmu augšpusē. Pagaidām mēģināsim atbildēt uz jautājumu: vai šis leņķis nevar būt lielāks par 360 grādiem? Tas ir, vai neizrādītos, ka slaucīšana pati par sevi pārklājas? Protams, ka nē. Pierādīsim to matemātiski. Ļaujiet skenējumam “pārklāt” sevi. Tas nozīmē, ka slaucīšanas loka garums ir lielāks par rādiusa apļa garumu. Bet, kā jau minēts, slaucīšanas loka garums ir rādiusa apļa garums. Un konusa pamatnes rādiuss, protams, ir mazāks par ģenerātoru, piemēram, jo ​​taisnleņķa trijstūra kāja ir mazāka par hipotenūzu

Tad atcerēsimies divas formulas no planimetrijas kursa: loka garums. Nozares apgabals: .

Mūsu gadījumā lomu spēlē ģenerators , un loka garums ir vienāds ar konusa pamatnes apkārtmēru, tas ir. Mums ir:

Beidzot mēs iegūstam:.

Kopā ar sānu virsmas laukumu var atrast arī laukumu pilna virsma. Lai to izdarītu, pamatnes laukums jāpievieno sānu virsmas laukumam. Bet bāze ir rādiusa aplis, kura laukums saskaņā ar formulu ir vienāds ar .

Beidzot mums ir: , kur ir cilindra pamatnes rādiuss, ir ģenerators.

Atrisināsim pāris uzdevumus, izmantojot dotās formulas.

Rīsi. 4. Nepieciešamais leņķis

1. piemērs. Konusa sānu virsmas attīstība ir sektors ar leņķi virsotnē. Atrodiet šo leņķi, ja konusa augstums ir 4 cm un pamatnes rādiuss ir 3 cm (skat. 4. att.).

Rīsi. 5. Taisns trīsstūris, veidojot konusu

Ar pirmo darbību, saskaņā ar Pitagora teorēmu, mēs atrodam ģeneratoru: 5 cm (sk. 5. att.). Tālāk mēs to zinām .

2. piemērs. Konusa aksiālais šķērsgriezuma laukums ir vienāds ar , augstums ir vienāds ar . Atrodiet kopējo virsmas laukumu (skat. 6. att.).