Гурвалжин пирамид хэдэн талтай вэ? Пирамид. Пирамидын томъёо ба шинж чанарууд

16.10.2019

Эндээс та пирамид болон холбогдох томьёо, ойлголтуудын талаарх үндсэн мэдээллийг олж авах боломжтой. Бүгдийг нь улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхийн тулд математикийн багштай хамт суралцдаг.

Хавтгай, олон өнцөгтийг авч үзье , дотор нь хэвтэж байгаа ба S цэг, дотор нь хэвтээгүй. S-г олон өнцөгтийн бүх оройтой холбоно. Үүссэн олон өнцөгтийг пирамид гэж нэрлэдэг. Сегментүүдийг хажуугийн хавирга гэж нэрлэдэг. Олон өнцөгтийг суурь гэж нэрлэдэг ба S цэг нь пирамидын орой юм. Пирамидыг n тооноос хамааран гурвалжин (n=3), дөрвөн өнцөгт (n=4), таван өнцөгт (n=5) гэх мэтээр нэрлэдэг. Гурвалжин пирамидын өөр нэр тетраэдр. Пирамидын өндөр нь түүний оройноос суурийн хавтгай хүртэл бууж буй перпендикуляр юм.

Пирамидыг ердийн if гэж нэрлэдэг ердийн олон өнцөгт бөгөөд пирамидын өндрийн суурь (перпендикуляр суурь) нь түүний төв юм.

Багшийн сэтгэгдэл:
"Ердийн пирамид" ба "ердийн тетраэдр" гэсэн ойлголтыг бүү андуураарай. У ердийн пирамидхажуугийн ирмэгүүд нь суурийн ирмэгтэй тэнцүү байх албагүй, гэхдээ ердийн тетраэдр дээр бүх 6 ирмэг нь тэнцүү байна. Энэ бол түүний тодорхойлолт юм. Тэгш байдал нь олон өнцөгтийн P төв давхцаж байгааг батлахад амархан суурь өндөртэй тул ердийн тетраэдр нь ердийн пирамид юм.

Апотем гэж юу вэ?
Пирамидын нэр томъёо нь түүний хажуугийн нүүрний өндөр юм. Хэрэв пирамид нь тогтмол байвал түүний бүх нэр томъёо тэнцүү байна. Урвуу нь үнэн биш юм.

Математикийн багш өөрийн нэр томъёоны талаар: Пирамидтай хийсэн ажлын 80% нь хоёр төрлийн гурвалжингаар бүтээгдсэн байдаг.
1) Апотем SK, өндөр SP агуулсан
2) Хажуугийн ирмэг SA, түүний төсөөлөл ТХГН-ийг агуулсан

Эдгээр гурвалжнуудын эшлэлийг хялбарчлахын тулд математикийн багш эхний гурвалжинг дуудах нь илүү тохиромжтой. апотемал, хоёр дахь нь эргийн. Харамсалтай нь та энэ нэр томьёог аль ч сурах бичгээс олж харахгүй бөгөөд багш үүнийг нэг талдаа нэвтрүүлэх ёстой.

Пирамидын эзэлхүүний томъёо:
1) , пирамидын суурийн талбай хаана байна, пирамидын өндөр
2) , энд бичээстэй бөмбөрцгийн радиус, талбай нь хаана байна бүрэн гадаргуупирамидууд.
3) , энд MN нь дурын хоёр огтлолцох ирмэгийн хоорондох зай бөгөөд үлдсэн дөрвөн ирмэгийн дунд цэгээс үүссэн параллелограммын талбай юм.

Пирамидын өндрийн суурийн шинж чанар:

Дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан тохиолдолд P цэг (зураг харна уу) пирамидын ёроолд байгаа тойргийн төвтэй давхцана.
1) Бүх нэрийн үгс тэнцүү байна
2) Хажуугийн бүх нүүр нь суурь руу тэгш налуу байна
3) Бүх апотемууд пирамидын өндөрт адилхан налуу байна
4) Пирамидын өндөр нь бүх хажуугийн нүүрэнд адилхан налуу байна

Математикийн багшийн тайлбар: Бүх цэгүүдийг нэг нийтлэг өмчөөр нэгтгэдэг гэдгийг анхаарна уу: нэг талаараа хажуугийн нүүрнүүд хаа сайгүй оролцдог (апотемууд нь тэдгээрийн элементүүд юм). Тиймээс багш нь бага нарийвчлалтай, гэхдээ сурахад илүү тохиромжтой томъёоллыг санал болгож болно: P цэг нь бичээстэй тойргийн төв, пирамидын суурь, хэрэв түүний хажуугийн нүүрний талаар ижил мэдээлэлтэй байвал давхцдаг. Үүнийг батлахын тулд бүх апотем гурвалжин тэнцүү гэдгийг харуулахад хангалттай.

Гурван нөхцлийн аль нэг нь үнэн бол P цэг нь пирамидын суурийн ойролцоо хүрээлэгдсэн тойргийн төвтэй давхцаж байна.
1) Хажуугийн бүх ирмэгүүд тэнцүү байна
2) Хажуугийн бүх хавирга нь суурь руу жигд налуу байна
3) Хажуугийн бүх хавирга нь өндөрт адилхан налуу байна

апотем- ердийн пирамидын хажуугийн нүүрний өндөр, оройгоос нь зурсан (үүнээс гадна апотем гэдэг нь ердийн олон өнцөгтийн дундаас аль нэг тал руу нь доошлуулсан перпендикулярын урт юм);
хажуугийн нүүрнүүд (ASB, BSC, CSD, DSA) - орой дээр нийлдэг гурвалжин;
хажуугийн хавирга ( AS , Б.С. , C.S. , Д.С. ) - хажуугийн нүүрний нийтлэг талууд;
пирамидын дээд хэсэг (t. S) - хажуугийн хавиргыг холбосон, суурийн хавтгайд ороогүй цэг;
өндөр ( SO ) - пирамидын оройгоос түүний суурийн хавтгайд татсан перпендикуляр сегмент (ийм сегментийн төгсгөлүүд нь пирамидын орой ба перпендикулярын суурь байх болно);
пирамидын диагональ хэсэг- пирамидын дээд ба суурийн диагональ дундуур дамждаг хэсэг;
суурь (ABCD) - пирамидын оройд хамаарахгүй олон өнцөгт.

Пирамидын шинж чанарууд.

1. Хажуугийн бүх ирмэг нь ижил хэмжээтэй байвал:

пирамидын суурийн ойролцоох тойргийг дүрслэхэд хялбар бөгөөд пирамидын орой нь энэ тойргийн төв рүү чиглэсэн байх болно;
хажуугийн хавирга нь суурийн хавтгайтай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг;
Түүнээс гадна, эсрэгээр нь бас үнэн юм, i.e. хажуугийн хавирга нь суурийн хавтгайтай үүсэх үед тэнцүү өнцөг, эсвэл пирамидын суурийн ойролцоо тойрог дүрсэлж болох үед пирамидын оройг энэ тойргийн төв рүү тусгах бөгөөд энэ нь пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд ижил хэмжээтэй байна гэсэн үг юм.

2. Хажуугийн гадаргуу нь ижил утгатай суурийн хавтгайд налуу өнцөгтэй байвал:

пирамидын суурийн ойролцоох тойргийг дүрслэхэд хялбар бөгөөд пирамидын орой нь энэ тойргийн төв рүү чиглэсэн байх болно;
хажуугийн нүүрний өндөр нь ижил урттай;
хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметрийн бүтээгдэхүүн ба хажуугийн нүүрний өндрийн ½-тэй тэнцүү байна.

3. Пирамидын сууринд тойргийг дүрсэлж болох олон өнцөгт байвал пирамидын эргэн тойронд бөмбөрцгийг дүрсэлж болно (зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл). Бөмбөрцгийн төв нь тэдгээрт перпендикуляр пирамидын ирмэгүүдийн дундыг дайран өнгөрөх хавтгайн огтлолцох цэг болно. Энэ теоремоос бид бөмбөрцгийг дурын гурвалжин болон ердийн пирамидын эргэн тойронд хоёуланг нь дүрсэлж болно гэж дүгнэж байна.

4. Хэрэв пирамидын дотоод хоёр талт өнцгүүдийн биссектрисын хавтгайнууд 1-р цэгт огтлолцвол бөмбөрцгийг пирамид дотор бичиж болно (шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл). Энэ цэг нь бөмбөрцгийн төв болно.

Хамгийн энгийн пирамид.

Өнцгийн тоогоор пирамидын суурийг гурвалжин, дөрвөлжин гэх мэтээр хуваадаг.

Пирамид байх болно гурвалжин, дөрвөлжин, гэх мэт, пирамидын суурь нь гурвалжин, дөрвөлжин гэх мэт. Гурвалжин пирамид нь тетраэдр - тетраэдр юм. Дөрвөн өнцөгт - таван өнцөгт гэх мэт.

Пирамидын тухай ойлголт

Тодорхойлолт 1

Геометрийн дүрс, олон өнцөгт ба энэ олон өнцөгтийг агуулсан хавтгайд ороогүй цэгээс үүссэн, олон өнцөгтийн бүх оройтой холбогдсон цэгийг пирамид гэж нэрлэдэг (Зураг 1).

Пирамидын хийсэн олон өнцөгтийг пирамидын суурь гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь нэг цэгт холбогдсон үед үүссэн гурвалжингууд нь пирамидын хажуу талууд, гурвалжны талууд нь пирамидын талууд, нийтлэг цэгүүд юм; бүх гурвалжин нь пирамидын орой юм.

Пирамидын төрлүүд

Пирамидын суурийн өнцгийн тооноос хамааран гурвалжин, дөрвөлжин гэх мэтээр нэрлэж болно (Зураг 2).

Зураг 2.

Өөр нэг төрлийн пирамид бол ердийн пирамид юм.

Энгийн пирамидын шинж чанарыг танилцуулж, баталъя.

Теорем 1

Ердийн пирамидын бүх хажуугийн нүүр нь бие биетэйгээ тэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжин юм.

Баталгаа.

$S$ өндөр $h=SO$ оройтой ердийн $n-$гональ пирамидыг авч үзье. Суурийг тойруулан тойрог зурцгаая (Зураг 4).

Зураг 4.

$SOA$ гурвалжинг авч үзье. Пифагорын теоремын дагуу бид олж авдаг

Ямар ч хажуугийн ирмэгийг ингэж тодорхойлох нь ойлгомжтой. Үүний үр дүнд бүх хажуугийн ирмэгүүд хоорондоо тэнцүү, өөрөөр хэлбэл бүх хажуугийн нүүр нь ижил өнцөгт гурвалжин юм. Тэд бие биетэйгээ тэнцүү гэдгийг баталцгаая. Суурь нь ердийн олон өнцөгт тул бүх талын нүүрний суурь нь хоорондоо тэнцүү байна. Тиймээс гурвалжны тэгш байдлын III шалгуурын дагуу бүх хажуугийн нүүрнүүд тэнцүү байна.

Теорем нь батлагдсан.

Одоо ердийн пирамид гэсэн ойлголттой холбоотой дараах тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт 3

Ердийн пирамидын нэр томъёо нь түүний хажуугийн нүүрний өндөр юм.

Нэгдүгээр теоремоор бол бүх апотемууд хоорондоо тэнцүү байх нь ойлгомжтой.

Теорем 2

Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг суурийн хагас периметр ба апотемийн үржвэрээр тодорхойлно.

Баталгаа.

$n-$гональ пирамидын суурийн талыг $a$, апотемийг $d$ гэж тэмдэглэе. Тиймээс хажуугийн нүүрний талбай нь тэнцүү байна

1-р теоремын дагуу бүх зүйл талуудтэнцүү байна, тэгвэл

Теорем нь батлагдсан.

Пирамидын өөр нэг төрөл бол таслагдсан пирамид юм.

Тодорхойлолт 4

Хэрэв суурьтай параллель хавтгайг энгийн пирамидаар татвал энэ хавтгай ба суурийн хавтгай хооронд үүссэн дүрсийг таслагдсан пирамид гэж нэрлэдэг (Зураг 5).

Зураг 5. Таслагдсан пирамид

Таслагдсан пирамидын хажуугийн нүүр нь трапец хэлбэртэй байдаг.

Теорем 3

Ердийн тайрсан пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг суурийн хагас периметр ба апотемийн нийлбэрийн үржвэрээр тодорхойлно.

Баталгаа.

$n-$гональ пирамидын суурийн талуудыг $a\ ба\ b$, апотемийг $d$ гэж тэмдэглэе. Тиймээс хажуугийн нүүрний талбай нь тэнцүү байна

Бүх талууд тэнцүү тул

Теорем нь батлагдсан.

Жишээ даалгавар

Жишээ 1

Таслагдсан гурвалжин пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг ердийн пирамидын суурь тал 4 ба апотем 5-аас хажуугийн нүүрний дунд шугамаар дамжин өнгөрөх хавтгайг таслах замаар олж ав.

Шийдэл.

тухай теоремоор дунд шугамТаслагдсан пирамидын дээд суурь нь $4\cdot \frac(1)(2)=2$, харин апотем нь $5\cdot \frac(1)(2)=2.5$-тай тэнцүү болохыг бид олж харлаа.

Дараа нь 3-р теоремын дагуу бид олж авна

Тодорхойлолт

Пирамиднь нийтлэг оройтой $P$ (олон өнцөгтийн хавтгайд хэвтэхгүй) олон өнцөгт $A_1A_2...A_n$ ба $n$ гурвалжнуудаас бүрдэх олон өнцөгт бөгөөд түүний эсрэг талуудтай давхцаж байгаа олон өнцөгт юм. олон өнцөгтийн талууд.
Тэмдэглэл: $PA_1A_2...A_n$ .
Жишээ нь: таван өнцөгт пирамид $PA_1A_2A_3A_4A_5$ .

Гурвалжин $PA_1A_2, \PA_2A_3$ гэх мэт. гэж нэрлэдэг хажуугийн нүүрнүүдпирамид, сегмент $PA_1, PA_2$ гэх мэт. – хажуугийн хавирга, олон өнцөгт $A_1A_2A_3A_4A_5$ – суурь, цэг $P$ – дээд.

ӨндөрПирамидууд нь пирамидын оройноос суурийн хавтгайд буусан перпендикуляр юм.

Суурьдаа гурвалжинтай пирамид гэж нэрлэдэг тетраэдр.

Пирамид гэж нэрлэдэг зөв, хэрэв түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт бөгөөд дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан бол:

$(a)$ пирамидын хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү байна;

$(b)$ пирамидын өндөр нь суурийн ойролцоо хүрээлэгдсэн тойргийн төвөөр дамжин өнгөрдөг;

$c)$ хажуугийн хавирга нь суурийн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байна.

$(d)$ хажуугийн нүүрүүд нь суурийн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байна.

Ердийн тетраэдр- Энэ гурвалжин пирамид, бүх нүүр нь тэнцүү тэгш талт гурвалжин байна.

Теорем

$(a), (b), (c), (d)$ нөхцөлүүд тэнцүү байна.

Баталгаа

Пирамидын өндрийг олцгооё $PH$ . Пирамидын суурийн хавтгайг $\альфа$ гэж үзье.

1) $(a)$-аас $(b)$ дагана гэдгийг баталцгаая. $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ байг.

Учир нь $PH\perp \alpha$, тэгвэл $PH$ нь энэ хавтгайд байрлах дурын шулуунд перпендикуляр байх бөгөөд энэ нь гурвалжингууд тэгш өнцөгт байна гэсэн үг юм. Энэ нь эдгээр гурвалжин нь нийтлэг хөл $PH$ ба гипотенуз $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ тэнцүү байна гэсэн үг юм. Энэ нь $A_1H=A_2H=...=A_nH$ гэсэн үг. Энэ нь $A_1, A_2, ..., A_n$ цэгүүд $H$ цэгээс ижил зайд байгаа тул $A_1H$ радиустай нэг тойрог дээр байрладаг гэсэн үг юм. Тодорхойлолтоор энэ тойрог $A_1A_2...A_n$ олон өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн байна.

2) $(b)$ нь $(c)$ гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.

$PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$тэгш өнцөгт, хоёр хөл дээр тэнцүү. Энэ нь тэдний өнцөг нь тэнцүү гэсэн үг, тиймээс $\ өнцөг PA_1H=\ өнцөг PA_2H=...=\ өнцөг PA_nH$.

3) $(c)$ нь $(a)$ гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.

Эхний цэгтэй төстэй гурвалжин $PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$тэгш өнцөгт ба хөлний дагуу ба хурц булан. Энэ нь тэдний гипотенузууд мөн тэнцүү байна гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

4) $(b)$ нь $(d)$ гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.

Учир нь жирийн олон өнцөгт дотор хүрээлэгдсэн ба бичээстэй тойргийн төвүүд давхцдаг (ерөнхийдөө энэ цэгийг ердийн олон өнцөгтийн төв гэж нэрлэдэг), тэгвэл $H$ нь бичээстэй тойргийн төв болно. $H$ цэгээс суурийн талууд руу перпендикуляр зуръя: $HK_1, HK_2$ гэх мэт. Эдгээр нь бичээстэй тойргийн радиус юм (тодорхойлолтоор). Дараа нь TTP-ийн дагуу ($PH$ нь хавтгайд перпендикуляр, $HK_1, HK_2$ гэх мэт проекцууд, талуудтай перпендикуляр) ташуу $PK_1, PK_2$ гэх мэт. талуудтай перпендикуляр $A_1A_2, A_2A_3$ гэх мэт. тус тус. Тиймээс, тодорхойлолтоор $\ өнцөг PK_1H, \ өнцөг PK_2H$хажуугийн нүүр ба суурийн хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна. Учир нь гурвалжин $PK_1H, PK_2H, ...$ тэнцүү (хоёр талдаа тэгш өнцөгт хэлбэртэй), дараа нь өнцөг $\ өнцөг PK_1H, \өнцөг PK_2H, ...$тэнцүү байна.

5) $(d)$ нь $(b)$ гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.

Дөрөв дэх цэгтэй адил гурвалжин $PK_1H, PK_2H, ...$ тэнцүү байна (хөлний дагуу тэгш өнцөгт ба хурц өнцөг) нь $HK_1=HK_2=...=HK_n$ сегментүүд гэсэн үг юм. тэнцүү. Энэ нь тодорхойлолтоор $H$ нь сууринд сийлсэн тойргийн төв гэсэн үг юм. Гэхдээ учир нь Тогтмол олон өнцөгтүүдийн хувьд бичээстэй болон хүрээлэгдсэн тойргийн төвүүд давхцаж байгаа бол $H$ нь хүрээлэгдсэн тойргийн төв болно. Chtd.

Үр дагавар

Ердийн пирамидын хажуу талууд нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм.

Тодорхойлолт

Тогтмол пирамидын хажуугийн нүүрний өндрийг оройноос нь татсан гэж нэрлэдэг апотем.
Ердийн пирамидын бүх хажуугийн нүүрний тэмдэгтүүд нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд мөн медиан ба биссектрис юм.

Чухал тэмдэглэл

1. Тогтмол гурвалжин пирамидын өндөр нь суурийн өндрийн (эсвэл биссектриса эсвэл медиануудын) огтлолцох цэг дээр унадаг (суурь нь ердийн гурвалжин юм).

2. Өндөр нь зөв дөрвөлжин пирамидсуурийн диагональуудын огтлолцлын цэг дээр унадаг (суурь нь дөрвөлжин).

3. Тогтмол зургаан өнцөгт пирамидын өндөр нь суурийн диагональуудын огтлолцох цэг дээр унадаг (суурь нь ердийн зургаан өнцөгт).

4. Пирамидын өндөр нь сууринд байрлах аливаа шулуун шугамд перпендикуляр байна.

Тодорхойлолт

Пирамид гэж нэрлэдэг тэгш өнцөгт, хэрэв түүний хажуугийн ирмэгүүдийн аль нэг нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байвал.

Чухал тэмдэглэл

1. Тэгш өнцөгт пирамидын суурьтай перпендикуляр ирмэг нь пирамидын өндөр юм. Энэ нь $SR$ нь өндөр юм.

2. Учир нь $SR$ нь суурийн аль ч шулуунд перпендикуляр байна $\гурвалжин SRM, \гурвалжин SRP$- тэгш өнцөгт гурвалжин.

3. Гурвалжин $\гурвалжин SRN, \гурвалжин SRK$- бас тэгш өнцөгт.
Өөрөөр хэлбэл, энэ ирмэгээс үүссэн аливаа гурвалжин ба суурь дээр байрлах энэ ирмэгийн оройноос гарч буй диагональ нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

\[(\Том(\текст(Пирамидын эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбай)))\]

Теорем

Пирамидын эзэлхүүн нь суурийн талбай ба пирамидын өндрийн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна. \

Үр дагавар

$a$ нь суурийн тал, $h$-ийг пирамидын өндөр гэж үзье.

1. Энгийн гурвалжин пирамидын эзэлхүүн нь $V_(\текст(баруун гурвалжин.пир.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h$,

2. Энгийн дөрвөлжин пирамидын эзэлхүүн $V_(\текст(баруун.дөрвөн.пир.))=\dfrac13a^2h$.

3. Энгийн зургаан өнцөгт пирамидын эзэлхүүн нь $V_(\текст(баруун. зургаан пир.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h$.

4. Энгийн тетраэдрийн эзэлхүүн нь $V_(\текст(баруун тетр.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3$.

Теорем

Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметр ба апотемийн хагас үржвэртэй тэнцүү байна.

\[(\Том(\текст(Frustum)))\]

Тодорхойлолт

Дурын пирамидыг авч үзье $PA_1A_2A_3...A_n$ . Пирамидын хажуугийн ирмэг дээр байрлах тодорхой цэгээр дамжуулан пирамидын суурьтай параллель хавтгай зурцгаая. Энэ хавтгай нь пирамидыг хоёр олон талт хэлбэрт хуваах бөгөөд тэдгээрийн нэг нь пирамид ($PB_1B_2...B_n$), нөгөөг нь нэрлэдэг. таслагдсан пирамид($A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n$ ).

Таслагдсан пирамид нь хоорондоо төстэй олон өнцөгт $A_1A_2...A_n$ ба $B_1B_2...B_n$ гэсэн хоёр суурьтай.

Таслагдсан пирамидын өндөр нь дээд суурийн зарим цэгээс доод суурийн хавтгай руу татсан перпендикуляр юм.

Чухал тэмдэглэл

1. Таслагдсан пирамидын бүх хажуугийн нүүр нь трапец хэлбэртэй байна.

2. Энгийн таслагдсан пирамидын (өөрөөр хэлбэл ердийн пирамидын хөндлөн огтлолоор олж авсан пирамид) суурийн төвүүдийг холбосон сегмент нь өндөр юм.

Пирамид. Таслагдсан пирамид

Пирамидолон өнцөгт, нэг нүүр нь олон өнцөгт ( суурь ), бусад бүх нүүр нь нийтлэг оройтой гурвалжин ( хажуугийн нүүрнүүд ) (Зураг 15). Пирамид гэж нэрлэдэг зөв , хэрэв түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт бөгөөд пирамидын орой нь суурийн төв рүү чиглэсэн байвал (Зураг 16). Бүх ирмэгүүд нь тэнцүү гурвалжин пирамид гэж нэрлэгддэг тетраэдр .

Хажуугийн хавиргаПирамидын хажуугийн нүүр нь сууринд хамаарахгүй тал юм Өндөр пирамид нь түүний оройноос суурийн хавтгай хүртэлх зай юм. Ердийн пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд нь хоорондоо тэнцүү, хажуугийн бүх нүүр нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Оройноос татсан ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн өндрийг гэнэ апотем . Диагональ хэсэг нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайгаар пирамидын зүсэлт гэж нэрлэдэг.

Хажуугийн гадаргуугийн талбайпирамид нь бүх хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр юм. Нийт гадаргуугийн талбай бүх хажуугийн нүүр ба суурийн талбайн нийлбэр гэж нэрлэдэг.

Теоремууд

1. Хэрэв пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн хавтгайд тэгш налуу байвал пирамидын дээд хэсэг нь суурийн ойролцоо хүрээлэгдсэн тойргийн төв рүү чиглэсэн байна.

2. Хэрэв пирамид бүх хажуугийн ирмэгүүд байвал тэнцүү урттай, дараа нь пирамидын дээд хэсэг нь суурийн ойролцоо хүрээлэгдсэн тойргийн төв рүү чиглэнэ.

3. Хэрэв пирамидын бүх нүүр нь суурийн хавтгайд тэгш налуу байвал пирамидын орой нь сууринд сийлсэн тойргийн төв рүү тусна.

Дурын пирамидын эзлэхүүнийг тооцоолохын тулд зөв томьёо нь:

Хаана В- эзлэхүүн;

S суурь- суурь талбай;

Х- пирамидын өндөр.

Энгийн пирамидын хувьд дараах томъёолол зөв байна.

Хаана х- суурийн периметр;

h a- үг хэллэг;

Х- өндөр;

S дүүрэн

S тал

S суурь- суурь талбай;

В- ердийн пирамидын эзэлхүүн.

Таслагдсан пирамидПирамидын суурь ба пирамидын суурьтай параллель огтлох хавтгай хоёрын хооронд хаагдсан хэсгийг гэж нэрлэдэг (Зураг 17). Ердийн тайрсан пирамид нь суурь ба пирамидын суурьтай параллель огтлох хавтгайн хооронд бэхлэгдсэн ердийн пирамидын хэсэг юм.

Үндэслэлтаслагдсан пирамид - ижил төстэй олон өнцөгтүүд. Хажуугийн нүүр царай - трапецууд. Өндөр Таслагдсан пирамидын хэмжээ нь түүний суурийн хоорондох зай юм. Диагональ Таслагдсан пирамид нь нэг нүүрэн дээр байрладаггүй оройг нь холбосон сегмент юм. Диагональ хэсэг нь нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайгаар таслагдсан пирамидын хэсэг юм.

Таслагдсан пирамидын хувьд дараах томъёонууд хүчинтэй байна.

(4)

Хаана С 1 , С 2 - дээд ба доод суурийн хэсгүүд;

S дүүрэн- нийт гадаргуугийн талбай;

S тал- хажуугийн гадаргуугийн талбай;

Х- өндөр;

В– таслагдсан пирамидын эзэлхүүн.

Энгийн тайрсан пирамидын хувьд томъёо зөв байна:

Хаана х 1 , х 2 - суурийн периметр;

h a– ердийн тайрсан пирамидын үг.

Жишээ 1.Ердийн гурвалжин пирамид дээр суурийн хоёр талт өнцөг нь 60º байна. Налуу өнцгийн тангенсыг ол хажуугийн хавиргасуурь хавтгайд.

Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 18).

Пирамид нь зөв, суурь гэсэн утгатай тэгш талт гурвалжинбүх хажуугийн нүүрнүүд нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Суурийн хоёр өнцөгт өнцөг нь пирамидын хажуугийн гадаргуугийн суурийн хавтгайд налуугийн өнцөг юм. Шугаман өнцөг нь өнцөг юм ахоёр перпендикулярын хооронд: гэх мэт. Пирамидын дээд хэсэг нь гурвалжны төвд (тойрогны төв ба гурвалжны бичээстэй тойрог) байрладаг. ABC). Хажуугийн ирмэгийн налуу өнцөг (жишээлбэл С.Б.) нь ирмэг ба түүний суурийн хавтгай дээрх проекцын хоорондох өнцөг юм. Хавирганы хувьд С.Б.энэ өнцөг нь өнцөг болно SBD. Шүргэгчийг олохын тулд та хөлийг мэдэх хэрэгтэй SOТэгээд О.Б.. Сегментийн уртыг үзье Б.Д 3-тай тэнцүү А. Цэг ТУХАЙсегмент Б.Дгэсэн хэсгүүдэд хуваагдана: мөн From we find SO: Бидний олж мэдсэнээр:

Хариулт:

Жишээ 2.Суурийн диагональ нь см ба см-тэй тэнцүү, өндөр нь 4 см бол ердийн таслагдсан дөрвөлжин пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Шийдэл.Таслагдсан пирамидын эзэлхүүнийг олохын тулд бид (4) томъёог ашиглана. Суурийн талбайг олохын тулд тэдгээрийн диагональуудыг мэдэхийн тулд суурийн квадратуудын талыг олох хэрэгтэй. Суурийн талууд нь 2 см ба 8 см-тэй тэнцүү бөгөөд энэ нь суурийн талбайг илэрхийлнэ гэсэн үг бөгөөд бүх өгөгдлийг томъёонд орлуулж, бид таслагдсан пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолно.

Хариулт: 112 см 3.

Жишээ 3.Суурийн талууд нь 10 см ба 4 см, пирамидын өндөр нь 2 см хэмжээтэй энгийн гурвалжин зүсэгдсэн пирамидын хажуугийн нүүрний талбайг ол.

Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 19).

Энэ пирамидын хажуугийн нүүр нь хоёр талт трапец юм. Трапецын талбайг тооцоолохын тулд та суурь ба өндрийг мэдэх хэрэгтэй. Суурь нь нөхцөл байдлын дагуу өгөгдсөн бөгөөд зөвхөн өндөр нь тодорхойгүй хэвээр байна. Бид түүнийг хаанаас олох болно А 1 Эцэгээс перпендикуляр А 1 доод суурийн хавтгай дээр, А 1 Д-аас перпендикуляр А 1 тутамд АС. А 1 Э= 2 см, учир нь энэ нь пирамидын өндөр юм. олохын тулд Д.ЭДээд талын үзэмжийг харуулсан нэмэлт зургийг хийцгээе (Зураг 20). Цэг ТУХАЙ– дээд ба доод суурийн төвүүдийн проекц. оноос хойш (20-р зургийг үз) болон Нөгөө талаас OK– тойрог дотор бичээстэй радиус ба ОМ- тойрог дотор бичсэн радиус:

MK = DE.

-аас Пифагорын теоремын дагуу

Хажуугийн нүүрний хэсэг:

Хариулт:

Жишээ 4.Пирамидын ёроолд суурь нь ижил өнцөгт трапец хэлбэртэй байдаг АТэгээд б (а> б). Хажуугийн нүүр бүр нь пирамидын суурийн хавтгайтай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг j. Пирамидын нийт гадаргуугийн талбайг ол.

Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 21). Пирамидын нийт гадаргуугийн талбай SABCDтрапецын талбай ба талбайн нийлбэртэй тэнцүү ABCD.

Хэрэв пирамидын бүх нүүр нь суурийн хавтгайд тэгш налуу байвал орой нь сууринд сийлсэн тойргийн төв рүү чиглэнэ гэсэн мэдэгдлийг ашиглая. Цэг ТУХАЙ– оройн проекц Спирамидын ёроолд. Гурвалжин SODгурвалжны ортогональ проекц юм CSDсуурийн хавтгайд. Ортогональ проекцын талбайн тухай теоремоор хавтгай дүрсбид авах:

Үүнтэй адил гэсэн үг Тиймээс трапецын талбайг олоход асуудал багассан ABCD. Трапецийг зурцгаая ABCDтусад нь (Зураг 22). Цэг ТУХАЙ– трапец хэлбэрээр бичсэн тойргийн төв.

Тойрог трапец хэлбэрээр бичиж болох тул Пифагорын теоремоос бид