Lielākais kopīgs dalītājs
2. definīcija
Ja dabiskais skaitlis a dalās ar naturālu skaitli $b$, tad $b$ sauc par $a$ dalītāju, un skaitli $a$ sauc par $b$ daudzkārtni.
Lai $a$ un $b$ ir naturāli skaitļi. Skaitli $c$ sauc par $a$ un $b$ kopējo dalītāju.
Skaitļu $a$ un $b$ kopējo dalītāju kopa ir ierobežota, jo neviens no šiem dalītājiem nevar būt lielāks par $a$. Tas nozīmē, ka starp šiem dalītājiem ir lielākais, ko sauc par lielāko kopējo skaitļu $a$ un $b$ dalītāju un apzīmē ar šādu apzīmējumu:
$GCD\(a;b)\ vai \D\(a;b)$
Lai atrastu divu skaitļu lielāko kopīgo dalītāju, jums ir nepieciešams:
- Atrodiet 2. darbībā atrasto skaitļu reizinājumu. Iegūtais skaitlis būs vēlamais lielākais kopējais dalītājs.
1. piemērs
Atrodiet skaitļu $121$ un $132.$ gcd
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Izvēlieties skaitļus, kas ir iekļauti šo skaitļu paplašinājumā
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Atrodiet 2. darbībā atrasto skaitļu reizinājumu. Iegūtais skaitlis būs vēlamais lielākais kopējais dalītājs.
$GCD=2\cdot 11=22$
2. piemērs
Atrodiet monomālu gcd $63$ un $81$.
Atradīsim pēc uzrādītā algoritma. Lai to izdarītu:
Aprēķināsim skaitļus primārajos faktoros
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Mēs izvēlamies skaitļus, kas ir iekļauti šo skaitļu paplašinājumā
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Atradīsim 2. solī atrasto skaitļu reizinājumu. Iegūtais skaitlis būs vēlamais lielākais kopējais dalītājs.
$GCD=3\cdot 3=9$
Divu skaitļu gcd var atrast citā veidā, izmantojot skaitļu dalītāju kopu.
3. piemērs
Atrodiet skaitļu $48$ un $60$ gcd.
Risinājums:
Atradīsim skaitļa $48$ dalītāju kopu: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Tagad atradīsim skaitļa $60 dalītāju kopu:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $
Atradīsim šo kopu krustpunktu: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - šī kopa noteiks skaitļu $48$ un $60 kopīgo dalītāju kopu $. Lielākais elements šajā komplektā būs skaitlis $12$. Tas nozīmē, ka skaitļu $48$ un $60$ lielākais kopīgais dalītājs ir $12$.
INK definīcija
3. definīcija
Dabisku skaitļu kopīgie daudzkārtņi$a$ un $b$ ir naturāls skaitlis, kas ir gan $a$, gan $b$ reizinājums.
Kopējie skaitļu reizinātāji ir skaitļi, kas dalās ar sākotnējiem skaitļiem bez atlikuma. Piemēram, skaitļiem $25$ un $50$ kopējie reizinātāji būs skaitļi $50,100,150,200 $ utt.
Mazākais kopējais daudzkārtnis tiks saukts par mazāko kopējo daudzkārtni un tiks apzīmēts ar LCM$(a;b)$ vai K$(a;b).$
Lai atrastu divu skaitļu LCM, jums ir nepieciešams:
- Faktoru skaitļi pirmfaktoros
- Pierakstiet faktorus, kas ir daļa no pirmā skaitļa, un pievienojiet tiem faktorus, kas ir daļa no otrā un nav daļa no pirmā
4. piemērs
Atrodiet LCM no skaitļiem $99$ un $77$.
Atradīsim pēc uzrādītā algoritma. Šim nolūkam
Faktoru skaitļi pirmfaktoros
99 ASV dolāri = 3\cdot 3\cdot 11 $
Pierakstiet pirmajā iekļautos faktorus
pievienojiet tiem reizinātājus, kas ir daļa no otrā, nevis daļa no pirmā
Atrodiet 2. darbībā atrasto skaitļu reizinājumu. Iegūtais skaitlis būs vēlamais mazākais kopējais reizinājums
$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Skaitļu dalītāju sarakstu sastādīšana bieži vien ir ļoti darbietilpīgs darbs. Ir veids, kā atrast GCD, ko sauc par Eiklīda algoritmu.
Paziņojumi, uz kuriem balstās Eiklīda algoritms:
Ja $a$ un $b$ ir naturāli skaitļi un $a\vdots b$, tad $D(a;b)=b$
Ja $a$ un $b$ ir naturāli skaitļi, piemēram, $b
Izmantojot $D(a;b)= D(a-b;b)$, mēs varam secīgi samazināt aplūkojamos skaitļus, līdz sasniedzam tādu skaitļu pāri, ka viens no tiem dalās ar otru. Tad mazākais no šiem skaitļiem būs vēlamais lielākais kopējais dalītājs skaitļiem $a$ un $b$.
GCD un LCM īpašības
- Jebkurš $a$ un $b$ kopīgs daudzkārtnis dalās ar K$(a;b)$
- Ja $a\vdots b$ , tad К$(a;b)=a$
Ja K$(a;b)=k$ un $m$ ir naturāls skaitlis, tad K$(am;bm)=km$
Ja $d$ ir kopīgs dalītājs vērtībām $a$ un $b$, tad K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Ja $a\vdots c$ un $b\vdots c$ , tad $\frac(ab)(c)$ ir $a$ un $b$ kopīgs daudzkārtnis
Jebkuriem naturāliem skaitļiem $a$ un $b$ spēkā ir vienādība
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
Jebkurš skaitļu $a$ un $b$ kopīgs dalītājs ir skaitļa $D(a;b)$ dalītājs
Otrais numurs: b=
Tūkstoš atdalītājs Bez atstarpes atdalītāja "´
Rezultāts:
Lielākais kopīgais dalītājs gcd( a,b)=6
LCM( a,b)=468
Tiek izsaukts lielākais naturālais skaitlis, kuru bez atlikuma var dalīt ar skaitļiem a un b lielākais kopīgais dalītājs(GCD) no šiem skaitļiem. Apzīmē ar gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) vai hcf(a,b).
Vismazāk sastopamais daudzkārtnis Divu veselu skaitļu a un b LCM ir mazākais dabiskais skaitlis, kas dalās ar a un b bez atlikuma. Apzīmēts ar LCM(a,b) vai lcm(a,b).
Tiek izsaukti veseli skaitļi a un b savstarpēji galvenais, ja tiem nav citu kopīgu dalītāju, izņemot +1 un –1.
Lielākais kopīgais dalītājs
Doti divi pozitīvi skaitļi a 1 un a 2 1). Nepieciešams atrast šo skaitļu kopējo dalītāju, t.i. atrast šādu numuru λ , kas dala skaitļus a 1 un a 2 vienlaicīgi. Aprakstīsim algoritmu.
1) Šajā rakstā vārds skaitlis tiks saprasts kā vesels skaitlis.
Ļaujiet a 1 ≥ a 2 un ļauj
Kur m 1 , a 3 ir daži veseli skaitļi, a 3 <a 2 (nodaļas atlikums a 1 per a 2 jābūt mazākam a 2).
Pieņemsim, ka λ sadala a 1 un a 2 tad λ sadala m 1 a 2 un λ sadala a 1 −m 1 a 2 =a 3 (raksta “Skaitļu dalāmība. Dalāmības pārbaude” 2. apgalvojums). No tā izriet, ka katrs kopīgais dalītājs a 1 un a 2 ir kopējais dalītājs a 2 un a 3. Ir arī otrādi, ja λ kopīgs dalītājs a 2 un a 3 tad m 1 a 2 un a 1 =m 1 a 2 +a 3 arī dalās ar λ . Tāpēc kopējais dalītājs a 2 un a 3 ir arī kopīgs dalītājs a 1 un a 2. Jo a 3 <a 2 ≤a 1, tad varam teikt, ka skaitļu kopīgā dalītāja atrašanas problēmas risinājums a 1 un a 2 reducēts līdz vienkāršākai problēmai atrast kopējo skaitļu dalītāju a 2 un a 3 .
Ja a 3 ≠0, tad varam dalīt a 2 uz a 3. Tad
,
Kur m 1 un a 4 ir daži veseli skaitļi, ( a 4 atlikumi no divīzijas a 2 uz a 3 (a 4 <a 3)). Ar līdzīgu argumentāciju mēs nonākam pie secinājuma, ka kopīgie skaitļu dalītāji a 3 un a 4 sakrīt ar kopējiem skaitļu dalītājiem a 2 un a 3, un arī ar kopīgiem dalītājiem a 1 un a 2. Jo a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... ir skaitļi, kas pastāvīgi samazinās, un tā kā starp ir ierobežots veselu skaitļu skaits a 2 un 0, tad kādā solī n, nodaļas atlikums a n uz a n+1 būs vienāds ar nulli ( a n+2 =0).
.
Katrs kopīgs dalītājs λ cipariem a 1 un a 2 ir arī skaitļu dalītājs a 2 un a 3 , a 3 un a 4 , .... a n un a n+1. Arī otrādi ir skaitļu kopējie dalītāji a n un a n+1 ir arī skaitļu dalītāji a n-1 un a n , .... , a 2 un a 3 , a 1 un a 2. Bet kopējais skaitļu dalītājs a n un a n+1 ir skaitlis a n+1 , jo a n un a n+1 dalās ar a n+1 (atcerieties to a n+2 =0). Līdz ar to a n+1 ir arī skaitļu dalītājs a 1 un a 2 .
Ņemiet vērā, ka numurs a n+1 ir lielākais skaitļu dalītājs a n un a n+1 , kopš lielākā dalītāja a n+1 ir pati par sevi a n+1. Ja a n+1 var attēlot kā veselu skaitļu reizinājumu, tad šie skaitļi ir arī kopīgie skaitļu dalītāji a 1 un a 2. Numurs a n+1 sauc lielākais kopīgais dalītājs cipariem a 1 un a 2 .
Skaitļi a 1 un a 2 var būt pozitīvi vai negatīvi skaitļi. Ja viens no skaitļiem ir vienāds ar nulli, tad šo skaitļu lielākais kopīgais dalītājs būs vienāds ar otra skaitļa absolūto vērtību. Nulles skaitļu lielākais kopīgais dalītājs nav definēts.
Iepriekš minētais algoritms tiek saukts Eiklīda algoritms lai atrastu divu veselu skaitļu lielāko kopīgo dalītāju.
Piemērs divu skaitļu lielākā kopīgā dalītāja atrašanai
Atrodiet divu skaitļu 630 un 434 lielāko kopīgo dalītāju.
- 1. solis. Sadaliet skaitli 630 ar 434. Atlikums ir 196.
- 2. solis. Sadaliet skaitli 434 ar 196. Atlikums ir 42.
- 3. solis. Sadaliet skaitli 196 ar 42. Atlikums ir 28.
- 4. solis. Sadaliet skaitli 42 ar 28. Atlikums ir 14.
- 5. solis. Sadaliet skaitli 28 ar 14. Atlikums ir 0.
5. solī dalījuma atlikums ir 0. Tāpēc skaitļu 630 un 434 lielākais kopīgais dalītājs ir 14. Ņemiet vērā, ka skaitļi 2 un 7 ir arī skaitļu 630 un 434 dalītāji.
Kopirma skaitļi
Definīcija 1. Pieņemsim skaitļu lielāko kopējo dalītāju a 1 un a 2 ir vienāds ar vienu. Tad šie numuri tiek izsaukti pirmskaitļi, kam nav kopīga dalītāja.
Teorēma 1. Ja a 1 un a 2 pirmskaitļi un λ kāds skaitlis, tad jebkurš kopīgs skaitļu dalītājs λa 1 un a 2 ir arī kopīgs skaitļu dalītājs λ Un a 2 .
Pierādījums. Apsveriet Eiklīda algoritmu, lai atrastu lielāko kopējo skaitļu dalītāju a 1 un a 2 (skatīt iepriekš).
.
No teorēmas nosacījumiem izriet, ka lielākais skaitļu kopējais dalītājs a 1 un a 2 un tāpēc a n un a n+1 ir 1. Tas ir a n+1 =1.
Sareizināsim visas šīs vienādības ar λ , Tad
.
Ļaujiet kopējam dalītājam a 1 λ Un a 2 jā δ . Tad δ ir iekļauts kā reizinātājs a 1 λ , m 1 a 2 λ un iekšā a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (sk. "Ciparu dalāmība", 2. apgalvojums). Tālāk δ ir iekļauts kā reizinātājs a 2 λ Un m 2 a 3 λ , un tāpēc ir iekļauts kā faktors a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .
Spriežot šādi, mēs esam pārliecināti δ ir iekļauts kā reizinātājs a n-1 λ Un m n-1 a n λ , un tāpēc iekšā a n-1 λ −m n-1 a n λ =a n+1 λ . Jo a n+1 =1, tad δ ir iekļauts kā reizinātājs λ . Tāpēc numurs δ ir kopējais skaitļu dalītājs λ Un a 2 .
Apskatīsim 1. teorēmas īpašos gadījumus.
Sekas 1. Ļaujiet a Un c Pirmskaitļi ir relatīvi b. Tad viņu produkts ac ir pirmskaitlis attiecībā pret b.
Tiešām. No 1. teorēmas ac Un b ir tādi paši kopīgie dalītāji kā c Un b. Bet skaitļi c Un b salīdzinoši vienkārši, t.i. ir viens kopīgs dalītājs 1. Tad ac Un b ir arī viens kopīgs dalītājs 1. Tāpēc ac Un b savstarpēji vienkārši.
Sekas 2. Ļaujiet a Un b kopskaitļi un ļaujiet b sadala ak. Tad b sadala un k.
Tiešām. No apstiprināšanas nosacījuma ak Un b ir kopīgs dalītājs b. Saskaņā ar 1. teorēmu, b jābūt kopējam dalītājam b Un k. Līdz ar to b sadala k.
1. secinājumu var vispārināt.
Sekas 3. 1. Ļaujiet skaitļiem a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m ir pirmskaitļi attiecībā pret skaitli b. Tad a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, šo skaitļu reizinājums ir pirmreizējais attiecībā pret skaitli b.
2. Pieņemsim divas skaitļu rindas
tā, ka katrs skaitlis pirmajā rindā ir pirmskaitlis attiecībā pret katru skaitli otrajā rindā. Pēc tam produkts
Jums jāatrod skaitļi, kas dalās ar katru no šiem skaitļiem.
Ja skaitlis dalās ar a 1, tad tam ir forma sa 1 kur s kādu numuru. Ja q ir lielākais skaitļu kopējais dalītājs a 1 un a 2, tad
Kur s 1 ir vesels skaitlis. Tad
ir skaitļu vismazākie kopējie reizinātāji a 1 un a 2 .
a 1 un a 2 ir relatīvi pirmskaitļi, tad skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis a 1 un a 2:
Mums jāatrod šo skaitļu mazākais kopīgais reizinājums.
No iepriekš minētā izriet, ka jebkurš skaitļu daudzkārtnis a 1 , a 2 , a 3 ir jābūt skaitļu reizinājumam ε Un a 3 un atpakaļ. Pieņemsim skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni ε Un a 3 jā ε 1. Tālāk, skaitļu daudzkārtņi a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ir jābūt skaitļu reizinājumam ε 1 un a 4. Pieņemsim skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni ε 1 un a 4 jā ε 2. Tādējādi mēs noskaidrojām, ka visi skaitļu daudzkārtņi a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sakrīt ar noteikta skaitļa daudzkārtņiem ε n, ko sauc par doto skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni.
Īpašā gadījumā, kad cipari a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ir relatīvi pirmskaitļi, tad skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis a 1 , a 2, kā parādīts iepriekš, ir forma (3). Nākamais, kopš a 3 pirmskaitlis attiecībā pret skaitļiem a 1 , a 2 tad a 3 pirmskaitlis a 1 · a 2 (1. secinājums). Nozīmē skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni a 1 ,a 2 ,a 3 ir skaitlis a 1 · a 2 · a 3. Spriežot līdzīgi, mēs nonākam pie šādiem apgalvojumiem.
Paziņojums 1. Vismazākais kopskaitļu daudzkārtnis a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ir vienāds ar to reizinājumu a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.
Paziņojums 2. Jebkurš skaitlis, kas dalās ar katru kopskaitli a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m arī dalās ar to reizinājumu a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.
Tālāk sniegtais materiāls ir loģisks turpinājums teorijai no raksta ar nosaukumu LCM — vismazākais daudzkārtnis, definīcija, piemēri, attiecības starp LCM un GCD. Šeit mēs runāsim par vismazāk kopīgā daudzkārtņa atrašana (LCM), un īpašu uzmanību pievērsīsim piemēru risināšanai. Pirmkārt, mēs parādīsim, kā divu skaitļu LCM tiek aprēķināts, izmantojot šo skaitļu GCD. Tālāk mēs aplūkosim mazākā kopskaita atrašanu, skaitļus ierēķinot primārajos faktoros. Pēc tam mēs koncentrēsimies uz trīs vai vairāku skaitļu LCM atrašanu, kā arī pievērsīsim uzmanību negatīvo skaitļu LCM aprēķināšanai.
Lapas navigācija.
Vismazāko kopsavilkumu (LCM) aprēķināšana, izmantojot GCD
Viens veids, kā atrast vismazāko kopskaitu, ir balstīts uz savienojumi starp NOC un GCD. Esošais savienojums starp LCM un GCD ļauj mums aprēķināt divu pozitīvu veselu skaitļu mazāko kopīgo reizinājumu, izmantojot zināmo lielāko kopīgo dalītāju. Atbilstošā formula ir LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Apskatīsim piemērus LCM atrašanai, izmantojot doto formulu.
Piemērs.
Atrodiet divu skaitļu 126 un 70 mazāko kopīgo reizinājumu.
Risinājums.
Šajā piemērā a=126 , b=70 . Izmantosim savienojumu starp LCM un GCD, kas izteikts ar formulu LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Tas ir, vispirms mums tas ir jādara atrast lielāko kopīgo dalītāju skaitļi 70 un 126, pēc kuriem mēs varam aprēķināt šo skaitļu LCM, izmantojot rakstīto formulu.
Atradīsim GCD(126, 70), izmantojot Eiklīda algoritmu: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, tātad GCD(126, 70)=14.
Tagad mēs atrodam nepieciešamo mazāko kopīgo reizni: GCD(126,70)=126·70:GCD(126,70)= 126·70:14=630.
Atbilde:
LCM(126, 70)=630 .
Piemērs.
Ar ko ir vienāds ar LCM(68, 34)?
Risinājums.
Jo 68 dalās ar 34, tad GCD(68, 34)=34. Tagad mēs aprēķinām mazāko kopīgo reizni: GCD(68,34)=68·34:GCD(68,34)= 68·34:34=68.
Atbilde:
LCM(68, 34)=68 .
Ņemiet vērā, ka iepriekšējais piemērs atbilst šādam noteikumam LCM atrašanai pozitīviem veseliem skaitļiem a un b: ja skaitlis a dalās ar b, tad šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir a.
LCM atrašana, iedalot skaitļus primārajos faktoros
Vēl viens veids, kā atrast vismazāko kopskaitu, ir balstīts uz skaitļu iekļaušana primārajos faktoros. Ja sastāda reizinājumu no visiem doto skaitļu pirmfaktoriem un pēc tam no šī reizinājuma izslēdz visus kopīgos pirmkoeficientus, kas ir doto skaitļu dekompozīcijās, tad iegūtais reizinājums būs vienāds ar doto skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni. .
No vienlīdzības izriet noteikums LCM atrašanai LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Patiešām, skaitļu a un b reizinājums ir vienāds ar visu faktoru reizinājumu, kas iesaistīti skaitļu a un b paplašināšanā. Savukārt gcd(a, b) ir vienāds ar visu primāro faktoru reizinājumu, kas vienlaicīgi atrodas skaitļu a un b izvērsumos (kā aprakstīts sadaļā gcd atrašana, skaitļus faktorējot primārajos faktoros).
Sniegsim piemēru. Ļaujiet mums zināt, ka 75=3·5·5 un 210=2·3·5·7. Sastādīsim reizinājumu no visiem šo paplašinājumu faktoriem: 2·3·3·5·5·5·7 . Tagad no šī produkta mēs izslēdzam visus faktorus, kas ir gan skaitļa 75, gan skaitļa 210 paplašināšanā (šādi faktori ir 3 un 5), tad reizinājums būs 2·3·5·5·7. . Šī produkta vērtība ir vienāda ar 75 un 210 mazāko kopīgo reizinātāju, tas ir, NOC(75,210)= 2·3·5·5·7=1050.
Piemērs.
Sakārtojiet skaitļus 441 un 700 primārajos faktoros un atrodiet šo skaitļu mazāko kopīgo daudzkārtni.
Risinājums.
Ieskaitīsim skaitļus 441 un 700 galvenajos faktoros:
Iegūstam 441=3·3·7·7 un 700=2·2·5·5·7.
Tagad izveidosim produktu no visiem faktoriem, kas ir iesaistīti šo skaitļu paplašināšanā: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Izslēgsim no šī produkta visus faktorus, kas vienlaikus ir abos paplašinājumos (tāds ir tikai viens faktors - tas ir skaitlis 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Tādējādi LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Atbilde:
NOC(441; 700) = 44 100 .
Noteikumu LCM atrašanai, izmantojot skaitļu faktorizāciju primārajos faktoros, var formulēt nedaudz savādāk. Ja trūkstošos faktorus no skaitļa b izvērsuma pieskaita faktoriem no skaitļa a izvērsuma, tad iegūtā reizinājuma vērtība būs vienāda ar skaitļu a un b mazāko kopējo daudzkārtni..
Piemēram, ņemsim tos pašus skaitļus 75 un 210, to sadalīšanās pirmfaktoros ir šāda: 75=3·5·5 un 210=2·3·5·7. Pie faktoriem 3, 5 un 5 no skaitļa 75 izvērsuma pievienojam trūkstošos faktorus 2 un 7 no skaitļa 210 izvērsuma, iegūstam reizinājumu 2·3·5·5·7, kura vērtība ir vienāds ar LCM(75, 210).
Piemērs.
Atrodiet skaitļu 84 un 648 mazāko kopīgo daudzkārtni.
Risinājums.
Vispirms iegūstam skaitļu 84 un 648 sadalīšanos pirmfaktoros. Tie izskatās šādi: 84=2·2·3·7 un 648=2·2·2·3·3·3·3. Pie faktoriem 2, 2, 3 un 7 no skaitļa 84 izvērsuma pievienojam trūkstošos faktorus 2, 3, 3 un 3 no skaitļa 648 izvērsuma, iegūstam reizinājumu 2 2 2 3 3 3 3 7, kas ir vienāds ar 4 536 . Tādējādi vēlamais 84 un 648 mazākais kopīgais reizinājums ir 4536.
Atbilde:
LCM(84,648)=4536.
Trīs vai vairāku skaitļu LCM atrašana
Trīs vai vairāku skaitļu mazākais kopīgais reizinājums var atrast, secīgi atrodot divu skaitļu LCM. Atcerēsimies atbilstošo teorēmu, kas dod iespēju atrast trīs vai vairāk skaitļu LCM.
Teorēma.
Ja ir doti pozitīvi veseli skaitļi a 1 , a 2 , …, a k, šo skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni m k atrod, secīgi aprēķinot m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Apskatīsim šīs teorēmas pielietojumu, izmantojot piemēru, kā atrast četru skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni.
Piemērs.
Atrodiet četru skaitļu 140, 9, 54 un 250 LCM.
Risinājums.
Šajā piemērā a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Vispirms atrodam m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Lai to izdarītu, izmantojot Eiklīda algoritmu, mēs nosakām GCD(140, 9), mums ir 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, tāpēc GCD(140, 9)=1 , no kurienes GCD(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140·9:1=1260. Tas ir, m 2 = 1 260.
Tagad mēs atrodam m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Aprēķināsim to caur GCD(1 260, 54), ko arī nosakām, izmantojot Eiklīda algoritmu: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Tad gcd(1,260, 54)=18, no kura gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Tas ir, m 3 = 3 780.
Atliek tikai atrast m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Lai to izdarītu, mēs atrodam GCD(3,780, 250), izmantojot Eiklīda algoritmu: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Tāpēc GCM(3780,250)=10, no kurienes GCM(3780,250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. Tas ir, m 4 = 94 500.
Tātad sākotnējo četru skaitļu mazākais kopīgais reizinājums ir 94 500.
Atbilde:
LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.
Daudzos gadījumos ir ērti atrast trīs vai vairāk skaitļu mazāko kopīgo reizinātāju, izmantojot doto skaitļu pirmfaktorizācijas. Šajā gadījumā jums jāievēro šāds noteikums. Vairāku skaitļu mazākais kopīgais reizinājums ir vienāds ar reizinājumu, ko veido šādi: trūkstošos faktorus no otrā skaitļa paplašināšanas pieskaita visiem faktoriem no pirmā skaitļa paplašināšanas, trūkstošos faktorus no skaitļa paplašināšanas. trešais skaitlis tiek pievienots iegūtajiem faktoriem utt.
Apskatīsim piemēru, kā atrast vismazāko kopējo reizinātāju, izmantojot primāro faktorizāciju.
Piemērs.
Atrodiet piecu skaitļu 84, 6, 48, 7, 143 mazāko kopīgo reizinātāju.
Risinājums.
Pirmkārt, mēs iegūstam šo skaitļu sadalīšanu pirmfaktoros: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 (7 – pirmskaitlis, tas sakrīt ar tā sadalīšanos pirmfaktoros) un 143=11·13.
Lai atrastu šo skaitļu LCM, pirmā skaitļa 84 faktoriem (tie ir 2, 2, 3 un 7), jums jāpievieno trūkstošie faktori no otrā skaitļa 6 paplašinājuma. Skaitļa 6 dekompozīcija nesatur trūkstošos faktorus, jo gan 2, gan 3 jau ir klāt pirmā skaitļa 84 sadalīšanā. Tālāk pie faktoriem 2, 2, 3 un 7 pievienojam trūkstošos faktorus 2 un 2 no trešā skaitļa 48 izvērsuma, iegūstam faktoru 2, 2, 2, 2, 3 un 7 kopu. Nākamajā solī šai kopai nebūs jāpievieno reizinātāji, jo tajā jau ir ietverts 7. Visbeidzot, faktoriem 2, 2, 2, 2, 3 un 7 mēs pievienojam trūkstošos faktorus 11 un 13 no skaitļa 143 izvērsuma. Iegūstam reizinājumu 2·2·2·2·3·7·11·13, kas ir vienāds ar 48 048.