Prizma. Paralēles
Prizma ir daudzskaldnis, kura divas skaldnes ir vienādas n-stūra (bāzes) , kas atrodas paralēlās plaknēs, un atlikušās n skaldnes ir paralelogrami (sānu sejas) . Sānu riba To prizmas pusi, kas nepieder pie pamatnes, sauc par prizmas malu.
prizma, sānu ribas kuras ir perpendikulāras pamatu plaknēm sauc tiešā veidā prizma (1. att.). Ja sānu malas nav perpendikulāras pamatu plaknēm, tad sauc prizmu slīpi . Pareizi Prizma ir taisna prizma, kuras pamatnes ir regulāri daudzstūri.
Augstums prizma ir attālums starp pamatu plaknēm. Diagonāli Prizma ir segments, kas savieno divas virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai virsotnei. Diagonālā sadaļa sauc par prizmas posmu plaknē, kas iet caur divām sānu malām, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai. Perpendikulārs griezums sauc par prizmas griezumu ar plakni, kas ir perpendikulāra prizmas sānu malai.
Sānu virsmas laukums prizmas ir visu sānu skaldņu laukumu summa. Apgabals pilna virsma sauc par prizmas visu skaldņu laukumu summu (t.i., sānu skaldņu un pamatņu laukumu summu).
Patvaļīgai prizmai ir patiesas šādas formulas::
Kur l– sānu ribas garums;
H- augstums;
P
J
S pusē
S pilns
S bāze- pamatu laukums;
V– prizmas tilpums.
Taisnai prizmai ir pareizas šādas formulas:
Kur lpp– bāzes perimetrs;
l– sānu ribas garums;
H- augstums.
paralēlskaldnis sauc par prizmu, kuras pamats ir paralelograms. Tiek saukts paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatiem tiešā veidā (2. att.). Ja sānu malas nav perpendikulāras pamatnēm, tad tiek saukts paralēlskaldnis slīpi . Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamats ir taisnstūris taisnstūrveida. Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis ar vienādām malām kubs
Tiek sauktas paralēlskaldņa sejas, kurām nav kopīgu virsotņu pretī . Tiek saukti malu garumi, kas izplūst no vienas virsotnes mērījumi paralēlskaldnis. Tā kā paralēlskaldnis ir prizma, tā galvenie elementi tiek definēti tāpat kā prizmām.
Teorēmas.
1. Paralēlskaldņa diagonāles krustojas vienā punktā un ar to tiek sadalītas uz pusēm.
2. Taisnstūra paralēlskaldī diagonāles garuma kvadrāts vienāds ar summu trīs dimensiju kvadrāti: 
3. 
Visas četras taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles ir vienādas viena ar otru.
Patvaļīgam paralēlskaldnim ir derīgas šādas formulas:
Kur l– sānu ribas garums;
H- augstums;
P– perpendikulāra griezuma perimetrs;
J– Perpendikulārs šķērsgriezuma laukums;
S pusē– sānu virsmas laukums;
S pilns– kopējais virsmas laukums;
S bāze- pamatu laukums;
V– prizmas tilpums.
Labajam paralēlskaldnim ir pareizas šādas formulas:
Kur lpp– bāzes perimetrs;
l– sānu ribas garums;
H– labā paralēlskaldņa augstums.
Taisnstūra paralēlskaldnim ir pareizas šādas formulas:
(3)
Kur lpp– bāzes perimetrs;
H- augstums;
d- pa diagonāli;
a,b,c– paralēlskaldņa mērījumi.
Šādas formulas ir pareizas kubam:
Kur a– ribu garums;
d- kuba diagonāle.
1. piemērs. Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāle ir 33 dm, un tā izmēri ir attiecībā 2: 6: 9. Atrodiet paralēlskaldņa izmērus.
Risinājums. Lai atrastu paralēlskaldņa izmērus, izmantojam formulu (3), t.i. ar to, ka kuboīda hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar tā izmēru kvadrātu summu. Apzīmēsim ar k proporcionalitātes koeficients. Tad paralēlskaldņa izmēri būs vienādi ar 2 k, 6k un 9 k. Uzrakstīsim formulu (3) problēmas datiem:
Atrisinot šo vienādojumu par k, mēs iegūstam:
Tas nozīmē, ka paralēlskaldņa izmēri ir 6 dm, 18 dm un 27 dm.
Atbilde: 6 dm, 18 dm, 27 dm.
2. piemērs. Atrodiet slīpuma tilpumu trīsstūrveida prizma, kuras pamatā ir vienādmalu trīsstūris ar malu 8 cm, ja sānu mala ir vienāda ar pamatnes malu un ir 60º leņķī pret pamatni.
Risinājums
.
Veidosim zīmējumu (3. att.).
Lai atrastu slīpās prizmas tilpumu, jums jāzina tās pamatnes laukums un augstums. Šīs prizmas pamatnes laukums ir vienādmalu trīsstūra laukums, kura mala ir 8 cm.
Prizmas augstums ir attālums starp tās pamatnēm. No augšas A 1 no augšējās pamatnes, nolaidiet perpendikulāri apakšējās pamatnes plaknei A 1 D. Tās garums būs prizmas augstums. Apsveriet D A 1 AD: jo tas ir sānu malas slīpuma leņķis A 1 A uz bāzes plakni, A 1 A= 8 cm No šī trīsstūra mēs atrodam A 1 D:
Tagad mēs aprēķinām tilpumu, izmantojot formulu (1):
Atbilde: 192 cm3.
3. piemērs. Regulāras sešstūra prizmas sānu mala ir 14 cm. Lielākās diagonālās sekcijas laukums ir 168 cm2. Atrodiet prizmas kopējo virsmas laukumu.
Risinājums. Veidosim zīmējumu (4. att.)
Lielākā diagonālā daļa ir taisnstūris A.A. 1 DD 1 kopš diagonāles AD regulārs sešstūris ABCDEF ir lielākais. Lai aprēķinātu prizmas sānu virsmas laukumu, ir jāzina pamatnes mala un sānu malas garums.
Zinot diagonālās sekcijas laukumu (taisnstūris), mēs atrodam pamatnes diagonāli.
Kopš tā laika 
Kopš tā laika AB= 6 cm.
Tad pamatnes perimetrs ir:
Ļaujiet mums atrast prizmas sānu virsmas laukumu:
Parasta sešstūra laukums ar malu 6 cm ir:
Atrodiet prizmas kopējo virsmas laukumu:
Atbilde: 
4. piemērs. Labā paralēlskaldņa pamatne ir rombs. Diagonālās šķērsgriezuma laukumi ir 300 cm2 un 875 cm2. Atrodiet paralēlskaldņa sānu virsmas laukumu.
Risinājums. Veidosim zīmējumu (5. att.).
Apzīmēsim romba malu ar A, romba diagonāles d 1 un d 2, paralēlskaldņu augstums h. Lai atrastu labā paralēlskaldņa sānu virsmas laukumu, pamatnes perimetrs jāreizina ar augstumu: (formula (2)). Bāzes perimetrs p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, jo ABCD- rombs H = AA 1 = h. Tas. Vajag atrast A Un h.
Apskatīsim diagonālās sadaļas. AA 1 SS 1 – taisnstūris, kura viena mala ir romba diagonāle AC = d 1, otrā – sānu mala AA 1 = h, Tad
Līdzīgi arī sadaļai BB 1 DD 1 mēs iegūstam:
Izmantojot paralelograma īpašību tādu, ka diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar visu tā malu kvadrātu summu, iegūstam vienādību Iegūstam sekojošo.
Daudzskaldnis
Galvenais stereometrijas izpētes objekts ir telpiskie ķermeņi. Ķermenis apzīmē telpas daļu, ko ierobežo noteikta virsma.
Daudzskaldnis ir ķermenis, kura virsma sastāv no ierobežota skaita plakanu daudzstūru. Daudzskaldni sauc par izliektu, ja tas atrodas katra plaknes daudzstūra plaknes vienā pusē uz tā virsmas. Šādas plaknes un daudzskaldņa virsmas kopīgo daļu sauc mala. Izliekta daudzskaldņa skaldnes ir plakani izliekti daudzstūri. Seju malas sauc daudzskaldņa malas, un virsotnes ir daudzskaldņa virsotnes.
Piemēram, kubs sastāv no sešiem kvadrātiem, kas ir tā sejas. Tajā ir 12 malas (rūtiņu malas) un 8 virsotnes (lauku virsotnes).
Vienkāršākie daudzskaldņi ir prizmas un piramīdas, kuras mēs pētīsim tālāk.
Prizma
Prizmas definīcija un īpašības
Prizma ir daudzskaldnis, kas sastāv no diviem plakaniem daudzstūriem, kas atrodas paralēlās plaknēs, kas apvienoti ar paralēlu translāciju, un visiem segmentiem, kas savieno šo daudzstūru atbilstošos punktus. Tiek saukti daudzstūri prizmu pamatnes, un segmenti, kas savieno atbilstošās daudzstūru virsotnes, ir prizmas sānu malas.
Prizmas augstums sauc par attālumu starp tā pamatu plaknēm (). Tiek saukts segments, kas savieno divas prizmas virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai virsotnei prizmas diagonāle(). Prizmu sauc n-ogleklis, ja tā bāze ir n stūris.
Jebkurai prizmai ir šādas īpašības, kas izriet no tā, ka prizmas pamatnes tiek apvienotas ar paralēlo tulkošanu:
1. Prizmas pamatnes ir vienādas.
2. Prizmas sānu malas ir paralēlas un vienādas.
Prizmas virsma sastāv no pamatnēm un sānu virsma. Prizmas sānu virsmu veido paralelogrami (tas izriet no prizmas īpašībām). Prizmas sānu virsmas laukums ir sānu virsmu laukumu summa.
Taisna prizma
Prizmu sauc tiešā veidā, ja tā sānu malas ir perpendikulāras pamatnēm. Citādi prizmu sauc slīpi.
Taisnās prizmas skaldnes ir taisnstūri. Taisnas prizmas augstums ir vienāds ar tās sānu malām.
Pilnas prizmas virsma sauc par sānu virsmas laukuma un pamatu laukumu summu.
Ar pareizo prizmu sauc par taisno prizmu ar regulāru daudzstūri tās pamatnē.
Teorēma 13.1. Taisnas prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar prizmas perimetra un augstuma reizinājumu (vai, kas ir vienāds, ar sānu malu).
Pierādījums. Taisnās prizmas sānu malas ir taisnstūri, kuru pamatnes ir prizmas pamatos esošo daudzstūru malas, bet augstumi ir prizmas sānu malas. Tad pēc definīcijas sānu virsmas laukums ir:
,
kur ir taisnas prizmas pamatnes perimetrs.
Paralēles
Ja paralelogrami atrodas prizmas pamatos, tad to sauc paralēlskaldnis. Visas paralēlskaldņa skaldnes ir paralelogrami. Šajā gadījumā paralēlskaldņa pretējās virsmas ir paralēlas un vienādas.
Teorēma 13.2. Paralēlskaldņa diagonāles krustojas vienā punktā un tiek dalītas uz pusēm ar krustošanās punktu.
Pierādījums. Apsveriet, piemēram, divas patvaļīgas diagonāles un . Jo paralēlskaldņa sejas ir paralelogrami, tad un , kas nozīmē, ka saskaņā ar To ir divas taisnes, kas ir paralēlas trešajai. Turklāt tas nozīmē, ka taisnas līnijas atrodas vienā plaknē (plaknē). Šī plakne šķērso paralēlas plaknes un gar paralēlām līnijām un . Tādējādi četrstūris ir paralelograms, un pēc paralelograma īpašības tā diagonāles krustojas un tiek dalītas uz pusēm ar krustošanās punktu, kas bija tas, kas bija jāpierāda.
Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamats ir taisnstūris taisnstūra paralēlskaldnis. Visas taisnstūra paralēlskaldņa skaldnes ir taisnstūri. Taisnstūra paralēlskaldņa neparalēlo malu garumus sauc par tā lineārajiem izmēriem (izmēriem). Ir trīs šādi izmēri (platums, augstums, garums).
Teorēma 13.3. Taisnstūra paralēlskaldnis jebkuras diagonāles kvadrāts ir vienāds ar tā trīs dimensiju kvadrātu summu 
(pierādīts, divreiz pielietojot Pitagora T).
Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis ar vienādām malām kubs.
Uzdevumi
13.1. Cik diagonāļu tai ir? n-oglekļa prizma
13.2. Slīpā trīsstūrveida prizmā attālumi starp sānu malām ir 37, 13 un 40. Atrodiet attālumu starp lielāko sānu malu un pretējo malu.
13.3. Caur regulāras trīsstūrveida prizmas apakšējās pamatnes malu tiek novilkta plakne, kas krusto sānu virsmas pa segmentiem ar leņķi starp tiem. Atrodiet šīs plaknes slīpuma leņķi pret prizmas pamatni.
Dažādas prizmas atšķiras viena no otras. Tajā pašā laikā viņiem ir daudz kopīga. Lai atrastu prizmas pamatnes laukumu, jums būs jāsaprot, kāda veida tai ir.
Vispārējā teorija
Prizma ir jebkurš daudzskaldnis puses kuriem ir paralelograma forma. Turklāt tā pamatne var būt jebkurš daudzskaldnis - no trijstūra līdz n-stūrim. Turklāt prizmas pamatnes vienmēr ir vienādas viena ar otru. Tas, kas neattiecas uz sānu virsmām, ir tas, ka to izmērs var ievērojami atšķirties.
Risinot problēmas, saskaras ne tikai ar prizmas pamatnes laukumu. Tas var prasīt zināšanas par sānu virsmu, tas ir, visas sejas, kas nav pamatnes. Pilnīga virsma būs visu prizmu veidojošo seju savienība.
Dažreiz problēmas ir saistītas ar augstumu. Tas ir perpendikulārs pamatnēm. Daudzskaldņa diagonāle ir segments, kas savieno pa pāriem jebkuras divas virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai sejai.
Jāņem vērā, ka taisnas vai slīpas prizmas pamatnes laukums nav atkarīgs no leņķa starp tām un sānu virsmām. Ja tiem ir vienādi skaitļi augšējā un apakšējā virsmā, tad to laukumi būs vienādi.
Trīsstūrveida prizma
Tā pamatnē ir figūra ar trim virsotnēm, tas ir, trīsstūris. Kā jūs zināt, tas var būt atšķirīgs. Ja tā, tad pietiek atcerēties, ka tā laukumu nosaka puse no kāju produkta.
Matemātiskais apzīmējums izskatās šādi: S = ½ av.
Lai uzzinātu pamatnes platību vispārējs skats, noderēs formulas: Gārnis un tas, kurā puse sānu ņemta uz tai pievilkto augstumu.
Pirmā formula jāraksta šādi: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Šis apzīmējums satur pusperimetru (p), tas ir, trīs malu summu, kas dalīta ar divi.
Otrkārt: S = ½ n a * a.
Ja vēlaties noskaidrot trīsstūrveida prizmas pamatnes laukumu, kas ir regulārs, tad trīsstūris izrādās vienādmalu. Tam ir formula: S = ¼ a 2 * √3.
Četrstūra prizma
Tās pamats ir jebkurš no zināmajiem četrstūriem. Tas var būt taisnstūris vai kvadrāts, paralēlskaldnis vai rombs. Katrā gadījumā, lai aprēķinātu prizmas pamatnes laukumu, jums būs nepieciešama sava formula.
Ja pamatne ir taisnstūris, tad tā laukumu nosaka šādi: S = ab, kur a, b ir taisnstūra malas.
Kad runa ir par četrstūra prizmu, tad parastās prizmas pamatnes laukumu aprēķina, izmantojot kvadrāta formulu. Jo viņš ir tas, kurš atrodas pie pamatiem. S = a 2.
Gadījumā, ja bāze ir paralēlskaldnis, būs nepieciešama šāda vienādība: S = a * n a. Gadās, ka ir dota paralēlskaldņa mala un viens no leņķiem. Tad, lai aprēķinātu augstumu, jums būs jāizmanto papildu formula: n a = b * sin A. Turklāt leņķis A atrodas blakus malai “b”, un augstums n ir pretējs šim leņķim.
Ja prizmas pamatnē ir rombs, tad tā laukuma noteikšanai būs nepieciešama tāda pati formula kā paralelogramam (jo tas ir īpašs gadījums). Bet jūs varat arī izmantot šo: S = ½ d 1 d 2. Šeit d 1 un d 2 ir divas romba diagonāles.
Regulāra piecstūra prizma
Šajā gadījumā daudzstūris tiek sadalīts trīsstūros, kuru apgabalus ir vieglāk noskaidrot. Lai gan gadās, ka figūrām var būt atšķirīgs virsotņu skaits.
Tā kā prizmas pamatne ir regulārs piecstūris, to var sadalīt piecos vienādmalu trīsstūros. Tad prizmas pamatnes laukums ir vienāds ar viena šāda trīsstūra laukumu (formulu var redzēt iepriekš), reizināts ar pieci.
Regulāra sešstūra prizma
Saskaņā ar principu, kas aprakstīts piecstūra prizmai, ir iespējams sadalīt pamatnes sešstūri 6 vienādmalu trīsstūros. Šādas prizmas pamatlaukuma formula ir līdzīga iepriekšējai. Tikai to vajadzētu reizināt ar sešiem.
Formula izskatīsies šādi: S = 3/2 a 2 * √3.
Uzdevumi
Nr. 1. Dota regulāra taisne, tās diagonāle ir 22 cm, daudzskaldņa augstums ir 14 cm. Aprēķiniet prizmas pamatnes laukumu un visu virsmu.
Risinājums. Prizmas pamatne ir kvadrāts, bet tās mala nav zināma. Tās vērtību var atrast no kvadrāta diagonāles (x), kas ir saistīta ar prizmas diagonāli (d) un tās augstumu (h). x 2 = d 2 - n 2. No otras puses, šis segments “x” ir hipotenūza trijstūrī, kura kājas ir vienādas ar kvadrāta malu. Tas ir, x 2 = a 2 + a 2. Tādējādi iznāk, ka a 2 = (d 2 - n 2)/2.
Nomainiet skaitli 22, nevis d, un aizstājiet “n” ar tā vērtību - 14, izrādās, ka kvadrāta mala ir 12 cm Tagad vienkārši noskaidrojiet pamatnes laukumu: 12 * 12 = 144 cm 2.
Lai uzzinātu visas virsmas laukumu, jums jāpievieno divreiz lielāks pamatlaukums un četrkāršots sānu laukums. Pēdējo var viegli atrast, izmantojot taisnstūra formulu: reiziniet daudzskaldņa augstumu un pamatnes malu. Tas ir, 14 un 12, šis skaitlis būs vienāds ar 168 cm 2. Prizmas kopējais virsmas laukums izrādās 960 cm2.
Atbilde. Prizmas pamatnes laukums ir 144 cm2. Visa virsma ir 960 cm2.
Nr. 2. Dots Pie pamatnes ir trīsstūris ar malu 6 cm Šajā gadījumā sānu skaldnes diagonāle ir 10 cm. Aprēķiniet laukumus: pamatne un sānu virsma.
Risinājums. Tā kā prizma ir regulāra, tās pamatne ir vienādmalu trīsstūris. Tāpēc tā laukums izrādās vienāds ar 6 kvadrātu, kas reizināts ar ¼ un kvadrātsakni no 3. Vienkāršs aprēķins noved pie rezultāta: 9√3 cm 2. Tas ir viena prizmas pamatnes laukums.
Visas sānu malas ir vienādas un ir taisnstūri ar malām 6 un 10 cm. Lai aprēķinātu to laukumus, vienkārši reiziniet šos skaitļus. Pēc tam reiziniet tos ar trīs, jo prizmai ir tieši tik daudz sānu skaldņu. Tad brūces sānu virsmas laukums izrādās 180 cm2.
Atbilde. Laukumi: pamatne - 9√3 cm 2, prizmas sānu virsma - 180 cm 2.
IN skolas mācību programma Stereometrijas kursā trīsdimensiju figūru izpēte parasti sākas ar vienkāršu ģeometrisku ķermeni - prizmas daudzskaldni. Tās pamatu lomu pilda 2 vienādi daudzstūri, kas atrodas paralēlās plaknēs. Īpašs gadījums ir regulāra četrstūra prizma. Tās pamatnes ir 2 vienādi regulāri četrstūri, kuriem malas ir perpendikulāras, un tiem ir paralelogramu (vai taisnstūru, ja prizma nav slīpa) forma.
Kā izskatās prizma?
Parasta četrstūra prizma ir sešstūris, kura pamatnes ir 2 kvadrāti, un sānu malas attēlo taisnstūri. Vēl viens nosaukums šim ģeometriskā figūra- taisns paralēlskaldnis.
Zemāk ir parādīts zīmējums, kurā parādīta četrstūra prizma.
Bildē arī var redzēt svarīgākie elementi, kas veido ģeometrisks ķermenis . Tie ietver:
Dažreiz ģeometrijas problēmās jūs varat saskarties ar sadaļas jēdzienu. Definīcija skanēs šādi: sadaļa ir visi tilpuma ķermeņa punkti, kas pieder griešanas plaknei. Sekcija var būt perpendikulāra (krusto figūras malas 90 grādu leņķī). Taisnstūra prizmai tiek ņemta vērā arī diagonālā daļa ( maksimālais daudzums sekcijas, kuras var uzbūvēt - 2), kas iet cauri 2 pamatnes malām un diagonālēm.
Ja griezums ir novilkts tā, lai griešanas plakne nebūtu paralēla ne pamatnēm, ne sānu virsmām, rezultāts ir nogriezta prizma.
Doto prizmatisko elementu atrašanai tiek izmantotas dažādas attiecības un formulas. Daži no tiem ir zināmi no planimetrijas kursa (piemēram, lai atrastu prizmas pamatnes laukumu, pietiek atcerēties kvadrāta laukuma formulu).
Virsmas laukums un tilpums
Lai noteiktu prizmas tilpumu, izmantojot formulu, jums jāzina tās pamatnes laukums un augstums:
V = Sbas h
Tā kā regulāras tetraedriskas prizmas pamatne ir kvadrāts ar malu a, Jūs varat uzrakstīt formulu sīkāk:
V = a²·h
Ja mēs runājam par kubu - parasto prizmu ar vienāds garums, platums un augstums, tilpumu aprēķina šādi:
Lai saprastu, kā atrast prizmas sānu virsmas laukumu, jums ir jāiedomājas tās attīstība.
No zīmējuma ir skaidrs, ka sānu virsma sastāv no 4 vienādiem taisnstūriem. Tās laukumu aprēķina kā pamatnes perimetra un figūras augstuma reizinājumu:
Sside = Posn h
Ņemot vērā, ka laukuma perimetrs ir vienāds ar P = 4a, formula iegūst šādu formu:
Sside = 4a h
Par kubu:
Side = 4a²
Lai aprēķinātu prizmas kopējās virsmas laukumu, sānu laukumam jāpievieno 2 pamatlaukumi:
Pilns = Sside + 2Smain
Attiecībā uz četrstūrveida regulāru prizmu formula izskatās šādi:
Kopējais = 4a h + 2a²
Par kuba virsmas laukumu:
Pilns = 6a²
Zinot tilpumu vai virsmas laukumu, varat aprēķināt ģeometriskā ķermeņa atsevišķus elementus.
Prizmu elementu atrašana
Bieži vien ir problēmas, kurās ir dots apjoms vai ir zināma sānu virsmas laukuma vērtība, kur nepieciešams noteikt pamatnes malas garumu vai augstumu. Šādos gadījumos formulas var iegūt:
- pamatnes malas garums: a = Sside / 4h = √(V / h);
- augstums vai sānu ribu garums: h = Sside / 4a = V / a²;
- bāzes laukums: Sbas = V / h;
- sānu sejas zona: Sānu gr = Sside / 4.
Lai noteiktu, cik liela platība ir diagonāles sadaļai, jums jāzina diagonāles garums un figūras augstums. Par kvadrātu d = a√2. No tā izriet:
Sdiag = ah√2
Lai aprēķinātu prizmas diagonāli, izmantojiet formulu:
dbalva = √(2a² + h²)
Lai saprastu, kā pielietot dotās attiecības, var vingrināties un atrisināt vairākus vienkāršus uzdevumus.
Problēmu piemēri ar risinājumiem
Šeit ir daži uzdevumi, kas atrodami matemātikas valsts gala eksāmenos.
1. uzdevums.
Smiltis ielej kastē, kas veidota kā regulāra četrstūra prizma. Tā līmeņa augstums ir 10 cm. Kāds būs smilšu līmenis, ja to pārvietosiet tādas pašas formas traukā, bet ar divreiz garāku pamatni?
Tas būtu jāpamato šādi. Smilšu daudzums pirmajā un otrajā konteinerā nemainījās, t.i., to tilpums tajos ir vienāds. Pamatnes garumu var apzīmēt ar a. Šajā gadījumā pirmajā lodziņā vielas tilpums būs:
V₁ = ha² = 10a²
Otrajai kastītei pamatnes garums ir 2a, bet smilšu līmeņa augstums nav zināms:
V₂ = h (2a)² = 4ha²
Kopš V₁ = V₂, mēs varam pielīdzināt izteicienus:
10a² = 4ha²
Samazinot abas vienādojuma puses par a², mēs iegūstam:
Tā rezultātā jauns līmenis smiltis būs h = 10/4 = 2,5 cm.
2. uzdevums.
ABCDA₁B₁C₁D₁ ir pareiza prizma. Ir zināms, ka BD = AB₁ = 6√2. Atrodiet ķermeņa kopējo virsmas laukumu.
Lai būtu vieglāk saprast, kuri elementi ir zināmi, varat uzzīmēt figūru.
Tā kā mēs runājam par parasto prizmu, varam secināt, ka pie pamatnes ir kvadrāts ar diagonāli 6√2. Sānu malas diagonālei ir vienāds izmērs, tāpēc arī sānu virsmai ir kvadrāta forma, kas vienāda ar pamatni. Izrādās, ka visi trīs izmēri – garums, platums un augstums – ir vienādi. Varam secināt, ka ABCDA₁B₁C₁D₁ ir kubs.
Jebkuras malas garums tiek noteikts caur zināmu diagonāli:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Kopējo virsmas laukumu nosaka, izmantojot kuba formulu:
Pilns = 6a² = 6 6² = 216
3. uzdevums.
Telpa tiek remontēta. Ir zināms, ka tā grīdai ir kvadrāta forma ar platību 9 m². Telpas augstums ir 2,5 m. Kādas ir zemākās izmaksas par telpas tapešu ielīmēšanu, ja 1 m² maksā 50 rubļus?
Tā kā grīda un griesti ir kvadrāti, t.i., regulāri četrstūri, un to sienas ir perpendikulāras horizontālām virsmām, varam secināt, ka tā ir regulāra prizma. Ir nepieciešams noteikt tā sānu virsmas laukumu.
Istabas garums ir a = √9 = 3 m.
Teritorija tiks noklāta ar tapetēm Side = 4 3 2,5 = 30 m².
Zemākās tapetes izmaksas šai telpai būs 50,30 = 1500 rubļi
Tātad, lai atrisinātu uzdevumus, kas saistīti ar taisnstūra prizmu, pietiek ar iespēju aprēķināt kvadrāta un taisnstūra laukumu un perimetru, kā arī zināt tilpuma un virsmas laukuma atrašanas formulas.
Kā atrast kuba laukumu
Definīcija 1. Prizmatiska virsma
Teorēma 1. Par prizmatiskas virsmas paralēliem posmiem
Definīcija 2. Prizmatiskas virsmas perpendikulārs griezums
Definīcija 3. Prizma
Definīcija 4. Prizmas augstums
5. Definīcija. Labā prizma
Teorēma 2. Prizmas sānu virsmas laukums
Paralēlstobrs:
Definīcija 6. Parallelelelepiped
Teorēma 3. Par paralēlskaldņa diagonāļu krustpunktu
7. Definīcija. Labais paralēlskaldnis
Definīcija 8. Taisnstūra paralēlskaldnis
Definīcija 9. Paralēlskaldņa mērījumi
Definīcija 10. Kubs
Definīcija 11. Romboedrs
Teorēma 4. Par taisnstūra paralēlskaldņa diagonālēm
5. teorēma. Prizmas tilpums
6. teorēma. Taisnas prizmas tilpums
7. teorēma. Taisnstūra paralēlskaldņa tilpums
Prizma ir daudzskaldnis, kura divas skaldnes (pamatnes) atrodas paralēlās plaknēs, un malas, kas neatrodas šajās skaldnēs, ir paralēlas viena otrai.
Tiek sauktas citas sejas, izņemot pamatnes sānu.
Sānu virsmu un pamatņu malas sauc prizmas ribiņas, malu galus sauc prizmas virsotnes. Sānu ribas tiek sauktas malas, kas nepieder pie pamatiem. Sānu seju savienību sauc prizmas sānu virsma, un tiek saukta visu seju savienība pilna prizmas virsma. Prizmas augstums sauc par perpendikulu, kas nomests no augšējās pamatnes punkta uz apakšējās pamatnes plakni vai šī perpendikula garumu. 
Tiešā prizma sauc par prizmu, kuras sānu ribas ir perpendikulāras pamatu plaknēm. 
Pareizi sauc par taisnu prizmu (3. att.), kuras pamatnē atrodas regulārs daudzstūris.
Apzīmējumi:
l - sānu riba;
P - bāzes perimetrs;
S o - bāzes platība;
H - augstums;
P^ - perpendikulāra griezuma perimetrs;
S b - sānu virsmas laukums;
V - tilpums;
S p ir prizmas kopējās virsmas laukums.
|
V=SH |
*Tiek pieņemts, ka katras divas secīgās plaknes krustojas un ka pēdējā plakne krustojas ar pirmo
1. teorēma . Prizmatiskas virsmas griezumi plaknēs, kas ir paralēlas viena otrai (bet ne paralēlas tās malām), ir vienādi daudzstūri.
Lai ABCDE un A"B"C"D"E ir prizmatiskas virsmas griezumi pa divām paralēlām plaknēm. Lai pārliecinātos, ka šie divi daudzstūri ir vienādi, pietiek parādīt, ka trijstūri ABC un A"B"C" ir vienādi un tiem ir vienāds griešanās virziens, un tas pats attiecas uz trijstūriem ABD un A"B"D", ABE un A"B"E. Bet šo trīsstūru atbilstošās malas ir paralēlas (piemēram, maiņstrāva ir paralēla maiņstrāvai) kā noteiktas plaknes krustošanās līnija ar divām paralēlām plaknēm; no tā izriet, ka šīs malas ir vienādas (piemēram, AC ir vienāds ar A"C"), tāpat kā paralelograma pretējās malas, un ka šo malu veidotie leņķi ir vienādi un tiem ir vienāds virziens.
2. definīcija . Prizmatiskas virsmas perpendikulārs posms ir šīs virsmas griezums ar plakni, kas ir perpendikulāra tās malām. Pamatojoties uz iepriekšējo teorēmu, visas vienas prizmatiskās virsmas perpendikulārie posmi būs vienādi daudzstūri.
3. definīcija
. Prizma ir daudzskaldnis, ko ierobežo prizmatiska virsma un divas plaknes, kas ir paralēlas viena otrai (bet nav paralēlas prizmatiskās virsmas malām).
Sejas, kas atrodas šajās pēdējās plaknēs, tiek sauktas prizmu pamatnes; sejas, kas pieder prizmatiskajai virsmai - sānu sejas; prizmatiskās virsmas malas - prizmas sānu ribas. Saskaņā ar iepriekšējo teorēmu prizmas bāze ir vienādi daudzstūri. Visas prizmas sānu virsmas - paralelogrami; visas sānu ribas ir vienādas viena ar otru.
Acīmredzot, ja ir dota prizmas ABCDE pamatne un viena no malām AA" pēc izmēra un virziena, tad prizmu var konstruēt, novelkot malas BB", CC", ... vienādas un paralēlas malai AA" .
4. definīcija . Prizmas augstums ir attālums starp tās pamatu plaknēm (HH").
5. definīcija
. Prizmu sauc par taisnu, ja tās pamati ir prizmas virsmas perpendikulāri griezumi. Šajā gadījumā prizmas augstums, protams, ir tā sānu riba; sānu malas būs taisnstūri.
Prizmas var klasificēt pēc sānu virsmu skaita, vienāds skaitlis daudzstūra malas, kas kalpo par pamatu. Tādējādi prizmas var būt trīsstūrveida, četrstūrainas, piecstūrainas utt.
2. teorēma
. Prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar sānu malas un perpendikulārā sekcijas perimetra reizinājumu.
Pieņemsim, ka ABCDEA"B"C"D"E" ir dota prizma un abcde tās perpendikulārais griezums tā, lai nogriežņi ab, bc, .. būtu perpendikulāri tās sānu malām. Seja ABA"B" ir paralelograms; tās laukums ir vienāds ar bāzes AA reizinājumu līdz augstumam, kas sakrīt ar ab; sejas laukums ВСВ "С" ir vienāds ar pamatnes ВВ reizinājumu ar augstumu bc utt. Līdz ar to sānu virsma (t.i., sānu virsmu laukumu summa) ir vienāda ar reizinājumu. sānu malas, citiem vārdiem sakot, segmentu kopējais garums AA", ВВ", .., summai ab+bc+cd+de+ea.