Функцийг авч үзье. Энэ функцийг интеграл гэж нэрлэдэг дээд хязгаарын функц. Энэ функцийн хэд хэдэн шинж чанарыг тэмдэглэе.
Теорем 2.1. Хэрэв f(x) нь интегралдах функц бол Ф(х) нь -д тасралтгүй байна.
Баталгаа. Өмчөөр 9 тодорхой интеграл(дундаж утгын теорем) бидэнд байна 
, хаанаас, цагт, бид шаардлагатай зүйлийг олж авдаг.
Теорем 2.2. Хэрэв f(x) нь дээр тасралтгүй функц байвал Ф’(x) = f(x) дээр байна.
Баталгаа. Тодорхой интегралын 10-р шинж чанараар (хоёр дахь дундаж утгын теорем) бид байна 
Хаана -тай- сегментийн зарим цэг. f функцийн тасралтгүй байдлын улмаас бид олж авна
Иймд Ф(х) нь f(x) функцийн эсрэг деривативуудын нэг тул Ф(x) = F(x) + C, энд F(x) нь f(x) функцийн эсрэг дериватив юм. Цаашлаад Ф(a) = 0 тул 0 = F(a) + C, тиймээс C = -F(a) тул Ф(x) = F(x) – F(a). x=b гэж үзвэл Ньютон-Лейбницийн томьёог олж авна
Жишээ
1. 
Тодорхой интеграл дахь хэсгүүдийн интеграл
Тодорхой интеграл нь хэсгүүдээр нэгтгэх томъёог хадгалдаг. Энэ тохиолдолд хэлбэрийг авна
Жишээ.
Тодорхой интеграл дахь хувьсагчдыг өөрчлөх
Тодорхой интеграл дахь хувьсагчдын өөрчлөлтийн үр дүнгийн нэг хувилбар нь дараах байдалтай байна.Теорем 2.3. f(x) нь хэрчим дээр тасралтгүй байх ба нөхцлүүдийг хангая.
1) φ(α) = a
2) φ(β) = b
3) дериватив φ’(t) нь [α, β] интервалын хаа сайгүй тодорхойлогддог.
4) [α, β]-аас бүх t-д
Дараа нь
Баталгаа.Хэрэв F(x) нь f(x)dx-ийн эсрэг дериватив бол F(φ(t)) нь эсрэг дериватив байна Иймд F(b) – F(a) = F(φ(β)) – F(φ(α)) . Теорем нь батлагдсан.
Сэтгэгдэл.Хэрэв бид теорем 2.3-ын нөхцөлд f(x) функцийн тасралтгүй байдлыг үгүйсгэвэл φ(t) функцийн монотон байдлыг шаардах ёстой.
Жишээ.Интегралыг тооцоол. Дараа нь dx = 2tdt гэж үзье
Асуудал 1(муруй трапецын талбайг тооцоолох тухай).
Декартын тэгш өнцөгт координатын xOy системд x тэнхлэг, x = a, x = b шулуун шугамууд (муруй трапец. Муруй трапецын талбайг тооцоолох шаардлагатай) -ээр хязгаарлагдсан дүрсийг (зураг харна уу) өгөгдсөн.
Шийдэл.Геометр нь олон өнцөгтийн талбай болон тойргийн зарим хэсгийг (салбар, сегмент) тооцоолох жорыг бидэнд өгдөг. Геометрийн үзэл баримтлалыг ашиглан бид зөвхөн шаардлагатай талбайн ойролцоо утгыг олох боломжтой бөгөөд дараах үндэслэлээр тайлбарлана.
Хэсэгт хувацгаая [a; b] (муруй трапецын суурь) n тэнцүү хэсэгт; энэ хуваалтыг x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 цэгүүдийг ашиглан гүйцэтгэнэ. Эдгээр цэгүүдээр у тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам татъя. Дараа нь өгөгдсөн муруйн трапецийг n хэсэг, n нарийн багана болгон хуваана. Бүх трапецын талбай нь баганын талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.
k-р баганыг тусад нь авч үзье, өөрөөр хэлбэл. суурь нь сегмент болох муруй трапец. Үүнийг суурь, өндөр нь f(x k)-тэй тэнцүү тэгш өнцөгтөөр орлъё (зураг харна уу). Тэгш өнцөгтийн талбай нь \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \)-тэй тэнцүү бөгөөд \(\Delta x_k \) нь сегментийн урт юм; Үүссэн бүтээгдэхүүнийг k-р баганын талбайн ойролцоо утга гэж үзэх нь зүйн хэрэг юм. 
Хэрэв бид одоо бусад бүх баганатай ижил зүйлийг хийвэл дараах үр дүнд хүрнэ: өгөгдсөн муруйн трапецын S талбай нь n тэгш өнцөгтөөс бүрдсэн шаталсан дүрсийн S n талбайтай ойролцоогоор тэнцүү байна (зураг харна уу):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Энд тэмдэглэгээг жигд байлгах үүднээс a = x 0, b = x n; \(\Дельта x_0 \) - сегментийн урт, \(\Дельта x_1 \) - сегментийн урт гэх мэт; энэ тохиолдолд бид дээр тохиролцсоны дагуу \(\Дельта x_0 = \цэг = \Дельта x_(n-1) \)
Тэгэхээр, \(S \ойролцоогоор S_n \) бөгөөд энэ ойролцоо тэгш байдал нь илүү нарийвчлалтай байх тусам n их байх болно.
Тодорхойлолтоор муруйн трапецын шаардагдах талбай нь дарааллын хязгаартай (S n) тэнцүү байна гэж үздэг.
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Асуудал 2(цэг шилжүүлэх тухай)
Шулуун шугамаар хөдөлдөг материаллаг цэг. Хурдны хугацаанаас хамаарах хамаарлыг v = v(t) томъёогоор илэрхийлнэ. Тодорхой хугацааны туршид цэгийн хөдөлгөөнийг ол [a; б].
Шийдэл.Хэрэв хөдөлгөөн жигд байсан бол асуудлыг маш энгийнээр шийдэх болно: s = vt, i.e. s = v(b-a). Тэгш бус хөдөлгөөний хувьд та өмнөх асуудлын шийдэлд үндэслэсэн санааг ашиглах хэрэгтэй.
1) Цагийн интервалыг хуваах [a; b] n тэнцүү хэсэгт хуваана.
2) Цаг хугацааг авч үзээд энэ хугацаанд хурд нь t k үеийнхтэй адил тогтмол байсан гэж үзье. Тиймээс бид v = v(t k) гэж таамаглаж байна.
3) Тодорхой хугацааны туршид цэгийн хөдөлгөөний ойролцоо утгыг олъё, бид энэ ойролцоо утгыг s k гэж тэмдэглэнэ
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Шилжилтийн s-ийн ойролцоо утгыг ол:
\(s \ойролцоогоор S_n \) хаана
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Шаардлагатай шилжилт нь дарааллын хязгаартай тэнцүү (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Дүгнэж хэлье. Төрөл бүрийн асуудлын шийдлүүдийг ижил математик загвар болгон бууруулсан. Шинжлэх ухаан, технологийн янз бүрийн салбарын олон асуудал шийдвэрлэх явцад ижил загварт хүргэдэг. Энэ математик загварыг тусгайлан судлах ёстой гэсэн үг.
Тодорхой интегралын тухай ойлголт
y = f(x), тасралтгүй (гэхдээ авч үзсэн бодлогод таамаглаж байсанчлан сөрөг биш байх албагүй) функцийн авч үзсэн гурван бодлогод [a; b]:
1) сегментийг хуваах [a; b] n тэнцүү хэсэгт;
2) нийлбэрийг бүрдүүлэх $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$-ийг тооцоол
Математик шинжилгээний явцад энэ хязгаар нь тасралтгүй (эсвэл хэсэгчлэн тасралтгүй) функцийн хувьд байдаг нь батлагдсан. Тэд түүнийг дууддаг y = f(x) функцийн тодорхой интеграл [a сегмент дээр; b]ба дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
a ба b тоонуудыг интеграцийн хязгаар гэж нэрлэдэг (доод ба дээд).
Дээр дурдсан ажлууд руу буцаж орцгооё. 1-р асуудалд өгөгдсөн талбайн тодорхойлолтыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
энд S нь дээрх зурагт үзүүлсэн муруйн трапецын талбай юм. Энэ бол геометрийн утгатодорхой интеграл.
Бодлого 2-т өгөгдсөн t = a-аас t = b хүртэлх хугацаанд v = v(t) хурдтай шулуун шугамаар хөдөлж буй цэгийн шилжилтийн s-ийн тодорхойлолтыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
Ньютон-Лейбницийн томъёо
Эхлээд асуултанд хариулъя: тодорхой интеграл ба эсрэг дериватив хоёрын хооронд ямар холбоо байдаг вэ?
Хариултыг бодлого 2-оос олж болно.Нэг талаас v = v(t) хурдтай шулуун шугамаар хөдөлж буй цэгийн t = a-аас t = b хүртэлх хугацааны s шилжилтийг тооцоолно. томъёо
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Нөгөө талаас, хөдөлж буй цэгийн координат нь хурдны эсрэг дериватив юм - үүнийг s(t) гэж тэмдэглэе; Энэ нь s шилжилтийг s = s(b) - s(a) томъёогоор илэрхийлнэ гэсэн үг юм. Үүний үр дүнд бид:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
Энд s(t) нь v(t)-ийн эсрэг дериватив юм.
Математикийн шинжилгээний явцад дараах теорем батлагдсан.
Теорем. Хэрэв y = f(x) функц нь [a интервал дээр тасралтгүй байвал; b] бол томъёо хүчинтэй байна
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
Энд F(x) нь f(x)-ийн эсрэг дериватив юм.
Өгөгдсөн томъёог ихэвчлэн нэрлэдэг Ньютон-Лейбницийн томъёоАнглийн физикч Исаак Ньютон (1643-1727), Германы гүн ухаантан Готфрид Лейбниц (1646-1716) нарын хүндэтгэлд зориулж, бие биенээсээ хамааралгүй, бараг нэгэн зэрэг хүлээн авсан.
Практикт F(b) - F(a) гэж бичихийн оронд \(\зүүн. F(x)\right|_a^b \) тэмдэглэгээг ашигладаг (заримдаа үүнийг гэж нэрлэдэг). давхар орлуулалт) ба үүний дагуу Ньютон-Лейбницийн томъёог дараах хэлбэрээр дахин бичнэ үү.
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \зүүн. F(x)\right|_a^b \)
Тодорхой интегралыг тооцоолохдоо эхлээд эсрэг деривативыг олж, дараа нь давхар орлуулалт хийнэ.
Ньютон-Лейбницийн томъёонд үндэслэн бид тодорхой интегралын хоёр шинж чанарыг олж авч болно.
Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Функцийн нийлбэрийн интеграл нийлбэртэй тэнцүү байнаинтеграл:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Үл хөдлөх хөрөнгө 2.Тогтмол хүчин зүйлийг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно.
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсүүдийн талбайг тооцоолох
Интеграл ашиглан та зөвхөн муруйн трапецын талбайг төдийгүй хавтгай дүрсүүдийн талбайг тооцоолж болно. нарийн төвөгтэй төрөл, жишээ нь зурагт үзүүлсэн. P дүрс нь x = a, x = b шулуун шугамууд болон y = f(x), y = g(x) тасралтгүй функцуудын графикаар хязгаарлагдаж, [a; b] \(g(x) \leq f(x) \) тэгш бус байдал биелнэ. Ийм зургийн S талбайг тооцоолохын тулд бид дараах байдлаар ажиллана.
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Тэгэхээр x = a, x = b шулуун шугамууд болон y = f(x), y = g(x) функцүүдийн графикаар хязгаарлагдсан дүрсийн S талбай нь хэрчим дээр үргэлжилсэн бөгөөд хэрчмээс аль ч х-д байхаар байна. [a; b] томъёогоор тооцоолсон \(g(x) \leq f(x) \) тэгш бус байдал хангагдана.
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Зарим функцийн тодорхойгүй интегралын (эсрэг дериватив) хүснэгт
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1) ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$Ньютон-Лейбницийн томъёо
Шинжилгээний үндсэн теоремэсвэл Ньютон-Лейбницийн томъёотодорхой интеграл авах ба эсрэг деривативыг тооцоолох гэсэн хоёр үйлдлийн хоорондын хамаарлыг өгдөг
Томъёо
Функцийн интегралыг авч үзье y = е(x) хүртэл тогтмол тоо атоо хүртэл x, бид үүнийг хувьсагч гэж үзэх болно. Интегралыг дараах хэлбэрээр бичье.
Энэ төрөлинтегралыг хувьсах дээд хязгаартай интеграл гэнэ. Тодорхой интегралд дундаж утгын теоремыг ашигласнаар үүнийг харуулахад хялбар байдаг энэ функцтасралтгүй ба ялгах боломжтой. Мөн x цэг дээрх өгөгдсөн функцийн дериватив нь интегралдах функцтэй тэнцүү байна. Үүнээс үзэхэд аливаа тасралтгүй функц нь квадрат хэлбэрийн эсрэг деривативтай байна: . f функцийн эсрэг дериватив функцүүдийн ангилал тогтмолоор ялгаатай тул дараахийг харуулахад хялбар байдаг: f функцийн тодорхой интеграл нь b ба a цэгүүдийн эсрэг деривативуудын утгын зөрүүтэй тэнцүү байна.
Викимедиа сан.
- 2010 он.
- Нийт магадлалын томъёо
Rayleigh-Jeans томъёо
Бусад толь бичгүүдээс "Ньютон-Лейбницийн томъёо" гэж юу болохыг хараарай.Ньютон-Лейбницийн томъёо
- Шинжилгээний үндсэн теорем буюу Ньютоны Лейбницийн томьёо нь тодорхой интеграл авах ба эсрэг деривативыг тооцоолох гэсэн хоёр үйлдлийн хоорондын хамаарлыг өгдөг Томъёо y = f(x) функцийн интегралыг тогтмол тооноос a хүртэлх мужид авч үзье. .. ... ВикипедиаТөгсгөлийн өсөлтийн томъёо
- Энэ нэр томъёо нь өөр утгатай, Лагранжийн теоремыг үзнэ үү. Хязгаарлагдмал өсөлтийн томьёо буюу Лагранжийн дундаж утгын теорем нь хэрэв функц нь интервал дээр тасралтгүй байвал ба... WikipediaСтоксын томъёо
- Стоксын теорем нь дифференциал геометр, математик шинжилгээний үндсэн теоремуудын нэг бөгөөд дифференциал хэлбэрийн интегралчлалын хэд хэдэн теоремуудыг нэгтгэн дүгнэдэг. Ж.Г.Стоксын нэрээр нэрлэгдсэн. Агуулга 1 Ерөнхий томъёолол 2… … ВикипедиаНЬЮТОН - ЛЕЙБНИЦИЙН ТОМЪЁО - тодорхой интегралын утгыг илэрхийлэх томьёоөгөгдсөн функц f Энэ функцийн аль ч эсрэг дериватив F сегментийн төгсгөлд утгын зөрүү хэлбэрийн сегментийн дагуу I. Ньютон, Г.Лейбницийн нэрээр нэрлэгдсэн, учир нь дүрэм нь... ....
Математик нэвтэрхий толь бичигНЬЮТОН-ЛЕЙБНИЦ ТОМЪЁО - интеграл тооцооллын үндсэн томъёо. f(x) функцын тодорхой интеграл ба түүний эсрэг үүсмэл F(x)-ын хоорондох холбоог илэрхийлнэ ...
Том нэвтэрхий толь бичиг- Энэ нэр томъёо нь өөр утгатай, Лейбницийн нэрэмжит объектуудын жагсаалтыг үзнэ үү. Энэ нэр томъёо нь өөр утгатай, Лейбницийн томъёо (утга) -ыг үзнэ үү. Интеграл тооцоолол дахь Лейбницийн томьёо нь дүрэм... ... Википедиа
Ньютон-Лейбницийн томъёо- Ньютон Лейбницийн томъёо, интеграл тооцооллын үндсэн томъёо. f(x) функцийн тодорхой интеграл болон түүний эсрэг үүсмэл F(x) хоорондын холбоог илэрхийлнэ. . * * * НЬЮТОН ЛЕЙБНИЦ ТОМЪЁО НЬЮТОН ЛЕЙБНИЦ ТОМЪЁО, үндсэн томьёо... ... Нэвтэрхий толь бичиг
Тэгш өнцөгтийн томъёо
Трапец хэлбэрийн томъёо- Тодорхой интеграл нь дүрсийн талбар Тоон интеграл ( түүхэн нэр: квадрат) тодорхой интегралын утгыг тооцоолох (ихэвчлэн ойролцоо), интегралын утга нь талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна ... ... Википедиа
Ньютоны теорем- Ньютоны Лейбницийн томьёо буюу шинжилгээний үндсэн теорем нь тодорхой интеграл авах, эсрэг деривативыг тооцоолох гэсэн хоёр үйлдлийн хоорондын хамаарлыг өгдөг. Хэрэв энэ нь сегмент дээр тасралтгүй бөгөөд энэ сегмент дээр түүний эсрэг дериватив бол ... Википедиа
Зарим тасралтгүй f функцийг Ox тэнхлэгийн тодорхой сегмент дээр өгье. Энэ функц нь бүх сегментийн туршид тэмдэгээ өөрчилдөггүй гэж үзье.
Хэрэв f нь тодорхой сегмент дэх тасралтгүй ба сөрөг бус функц бөгөөд F нь энэ сегмент дээрх түүний эсрэг дериватив бол муруй шугаман трапецын S талбай нь энэ сегмент дээрх эсрэг деривативын өсөлттэй тэнцүү байна.
Энэ теоремыг дараах байдлаар бичиж болно.
S = F(b) - F(a)
a-аас b хүртэлх f(x) функцийн интеграл нь S-тэй тэнцүү байх болно. Энд, цаашлаад зарим f(x) функцийн тодорхой интегралыг a-аас b хүртэлх интегралын хязгаартай тэмдэглэхийн тулд бид дараахыг ашиглана. дараах тэмдэглэгээ (a;b)∫f( x). Энэ нь хэрхэн харагдах жишээг доор харуулав.
Ньютон-Лейбницийн томъёо
Энэ нь бид энэ хоёр үр дүнг тэнцүүлж чадна гэсэн үг юм. Бид дараахийг олж авна: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) нь F нь f on функцийн эсрэг дериватив байх нөхцөлд. Энэ томъёог гэж нэрлэдэг Ньютон-Лейбницийн томъёо. Энэ нь интервал дээрх ямар ч тасралтгүй f функцийн хувьд үнэн байх болно.
Интегралыг тооцоолохдоо Ньютон-Лейбницийн томъёог ашигладаг. Хэд хэдэн жишээг харцгаая:
Жишээ 1: интегралыг тооцоолох. x 2 интеграл функцийн эсрэг деривативыг ол. Эсрэг деривативуудын нэг нь (x 3)/3 функц байх болно.
Одоо бид Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглаж байна:
(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3
Хариулт: (-1;2)∫x 2 dx = 3.
Жишээ 2: (0;pi)∫sin(x)dx интегралыг тооцоол.
sin(x) интеграл функцийн эсрэг деривативыг ол. Эсрэг деривативуудын нэг нь -cos(x) функц байх болно. Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглая:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Хариулт: (0;pi)∫sin(x)dx=2
Заримдаа бичлэг хийхэд хялбар, хялбар байх үүднээс (F(b)-F(a)) сегмент дээрх F функцийн өсөлтийг дараах байдлаар бичдэг.
Энэхүү өсөлтийн тэмдэглэгээг ашиглан Ньютон-Лейбницийн томъёог дараах байдлаар дахин бичиж болно.
Дээр дурдсанчлан, энэ нь зөвхөн бичлэг хийхэд хялбар товчлол юм; Энэ тэмдэглэгээ болон (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) томъёо нь тэнцүү байх болно.
Тодорхой интегралаар тасралтгүй функцээс е(x) эцсийн сегмент дээр [ а, б] (энд ) нь энэ сегмент дээрх зарим эсрэг деривативуудын өсөлт юм. (Ерөнхийдөө тодорхойгүй интегралын сэдвийг давтвал ойлгоход мэдэгдэхүйц хялбар байх болно) Энэ тохиолдолд тэмдэглэгээг ашиглана.
Доорх графикуудаас харж болно (эсрэг дериватив функцийн өсөлтийг -ээр илэрхийлнэ), тодорхой интеграл нь эерэг эсвэл сөрөг тоо байж болно(Үүнийг дээд хязгаар дахь эсрэг деривативын утга ба доод хязгаар дахь утгын зөрүүгээр тооцоолно. Ф(б) - Ф(а)).
Тоонууд аТэгээд бинтеграцийн доод ба дээд хязгаар гэж нэрлэдэг ба сегмент [ а, б] – интеграцийн сегмент.
Тиймээс, хэрэв Ф(x) – зарим эсрэг дериватив функц е(x), дараа нь тодорхойлолтын дагуу,
(38)
Тэгш байдлыг (38) гэж нэрлэдэг Ньютон-Лейбницийн томъёо . Ялгаа Ф(б) – Ф(а) дараах байдлаар товч бичигдсэн байна.
Тиймээс бид Ньютон-Лейбницийн томъёог дараах байдлаар бичнэ.
(39)
Тодорхой интеграл нь түүнийг тооцоолохдоо түүний эсрэг деривативыг авахаас хамаарахгүй гэдгийг баталцгаая. Болъё Ф(x) ба F( X) нь интегралын дурын эсрэг деривативууд юм. Эдгээр нь ижил функцийн эсрэг деривативууд тул тогтмол нэр томъёогоор ялгаатай: Ф( X) = Ф(x) + C. Тийм ч учраас
Энэ нь сегмент дээр [ а, б] функцийн бүх эсрэг деривативуудын өсөлт е(x) таарч байна.
Тиймээс тодорхой интегралыг тооцоолохын тулд интегралын аливаа эсрэг деривативыг олох шаардлагатай, i.e. Эхлээд та тодорхойгүй интегралыг олох хэрэгтэй. Тогтмол ХАМТ дараагийн тооцооноос хассан. Дараа нь Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэнэ: дээд хязгаарын утгыг деривативын эсрэг функцээр орлуулна. б , цааш нь - доод хязгаарын утга а мөн ялгааг тооцно F(b) - F(a) . Үүссэн тоо нь тодорхой интеграл байх болно..
At а = бтодорхойлолтоор хүлээн зөвшөөрсөн
Жишээ 1.
Шийдэл. Эхлээд тодорхойгүй интегралыг олъё:
Ньютон-Лейбницийн томъёог эсрэг деривативт хэрэглэх
(цагт ХАМТ= 0), бид олж авна
Гэхдээ тодорхой интегралыг тооцоолохдоо эсрэг деривативыг тусад нь олохгүй, харин интегралыг нэн даруй (39) хэлбэрээр бичих нь дээр.
Жишээ 2.Тодорхой интегралыг тооцоолох
Шийдэл. Томъёог ашиглах
Тодорхой интегралын шинж чанарууд
Теорем 2.Тодорхой интегралын утга нь интеграцийн хувьсагчийн тэмдэглэгээнээс хамаардаггүй, өөрөөр хэлбэл
(40)
Болъё Ф(x) – эсрэг дериватив е(x). Учир нь е(т) эсрэг дериватив нь ижил функцтэй Ф(т), бие даасан хувьсагчийг зөвхөн өөрөөр тэмдэглэдэг. Тиймээс,
Томъёо (39) дээр үндэслэн сүүлчийн тэгшитгэл нь интегралуудын тэгш байдлыг илэрхийлнэ
Теорем 3.Тогтмол хүчин зүйлийг тодорхой интегралын тэмдгээс гаргаж авч болно, өөрөөр хэлбэл
(41)
Теорем 4.Хязгаарлагдмал тооны функцын алгебрийн нийлбэрийн тодорхой интеграл нь эдгээр функцүүдийн тодорхой интегралуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна., өөрөөр хэлбэл
(42)
Теорем 5.Хэрэв интегралын сегментийг хэсгүүдэд хуваасан бол бүх сегмент дэх тодорхой интеграл нь түүний хэсгүүдийн тодорхой интегралуудын нийлбэртэй тэнцүү байна., өөрөөр хэлбэл Хэрэв
(43)
Теорем 6.Интегралын хязгаарыг өөрчлөх үед тодорхой интегралын үнэмлэхүй утга өөрчлөгдөхгүй, зөвхөн тэмдэг нь өөрчлөгддөг., өөрөөр хэлбэл
(44)
Теорем 7(дундаж утгын теорем). Тодорхой интеграл нь интеграцийн сегментийн урт ба түүний доторх хэсэг дэх интегралын утгын үржвэртэй тэнцүү байна., өөрөөр хэлбэл
(45)
Теорем 8.Хэрэв интегралын дээд хязгаар нь доод хязгаараас их бөгөөд интеграл нь сөрөг биш (эерэг) байвал тодорхой интеграл нь мөн сөрөг биш (эерэг), өөрөөр хэлбэл. Хэрэв
Теорем 9.Хэрэв интегралын дээд хязгаар нь доод хэмжээ ба функцүүдээс их бөгөөд тасралтгүй байвал тэгш бус байдал
нэр томьёогоор нэгтгэж болно, өөрөөр хэлбэл
(46)
Тодорхой интегралын шинж чанарууд нь интегралын шууд тооцоог хялбарчлах боломжийг олгодог.
Жишээ 5.Тодорхой интегралыг тооцоолох
4 ба 3-р теоремуудыг ашиглан эсрэг деривативуудыг олохдоо (7) ба (6) хүснэгтийн интегралуудыг олж авна.
Хувьсах дээд хязгаартай тодорхой интеграл
Болъё е(x) – сегмент дээр тасралтгүй [ а, б] функц, ба Ф(x) нь түүний эсрэг дериватив юм. Тодорхой интегралыг авч үзье
(47)
ба дамжуулан тИнтеграцийн хувьсагчийг дээд хязгаартай андуурахгүйн тулд тодорхойлсон. Өөрчлөх үед Xтодорхой интеграл (47) мөн өөрчлөгддөг, i.e. энэ нь интеграцийн дээд хязгаарын функц юм X, бид үүнийг тэмдэглэдэг Ф(X), i.e.
(48)
Функц гэдгийг баталцгаая Ф(X) нь эсрэг дериватив юм е(x) = е(т). Үнэхээр ялгаж салгаж байна Ф(X), бид авдаг
учир нь Ф(x) – эсрэг дериватив е(x), А Ф(а) нь тогтмол утга юм.
Чиг үүрэг Ф(X) – хязгааргүй тооны эсрэг деривативуудын нэг е(x), тухайлбал тэр x = атэг рүү очдог. Хэрэв бид (48) тэгш байдалд оруулбал энэ мэдэгдлийг олж авна x = амөн өмнөх догол мөрийн 1-р теоремыг ашигла.
Тодорхой интегралыг хэсэгчилсэн интегралын аргаар, хувьсагчийг өөрчлөх аргаар тооцоолох
хаана, тодорхойлолтоор, Ф(x) – эсрэг дериватив е(x). Хэрэв бид интеграл дахь хувьсагчийг өөрчилвөл
дараа нь (16) томъёоны дагуу бид бичиж болно
Энэ илэрхийлэлд
эсрэг дериватив функц
Үнэн хэрэгтээ, дагуу түүний дериватив нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрэм, тэнцүү байна
α ба β нь хувьсагчийн утгууд байг т, үүнд зориулсан функц
дагуу утгыг авдаг аТэгээд б, өөрөөр хэлбэл
Гэхдээ Ньютон-Лейбницийн томъёоны дагуу ялгаа Ф(б) – Ф(а) Байна