No pretējās virsotnes) un iegūto reizinājumu sadaliet ar diviem. Tas izskatās šādi:

S = ½ * a * h,

Kur:
S – trijstūra laukums,
a ir tā malas garums,
h ir augstums, kas nolaists uz šo pusi.

Sānu garums un augstums jānorāda vienādās mērvienībās. Šajā gadījumā trīsstūra laukums tiks iegūts attiecīgajās “ ” vienībās.

Piemērs.
20 cm gara skalēna trijstūra vienā pusē ir nolaists perpendikuls no pretējās virsotnes 10 cm garumā.
Nepieciešams trīsstūra laukums.
Risinājums.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Ja ir zināmi jebkuru divu skalēna trijstūra malu garumi un leņķis starp tām, izmantojiet formulu:

S = ½ * a * b * sinγ,

kur: a, b ir divu patvaļīgu malu garumi, un γ ir leņķis starp tām.

Praksē, piemēram, mērot zemes gabalus, iepriekš minēto formulu izmantošana dažkārt ir sarežģīta, jo tas prasa papildu konstrukciju un leņķu mērīšanu.

Ja zināt skalēna trīsstūra visu trīs malu garumus, izmantojiet Herona formulu:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – trijstūra malu garumi,
p – pusperimetrs: p = (a+b+c)/2.

Ja papildus visu malu garumiem ir zināms trijstūrī ierakstītā apļa rādiuss, izmantojiet šādu kompakto formulu:

kur: r – ierakstītā riņķa rādiuss (р – pusperimetrs).

Lai aprēķinātu skalēna trīsstūra laukumu un tā malu garumu, izmantojiet formulu:

kur: R – ierobežotā apļa rādiuss.

Ja ir zināms trijstūra vienas malas garums un trīs leņķi (principā pietiek ar diviem - trešā vērtība tiek aprēķināta no trīsstūra trīs leņķu summas vienādības - 180º), tad izmantojiet formula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

kur α ir malai a pretēja leņķa vērtība;
β, γ – atlikušo divu trīsstūra leņķu vērtības.

Nepieciešamība atrast dažādus elementus, tostarp laukumu trīsstūris, parādījās daudzus gadsimtus pirms mūsu ēras izglītotu astronomu vidū Senā Grieķija. Kvadrāts trīsstūris var aprēķināt Dažādi ceļi izmantojot dažādas formulas. Aprēķina metode ir atkarīga no tā, kuri elementi trīsstūris zināms.

Instrukcijas

Ja no nosacījuma mēs zinām divu malu b, c vērtības un to veidoto leņķi?, tad laukums trīsstūris ABC atrod pēc formulas:
S = (bcsin?)/2.

Ja no nosacījuma mēs zinām divu malu a, b vērtības un to neveidoto leņķi?, tad laukums trīsstūris ABC ir atrodams šādi:
Atrast leņķi?, grēks? = bsin?/a, pēc tam izmantojiet tabulu, lai noteiktu pašu leņķi.
Meklējot leņķi?, ? = 180°-?-?.
Atrodam pašu apgabalu S = (absin?)/2.

Ja no nosacījuma mēs zinām tikai trīs pušu vērtības trīsstūris a, b un c, tad laukums trīsstūris ABC atrod pēc formulas:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), kur p ir pusperimetrs p = (a+b+c)/2

Ja no problēmas apstākļiem mēs zinām augstumu trīsstūris h un puse, uz kuru šis augstums ir pazemināts, tad laukums trīsstūris ABC pēc formulas:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Ja zinām pušu nozīmes trīsstūris a, b, c un par to aprakstīto rādiusu trīsstūris R, tad šī laukums trīsstūris ABC nosaka pēc formulas:
S = abc/4R.
Ja ir zināmas trīs malas a, b, c un ierakstītā rādiuss, tad laukums trīsstūris ABC atrod pēc formulas:
S = pr, kur p ir pusperimetrs, p = (a+b+c)/2.

Ja ABC ir vienādmalu, tad laukumu nosaka pēc formulas:
S = (a^2v3)/4.
Ja trīsstūris ABC ir vienādsānu, tad laukumu nosaka pēc formulas:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, kur c – trīsstūris.
Ja trijstūris ABC ir taisnleņķis, tad laukumu nosaka pēc formulas:
S = ab/2, kur a un b ir kājas trīsstūris.
Ja trijstūris ABC ir taisnsānu vienādsānu trīsstūris, tad laukumu nosaka pēc formulas:
S = c^2/4 = a^2/2, kur c ir hipotenūza trīsstūris, a=b – kāja.

Video par tēmu

Avoti:

• kā izmērīt trīsstūra laukumu

3. padoms: kā atrast trīsstūra laukumu, ja ir zināms leņķis

Lai atrastu apgabalu, nepietiek tikai ar viena parametra (leņķa) zināšanām tre kvadrāts . Ja ir kādi papildu izmēri, tad laukuma noteikšanai var izvēlēties kādu no formulām, kurā kā vienu no zināmajiem mainīgajiem tiek izmantota leņķa vērtība. Tālāk ir norādītas vairākas visbiežāk izmantotās formulas.

Instrukcijas

Ja papildus abu pušu veidotajam leņķa izmēram (γ). tre kvadrāts , ir zināmi arī šo malu garumi (A un B), tad kvadrāts Figūras (S) var definēt kā pusi no šī zināmā leņķa malu garuma un sinusa reizinājuma: S=½×A×B×sin(γ).

Apgabala jēdziens

Jebkuras ģeometriskas figūras, jo īpaši trīsstūra, laukuma jēdziens tiks saistīts ar tādu figūru kā kvadrāts. Jebkuras ģeometriskas figūras laukuma vienībai mēs ņemsim kvadrāta laukumu, kura mala ir vienāda ar vienu. Pilnības labad atcerēsimies divas ģeometrisko figūru laukumu jēdziena pamatīpašības.

1. īpašums: Ja ģeometriskās figūras ir vienādas, tad arī to laukumi ir vienādi.

2. īpašums: Jebkuru figūru var iedalīt vairākās figūrās. Turklāt sākotnējās figūras laukums ir vienāds ar visu to veidojošo figūru laukumu summu.

Apskatīsim piemēru.

1. piemērs

Acīmredzot viena no trijstūra malām ir taisnstūra diagonāle, kuras vienas malas garums ir $5$ (jo ir $5$ šūnas), bet otra ir $6$ (jo ir $6$ šūnas). Tāpēc šī trīsstūra laukums būs vienāds ar pusi no šāda taisnstūra. Taisnstūra laukums ir

Tad trīsstūra laukums ir vienāds ar

Atbilde: 15 ASV dolāri.

Tālāk mēs apsvērsim vairākas metodes trijstūra laukumu atrašanai, proti, augstuma un pamatnes izmantošana, izmantojot Herona formulu un laukumu vienādmalu trīsstūris.

Kā atrast trīsstūra laukumu, izmantojot tā augstumu un pamatni

1. teorēma

Trijstūra laukumu var atrast kā pusi no malas garuma un šīs malas augstuma reizinājuma.

Matemātiski tas izskatās šādi

$S=\frac(1)(2)αh$

kur $a$ ir malas garums, $h$ ir tai pievilktais augstums.

Pierādījums.

Apsveriet trīsstūri $ABC$, kurā $AC=α$. Uz šo pusi tiek novilkts augstums $BH$, kas ir vienāds ar $h$. Izveidosim to līdz kvadrātam $AXYC$, kā parādīts 2. attēlā.

Taisnstūra $AXBH$ laukums ir $h\cdot AH$, bet taisnstūra $HBYC$ laukums ir $h\cdot HC$. Tad

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Tāpēc nepieciešamais trijstūra laukums pēc īpašības 2 ir vienāds ar

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorēma ir pierādīta.

2. piemērs

Atrodiet trijstūra laukumu zemāk esošajā attēlā, ja šūnas laukums ir vienāds ar vienu

Šī trīsstūra pamatne ir vienāda ar $9$ (jo $9$ ir $9$ kvadrāti). Augstums arī ir 9 USD. Tad ar 1. teorēmu mēs iegūstam

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Atbilde: 40,5 USD.

Gārņa formula

2. teorēma

Ja mums ir dotas trīs trijstūra malas $α$, $β$ un $γ$, tad tā laukumu var atrast šādi

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

šeit $ρ$ nozīmē šī trijstūra pusperimetru.

Pierādījums.

Apsveriet šādu attēlu:

Ar Pitagora teorēmu iegūstam no trijstūra $ABH$

No trijstūra $CBH$ saskaņā ar Pitagora teorēmu mums ir

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

No šīm divām attiecībām mēs iegūstam vienlīdzību

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Tā kā $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, tad $α+β+γ=2ρ$, kas nozīmē

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Ar 1. teorēmu mēs iegūstam

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Instrukcijas

ballītes un leņķi tiek uzskatīti par pamatelementiem A. Trīsstūri pilnībā nosaka kāds no tā pamatelementiem: vai nu trīs malas, vai viena mala un divi leņķi, vai divas malas un leņķis starp tām. Par eksistenci trīsstūris ko dod trīs malas a, b, c, ir nepieciešams un pietiek, lai apmierinātu nevienādības, ko sauc par nevienādībām trīsstūris:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Celtniecībai trīsstūris uz trim malām a, b, c no posma CB = a punkta C ir nepieciešams ar kompasu uzzīmēt apli ar rādiusu b. Pēc tam tādā pašā veidā no punkta B uzvelciet apli ar rādiusu, kas vienāds ar malu c. To krustošanās punkts A ir vēlamā trešā virsotne trīsstūris ABC, kur AB=c, CB=a, CA=b - malas trīsstūris. Problēma ir , ja malas a, b, c apmierina nevienādības trīsstūris norādīts 1. darbībā.

Apgabals S uzbūvēts šādā veidā trīsstūris ABC ar zināmām malām a, b, c aprēķina, izmantojot Herona formulu:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
kur a, b, c ir malas trīsstūris, p – pusperimetrs.
p = (a+b+c)/2

Ja trijstūris ir vienādmalu, tas ir, visas tā malas ir vienādas (a=b=c). Laukums trīsstūris aprēķina pēc formulas:
S=(a^2 v3)/4

Ja trīsstūris ir taisnleņķa, tas ir, viens no tā leņķiem ir vienāds ar 90°, un malas, kas to veido, ir kājas, trešā mala ir hipotenūza. IN šajā gadījumā kvadrāts ir vienāds ar kāju reizinājumu, kas dalīts ar divi.
S=ab/2

Atrast kvadrāts trīsstūris, varat izmantot vienu no daudzajām formulām. Izvēlieties formulu atkarībā no tā, kādi dati jau ir zināmi.

Jums būs nepieciešams

• zināšanas par formulām trijstūra laukuma atrašanai

Instrukcijas

Ja zināt vienas malas izmēru un augstuma vērtību, kas nolaista uz šo pusi no tai pretējā leņķa, tad laukumu var atrast, izmantojot sekojošo: S = a*h/2, kur S ir laukums. no trijstūra a ir viena no trijstūra malām, un h - augstums uz a malu.

Ir zināma metode trijstūra laukuma noteikšanai, ja ir zināmas tā trīs malas. Tā ir Herona formula. Lai vienkāršotu tā ierakstīšanu, tiek ieviesta starpvērtība - pusperimetrs: p = (a+b+c)/2, kur a, b, c - . Tad Herona formula ir šāda: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ eksponenci.

Pieņemsim, ka zināt vienu no trijstūra malām un trīs leņķus. Tad ir viegli atrast trīsstūra laukumu: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), kur β ir leņķis, kas ir pretējs malai a, un α un γ ir leņķi, kas atrodas blakus malai.

Video par tēmu

Piezīme

Vispārīgākā formula, kas ir piemērota visiem gadījumiem, ir Herona formula.

Avoti:

3. padoms: kā atrast trīsstūra laukumu, pamatojoties uz trim malām

Trijstūra laukuma atrašana ir viena no visbiežāk sastopamajām problēmām skolas planimetrija. Zinot trīsstūra trīs malas, pietiek, lai noteiktu jebkura trijstūra laukumu. Īpašos vienādmalu trīsstūru gadījumos pietiek zināt attiecīgi divu un vienas malas garumus.

Jums būs nepieciešams

• trijstūra malu garumi, Herona formula, kosinusa teorēma

Instrukcijas

Herona formula trijstūra laukumam ir šāda: S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Ja mēs rakstām pusperimetru p, mēs iegūstam: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Trijstūra laukuma formulu var iegūt no apsvērumiem, piemēram, izmantojot kosinusa teorēmu.

Pēc kosinusa teorēmas AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Izmantojot ieviestos apzīmējumus, tos var rakstīt arī šādā formā: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Tādējādi cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Trijstūra laukumu nosaka arī pēc formulas S = a*c*sin(ABC)/2, izmantojot divas malas un leņķi starp tām. Leņķa ABC sinusu var izteikt caur to, izmantojot pamata trigonometrisko identitāti: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Aizvietojot sinusu apgabala formulā un izrakstot to , jūs varat nonākt pie trijstūra ABC laukuma formulas.

Video par tēmu

Lai veiktu remontdarbus, var būt nepieciešams uzmērīt kvadrāts sienas To ir vieglāk aprēķināt nepieciešamo summu krāsa vai tapetes. Mērījumu veikšanai vislabāk ir izmantot mērlenti vai mērlenti. Mērījumi jāveic pēc sienas tika izlīdzināti.

Jums būs nepieciešams

• -rulete;
• - kāpnes.

Instrukcijas

Saskaitīt kvadrāts sienas, jums jāzina precīzs griestu augstums, kā arī jāmēra garums gar grīdu. Tas tiek darīts šādi: paņemiet centimetru un novietojiet to virs grīdlīstes. Parasti visam garumam nepietiek ar centimetru, tāpēc nostipriniet to stūrī, pēc tam atritiniet līdz maksimālajam garumam. Šajā brīdī atzīmējiet ar zīmuli, pierakstiet iegūto rezultātu un veiciet turpmākos mērījumus tādā pašā veidā, sākot no pēdējā mērījuma punkta.

Standarta griesti ir 2 metri 80 centimetri, 3 metri un 3 metri 20 centimetri atkarībā no mājas. Ja māja celta pirms 50. gadiem, tad visticamāk faktiskais augstums ir nedaudz zemāks par norādīto. Ja jūs rēķināties kvadrāts remontdarbiem, tad neliels piedāvājums nenāks par ļaunu - apsveriet, pamatojoties uz standartu. Ja jums joprojām ir jāzina reālais augums, veiciet mērījumus. Princips ir līdzīgs garuma mērīšanai, taču jums būs nepieciešamas kāpnes.

Reiziniet iegūtos rādītājus - tas ir kvadrāts jūsu sienas. Tiesa, krāsojot vai krāsošanai ir jāatņem kvadrāts durvju un logu ailas. Lai to izdarītu, nolieciet centimetru gar atveri. Ja mēs runājam par durvīm, kuras vēlāk mainīsit, tad turpiniet ar durvju rāmi noņemt, ņemot vērā tikai kvadrāts tieši uz pašu atveri. Loga laukums tiek aprēķināts pa tā rāmja perimetru. Pēc kvadrāts Aprēķinot logu un durvju aili, atņemiet rezultātu no kopējās telpas platības.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka telpas garuma un platuma mērīšanu veic divi cilvēki, tādējādi ir vieglāk nofiksēt centimetru vai mērlenti un attiecīgi iegūt precīzāku rezultātu. Veiciet vienu un to pašu mērījumu vairākas reizes, lai pārliecinātos, ka iegūtie skaitļi ir precīzi.

Video par tēmu

Trijstūra tilpuma atrašana patiešām ir nenozīmīgs uzdevums. Fakts ir tāds, ka trīsstūris ir divdimensiju figūra, t.i. tas pilnībā atrodas vienā plaknē, kas nozīmē, ka tam vienkārši nav tilpuma. Protams, jūs nevarat atrast kaut ko tādu, kas neeksistē. Bet nepadosimies! Mēs varam pieņemt šādu pieņēmumu: divdimensiju figūras tilpums ir tās laukums. Mēs meklēsim trīsstūra laukumu.

Jums būs nepieciešams

• papīra lapa, zīmulis, lineāls, kalkulators

Instrukcijas

Zīmējiet uz papīra lapas, izmantojot lineālu un zīmuli. Rūpīgi izpētot trīsstūri, varat pārliecināties, ka tam tiešām nav trīsstūra, jo tas ir uzzīmēts plaknē. Apzīmējiet trīsstūra malas: vienai malai jābūt malai "a", otrai malai "b" un trešā malai "c". Apzīmējiet trīsstūra virsotnes ar burtiem "A", "B" un "C".

Izmēriet jebkuru trijstūra malu ar lineālu un pierakstiet rezultātu. Pēc tam atjaunojiet perpendikulu izmērītajai pusei no tai pretējās virsotnes, šāds perpendikuls būs trīsstūra augstums. Attēlā redzamajā gadījumā perpendikuls "h" tiek atjaunots uz malu "c" no virsotnes "A". Izmēriet iegūto augstumu ar lineālu un pierakstiet mērījuma rezultātu.

Jums var būt grūti atjaunot precīzu perpendikulu. Šajā gadījumā jums vajadzētu izmantot citu formulu. Izmēriet visas trīsstūra malas ar lineālu. Pēc tam aprēķiniet trijstūra “p” pusperimetru, saskaitot iegūtos malu garumus un dalot to summu uz pusēm. Ja jūsu rīcībā ir pusperimetra vērtība, varat izmantot Herona formulu. Lai to izdarītu, jums ir jāizņem Kvadrātsakne no sekojošā: p(p-a)(p-b)(p-c).

Jūs esat ieguvis nepieciešamo trīsstūra laukumu. Trijstūra tilpuma atrašanas problēma nav atrisināta, taču, kā minēts iepriekš, apjoms nav atrisināts. Jūs varat atrast apjomu, kas būtībā ir trīsstūris trīsdimensiju pasaulē. Ja iedomājamies, ka mūsu sākotnējais trīsstūris ir kļuvis par trīsdimensiju piramīdu, tad šādas piramīdas tilpums būs tās pamatnes garuma reizinājums ar iegūtā trīsstūra laukumu.

Piezīme

Jo rūpīgāk veiksit mērījumus, jo precīzāki būs jūsu aprēķini.

Avoti:

• Kalkulators “Viss visam” - atsauces vērtību portāls
• trīsstūra apjoms 2019. gadā

Trīs punkti, kas unikāli definē trīsstūri Dekarta koordinātu sistēmā, ir tā virsotnes. Zinot to pozīciju attiecībā pret katru koordinātu asi, varat aprēķināt jebkurus tā parametrus plakana figūra, ieskaitot un ierobežots ar tā perimetru kvadrāts. To var izdarīt vairākos veidos.

Instrukcijas

Lai aprēķinātu laukumu, izmantojiet Herona formulu trīsstūris. Tas ietver attēla trīs malu izmērus, tāpēc sāciet aprēķinus ar . Katras malas garumam jābūt vienādam ar tās projekciju garumu kvadrātu summas sakni koordinātu asis. Ja apzīmē koordinātas A(X1,Y1,Z₁), B(X2,Y2,Z2) un C(X3,Y3,Z3), to malu garumus var izteikt šādi: AB = √((X₁- X₂)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X₁-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²).

Lai vienkāršotu aprēķinus, ieviesiet palīgmainīgo - pusperimetru (P). No tā, ka tā ir puse no visu malu garumu summas: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y1-Y₂)² + (Z₁- Z2)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

Trīsstūris ir šāds ģeometriskā figūra, kas sastāv no trim līnijām, kas savienojas punktos, kas neatrodas uz vienas līnijas. Līniju savienojuma punkti ir trijstūra virsotnes, kuras apzīmē ar latīņu burtiem (piemēram, A, B, C). Trijstūra savienojošās taisnās līnijas sauc par segmentiem, kurus arī parasti apzīmē ar latīņu burtiem. Izšķir šādus trīsstūru veidus:

• Taisnstūrveida.
• Stulbs.
• Akūts leņķisks.
• Daudzpusīgs.
• Vienādmalu.
• Vienādsānu.

Vispārīgas formulas trijstūra laukuma aprēķināšanai

Formula trīsstūra laukumam, pamatojoties uz garumu un augstumu

S= a*h/2,
kur a ir trijstūra malas garums, kura laukums ir jāatrod, h ir augstuma garums, kas novilkts līdz pamatnei.

Gārņa formula

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
kur √ ir kvadrātsakne, p ir trijstūra pusperimetrs, a,b,c ir katras trīsstūra malas garums. Trijstūra pusperimetru var aprēķināt, izmantojot formulu p=(a+b+c)/2.

Trijstūra laukuma formula, kuras pamatā ir segmenta leņķis un garums

S = (a*b*sin(α))/2,
Kur b, c ir trijstūra malu garums, sin(α) ir leņķa sinuss starp abām malām.

Formula trīsstūra laukumam, ņemot vērā ierakstītā apļa rādiusu un trīs malas

S=p*r,
kur p ir tā trīsstūra pusperimetrs, kura laukums ir jāatrod, r ir šajā trijstūrī ierakstītā riņķa rādiuss.

Trijstūra laukuma formula, kuras pamatā ir trīs malas un ap to apzīmētā riņķa rādiuss

S= (a*b*c)/4*R,
kur a,b,c ir katras trīsstūra malas garums, R ir ap trijstūri norobežotā riņķa rādiuss.

Trijstūra laukuma formula, izmantojot punktu Dekarta koordinātas

Punktu taisnleņķa koordinātas ir koordinātas xOy sistēmā, kur x ir abscisa, y ir ordināta. Dekarta koordinātu sistēma xOy plaknē ir savstarpēji perpendikulāras skaitliskās asis Ox un Oy ar kopīgs sākums atskaite punktā O. Ja punktu koordinātas šajā plaknē ir norādītas formās A(x1, y1), B(x2, y2) un C(x3, y3), tad varat aprēķināt trīsstūra laukumu izmantojot šādu formulu, kas iegūta no vektora produkts divi vektori.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
kur || apzīmē moduli.

Kā atrast taisnleņķa trīsstūra laukumu

Taisnstūris ir trīsstūris, kura viens leņķis ir 90 grādi. Trijstūrim var būt tikai viens šāds leņķis.

Formula taisnleņķa trīsstūra laukumam no divām pusēm

S= a*b/2,
kur a,b ir kāju garums. Kājas ir malas, kas atrodas blakus taisnam leņķim.

Formula taisnleņķa trīsstūra laukumam, pamatojoties uz hipotenūzu un akūtu leņķi

S = a*b*sin(α)/2,
kur a, b ir trijstūra kājas, un sin(α) ir sinuss leņķim, kurā taisnes a, b krustojas.

Formula taisnleņķa trīsstūra laukumam, pamatojoties uz malu un pretējo leņķi

S = a*b/2*tg(β),
kur a, b ir trijstūra kājas, tan(β) ir leņķa tangenss, pie kura savienojas kājas a, b.

Kā aprēķināt vienādsānu trīsstūra laukumu

Vienādsānu trīsstūris ir trīsstūris, kurā ir divi vienādas puses. Šīs puses sauc par malām, bet otra puse ir pamatne. Lai aprēķinātu vienādsānu trīsstūra laukumu, varat izmantot vienu no šīm formulām.

Pamatformula vienādsānu trīsstūra laukuma aprēķināšanai

S=h*c/2,
kur c ir trijstūra pamatne, h ir trijstūra augstums, kas nolaists līdz pamatnei.

Vienādsānu trijstūra formula, kuras pamatā ir mala un pamatne

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
kur c ir trijstūra pamatne, a ir vienādsānu trīsstūra vienas malas izmērs.

Kā atrast vienādmalu trīsstūra laukumu

Vienādmalu trīsstūris ir trijstūris, kura visas malas ir vienādas. Lai aprēķinātu vienādmalu trīsstūra laukumu, varat izmantot šādu formulu:
S = (√3*a*a)/4,
kur a ir vienādmalu trijstūra malas garums.

Iepriekš minētās formulas ļaus aprēķināt nepieciešamo trīsstūra laukumu. Ir svarīgi atcerēties, ka, lai aprēķinātu trijstūra laukumu, jāņem vērā trīsstūra veids un pieejamie dati, ko var izmantot aprēķinos.

Lai noteiktu trīsstūra laukumu, varat izmantot dažādas formulas. No visām metodēm vienkāršākais un visbiežāk izmantotais ir reizināt augstumu ar pamatnes garumu un pēc tam dalīt rezultātu ar diviem. Tomēr šī metode nebūt nav vienīgā. Zemāk varat lasīt, kā atrast trīsstūra laukumu, izmantojot dažādas formulas.

Atsevišķi mēs apskatīsim veidus, kā aprēķināt noteiktu veidu trijstūri - taisnstūrveida, vienādsānu un vienādmalu - laukumu. Katrai formulai pievienojam īsu skaidrojumu, kas palīdzēs izprast tās būtību.

Universālas metodes trīsstūra laukuma noteikšanai

Tālāk sniegtajās formulās tiek izmantots īpašs apzīmējums. Mēs atšifrēsim katru no tiem:

• a, b, c – aplūkojamās figūras trīs malu garumi;
• r ir apļa rādiuss, ko var ierakstīt mūsu trīsstūrī;
• R ir apļa rādiuss, ko var aprakstīt ap to;
• α ir leņķa lielums, ko veido malas b un c;
• β ir leņķa lielums starp a un c;
• γ ir leņķa lielums, ko veido malas a un b;
• h ir mūsu trīsstūra augstums, kas nolaists no leņķa α uz malu a;
• p – puse no malu a, b un c summas.

Ir loģiski skaidrs, kāpēc šādā veidā var atrast trīsstūra laukumu. Trijstūri var viegli izveidot paralelogrammā, kurā viena trijstūra mala darbosies kā diagonāle. Paralelograma laukumu nosaka, reizinot vienas malas garumu ar tai novilktā augstuma vērtību. Diagonāle sadala šo nosacīto paralelogramu 2 identiskos trīsstūros. Tāpēc ir pilnīgi skaidrs, ka mūsu sākotnējā trīsstūra laukumam jābūt vienādam ar pusi no šī papildu paralelograma laukuma.

S=½ a b sin γ

Saskaņā ar šo formulu trīsstūra laukumu nosaka, reizinot tā divu malu garumus, tas ir, a un b, ar to veidotā leņķa sinusu. Šī formula ir loģiski atvasināta no iepriekšējās. Ja pazemina augstumu no leņķa β uz malu b, tad, atbilstoši īpašībām taisnleņķa trīsstūris, reizinot malas a garumu ar leņķa γ sinusu, iegūstam trijstūra augstumu, tas ir, h.

Attiecīgās figūras laukumu nosaka, reizinot pusi no apļa rādiusa, ko tajā var ierakstīt ar tā perimetru. Citiem vārdiem sakot, mēs atrodam minētā apļa pusperimetra un rādiusa reizinājumu.

S= a b c/4R

Saskaņā ar šo formulu mums nepieciešamo vērtību var atrast, dalot figūras malu reizinājumu ar 4 ap to aprakstītā apļa rādiusiem.

Šīs formulas ir universālas, jo tās ļauj noteikt jebkura trīsstūra laukumu (mērogs, vienādsānu, vienādmalu, taisnstūrveida). To var izdarīt arī, izmantojot sarežģītākus aprēķinus, pie kuriem mēs sīkāk nepakavēsimies.

Trīsstūru laukumi ar specifiskām īpašībām

Kā atrast taisnleņķa trīsstūra laukumu? Šīs figūras īpatnība ir tā, ka tās abas puses vienlaikus ir tās augstums. Ja a un b ir kājas un c kļūst par hipotenūzu, mēs atrodam šādu apgabalu:

Kā atrast vienādsānu trīsstūra laukumu? Tam ir divas malas ar garumu a un viena mala ar garumu b. Līdz ar to tā laukumu var noteikt, dalot ar 2 malas a kvadrāta reizinājumu ar leņķa γ sinusu.

Kā atrast vienādmalu trīsstūra laukumu? Tajā visu malu garums ir vienāds ar a, un visu leņķu lielums ir α. Tā augstums ir vienāds ar pusi reizinājuma no malas a garuma un kvadrātsaknes no 3. Lai atrastu laukumu regulārs trīsstūris, jums jāreizina a malas kvadrāts ar kvadrātsakni no 3 un jādala ar 4.