"A авах" видео хичээл нь амжилтанд хүрэхэд шаардлагатай бүх сэдвүүдийг багтаасан болно Улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэнматематикийн хичээлээр 60-65 оноо авсан. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-13 дугаар бүх даалгаврыг гүйцээнэ үү. Мөн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхөд тохиромжтой. Улсын нэгдсэн шалгалтыг 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутад алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!
10-11-р анги, багш нарт зориулсан Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-р хэсэг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд 100 оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгийн ухааны оюутан ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.
Шаардлагатай бүх онол. Түргэн арга замуудУлсын нэгдсэн шалгалтын шийдэл, бэрхшээл, нууц. FIPI Даалгаврын Банкны 1-р хэсгийн одоогийн бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Хичээл нь 2018 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын шаардлагыг бүрэн хангасан.
Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.
Улсын нэгдсэн шалгалтын олон зуун даалгавар. Үгийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. онол, лавлах материал, Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх төрлийн даалгаварт дүн шинжилгээ хийх. Стереометр. Нарийн төвөгтэй шийдэл, ашигтай хууран мэхлэлт, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь асуудал хүртэл 13. Шатаж байхын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын тодорхой тайлбар. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Шийдлийн үндэс нарийн төвөгтэй даалгаварУлсын нэгдсэн шалгалтын 2 хэсэг.
Тодорхойлолт 1. Призматик гадаргуу
Теорем 1. Призмийн гадаргуугийн параллель огтлолууд дээр
Тодорхойлолт 2. Призмийн гадаргуугийн перпендикуляр огтлол
Тодорхойлолт 3. Призм
Тодорхойлолт 4. Призмийн өндөр
Тодорхойлолт 5. Зөв призм
Теорем 2. Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай
Параллелепипед:
Тодорхойлолт 6. Параллелепипед
Теорем 3. Параллелепипедийн диагональуудын огтлолцол дээр
Тодорхойлолт 7. Баруун параллелепипед
Тодорхойлолт 8. Тэгш өнцөгт параллелепипед
Тодорхойлолт 9. Параллелепипедийн хэмжилт
Тодорхойлолт 10. Шоо
Тодорхойлолт 11. Ромбоэдрон
Теорем 4. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональуудын тухай
Теорем 5. Призмийн эзэлхүүн
Теорем 6. Шулуун призмийн эзэлхүүн
Теорем 7. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн эзэлхүүн
Призмхоёр нүүр (суурь) нь зэрэгцээ хавтгайд байрлах олон өнцөгт бөгөөд эдгээр нүүрэнд ороогүй ирмэгүүд нь хоорондоо параллель байдаг.
Суурьаас бусад нүүр царайг нэрлэдэг хажуу.
Хажуугийн нүүр ба суурийн хажуу талууд гэж нэрлэдэг призм хавирга, ирмэгүүдийн төгсгөлүүд гэж нэрлэгддэг призмийн оройнууд. Хажуугийн хавиргасууринд хамаарахгүй ирмэгүүд гэж нэрлэдэг. Хажуугийн нүүрний нэгдлийг гэж нэрлэдэг призмийн хажуугийн гадаргуу, мөн бүх нүүрний нэгдэл гэж нэрлэгддэг призмийн бүтэн гадаргуу. Призмийн өндөрДээд суурийн цэгээс доод суурийн хавтгайд унасан перпендикуляр буюу энэ перпендикулярын урт гэж нэрлэдэг. 
Шууд призмХажуу хавирга нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байрладаг призм гэж нэрлэгддэг. 
Зөвшулуун призм гэж нэрлэдэг (Зураг 3), түүний сууринд ердийн олон өнцөгт байрладаг.
Тэмдэглэл:
l - хажуугийн хавирга;
P - суурь периметр;
S o - үндсэн талбай;
H - өндөр;
P^ - перпендикуляр огтлолын периметр;
S b - хажуугийн гадаргуугийн талбай;
V - эзлэхүүн;
S p нь призмийн нийт гадаргуугийн талбай юм.
|
V=SH |
*Дараалсан хоёр хавтгай бүр огтлолцож, сүүлчийнх нь эхнийхтэй огтлолцдог гэж үздэг
Теорем 1 . Призмийн гадаргуугийн бие биетэйгээ параллель (гэхдээ түүний ирмэгүүдтэй параллель биш) хавтгайн хэсгүүд нь тэнцүү олон өнцөгтүүд юм.
ABCDE ба A"B"C"D"E" нь призмийн гадаргуугийн хоёр параллель хавтгайгаар огтлолцсон хэсгүүд байг. Эдгээр хоёр олон өнцөгтүүд тэнцүү эсэхийг шалгахын тулд ABC ба A"B"C" гурвалжингууд нь тэнцүү гэдгийг харуулахад хангалттай. тэнцүү ба ижил эргэлтийн чиглэлтэй байх ба ABD ба A"B"D, ABE ба A"B"E" гурвалжинд мөн адил хамаарна. Гэхдээ эдгээр гурвалжны харгалзах талууд нь хоёр параллель хавтгайтай тодорхой хавтгайн огтлолцох шугам шиг параллель (жишээлбэл, АС нь АС-тай параллель байна); параллелограммын эсрэг талуудтай адил эдгээр талууд тэнцүү (жишээлбэл, АС нь A"C"-тэй тэнцүү), эдгээр талуудын үүсгэсэн өнцөг нь тэнцүү бөгөөд ижил чиглэлтэй байна.
Тодорхойлолт 2 . Призматик гадаргуугийн перпендикуляр хэсэг нь энэ гадаргуугийн ирмэгүүдтэй перпендикуляр хавтгайгаар хийсэн хэсэг юм. Өмнөх теорем дээр үндэслэн ижил призмийн гадаргуугийн бүх перпендикуляр хэсгүүд нь тэнцүү олон өнцөгт байх болно.
Тодорхойлолт 3
. Призм нь бие биентэйгээ параллель (гэхдээ призмийн гадаргуугийн ирмэгтэй параллель биш) хоёр хавтгайгаар хүрээлэгдсэн олон өнцөгт юм.
Эдгээр сүүлчийн хавтгайд хэвтэж буй нүүр царайг нэрлэдэг призмийн суурь; призмийн гадаргууд хамаарах нүүрнүүд - хажуугийн нүүрнүүд; призмийн гадаргуугийн ирмэгүүд - призмийн хажуугийн хавирга. Өмнөх теоремын дагуу призмийн суурь нь тэнцүү олон өнцөгтүүд. Бүгд хажуугийн нүүрнүүдпризмүүд - параллелограммууд; бүх хажуугийн хавирга нь хоорондоо тэнцүү байна.
Мэдээжийн хэрэг, ABCDE призмийн суурь ба АА ирмэгүүдийн аль нэг нь" хэмжээ, чиглэлийг өгвөл BB", CC", ... АА ирмэгтэй тэнцүү ба параллель ирмэгийг зурж призм байгуулах боломжтой. .
Тодорхойлолт 4 . Призмийн өндөр нь түүний суурийн хавтгай хоорондын зай (HH") юм.
Тодорхойлолт 5
. Призмийн суурь нь призмийн гадаргуугийн перпендикуляр хэсгүүд бол түүнийг шулуун гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд призмийн өндөр нь мэдээжийн хэрэг түүнийх юм хажуугийн хавирга; хажуугийн ирмэгүүд байх болно тэгш өнцөгтүүд.
Призмийг хажуугийн нүүрний тоогоор ангилж болно. тэнцүү тоотүүний суурь болох олон өнцөгтийн талууд. Тиймээс призмууд нь гурвалжин, дөрвөлжин, таван өнцөгт гэх мэт байж болно.
Теорем 2
. Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь хажуугийн ирмэг ба перпендикуляр хэсгийн периметрийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.
ABCDEA"B"C"D"E" нь өгөгдсөн призм ба түүний перпендикуляр огтлолыг abcde гэж үзье, ингэснээр ab, bc, .. хэрчмүүд түүний хажуугийн ирмэгүүдтэй перпендикуляр байна. ABA"B" нүүр нь параллелограмм; түүний талбай AA суурийн үржвэртэй тэнцүү байна " ab-тай давхцах өндөрт; Нүүрний талбай ВСВ "С" нь суурийн ВВ"-ийн үржвэртэй тэнцүү байна bc өндөр гэх мэт. Иймээс хажуугийн гадаргуу (жишээ нь, хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр) бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна. хажуугийн ирмэгээс өөрөөр хэлбэл AA", ВВ", .. сегментүүдийн нийт уртыг ab+bc+cd+de+ea хэмжээгээр авна.
Олон талт
Стереометрийн судалгааны гол объект нь орон зайн биетүүд юм. Биетодорхой гадаргуугаар хязгаарлагдах орон зайн хэсгийг илэрхийлнэ.
Олон өнцөгтгадаргуу нь хязгаарлагдмал тооны хавтгай олон өнцөгтөөс бүрдэх бие юм. Олон өнцөгт нь гадаргуу дээрх хавтгай олон өнцөгт бүрийн хавтгайн нэг талд байрласан бол түүнийг гүдгэр гэж нэрлэдэг. Ийм хавтгай ба олон талт гадаргуугийн нийтлэг хэсэг гэж нэрлэдэг ирмэг. Гүдгэр олон өнцөгтийн нүүр нь хавтгай гүдгэр олон өнцөгт юм. Нүүрний хажуу талууд гэж нэрлэгддэг олон өнцөгтийн ирмэгүүд, оройнууд нь байна олон өнцөгтийн оройнууд.
Жишээлбэл, шоо нь түүний нүүр царай болох зургаан квадратаас бүрдэнэ. Энэ нь 12 ирмэг (дөрвөлжингийн талууд) ба 8 орой (дөрвөлжингийн орой) агуулдаг.
Хамгийн энгийн олон өнцөгтүүд бол призм ба пирамидууд бөгөөд бид цаашид судлах болно.
Призм
Призмийн тодорхойлолт ба шинж чанарууд
Призмпараллель хөрвүүлгээр хосолсон зэрэгцээ хавтгайд байрлах хоёр хавтгай олон өнцөгт, эдгээр олон өнцөгтүүдийн харгалзах цэгүүдийг холбосон бүх сегментээс бүрдсэн олон өнцөгт юм. Олон өнцөгт гэж нэрлэдэг призмийн суурь, мөн олон өнцөгтүүдийн харгалзах оройг холбосон хэрчмүүд байна призмийн хажуугийн ирмэгүүд.
Призмийн өндөртүүний суурийн хавтгай хоорондын зай () гэж нэрлэдэг. Нэг нүүрэнд хамаарахгүй призмийн хоёр оройг холбосон хэрчмийг гэнэ призм диагональ(). Призмийг нэрлэдэг n-нүүрстөрөгч, хэрэв түүний суурь нь n-gon агуулсан бол.
Аливаа призм нь дараахь шинж чанартай байдаг бөгөөд энэ нь призмийн суурийг параллель орчуулгаар нэгтгэдэг.
1. Призмийн сууриуд тэнцүү байна.
2. Призмийн хажуугийн ирмэгүүд нь параллель ба тэнцүү байна.
Призмийн гадаргуу нь суурь ба хажуугийн гадаргуу. Призмийн хажуугийн гадаргуу нь параллелограммуудаас бүрдэнэ (энэ нь призмийн шинж чанараас хамаарна). Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр юм.
Шулуун призм
Призмийг нэрлэдэг шууд, хэрэв түүний хажуугийн ирмэг нь суурьтай перпендикуляр байвал. Үгүй бол призмийг дуудна налуу.
Зөв призмийн нүүрүүд нь тэгш өнцөгт юм. Шулуун призмийн өндөр нь түүний хажуугийн гадаргуутай тэнцүү байна.
Бүрэн призм гадаргуухажуугийн гадаргуугийн талбай ба суурийн талбайн нийлбэр гэж нэрлэдэг.
Зөв призмээрСууриндаа жирийн олон өнцөгттэй зөв призм гэж нэрлэдэг.
Теорем 13.1. Шулуун призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь периметр ба призмийн өндрийн үржвэртэй (эсвэл хажуугийн ирмэгээр ижил) тэнцүү байна.
Баталгаа. Зөв призмийн хажуу талууд нь тэгш өнцөгтүүд бөгөөд тэдгээрийн суурь нь призмийн суурийн олон өнцөгтүүдийн талууд, өндөр нь призмийн хажуугийн ирмэгүүд юм. Дараа нь, тодорхойлолтоор, хажуугийн гадаргуугийн талбай нь:
,
шулуун призмийн суурийн периметр хаана байна.
Параллелепипед
Хэрэв призмийн суурь дээр параллелограммууд оршдог бол түүнийг дуудна параллелепипед. Параллелепипедийн бүх нүүр нь параллелограмм юм. Энэ тохиолдолд параллелепипедийн эсрэг талын нүүрнүүд параллель ба тэнцүү байна.
Теорем 13.2. Параллелепипедийн диагональууд нэг цэгт огтлолцох ба огтлолцлын цэгээр хагасаар хуваагдана.
Баталгаа. Жишээ нь, дурын хоёр диагональыг авч үзье. Учир нь параллелепипедийн нүүрнүүд нь параллелограмм, дараа нь ба , энэ нь To-ийн дагуу гурав дахь нь параллель хоёр шулуун байна гэсэн үг юм. Үүнээс гадна, энэ нь шулуун шугамууд нэг хавтгайд (хавтгай) хэвтэж байна гэсэн үг юм. Энэ хавтгай параллель хавтгай ба параллель шугамын дагуу огтлолцох ба . Тиймээс дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм бөгөөд параллелограммын шинж чанараар диагональууд нь огтлолцдог бөгөөд огтлолцлын цэгээр хагас хуваагддаг бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байв.
Суурь нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тэгш өнцөгт параллелепипедийг гэнэ тэгш өнцөгт параллелепипед. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн бүх нүүр нь тэгш өнцөгт юм. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн параллель бус ирмэгийн уртыг түүний шугаман хэмжээс (хэмжээ) гэж нэрлэдэг. Ийм гурван хэмжээ (өргөн, өндөр, урт) байдаг.
Теорем 13.3. Тэгш өнцөгт параллелепипедт дурын диагональ квадрат нийлбэртэй тэнцүү байнатүүний гурван хэмжээст квадратууд 
(Pythagorean T-г хоёр удаа хэрэглэснээр батлагдсан).
Бүх ирмэгүүд нь тэнцүү тэгш өнцөгт параллелепипед гэж нэрлэгддэг шоо.
Даалгаврууд
13.1 Энэ нь хэдэн диагональтай вэ? n- нүүрстөрөгчийн призм
13.2 Налуу гурвалжин призмд хажуугийн ирмэгүүдийн хоорондох зай 37, 13, 40. Том хажуугийн ирмэг ба эсрэг талын ирмэгийн хоорондох зайг ол.
13.3 Энгийн гурвалжин призмийн доод суурийн хажуугаар хажуугийн нүүрийг тэдгээрийн хоорондох өнцөг бүхий хэрчмүүдийн дагуу огтолж буй хавтгайг татсан. Энэ хавтгайн призмийн суурь руу хазайх өнцгийг ол.
Тодорхойлолт. Призм- энэ бол олон өнцөгт бөгөөд бүх орой нь хоёр зэрэгцээ хавтгайд байрладаг бөгөөд эдгээр хоёр хавтгайд призмийн хоёр нүүр байрладаг бөгөөд тэдгээр нь ижил олон өнцөгтүүд юм. зэрэгцээ талууд, мөн эдгээр хавтгайд ороогүй бүх ирмэгүүд параллель байна.
Хоёр тэгш царайтайгэж нэрлэдэг призмийн суурь(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Призмийн бусад бүх нүүрийг дуудна хажуугийн нүүрнүүд(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Бүх хажуугийн нүүрнүүд үүсдэг хажуугийн гадаргуупризмүүд .
Призмийн бүх хажуугийн нүүр нь параллелограмм юм .
Суурь дээр байрладаггүй ирмэгийг призмийн хажуугийн ирмэг гэж нэрлэдэг ( АА 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Призм диагональ Төгсгөл нь нэг нүүрэн дээр хэвтдэггүй призмийн хоёр орой болох хэрчмийг хэлнэ (МЭ 1).
Призмийн суурийн ба хоёр суурийн перпендикулярыг нэгэн зэрэг холбосон хэрчмийн уртыг гэнэ. призмийн өндөр .
Зориулалт:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Эхлээд, хөндлөн гарах дарааллаар нэг суурийн оройг, дараа нь нөгөө суурийн оройг ижил дарааллаар заана; хажуугийн ирмэг бүрийн төгсгөлийг ижил үсгээр, зөвхөн нэг сууринд байрлах оройг тэмдэглэнэ. индексгүй үсгээр, нөгөө талд нь индексээр тэмдэглэнэ)
Призмийн нэр нь түүний суурь дээр байрлах зургийн өнцгийн тоотой холбоотой байдаг, жишээлбэл, 1-р зурагт суурь дээр таван өнцөгт байдаг тул призмийг гэж нэрлэдэг. таван өнцөгт призм. Гэхдээ учир нь ийм призм 7 нүүртэй, тэгвэл тэр долоон талт(2 нүүр - призмийн суурь, 5 нүүр - параллелограмм, түүний хажуугийн нүүр)
Шулуун призмүүдийн дотроос нэг төрөл нь тодордог: ердийн призмүүд.
Шулуун призм гэж нэрлэдэг зөв,Хэрэв түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт байвал.
Параллелепипед
Параллелепипеднь дөрвөлжин призм бөгөөд түүний сууринд параллелограмм (налуу параллелепипед) байрладаг. Баруун параллелепипед- хажуугийн ирмэг нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байрладаг параллелепипед.Тэгш өнцөгт параллелепипед- суурь нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тэгш өнцөгт параллелепипед.
Шинж чанар ба теоремууд:
Параллелепипедийн зарим шинж чанарууд нь параллелограммын шинж чанаруудтай төстэй байдаг тэнцүү хэмжээтэй тэгш өнцөгт параллелепипед гэж нэрлэдэг шоо
.Шоогийн бүх нүүр нь тэнцүү квадратууд Диагоналын квадрат нь түүний гурван хэмжээсийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна 
,
энд d нь квадратын диагональ;
a нь квадратын тал юм.
Призмийн санааг дараахь байдлаар өгсөн болно.
- янз бүрийн архитектурын байгууламжууд;
- хүүхдийн тоглоом;
- сав баглаа боодлын хайрцаг;
- дизайнерын зүйлс гэх мэт.
Призмийн нийт ба хажуугийн гадаргуугийн талбай
Призмийн нийт гадаргуугийн талбайнь түүний бүх нүүрний талбайн нийлбэр юм Хажуугийн гадаргуугийн талбайтүүний хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр гэж нэрлэдэг. Призмийн суурь нь тэнцүү олон өнцөгт, дараа нь тэдгээрийн талбай тэнцүү байна. Тийм ч учраасS дүүрэн = S тал + 2S үндсэн,
Хаана S дүүрэн- нийт гадаргуугийн талбай, S тал- хажуугийн гадаргуугийн талбай; S суурь- суурь талбай
Шулуун призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметр ба призмийн өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна..
S тал= P үндсэн * h,
Хаана S тал- шулуун призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай;
P гол - шулуун призмийн суурийн периметр,
h нь шулуун призмийн өндөр, тэнцүү хажуугийн хавирга.
Призмийн эзэлхүүн
Призмийн эзэлхүүн нь суурийн талбай ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна.