Uzrakstiet plaknes vienādojumu, izmantojot 3 punktus. Plaknes vienādojums. Kā uzrakstīt plaknes vienādojumu? Lidmašīnu savstarpēja izkārtošana. Uzdevumi

Jūs varat iestatīt dažādos veidos(viens punkts un vektors, divi punkti un vektors, trīs punkti utt.). Paturot to prātā, var būt plaknes vienādojums dažādi veidi. Tāpat, ievērojot noteiktus nosacījumus, plaknes var būt paralēlas, perpendikulāras, krustojas utt. Mēs par to runāsim šajā rakstā. Mēs iemācīsimies izveidot vispārīgu plaknes vienādojumu un daudz ko citu.

Normāla vienādojuma forma

Pieņemsim, ka ir telpa R 3, kurai ir taisnstūra XYZ koordinātu sistēma. Definēsim vektoru α, kas tiks atbrīvots no sākuma punkta O. Caur vektora α galu novelkam plakni P, kas būs tam perpendikulāra.

Apzīmēsim patvaļīgu punktu uz P kā Q = (x, y, z). Punkta Q rādiusa vektoru parakstīsim ar burtu p. Šajā gadījumā vektora α garums ir vienāds ar р=IαI un Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Šis ir vienības vektors, kas ir vērsts uz sāniem, tāpat kā vektors α. α, β un γ ir leņķi, kas veidojas attiecīgi starp vektoru Ʋ un telpas asu x, y, z pozitīvajiem virzieniem. Jebkura punkta QϵП projekcija uz vektoru Ʋ ir nemainīga vērtība, kas ir vienāda ar p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Iepriekš minētajam vienādojumam ir jēga, ja p = 0. Vienīgais, ka plakne P šajā gadījumā krustos punktu O (α = 0), kas ir koordinātu sākumpunkts, un no punkta O atbrīvotais vienības vektors Ʋ būs perpendikulārs P, neskatoties uz tā virzienu, kas nozīmē, ka vektors Ʋ ir noteikts ar precizitāti līdz zīmei. Iepriekšējais vienādojums ir mūsu plaknes P vienādojums, kas izteikts vektora formā. Bet koordinātēs tas izskatīsies šādi:

P šeit ir lielāks vai vienāds ar 0. Mēs esam atraduši plaknes vienādojumu telpā normālā formā.

Vispārējais vienādojums

Ja vienādojumu koordinātēs reizinām ar jebkuru skaitli, kas nav vienāds ar nulli, mēs iegūstam vienādojumu, kas ir ekvivalents šim, definējot šo plakni. Tas izskatīsies šādi:

Šeit A, B, C ir skaitļi, kas vienlaikus atšķiras no nulles. Šo vienādojumu sauc par vispārējo plaknes vienādojumu.

Plakņu vienādojumi. Īpaši gadījumi

Vienādojums iekšā vispārējs skats var tikt mainīti, ievērojot papildu nosacījumus. Apskatīsim dažus no tiem.

Pieņemsim, ka koeficients A ir 0. Tas nozīmē, ka šī plakne ir paralēla dotajai Ox asij. Šajā gadījumā mainīsies vienādojuma forma: Ву+Cz+D=0.

Tāpat vienādojuma forma mainīsies šādos apstākļos:

• Pirmkārt, ja B = 0, tad vienādojums mainīsies uz Ax + Cz + D = 0, kas norāda uz paralēlismu Oy asij.
• Otrkārt, ja C=0, tad vienādojums tiks pārveidots par Ax+By+D=0, kas norādīs uz paralēlismu ar doto Oz asi.
• Treškārt, ja D=0, vienādojums izskatīsies kā Ax+By+Cz=0, kas nozīmēs, ka plakne krustojas ar O (izcelsme).
• Ceturtkārt, ja A=B=0, tad vienādojums mainīsies uz Cz+D=0, kas izrādīsies paralēli Oxy.
• Piektkārt, ja B=C=0, tad vienādojums kļūst par Ax+D=0, kas nozīmē, ka plakne uz Oyz ir paralēla.
• Sestkārt, ja A=C=0, tad vienādojums ieņems formu Ву+D=0, tas ir, tas ziņos par paralēlismu Oxz.

Vienādojuma veids segmentos

Gadījumā, ja skaitļi A, B, C, D atšķiras no nulles, vienādojuma (0) forma var būt šāda:

x/a + y/b + z/c = 1,

kurā a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Rezultātā ir vērts atzīmēt, ka šī plakne krustos Vērša asi punktā ar koordinātām (a,0,0), Oy - (0,b,0) un Oz - (0,0,c). ).

Ņemot vērā vienādojumu x/a + y/b + z/c = 1, nav grūti vizuāli iedomāties plaknes izvietojumu attiecībā pret doto koordinātu sistēmu.

Normālas vektora koordinātas

Normālajam vektoram n plaknei P ir koordinātes, kas ir koeficienti vispārējais vienādojums noteiktas plaknes, tas ir, n (A, B, C).

Lai noteiktu normālās n koordinātas, pietiek zināt dotās plaknes vispārīgo vienādojumu.

Lietojot segmentos vienādojumu, kura forma ir x/a + y/b + z/c = 1, tāpat kā, izmantojot vispārīgu vienādojumu, var uzrakstīt jebkura dotas plaknes normālvektora koordinātas: (1/a + 1/b + 1/ Ar).

Ir vērts atzīmēt, ka parastais vektors palīdz atrisināt dažādas problēmas. Visizplatītākās ir problēmas, kas saistītas ar plakņu perpendikularitātes vai paralēlisma pierādīšanu, problēmas atrast leņķus starp plaknēm vai leņķus starp plaknēm un taisnēm.

Plaknes vienādojuma veids pēc punkta un normālvektora koordinātām

Nenulles vektoru n, kas ir perpendikulārs noteiktai plaknei, sauc par normālu konkrētai plaknei.

Pieņemsim, ka koordinātu telpā (taisnstūra koordinātu sistēmā) Oxyz ir doti:

• punkts Mₒ ar koordinātām (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulles vektors n=A*i+B*j+C*k.

Ir nepieciešams izveidot vienādojumu plaknei, kas iet caur punktu Mₒ perpendikulāri normālajam n.

Izvēlamies jebkuru patvaļīgu telpas punktu un apzīmējam to ar M (x y, z). Lai jebkura punkta M (x,y,z) rādiusa vektors ir r=x*i+y*j+z*k, bet punkta Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) rādiusa vektors - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punkts M piederēs noteiktai plaknei, ja vektors MₒM ir perpendikulārs vektoram n. Uzrakstīsim ortogonalitātes nosacījumu, izmantojot skalāro reizinājumu:

[MₒM, n] = 0.

Tā kā MₒM = r-rₒ, plaknes vektora vienādojums izskatīsies šādi:

Šim vienādojumam var būt cita forma. Lai to izdarītu, tiek izmantotas skalārā reizinājuma īpašības, un transformācija ir kreisā puse vienādojumi

= -. Ja to apzīmējam ar c, iegūstam šādu vienādojumu: - c = 0 vai = c, kas izsaka projekciju noturību uz doto plaknei piederošo punktu rādiusu vektoru normālu vektoru.

Tagad mēs varam iegūt koordinātu formu mūsu plaknes vektora vienādojuma rakstīšanai = 0. Tā kā r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, un n = A*i+B *j+С*k, mums ir:

Izrādās, ka mums ir vienādojums plaknei, kas iet caur punktu, kas ir perpendikulārs normālajam n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Plaknes vienādojuma veids pēc divu punktu koordinātām un plaknei kolineāra vektora

Norādīsim divus patvaļīgus punktus M′ (x′,y′,z′) un M″ (x″,y″,z″), kā arī vektoru a (a′,a″,a‴). Tagad varam izveidot vienādojumu dotai plaknei, kas paralēli ies caur esošajiem punktiem M′ un M″, kā arī jebkuru punktu M ar koordinātām (x, y, z). dots vektors

A.

Šajā gadījumā vektoriem M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) un M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) jābūt vienā plaknē ar vektoru. a=(a′,a″,a‴), kas nozīmē, ka (M′M, M″M, a)=0.

Tātad mūsu plaknes vienādojums kosmosā izskatīsies šādi:

Trīs punktus krustojošas plaknes vienādojuma veids

Pieņemsim, ka mums ir trīs punkti: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), kas nepieder pie vienas līnijas. Ir nepieciešams uzrakstīt vienādojumu plaknei, kas iet caur dotajiem trim punktiem. Ģeometrijas teorija apgalvo, ka šāda veida plakne patiešām pastāv, taču tā ir vienīgā un unikāla. Tā kā šī plakne krusto punktu (x′,y′,z′), tās vienādojuma forma būs šāda:

Šeit A, B, C vienlaikus atšķiras no nulles. Tāpat dotā plakne krusto vēl divus punktus: (x″,y″,z″) un (x‴,y‴,z‴). Šajā sakarā ir jāievēro šādi nosacījumi:

Tagad mēs varam izveidot viendabīgu sistēmu ar nezināmajiem u, v, w: Mūsu vai z darbojas kā patvaļīgs punkts, kas apmierina (1) vienādojumu. Ņemot vērā (1) vienādojumu un (2) un (3) vienādojumu sistēmu, iepriekš attēlā norādīto vienādojumu sistēmu apmierina vektors N (A,B,C), kas nav triviāls. Tāpēc šīs sistēmas determinants ir vienāds ar nulli.

Iegūtais vienādojums (1) ir plaknes vienādojums. Tas precīzi iet cauri 3 punktiem, un to ir viegli pārbaudīt. Lai to izdarītu, mums ir jāpaplašina mūsu determinants pirmās rindas elementos. No esošajām determinanta īpašībām izriet, ka mūsu plakne vienlaikus krusto trīs sākotnēji dotos punktus (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Respektīvi, esam atrisinājuši mums uzdoto uzdevumu.

Divšķautņu leņķis starp plaknēm

Divšķautņu leņķis apzīmē telpisku ģeometriskā figūra, ko veido divas pusplaknes, kas izplūst no vienas taisnes. Citiem vārdiem sakot, šī ir telpas daļa, ko ierobežo šīs pusplaknes.

Pieņemsim, ka mums ir divas plaknes ar šādiem vienādojumiem:

Mēs zinām, ka vektori N=(A,B,C) un N¹=(A¹,B¹,C¹) ir perpendikulāri dotajām plaknēm. Šajā sakarā leņķis φ starp vektoriem N un N¹ ir vienāds ar leņķi (dihedral), kas atrodas starp šīm plaknēm. Punktu produkts ir šāda forma:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

tieši tāpēc

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Pietiek ņemt vērā, ka 0≤φ≤π.

Faktiski divas plaknes, kas krustojas, veido divus leņķus (dihedral): φ 1 un φ 2. To summa ir vienāda ar π (φ 1 + φ 2 = π). Kas attiecas uz to kosinusiem, to absolūtās vērtības ir vienādas, taču tās atšķiras pēc zīmes, tas ir, cos φ 1 = -cos φ 2. Ja vienādojumā (0) mēs aizstājam A, B un C ar attiecīgi skaitļiem -A, -B un -C, tad iegūtais vienādojums noteiks to pašu plakni, vienīgo, leņķi φ vienādojumā cos. φ= NN 1 /| N||N 1 | tiks aizstāts ar π-φ.

Perpendikulāras plaknes vienādojums

Plaknes, starp kurām leņķis ir 90 grādi, sauc par perpendikulārām. Izmantojot iepriekš sniegto materiālu, mēs varam atrast plaknes vienādojumu, kas ir perpendikulāra citai. Pieņemsim, ka mums ir divas plaknes: Ax+By+Cz+D=0 un A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Var teikt, ka tie būs perpendikulāri, ja cosφ=0. Tas nozīmē, ka NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Paralēlās plaknes vienādojums

Divas plaknes, kurās nav kopīgu punktu, sauc par paralēlām.

Nosacījums (to vienādojumi ir tādi paši kā iepriekšējā punktā) ir tāds, ka vektori N un N¹, kas ir tiem perpendikulāri, ir kolineāri. Tas nozīmē, ka ir ievēroti šādi proporcionalitātes nosacījumi:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Ja proporcionalitātes nosacījumi tiek paplašināti - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

tas norāda, ka šīs plaknes sakrīt. Tas nozīmē, ka vienādojumi Ax+By+Cz+D=0 un A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 apraksta vienu plakni.

Attālums līdz plaknei no punkta

Pieņemsim, ka mums ir plakne P, kas tiek dota ar vienādojumu (0). Jāatrod attālums līdz tam no punkta ar koordinātām (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Lai to izdarītu, plaknes P vienādojums jāieved normālā formā:

(ρ,v)=р (р≥0).

IN šajā gadījumāρ (x,y,z) ir mūsu punkta Q rādiusa vektors, kas atrodas uz P, p ir perpendikula P garums, kas tika atbrīvots no nulles punkta, v ir vienības vektors, kas atrodas virzienā a.

Kāda punkta Q = (x, y, z) atšķirības ρ-ρº rādiusa vektors, kas pieder pie P, kā arī dotā punkta rādiusa vektors Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) ir tāds vektors, projekcijas absolūtā vērtība uz v ir vienāda ar attālumu d, kas jāatrod no Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) līdz P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, bet

(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ 0,v) =р-(ρ 0,v).

Tātad izrādās

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Tādējādi mēs atradīsim iegūtās izteiksmes absolūto vērtību, tas ir, vēlamo d.

Izmantojot parametru valodu, mēs iegūstam acīmredzamo:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Ja iestatītais punkts Q 0 atrodas plaknes P otrā pusē, tāpat kā koordinātu sākumpunkts, tad starp vektoru ρ-ρ 0 un v atrodas tāpēc:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Gadījumā, ja punkts Q 0 kopā ar koordinātu sākumpunktu atrodas P vienā pusē, tad izveidotais leņķis ir akūts, tas ir:

d=(ρ-ρ 0,v)=р - (ρ 0, v)>0.

Rezultātā izrādās, ka pirmajā gadījumā (ρ 0 ,v)>р, otrajā (ρ 0 ,v)<р.

Pieskares plakne un tās vienādojums

Virsmas pieskares plakne saskares punktā Mº ir plakne, kurā ir visas iespējamās pieskares līknēm, kas novilktas caur šo virsmas punktu.

Izmantojot šāda veida virsmas vienādojumu F(x,y,z)=0, pieskares plaknes vienādojums pieskares punktā Mº(xº,yº,zº) izskatīsies šādi:

F x (xº,yº,zº)(x-xº)+ F x (xº, yº, zº) (y-yº)+ F x (xº, yº,zº) (z-zº)=0.

Ja virsmu norādāt precīzā formā z=f (x,y), tad pieskares plakne tiks aprakstīta ar vienādojumu:

z-zº =f(xº,yº)(x-xº)+f(xº,yº)(y-yº).

Divu plakņu krustojums

Koordinātu sistēmā (taisnstūrveida) atrodas Oxyz, ir dotas divas plaknes П′ un П″, kas krustojas un nesakrīt. Tā kā jebkura plakne, kas atrodas taisnstūra koordinātu sistēmā, tiek noteikta ar vispārīgu vienādojumu, mēs pieņemsim, ka P′ un P″ ir doti ar vienādojumu A′x+B′y+C′z+D′=0 un A″x. +B″y+ С″z+D″=0. Šajā gadījumā mums ir plaknes P′ normālais n′ (A′,B′,C′) un plaknes P″ normālais n″ (A″,B″,C″). Tā kā mūsu plaknes nav paralēlas un nesakrīt, šie vektori nav kolineāri. Izmantojot matemātikas valodu, šo nosacījumu varam uzrakstīt šādi: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Taisni, kas atrodas P′ un P″ krustpunktā, apzīmē ar burtu a, šajā gadījumā a = P′ ∩ P″.

a ir taisna līnija, kas sastāv no visu (kopīgo) plakņu P′ un P″ punktu kopas. Tas nozīmē, ka jebkura punkta koordinātām, kas pieder pie līnijas a, vienlaikus jāizpilda vienādojumi A′x+B′y+C′z+D′=0 un A″x+B″y+C″z+D″=0. . Tas nozīmē, ka punkta koordinātas būs šādas vienādojumu sistēmas daļējs risinājums:

Rezultātā izrādās, ka šīs vienādojumu sistēmas (vispārējais) risinājums noteiks katra līnijas punkta koordinātas, kas darbosies kā P′ un P″ krustošanās punkts, un noteiks taisni. a Oxyz (taisnstūra) koordinātu sistēmā telpā.

Šajā materiālā apskatīsim, kā atrast plaknes vienādojumu, ja zinām trīs dažādu punktu koordinātas, kas neatrodas uz vienas taisnes. Lai to izdarītu, mums jāatceras, kas ir taisnstūra koordinātu sistēma trīsdimensiju telpā. Sākumā mēs iepazīstināsim ar šī vienādojuma pamatprincipu un parādīsim, kā tieši to izmantot konkrētu problēmu risināšanai.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pirmkārt, mums ir jāatceras viena aksioma, kas izklausās šādi:

1. definīcija

Ja trīs punkti nesakrīt viens ar otru un neatrodas uz vienas taisnes, tad trīsdimensiju telpā tiem cauri iet tikai viena plakne.

Citiem vārdiem sakot, ja mums ir trīs dažādi punkti, kuru koordinātas nesakrīt un kurus nevar savienot ar taisni, tad mēs varam noteikt plakni, kas iet caur to.

Pieņemsim, ka mums ir taisnstūra koordinātu sistēma. Apzīmēsim to ar O x y z. Tajā ir trīs punkti M ar koordinātām M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), kurus nevar savienot. taisna līnija. Pamatojoties uz šiem nosacījumiem, mēs varam pierakstīt vajadzīgās plaknes vienādojumu. Šīs problēmas risināšanai ir divas pieejas.

1. Pirmajā pieejā tiek izmantots vispārīgais plaknes vienādojums. Burtu formā tas ir rakstīts kā A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Ar tās palīdzību taisnstūra koordinātu sistēmā var definēt noteiktu alfa plakni, kas iet caur pirmo doto punktu M 1 (x 1, y 1, z 1). Izrādās, ka plaknes α normālajam vektoram būs koordinātas A, B, C.

N definīcija

Zinot normālā vektora koordinātas un punkta koordinātas, caur kuru plakne iet, mēs varam pierakstīt šīs plaknes vispārīgo vienādojumu.

Tas ir tas, ko mēs turpināsim nākotnē.

Tādējādi saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem mums ir vēlamā punkta koordinātas (pat trīs), caur kurām plakne iet. Lai atrastu vienādojumu, jāaprēķina tā normālā vektora koordinātas. Apzīmēsim to ar n → .

Atcerēsimies noteikumu: jebkurš dotās plaknes vektors, kas nav nulle, ir perpendikulārs tās pašas plaknes normālajam vektoram. Tad mēs iegūstam, ka n → būs perpendikulāri vektoriem, kas sastāv no sākotnējiem punktiem M 1 M 2 → un M 1 M 3 → . Tad n → varam apzīmēt kā vektorreizinājumu formā M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Tā kā M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) un M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (šo vienādību pierādījumi ir doti rakstā, kas veltīts vektora koordinātu aprēķināšanai no punktu koordinātām), tad izrādās, ka:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Ja mēs aprēķināsim determinantu, mēs iegūsim mums nepieciešamā normālvektora n → koordinātas. Tagad mēs varam pierakstīt vienādojumu, kas mums nepieciešams plaknei, kas iet cauri trim dotiem punktiem.

2. Otrā pieeja vienādojuma atrašanai, kas iet cauri M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), ir balstīta uz tādu jēdzienu kā vektoru koplanaritāte.

Ja mums ir punktu kopa M (x, y, z), tad taisnstūra koordinātu sistēmā tie definē plakni dotajiem punktiem M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2) , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) tikai gadījumā, ja vektori M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) un M 1 M 3  → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) būs vienā plaknē .

Diagrammā tas izskatīsies šādi:

Tas nozīmēs, ka vektoru M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → jauktais reizinājums būs vienāds ar nulli: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , jo šis ir galvenais koplanaritātes nosacījums: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1) un M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Ierakstīsim iegūto vienādojumu koordinātu formā:

Pēc determinanta aprēķināšanas mēs varam iegūt plaknes vienādojumu, kas mums nepieciešams trīs punktiem, kas neatrodas vienā taisnē M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

No iegūtā vienādojuma varat pāriet uz plaknes vienādojumu segmentos vai uz plaknes normālo vienādojumu, ja to prasa uzdevuma apstākļi.

Nākamajā rindkopā mēs sniegsim piemērus, kā mūsu norādītās pieejas tiek īstenotas praksē.

Problēmu piemēri plaknes, kas iet cauri 3 punktiem, vienādojuma sastādīšanai

Iepriekš mēs identificējām divas pieejas, kuras var izmantot, lai atrastu vēlamo vienādojumu. Apskatīsim, kā tos izmanto problēmu risināšanai un kad jums vajadzētu izvēlēties katru no tiem.

1. piemērs

Ir trīs punkti, kas neatrodas vienā taisnē, ar koordinātām M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Uzrakstiet vienādojumu plaknei, kas iet caur tām.

Risinājums

Mēs izmantojam abas metodes pārmaiņus.

1. Atrodiet divu mums nepieciešamo vektoru koordinātas M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Tagad aprēķināsim to vektorproduktu. Mēs neaprakstīsim determinanta aprēķinus:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Mums ir plaknes normāls vektors, kas iet cauri trim nepieciešamajiem punktiem: n → = (- 5, 30, 2) . Tālāk mums jāņem viens no punktiem, piemēram, M 1 (- 3, 2, - 1), un jāpieraksta vienādojums plaknei ar vektoru n → = (- 5, 30, 2). Mēs iegūstam, ka: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Šis ir vienādojums, kas mums vajadzīgs plaknei, kas iet cauri trim punktiem.

2. Pieņemsim citu pieeju. Uzrakstīsim vienādojumu plaknei ar trīs punktiem M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) šāda forma:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Šeit jūs varat aizstāt datus no problēmas paziņojuma. Tā kā x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, rezultātā mēs iegūstam:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 g + 2 z - 73

Mēs saņēmām vajadzīgo vienādojumu.

Atbilde:- 5 x + 30 g + 2 z - 73 .

Bet ko darīt, ja dotie punkti joprojām atrodas uz vienas taisnes un mums ir jāizveido tiem plaknes vienādojums? Šeit uzreiz jāsaka, ka šis nosacījums nebūs līdz galam pareizs. Caur šādiem punktiem var iziet bezgalīgi daudz plakņu, tāpēc nav iespējams aprēķināt vienu atbildi. Apskatīsim šādu problēmu, lai pierādītu šāda jautājuma formulējuma nepareizību.

2. piemērs

Mums ir taisnstūra koordinātu sistēma trīsdimensiju telpā, kurā ir izvietoti trīs punkti ar koordinātām M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1) , 1) . Ir nepieciešams izveidot vienādojumu plaknei, kas iet caur to.

Risinājums

Izmantosim pirmo metodi un sāksim ar divu vektoru M 1 M 2 → un M 1 M 3 → koordinātu aprēķināšanu. Aprēķināsim to koordinātas: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Krusta reizinājums būs vienāds ar:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Tā kā M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, tad mūsu vektori būs kolineāri (atkārtoti izlasiet rakstu par tiem, ja esat aizmirsis šī jēdziena definīciju). Tādējādi sākotnējie punkti M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) atrodas vienā taisnē, un mūsu problēmai ir bezgalīgi daudz variantu atbilde.

Ja izmantosim otro metodi, mēs iegūsim:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 g + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

No iegūtās vienādības arī izriet, ka dotie punkti M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) atrodas uz vienas taisnes.

Ja vēlaties atrast vismaz vienu atbildi uz šo problēmu no bezgalīgi daudzām tās iespējām, jums jāveic šādas darbības:

1. Pierakstiet taisnes M 1 M 2, M 1 M 3 vai M 2 M 3 vienādojumu (ja nepieciešams, apskatiet materiālu par šo darbību).

2. Paņemiet punktu M 4 (x 4, y 4, z 4), kas neatrodas uz taisnes M 1 M 2.

3. Pierakstiet vienādojumu plaknei, kas iet cauri trim dažādiem punktiem M 1, M 2 un M 4, kas neatrodas uz vienas taisnes.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Lai caur jebkuriem trim telpas punktiem varētu novilkt vienu plakni, ir nepieciešams, lai šie punkti neatrastos uz vienas taisnes.

Apsveriet punktus M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) vispārējā Dekarta koordinātu sistēmā.

Lai patvaļīgs punkts M(x, y, z) atrastos vienā plaknē ar punktiem M 1, M 2, M 3, ir nepieciešams, lai vektori būtu vienā plaknē.

Definīcija 2.1.

Divas līnijas telpā sauc par paralēlām, ja tās atrodas vienā plaknē un tām nav kopīgu punktu.

Ja divas taisnes a un b ir paralēlas, tad, tāpat kā planimetrijā, rakstiet a || b. Telpā līnijas var novietot tā, lai tās nekrustotos vai būtu paralēlas. Šis gadījums ir īpašs stereometrijai.

Definīcija 2.2.

Taisnes, kurām nav kopīgu punktu un nav paralēlas, sauc par krustojošām.

Teorēma 2.1.

Caur punktu ārpus dotās taisnes var novilkt taisni paralēli dotajai, un tikai vienu.

25.Taisnes un plaknes paralēlisma zīme

Teorēma

Ja taisne, kas nepieder plaknei, ir paralēla kādai taisnei šajā plaknē, tad tā ir paralēla pašai plaknei.

Pierādījums

Lai α ir plakne, a taisne, kas tajā neatrodas, un a1 ir taisne α plaknē, kas ir paralēla taisnei a. Nozīmēsim plakni α1 caur taisnēm a un a1. Plaknes α un α1 krustojas pa taisni a1. Ja taisne ir krustota plakne α, tad krustošanās punkts piederētu taisnei a1. Bet tas nav iespējams, jo taisnes a un a1 ir paralēlas. Līdz ar to taisne a nekrustojas ar plakni α un tāpēc ir paralēla plaknei α. Teorēma ir pierādīta.

27.Dotai plaknei paralēlas plaknes esamība

Teorēma

Caur punktu ārpus dotās plaknes var novilkt plakni, kas ir paralēla dotajai, un tikai vienu.

Pierādījums

Nozīmēsim šajā plaknē α jebkuras divas krustojošas taisnes a un b. Caur doto punktu A novelkam tām paralēlas taisnes a1 un b1. Plakne β, kas iet caur taisnēm a1 un b1, saskaņā ar teorēmu par plakņu paralēlismu ir paralēla plaknei α.

Pieņemsim, ka caur punktu A iet cita plakne β1, arī paralēla plaknei α. Atzīmēsim β1 plaknē kādu punktu C, kas neatrodas β plaknē. Nozīmēsim plakni γ caur plaknes α punktiem A, C un kādu punktu B. Šī plakne krustos plaknes α, β un β1 pa taisnēm b, a un c. Taisnes a un c nekrustojas taisni b, jo tās nekrustojas ar plakni α. Tāpēc tie ir paralēli līnijai b. Bet γ plaknē tikai viena taisne, kas ir paralēla taisnei b, var iet caur punktu A. kas ir pretrunā pieņēmumam. Teorēma ir pierādīta.

28.Paralēlo plakņu īpašības th

29.

Perpendikulāras līnijas telpā. Divas līnijas telpā sauc par perpendikulārām, ja leņķis starp tām ir 90 grādi. c. m. k. k. m. c. k. Krustojoties. Krustojums.

2. teorēma 1. PEPERENDIKULĀRU LĪNIJU UN LAKMEŅU ĪPAŠĪBA. Ja plakne ir perpendikulāra vienai no divām paralēlām taisnēm, tad tā ir perpendikulāra arī otrai.
Pierādījums: lai a 1 un a 2 - 2 ir paralēlas taisnes un plakne, kas ir perpendikulāra taisnei a 1. Pierādīsim, ka šī plakne ir perpendikulāra taisnei a 2. Nozīmēsim patvaļīgu taisni x 2 plaknē caur taisnes a 2 krustpunkta punktu A 2 ar plakni. Nozīmēsim plaknē caur punktu A 1 taisnes a 1 krustpunktu ar taisni x 1, kas ir paralēla taisnei x 2. Tā kā taisne a 1 ir perpendikulāra plaknei, tad līnijas a 1 un x 1 ir perpendikulāras. Un saskaņā ar 1. teorēmu tām paralēlās krustojošās līnijas a 2 un x 2 arī ir perpendikulāras. Tādējādi līnija a 2 ir perpendikulāra jebkurai taisnei x 2 plaknē. Un tas (pēc definīcijas) nozīmē, ka taisne a 2 ir perpendikulāra plaknei. Teorēma ir pierādīta. Skatīt arī atbalsta uzdevumu Nr.2.
3. teorēma 2. PEPERENDIKULĀRU LĪNIJU UN LAKMEŅU ĪPAŠĪBA. Divas taisnes, kas ir perpendikulāras vienai plaknei, ir paralēlas.
Pierādījums: lai a un b ir 2 taisnes, kas ir perpendikulāras plaknei. Pieņemsim, ka taisnes a un b nav paralēlas. Izvēlēsimies punktu C uz taisnes b, kas neatrodas plaknē. Novelkam taisni b 1 caur punktu C paralēli taisnei a. Taisne b 1 ir perpendikulāra plaknei saskaņā ar 2. teorēmu. Pieņemsim, ka B un B 1 ir taisnes b un b 1 krustošanās punkti ar plakni. Tad taisne BB 1 ir perpendikulāra b un b 1 krustojošajām līnijām. Un tas nav iespējams. Mēs esam nonākuši pie pretrunas. Teorēma ir pierādīta.

33.Perpendikulāri, kas nolaists no noteikta punkta noteiktā plaknē, ir segments, kas savieno noteiktu punktu ar plaknes punktu un atrodas uz taisnas līnijas, kas ir perpendikulāra plaknei. Šī segmenta beigas, kas atrodas plaknē, sauc perpendikula pamatne.
Slīpa No noteikta punkta uz noteiktu plakni novilkts jebkurš segments, kas savieno noteiktu punktu ar plaknes punktu, kas nav perpendikulārs plaknei. Plaknē esošā segmenta beigas sauc slīpa bāze. Tiek saukts segments, kas savieno perpendikula pamatus ar slīpu, kas novilkts no tā paša punkta slīpā projekcija.

AB ir perpendikulāra plaknei α.
AC – slīps, CB – projekcija.

Teorēmas paziņojums

Ja taisne, kas novilkta uz plaknes caur slīpas plaknes pamatni, ir perpendikulāra tās projekcijai, tad tā ir perpendikulāra slīpajai.

Pierādījums

Ļaujiet AB- perpendikulāri plaknei α, A.C.- slīpi un c- taisna līnija α plaknē, kas iet caur punktu C un perpendikulāri projekcijai B.C.. Taisīsim tiešo CK paralēli līnijai AB. Taisni CK ir perpendikulāra plaknei α (jo tā ir paralēla AB), un līdz ar to jebkura šīs plaknes taisne, tāpēc CK perpendikulāri taisnai līnijai c. Zīmēsim cauri paralēlām līnijām AB Un CK plakne β (paralēlas līnijas nosaka plakni, un tikai viena). Taisni c perpendikulāri divām krustojošām taisnēm, kas atrodas β plaknē, tas ir B.C. atbilstoši stāvoklim un CK pēc konstrukcijas tas nozīmē, ka tas ir perpendikulārs jebkurai līnijai, kas pieder šai plaknei, kas nozīmē, ka tā ir perpendikulāra līnijai A.C..

Lai caur jebkuriem trim telpas punktiem varētu novilkt vienu plakni, ir nepieciešams, lai šie punkti neatrastos uz vienas taisnes.

Apsveriet punktus M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) vispārējā Dekarta koordinātu sistēmā.

Lai patvaļīgs punkts M(x, y, z) atrastos vienā plaknē ar punktiem M 1, M 2, M 3, ir nepieciešams, lai vektori būtu vienā plaknē.

(
) = 0

Tādējādi

Vienādojums plaknei, kas iet cauri trim punktiem:

Plaknes vienādojums ar diviem punktiem un plaknei kolineāru vektoru.

Doti punkti M 1 (x 1,y 1,z 1), M 2 (x 2,y 2,z 2) un vektors
.

Izveidosim vienādojumu plaknei, kas iet caur dotajiem punktiem M 1 un M 2, un patvaļīgu punktu M (x, y, z) paralēli vektoram .

Vektori
un vektors
jābūt vienā plaknē, t.i.

(
) = 0

Plaknes vienādojums:

Plaknes vienādojums, izmantojot vienu punktu un divus vektorus,

kolineāri lidmašīnai.

Doti divi vektori
Un
, kolineāras plaknes. Tad patvaļīgam punktam M(x, y, z), kas pieder plaknei, vektori
jābūt vienā plaknē.

Plaknes vienādojums:

Plaknes vienādojums pēc punkta un normālvektora .

Teorēma. Ja telpā dots punkts M 0 (X 0 , g 0 , z 0 ), tad plaknes vienādojums, kas iet caur punktu M 0 perpendikulāri normālajam vektoram (A, B, C) ir šāda forma:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Pierādījums. Patvaļīgam punktam M(x, y, z), kas pieder plaknei, mēs sastādam vektoru. Jo vektors ir normāls vektors, tad tas ir perpendikulārs plaknei un līdz ar to perpendikulārs vektoram
. Tad skalārais reizinājums

= 0

Tādējādi mēs iegūstam plaknes vienādojumu

Teorēma ir pierādīta.

Plaknes vienādojums segmentos.

Ja vispārējā vienādojumā Ax + Bi + Cz + D = 0 abas puses dalām ar (-D)

,

aizstājot
, mēs iegūstam plaknes vienādojumu segmentos:

Skaitļi a, b, c ir plaknes krustošanās punkti attiecīgi ar x, y, z asīm.

Plaknes vienādojums vektora formā.

Kur

- pašreizējā punkta M(x, y, z) rādiusa vektors,

Vienības vektors ar perpendikula virzienu, kas nomests plaknē no sākuma.

,  un  ir šī vektora veidotie leņķi ar x, y, z asīm.

p ir šī perpendikula garums.

Koordinātās šis vienādojums izskatās šādi:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Attālums no punkta līdz plaknei.

Attālums no patvaļīga punkta M 0 (x 0, y 0, z 0) līdz plaknei Ax+By+Cz+D=0 ir:

Piemērs. Atrodiet plaknes vienādojumu, zinot, ka punkts P(4; -3; 12) ir pamats perpendikulam, kas nomests no sākuma uz šo plakni.

Tātad A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, mēs izmantojam formulu:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Piemērs. Atrodiet vienādojumu plaknei, kas iet caur diviem punktiem P(2; 0; -1) un

Q(1; -1; 3) perpendikulāri plaknei 3x + 2y – z + 5 = 0.

Normāls vektors plaknei 3x + 2y – z + 5 = 0
paralēli vēlamajai plaknei.

Mēs iegūstam:

Piemērs. Atrodiet vienādojumu plaknei, kas iet caur punktiem A(2, -1, 4) un

B(3, 2, -1) perpendikulāri plaknei X + plkst + 2z – 3 = 0.

Nepieciešamajam plaknes vienādojumam ir šāda forma: A x+B y+C z+ D = 0, šīs plaknes normālais vektors (A, B, C). Vektors
(1, 3, -5) pieder plaknei. Mums dotajai plaknei, kas ir perpendikulāra vēlamajai, ir normāls vektors (1, 1, 2). Jo Punkti A un B pieder abām plaknēm, un plaknes ir savstarpēji perpendikulāras, tad

Tātad parastais vektors (11, -7, -2). Jo punkts A pieder vēlamajai plaknei, tad tā koordinātēm jāapmierina šīs plaknes vienādojums, t.i. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Kopumā mēs iegūstam plaknes vienādojumu: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Piemērs. Atrodiet plaknes vienādojumu, zinot, ka punkts P(4, -3, 12) ir pamats perpendikulam, kas nomests no sākuma uz šo plakni.

Normālā vektora koordinātu atrašana
= (4, -3, 12). Nepieciešamajam plaknes vienādojumam ir šāda forma: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Lai atrastu koeficientu D, vienādojumā aizstājam punkta P koordinātas:

16 + 9 + 144 + D = 0

Kopumā mēs iegūstam nepieciešamo vienādojumu: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Piemērs. Piramīdas virsotņu koordinātas ir norādītas: A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Atrodiet malas garumu A 1 A 2.

Atrodiet leņķi starp malām A 1 A 2 un A 1 A 4.

Atrodiet leņķi starp malu A 1 A 4 un virsmu A 1 A 2 A 3.

Vispirms atrodam normālo vektoru uz sejas A 1 A 2 A 3 kā vektoru krustreizinājums
Un
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Atradīsim leņķi starp normālo vektoru un vektoru
.

-4 – 4 = -8.

Vēlamais leņķis  starp vektoru un plakni būs vienāds ar  = 90 0 - .

Atrodiet sejas laukumu A 1 A 2 A 3.

Atrodiet piramīdas tilpumu.

Atrodiet plaknes A 1 A 2 A 3 vienādojumu.

Izmantosim formulu plaknes, kas iet cauri trim punktiem, vienādojumam.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Izmantojot datora versiju " Augstākās matemātikas kurss” varat palaist programmu, kas atrisinās iepriekš minēto piemēru jebkurām piramīdas virsotņu koordinātām.

Lai palaistu programmu, veiciet dubultklikšķi uz ikonas:

Atvērtajā programmas logā ievadiet piramīdas virsotņu koordinātas un nospiediet taustiņu Enter. Tādā veidā visus lēmuma punktus var iegūt pa vienam.

Piezīme. Lai palaistu programmu, datorā ir jābūt instalētai jebkuras versijas Maple programmai ( Waterloo Maple Inc.), sākot ar MapleV Release 4.

Pieņemsim, ka mums jāatrod vienādojums plaknei, kas iet cauri trim dotiem punktiem, kas neatrodas vienā taisnē. Apzīmējot to rādiusa vektorus ar un pašreizējo rādiusa vektoru ar , mēs varam viegli iegūt nepieciešamo vienādojumu vektora formā. Faktiski vektoriem jābūt koplanāriem (tie visi atrodas vēlamajā plaknē). Tāpēc šo vektoru vektora skalārajai reizinājumam jābūt vienādam ar nulli:

Šis ir vienādojums plaknei, kas vektora formā iet cauri trim dotiem punktiem.

Pārejot uz koordinātām, mēs iegūstam vienādojumu koordinātēs:

Ja trīs dotie punkti atrodas uz vienas taisnes, tad vektori būtu kolineāri. Tāpēc (18) vienādojuma determinanta pēdējo divu rindu attiecīgie elementi būtu proporcionāli un determinants būtu identiski vienāds ar nulli. Līdz ar to vienādojums (18) kļūtu identisks visām x, y un z vērtībām. Ģeometriski tas nozīmē, ka caur katru telpas punktu iet plakne, kurā atrodas trīs dotie punkti.

Piezīme 1. To pašu problēmu var atrisināt, neizmantojot vektorus.

Apzīmējot attiecīgi trīs doto punktu koordinātas, mēs rakstām vienādojumu jebkurai plaknei, kas iet caur pirmo punktu:

Lai iegūtu vajadzīgās plaknes vienādojumu, ir nepieciešams, lai vienādojums (17) būtu izpildīts ar divu citu punktu koordinātām:

No (19) vienādojumiem ir jānosaka divu koeficientu attiecība pret trešo un atrastās vērtības jāievada vienādojumā (17).

Piemērs 1. Uzrakstiet vienādojumu plaknei, kas iet caur punktiem.

Plaknes vienādojums, kas iet caur pirmo no šiem punktiem, būs:

Nosacījumi, lai plakne (17) šķērsotu divus citus punktus un pirmo punktu, ir:

Pievienojot otro vienādojumu pirmajam, mēs atrodam:

Aizstājot ar otro vienādojumu, mēs iegūstam:

Aizvietojot vienādojumā (17) A, B, C vietā attiecīgi 1, 5, -4 (tiem proporcionāli skaitļi), mēs iegūstam:

Piemērs 2. Uzrakstiet vienādojumu plaknei, kas iet caur punktiem (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Jebkuras plaknes, kas iet caur punktu (0, 0, 0), vienādojums būs]

Nosacījumi šīs plaknes šķērsošanai caur punktiem (1, 1, 1) un (2, 2, 2) ir šādi:

Samazinot otro vienādojumu par 2, mēs redzam, ka, lai noteiktu divus nezināmos, ir viens vienādojums ar

No šejienes mēs iegūstam. Tagad vienādojumā aizstājot plaknes vērtību, mēs atrodam:

Šis ir vēlamās plaknes vienādojums; tas ir atkarīgs no patvaļīgiem

lielumi B, C (proti, no attiecības, t.i., ir bezgalīgs skaits plakņu, kas iet cauri trim dotiem punktiem (trīs dotie punkti atrodas uz vienas taisnes).

2. piezīme. Problēmu par plaknes zīmēšanu caur trim dotiem punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes, var viegli atrisināt vispārīgā formā, ja izmantojam determinantus. Patiešām, tā kā vienādojumos (17) un (19) koeficienti A, B, C nevar vienlaikus būt vienādi ar nulli, tad, uzskatot šos vienādojumus par viendabīgu sistēmu ar trim nezināmajiem A, B, C, mēs rakstām nepieciešamo un pietiekamo. nosacījums, lai pastāvētu šīs sistēmas risinājums, kas atšķiras no nulles (1. daļa, VI nodaļa, 6. punkts):

Izvēršot šo determinantu pirmās rindas elementos, mēs iegūstam pirmās pakāpes vienādojumu attiecībā pret pašreizējām koordinātām, kuras apmierinās it īpaši trīs doto punktu koordinātas.

Jūs varat arī pārbaudīt šo pēdējo tieši, aizstājot jebkura no šiem punktiem koordinātas, nevis . Kreisajā pusē mēs iegūstam determinantu, kurā vai nu pirmās rindas elementi ir nulles, vai arī ir divas identiskas rindas. Tādējādi konstruētais vienādojums attēlo plakni, kas iet caur trim dotajiem punktiem.