Онгоцны дүрсийн талбайн онлайн. Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ

16.10.2019

Бид давхар интегралыг тооцоолох бодит үйл явцыг авч үзэж, түүний геометрийн утгатай танилцаж эхэлдэг.

Тоогоор давхар интеграл талбайтай тэнцүүхавтгай зураг (интеграцийн бүс). Энэ хамгийн энгийн хэлбэрхоёр хувьсагчийн функц нэгтэй тэнцүү байх үед давхар интеграл: .

Эхлээд асуудлыг авч үзье ерөнхий үзэл. Одоо та бүх зүйл үнэхээр энгийн болохыг гайхах болно! Шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолъё. Тодорхой байхын тулд бид сегмент дээр гэж таамаглаж байна. Энэ зургийн талбай нь тоон хувьд тэнцүү байна:

Зурган дээрх талбайг дүрсэлцгээе.

Талбайг туулах эхний аргыг сонгоцгооё:

Тиймээс:

Тэгээд тэр даруй чухал техникийн техник: Давтагдсан интегралуудыг тусад нь авч үзэж болно. Эхлээд дотоод интеграл, дараа нь гаднах интеграл. Энэ аргаБи үүнийг энэ сэдвээр эхлэгчдэд зөвлөж байна.

1) Дотоод интегралыг тооцоод, интеграл нь "y" хувьсагч дээр явагдана.

Энд тодорхойгүй интеграл нь хамгийн энгийн бөгөөд дараа нь Ньютон-Лейбницийн улиг болсон томъёог ашигладаг бөгөөд цорын ганц ялгаа нь интегралын хязгаар нь тоо биш, харин функц юм. Эхлээд бид дээд хязгаарыг "y" (эсрэг үүсмэл функц), дараа нь доод хязгаарыг орлуулсан.

2) Эхний догол мөрөнд олж авсан үр дүнг гадаад интеграл болгон орлуулах ёстой:

Бүхэл бүтэн шийдлийн илүү нягт дүрслэл дараах байдалтай байна.

Үр дүнгийн томъёо - яг тийм ажлын томъёо"энгийн" тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолох! Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох хичээлийг үзнэ үү, энэ нь алхам бүрт байна!

Энэ нь давхар интеграл ашиглан талбайг тооцоолох асуудал юм нэг их ялгаатай биштодорхой интеграл ашиглан талбайг олох бодлогоос!

Үнэн хэрэгтээ энэ нь ижил зүйл юм!

Үүний дагуу ямар ч бэрхшээл гарах ёсгүй! Та энэ даалгавартай олон удаа тулгарч байсан тул би тийм ч олон жишээ харахгүй.

Жишээ 9

Шийдэл: Зурган дээрх талбайг дүрсэлцгээе.

Бид талбайг туулах дараах дарааллыг сонгоцгооё.

Эхний догол мөрөнд маш нарийвчилсан тайлбарыг өгсөн тул би энэ газрыг хэрхэн яаж туулах талаар энд цааш ярихгүй.

Тиймээс:

1) Нэгдүгээрт, Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан бид дотоод интегралыг авч үздэг.

2) Эхний алхамд олж авсан үр дүнг гадаад интегралд орлуулна.

2-р цэг нь тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг олох явдал юм.

Хариулт:

Энэ бол ийм тэнэг, гэнэн ажил юм.

Бие даасан шийдлийн сонирхолтой жишээ:

Жишээ 10

Давхар интеграл ашиглан , , шугамаар хязгаарлагдсан хавтгайн дүрсийн талбайг тооцоол.

Ойролцоогоор дээжХичээлийн төгсгөлд шийдлийг эцэслэх.

9-10-р жишээн дээр, сониуч уншигчид талбайг туулах эхний аргыг ашиглах нь илүү ашигтай байдаг. Хэрэв та алдаа гаргахгүй бол мэдээжийн хэрэг та ижил талбайн утгыг авах болно.

Гэхдээ зарим тохиолдолд энэ газрыг туулах хоёрдахь арга нь илүү үр дүнтэй байдаг бөгөөд залуу нердийн сургалтын төгсгөлд энэ сэдвээр хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 11

Давхар интеграл ашиглан шугамаар хязгаарлагдсан хавтгайн дүрсийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Хажуу талд нь байрлах хачирхалтай хоёр параболыг бид тэсэн ядан хүлээж байна. Инээмсэглэх шаардлагагүй;

Зураг зурах хамгийн хялбар арга юу вэ?

Параболыг хоёр функц хэлбэрээр төсөөлье.
– дээд салбар ба – доод салбар.

Үүний нэгэн адил параболыг дээд ба доод хэлбэрээр төсөөлөөд үз дээ салбарууд.

Дараа нь графикуудыг цэгийн дагуу зурах нь ийм хачирхалтай дүрсийг үүсгэдэг.

Дараахь томъёоны дагуу давхар интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцоолно.

Хэрэв бид тухайн газрыг туулах эхний аргыг сонговол юу болох вэ? Нэгдүгээрт, энэ талбайг хоёр хэсэгт хуваах ёстой. Хоёрдугаарт, бид энэ гунигтай дүр зургийг ажиглах болно. . Мэдээжийн хэрэг интеграл бол хэт төвөгтэй түвшин биш, гэхдээ ... эртний математикийн хэллэг байдаг: Үндэстээ ойрхон хүмүүст тест хэрэггүй.

Тиймээс, нөхцөл байдалд өгөгдсөн буруу ойлголтоос бид урвуу функцийг илэрхийлнэ.

Урвуу функцуудВ энэ жишээндТэд параболыг бүхэлд нь навч, царс, мөчир, үндэсгүйгээр нэг дор зааж өгдөг давуу талтай.

Хоёрдахь аргын дагуу газар нутгийг дайрах нь дараах байдалтай байна.

Эхний догол мөрөнд маш нарийвчилсан тайлбарыг өгсөн тул би энэ газрыг хэрхэн яаж туулах талаар энд цааш ярихгүй.

Тэдний хэлснээр ялгааг мэдэр.

1) Бид дотоод интегралтай харьцдаг:

Бид үр дүнг гадаад интеграл болгон орлуулна:

"y" хувьсагч дээр интеграци хийх нь төөрөгдүүлэхгүй байх ёстой, хэрэв "zy" үсэг байсан бол түүн дээр нэгтгэх нь маш сайн байх болно. Хэдийгээр "Эргэх биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ" хичээлийн хоёр дахь догол мөрийг уншсан хүн "Y" аргыг ашиглан интеграцчлахдаа өчүүхэн ч эвгүй байдалд орохоо больсон.

Мөн эхний алхамд анхаарлаа хандуулаарай: интеграл нь тэгш, интегралын интервал нь тэг орчим тэгш хэмтэй байна. Тиймээс сегментийг хоёр дахин багасгаж, үр дүнг хоёр дахин нэмэгдүүлэх боломжтой. Энэ техникхичээл дээр дэлгэрэнгүй тайлбар хийсэн Үр дүнтэй аргуудтодорхой интегралын тооцоо.

Юу нэмэх вэ... Бүгд!

Хариулт:

Интеграцийн техникээ шалгахын тулд та тооцоолж болно . Хариулт нь яг адилхан байх ёстой.

Жишээ 12

Давхар интеграл ашиглан шугамаар хязгаарлагдсан хавтгайн талбайг тооцоол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Сонирхолтой нь, хэрэв та талбайг туулах эхний аргыг ашиглахыг оролдвол зургийг хоёр хэсэгт хуваах шаардлагагүй, харин гурван хэсэгт хуваах болно! Үүний дагуу бид гурван хос давтагдсан интеграл авдаг. Энэ нь бас тохиолддог.

Мастер анги дуусч, их мастерын түвшинд шилжих цаг боллоо - Давхар интегралыг хэрхэн тооцоолох вэ? Шийдлийн жишээ. Хоёрдахь өгүүлэлд би тийм ч тэнэг байхыг хичээх болно =)

Танд амжилт хүсье!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2:Шийдэл: Талбайг дүрсэлцгээе зураг дээр:

Бид талбайг туулах дараах дарааллыг сонгоцгооё.

Тиймээс:
Урвуу функцууд руу шилжье:

Тиймээс:
Хариулт:

Жишээ 4:Шийдэл: Шууд функцууд руу шилжье:

Зураг зурцгаая:

Талбайг туулах дарааллыг өөрчилье:

Хариулт:

Шийдэл.

Шийдвэрийн эхний бөгөөд хамгийн чухал зүйл бол зураг зурах явдал юм.

Зураг зурцгаая:

Тэгшитгэл y=0"x" тэнхлэгийг тохируулна;

- x=-2Тэгээд x=1- шулуун, тэнхлэгтэй зэрэгцээ Өө;

- y=x 2 +2 -(0;2) цэг дээр оройтой, мөчрүүд нь дээшээ чиглэсэн парабол.

Сэтгэгдэл. Параболыг байгуулахын тулд түүний огтлолцох цэгүүдийг олоход хангалттай координатын тэнхлэгүүд, өөрөөр хэлбэл тавих x=0тэнхлэгтэй огтлолцох хэсгийг ол Өөмөн үүний дагуу шийдвэр гаргах квадрат тэгшитгэл, тэнхлэгтэй огтлолцох хэсгийг ол Өө .

Параболын оройг дараах томъёогоор олж болно.

Та мөн шугамыг цэг болгон барьж болно.

[-2;1] интервал дээр функцийн график y=x 2 +2тэнхлэгээс дээш байрладаг Үхэр, Тийм учраас:

Хариулт: С=9 м.кв нэгж

Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. IN энэ тохиолдолд"нүдээр" бид зургийн эсийн тоог тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн юм шиг байна. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэсэн хариултыг авсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.

Хэрэв муруй трапец тэнхлэгийн доор байрладаг бол яах вэ Өө?

б) шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол y=-e x , x=1ба координатын тэнхлэгүүд.

Шийдэл.

Зураг зурцгаая.

Хэрэв муруй трапец нь тэнхлэгийн доор бүрэн байрласан бол Өө , Дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Хариулт: S=(e-1)кв. нэгж" 1.72 кв. нэгж

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв танаас тодорхой интегралыг ямар чгүйгээр шийдэхийг хүсэх юм бол геометрийн утга, тэгвэл энэ нь сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая хэлэлцсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

Практикт ихэвчлэн зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг.

в) Шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол y=2x-x 2, y=-x.

Шийдэл.

Эхлээд та зургийг дуусгах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Параболын огтлолцох цэгүүдийг олъё ба шулуун Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм.

Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Энэ нь интеграцийн доод хязгаар гэсэн үг юм a=0, интеграцийн дээд хязгаар b=3 .

Бид өгөгдсөн шугамуудыг байгуулна: 1. Парабола - (1;1) цэг дээрх орой; тэнхлэгийн уулзвар Өө -оноо (0;0) ба (0;2). 2. Шулуун шугам - 2 ба 4-р координатын өнцгийн биссектриса. Тэгээд одоо Анхаар! Хэрэв сегмент дээр бол [ a;b] зарим нэг тасралтгүй функц f(x)зарим тасралтгүй функцээс их буюу тэнцүү g(x), дараа нь дараах томъёог ашиглан харгалзах зургийн талбайг олж болно. .

Энэ зураг хаана байрлах нь хамаагүй - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор, гэхдээ аль график нь ӨНДӨР (өөр графиктай харьцуулахад), аль нь ДООР байх нь чухал юм. Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байгаа тул үүнээс хасах шаардлагатай байна.

Та шугамыг цэгээр байгуулж болох бөгөөд интеграцийн хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болно. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог.

Хүссэн дүрс нь дээрх парабол, доор нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.

Сегмент дээр , холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт: С=4.5 м.кв нэгж

Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ

Интеграл тооцооллын хэрэглээг авч үзье. Энэ хичээлээр бид ердийн бөгөөд хамгийн нийтлэг асуудал болох тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг хэрхэн тооцоолох талаар дүн шинжилгээ хийх болно. Эцэст нь, дээд математикийн утга учрыг хайж байгаа хүмүүс үүнийг олох болтугай. Та хэзээ ч мэдэхгүй. Бодит амьдрал дээр та энгийн функцуудыг ашиглан зуслангийн талбайг ойролцоогоор тооцоолж, тодорхой интеграл ашиглан түүний талбайг олох хэрэгтэй болно.

Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.

1) Тодорхой бус интегралыг ядаж дунд түвшинд ойлгох. Тиймээс дамми нар эхлээд Үгүй гэсэн хичээлтэй танилцах хэрэгтэй.

Үнэн хэрэгтээ дүрсийн талбайг олохын тулд тодорхойгүй ба тодорхой интегралын талаар тийм ч их мэдлэг хэрэггүй. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурахтай холбоотой байдаг тул таны зураг зурах мэдлэг, ур чадвар илүү тулгамдсан асуулт байх болно. Үүнтэй холбогдуулан үндсэн үндсэн функцүүдийн графикуудын тухай санах ойг сэргээх, хамгийн багаар бодоход шулуун шугам, парабол, гиперболыг бүтээх чадвартай байх нь ашигтай байдаг. Үүнийг ашиглан хийж болно (олон хүний хувьд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай). арга зүйн материалГрафикийн геометрийн хувиргалтуудын тухай өгүүллүүд.

Ер нь тодорхой интеграл ашиглан талбайг олох даалгаврыг хүн бүр сургуулиасаа мэддэг байсан бөгөөд бид үүнээс цааш явахгүй. сургуулийн сургалтын хөтөлбөр. Энэ нийтлэл огт байгаагүй байж болох ч 100 тохиолдлын 99-д нь оюутан үзэн яддаг сургуульд зовж, дээд математикийн хичээлийг урам зоригтойгоор эзэмшсэн тохиолдолд ийм асуудал гардаг.

Энэхүү семинарын материалыг энгийн, дэлгэрэнгүй, хамгийн бага онолоор танилцуулсан болно.

Муруй трапецаар эхэлцгээе.

Муруй трапец гэдэг нь тэнхлэг, шулуун шугамууд болон энэ интервал дээр тэмдэг өөрчлөгддөггүй сегмент дээр үргэлжилсэн функцийн графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм. Энэ зургийг байрлуулахыг зөвшөөрнө үү доогуур биш x тэнхлэг:

Дараа нь муруйн трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоогоор тэнцүү байна. Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай. Хичээл дээр Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээнүүд Би тодорхой интеграл бол тоо гэж хэлсэн. Одоо дахиад нэгийг хэлэх цаг болжээ ашигтай баримт. Геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл нь AREA юм.

Өөрөөр хэлбэл, тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) геометрийн хувьд тодорхой дүрсийн талбайтай тохирч байна. Жишээлбэл, тодорхой интегралыг авч үзье. Интеграл нь тэнхлэгийн дээгүүр байрлах хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог (хүссэн хүмүүс зураг зурах боломжтой) бөгөөд тодорхой интеграл нь өөрөө харгалзах муруйн трапецын талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна.

Жишээ 1

Энэ бол даалгаврын ердийн мэдэгдэл юм. Шийдвэрийн эхний бөгөөд хамгийн чухал зүйл бол зураг зурах явдал юм. Түүнээс гадна зургийг ЗӨВ барьсан байх ёстой.

Зургийг бүтээхдээ би дараах дарааллыг хийхийг зөвлөж байна: эхлээд бүх шулуун шугамыг (хэрэв байгаа бол), зөвхөн дараа нь - парабол, гипербол болон бусад функцүүдийн графикийг барих нь дээр. Функцийн графикийг цэгийн дагуу байгуулах нь илүү ашигтай байдаг; лавлах материалЭнгийн функцүүдийн график ба шинж чанарууд. Тэнд та бидний хичээлд маш хэрэгтэй материалыг олж авах боломжтой - параболыг хэрхэн хурдан бүтээх вэ.

Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.
Зургийг зурцгаая (тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог болохыг анхаарна уу):

Би муруй трапецийг сүүдэрлэхгүй, бид ямар талбайн тухай ярьж байгаа нь тодорхой байна. Шийдэл дараах байдлаар үргэлжилнэ.

Сегмент дээр функцийн график нь тэнхлэгээс дээш байрладаг тул:

Хариулт:

Тодорхой интегралыг тооцоолох, Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэхэд бэрхшээлтэй хүмүүс , Тодорхой интеграл лекцээс үзнэ үү. Шийдлийн жишээ.

Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд бид зургийн эсийн тоог "нүдээр" тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн юм шиг байна. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэсэн хариултыг авсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.

Жишээ 2

, , болон тэнхлэгүүдээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Хэрэв муруй трапец тэнхлэгийн доор байрладаг бол яах вэ?

Жишээ 3

Шугаман ба координатын тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Зураг зурцгаая:

Хэрэв муруй трапец нь тэнхлэгийн доор байрладаг бол (эсвэл дор хаяж өндөргүйөгөгдсөн тэнхлэг), дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.
Энэ тохиолдолд:

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

Практикт ихэнхдээ зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг тул сургуулийн хамгийн энгийн асуудлаас эхлээд илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилждэг.

Жишээ 4

, шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.

Шийдэл: Эхлээд та зураг зурах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Парабола ба шулуун шугамын огтлолцох цэгүүдийг олъё. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Интеграцийн доод хязгаар нь , дээд хязгаар нь .
Боломжтой бол энэ аргыг хэрэглэхгүй байх нь дээр.

Шугамыг цэгээр нь барих нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан бөгөөд интеграцийн хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болно. Төрөл бүрийн графикийг цэгэн байгуулах аргачлалын талаар "График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд" гэсэн туслах хэсэгт дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог. Мөн бид ийм жишээг авч үзэх болно.

Даалгавар руугаа буцъя: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола байгуулах нь илүү оновчтой юм. Зураг зурцгаая:

Цэгцэн шугам барихдаа интеграцийн хязгаарыг ихэвчлэн "автоматаар" илрүүлдэг гэдгийг би давтан хэлье.

Одоо ажлын томьёо: Хэрэв сегмент дээрх зарим тасралтгүй функц нь зарим тасралтгүй функцээс их буюу тэнцүү байвал эдгээр функцуудын графикууд болон шулуун шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энд та зураг хаана байрлаж байгаа талаар бодох шаардлагагүй болсон - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор байгаа бөгөөд ойролцоогоор хэлэхэд аль график нь ӨНДӨР (өөр графиктай харьцуулахад), аль нь ДООР байх нь чухал юм.

Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байгаа тул үүнээс хасах шаардлагатай байна.

Дууссан шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно:

Хүссэн дүрс нь дээрх парабол, доор нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.
Харгалзах томъёоны дагуу сегмент дээр:

Хариулт:

Үнэн хэрэгтээ доод хагас хавтгай дахь муруйн трапецын талбайн сургуулийн томъёо (энгийн жишээ № 3-ыг үзнэ үү) нь томьёоны онцгой тохиолдол юм. . Тэнхлэг нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог тул функцийн график байрладаг өндөргүйтэгвэл тэнхлэгүүд

Одоо өөрийнхөө шийдлийн хэд хэдэн жишээ

Жишээ 5

Жишээ 6

, шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг ол.

Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд заримдаа инээдтэй тохиолдол гардаг. Зургийг зөв хийсэн, тооцоо зөв байсан ч анхаарал болгоомжгүй байдлаасаа болж... буруу зургийн талбай олдсон, таны даруухан үйлчлэгч хэд хэдэн удаа алдаа гаргасан. Энд бодит хэрэгамьдралаас:

Жишээ 7

, , , шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Эхлээд зураг зуръя:

...Өө, зураг нь онигоо болсон ч бүх зүйл гаргацтай байх шиг байна.

Бидний олох ёстой талбайг цэнхэр өнгөөр будсан байна (нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг хэрхэн хязгаарлагдмал байна!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж "гажиг" ихэвчлэн тохиолддог бөгөөд та дүрсний сүүдэртэй хэсгийг олох шаардлагатай болдог. ногоон!

Энэ жишээ нь хоёр тодорхой интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцоолоход бас ашигтай юм. Үнэхээр:

1) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр шулуун шугамын график байна;

2) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр гиперболын график байна.

Талбайг нэмэх боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:

Хариулт:

Өөр нэг утга учиртай ажил руугаа орцгооё.

Жишээ 8

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоолох,
Тэгшитгэлүүдийг "сургууль" хэлбэрээр танилцуулж, цэг тус бүрээр нь зурцгаая.

Зургаас харахад бидний дээд хязгаар "сайн": .
Гэхдээ доод хязгаар нь юу вэ?! Энэ бүхэл тоо биш гэдэг нь ойлгомжтой, гэхдээ энэ нь юу вэ? байж болох уу? Гэхдээ зургийг төгс нарийвчлалтай хийсэн гэсэн баталгаа хаана байна вэ, энэ нь магадгүй ... Эсвэл үндэс. Хэрэв бид графикийг буруу барьсан бол яах вэ?

Ийм тохиолдолд та нэмэлт цаг зарцуулж, аналитик байдлаар нэгтгэх хязгаарыг тодруулах хэрэгтэй.

Шулуун ба параболын огтлолцох цэгүүдийг олъё.
Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг шийднэ.

,

Үнэхээр, .

Цаашдын шийдэл нь өчүүхэн, гол зүйл бол орлуулалт, тэмдгүүдэд андуурч болохгүй;

Сегмент дээр , холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт:

За, хичээлээ дуусгахын тулд өөр хоёр хэцүү даалгаврыг авч үзье.

, , шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Энэ дүрсийг зурган дээр дүрсэлцгээе.

Хараал ид, би хуваарьт гарын үсэг зурахаа мартчихаж, уучлаарай, би зургийг дахин хийхийг хүсээгүй. Зурах өдөр биш товчхондоо өнөөдөр бол өдөр =)

Нэг цэгийн барилгын хувьд та мэдэх хэрэгтэй гадаад төрхсинусоидууд (мөн ерөнхийдөө бүх үндсэн функцүүдийн графикийг мэдэх нь ашигтай байдаг), мөн синусын зарим утгыг тригонометрийн хүснэгтээс олж болно. Зарим тохиолдолд (энэ тохиолдолд) бүдүүвч зураг зурах боломжтой бөгөөд үүн дээр график, интеграцийн хязгаарыг үндсэндээ зөв харуулах ёстой.

Энд нэгдмэл байдлын хязгаарт ямар ч асуудал байхгүй, тэд "x" нь тэгээс "pi" хүртэл өөрчлөгддөг. Цаашид шийдвэрээ гаргацгаая:

Сегмент дээр функцийн график нь тэнхлэгээс дээш байрладаг тул:

Интеграл тооцооллын хэрэглээг авч үзье. Энэ хичээлээр бид тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолох ердийн бөгөөд хамгийн нийтлэг асуудлыг авч үзэх болно. Эцэст нь, дээд математикийн утга учрыг эрэлхийлж буй бүх хүмүүст үүнийг олж авцгаая. Та хэзээ ч мэдэхгүй. Бодит амьдрал дээр та энгийн функцуудыг ашиглан зуслангийн талбайг ойролцоогоор тооцоолж, тодорхой интеграл ашиглан түүний талбайг олох хэрэгтэй болно.

Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.

1) Тодорхой бус интегралыг ядаж дунд түвшинд ойлгох. Тиймээс дамми хүмүүс эхлээд Тэр-ийн сургамжтай танилцах хэрэгтэй.

2) Ньютон-Лейбницийн томьёог хэрэглэж, тодорхой интегралыг тооцоолох чадвартай байх. Тодорхой интеграл хуудаснаас та тодорхой интегралтай халуун дотно найрсаг харилцаа тогтоож болно. Шийдлийн жишээ. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурахтай холбоотой байдаг тул таны мэдлэг, зурах ур чадвар бас чухал асуудал байх болно. Наад зах нь та шулуун шугам, парабол, гиперболыг барьж чаддаг байх хэрэгтэй.

Муруй трапецаар эхэлцгээе. Муруй трапец гэдэг нь зарим функцийн графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм y = е(x), тэнхлэг ҮХЭРболон шугамууд x = а; x = б.

Муруй шугаман трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоогоор тэнцүү байна

Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай. Хичээл дээр Тодорхой интеграл. Тодорхой интеграл бол тоо гэж бид хэлсэн шийдлүүдийн жишээ. Одоо бас нэг хэрэгтэй баримтыг хэлэх цаг болжээ. Геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл нь AREA юм. Өөрөөр хэлбэл, тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) геометрийн хувьд тодорхой дүрсийн талбайтай тохирч байна. Тодорхой интегралыг авч үзье

Интеграл

хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог (хэрэв хүсвэл үүнийг зурж болно), тодорхой интеграл нь өөрөө харгалзах муруйн трапецын талбайтай тоогоор тэнцүү байна.

Жишээ 1

, , , .

Энэ бол даалгаврын ердийн мэдэгдэл юм. Хамгийн чухал цэгшийдэл - зураг. Түүнээс гадна зургийг ЗӨВ барьсан байх ёстой.

Зургийг бүтээхдээ би дараах дарааллыг хийхийг зөвлөж байна: эхлээд бүх шулуун шугамыг (хэрэв байгаа бол), зөвхөн дараа нь - парабол, гипербол болон бусад функцүүдийн графикийг барих нь дээр. Цэгэн чигт барих техникийг үндсэн функцүүдийн график ба шинж чанаруудын лавлах материалаас олж болно. Тэнд та бидний хичээлд маш хэрэгтэй материалыг олж авах боломжтой - параболыг хэрхэн хурдан бүтээх вэ.

Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.

Зургийг хийцгээе (тэгшитгэлийг анхаарна уу y= 0 нь тэнхлэгийг заана ҮХЭР):

Бид муруй трапецийг сүүдэрлэхгүй, энд бид ямар талбайн тухай ярьж байгаа нь тодорхой байна. Шийдэл дараах байдлаар үргэлжилнэ.

Сегмент дээр [-2; 1] функцын график y = x 2 + 2 нь тэнхлэгээс дээш байрладаг ҮХЭР, Тийм учраас:

Хариулт: .

Тодорхой интегралыг тооцоолох, Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэхэд бэрхшээлтэй хүмүүс

Тодорхой интеграл лекцээс үзнэ үү. Шийдлийн жишээ. Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд бид зургийн эсийн тоог "нүдээр" тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн юм шиг байна. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэсэн хариултыг авсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.

Жишээ 2

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол xy = 4, x = 2, x= 4 ба тэнхлэг ҮХЭР.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Хэрэв муруй трапец тэнхлэгийн доор байрладаг бол яах вэ ҮХЭР?

Жишээ 3

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол y = e-x, x= 1 ба координатын тэнхлэгүүд.

Шийдэл: Зураг зурцгаая:

Хэрэв муруй трапец нь тэнхлэгийн доор бүрэн байрласан бол ҮХЭР, дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энэ тохиолдолд:

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

Жишээ 4

Шулуунаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол y = 2x – x 2 , y = -x.

Шийдэл: Эхлээд та зураг зурах хэрэгтэй. Талбайн асуудалд зураг зурахдаа бид шугамын огтлолцлын цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Параболын огтлолцох цэгүүдийг олъё y = 2x – x 2 ба шулуун y = -x. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Энэ нь интеграцийн доод хязгаар гэсэн үг юм а= 0, интеграцийн дээд хязгаар б= 3. Ихэнхдээ шугамыг цэгээр нь барих нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан бөгөөд интеграцийн хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болдог. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог. Даалгавар руугаа буцъя: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола байгуулах нь илүү оновчтой юм. Зураг зурцгаая:

Цэгэн чиглэлд барихдаа интеграцийн хязгаарыг ихэвчлэн "автоматаар" тодорхойлдог гэдгийг давтан хэлье.

Одоо ажлын томъёо:

Хэрэв сегмент дээр бол [ а; б] зарим нэг тасралтгүй функц е(x) зарим тасралтгүй функцээс их буюу тэнцүү байна g(x), дараа нь дараах томъёог ашиглан харгалзах зургийн талбайг олж болно.

Энд та зураг хаана байрлаж байгааг бодох шаардлагагүй болно - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор, гэхдээ аль график нь ИЛҮҮ (өөр графиктай харьцуулахад), аль нь ДООР байх нь чухал юм.

Харж буй жишээн дээр парабола сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байна, тиймээс 2-оос x – x 2-ыг хасах хэрэгтэй - x.

Дууссан шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно:

Хүссэн дүрс нь параболоор хязгаарлагддаг y = 2x – x 2 дээд ба шулуун y = -xдоор.

2-р сегмент дээр x – x 2 ≥ -x. Холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт: .

Үнэн хэрэгтээ доод хагас хавтгай дахь муруйн трапецын талбайн сургуулийн томъёо (3-р жишээг үзнэ үү) нь томьёоны онцгой тохиолдол юм.

Учир нь тэнхлэг ҮХЭРтэгшитгэлээр өгөгдсөн y= 0, мөн функцийн график g(x) тэнхлэгийн доор байрладаг ҮХЭР, Тэр

Одоо өөрийнхөө шийдлийн хэд хэдэн жишээ

Жишээ 5

Жишээ 6

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол

Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд заримдаа инээдтэй тохиолдол гардаг. Зураг зөв хийгдсэн, тооцоо зөв байсан ч анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж... буруу зургийн талбай олдсон.

Жишээ 7

Эхлээд зураг зуръя:

Бидний олох ёстой талбайг цэнхэр өнгөөр будсан байна (нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг хэрхэн хязгаарлагдмал байна!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж хүмүүс ихэвчлэн ногоон өнгөөр сүүдэрлэсэн зургийн хэсгийг олох хэрэгтэй гэж шийддэг!

Энэ жишээ нь хоёр тодорхой интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцоолоход бас ашигтай юм. Үнэхээр:

1) сегмент дээр [-1; 1] тэнхлэгээс дээш ҮХЭРграфик нь шулуун байрладаг y = x+1;

2) Тэнхлэгээс дээш сегмент дээр ҮХЭРгиперболын график байрладаг y = (2/x).

Талбайг нэмэх боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:

Хариулт:

Жишээ 8

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол

Тэгшитгэлүүдийг "сургууль" хэлбэрээр танилцуулъя

мөн цэгээр нь зурах:

Зургаас харахад бидний дээд хязгаар "сайн" байна: б = 1.

Гэхдээ доод хязгаар нь юу вэ?! Энэ бүхэл тоо биш гэдэг нь ойлгомжтой, гэхдээ энэ нь юу вэ?

байж магадгүй, а=(-1/3)? Гэхдээ зургийг төгс нарийвчлалтай хийсэн гэсэн баталгаа хаана байна вэ, энэ нь тодорхой болж магадгүй юм а=(-1/4). Хэрэв бид графикийг буруу барьсан бол яах вэ?

Ийм тохиолдолд та нэмэлт цаг зарцуулж, аналитик байдлаар нэгтгэх хязгаарыг тодруулах хэрэгтэй.

Графикуудын огтлолцох цэгүүдийг олъё

Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг шийднэ.

Тиймээс, а=(-1/3).

Цаашдын шийдэл нь өчүүхэн юм. Хамгийн гол нь орлуулалт, тэмдгүүдэд андуурч болохгүй. Энд байгаа тооцоо нь хамгийн энгийн зүйл биш юм. Сегмент дээр

, ,

холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт:

Хичээлийг дуусгахын тулд өөр хоёр хэцүү даалгаврыг авч үзье.

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол

Шийдэл: Энэ дүрсийг зурган дээр дүрсэлцгээе.

Цэг цэгийн зургийг бүтээхийн тулд та синусоидын дүр төрхийг мэдэх хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бүх энгийн функцүүдийн график, мөн зарим синусын утгыг мэдэх нь ашигтай байдаг. Тэдгээрийг утгын хүснэгтээс олж болно тригонометрийн функцууд. Зарим тохиолдолд (жишээлбэл, энэ тохиолдолд) бүдүүвч зураг зурах боломжтой бөгөөд үүнд график, интеграцийн хязгаарыг үндсэндээ зөв харуулах ёстой.

Энд нэгдмэл байдлын хязгаарлалттай холбоотой асуудал байхгүй, тэдгээр нь нөхцөл байдлаас шууд хамаардаг;

– “x” тэгээс “pi” болж өөрчлөгдөнө. Цаашид шийдвэрээ гаргацгаая:

Сегмент дээр функцийн график y= нүгэл 3 xтэнхлэгээс дээш байрладаг ҮХЭР, Тийм учраас:

(1) Та тригонометрийн функцүүдийн интеграл хичээлээс синус ба косинусыг сондгой зэрэглэлд хэрхэн нэгтгэж байгааг харж болно. Бид нэг синусыг хавчих.

(2) Бид үндсэн тригонометрийн таних тэмдгийг хэлбэрээр ашигладаг

(3) Хувьсагчийг өөрчилье т=cos x, тэгвэл: тэнхлэгийн дээгүүр байрласан тул:

Тэмдэглэл: Шүргэдэг кубын интеграл нь үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлын үр дүнд хэрхэн ашиглагдаж байгааг анхаарна уу

Вэбсайтад математикийн томъёог хэрхэн оруулах вэ?

Хэрэв та хэзээ нэгэн цагт вэб хуудсанд нэг юмуу хоёр математикийн томьёо нэмэх шаардлагатай бол үүнийг хийх хамгийн хялбар арга бол нийтлэлд дурдсанчлан: математикийн томъёог Wolfram Alpha-ийн автоматаар үүсгэсэн зураг хэлбэрээр сайтад хялбархан оруулдаг. . Энгийн байдлаас гадна энэ бүх нийтийн арга нь хайлтын системд сайтын харагдах байдлыг сайжруулахад тусална. Энэ нь удаан хугацаанд ажиллаж байсан (мөн үүрд ажиллах болно гэж бодож байна), гэхдээ аль хэдийн ёс суртахууны хувьд хоцрогдсон.

Хэрэв та өөрийн сайт дээр математикийн томъёог тогтмол ашигладаг бол MathML, LaTeX эсвэл ASCIIMathML тэмдэглэгээг ашиглан вэб хөтчүүдэд математик тэмдэглэгээг харуулдаг тусгай JavaScript номын сан болох MathJax-г ашиглахыг зөвлөж байна.

MathJax ашиглаж эхлэх хоёр арга бий: (1) ашиглах энгийн кодта MathJax скриптийг өөрийн вэбсайт руу хурдан холбох боломжтой бөгөөд энэ нь зөв цагт алсын серверээс автоматаар ачаалагдах болно (серверүүдийн жагсаалт); (2) MathJax скриптийг алсын серверээс сервертээ татаж аваад сайтынхаа бүх хуудсанд холбоно уу. Хоёрдахь арга нь илүү төвөгтэй бөгөөд цаг хугацаа их шаарддаг - таны сайтын хуудсуудыг ачааллыг хурдасгах бөгөөд хэрэв эх MathJax сервер ямар нэг шалтгаанаар түр ажиллахгүй бол энэ нь таны сайтад ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй. Эдгээр давуу талуудыг үл харгалзан би илүү хялбар, хурдан бөгөөд техникийн ур чадвар шаарддаггүй тул эхний аргыг сонгосон. Миний жишээг дагаж, ердөө 5 минутын дотор та MathJax-ийн бүх боломжуудыг сайт дээрээ ашиглах боломжтой болно.

Та MathJax номын сангийн скриптийг алсын серверээс MathJax-ийн үндсэн вэбсайтаас эсвэл баримт бичгийн хуудаснаас авсан хоёр кодын сонголтыг ашиглан холбож болно.

Эдгээр кодын сонголтуудын аль нэгийг таны вэб хуудасны код руу хуулж, шошгоны хооронд болон шошгоны дараа шууд буулгах шаардлагатай. Эхний хувилбарын дагуу MathJax илүү хурдан ачаалж, хуудсыг бага удаашруулдаг. Гэхдээ хоёр дахь сонголт нь MathJax-ийн хамгийн сүүлийн хувилбаруудыг автоматаар хянаж, ачаалдаг. Хэрэв та эхний кодыг оруулбал үүнийг үе үе шинэчлэх шаардлагатай болно. Хэрэв та хоёр дахь кодыг оруулбал хуудаснууд илүү удаан ачаалах боловч MathJax-ийн шинэчлэлтийг байнга хянах шаардлагагүй болно.

MathJax-г холбох хамгийн хялбар арга бол Blogger эсвэл WordPress дээр: сайтын хяналтын самбарт гуравдагч этгээдийн JavaScript код оруулах зориулалттай виджет нэмж, дээр дурдсан татаж авах кодын эхний эсвэл хоёр дахь хувилбарыг хуулж, виджетийг ойртуулна уу. Загварын эхэнд (дашрамд хэлэхэд, энэ нь огт шаардлагагүй, учир нь MathJax скрипт асинхроноор ачаалагдсан байдаг). Ингээд л болоо. Одоо MathML, LaTeX, ASCIIMathML-ийн тэмдэглэгээний синтаксийг сурснаар та сайтынхаа вэб хуудсанд математикийн томьёо оруулахад бэлэн боллоо.

Аливаа фрактал нь тодорхой дүрмийн дагуу бүтээгдсэн бөгөөд үүнийг хязгааргүй олон удаа тогтмол хэрэглэдэг. Ийм цаг бүрийг давталт гэж нэрлэдэг.

Менгер хөвөн бүтээх давталтын алгоритм нь маш энгийн: 1-р талтай анхны шоо нь нүүртэйгээ параллель хавтгайгаар хуваагдаж 27 тэнцүү шоо болж хуваагдана. Үүнээс нэг төв шоо, түүнтэй зэргэлдээх 6 кубыг нүүрний дагуу гаргаж авдаг. Үр дүн нь үлдсэн 20 жижиг шооноос бүрдсэн багц юм. Эдгээр шоо тус бүртэй ижил зүйлийг хийснээр бид 400 жижиг шооноос бүрдэх багцыг авна. Энэ үйл явцыг эцэс төгсгөлгүй үргэлжлүүлснээр бид Menger хөвөн авдаг.