Definīcija. Prizma ir daudzskaldnis, kura visas virsotnes atrodas divās paralēlās plaknēs un šajās pašās divās plaknēs atrodas divas prizmas skaldnes, kas ir vienādi daudzstūri ar paralēlas malas, un visas malas, kas neatrodas šajās plaknēs, ir paralēlas.

Divas vienādas sejas tiek saukti prizmu pamatnes(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Tiek sauktas visas pārējās prizmas skaldnes sānu sejas(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Veidojas visas sānu sejas prizmas sānu virsma .

Visas prizmas sānu virsmas ir paralelogrami .

Malas, kas neatrodas pie pamatiem, sauc par prizmas sānu malām ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prizmas diagonāle ir segments, kura gali ir divas prizmas virsotnes, kas neatrodas uz vienas virsmas (AD 1).

Tiek saukts segmenta garums, kas savieno prizmas pamatus un ir perpendikulārs abām pamatnēm vienlaikus. prizmas augstums .

Apzīmējums:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Vispirms šķērsošanas secībā tiek norādītas vienas pamatnes virsotnes un pēc tam tādā pašā secībā otras virsotnes; katras sānu malas galus apzīmē ar vieniem un tiem pašiem burtiem, tikai virsotnes atrodas vienā pamatnē ir apzīmēti ar burtiem bez indeksa, bet otrā - ar indeksu)

Prizmas nosaukums ir saistīts ar leņķu skaitu attēlā, kas atrodas tās pamatnē, piemēram, 1. attēlā pie pamatnes ir piecstūris, tāpēc prizmu sauc piecstūra prizma. Bet tāpēc tādai prizmai ir 7 sejas, tad tā septiņskaldnis(2 skaldnes - prizmas pamatnes, 5 skaldnes - paralelogrami, - tās sānu virsmas)

Starp taisnām prizmām izceļas konkrēts veids: parastās prizmas.

Tiek saukta taisna prizma pareizi, ja tā pamati ir regulāri daudzstūri.

Paralēles

Taisnstūra paralēlskaldnis- taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamats ir taisnstūris.

Īpašības un teorēmas:

,

kur d ir kvadrāta diagonāle;
a ir kvadrāta mala.

Priekšstatu par prizmu sniedz:

• dažādi arhitektūras būves;
• bērnu rotaļlietas;
• iepakojuma kastes;
• dizaineru priekšmeti utt.

Prismas kopējās un sānu virsmas laukums

S pilna = S puse + 2S galvenā,

Kur S pilns- kopējais virsmas laukums, S pusē- sānu virsmas laukums, S bāze- bāzes platība

Taisnas prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pamatnes perimetra un prizmas augstuma reizinājumu.

S pusē= P pamata * h,

Kur S pusē- taisnas prizmas sānu virsmas laukums,

P galvenais - taisnas prizmas pamatnes perimetrs,

h ir taisnās prizmas augstums, vienāds ar sānu malu.

Prizmas tilpums

Prizmas tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu.

IN skolas mācību programma Stereometrijas kursā trīsdimensiju figūru izpēte parasti sākas ar vienkāršu ģeometrisku ķermeni - prizmas daudzskaldni. Tās pamatu lomu pilda 2 vienādi daudzstūri, kas atrodas paralēlās plaknēs. Īpašs gadījums ir regulāra četrstūra prizma. Tās pamatnes ir 2 identiski regulāri četrstūri, kuriem ir perpendikulāri puses veidoti kā paralelogrami (vai taisnstūri, ja prizma nav slīpa).

Kā izskatās prizma?

Parasta četrstūra prizma ir sešstūris, kura pamatnes ir 2 kvadrāti, un sānu malas attēlo taisnstūri. Vēl viens nosaukums šim ģeometriskā figūra- taisns paralēlskaldnis.

Zemāk ir parādīts zīmējums, kurā parādīta četrstūra prizma.

Bildē var arī redzēt svarīgākie elementi, kas veido ģeometrisks ķermenis . Tie ietver:

Dažreiz ģeometrijas problēmās jūs varat saskarties ar sadaļas jēdzienu. Definīcija skanēs šādi: sadaļa ir visi tilpuma ķermeņa punkti, kas pieder griešanas plaknei. Sekcija var būt perpendikulāra (krusto figūras malas 90 grādu leņķī). Taisnstūra prizmai tiek ņemta vērā arī diagonālā daļa ( maksimālais daudzums sekcijas, kuras var uzbūvēt - 2), kas iet cauri 2 pamatnes malām un diagonālēm.

Ja griezums ir novilkts tā, ka griešanas plakne nav paralēla ne pamatnēm, ne sānu virsmām, rezultāts ir nogriezta prizma.

Doto prizmatisko elementu atrašanai tiek izmantotas dažādas attiecības un formulas. Daži no tiem ir zināmi no planimetrijas kursa (piemēram, lai atrastu prizmas pamatnes laukumu, pietiek atcerēties kvadrāta laukuma formulu).

Virsmas laukums un tilpums

Lai noteiktu prizmas tilpumu, izmantojot formulu, jums jāzina tās pamatnes laukums un augstums:

V = Sbas h

Tā kā regulāras tetraedriskas prizmas pamatne ir kvadrāts ar malu a, Jūs varat uzrakstīt formulu sīkāk:

V = a²·h

Ja mēs runājam par kubu - parasto prizmu ar vienāds garums, platums un augstums, tilpumu aprēķina šādi:

Lai saprastu, kā atrast prizmas sānu virsmas laukumu, jums ir jāiedomājas tās attīstība.

No zīmējuma redzams, ka sānu virsmu veido 4 vienādi taisnstūri. Tās laukumu aprēķina kā pamatnes perimetra un figūras augstuma reizinājumu:

Sside = Posn h

Ņemot vērā, ka laukuma perimetrs ir vienāds ar P = 4a, formula iegūst šādu formu:

Sside = 4a h

Par kubu:

Side = 4a²

Lai aprēķinātu prizmas kopējo virsmas laukumu, sānu laukumam jāpievieno 2 pamatlaukumi:

Pilns = Sside + 2Smain

Attiecībā uz četrstūrveida regulāru prizmu formula izskatās šādi:

Kopējais = 4a h + 2a²

Par kuba virsmas laukumu:

Pilns = 6a²

Zinot tilpumu vai virsmas laukumu, varat aprēķināt ģeometriskā ķermeņa atsevišķus elementus.

Prizmu elementu atrašana

Bieži vien ir problēmas, kurās ir dots apjoms vai ir zināma sānu virsmas laukuma vērtība, kur nepieciešams noteikt pamatnes malas garumu vai augstumu. Šādos gadījumos formulas var iegūt:

• pamatnes malas garums: a = Sside / 4h = √(V / h);
• augstums vai sānu ribu garums: h = Sside / 4a = V / a²;
• bāzes laukums: Sbas = V / h;
• sānu sejas zona: Sānu gr = Sside / 4.

Lai noteiktu, cik liela platība ir diagonāles sadaļai, jums jāzina diagonāles garums un figūras augstums. Par kvadrātu d = a√2. No tā izriet:

Sdiag = ah√2

Lai aprēķinātu prizmas diagonāli, izmantojiet formulu:

dbalva = √(2a² + h²)

Lai saprastu, kā pielietot dotās attiecības, var vingrināties un atrisināt vairākus vienkāršus uzdevumus.

Problēmu piemēri ar risinājumiem

Šeit ir daži uzdevumi, kas atrodami matemātikas valsts gala eksāmenos.

1. uzdevums.

Smiltis ielej kastē, kas veidota kā regulāra četrstūra prizma. Tā līmeņa augstums ir 10 cm. Kāds būs smilšu līmenis, ja to pārvietosiet tādas pašas formas traukā, bet ar divreiz garāku pamatni?

Tas būtu jāpamato šādi. Smilšu daudzums pirmajā un otrajā konteinerā nemainījās, t.i., to tilpums tajos ir vienāds. Pamatnes garumu var apzīmēt ar a. Šajā gadījumā pirmajā lodziņā vielas tilpums būs:

V₁ = ha² = 10a²

Otrajai kastītei pamatnes garums ir 2a, bet smilšu līmeņa augstums nav zināms:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Kopš V₁ = V₂, mēs varam pielīdzināt izteicienus:

10a² = 4ha²

Samazinot abas vienādojuma puses par a², mēs iegūstam:

Tā rezultātā jauns līmenis smiltis būs h = 10/4 = 2,5 cm.

2. uzdevums.

ABCDA₁B₁C₁D₁ ir pareiza prizma. Ir zināms, ka BD = AB₁ = 6√2. Atrodiet ķermeņa kopējo virsmas laukumu.

Lai būtu vieglāk saprast, kuri elementi ir zināmi, varat uzzīmēt figūru.

Tā kā mēs runājam par parasto prizmu, varam secināt, ka pie pamatnes ir kvadrāts ar diagonāli 6√2. Sānu malas diagonālei ir vienāds izmērs, tāpēc arī sānu virsmai ir kvadrāta forma, kas vienāda ar pamatni. Izrādās, ka visi trīs izmēri – garums, platums un augstums – ir vienādi. Varam secināt, ka ABCDA₁B₁C₁D₁ ir kubs.

Jebkuras malas garums tiek noteikts caur zināmu diagonāli:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Kopējo virsmas laukumu nosaka, izmantojot kuba formulu:

Pilns = 6a² = 6 6² = 216

3. uzdevums.

Telpa tiek remontēta. Ir zināms, ka tā grīdai ir kvadrāta forma ar platību 9 m². Telpas augstums ir 2,5 m. Kādas ir zemākās izmaksas par telpas tapešu ielīmēšanu, ja 1 m² maksā 50 rubļus?

Tā kā grīda un griesti ir kvadrāti, t.i., regulāri četrstūri, un to sienas ir perpendikulāras horizontālām virsmām, varam secināt, ka tā ir regulāra prizma. Ir nepieciešams noteikt tā sānu virsmas laukumu.

Istabas garums ir a = √9 = 3 m.

Teritorija tiks noklāta ar tapetēm Side = 4 3 2,5 = 30 m².

Šīs telpas tapešu izmaksas būs viszemākās 50,30 = 1500 rubļi

Tātad, lai atrisinātu uzdevumus, kas saistīti ar taisnstūra prizmu, pietiek ar iespēju aprēķināt kvadrāta un taisnstūra laukumu un perimetru, kā arī zināt tilpuma un virsmas laukuma atrašanas formulas.

Kā atrast kuba laukumu

Prizma. Paralēles

Prizma ir daudzskaldnis, kura divas skaldnes ir vienādi n-stūri (bāzes) , kas atrodas paralēlās plaknēs, un atlikušās n skaldnes ir paralelogrami (sānu sejas) . Sānu riba To prizmas pusi, kas nepieder pie pamatnes, sauc par prizmas malu.

Tiek saukta prizma, kuras sānu malas ir perpendikulāras pamatu plaknēm tiešā veidā prizma (1. att.). Ja sānu malas nav perpendikulāras pamatu plaknēm, tad sauc prizmu slīpi . Pareizi Prizma ir taisna prizma, kuras pamatnes ir regulāri daudzstūri.

Augstums prizma ir attālums starp pamatu plaknēm. Diagonāli Prizma ir segments, kas savieno divas virsotnes, kas nepieder pie vienas virsmas. Diagonālā sadaļa sauc par prizmas posmu plaknē, kas iet cauri divām sānu malām, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai. Perpendikulārs griezums sauc par prizmas griezumu ar plakni, kas ir perpendikulāra prizmas sānu malai.

Sānu virsmas laukums prizmas ir visu sānu skaldņu laukumu summa. Kopējais virsmas laukums sauc par prizmas visu skaldņu laukumu summu (t.i., sānu skaldņu un pamatņu laukumu summu).

Patvaļīgai prizmai ir patiesas šādas formulas::

Kur l– sānu ribas garums;

H- augstums;

P

J

S pusē

S pilns

S bāze- pamatu laukums;

V– prizmas tilpums.

Taisnai prizmai ir pareizas šādas formulas:

Kur lpp– bāzes perimetrs;

l– sānu ribas garums;

H- augstums.

paralēlskaldnis sauc par prizmu, kuras pamats ir paralelograms. Tiek saukts paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatiem tiešā veidā (2. att.). Ja sānu malas nav perpendikulāras pamatnēm, tad sauc paralelsādi slīpi . Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamats ir taisnstūris taisnstūrveida. Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis ar vienādām malām kubs

Tiek sauktas paralēlskaldņa sejas, kurām nav kopīgu virsotņu pretī . Tiek saukti malu garumi, kas izplūst no vienas virsotnes mērījumi paralēlskaldnis. Tā kā paralēlskaldnis ir prizma, tā galvenie elementi tiek definēti tāpat kā prizmām.

Teorēmas.

1. Paralēlskaldņa diagonāles krustojas vienā punktā un sadala to uz pusēm.

2. Taisnstūra paralēlskaldnis diagonāles garuma kvadrāts ir vienāds ar tā trīs izmēru kvadrātu summu:

3. Visas četras taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles ir vienādas viena ar otru.

Patvaļīgam paralēlskaldnim ir derīgas šādas formulas:

Kur l– sānu ribas garums;

H- augstums;

P– perpendikulāra griezuma perimetrs;

J– Perpendikulārs šķērsgriezuma laukums;

S pusē– sānu virsmas laukums;

S pilns– kopējais virsmas laukums;

S bāze- pamatu laukums;

V– prizmas tilpums.

Labajam paralēlskaldnim ir pareizas šādas formulas:

Kur lpp– bāzes perimetrs;

l– sānu ribas garums;

H– labā paralēlskaldņa augstums.

Taisnstūra paralēlskaldnim ir pareizas šādas formulas:

(3)

Kur lpp– bāzes perimetrs;

H- augstums;

d- pa diagonāli;

a,b,c– paralēlskaldņa mērījumi.

Šādas formulas ir pareizas kubam:

Kur a– ribu garums;

d- kuba diagonāle.

1. piemērs. Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāle ir 33 dm, un tā izmēri ir attiecībā 2: 6: 9. Atrodiet paralēlskaldņa izmērus.

Risinājums. Lai atrastu paralēlskaldņa izmērus, izmantojam formulu (3), t.i. ar to, ka kuboīda hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar tā izmēru kvadrātu summu. Apzīmēsim ar k proporcionalitātes koeficients. Tad paralēlskaldņa izmēri būs vienādi ar 2 k, 6k un 9 k. Uzrakstīsim formulu (3) problēmas datiem:

Atrisinot šo vienādojumu par k, mēs iegūstam:

Tas nozīmē, ka paralēlskaldņa izmēri ir 6 dm, 18 dm un 27 dm.

Atbilde: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

2. piemērs. Atrodiet slīpas trīsstūrveida prizmas tilpumu, kuras pamats ir vienādmalu trīsstūris ar malu 8 cm, ja sānu mala ir vienāda ar pamatnes malu un slīpa 60º leņķī pret pamatni.

Risinājums . Veidosim zīmējumu (3. att.).

Lai atrastu slīpās prizmas tilpumu, jums jāzina tās pamatnes laukums un augstums. Dotās prizmas pamatnes laukums ir laukums vienādmalu trīsstūris ar malu 8 cm Aprēķināsim:

Prizmas augstums ir attālums starp tās pamatnēm. No augšas A 1 no augšējās pamatnes, nolaidiet perpendikulāri apakšējās pamatnes plaknei A 1 D. Tās garums būs prizmas augstums. Apsveriet D A 1 AD: jo tas ir sānu malas slīpuma leņķis A 1 A uz bāzes plakni, A 1 A= 8 cm No šī trīsstūra mēs atrodam A 1 D:

Tagad mēs aprēķinām tilpumu, izmantojot formulu (1):

Atbilde: 192 cm3.

3. piemērs. Pareiza sānu riba sešstūra prizma vienāds ar 14 cm lielākās diagonālās sekcijas laukums ir vienāds ar 168 cm 2. Atrodiet prizmas kopējo virsmas laukumu.

Risinājums. Veidosim zīmējumu (4. att.)

Lielākā diagonālā daļa ir taisnstūris A.A. 1 DD 1 kopš diagonāles AD regulārs sešstūris ABCDEF ir lielākais. Lai aprēķinātu prizmas sānu virsmas laukumu, ir jāzina pamatnes mala un sānu malas garums.

Zinot diagonālās sekcijas laukumu (taisnstūris), mēs atrodam pamatnes diagonāli.

Kopš tā laika

Kopš tā laika AB= 6 cm.

Tad pamatnes perimetrs ir:

Ļaujiet mums atrast prizmas sānu virsmas laukumu:

Parasta sešstūra laukums ar malu 6 cm ir:

Atrodiet prizmas kopējo virsmas laukumu:

Atbilde:

4. piemērs. Labā paralēlskaldņa pamatne ir rombs. Diagonālās šķērsgriezuma laukumi ir 300 cm2 un 875 cm2. Atrodiet paralēlskaldņa sānu virsmas laukumu.

Risinājums. Veidosim zīmējumu (5. att.).

Apzīmēsim romba malu ar A, romba diagonāles d 1 un d 2, paralēlskaldņu augstums h. Lai atrastu labā paralēlskaldņa sānu virsmas laukumu, pamatnes perimetrs jāreizina ar augstumu: (formula (2)). Bāzes perimetrs p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, jo ABCD- rombs H = AA 1 = h. Tas. Vajag atrast A Un h.

Apskatīsim diagonālās sadaļas. AA 1 SS 1 – taisnstūris, kura viena mala ir romba diagonāle AC = d 1, otrā – sānu mala AA 1 = h, Tad

Līdzīgi arī sadaļai BB 1 DD 1 mēs iegūstam:

Izmantojot paralelograma īpašību tādu, ka diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar visu tā malu kvadrātu summu, iegūstam vienādību Iegūstam sekojošo.

Prizmas sānu virsmas laukums. Sveiki! Šajā publikācijā mēs analizēsim stereometrijas problēmu grupu. Apskatīsim ķermeņu kombināciju - prizmu un cilindru. Ieslēgts šobrīdŠis raksts pabeidz visu rakstu sēriju, kas saistīta ar stereometrijas uzdevumu veidu apsvēršanu.

Ja uzdevumu bankā parādīsies jauni, tad, protams, turpmāk blogā būs papildinājumi. Bet ar jau esošo ir pilnīgi pietiekami, lai eksāmena ietvaros uzzinātu, kā atrisināt visas problēmas ar īsu atbildi. Materiāla pietiks gadiem ilgi (matemātikas programma ir statiska).

Piedāvātie uzdevumi ietver prizmas laukuma aprēķināšanu. Es atzīmēju, ka zemāk mēs uzskatām taisnu prizmu (un attiecīgi taisnu cilindru).

Nezinot nekādas formulas, mēs saprotam, ka prizmas sānu virsma ir visas tās sānu virsmas. Taisnai prizmai ir taisnstūra sānu malas.

Šādas prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar visu tās sānu virsmu (tas ir, taisnstūru) laukumu summu. Ja mēs runājam par parastu prizmu, kurā ir ierakstīts cilindrs, tad ir skaidrs, ka visas šīs prizmas skalas ir VIENĀDI taisnstūri.

Formāli parastās prizmas sānu virsmas laukumu var atspoguļot šādi:

27064. Parasta četrstūra prizma ir norobežota ap cilindru, kura pamatnes rādiuss un augstums ir vienāds ar 1. Atrodiet prizmas sānu virsmas laukumu.

Šīs prizmas sānu virsma sastāv no četriem vienāda laukuma taisnstūriem. Sejas augstums ir 1, prizmas pamatnes mala ir 2 (tie ir divi cilindra rādiusi), tāpēc sānu virsmas laukums ir vienāds ar:

Sānu virsmas laukums:

73023. Atrodiet sānu virsmas laukumu regulārai trīsstūrveida prizmai, kas apvilkta ap cilindru, kura pamatnes rādiuss ir √0,12 un augstums ir 3.

Šīs prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar summu trīs kvadrāti sānu malas (taisnstūri). Lai atrastu sānu virsmas laukumu, jums jāzina tā augstums un pamatnes malas garums. Augstums ir trīs. Noskaidrosim pamatnes malas garumu. Apsveriet projekciju (skats no augšas):

Mums ir regulārs trīsstūris kurā ierakstīts aplis ar rādiusu √0.12. No taisnleņķa trīsstūra AOC mēs varam atrast AC. Un tad AD (AD=2AC). Pēc pieskares definīcijas:

Tas nozīmē, ka AD = 2AC = 1,2, sānu virsmas laukums ir vienāds ar:

27066. Atrodiet sānu virsmas laukumu regulārai sešstūra prizmai, kas apzīmēta ap cilindru, kura pamatnes rādiuss ir √75 un augstums ir 1.

Nepieciešamā platība ir vienāda ar visu sānu virsmu laukumu summu. Parastai sešstūra prizmai sānu skaldnēs ir vienādi taisnstūri.

Lai atrastu sejas laukumu, jums jāzina tās augstums un pamatnes malas garums. Augstums ir zināms, tas ir vienāds ar 1.

Noskaidrosim pamatnes malas garumu. Apsveriet projekciju (skats no augšas):

Mums ir regulārs sešstūris, kurā ir ierakstīts aplis ar rādiusu √75.

Apsvērsim taisnleņķa trīsstūris ABO. Mēs zinām kāju OB (tas ir cilindra rādiuss). Varam arī noteikt leņķi AOB, tas ir vienāds ar 300 (trijstūris AOC ir vienādmalu, OB ir bisektrise).

Izmantosim pieskares definīciju taisnleņķa trijstūrī:

AC = 2AB, jo OB ir mediāna, tas ir, tas dala AC uz pusēm, kas nozīmē AC = 10.

Tādējādi sānu virsmas laukums ir 1∙10=10 un sānu virsmas laukums ir:

76485. Atrodiet sānu virsmas laukumu regulārai trīsstūrveida prizmai, kas ierakstīta cilindrā, kura pamatnes rādiuss ir 8√3 un augstums ir 6.

Norādītās trīs vienāda izmēra skaldņu (taisnstūru) prizmas sānu virsmas laukums. Lai atrastu laukumu, ir jāzina prizmas pamatnes malas garums (mēs zinām augstumu). Ja ņemam vērā projekciju (skatu no augšas), mums ir regulārs trīsstūris, kas ierakstīts aplī. Šī trīsstūra malu rādiusā izsaka šādi:

Sīkāka informācija par šīm attiecībām. Tātad tas būs vienāds

Tad sānu virsmas laukums ir: 24∙6=144. Un nepieciešamā platība:

245354. Ap cilindru, kura pamatnes rādiuss ir 2, ir norobežota regulāra četrstūra prizma. Prismas sānu virsmas laukums ir 48. Atrodi cilindra augstumu.

Tas ir vienkārši. Mums ir četras vienāda laukuma sānu virsmas, tāpēc vienas skaldnes laukums ir 48:4=12. Tā kā cilindra pamatnes rādiuss ir 2, tad prizmas pamatnes mala būs agri 4 - tas ir vienāds ar cilindra diametru (tie ir divi rādiusi). Mēs zinām sejas un vienas malas laukumu, otrais augstums būs vienāds ar 12:4=3.

27065. Atrodiet sānu virsmas laukumu regulārai trīsstūrveida prizmai, kas apvilkta ap cilindru, kura pamatnes rādiuss ir √3 un augstums ir 2.

Ar cieņu, Aleksandr.